02 벡터의 덧셈과 뺄셈
11thufri sat
16
다음 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 P, Q가 각 각 두 영역{(x, y)||x|…4, |y|=4 또는 |x|=4, |y|…4}
{(x, y)||x|+|y|…1}
위를 움직이고 있다. 이때 OR≥=OP≥+OQ≥를 만족 하는 점 R가 존재하는 영역의 넓이를 구하여라.
x y
O Q
P 1
4
-4
-4 1 4 -1
-1
03
벡터의 실수배와 평행 조건1 벡터의 실수배
임의의 실수 k와 벡터 a¯의 곱 ka¯를 벡터 a¯의 실 수배라 하고 다음과 같이 정의한다.
⑴a¯+0¯일 때, 실수 k에 대하여
① k>0이면 ka¯는 a¯와 방향이 같고, 크기가 k|a¯|인 벡터이다.
② k<0이면 ka¯는 a¯와 방향이 반대이고, 크기 가 |k||a¯|인 벡터이다.
③ k=0이면 ka¯=0¯이다.
⑵a¯=0¯일 때, 실수 k에 대하여 ka¯=0¯이다.
2 벡터의 실수배에 대한 성질
실수 k, l과 두 벡터 a¯, b¯에 대하여
⑴ 결합법칙：k(la¯)=(kl)a¯
⑵ 분배법칙：(k+l)a¯=ka¯+la¯
k(a¯+b¯)=ka¯+kb¯
3 벡터의 평행
⑴ 두 벡터의 평행
영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯가 방향이 같거나 또 는 반대일 때, a¯와 b¯는 서로 평행하다고 하고, 기호로 다음과 같이 나타낸다.
a¯ // b¯
⑵ 두 벡터의 평행 조건
영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯와 0이 아닌 실수 k 에 대하여
a¯ // b¯ HHjjKK b¯=ka¯
⑶ 세 점이 한 직선 위에 있을 조건
서로 다른 네 점 O, A, B, C와 0이 아닌 실수 k에 대하여
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 존재 HHjjKK AC≥=kAB≥
HHjjKK OC≥=kOB≥+(1-k)OA≥
개념편 189쪽 개념
Check
세 벡터 a¯, b¯, c¯가 오른쪽 그림과 같을 때, c¯=ta¯+sb¯가 성립하도 록 하는 실수 t, s에 대하여 t+s 의 값을 구하여라.
0 2
a b
c 두 벡터 a¯, b¯가 오른쪽 그림과
같을 때, 다음 벡터를 그림으로 나타내어라.
⑴ a¯+3b¯ ⑵ a¯+b¯
⑶ a¯-3b¯ ⑷ 1a¯-b¯
2 1 2
0 1
a b
중요 중요
1 벡터와그연산141
▷▶정답과 해설 172쪽
다음을 간단히 하여라.
⑴ 3(a¯+b¯)+2(2a¯-b¯)
⑵ 5(-a¯+b¯+2c¯)-3(a¯-c¯)
0 3
다음 등식을 만족하는 벡터 x¯를 a¯, b¯로 나타내어라.
⑴ 4x¯-3a¯=2b¯+2x¯
⑵ 3(x¯+a¯-2b¯)=2(3b¯-x¯)
0 4
영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯가 서로 평행하지 않을 때 (a¯+b¯)m+nb¯-a¯=0¯
를 만족하는 실수 m, n의 값을 각각 구하여라.
0 6
서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯에 대하여 ka¯+2b¯와 2a¯-b¯가 평행할 때, 실수 k의 값을 구하여라.
0 5
Training
유형평면도형에서의 벡터의 연산
오른쪽 그림과 같은 정육각 형에서 AB≥=a¯, AD≥=b¯라 할 때, FD≥를 a¯, b¯로 나타 낸 것은?
① ;3!; a¯+b¯ ② ;2!; a¯+2b¯ ③ a¯+;2!; b¯
④ a¯+;3!; b¯ ⑤ 2a¯+;2!; b¯
1 2
AD B
F
C
E a b
오른쪽 그림과 같이 AD” // BC”, BC”=2AD”
인 사다리꼴 ABCD에
서 AB≥=a¯, AD≥=b¯라 할 때, BD≥+AC≥를 a¯, b¯
로 나타낸 것은?
① 2a¯+2b¯ ② 3a¯ ③ 3b¯
④ 3a¯-b¯ ⑤ 3a¯+3b¯
1 3
A DC B
b a 오른쪽 그림과 같은 평 행사변형 ABCD에서 점 O는 두 대각선의 교 점이고 AE”=3BE”이
다. AB≥=a¯, BC≥=b¯라 할 때, 다음보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
1 1
AO
D
B E
F
b C a
보기
ㄱ. CF≥=-;4#;a¯ ㄴ. O’A≥=-;2!;a¯-;2!;b¯
ㄷ. OF≥=-;4!;a¯+;2!;b¯
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
오른쪽 그림과 같은 정 팔면체에서
OA≥=a¯, OB≥=b¯
OC≥=c¯, OD≥=d¯
1 9
O AB≥=a¯, AD≥=b¯, AE≥=c¯라 할 때, 다음보기에서 옳은
1 벡터와그연산143 AB≥=a¯, AD≥=b¯, AE≥=c¯라 할 때, | a¯+ b¯+c¯|의 값 O’A≥=a¯, OB≥=b¯, OC≥=c¯
라 할 때, M’N≥을 a¯, b¯, c¯
벡터의 실수배에 대한 연산
x¯=7a¯-3b¯, y¯=-2a¯+5b¯일 때, 2(x¯-y¯)+3y¯
를 두 벡터 a¯, b¯로 나타낸 것은?
① 11a¯-b¯ ② 12a¯-b¯ ③ 12a¯+b¯
④ 13a¯-b¯ ⑤ 13a¯+b¯
16
등식 3x¯+y¯=a¯-3b¯, 2x¯-3y¯=8a¯-2b¯를 만족하 는 두 벡터 x¯, y¯에 대하여 x¯+y¯=ka¯+lb¯가 성립 할 때, 두 실수 k, l의 합 k+l의 값을 구하여라.
17
등식 (a¯-3b¯)=2b¯- a¯를 만족하는 두 벡터
a¯, b¯에 대하여 의 값은? (단, a¯+0¯)
① ② ③ 1
④ 2 ⑤ 3
1 2 1
3
|b¯|
|a¯|
2 3 1
18
3두 벡터가 서로 같을 조건
오른쪽 그림과 같이 가 로로 6개의 평행선과 세로로 7개의 평행선이 일정한 간격으로 놓여
있다. 이 도형 위의 네 점 O, P, Q, R에 대하여 OQ≥=t OP≥+s OR≥를 만족할 때, 실수 t, s에 대하 여 t-s의 값은?
① -1 ② 0 ③
④ 1 ⑤ 3
2
1 2
21
P O Q
R 영벡터가아닌두벡터 x¯, y¯가서로평행하지않을때
px¯+2qy¯=(2x¯+y¯)p+(x¯+y¯)q+3x¯+y¯
를 만족하는 실수 p, q에 대하여 p+q의 값을 구 하여라.
19
영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯가 서로 평행하지 않을 때, OA≥=a¯, OB≥=b¯, OC≥=2a¯+kb¯이다. 실수 m에 대하여 mAB≥=2AC≥일 때, 실수 k의 값을 구 하여라.
20
1 벡터와그연산145
▷▶정답과 해설 176쪽
벡터의 평행 세 점이 한 직선 위에 있을 조건
세 벡터 a¯, b¯, c¯에 대하여 c¯=3a¯+2b¯일 때, 다음 보기에서 a¯+b¯와 평행한 벡터만을 있는 대로 고른 것은? (단, a¯+0¯, b¯+0¯, a¯∦b¯)
23
보기
ㄱ. a¯+c¯ ㄴ. a¯-c¯
ㄷ. b¯+c¯ ㄹ. b¯-c¯
① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄹ ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄴ, ㄹ ⑤ ㄷ, ㄹ 세 벡터
a¯=p¯+2q¯, b¯=2p¯-q¯, c¯=4p¯+kq¯
에 대하여 a¯+b¯와 b¯+c¯가 서로 평행하도록 하는 실수 k의 값을 구하여라. (단, p¯+0¯, q¯+0¯, p¯∦q¯)
22
영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯가 서로 평행하지 않을 때, 2a¯+3y¯=ta¯+3b¯, 5x¯+y¯=-3a¯-b¯를 만족하 는 두 벡터 x¯, y¯가 평행하기 위한 실수 t의 값을 구 하여라.
24
네 점 O, A, B, C에 대하여
OA≥=3a¯+b¯, OB≥=a¯-b¯, OC≥=ka¯+3b¯
일 때, 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있도록 하는 실수 k의 값을 구하여라. (단, a¯+0¯, b¯+0¯, a¯∦b¯)
25
세 점 O, A, B에 대하여 O’A≥=a¯, OB≥=b¯일 때, 다음 조건을 만족하는 세 점 C, D, E 중 항상 직 선 AB 위의 점인 것을 있는 대로 고른 것은?
(단, a¯+0¯, b¯+0¯, a¯∦b¯)
26
OC≥=3a¯-2b¯, OD≥=2a¯-3b¯, OE≥=4a¯-3b¯
① C ② D ③ C, D
④ C, E ⑤ D, E
직선 l 위의 서로 다른 세 점 A, B, C와 직선 l 밖의 한 점 O에 대하여
OC≥=x OA≥+y OB≥
일때, x¤ +y¤ 의최솟값을구하여라.
(단, x, y는실수)
27
세 점이 한 직선 위에 있을 조건의 활용
삼각형 OAB의 변 OA를 1 : 2로 내분하는 점을 P, 변 OB를 3 : 2로 내분하는 점을 Q라 하고, 선 분 AQ와 선분 BP의 교점을 R라 한다. O’A≥=a¯, OB≥=b¯라 할 때, OR≥를 a¯, b¯로 나타내어라.
|a¯+b¯+c¯|
31
오른쪽 그림과 같은 단위원 에서 선분 OA와 선분 OB 는 각각 원의 반지름이고 OA”⊥OB”이다. 선분 OC가
∠AOB의 이등분선이고,
O’A≥=a¯, OB≥=b¯, OC≥=c¯라 할 때, a¯+b¯+c¯를 c¯
로 나타내고, |a¯+b¯+c¯|의 값을 구하여라.
29
O A 45˘
B C b
a c 좌표평면 위의 두 점 A, B와 원점 O에 대하여 A, B, O가 한 직선 위에 있지 않을 때, 두 실수 x, y에 대하여 OP≥=OA≥+OB≥, OQ≥=xOA≥, OR≥=yOB≥를 만족하는 세 점 P, Q, R가 한 직선 위에 있기 위한 조건은?
① xy-2x-2y=0 ② 2xy-x-y=0
③ xy-x-y=4 ④ xy-x-y=2
⑤ xy-x-y=0
28
오른쪽 그림과 같은 평행사변형 ABCD에서 대각선 AC의 중점을 M이라 할 때, 다음은
세 점 B, M, D가 한 직선 위에 있음을 증명하는 과정이다.
30
A DB C
M
증명
AB≥=a¯, AD≥=b¯라 하면
=-a¯+b¯
이때 AC≥=AB≥+BC≥=a¯+b¯이므로 A’M≥=;2!;AC≥=;2!;(a¯+b¯)
∴ =BA≥+A’M≥=-a¯+;2!;(a¯+b¯)
∴ =;2!;(-a¯+b¯)=;2!;
∴ =2
따라서 세 점 B, M, D는 한 직선 위에 있다.
(나) (가)
(가) (나)
(가)
위의증명과정에서 안의 (가), (나)에 들어갈 알맞은 것을 차례로 적은 것은?
① BD≥, B’M≥ ② BD≥, M’B≥ ③ DB≥, B’M≥
④ DB≥, M’B≥ ⑤ DB≥, M’D≥
1 벡터와그연산147
▷▶정답과 해설 177쪽
오른쪽 그림과 같은 평 행사변형 ABCD에서 점 P는 AB”의 중점이 고 점 Q는 DB”를
m：1로내분하는점일때, 상수 m의 값을구하여라.
32
B C
D P Q
A 간격이 같은 모눈종이 위의 두 벡터 a¯, b¯와 네 벡터 p¯, q¯, r¯, s¯가 다음 그림과 같을 때, 네 벡터 p¯, q¯, r¯, s¯ 중 집합
C={ c¯|c¯=ma¯+nb¯, mn<0, m, n은 실수}
의 원소가 될 수 있는 것을 있는 대로 고른 것은?
35
a q r
b p s
① p¯, q¯ ② p¯, r¯ ③ q¯, r¯
④ p¯, q¯, s¯ ⑤ q¯, r¯, s¯
Level up
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정삼각형 ABC 에서 AB≥=a¯, BC≥=b¯, CA≥=c¯라 할 때, a¯-b¯+2c¯
의 크기를 구하여라.
33
AB C
c
b a
오른쪽 그림에서 직선 y=-x+3 위의 점 A에 대하여
OB≥=
의 종점 B가 나타내는 도 형의 길이를 구하여라.
OA≥
|OA≥|
36
x y
y=-x+3
O 3
3 A
다음 그림은 모든 모서리의 길이가 2인 두 개의 정 사각뿔 O-ABCD, O'-DCEF가 모서리 CD를 공유한 것이다. |OB≥+OF≥|¤ 의 값을 구하여라.
(단, 면 ABCD와 면 DCEF는 한 평면 위에 있다.)
C E
O O'
D F
A B
34
보기
ㄱ. a=b일 때, 배 A에서 바라본 배 B의 방향은 서쪽이다.
ㄴ. a>b일 때, 배 B에서 바라본 배 A의 방향은 북쪽과 서쪽 사이이다.
ㄷ. a= =10일 때, 배 B에서 바라본 배 A의 속력은 20 m/초이다.
b 2
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
오른쪽 그림과 같이 비 스듬한 벽면의 A, B 두 지점에 고리를 달고 끈을 연결하여 1 kg의 물체를 걸어 두었다.
∠APB=120˘이고 PB”는 지면과 평행할
때, A 지점의 고리에 작용하는 힘의 크기를 구하여 라. (단, 중력가속도는 10 m/초¤ 으로 계산한다.)
0 3
120˘
P A
B 1 kg 오른쪽 그림과 같이 한 지점
O에서 서로 수직을 이루며 각각 북동쪽으로 a m/초, 북서쪽으로 b m/초의 속력
으로 가는 두 배 A, B가 있다. 두 배에 대한 다음 보기의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, 강물의 속력은 무시한다.)
0 2
B AO 동
서
b m/초 북a m/초
벡터의 실생활에의 활용
Training
유형수영장에서 40 m/분의 속력으로 헤엄칠 수 있는 수 민이가 폭이 100 m이고 10 m/분의 속력으로 흐르 는강을헤엄쳐건너가보기로하였다.
다음 그림과 같이 수민이가 강변에 수직인 방향으로 헤엄친다고 할 때, 다음 물음에 답하여라.
⑴ 강에서의 수민이의 실제 수영 속력을 구하여라.
⑵ 수민이가 실제로 헤엄치는 방향과 직선 AB가 이루는 각의 크기를 h라 할 때, tan h의 값을 구 하여라.
⑶ 수민이가 도착하게 되는 지점은 B지점에서 얼마 나 떨어진 곳인지 구하여라. 또 수민이가 실제로 헤엄친 거리를 구하여라.
⑷ 수민이가 강 건너편까지 헤엄치는 데 걸린 시간 을 구하여라.
40 m/분
100 m A 10 m/분B
0 1
▷▶정답과 해설 180쪽
※ 실생활 문제
2 벡터의성분과내적149