Structure
이
책
의구
성
과특
징
N o t i o n s . p l u s . T y p e 소주제별 내용 정리 & 문제 개념편에서 다룬 1개의 소주제에 대한 내용을 확인합니다. 또한 개념편 교재에서 다룬 필수예제와 비슷한 유형의 문제와 다른 유형의 문제, Level-up 문제까지 다루어 숙제용이나 시험 대비용으로 사용이 가능합니다. 서술형 Training 비중이 높아진 서술형 문제에 대한 대비를 할 수 있습니다. 플러스 수능 문제 대단원 마다 7~8 문제의 수준 높은 문제를 수록하였습니다. 소주제 내용 정리 + 문제 + 서술형 Training + 플러스 수능 문제유형편
1. 일차변환과 행렬
01 일차변환과 행렬 6 02 여러 가지 일차변환 112. 일차변환의 합성과 역변환
Ⅰ
일차변환과행렬
1. 포물선
01 포물선의 방정식 36 02 포물선의 평행이동 42 03 포물선과 직선 462. 타원
04 타원의 방정식 53 05 타원의 평행이동 59 06 타원과 직선 633. 쌍곡선
07 쌍곡선의 방정식 68Ⅱ
이차곡선
CC
on
tt
ents
이책
의차
례
1. 공간도형
01 직선과 평면의 위치 관계 88 02 직선과 평면의 평행과 수직 94 03 정사영 1022. 공간좌표
04 공간에서의 점의 좌표 110 05 두 점 사이의 거리 110 06 선분의 내분점과 외분점 117 07 구의 방정식 120 08 구와 평면의 위치 관계 124 ●서술형 Training 129 ▶플러스 수능 문제 130Ⅲ
공간도형과공간좌표
1. 벡터와 그 연산
01 벡터의 정의 134 02 벡터의 덧셈과 뺄셈 136 03 벡터의 실수배와 평행 조건 140 ※ 실생활 문제 1482. 벡터의 성분과 내적
04 위치벡터 149 05 평면벡터의 성분 155 06 공간벡터의 성분 159 07 벡터의 내적 163 08 두 벡터가 이루는 각 1693. 직선과 평면의 방정식
09 직선의 방정식 174 10 두 직선이 이루는 각 178 11 평면의 방정식 182 12 두 평면이 이루는 각 186 13 점과 평면 사이의 거리 190 ●서술형 Training 195 ▶플러스 수능 문제 196Ⅳ
벡터
V i s a n g
Ⅰ
일차변환과 행렬
중단원 소주제 쪽 수 01 일차변환과 행렬 6 02 여러 가지 일차변환 11 03 일차변환의 합성 18 04 일차변환의 역변환 24 서술형 Training 31 플러스 수능 문제 32 ▶단원 한 눈에 보기 2. 일차변환의 합성과 역변환 1. 일차변환과 행렬01
일차변환과 행렬
1. 변환의 정의 좌표평면 위의 임의의 점 P(x, y)를 일정한 규칙에 의하여 그 평면 위의 점 P'(x', y')으로 대응시키는 함수를 좌표평면 위의 변환 이라고 하며, 이것을 기호로 f : (x, y) 11⁄⁄ (x', y') 과 같이 나타낸다. 이때 점 P(x, y)는 변환 f에 의하여 점 P'(x', y')으 로 옮겨진다고 한다. 2. 일차변환과 행렬 ⑴ 일차변환의 정의 변환 f : (x, y) 1⁄ (x', y')이 [ (a, b, c, d는 상수) 와 같이 x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식으 로 나타내어질 때, 이 변환 f를 일차변환이라고 하 며, 위의식을일차변환 f를나타내는식이라고한다. ⑵ 일차변환을 나타내는 행렬 일차변환 f를 나타내는 식이 [ (a, b, c, d는 상수) 일 때, 이를 행렬을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. x'=ax+by y'=cx+dy x'=ax+by y'=cx+dy 개념편 10쪽Ⅰ 일차변환과 행렬
1
일차변환과행렬
O y x P'(x', y') P(x, y) 중요 개념plus 일차변환을 나타내는 여러 가지 표현 일차변환 f를 나타내는 표현은 다음과 같이 여러 가지가 있 다. HjK f : (x, y)1⁄ (ax+by, cx+dy) HjK f :[ HjK f :{ } 1⁄ { }{ } HjK f : X 1⁄ AX 또는 f(X)=AX {단, A={ }, X={ }} 일차변환에 의한 선분의 내분점 좌표평면 위의 서로 다른 두 점 A, B가 일차변환 f에 의하 여 각각 서로 다른 두 점 A', B'으로 옮겨질 때, 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점은 일차변환 f에 의하여 선분 A'B'을 m : n으로 내분하는 점으로 옮겨진다. 두 점 (1, 0), (0, 1)을 옮기는 일차변환을 나타내는 행렬 두 점 (1, 0), (0, 1)을 각각 (a, c), (b, d)로 옮기는 일차변환을 나타내는 행렬은 { } a b c d x y a b c d x y a b c d x y x'=ax+by y'=cx+dy 3. 일차변환의 성질 일차변환 f와 임의의 2_1행렬 X¡, X™에 대하여 ⑴f(kX¡)=kf(X¡)(단, k는 실수) ⑵f(X¡+X™)=f(X¡)+ f(X™) ⑶f(kX¡+lX™)=kf(X¡)+lf(X™) (단, k, l은 실수) 중요1 일차변환과 행렬 007 ▷▶정답과 해설 2쪽 점 (x, y)를 다음의 각 점으로 옮기는 변환 중 일 차변환이 아닌 것은?
① (x, -y) ② (x+y, -3x+2y) ③ (-y, 2y) ④ (-y, -3xy) ⑤ (0, -2x+y)
1
1
변환 f : (x, y) 1⁄ (2y-a+2, 2x+a-2b) 가 일차변환일 때, 상수 a, b의 합 a+b의 값을 구 하여라.1
2
일차변환의 판별Training
유형 행렬 { }로 나타내어지는 일차변환에 의 하여 두 점 A(-1, -1), B(2, 5)가 각각 두 점 A', B'으로 옮겨질 때, 선분 A'B'을 1 : 2로 내분 하는 점의 좌표를 구하여라. 1 -1 -2 11
3
일차변환에 의한 점의 이동 ① 변환 f : (x, y) 1⁄ (x', y')에서 x', y'이 다음과 같이 주어질 때, 보기에서 일차변환인 것만을 있는 대로 골라라.0
1
Check
개념 다음 일차변환을 나타내는 행렬을 구하여라. ⑴ f : (x, y) 1⁄ (-2y, 3x) ⑵ f : (x, y) 1⁄ (2x-y, x+3y)0
2
행렬 { }로 나타내어지는 일차변환에 의하여 다음 점이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라. ⑴ (0, 2) ⑵ (3, 2) 2 -1 -1 10
3
일차변환 f에 대하여 f(P)={ }, f(Q)={ }일 때, 다음을 구하여라. ⑴ f(2Q) ⑵ f(2P-Q) 2 -1 1 10
4
보기 ㄱ. [ ㄴ. [ ㄷ. [ ㄹ.[
x'=-;2!;y y'=-2y x'=x-y y'=x+y x'=2xy y'=x¤ +y¤ x'=2x-y y'=-x+2좌표평면 위의 두 점 (1, 1), (2, 3)을 각각 두 점 (3, -1), (2, 1)로 옮기는 일차변환 f에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.
1
8
두 점을 옮기는 일차변환을 나타내는 행렬 일차변환 f를 나타내는 행렬 A에 대하여 A{ }={ }, A¤ { }={ } 을 만족할 때, 행렬 Afi 으로 나타내어지는 일차변환 -1 -1 1 1 3 -2 1 110
일차변환에 의한 점의 이동 ② 행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f에 의하여 네 점 O(0, 0), A(0, 1), B(2, 5), C(2, 3)이 옮겨지는 점을 각각 O', A', B', C'이라 하자. 사 각형 O'A'B'C'의 넓이가 9일 때, 양수 q의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 1 0 p q1
6
좌표평면 위의 두 점 A(1, 2), B(3, 3)을 두 점 C(-1, 2), D(-2, -3)으로 옮기는 일차변환 f 를 나타내는 행렬은 X, Y의 2개가 있다. 이때 행 렬 X+Y로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 (1, -1)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.1
9
좌표평면 위의 점들 중에서 일차변환 f : { }={ } { }에 의하여 자기 자신으 로 옮겨지는 점의 개수는? ① 0개 ② 1개 ③ 2개 ④ 3개 ⑤ 무수히 많다. x y 0 1 -1 -2 x' y'1
4
일차변환 f : (x, y) 1⁄ (px, x+2y)에 의하 여 세 점 A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1)이 옮겨지는 점을 각각 A', B', C'이라 할 때, 삼각형 A'B'C' 이 정삼각형이 되기 위한 양수 p의 값을 구하여라.1
5
행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f에 의하여 점 A(1, 2)가 옮겨지는 점을 A', 직선 y=-x+1 위를 움직이는 점 P가 옮겨지는 점을 P'이라 할 때, A'P'”의 최솟값을 구하여라.1 1 3 2
1 일차변환과 행렬 009 ▷▶정답과 해설 3쪽 좌표평면 위의 두 점 (1, 0), (0, 1)을 각각 두 점 (2, 3), (-1, -1)로 옮기는 일차변환 f에 의하 여 점 (2, -1)이 옮겨지는 점의 좌표는? ① (3, 5) ② (3, 7) ③ (5, 5) ④ (5, 7) ⑤ (7, 7)
11
일차변환 f를 나타내는 행렬 A에 대하여 A{ }={ }, A{ }={ }, A{ }={ } 이 성립할 때, 행렬 A를 구하여라. (단, p, q는 실수) 0 1 1 0 1 0 p q p q 0 112
두 점 (1, 0), (0, 1)을 옮기는 일차변환을 나타내는 행렬 일차변환 f와 두 행렬 P, Q에 대하여 f(P)={ }, f(2P-Q)={ }, f(Q)={ } 일 때, 상수 a, b의 합 a+b의 값은? ① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2 a b 2 3 1 113
세 행렬 A={ }, B={ }, C={ }와 일차 변환 f에 대하여 f(A)=B일 때, f(2B)-f(C) 를 구하여라. -2 4 2 1 3 -115
행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f와 두 행 렬 P={ }, Q={ }에 대하여 2 f(P)+f(-Q) 를 구하여라. 2 1 1 1 3 2 1 114
일차변환의 기본 성질 일차변환 f와 2_1행렬 A, B에 대하여 f(A+B)={ }, f(2A-B)={ } 일 때, f(A-2B)를 구하여라. 1 -3 2 116
▷▶정답과 해설 7쪽 일차변환 f에 의하여 두 점 A, B가 각각 두 점 C(3, 1), D(-3, -2)로 옮겨질 때, 선분 AB를 2：1로 내분하는 점 E가 일차변환 f에 의하여 옮겨 지는 점의 좌표는? ① (-2, -1) ② (-1, -2) ③ (-1, -1) ④ (-1, 0) ⑤ (0, -1)
19
일차변환 f에 의하여 두 점 (a, b), (c, d)가 각각 두 점 (1, -2), (3, 2)로 옮겨진다. 이때 일차변 환 f에 의하여 점 (2a-c, 2b-d)가 옮겨지는 점 의 좌표를 구하여라.18
일차변환의 성질의 활용 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 A, B, C, D를 꼭짓점으로 하는 정사각형 ABCD가 있다. 사 각형 ABCD의 네 모서리 가 모두 좌표축과 평행하고 두 대각선의 교점이 원점과 일치할 때, 이 사각형의 내 부 및 경계선이 행렬 { }로 나타내어지는 일 차변환 f에 의하여 옮겨지는 도형을 나타낸 것은? ① ② ③ ④ ⑤ y O x y O x y O x y O x y O x 0 1 1 120
y O A B D C x 두 행렬 A={ }, B={ }에 대하여 f(2A)=A+B, f(A-B)=A-2B 를 만족하는 일차변환 f를 나타내는 행렬의 모든 성 분의 합을 구하여라. (단, t+0) -t -2t 2t t17
-Level
up
1 일차변환과 행렬 011
02
여러 가지 일차변환
1. 대칭변환 좌표평면 위의 점을 직선 또는 점에 대하여 대칭인 점 으로 옮기는 변환을 대칭변환이라고 한다.이때 x축, y축, 원점, 직선 y=x, 직선 y=-x에 대 한 대칭변환의 변환식과 이를 나타내는 행렬을 정리하 면 다음과 같다. 2. 닮음변환 ⑴ 닮음변환의 뜻 k가 0이 아닌 실수일 때, 좌표평면 위의 임의의 점 P(x, y)를 점 P'(kx, ky)로 옮기는 변환을 닮음의 중심이 원 점이고, 닮음비가 k인 닮음변환이라고 한다. 특히 k=1일때의닮음변환을항등변환이라고한다. ⑵ 닮음변환의 변환식과 행렬 원점을 닮음의 중심으로 하는 닮음비가 k(k+0) 인 닮음변환을 나타내는 변환식과 행렬은 변환식 Δ [ ,행렬Δ { } 특히 항등변환을 나타내는 변환식과 행렬은 변환식 Δ [ , 행렬 Δ { } 1 0 0 1 x'=x y'=y k 0 0 k x'=kx y'=ky P'(x', y') O y x P(x, y) 개념편 17쪽 3. 회전변환 ⑴ 회전변환의 뜻 좌표평면 위의 임의의 점 P(x, y)를 원점을 중심 으로 각 h만큼 회전하여 점 P'(x', y')으로 옮기 는 변환을 원점을 중심으 로 각 h만큼 회전하는 회 전변환이라고 한다. ⑵ 회전변환의 변환식과 행렬 원점을 중심으로 각 h만큼 회전하는 회전변환을 나 타내는 변환식과 행렬은 변환식 Δ [ 행렬 Δ {cos h -sin h} sin h cos h
x'=x cos h-y sin h y'=x sin h+y cos h
h P'(x', y') O y x P(x, y) 대칭변환의 기준 변환식 [ x'=x y'=-y x축 [ x'=-x y'=y y축 대칭변환을 나타내는 행렬 { } 1 0 0 -1 { } -1 0 0 1 [ x'=-x y'=-y 원점 { } -1 0 0 -1 [ x'=y y'=x 직선 y=x { } 0 1 1 0 [ x'=-y y'=-x 직선 y=-x { } 0 -1 -1 0 개념plus 여러 가지 일차변환
x축, y축, 원점, 직선 y=x, 직선 y=-x에 대한 대칭변 환과 원점을 중심으로 하는 닮음비가 k인 닮음변환, 원점을 중심으로 각 h만큼 회전하는 회전변환을 나타내는 변환식 에서 x', y'은 상수항이 없는 x, y에 대한 일차식으로 나타 내어진다. 따라서 위의 대칭변환과 닮음변환, 회전변환은 모두 일차변 환이다. 직선 y=mx에 대한 대칭변환 좌표평면 위의 두 점 P(x, y), P'(x', y')이 직선 y=mx에 대하 여 대칭이면 다음이 성립한다. 닮음변환에서 닮음비 k 원점을 닮음의 중심으로 하고, 닮음비가 k인 닮음변환에서 ⑴ |k|>1인 경우 Δ 확대하는 변환 ⑵ 0<|k|<1인 경우Δ 축소하는 변환 중요 중요 중요 y y=mx O P' P x 직선 y=mx에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은 ºº 2m m¤ +1 m¤ -1 m¤ +1 - m¤ -1 m¤ +1 2m m¤ +1 ªª ① PP'”의 중점이 직선 y=mx 위에 있다. ② 직선 PP'과 직선 y=mx가 서로 수직이다.
다음보기에서 일차변환인 것만을 있는 대로 골라라. 다음과 같은 대칭변환에 의하여 점 (2, -1)이 옮겨지 는 점의 좌표를 구하여라. ⑴ x축에 대한 대칭변환 ⑵ y축에 대한 대칭변환 ⑶ 원점에 대한 대칭변환 ⑷ 직선 y=x에 대한 대칭변환 ⑸ 직선 y=-x에 대한 대칭변환
0
1
Check
개념 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 2인 닮음변환 에 의하여 다음 점이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라. ⑴ (2, 1) ⑵ (-2, 3)0
2
원점을 중심으로 다음 각의 크기만큼 회전하는 회전변 환에 의하여 점 (2, 0)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하 여라. ⑴ p6 ⑵ p40
3
Training
유형 일차변환의 판별 점 P(x, y)를 점 P'(x', y')으로 옮기는 변환을 나타낸 다음 그림 중 일차변환이 아닌 것은? ① ② ③ ④ ⑤ y O h P' P x y O P' P x a b y O P' P x y O P' P x y y=x O P' P x1
1
1
2
보기 ㄱ. x축에 내린 수선의 발 ㄴ. 직선 y=1에 대한 대칭이동 ㄷ. y축의 방향으로 -1만큼 평행이동 ㄹ. 원점을 중심으로 -30˘만큼 회전이동1 일차변환과 행렬 013 ▷▶정답과 해설 10쪽 좌표평면에서 두 직선 x=0, y=-x에 대한 대칭 변환을 나타내는 행렬을 각각 A, B라 하자. 두 행 렬 A+B, BA로 나타내어지는 일차변환에 의하 여 점 P(0, 2)가 옮겨지는 점을 각각 Q, R라 할 때, 삼각형 PQR의 넓이를 구하여라.
1
4
-좌표평면 위의 점 A(1, -1)은 x축에 대한 대칭 변환에 의하여 점 B로, 직선 y=x에 대한 대칭변 환에 의하여 점 C로 옮겨진다. 이때 선분 BC의 길 이는? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 51
3
대칭변환에 의한 점의 이동 직선 y= x에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은? ① ② ③ ④ 9 ⑤ 2 5 8 5 7 5 6 5 1 21
5
직선 y=ax에 대한 대칭변환 행렬 { }로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 A(2, b)가 직선 y=3x에 대한 대칭인 점으로 옮겨질 때, 상수 a, b의 합 a+b의 값은? ① 3 ② ③ ④ 15 ⑤ 4 4 7 2 13 4 2 -1 a 11
6
오른쪽 그림과 같이 두 점 A(2, 0), B(0, 2) 에서 직선 y=-x+4에 내린 수선의 발을 각각 C, D라 하자. 점 A를 점 D로, 점 B를 점 C로 옮기는 일차변환을 f라 할 때, f를 나타내는 행렬을 구하여라.1
7
y y=-x+4 O A(2, 0) B(0, 2) 4 D C 4 x원점을 중심으로 하는 닮음변환 f에 의하여 점 (-3, 6)이 점 (1, -2)로 옮겨질 때, 점 (a, b) 는 점 (1, -3)으로 옮겨진다. 이때 a+b의 값을 구하여라.
1
9
직선 y=-x에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬을 A, 원점을 중심으로 하고 점 (1, 2)를 점 (2, 4) 로 옮기는 닮음변환을 나타내는 행렬을 B라 할 때, 행렬 2A-B가 나타내는 일차변환에 의하여 점 (-3, 2)가 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.10
행렬 - { }로 나타내어지는 일차변환 에 의하여 오른쪽 그림 과 같이 세 점 O, A, B를 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB가 옮겨 지는 도형을 바르게 나타낸 것은? ① ② ③ ④ ⑤ y O -1 -1 x y O 1 -1 x y O -1 1 1 x y O -1 1 x y O 1 1 x 1 0 0 1 1 211
y O A 2 B 2 x 점 (a, 2)를 원점을 중심으로 만큼 회전한 점을 (1, b)라고 할 때, 상수 a, b의 합 a+b의 값은? ① 2+2'2 ② 2+3'2 ③ 3+2'2 p 412
회전변환에 의한 점의 이동 닮음변환에 의한 점의 이동 두 점 A(1, 2), B(2, 3)이 행렬 { }로 나타내어지는 닮음변환에 의하여 각각 두 점 C, D 로 옮겨진다. 이때 선분 CD의 길이를 구하여라. -2 0 0 -21
8
1 일차변환과 행렬 015 ▷▶정답과 해설 13쪽 원점에 대한 대칭변환을 f, 원점을 중심으로 만 큼 회전하는 회전변환을 g, 닮음의 중심이 원점이 고 닮음비가 2인 닮음변환을 h라 하자. 좌표평면 위의 점 (-1, 2)가 세 일차변환 f, g, h에 의하 여 옮겨지는 점을 각각 A, B, C라 할 때, 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표를 구하여라. p 2
13
좌표평면 위의 점 (2, 2)를 원점을 중심으로 h만큼 회전한 점이 (-'3-1, '3-1)일 때, 점 (2, 2) 를 원점을 중심으로 h+ 만큼 회전한 점의 좌표를 구하여라. (단, 0<h<2p) p 214
원점에 대한 대칭변환에 의하여 직선 2x-y=4가 직선 ax+by=4로 옮겨지고, x축에 대한 대칭변 환에 의하여 직선 2x+3y=4가 직선 cx+dy=4 로 옮겨진다. 이때 a+b+c+d의 값을 구하여라.17
일차변환에 의한 도형의 이동 오른쪽그림과같은정육 각형 OABCDE에 대 하여 점 O는 원점이고 점 B의 좌표가 (4, 2) 일 때, 점 D의 좌표를 구하여라.16
y O A B C D E 2 4 x세 점 O(0, 0), A('3, 2), B(a, b)를 꼭짓점으 로 하는 삼각형 OAB가 정삼각형일 때, 상수 a, b 의 곱 ab의 값을 구하여라.
(단, 점 B는 제2 사분면 위의 점)
15
원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환에 의 하여 직선 2x+y=1이 직선 ax+by='2로 옮겨 지고, 행렬 { }로 나타내어지는 일차변환에 의 하여 직선 y= x+1이 직선 y=mx+n으로 옮 겨진다. 이때 a+b+m+n의 값을 구하여라. 1 2 1 1 2 1 p 4
18
닮음변환 f에 의하여 도형 2|x|+|y|=4가 옮겨 지는 도형의 넓이가 4일 때, f를 나타내는 행렬을 구하여라.19
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 A, B, C, D, E, F가 있다. 다음 중 행렬 { }로 나타내어 지는 일차변환에 의하여 점 F가 옮겨질 수 있는 점 은? (단, k+0인 실수) ① A ② B ③ C k 0 0 k y y=-x O F E D B C A x20
일차변환의 활용 오른쪽 그림과 같이 경 계가 직선인 화단의 A 지점에서 수직으로 400 m 떨어진 O지점 에 갑이 서 있고, 갑이 서 있는 곳에서 300 m 떨어진 곳에 을이 서 있 다. 을이 갑과 300 m의 거리를 유지하면서 시계 반 대 방향으로 150˘ 돌았더니, AO” 위의 P지점에 도 착하였다. 이때 처음 을의 위치와 화단 사이의 거리 를 구하여라. (단, '3=1.7로 계산한다.)22
세 일차변환 f, g, h를 나타내는 행렬이 각각 { }, { }, { } 이다. 오른쪽 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름의 길이가 2인 원에 내접하는 정팔각 형의 한 꼭짓점 P¡이 세 일차변환 f, g, h 에 의하여 옮겨지는 점을 각각 På, P∫, Pç라 하 자. 이때 상수 a, b, c의 합 a+b+c의 값을 구 하여라. -1 1 -1 -1 1 '2 1 0 0 -1 0 -1 1 0 y O P¡ P™ P£ P¢ P∞ P§ P¶ P• x21
150˘ 400 m 300 m P A 을 갑 O1 일차변환과 행렬 017 ▷▶정답과 해설 16쪽
Level
up
행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f에 의하여 직선 l¡이 직선 l™로 옮겨지고, 두 직선의 교점이 (2, 1)일 때, 직선 l¡의 방정식을 구하여라. 2 3 1 223
점 A(3, 2)를 중심으로 점 B(5, 4)를 h만큼 회 전한 점을 C라 할 때, AB”=BC”를 만족하는 점 C 의 좌표를 구하여라. {단, 0<h<p} 224
원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환 f에 의하여 원 (x-6)¤ +(y-8)¤ =25 위의 점 A가 점 B로, 점 B가 점 C로 이동한다고 할 때, 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 넓이 의 최솟값을 구하여라. p 326
25
일차변환 f를 나타내는 행렬을 { } 라 하자. 0…h… 일 때, 점 A(2, 2)가 일차변 환 f에 의하여 옮겨지는 점의 자취의 길이는? ① ② ③ p ④ '2p ⑤ 2p p '2 p 2 p 2 sin h cos h -cos h sin h03
일차변환의 합성
1. 합성변환 ⑴ 합성변환의 정의 좌표평면 위의 두 일차변환 f : (x, y)1⁄ (x', y') g : (x', y')1⁄ (x'', y'') 에 대하여 점 (x, y)를 점 (x'', y'')으로 옮기 는 변환을 f와 g의 합성변환이라고 하며, 이것 을 기호로 gΩf : (x, y)1⁄ (x'', y'') 과 같이 나타낸다. ⑵ 합성변환을 나타내는 행렬 두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬을 각각 A, B라 하면 f : { }=A{ }, g : { }=B{ } 이므로 f와 g의 합성변환 gΩf : (x, y)1⁄ (x'', y'') 을 행렬로 나타내면 { }=B{ }=B[A{ }] =BA{ } 따라서 합성변환 gΩf는 일차변환이고, gΩf를 나타내는 행렬은 BA이다. 2. 일차변환의 합성에 대한 성질 세 일차변환 f, g, h를 나타내는 행렬을 각각 A, B, C라 하면 x y x y x' y' x'' y'' x' y' x'' y'' x y x' y' 개념편 28쪽Ⅰ 일차변환과 행렬
2
일차변환의합성과역변환
세 일차변환 f, g, h를 나타내는 행렬이 각각 { }, { }, { } 일 때, 다음 합성변환을 나타내는 행렬을 구하여라. ⑴ fΩg ⑵ gΩf ⑶ ( fΩg)Ωh ⑷ fΩ(gΩh) 1 2 0 -2 2 0 -2 1 1 -2 2 30
1
Check
개념 직선 y=-x에 대한 대칭변환을 f, 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환을 g라 할 때, 다음 합성변 환에 의하여 점 (4, 2)가 옮겨지는 점의 좌표를 구하 p 40
2
개념plus 회전변환의 합성을 나타내는 행렬의 특징 원점을 중심으로 a만큼 회전하는 회전변환을 f, 원점을 중 심으로 b만큼 회전하는 회전변환을 g라 할 때 ⑴ 합성변환 gΩf를 나타내는 행렬 { }{ } ={ } Δ 두 회전변환의 행렬의 곱셈은 각의 크기만 더하면 된다. ⑵ 합성변환 f « (n은 자연수)을 나타내는 행렬 { }«={ } Δ 회전변환의 행렬의 n제곱은 각의 크기만 n배하면 된다. cos na -sin na sin na cos na cos a -sin a sin a cos acos(a+b) -sin (a+b) sin (a+b) cos(a+b)
cos a -sin a sin a cos a cos b -sin b
sin b cos b
두 일차변환 f, g에 대하여 f를 나타내는 행렬이 { }이고, 합성변환 gΩf는 직선 y=-x에 대한 대칭변환과 같을 때, g를 나타내는 행렬을 구 하여라. 3 -1 3 2 2 일차변환의 합성과 역변환 019 ▷▶정답과 해설 20쪽 일차변환의 합성을 나타내는 행렬
Training
유형 두 일차변환 f : { } 1⁄ { }, g : { } 1⁄ { } 에 대하여 합성변환 gΩf를 나타내는 행렬을 구하 여라. -x 2y x y y -x x y1
1
1
2
세 일차변환 f, g, h를 나타내는 행렬이 각각 { }, { }, { } 일 때, 다음 중 항등변환을 나타내는 합성변환은? ① fΩgΩh ② gΩfΩh ③ fΩhΩg ④ fΩgΩf ⑤ gΩfΩg 1 0 0 -1 -1 0 0 -1 0 -1 1 01
4
직선 y=-x에 대한 대칭변환을 f, y축에 대한 대 칭변환을 g라 할 때, 합성변환 gΩf에 대한 설명으 로 옳은 것은? ① x축에 대한 대칭변환 ② 원점에 대한 대칭변환 ③ 직선 y=x에 대한 대칭변환 ④ 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환 ⑤ 원점을 중심으로 -p만큼 회전하는 회전변환 2 p 21
3
두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각 { }, { }일 때, 합성변환 gΩf에 의하 여 점 (2, b)가 점 (3, a)로 옮겨진다. 이때 상수 a, b에 대하여 a-2b의 값을 구하여라. b -1 2 1 1 0 2 a1
5
일차변환의 합성에 의한 점의 이동 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 2인 닮음변 환을 f, 원점을 중심으로 150˘만큼 회전하는 회전 변환을 g라 할 때, 합성변환 gΩf에 의하여 점 P('3, 1)이 옮겨지는 점 P'에 대하여 삼각형 OPP'의 넓이는? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 51
6
두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각 { }, { } 일 때, 합성변환 f ‹ Ωg에 의하여 점 P가 다시 점 P 로 옮겨진다고 한다. 이때 상수 p의 값은? (단, f ¤ =fΩf, f « ±⁄ =f « Ωf , n은 자연수) ① - ② - ③ -④ - ⑤ 1 2 1 2 1 4 1 8 1 16 0 -p p 0 '3 -1 1 '3
0
8
y축에 대한 대칭변환을 f, 원점을 중심으로 만 큼 회전하는 회전변환을 g라 할 때, 합성변환 fΩg 에 의하여 점 P(a, 1)이 다시 점 P로 옮겨진다고 한다. 이때 상수 a의 값을 구하여라. p 61
7
직선 2x-y=1을 y축에 대한 대칭변환에 의하여 옮긴 다음, 직선 y=-x에 대한 대칭변환에 의하 여 옮긴 직선의 방정식이 ax+by=1일 때, 상수 a, b의 값을 구하여라.0
9
직선 '3x-y+2=0을 원점에 대한 대칭변환에 의 하여 옮긴 다음, 원점을 중심으로 h만큼 회전하는 회전변환에 의하여 옮긴 직선이 처음 직선과 일치할 때, h의 값을 구하여라. (단, 0<h<2p)11
이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축에 대한 대칭변환 에 의하여 옮긴 다음, 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 인 닮음변환에 의하여 옮긴 도형의 방 정식이 y=4x¤ 이다. 이때 상수 a의 값은? ① -3 ② -2 ③ -1 ④ 1 ⑤ 2 1 210
합성변환에 의한 도형의 이동2 일차변환의 합성과 역변환 021 ▷▶정답과 해설 23쪽 거듭제곱을 이용한 일차변환의 점의 이동 일차변환 f에 의하여 점 (1, '3)이 점 (0, 1)로 옮겨지고, 합성변환 fΩf에 의하여 점 (1, '3)이 점 (-1, '3)으로 옮겨진다. 일차변환 f에 의하여 점 (-1, 1)이 옮겨지는 점이 (a, b)일 때, 상수 a, b의 합 a+b의 값을 구하여라.
12
점의 이동에 의한 합성변환의 행렬 구하기 일차변환 f가 다음 두 조건을 만족할 때, 일차변환 f에 의하여 점 (1, -3)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.13
일차변환 f에 의하여 점 (-1, 0)이 점 (0, 3)으 로 옮겨지고, 합성변환 fΩf에 의하여 좌표평면 위 의 임의의 점 (x, y)가 점 (-y, -x)로 옮겨진 다. 이때 일차변환 f에 의하여 점 (2, 6)이 옮겨지 는 점의 좌표를 구하여라.14
Ⅰ. 일차변환 f는 점 (3, 1)을 점 (2, -1)로 옮긴다. Ⅱ. fΩf=f 일차변환 f를 나타내는 행렬이{ }일 때, 합 성변환 f ⁄ ‚ ‚ 에 의하여 점 (3, 1)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라. (단, f ¤ =fΩf, f « ±⁄ =f« Ωf, n은 자연수) 2 -3 1 -115
다음 그림과 같은 도형에서 일차변환 f에 의하여 점 A는 점 D로, 점 H는 점 I로 옮겨질 때, 합성변환 f ¤ ‚ ⁄ ⁄에 의하여 점 E가 옮겨지는 점은? (단, f ¤ =fΩf, f « ±⁄ =f« Ωf, n은 자연수) ① 점 A ② 점 C ③ 점 F ④ 점 G ⑤ 점 J y x O A G H I J B E F C D -1 -1 1 2 1 -216
합성변환의 도형에의 활용 회전변환에 대한 합성변환` 행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f 에 대하여 점 (-2, 1)이 합성변환 f ¤ ‚ ⁄ ‚ 에 의하여 옮겨지는 점의 좌표는? (단, f ¤ =fΩf, f « ±⁄ =f« Ωf, n은 자연수) ① (-2, -1) ② (-1, -2) ③ (-1, -1) ④ (-1, 0) ⑤ (0, -1) '2 -'2 '2 '2 1 2
18
행렬 { }로 나타내어지는 일차변환을 f라 할 때, 합성변환 f« `이 항등변환이 되도록 하는 자연수 n의 최솟값을 구하여라. 1 -'3 '3 1 1 219
오른쪽 그림과 같이 원 점을 중심으로 하는 단 위원을 6등분하는 점 을 차례대로 Pº, P¡, P™, P£, P¢, P∞라고 하자. 일차변환 f에 의 하여 점 Pº는 점 P∞로 옮겨지고, 점 P¢는 점 P¡로 옮겨진다. 합성변환 fΩf에 의하여 점 P™가 옮겨지 는 점은? ① P¡ ② P™ ③ P£ ④ P¢ ⑤ P∞20
y x Pº(0, 1) P∞ P¢ P£ P™ P¡ O 원점을 중심으로 75˘만큼 회전하는 회전변환에 의22
17
원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환을 f라 하면 합성변환 f · 에 의하여 점 (2'3, -1)이 옮겨 지는 점의 좌표는? (단, f ¤ =fΩf, f « ±⁄ =f« Ωf, n은 자연수) ① (-2'3, 0) ② (-2'3, -1) ③ (-1, -2'3) ④ (-1, 2'3) ⑤ (-2'3, 2'3 ) p 6 오른쪽 그림과 같이 원 에 내접하는 정오각형이 있다. 일차변환 f에 의 하여 점 A가 점 E로 옮 겨지고, 점 D가 점 B로 옮겨질 때, 일차변환 f 에 의하여 점 C가 옮겨지는 점은? ① A ② B ③ C ④ D ⑤ E21
A B C E D y x O2 일차변환의 합성과 역변환 023 ▷▶정답과 해설 27쪽 오른쪽 그림과 같이 대각선의 교점이 원점 인 두 정팔각형에서 일차변환 f는 점 A 를 점 A'으로, 점 B 를 점 B'으로 옮긴다. 이때 합성변환 fΩf에 의하여 점 P가 옮겨지는 점 의 좌표를 구하여라.
23
y x O A P 4 -4 -8 8 B B' A' 일차변환 f를 나타내는 행렬이 { }일 때, 영역D={(x, y)|xæ0, yæ0, 2x+y…2}
는 합성변환 f¡ºº¢에 의하여 영역 D'으로 옮겨진다. 점 (x, y)가 영역 D'에 속할 때, x-y의 최솟 값을 구하여라. (단, f ¤ =fΩf, f « ±⁄ =f« Ωf, n은 자연수) 1 2 '2 -'2 '2 '2 1 2
24
Level
up
두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각 { }, 일 때, 원 C : (x-3)¤ +y¤ =9가 합성변환 fΩg에 의하여 옮겨지는 도형을 C'이라 하자. 0…h… 일 때, 도형 C'이 존재하는 영역의 넓이는? ① p-2 ② p-1 ③ p ④ p+1 ⑤ 3p+2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 p 2 º ;3!; 0 0 ;3!; ª cos h -sin h sin h cos h25
∴ (구하는 넓이) 점 P«이 행렬 { }로 나타내어지는 일 차변환 f에 의하여 옮겨지는 점을 P«≠¡이라 하자. 점 P¡의 좌표가 (8'3, 8)일 때, 점 P«이 다음 그 림의 색칠한 부분(경계선 포함)에 속하도록 하는 자 연수 n의 값을 구하여라. y y=x x O 36 1 25 1 1 -1 1 1 1 2'226
다음과 같이 나타내어지는 일차변환의 역변환을 나타 내는 행렬을 구하여라. ⑴‡ ⑵‡x'=-2y y'=x+3y x'=-x+2y y'=2x-3y
0
1
행렬 { }으로 나타내어지는 일차변환 f에 의하여 다음 점으로 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라. ⑴ (0, 1) ⑵ (3, 5) ⑶ (-2, -1) ⑷ (-1, -8) 2 1 5 30
2
Check
개념 두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각 { }, { }일 때, 다음 일차변환을 나타내는 행렬을 구하여라. ⑴ ( fΩg)—⁄ ⑵ g—⁄ Ωf —⁄ ⑶ (gΩf)—⁄ ⑷ f —⁄ Ωg—⁄ -1 4 2 -7 1 1 1 20
3
일차변환 f를 나타내는 행렬이 다음과 같을 때, 역변환 이 존재하지 않을 조건을 구하여라. ⑴{ } ⑵{ } a a-2b a+2b 3b a 2 2a a0
4
직선 5x+3y-1=0이 일차변환에 의하여 옮겨질 수0
5
04
일차변환의 역변환
1. 일차변환의 역변환 좌표평면 위의 일차변환 f : (x, y)1⁄ (x', y') 을 나타내는 행렬을 A라 하고, 행렬 A의 역행렬 A—⁄가 존재할 때 { }=A{ } HjK { }=A—⁄ { } 이 성립하므로 점 (x', y')을 점 (x, y)로 옮기는 변환은 행렬 A—⁄ 로 나타내어지는 일차변환이다. 이 일차변환을 f의 역변환이라 하고, 기호로 f —⁄ : (x', y')11⁄⁄ (x, y) 와 같이 나타낸다. 한편 일차변환 f를 나타내는 행렬의 역행렬이 존재 하지 않으면 f의 역변환은 존재하지 않는다. 2. 역변환에 대한 성질 두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각 A, B 이고, A, B의 역행렬 A—⁄ , B—⁄ 가 존재할 때, 역 변환 f—⁄ , g—⁄ 가 존재하므로 다음이 성립한다. ⑴AA—⁄ =A—⁄ A=E이므로fΩf —⁄ =f —⁄ Ωf=I (단, I는 항등변환) ⑵(AB)—⁄ =B—⁄ A—⁄이므로 ( fΩg)—⁄ =g—⁄ Ωf —⁄ 3. 일차변환에 의한 도형의 이동 일차변환에 의한 도형의 이동은 일차변환을 나타내 는 행렬이 역행렬이 존재할 때, 영행렬일 때, 영행렬 이 아니면서 역행렬이 존재하지 않을 때의 세 가지 경우에 따라 다음과 같이 정리할 수 있다. x' y' x y x y x' y' 개념편 34쪽 좌표평면 직선 중요 중요 중요
2 일차변환의 합성과 역변환 025 ▷▶정답과 해설 31쪽 역변환에 의한 점의 이동 ①
Training
유형 행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f의 역 변환 f —⁄ 에 의하여 점 P(2, -1)은 점 Q로 옮겨 진다. 이때 PQ”의 길이는? ① ② ③ 1 ④ 3 ⑤ 2 2 1 2 1 4 1 -2 0 11
1
원점을 중심으로 60˘만큼 회전하는 회전변환에 의 하여 점 ('3, -1)로 옮겨지는 점의 좌표를 구하 여라.1
2
일차변환 f에 의하여 점 (1, 3)은 점 (13, -4) 로 옮겨지고, f의 역변환 f —⁄ 에 의하여 점 (16, -32)는 점 (-3, 2)로 옮겨진다. 이때 일차 변환 f에 의하여 점 (2, -3)이 옮겨지는 점의 좌 표를 구하여라.1
4
일차변환 f에 의하여 좌표평면 위의 두 점 (2, 1), (4, 3)이 각각 두 점 P, Q로 옮겨지고, 원점을 중 심으로 30˘만큼 회전하는 회전변환 g에 의하여 두 점 P, Q가 각각 두 점 (1, '3), (-1, -'3)으 로 옮겨진다. 이때 일차변환 f를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합을 구하여라.1
5
역변환에 의한 점의 이동 ② 일차변환 f의 역변환 f —⁄ 를 나타내는 행렬이 { }일 때, 일차변환 f에 의하여 점 (2, -1) 이 점 (4, -1)로 옮겨진다고 한다. 이때 일차변환 f에 의하여 점 (1, -3)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라. (단, a, b는 상수) a 2 -1 b1
3
다음보기의 일차변환 중에서 역변환이 원래의 변환 과 일치하는 것을 있는 대로 고른 것은? ① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄹ ③ ㄴ, ㄷ ④ ㄱ, ㄴ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ1
6
보기 ㄱ. x축에 대한 대칭변환 ㄴ. 원점에 대한 대칭변환 ㄷ. 직선 y=x에 대한 대칭변환 ㄹ. 원점을 중심으로 90˘만큼 회전하는 회전변환 원래의 변환과 같은 역변환좌표평면 위의 임의의 두 점 P, Q가 일차변환 f : (x, y)1⁄ (-x+ay, x+by)에 의하여 각 각 두 점 Q, P로 옮겨진다고 할 때, 상수 a, b의 곱 ab의 값을 구하여라. (단, a+b+0)
1
7
역변환과 합성변환에 의한 점의 이동 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각 { }, { } 일 때, 합성변환 g—⁄ Ω(fΩg—⁄ )—⁄ Ωg에 의하여 점 (1, -2)가 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라. 3 -1 7 -2 3 -1 -2 11
8
두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각 { }, { } 일 때, fΩhΩf—⁄ =g를 만족하는 일차변환 h에 의 하여 점 (1, 4)가 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라. 1 -4 -1 5 4 5 1 10
9
원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환을 f, 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 '3인 닮음 변환을 g라 하자. 이때 합성변환 fΩg에 의하여 점 P가 점 Q(2, 0)으로 옮겨질 때, 점 P의 좌표 를 구하여라. p 310
x축에 대한 대칭변환을 f, 직선 y=-x에 대한 대 칭변환을 g라 할 때, 합성변환 fΩhΩg에 의하여 좌표평면 위의 임의의 점 P가 자기 자신으로 옮겨 진다. 이때 일차변환 h를 나타내는 행렬을 구하여 라.11
역변환과 합성변환의 활용 일차변환 f를 나타내는 행렬이 { }일 때, 합성 변환 f2011 에 의하여 점 P가 점 (3, 1)로 옮겨진다 고 한다. 이때 합성변환 f2010 에 의하여 점 P가 옮 겨지는 점의 좌표를 구하여라. (단, f ¤ =fΩf, f« ±⁄ =f « Ωf , n 은 자연수) 2 3 1 212
2 일차변환의 합성과 역변환 027 ▷▶정답과 해설 34쪽 원점을 중심으로 60˘ 만큼 회전하는 회전변 환 f와 x축에 대한 대 칭변환 g가 있다. 오른 쪽 그림과 같이 정육각 형의 각 꼭짓점을 P¡, P™, y, P§이라 할 때, 다음 중 점 P™를 점 P¢로 옮기는 합성변환이 아닌 것은? ① fΩf ② gΩf—⁄ ③ g—⁄ Ωf—⁄ ④ f —⁄ Ωg ⑤ fΩg—⁄
16
y x O P¡ P§ P∞ P¢ P£ P™ 역변환과 합성변환에 의한 도형의 이동 ① 행렬 { }으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 직선 5x-y+1=0이 옮겨지는 도형의 방 정식을 구하여라. 5 -4 -4 313
두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각 { }, { }일 때, 합성변환 ( fΩg)—⁄ 에 의하여 원 x¤ +y¤ =4가옮겨지는도형의방정식을구하여라. -1 2 2 -3 2 1 5 314
두 일차변환 f, g가 각각 f : (x, y)1⁄ (3x, ax+2y) g : (x, y)1⁄ (x+y, -y) 일 때, 합성변환 g—⁄ ΩfΩg에 의하여 직선 y=3x+2는 원 (x-1)¤ +(y+3)¤ =9의 넓이를 이등분하는 직선으로 옮겨진다. 이때 상수 a의 값 을 구하여라.15
역변환과 합성변환에 의한 도형의 이동 ②역변환이 존재하지 않을 조건 행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f의 역 변환이 존재하지 않을 때, 점 (a, b)의 자취의 길 이를 구하여라. a-1 b 2-b a
18
일차변환 f를 나타내는 행렬이 { }일 때, f의 역변환이 존재하지 않도록 하는 상수 a, b에 대 하여 a¤ +b¤ 의 최솟값을 구하여라. 4 a+1 3 b+219
일차변환에 의한 직선의 이동 ①20
일차변환 f를 나타내는 행렬이 { }일 때, 일 차변환 f에 의하여 직선 x+2y-5=0이 옮겨지는 도형의 방정식은?① y=-5x ② y=-3x ③ y=-x ④ y=x ⑤ y=3x 2 -1 6 -3 두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각 { }, { }일 때, 합성변환 fΩg에 의하여 직선 x+2y-3=0이 옮겨지는 도형은? ① 점 (6, 3) ② 점 (-6, -3) ③ 직선 x+2y=0 ④ 직선 2x+y=0 ⑤ 직선 2x+y-3=0 -2 -4 5 10 -1 0 2 1
21
세 일차변환 f, g, h를 나타내는 행렬이 각각 { }, { }, { } 일 때, 오른쪽 그림의 삼각 형 OAB가 합성변환 fΩg—⁄ Ωh에 의하여 옮겨지 는 도형의 넓이를 구하여라. -1 0 0 1 cos45˘ -sin 45˘ sin 45 cos 45˘ '2 0 0 '217
y x O 1 A B 12 일차변환의 합성과 역변환 029 ▷▶정답과 해설 37쪽 일차변환에 의한 직선의 이동 ②
22
행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f에 의 하여 직선 x-y-2=0이 점 (b, c)로 옮겨질 때, 세 상수 a, b, c의 값을 구하여라. 3 a 2 -2 일차변환 f에 의하여 직선 3x+2y-1=0이 점 (2, -3)으로 옮겨질 때, 일차변환 f를 나타내는 행렬을 구하여라.23
일차변환에 의한 좌표평면의 이동 행렬 { }으로 나타내어지는 일차변환 f에 의 하여 좌표평면 위의 모든 점이 옮겨지는 도형의 방 정식을 구하여라. 3 1 9 324
두 점 (2, 1), (0, 2)를 각각 두 점 (3, -3), (-2, 2)로 옮기는 일차변환 f에 의하여 좌표평면 위의 모든 점이 옮겨지는 도형의 방정식을 구하여라.25
행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f에 의하 여 좌표평면 위의 모든 점이 원점을 지나는 직선 y=mx위의 점으로 옮겨질 때, 모든 m의 값의 곱 을 구하여라. a b b a26
원점 이외의 점으로 옮기는 일차변환 행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f에 의하 여 점 (x, y)가 점 (kx, ky)로 옮겨지는 점 P가 원점 이외에도 존재할 때, x와 y 사이의 관계식을 모두 구하여라. 3 4 3 2
27
행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f에 대하 여 합성변환 fΩf에 의하여 자기 자신으로 옮겨지 는 점이 원점 이외에도 존재하고, 일차변환 f에 의 하여 직선 x=0이 직선 y=2x로 옮겨질 때, 상수 a, b에 대하여 a¤ +b¤ 의 값을 구하여라. a 1 0 b28
직선 y=ax+b를 행렬 { }로 나타내어지는 일차변환에 의하여 옮긴 직선이 처음 직선과 일치할 때, 다음보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 3 4 a 530
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 보기 ㄱ. a의 값은 1개 존재한다. ㄴ. b의 값은 1개 존재한다. ㄷ. 직선 y=ax+b 위의 모든 점이 자기 자신으 로 옮겨질 수 있다. 일차변환 f가 선분 PQ를 다시 선분 PQ로 옮길 때, 다음보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?31
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 보기 ㄱ. 일차변환 f 에 의하여 점 P는 점 Q로, 점 Q는 점 P로만 옮겨진다. ㄴ. 일차변환 f 에 의하여 선분 PQ의 중점은 다시 선분 PQ의 중점으로 옮겨진다. ㄷ. 일차변환 f 를 나타내는 행렬을 A라고 할 때, A¤ =E이다. 행렬 { }로 나타내어지는 일차변환에 의하 여 직선 x+by=1이 점 (1, -1)로 옮겨질 때, 이 일차변환에 의하여 좌표평면 전체가 옮겨지는 도형 의 방정식을 구하여라. a b c -229
Level
up
▷▶정답과 해설 40쪽서 술 형 Training 031 ▷▶정답과 해설 42쪽
서술형
Training
;
y축에 대한 대칭변환을 f, 원점을 중심으로 30˘만큼 회전하는 회전변환을 g라 하자. 합성변환 fΩhΩg에 의하여 좌표평면 위의 점 P가 자기 자신으로 옮겨질 때, 일차변환 h를 나타내는 행렬을 구하여라. 【8점`】1
행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f에 의 하여 좌표평면 위의 모든 점은 직선 y=mx 위의 점 으로 이동하고, 직선 y=nx 위의 모든 점은 원점으로 이동한다. 이때 m-n의 값을 구하여라. 【10점`】 2 1 -2 -12
오른쪽 그림과 같은 정육 각형에서 회전변환 f와 대칭변환 g를 적당히 합 성한 합성변환 h가 점 A를 점 C로, 점 B를 점 B로 옮길 때, 합성변 환 hΩh에 의하여 점 D가 옮겨지는 점을 구하여라. 【10점`】4
점 (2'2, '2-1)을 점 (4, 2-'2)로 옮기는 닮음 변환을 f라 하자. 집합 A={(x, y)|x¤ +y¤ …4}가 합성변환 fΩf에 의하여 집합 B로 옮겨질 때, 집합 B의 임의의 원소 (x, y)에 대하여 x+y의 최댓값 을 구하여라. 【10점`】3
y x O A 1 1 -1 -1 B C D E F플러스
수능 문제
▷▶정답과 해설 44쪽일차변환 f는 점 (1, 2)를 점 (0, 1)로 옮기고, 합성 변환 fΩf는 점 (1, 2)를 점 (-1, -3)으로 옮긴 다. 일차변환 f를 나타내는 행렬을 A라고 할 때,
A+A¤ +A‹ +y+A¤ ‚ ⁄ ⁄이 나타내는 일차변환에 의 하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표는? ① (-5, 12) ② (-1, 3) ③ (0, 1) ④ (1, 3) ⑤ (3, 11)
1
좌표평면 위의 원점 O가 아닌 두 점 P, Q가 있다. 일 차변환 f에 의하여 점 P가 점 Q로, 점 Q가 점 P로 옮겨질 때, 보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 직선 OP와직선 OQ는서로평행하지않다.)2
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ 보기 ㄱ. P(1, 2), Q(3, 2)이면 일차변환 f에 의하여 점 (1, 1)은 자기 자신으로 옮겨진다. ㄴ. 주어진 조건을 만족하는 일차변환 f는 유일하게 존재한다. ㄷ. OP”와 OQ”가 서로 수직이면 일차변환 f는 대칭 변환이다. 다음은 두 행렬 A= { }, B= { } 로 나타내어지는 두 일차변환 f, g를 어떠한 순서로 몇 번씩 반복해도 점 P(5, 0)이 점 Q(4, 3)으로 옮 겨지지 않음을 증명한 것이다. 1 -1 1 1 1 '2 1 -'3 '3 1 1 23
위의증명과정에서 안의(가), (나), (다)에 들어 갈 알맞은 것은? (가) (나) (다) ① 30˘m+45˘n 30 ② 30˘m+45˘n 15 ③ 60˘m+45˘n 3 15 4 3 4 3 5 증명 두 일차변환 f, g는 각각 원점을 중심으로 60˘, 45˘ 만큼 회전하는 회전변환이므로 f, g를 적당한 순서로 각각 m회, n회 반복하면 총 회전각은 이다. 동경 OQ가 나타내는 양의 최소각을 h라 하면 tan h= 이고 < <1이므로 30˘<h<45˘ 두 일차변환 f, g를 적당한 순서로 각각 m회, n회 반복하여 점 P(5, 0)이 점 Q(4, 3)으로 옮겨진다 고 하면 =360˘k+h (단, kæ0인 정수) 이때 m, n, k는 음이 아닌 정수이므로 h는 의 배수가 되므로 모순이다. 따라서 점 P는 점 Q로 옮겨지지 않는다. (다) (가) (나) 1 '3 (나) (가)플러스 수능 문제 033
Ⅰ 일차변환과 행렬
오른쪽 그림에서 사각형 OABC, 사각형 EOCD 는 합동인 정사각형이다. 일차변환 f에 의하여 세 점 A, B, C가 옮겨지는 점을 각각 A', B', C'이라 하고, {A', B', C'}={C, D, E}를 만족할 때, 다음보기에 서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?4
A B C D E y x O ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 보기 ㄱ. 일차변환 f에 의하여 점 C는 점 C로 옮겨진다. ㄴ. 일차변환 f에 의하여 점 B는 점 D로 옮겨진다. ㄷ. 일차변환 f에 의하여 선분 AC는 선분 CE로 옮 겨진다. 함수 y=x‹ +ax의 그래프를 원점을 중심으로 45˘만 큼 회전시켜 얻은 곡선 y=f(x)가 모든 실수에서 정 의될 때, 실수 a의 값의 범위는?① aæ1 ② aæ0 ③ a…1
④ a…-1 ⑤ 0…a…2
6
오른쪽 그림과 같이 두 대 각선의 교점이 원점 O이 고, 각 변이 x축, y축에 평행한 정사각형의 네 꼭 짓점을 각각 A, B, C, D라고 하자. 이때 정사각 형을 적당히 대칭시키거나 점 O를 중심으로 적당히 회전시켜서 다시 각 변이 x축, y축에 평행한 정사각 형으로 옮기는 일차변환을 나타내는 행렬의 모임을 집 합 S로 정의하자. 예를 들면 행렬 { }은 점 A를 점 B로, 점 B 를 점 C로, 점 C를 점 D로, 점 D를 점 A로 이동시 켜 다시 원래의 정사각형으로 옮기는 일차변환을 나타 내므로 집합 S의 원소이다. 다음보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 0 -1 1 07
A B C D y x O ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 보기 ㄱ. 임의의 X<S, Y<S에 대하여 XY=YX이다. ㄴ. 임의의 X<S에 대하여 X› =E이다. ㄷ. 집합 S의 원소의 개수는 8개이다. 행렬 로 나타내어지는 일차변환을 f 라 하자. 점 (0, -4)가 합성변환 f« (n은 자연수)에 의하여 옮겨지는 점의 좌표를 P«(x« , y«)이라 할 때, P«P«≠¡”의 값은? ① '3 ② 2'3 ③ 3'3 ④ 4'3 ⑤ 5'3 ¶ ¡ n=1 • 1 -'3 '3 1 ¶ 1 45
일 상 생 활 이 야 기
봄이오면쏟아지는잠을예방하는방법
봄이 되면 아프지도 않은 데 몸이 나른해지고, 쉽게 피로해져 자신도 모르게 조는 경우가 많을 것이다. 소화 도 잘 안 되고 쉽게 짜증이 나기도 하여 공부에 집중할 수 없는 경우도 생긴다. 이와 같은 증상들은 봄철에 흔 히 느끼는 증상이라고 해서 춘곤증이라 불린다. 그렇다면“춘곤증(spring fever)”은 왜 생기는 걸까? 아직 과학적으로 춘곤증이 왜 생기는지 명확히 밝혀지지는 않았지만, 계절이 변하고 날씨가 따뜻해짐에 따 라 신체가 그 변화를 따라가지 못하여 생기는 부적응 현상 때문이라고 한다. 춘곤증의 증상은 개인의 신체적 특성 및 주변 환경에 따라 다르게 나타나지만, 그 예방책으로는 다음과 같은 공통된 세 가지 방법이 있다. 첫째, 충분한 영양 섭취와 규칙적인 식사를 하자. 봄에는 활동량 증가로 인해 영양소의 소모량이 많아지므로 식단에 신경 써야 한다. 채소, 과일, 콩, 잡곡류, 우유, 달걀, 생선 등에서 여러 영양소를 골고루 섭취하고, 끼니를 거르지 않고 규칙적으로 식사한다. 둘째, 가벼운 운동으로 몸을 풀자. 과격한 운동보다는 땀을 적당히 흘릴 수 있는 체조 또는 두세 시간마다 간 단히 근육과 관절을 풀어주는 스트레칭을 한다. 단, 잠들기 전의 과한 운동 은 오히려 숙면에 방해가 되므로, 잠들기 전에는 간단한 5분 체조 정도가 좋다. 셋째, 충분한 수면을 취하자. 하루 7시간 이상 충분히 수면을 취하거나, 식사 후 약 10분 정도 의 낮잠을 잔다. 하지만 30분 이상의 긴 낮잠은 밤에 불면증을 유 발하여 피로를 누적시킬 수 있으므로 주의하자.V i s a n g
Ⅱ
이차곡선
서술형 Training 플러스 수능 문제 1. 포물선 2. 타원 3. 쌍곡선 01 포물선의 방정식 02 포물선의 평행이동 03 포물선과 직선 04 타원의 방정식 05 타원의 평행이동 06 타원과 직선 07 쌍곡선의 방정식 08 쌍곡선의 평행이동 09 쌍곡선과 직선 36 42 46 53 59 63 68 74 77 83 84 중단원 소주제 쪽 수 ▶단원 한 눈에 보기01
포물선의 방정식
개념편 52쪽Ⅱ 이차곡선
1
포물선
1. 포물선의 정의 평면 위의 한 정점 F와 점 F를 지나지 않는 한 정직 선 l이 주어질 때, 점 F와 직선 l에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라고 한다. 이때 정점 F Δ 포물선의 초점 정직선 l Δ 포물선의 준선 초점 F를 지나고 준선 l에 수직인 직선 Δ 포물선의 축 포물선과 축의 교점 Δ 포물선의 꼭짓점 이라고 한다. P F l 초점 축 준선 꼭짓점 포물선 2. 포물선의 방정식 ⑴초점이 F(p, 0)이고, 준선이 x=-p인 포물선 의 방정식은 y¤ =4px (단, p+0) ⑵초점이 F(0, p)이고, 준선이 y=-p인 포물선 의 방정식은 x¤ =4py (단, p+0) y O P x™=4py y=-p F(0, p) x p<0 x y P y=-p F(0, p) x™=4py p>0 O 다음 포물선의 방정식을 구하여라. ⑴ 초점이 F(4, 0)이고, 준선이 x=-4인 포물선 ⑵ 초점이 F(0, -5)이고, 준선이 y=5인 포물선0
1
포물선의 방정식이 다음과 같을 때, 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 그래프를 그려라. ⑴ y¤ =4x ⑵ y¤ =-1x 40
2
Check
개념 초점의 좌표 F(0, p) 꼭짓점의 좌표 (0, 0) 준선의 방정식 y=-p 축의 방정식 x=0 (y축) 중요 중요 x y O P y™=4px x=-p F(p, 0) p<0 x y O P F(p, 0) y™=4px x=-p p>0 Δ 아래로 볼록 Δ 위로 볼록1 포물선 037 ▷▶정답과 해설 49쪽 점 F(-2, 0)과 직선 x=2로부터 같은 거리에 있 는 점 P의 자취의 방정식을 구하여라.
1
1
포물선의 방정식 ①` 포물선의 방정식 ②Training
유형 원 (x-1)¤ +y¤ =1의 중심을 초점으로 하고, 원점 을 꼭짓점으로 하는 포물선이 점 (k, 2)를 지날 때, 상수 k의 값은? ① ;4!; ② ;3!; ③ ;2!; ④ 1 ⑤ 21
3
점 F(0, 3)과 직선 y=-3에 이르는 거리의 비가 1：1인 점 P의 자취의 방정식이 x¤ =3ky일 때, 상 수 k의 값은? ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 71
2
꼭짓점이 원점이고 한 점 A(2, 4)를 지나는 포물선 은 두 개 있다. 이때 두 포물선의 방정식을 구하여라.1
5
점 (1, -2)를 지나고 축의 방정식이 x=0, 꼭짓점 이 원점인 포물선의 방정식을 구하여라.1
4
포물선 x¤ =8y에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은? ① 초점의 좌표는 (0, 2)이다. ② 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이다. ③ 준선의 방정식은 y=-2이다. ④ 축의 방정식은 y=0이다. ⑤ 점 (4, 2)를 지난다.1
6
포물선의 초점과 준선포물선 y¤ =2x의 초점을 중심으로 하고, 준선에 접 하는 원의 넓이는? ① ② p ③ p ④ 2p ⑤ 3p 3 2 p 2
1
7
분수함수 y= 의 두 점근선이 두 포물선 y¤ =px, x¤ =-4y의 준선과 일치하고, 이 분수함 수의 그래프가 포물선 y¤ =px의 초점을 지날 때, abp의 값은? (단, a, b, c, p는 상수) ① -4 ② -2 ③ 1 ④ 2 ⑤ 4 ax+b cx+11
8
포물선 x¤ =8y 위의 한 점 P에서 이 포물선의 초 점까지의 거리는 6이다. 이때 점 P에서 x축에 내 린 수선의 길이를 구하여라.1
9
포물선의 정의의 활용 오른쪽 그림과 같이 점 F(0, 1)을 지나는 직선 이 포물선 x¤ =4y와 만 나는 두 점을 A, B라 하고, 이 두 점에서 직선 y=-1에 내린 수선의 발을 각각 P, Q라 하자. AB”_PQ”=24일 때, 사각 형 APQB의 넓이는? ① 8 ② 10 ③ 12 ④ 14 ⑤ 1610
x y O P Q B A x™=4y y=-1 F(0, 1) 포물선 y¤ =4x와 직선 y=m(x-1)이 두 점 P, Q 에서 만난다. 선분 PQ의 중점 R의 x좌표가 일 때, 선분 PQ의 길이는? (단, m은 상수) ① 3 ② 4 ③ 5 ④ 6 ⑤ 7 3 211
1 포물선 039 ▷▶정답과 해설 51쪽
12
포물선 y¤ =8x 위의 서로 다른 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심이 이 포 물선의 초점 F와 일치할 때, AF”+BF”+CF”의 값 을 구하여라. 오른쪽 그림과 같이 포물선 y¤ =8x의 초점 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 A, B라 하자. AF” : BF”=2 : 1일 때, 직선 AB의 기울기는? ① '3 ② 2 ③ '6 ④ 2'2 ⑤ 314
x y O A B F y™=8x 포물선 y¤ =-4x 위의 세 점 A, B, C에서 x축에 내린 수선의 길이가 각각 4, 6, 10일 때, 포물선의 초점 F에 대하여 AF”+BF”+CF”의 값을 구하여라.13
오른쪽 그림과 같이 포물선 y¤ =4x의 초점 F를 지나 y축에 평행한 직선과 포물 선으로 둘러싸인 도형에 내 접하는 정사각형 ABCD 가 있다. 이때 정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 구하여라.15
x y O y™=4x A D F B C 포물선의 방정식의 활용 오른쪽 그림과 같이 포물 선 y¤ =8x의 초점 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 P, Q라 하자. FP”=6일 때, FQ” 의 길이를 구하여라.16
y™=8x y O Q P F 6 x▷▶정답과 해설 53쪽 최단 거리 오른쪽 그림과 같이 포물선 y¤ =4x 위의 임의의 한 점 P 에서 직선 x=-1에 내린 수 선의 발을 H라 하자. 이때 점 A(2, 5)에 대하여 AP”+PH” 의 최솟값을 구하여라.
17
O H P x=-1 y ™ =4x A(2, 5) x y 오른쪽 그림과 같이 포물선 y¤ =12x위의 동점 P와 두 정점 A(3, 0), B(4, 5) 에 대하여 AP”+PB”의 최 솟값을 구하여라.18
O x y A(3, 0) B(4, 5) y™=12x P19
좌표평면 위의 두 정점 A(0, 2), B(4, 5)가 있다. 포물선 x¤ =8y 위의 임의의 점 P에 대하여 삼각형 PAB의 둘레의 길이의 최솟값을 구하여라. 포물선 y¤ =4px 위의 한 점 P와 초점 F를 잇는 선 분이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 h라 할 때, h=60˘이면 PF”=a이다. h=120˘일 때, 선분 PF의 길이를 a로 나타내면? (단, p>0) ① ② ③ a ④ ⑤ '2a 2 a 2 2 5 a 3 a 420
Level
up
오른쪽 그림과 같이 포물 선 y¤ =4x의 초점 F에 대하여 FA”=3, FB”=9 인 두 점 A, B를 포물선 위에 잡는다. ∠AFB=h 라고 할 때, tan h의 값을 구하여라. (단, 두 점 A, B는 제1사분면 위의 점)22
반지름의 길이가 3인 원 O와 원 O의 중심에서 5 만큼 떨어진 지점에 직선 l이 있다. 이때 원 O에 외접하고 직선 l에 접하는 원 C의 중심을 P라고 하면 점 P의 자취는 포물선이 된다. 이 포물선의 초 점과 준선 사이의 거리를 구하여라.21
O F 9 h 3 y™=4x A B x y1 포물선 041 ▷▶정답과 해설 55쪽 오른쪽 그림은 파라볼라 안 테나를 나타낸 것으로 내부 는 단면이 포물선인 곡면으 로 되어 있고, 그 초점의 위 치에 전파를 모으는 장치가 있다. 이 포물 곡면의 대칭축에 수직인 평면의 위치 에서 출발한 전파는 대칭축에 평행하게 이동하여 곡 면에서 반사된 다음 초점 F로 모인다. 세 점 A, B, C에서 출발한 전파의 경로의 길이를 각각 a, b, c 라 할 때, a, b, c의 대소 관계는?
① a>b>c ② c>a>b ③ b>a>c ④ a=b=c ⑤ b=c>a
1
2
A B C F※ 실생활 문제
포물선의 실생활에의 활용Training
유형 오른쪽 그림과 같이 지퍼의 한쪽 끝 F를 못으로 고정시 키고 다른 쪽 H는 지퍼가 벽 에 수직이 되도록 매달아 위 아래로 움직일 수 있도록 하 였다. 지퍼를 팽팽하게 당기 면서 열 때, 지퍼의 고리 P가 움직이는 자취는 어떤 도형의 일부인가? ① 직선 ② 원 ③ 포물선 ④ 타원 ⑤ 쌍곡선1
1
F P H 오른쪽 그림과 같이 두 마을 P, Q 앞으 로 포물선 모양의 강이 흐르고 있다. A, B, C, D, E 중 한 지점에 다리를 놓아 강 반대편으로 이동할 수 있도록 하려고 한다. 마을 P는 포물선의 초점에 위 치해 있고, B지점은 포물선의 꼭짓점에 위치해 있 다. 두 마을 P, Q에서 다리까지의 직선 거리의 합이 최소인 곳에 다리를 놓으려고 한다. 이때 다리의 위 치로 가장 적합한 지점은 어디인가? (단, 두 선분 PB와 QD는 서로 평행) ① A ② B ③ C ④ D ⑤ E1
3
다음 그림은 태양열을 이용하여 성화를 채화할 때 사용하는 반사경으로 그 단면은 포물선이다. 이 반 사경의 윗부분은 지름이 120 cm인 원형이고, 깊이 가 45 cm이다. 햇빛은 곡면에서 반사되어 초점으 로 모인다. 이때 가장 빠른 시간 내에 채화하려면 성 화봉을 가장 깊은 지점으로부터 얼마만큼 떨어진 곳 에 위치시켜야 하는가? ① 10 cm ② 15 cm ③ 20 cm ④ 25 cm ⑤ 30 cm 120 cm 45 cm 성화봉의 위치1
4
A B C D E P 마을 Q 마을02
포물선의 평행이동
1. 포물선의 평행이동 ⑴포물선 y¤ =4px (p+0)를 x축의 방향으로 m만큼 y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 (y-n)¤ =4p(x-m)(단, p+0) ⑵포물선 x¤ =4py (p+0)를 x축의 방향으로 m만큼 y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 (x-m)¤ =4p(y-n)(단, p+0) 2. 포물선의 방정식의 일반형 ⑴ x축에 평행한 축을 가진 포물선의 방정식y¤ +Ax+By+C=0 (단, A+0)
⑵ y축에 평행한 축을 가진 포물선의 방정식 x¤ +Ax+By+C=0 (단, B+0) 개념편 58쪽 중요 방정식 y¤ =4px (y-n)¤ =4p(x-m) (p, 0) (p+m, n) (0, 0) (m, n) x=-p x=-p+m y=0 y=n 초점 꼭짓점 준선 축 방정식 x¤ =4py (x-m)¤ =4p(y-n) (0, p) (m, p+n) (0, 0) (m, n) y=-p y=-p+n x=0 x=m 초점 꼭짓점 준선 축 다음 포물선의 방정식에서 초점의 좌표와 준선의 방정 식을 구하여라. ⑴ (y-1)¤ =8(x-1) ⑵ (x+2'2 )¤ =-4(y-2)
0
1
Check
개념 x축으로 m만큼, y축으로 n만큼 평행이동 x축으로 m만큼, y축으로 n만큼 평행이동 다음 안에 알맞은 수를 써넣어라.⑴ 포물선 y¤ +8y-4x+28=0은 포물선 y¤ =4x를 x축의 방향으로 만큼, y축의 방향으로 만 큼 평행이동한 것이다. ⑵ 포물선 x¤ -8x-4y+32=0은 포물선 x¤ = y 를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 만 큼 평행이동한 것이다.
0
2
좌표평면 위의 한 점 P에서 점 A(3, 0)에 이르는 거리와 직선 x=-5에 이르는 거리가 같을 때, 점 P의 자취의 방정식을 구하여라.1
1
포물선의 방정식 ①Training
유형 개념plus1 포물선 043 ▷▶정답과 해설 56쪽 초점의 좌표가 F(1, 1)이고, 준선의 방정식이 y=-3인 포물선이 x축과 만나는 두 점을 A, B라 할 때, 선분 AB의 길이는? ① 3'2 ② 4'2 ③ 5'2 ④ 6'2 ⑤ 7'2
1
2
초점의 좌표가 (3, 1)이고, 점 (6, 5)를 지나며 준 선이 y축에 평행한 포물선의 방정식을 구하여라.1
3
꼭짓점의 좌표가 (3, -1)이고, 점 (0, 2)를 지나 는 포물선의 초점의 좌표를 구하여라.1
5
오른쪽 그림이 나타내는 포 물선의 방정식을 구하여라.1
4
x y O -2 2 4 포물선의 방정식 ② 평행이동된 포물선의 초점과 준선 두 포물선 (x+1)¤ =4ay와 (y-3)¤ =-8(x-b) 의 초점이 일치할 때, 상수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구하여라.1
6
포물선 (x+a)¤ =4b(y-2)의 준선의 방정식이 y=5일 때, b의 값은? (단, a, b는 상수) ① -3 ② -2 ③ -1 ④ 1 ⑤ 21
7
이차방정식 x¤ +y¤ +2x-1+k(x¤ +2y¤ -1)=0 의 그래프가 포물선일 때, 상수 k의 값과 초점의 좌
