1. 공간도형의 기본 성질
일반적으로 다음 기본 성질은 증명 없이 옳다고 인 정하기로 하고 다른 명제들을 증명할 때 사용한다.
⑴ 한 직선 위에 있지 않은 서로 다 른 세 점을 지나는 평면은 오직 하나 존재한다.
⑵ 한 평면 위의 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 이 평면에 포함된 다.
⑶ 한 점을 공유하는 서로 다른 두 평면은 그 점을 지나는 한 직선 을 공유한다.
두 평면이 만날 때 한 직선을 공유하게 되는데 이 직선을 교선이라 한다.
2. 평면의 결정조건
⑴한 직선 위에 있지 `⑵한 직선과 그 위에 않은 세 점 ⑴있지 않은 한 점
⑴ ⑴
⑶한 점에서 만나는 ⑷평행한 두 직선
⑴두 직선
⑴ ⑴
중요
3. 공간에서의 위치 관계
⑴ 두 직선의 위치 관계
⑵ 직선과 평면의 위치 관계
직선과 평면의 위치 관계는 공유점의 유무 및 개 수에 따라 결정된다.
⑶ 두 평면의 위치 관계
중요
한 평면 위에 있다.
만난다. 평행하다. 꼬인 위치에 있다.
한 평면 위에 있지 않다.
a l
l
a
교점 l
a 만난다.
포함된다.
공유점이 무수히 많다. 한 점을 공유한다. 공유점이 없다.
한 점에서 만난다. 평행하다.(l//a) 만나지 않는다.
l a b
교선
만난다. 만나지 않는다.
만난다.
a
b 평행하다.(a//b)
개념plus 점과 직선의 결정조건
점의 결정 조건 그림
⑴ 만나는 두 직선
⑵ 평면과 그 평면에 만나는 직선
⑶ 교선이 평행하지 않은 서로 다른
1 공간도형089
한 평면 위에 있는 서로 다른 5개의 직선의 교점의 최대 개수는?
① 6 ② 7 ③ 8
④ 9 ⑤ 10
1 7
공간에서 한 직선 l위에 있는 서로 다른 5개의 점과 직선 l위에 있지 않고 어느 세 점도 한 직선 위에 있 지 않은 3개의 점이 있다. 이들 중 3개의 점으로 만 들 수 있는 서로 다른 평면의 최대 개수는?
① 19 ② 26 ③ 31
④ 40 ⑤ 46
1 6
입체도형에서의 위치 관계 ①
평면의 결정조건 ② 오른쪽 그림과 같은 정육면
체에서 모서리 BC와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수 를 a, 평행한 모서리의 개수 를 b, 만나는 모서리의 개수
를 c라 할 때, a+b-c의 값을 구하여라.
1 8
A
F
D C
E
B H G
오른쪽 그림과 같은 정육면 체에서 평면 AFH와 만나지 않는 모서리의 개수는?
① 1 ② 2
③ 3 ④ 4
⑤ 5
1 9
A
F
D C
E
B H G 오른쪽 그림과 같은 직육
면체에서 5개의 꼭짓점 A, B, C, F, H를 이용하 여 만들 수 있는 서로 다 른 평면의 개수를 구하여라.
1 4
A
D C
B
E F
H G
공간에서 한 점에서 만나는 서로 다른 세 직선과 그 직선 위에 있지 않은 세 점으로 만들 수 있는 서로 다른 평면의 최대 개수를 구하여라.
1 5
1 공간도형091
▷▶정답과 해설 123쪽
입체도형에서의 위치 관계 ②
오른쪽 그림은 정사각뿔 의 전개도를 나타낸 것 이다. 다음보기에서 이 정사각뿔에 대한 설명으 로 옳은 것만을 있는 대 로 고른 것은?
11
A
D C
B
E F
G H
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 보기
ㄱ. 모서리 AF와 모서리 CG는 만난다.
ㄴ. 모서리 EF와 모서리 DC는 평행하다.
ㄷ. △ABF와 △CGH는 만나는 점이 무수히 많다.
오른쪽 그림과 같은 정사 면체 A-BCD에서 서로 꼬인 위치에 있는 모서리 를 모두 찾아라.
10
AD
C B
다음은 오른쪽 그림과 같 이 한 평면 위에 있지 않 은 네 점 A, B, C, D 를 차례로 이어서 만든 사각형의 각 변의 중점을
각각 E, F, G, H라 할 때, 사각형 EFGH가 임을 증명하는 과정이다.
(가)
위의증명과정에서 안의 (가), (나), (다)`에 들 어갈 알맞은 것을 써넣어라.
12
증명
A
C B
E
F G
H D
삼각형 ABD에서 두 점 E, H는 각각 AB”, AD”
의 중점이므로
EH” // , EH”=;2!; y㉠ㅇ 마찬가지로 삼각형 BCD에서
FG” ” // , FG”=;2!; y㉡ㅇ
㉠, ㉡`에서
// FG”, =FG”
따라서 사각형 EFGH는 (가) 이다.
(다) (다)
(나) (나)
(나) (나)
오른쪽 그림과 같이 AD”=BC”=8인 사면체를 두 모서리 AD, BC에 평행 한 평면으로 자를 때 생기는 단면인 사각형의 둘레의 길 이는?
① 16 ② 17 ③ 18
④ 19 ⑤ 20
15
AD
C B
오른쪽 그림과 같은 사 각뿔에서 삼각형 ABC, 삼각형 ACD, 삼각형 ADE, 삼각형 AEB의 무게중심을 각각 P, Q, R, S라고 하자. 사각형
PQRS의 넓이가 64일 때, 사각형 BCDE의 넓이 를 구하여라.
16
D C E
A
P
Q R
S B 오른쪽 그림과 같은 사면체
에서 △OAB와 △OBC의 무게중심을 각각 G, G'이 라 하자. AC”=6일 때, 선 분 GG'의 길이는?
① 1 ② 2
③ 3 ④ 4
⑤ 5
14
A
O
C
B G G' 오른쪽 그림과 같은 사
면체에서 AC”=10, BD”=12이다. 이 사면 체의네모서리 AB, BC, CD, DA의 중점 을각각 P, Q, R, S라
할 때, 사각형 PQRS의 둘레의 길이를 구하여라.
13
AD
C
P S
Q R
B
1 공간도형093
▷▶정답과 해설 124쪽
Level up
한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 8개의 꼭짓점중에서 3개의 꼭짓점을 선택하여 삼각형을 만들 때, 삼각형의 넓이가 될 수 있는 값은 모두 몇 가지인가?
① 1가지 ② 2가지 ③ 3가지
④ 4가지 ⑤ 5가지
19
오른쪽 그림과 같은 정사 면체를 임의의 평면으로 자를 때, 다음보기에서 나 올 수 있는 모양을 있는 대 로 고른 것은?
18
보기
ㄱ. 이등변삼각형 ㄴ. 정삼각형 ㄷ. 마름모 ㄹ. 평행사변형 ㅁ. 등변사다리꼴
① ㄱ, ㄴ, ㄷ ② ㄱ, ㄴ, ㄹ
③ ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ ④ ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ
A
D
C B
오른쪽 그림과 같은 정사면 체에서 모서리 AB의 중점 을 E, 모서리 BC의 중점을 F라 할 때, 6개의 점 A, B, C, D, E, F로 만들 수 있 는 서로 다른 평면의 개수는?
① 4 ② 5 ③ 6
④ 7 ⑤ 8
17
E
F A
D
C B
오른쪽 그림과 같은 정팔 면체에서 네 모서리 AC, AD, EF, BF의 중점을 각각 P, Q, R, S라 할 때, 다음보기에서 교점이 단 하나 만들어지는 것만을 있는 대로 고른 것은?
20
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
A
D C B
E
F S
R P
Q
보기
ㄱ. 평면 ABFD와 직선 PR ㄴ. 두 직선 CE와 SQ
ㄷ. 세 평면 PQRS, BCDE, ABD
02
직선과 평면의 평행과 수직1 공간도형095
다음 명제 중 옳은 것을 모두 고르면? (정답 2개)
① 한 평면 a에 수직인 두 평면 b, c의 교선 l은 평면 a에 수직이다.
② 두 직선 l, n이 직선 m과 수직이면 직선 l, n 은 서로 평행하다.
③ 두 직선 l, m이 평면 a와 평행하면 직선 l, m 은 서로 평행하다.
④ 두 평면 a, b가 수직일 때, 직선 l이 평면 a와 평행하면 직선 l은 평면 b와 수직이다.
⑤ 한 점 O를 지나는 세 직선 l, m, n 중 임의의 두 직선이 서로 수직이면, 그 두 직선으로 정해
1 2
평면에 의한 공간의 분할
공간에 서로 다른 세 평면 a, b, c가 있다. 두 평면 a, b의 교선, 두 평면 b, c의 교선, 두 평면 c, a의 교선이 모두 평행할 때, 이 세 평면에 의하여 나누어 지는 공간의 영역의 개수는?
① 4 ② 5 ③ 6
④ 7 ⑤ 8
1 3
공간에서 서로 다른 6개의 평면으로 만들 수 있는 교선의 최대 개수는?
① 11 ② 12 ③ 13
④ 14 ⑤ 15
1 4
공간에서 서로 다른 세 평면에 의하여 분할되는 공 간의 최대 개수를 M, 최소 개수를 m이라 할 때, M+m의 값은?
① 10 ② 11 ③ 12
④ 13 ⑤ 14
1 5
직선과 평면의 평행과 수직
Training
유형공간에서 서로 다른 두 직선 l, m과 서로 다른 세 평면 a, b, c에 대하여 다음보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
1 1
보기
ㄱ. l⊥m, m//a이면 l⊥a이다.
ㄴ. a⊥b, b//c이면 a//c이다.
ㄷ. l//a, l//b이면 a//b이다.
ㄹ. l⊥a, a//b이면 l⊥b이다.
① ㄱ ② ㄹ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄱ, ㄹ ⑤ ㄴ, ㄹ
1 공간도형097
삼수선의 정리 ①
∠A'OB=60˘일때, cos(∠AOB)의값을구하여라.
15
1 공간도형099 AB”=2, BC”=3,
∠ABC=90˘인 삼
오른쪽 그림과 같은 정육
1 공간도형101
▷▶정답과 해설 131쪽
공간도형의 넓이와 부피
오른쪽 그림과 같이 AB”=3, AD”=4, BF”=3인 직육면체의
Level up
다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 1인 정사면체
▷▶정답과 해설 134쪽