D>0 D<0 D=0
x
2. 쌍곡선의 접선의 방정식
3 쌍곡선079 쌍곡선 x¤ -4y¤ =16에 대한 다음보기의 설명 중 옳
은 것만을 있는 대로 골라라.
1 2
보기
ㄱ. 직선 x+2y=0과 만나지 않는다.
ㄴ. 직선 x+y+1=0과 한 점에서 만난다.
ㄷ. 직선 x+3y+2=0과 두 점에서 만난다.
다음 중 직선 y=2x+n이 쌍곡선 x¤ -y¤ =2와 교 점을 갖기 위한 n의 값이 될 수 있는 것은?
① -2 ② -1 ③ 1
④ 2 ⑤ 3
1 1
쌍곡선과 직선의 위치 관계 ①
Training
유형쌍곡선 x¤ - =-1과 직선 y=kx-1이 만나지 않도록 하는 정수 k의 최댓값을 M, 최솟값을 m 이라 할 때, M-m의 값은?
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
y¤
1 3
3쌍곡선 - =1이두직선 y= x, y=- x 와 만나지 않도록 a, b의 값을 정할 때, a, b의 관 계로 옳은 것은? (단, a>0, b>0)
① 2a=3b ② 3a=2b ③ 2a…3b
④ 3a…2b ⑤ 2b…3a
3 2 3
2 y¤
b¤
x¤
1 4
a¤쌍곡선 4x¤ -9y¤ =-36과 직선 y=mx+n이 접 하지 않고, 한 점에서 만나기 위한 상수 m, n의 조 건을 구하여라.
1 5
쌍곡선과 직선의 위치 관계 ②
기울기가 주어진 경우 접선의 방정식
쌍곡선 - =-1에 접하고, x축의 양의 방 향과 이루는 각의 크기가 45˘인 접선의 방정식이 y=mx+n일 때, m¤ +n¤ 의 값을 구하여라.
y¤
49 x¤
1 6
36▷▶정답과 해설 109쪽
쌍곡선 - =1에 접하고, 직선 x+y-2=0과 평행한 직선의 방정식을 구하여라.
(y-1)¤
3 (x+1)¤
1 7
7직선 x+3y-4=0에 수직이고, 쌍곡선 x¤ -3y¤ =9 에 접하는 두 직선 사이의 거리를 구하여라.
1 8
두 정점 A(1, 2), B(-2, -1)과 쌍곡선 - =1 위의 임의의 점 P에 대하여 삼각형 PAB의 넓이의 최솟값은?
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
y¤
16 x¤
25
1 9
쌍곡선 4x¤ -y¤ =3 위의 점 (1, -1)에서의 접선 에 수직이고, 점 (2, 1)을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.
10
쌍곡선 - =1 위의 점 (2, 2)에서의 접선 과 두 점근선과의 교점을 A(x¡, y¡), B(x™, y™) 라 할 때, x¡+x™의 값은?
① 4-'2 ② 4 ③ 3+'2
④ 5 ⑤ 4+'2
y¤
4 x¤
11
2접점이 주어진 경우 접선의 방정식
오른쪽 그림과 같이 쌍 곡선 x¤ -y¤ =5 위의 점 A(3, 2)에서의 접 선을 l이라 하고, 두 초 점 F, F'에서 접선 l에 내린 수선의 발을 각각
P, Q라 하자. 이때 FP”¥F’'Q”의 값은?
① 3 ② '1å3 ③ 4
④ 3'2 ⑤ 5
12
x y
O Q
F' F
P A(3, 2)
x™ -y™
=5 l
3 쌍곡선081
▷▶정답과 해설 111쪽
점 P(2, '2)를 지나고, 그 방정식의 꼴이
- =1인 이차곡선은 두 개가 존재한다.
이때 이 두 곡선 위의 점 P에서의 두 접선이 이루는 각의 크기는?
① 30˘ ② 45˘ ③ 60˘
④ 90˘ ⑤ 120˘
y¤
k x¤
4-k
13
쌍곡선 밖의 한 점이 주어진 경우 접선의 방정식 ①
쌍곡선 밖의 점 (a, 1)에서 쌍곡선 x¤ -3y¤ =12 에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 상수 a의 값을 구하여라.
15
점 P(1, 2)에서 쌍곡선 2x¤ -3y¤ =6에 그은 두 접선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 a, b라 할 때, tan a+tan b의 값은?
① -1 ② -2 ③ -3
④ -4 ⑤ -5
14
점 (1, 1)에서 쌍곡선 x¤ -y¤ =9에 그은 두 접선 의 기울기를 m¡, m™라 할 때, 16(m¡¤ +m™¤ )의 값은?
① 40 ② 41 ③ 42
④ 43 ⑤ 44
16
쌍곡선 밖의 한 점이 주어진 경우 접선의 방정식 ②
점 P(0, 1)에서 쌍곡선 -y¤ =1에 그은 두 접 선의 접점을 A, B라 할 때, 삼각형 PAB의 넓이는?
① 2'2 ② 3'2 ③ 4'2
④ 5'2 ⑤ 6'2 x¤
17
4점 (-1, 2)에서 쌍곡선 x¤ -y¤ =3에 그은 두 접 선의 접점을 A, B라 할 때, 선분 AB의 길이는?
① 2'7 ② 2'9 ③ 2'1å0
④ 2'1å1 ⑤ 2'1å3
18
원 x¤ +y¤ =2와 쌍곡선 x¤ -y¤ =4의 공통접선의 방정식을 y=mx+n이라 할 때, 상수 m, n에 대 하여 m¤ +n¤ 의 값은?
① 11 ② 12 ③ 13
④ 14 ⑤ 15
20
직선 y=ax+1과 쌍곡선 3x¤ -y¤ =1이 두 점 A, B에서 만난다. 이때 ∠AOB가 둔각이 되도록 하는 상수 a의 값의 범위는? (단, O는 원점)
① -1<a<1
② a<-1 또는 a>1
③ -'3<a<'3
④ a<-'3 또는 a>'3
⑤ -'3<a<-1 또는 1<a<'3
22
쌍곡선과 원
Level up
▷▶정답과 해설 115쪽
점 P(0, 4)를 중심으로 하는 원 C가 쌍곡선 x¤ -y¤ =-1과 서로 다른 두 점에서 접할 때, 원 C 의 넓이는?
① 5p ② 6p ③ 7p
④ 8p ⑤ 9p
19
좌표평면에서 부등식 x¤ -2y¤ æ4가 나타내는 영역 이 부등식 (x-a)¤ +y¤ …9가 나타내는 영역을 포 함하기 위한 a¤ 의 최솟값은?
① 25 ② 30 ③ 33
④ 36 ⑤ 40
21
자연수 k에 대하여 쌍곡선 - =-1과 직선 y= x+3의 서로 다른 교점의 개수를 a˚라 할 때,
a˚의 값을 구하여라.
¡10 k=1
k 2
y¤
25 x¤
23
4서술형Training083
▷▶정답과 해설 116쪽
서술형 Training
;
한 점 A(-3, 2)를 지나고, x축에 접하는 원의 중심 C의 자취의 방정식을 구하여라. 【5점`】
1
오른쪽 그림과 같이 수심이 10 m로 일정한 바다 위에 어 선 두 대가 그물을 치고 있다.
그물이 포물선 x¤ =4y를 이 루고 있고, 그물의 꼭짓점 부 분과 바닥의 간격이 2 m이
다. 이때 두 어선 사이의 거리를 구하여라. 【5점`】
2
타원 2x¤ +y¤ =6 위의 점과 직선 x-y=7 사이의 거리의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라. 【10점`】
3
쌍곡선 - =1의
두 초점을 F, F'이라 하 고, 꼭짓점이 아닌 쌍곡 선 위의 한 점 P와 원점 에 대하여 대칭인 점을 Q
라 하자. 사각형 F'QFP의 넓이가 24가 되는 점 P 의 좌표를 P(a, b)라 할 때, |a|+|b|의 값을 구하
여라. 【10점`】
y¤
4 x¤
4
5x y
F Q
P(a, b)
F' O
- =1 x™
5 y™ 2 m 4
플러스 수능 문제
▷▶정답과 해설 118쪽오른쪽 그림과 같은 원뿔에서 어느 모선과도 평행하지 않은 평면으로 원뿔을 자른 단면은 타원 또는 타원의 일부이다. 이 때 원뿔과 자른 평면에 꼭 맞게 두 개의 구를 평면의 아래, 위 에 각각 넣으면 두 구와 자른 평면의 접점이 타원의 초점이
된다. AB”=2, AC”=5일 때, 타원의 장축의 길이는?
(단, 두 점 B, C는 타원에 접하는 두 개의 구와 원뿔 이 접하는 접점이다.)
① 2 ② 3 ③ 4
④ 5 ⑤ 6
3
A2 B 5
C 세 집합
A={(x, y)|8x¤ +4y¤ …32}
B={(x, y)|x¤ -y¤ <1}
C={(x, y)|y>-|x|}
에 대하여 순서쌍 (x, y)가 집합 A;(B;C)Ç 의 원소일 때, 2y-x의 최댓값은?
①'2+'3 ② '2+2'3
③ 2'2+'3 ④ '2+3'3
⑤ 3'2+'3
1
y축 위에 점 A(0, 1)이 있다. 이때 x축 위를 움직이 는 점 P를 지나면서 y축에 평행한 직선 위에
AP”+PQ”=2를 만족하는 점 Q가 그리는 자취의 개 형은?
① ②
③ ④
⑤
x y
O
x y
x O y
O
x y
x O y
O
2
쌍곡선 x¤ -y¤ =1 위의 제1 사분면 위의 점 P(x¡, y¡) 에서의 접선과 두 점근선 y=x, y=-x가 만나는 점 을 각각 A, B라 하자. 이때 삼각형 AOB의 넓이를 S¡, 점 P에서 점근선 y=x에 내린 수선의 발을 H, 삼각형 AHP의 넓이를 S™라 할 때, S¡ : S™는?
① 2 : 1 ② 3 : 1 ③ 4 : 1
④ 5 : 1 ⑤ 6 : 1
4
플러스수능문제085