유형편

(1)

Ⅰ.통계

유 형 편

파워

유형편 ^파워

1 ^{자료의 정리}

유형 1~3 ^{P. 6~7}

1④ 2④ 35명 4157 cm 5 40 % 6높은 편 725 % 85 kg, 5개

945 kg 이상 50 kg 미만 1022명 11 ⑤ 12 7명 13 35세 14 600, 과정은 풀이 참조

④ 줄기가 5이고 잎이 2인 변량이 2개이므로 기록이 52 m 인 학생은 2명이다.

④ 제기차기를 가장 많이 한 학생의 횟수는 34회, 가장 적게 한 학생의 횟수는 2회이므로 두 학생의 횟수의 차는 34-2=32(회)

성수보다 키가 작은 학생은 134 cm, 138 cm, 141 cm, 143 cm, 144 cm의 5명이다.

키가 큰 학생의 키부터 차례로 나열하면 167 cm, 162 cm, 161 cm, 160 cm, 158 cm, 157 cm, y이므로 키가 큰 쪽 에서 6번째인 학생의 키는 157 cm이다.

성수네 반 전체 학생 수는 20명이고, 키가 150 cm 미만인 학생 수는 8명이므로 전체의 _100=40 (%)이다.

점수가 85점인 학생은 점수가 낮은 쪽에서 12번째, 높은 쪽 에서 9번째이므로 점수가 높은 편이다.

미진이네 반 전체 학생 수는 20명이고, 성적이 90점 이상인 학생은 남학생이 2명, 여학생이 3명이므로 전체의

_100=25(%)이다.

계급의 크기는 40-35=45-40=y=60-55=5(kg) 이고, 계급의 개수는 35^이상~40^미만, 40~45, y, 55~60의 5개이다.

도수가 가장 큰 계급은 도수가 17명인 계급이므로 45 kg 이상 50 kg 미만이다.

몸무게가 50 kg 이상 55 kg 미만인 학생이 13명, 55 kg 이 상 60 kg 미만인 학생이 9명이므로 50 kg 이상인 학생은 13+9=22(명)이다.

① A=30-(1+6+9+7+2)=5

② 15-10=20-15=y=40-35=5(분)

11 10 9 8

2+3 20

7 6

8 20

5 4 3 2 1

③ 10^이상~15^미만, 15~20, y, 35~40의 6개

④ 1+6=7(명)

⑤ 점심 식사 시간이 가장 짧은 학생의 식사 시간은 정확하게 알 수 없다.

따라서 옳지 않은 것은 ⑤`이다.

계급값이 25세인 계급은 20세 이상 30세 미만이므로 이 계 급의 도수는 7명이다.

나이가 32세인 손님이 속하는 계급은 30세 이상 40세 미만 이므로

(계급값)= =35(세)

우유의 양이 300 mL 이상 450 mL 미만인 계급의 도수는

40-(1+4+14+8+3)=10(명) y`⁄

따라서 도수가 가장 큰 계급은 450 mL 이상 600 mL 미만 이므로

a= =525 y`¤

도수가 가장 작은 계급은 0 mL 이상 150 mL 미만이므로

b= =75 y`‹

∴ a+b=525+75=600 y`›

0+150 2 450+600

2

14

30+40 2

13

12

유형 4~7 ^{P. 8~10}

1③ 2 25 3④ 432 % 5⑤ 69 73.55 kg 864점 926.6시간 105 11표는 풀이 참조, 16.7초 12 55분 13 12회 14 4 15 7개 16 24분, 과정은 풀이 참조

계급의 크기가 10 m이고, 계급값이 45 m이므로 구하는 계 급은 {45- } m 이상 {45+ } m 미만이다.

즉, 40 m 이상 50 m 미만이다.

10 2 10

2

1

¤ a의 값 구하기

‹ b의 값 구하기

› a+b의 값 구하기

20%

30%

채점 기준 배점

⁄ 우유의 양이 300 mL 이상 450 mL 미만인 계급의

도수 구하기 30%

(2)

∴ (평균)= =16.7(초)

(평균)=

= =55(분)

이용 횟수가 16회 이상 20회 미만인 학생 수는 22-(1+3+6+8)=4(명)

∴ (평균)=

= =12(회)

전체 학생 수는 2+x+5+2+3=x+12(명)이고, 실기 점 수의 평균이 15점이므로

15_(x+12)=3_2+9_x+15_5+21_2+27_3 15x+180=9x+204

6x=24 ∴ x=4

반 전체 학생 수가 30명이므로 전체의 40 %에 속하는 학생 수는 30_ =12(명)

이때 펜의 수가 5개 이상인 학생이 7+4+1=12(명)이므로 펜의 수가 많은 쪽에서 40 % 이내에 속하는 학생들의 평균은 (평균)=

= =7(개)

운동 시간이 25분 이상 35분 미만인 학생이 전체의 20 %이 므로 이 계급에 속하는 학생 수는

30_ =6(명) y`⁄

운동 시간이 15분 이상 25분 미만인 학생 수는

30-(8+6+4+2)=10(명)이므로 y`¤

(평균)=

=720=24(분) y`‹

30

10_8+20_10+30_6+40_4+50_2 30

20 100

16

84 12

6_7+8_4+10_1 12 40 100

15

14

264 22

2_1+6_3+10_6+14_8+18_4 22

13

1100 20

10_1+30_4+50_6+70_7+90_2

12

20

334 20

11

정답과해설_ 유형편파워

달리기 기록(초)

합계 20 334

11^이상~13^미만 13^이상~15^미만 15^이상~17^미만 17^이상~19^미만 19^이상~21^미만

2 2 6 7 3

12_2=241 14_2=281 16_6=961 18_7=126 20_3=601 도수(명) 계급값(초) (계급값)_(도수)

=12

=14

=16

=18 19+21=20

2 17+19

2 15+17

2 13+15

2 11+13

2

a=12.5- =10, b=12.5+ =15이므로 a+b=10+15=25

24- …x<24+ 이므로 이 도수분포표의 계급은 y, 22 이상 26 미만, 26 이상 30 미만, 30 이상 34 미만, y 따라서 변량 30이 속하는 계급은 30 이상 34 미만이므로 이 계급의 계급값은 =32

봉사 활동을 8시간 이상 12시간 미만으로 한 학생은 8명이 므로 전체의 _100=32 (%)이다.

봉사 활동을 12시간 이상으로 한 학생은 5+2=7(명)이므로 전체의 _100=28 (%)이다.

점수가 85점 미만인 학생이 전체의 55 %이므로 85점 미만인 학생은 40_ =22(명) 따라서 1+A+12=22이므로 A=9

(평균)=

=

=3.55 (kg)

A반의 학생 수는 30명, B반의 학생 수는 20명이므로 (A, B 두 반의 전체 학생 수)=30+20=50(명) (A반의 총점)=30_60=1800(점)

(B반의 총점)=20_70=1400(점)

∴ (평균)=

= =64(점)

(평균)=

= =26.6(시간)

전체 학생 수는 5+4+6=15(명)이고, 줄넘기 횟수의 평균 이 45회이므로 줄넘기 횟수의 총합은 45_15=675(회)이다.

따라서

31+32+35+y+(50+ )+55+56+57+58=675 670+ =675

∴ =5

10

399 15

12+15+16+y+37+39+41

9

15

3200 50 1800+1400

50

8

21.3 6

3.2+4.6+2.1+5.3+3.4+2.7

7

6

55 100

6

7 25

5

8 25

4

30+34 2 4 2 4

3

2

5 2 5

2

(3)

유 형 편

파워

Ⅰ.통계

영수네 반 전체 학생 수는 4+6+8+4+2+1=25(명)

도수가 가장 큰 계급은 60분 이상 70분 미만이므로 (계급값)= =65(분)

효진이네 반 전체 학생 수는

1+2+4+7+5+1=20(명) y`⁄

방문 횟수가 10회 이상인 학생은 5+1=6(명)이므로 y`¤

전체의 _100=30 (%)이다. y`‹

① 직사각형의 개수가 6개이므로 계급의 개수도 6개이다.

② 2+8+12+14+10+4=50(명)

③ 수면 시간이 짧은 쪽에서부터 도수를 차례로 더하여 그 합 이 처음으로 6명 이상이 되는 계급은 5시간 이상 6시간 미만이므로

(계급값)= =5.5(시간)

④ 도수가 가장 큰 계급은 7시간 이상 8시간 미만이므로 (계급값)= =7.5(시간)

⑤ 수면 시간이 7시간 미만인 학생은 2+8+12=22(명)이 므로 전체의 _100=44 (%)이다.

따라서 옳지 않은 것은 ①, ⑤`이다.

히스토그램에서 각 직사각형의 가로의 길이는 계급의 크기로 모두 같으므로 직사각형의 넓이는 직사각형의 세로의 길이, 즉 도수에 정비례한다.

따라서 60점 이상 70점 미만인 계급의 직사각형의 넓이는 80점 이상 90점 미만인 계급의 직사각형의 넓이의

= (배)이다.

전체 학생 수는 4+6+8+4+2=24(명)이므로 성적이 상위 25 % 이내에 속하는 학생은 24_ =6(명)

즉, 상위 25 % 이내에 속하려면 성적이 좋은 쪽에서 6번째 이내에 들어야 한다.

따라서 성적이 90점 이상인 학생은 2명, 80점 이상인 학생 은 4+2=6(명)이므로 성적이 상위 25 % 이내에 속하려면 최소 80점 이상의 점수를 받아야 한다.

25 100

12

3 2 6 4

11

22 50 7+8 2 5+6

2

10

6 20

9

60+70 2

8

7

계급의 크기는 70-65=75-70=y=90-85=5(회) A=30-(1+5+12+8)=4

도수가 가장 큰 계급은 75회 이상 80회 미만이므로 (계급값)= =77.5(회)

(평균)=

= =79(회)

① 계급의 크기는 17-15=19-17=y=27-25=2(세)로 모두 같다.

② 계급의 개수는 15^이상~17^미만, 17~19, y, 25~27의 6개 이다.

③ 나이가 23세 이상인 관람객은 6+2=8(명)이므로 전체의 _100=16 (%)이다.

④ 나이가 적은 쪽에서부터 도수를 차례로 더하여 그 합이 처 음으로 9명 이상이 되는 계급은 17세 이상 19세 미만이 다.

⑤ 나이가 23세 이상 25세 미만인 관람객 수는 6명, 25세 이상 27세 미만인 관람객 수는 2명이므로 나이가 23세 이상인 관람객의 나이의 평균은

(평균)=

= =24.5(세) 따라서 옳지 않은 것은 ④, ⑤`이다.

계급값이 55분인 계급은 50분 이상 60분 미만이므로 이 계급의 도수는 6명이다.

6

196 8

24_6+26_2 8 8 50

5

2370 30

67.5_1+72.5_5+77.5_12+82.5_8+87.5_4

4

30

75+80 2

3 2 1

⁄ 운동 시간이 25분 이상 35분 미만인 학생 수 구하기

¤ 운동 시간이 15분 이상 25분 미만인 학생 수 구하기

‹ 운동 시간의 평균 구하기

30%

40%

⁄ 전체 학생 수 구하기

¤ 방문 횟수가 10회 이상인 학생 수 구하기

‹ 전체의 몇 %인지 구하기

30%

40%

한번더연습~ 유형 8 ^{P. 10~11}

15회 24 377.5회 4 79회 5④, ⑤ 6 6명 725명 865분 930%, 과정은 풀이 참조 10①, ⑤ 11 3배 12 ④

2

(4)

유형 9~10 ^{P. 12~13} 1③ 2과정은 풀이 참조 ⑴ 21명 ⑵ 11명 3 34초

4 50명 5④ 6④ 7④ 8③ 9④, ⑤

10② 1135

32-(2+7+9+4)=10(명)

⑴ 40-(1+3+5+6+4)=21(명) y`⁄

⑵ 앉은키가 85 cm 이상인 학생은

40_ =20(명)이므로 y`¤

앉은키가 85 cm 이상 90 cm 미만인 학생은

20-(6+4)=10(명) y`‹

따라서 앉은키가 80 cm 이상 85 cm 미만인 학생 수는

21-10=11(명) y`›

도수가 7명인 계급은 32초 이상 36초 미만이므로 (계급값)= =34(초)

수영반 전체 학생 수는

3+7+10+11+10+6+3=50(명)

① 50^이상~60^미만, 60~70, y, 90~100의 5개

② 2+7+15+9+7=40(명)

③ 2+7+15=24(명)

④ 도수가 15명인 계급은 70점 이상 80점 미만이므로 (계급값)= =75(점)

⑤ 국어 점수가 높은 쪽에서부터 도수를 차례로 더하여 그 합 이 처음으로 10명 이상이 되는 계급은 80점 이상 90점 미만이다.

따라서 옳은 것은 ④이다.

도서관을 많이 이용한 쪽에서부터 도수를 차례로 더하여 그 합 이 처음으로 5명 이상인 계급은 15회 이상 18회 미만이므로 (계급값)= =16.5(회)

유란이네 반 전체 학생 수는 2+6+12+10+4+2=36(명)

이용 횟수가 6회 이상 12회 미만인 학생은 6+12=18(명)

따라서 전체의 18_100=50 (%)이다.

36

7

15+18 2

6

70+80 2

5

4

32+36 2

3

50 100

2

1

유형 11 ~ ^{틀리기 쉬운 유형} ^{P. 14~15} 171점 252점 37.3회, 과정은 풀이 참조 49명 540 % 6⑴ 7명 ⑵ 32 % 7⑤ 8④ 9② 10④ 11ㄴ, ㄷ, ㅁ

(평균)=

= =71(점)

(평균)= = =52(점)

(평균)= y`⁄

=146=7.3(회) y`¤

20

3_1+5_5+7_7+9_4+11_3 1+5+7+4+3

3

520 10 45_3+55_7

2

3+7

2840 40

45_3+55_7+65_10+75_8+85_7+95_5 3+7+10+8+7+5

1

색칠한 두 삼각형은 밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로 넓이도 같다. ∴ S¡=S™

③ 도수가 가장 작은 계급은 90점 이상 100점 미만이므로

③ (계급값)= =95(점)

④ 3+5+11+8+2+1=30(명)

⑤ (히스토그램의 각 직사각형의 넓이의 합)

③ =(도수분포다각형과가로축으로둘러싸인부분의넓이) 즉, ㈎의 색칠한 부분의 넓이와 ㈏의 색칠한 부분의 넓이는 서로같다.

(도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이)

=(히스토그램의 각 직사각형의 넓이의 합)

=(계급의 크기)_(도수의 총합)

=1_(2+4+7+8+5+3+1)

=1_30=30

(도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이)

=(히스토그램의 각 직사각형의 넓이의 합)

=5_(a+b+c+d+e+f)=175

∴ a+b+c+d+e+f=35

11

10

90+100 2

9

8

⁄ 앉은키가 80 cm 이상 90 cm 미만인 학생 수 구하기

¤ 앉은키가 85 cm 이상인 학생 수 구하기

‹ 앉은키가 85 cm 이상 90 cm 미만인 학생 수 구하기

› 앉은키가 80 cm 이상 85 cm 미만인 학생 수 구하기 30%

30%

10%

⁄ 턱걸이 횟수의 평균을 구하는 식 세우기

¤ 턱걸이 횟수의 평균 구하기

60%

40%

(5)

야구부 학생 중 운동 시간이 60분 이상인 학생의 비율은

=0.8

농구부 학생 중 운동 시간이 60분 이상인 학생의 비율은

=0.72

따라서 운동 시간이 60분 이상인 학생의 비율은 야구부 학생 이 농구부 학생보다 더 높다.

전체 학생 수는 2+4+10+13+14+12+5=60(명)이고 호흡수가 18회 이상 20회 미만인 학생은 12명이므로 이 계급 의 상대도수는 12=0.2이다.

60

2

18 25 24 30

1 유 형 편

파워

Ⅰ.통계

유형 14~16 ^{P. 16~17}

1야구부 2 0.2 30.6, 과정은 풀이 참조 4③ 540명 6 15, 과정은 풀이 참조

7 A=0.1, B=4, C=5, D=0.25, E=1 80.3 9 ④ 10⑤ 11④ 12 0.25 13 41.5점 양팔을 벌린 길이가 160 cm 이상 170 cm 미만인 학생은

30-(3+4+11+3)=9(명)

양팔을 벌린 길이가 160 cm 이상인 학생은 9+3=12(명) 이므로 전체의 _100=40 (%)이다.

⑴ 성적이 60점 이상 70점 미만인 계급의 도수가 10명이므 로 80점 이상 90점 미만인 계급의 도수는

10_ =5(명)

따라서 성적이 80점 이상인 학생 수는 5+2=7(명)

⑵ 성적이 70점 이상 80점 미만인 학생 수는 50-(5+8+11+10+5+2)=9(명)이므로

성적이 70점 이상인 학생 수는 9+5+2=16(명)이다.

따라서 성적이 70점인 학생은 상위 _100=32 (%) 이내에 속한다.

① 남학생 수는

4+5+11+8+2=30(명), 여학생 수는

5+9+7+6+3=30(명)

이므로 남학생 수와 여학생 수는 서로 같다.

② 기록이 30 m 이상 35 m 미만인 계급에 속하는 학생은 남학생이 5명, 여학생이 7명이므로 모두 5+7=12(명) 이다.

③ 계급의 크기가 같고, 남학생 수와 여학생 수가 같으므로 각 도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 5_30=150으로 서로 같다.

④ 기록이 45 m 이상 50 m 미만인 계급에 속하는 학생은 모두 남학생이므로 기록이 가장 좋은 학생은 남학생이다.

⑤ 남학생의 그래프가 여학생의 그래프보다 오른쪽으로 더 치우쳐 있으므로 기록이 좋은 학생은 남학생이 여학생보 다 상대적으로 더 많다고 할 수 있다.

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

① A반의 그래프에서 도수가 가장 큰 계급은 60점 이상 70 점 미만이므로

(계급값)= =65(점)

② 90점 이상 100점 미만인 계급에 속하는 B반 학생은 3 명, A반 학생은 1명인 것은 알 수 있지만 가장 점수가 높 은 학생이 B반 학생인지는 알 수 없다.

③ A반 학생 수는

4+7+5+3+1=20(명), B반 학생 수는

2+3+4+8+3=20(명)

이므로 A반 학생 수와 B반 학생 수는 서로 같다.

60+70 2

8

7

16 50 1

2

6

12 30

5

4

④ B반 학생의 그래프가 A반 학생의 그래프보다 오른쪽으

로 더 치우쳐 있으므로 미술 점수가 높은 학생은 B반이 A반보다 상대적으로 더 많다고 할 수 있다.

⑤ 두 반의 전체 학생 수는 20+20=40(명)이고,

성적이 90점 이상 100점 미만인 학생은 3+1=4(명)이 므로 전체의 _100=10 (%)이다.

따라서 옳은 것은 ④`이다.

② 계급의 크기는 변량을 일정한 간격으로 나눈 구간의 너비 이다.

① 줄기와 잎 그림에서 줄기에는 중복되는 수를 한 번만 쓰 고, 잎에는 중복되는 수를 모두 써야 한다.

② 계급의 개수가 5~15개 정도가 되도록 계급의 크기를 적 당하고 동일하게 정한다.

③ 도수분포표에서 평균은 계급값을 이용하여 구하므로 실 제 자료의 평균과 다를 수도 있다.

⑤ 도수분포다각형은 각 계급의 계급값에 도수를 대응시킨 점을 차례로 선분으로 연결하여 만든 그래프이다.

ㄴ. 자료를 수량으로 나타낸 것은 변량이다.

ㄷ. 계급의 개수가 너무 많으면 자료의 분포 상태를 알아보기 어려우므로 계급의 개수는 5~15개가 적당하다.

ㅁ. 히스토그램에서 각 직사각형의 세로의 길이는 각 계급의 도수와 같다.

11 10 9

4 40

(6)

전체 학생 수는

1+4+9+11+8+5+2=40(명) y`⁄

몸무게가 55 kg 이상 70 kg 미만인 학생은

11+8+5=24(명) y`¤

따라서 이 계급의 상대도수는 =0.6이다. y`‹

(도수)=(도수의 총합)_(상대도수)=20_0.3=6

(전체 학생 수)= = =40(명)

도수가 6인 계급의 상대도수가 0.2이므로

(도수의 총합)= =30 y`⁄

따라서 상대도수가 0.5인 계급의 도수는

30_0.5=15 y`¤

A= =0.1, B=20_0.2=4,

C=20-(2+4+8+1)=5, D= =0.25 상대도수의 총합은 1이므로 E=1

대화 시간이 7시간 이상인 계급의 상대도수는 7시간 이상 8 시간 미만, 8시간 이상 9시간 미만인 계급의 상대도수의 합 이므로

0.25+0.05=0.3

대화 시간이 7시간 이상인 계급의 상대도수가 0.3이므로 전 체의 0.3_100=30 (%)이다.

(전체 가구 수)= =200(가구)

(구하는 계급의 가구 수)=200_0.15

=30(가구)

전력 소비량이 낮은 쪽에서 38번째인 가구는 150 kWh 이상 200 kWh 미만인 계급에 속하므로 이 계급의 상대도수는

=0.25 50 200

12 11

20

10

0.1

9 8

5 20 2

7

20

6 0.2

6

8 0.2 (도수)

(상대도수)

5

4

24 40

3

유형 17~19 ^{P. 18~19}

1⑴ 20명 ⑵ 0.25 2221개 36명 4③ 5④ 6 5 : 6 7 40명 8 10명 9⑤ 10 8명 1110명, 과정은 풀이 참조

⑴ (전체 학생 수)= =20(명)

⑵ A= =0.25

(전체 사과의 개수)= =850(개)이고

무게가 150 g 이상 200 g 미만인 계급의 상대도수가 0.26 이므로 이 계급의 사과의 개수는

850_0.26=221(개)

(전체 학생 수)= =40(명)이고

TV 시청 시간이 60분 이상인 학생이 전체의 80 %이므로 이 계급의 상대도수는 0.8, 30분 이상 60분 미만인 계급의 상대도수는

1-(0.05+0.8)=0.15

따라서 TV 시청 시간이 30분 이상 60분 미만인 학생 수는 40_0.15=6(명)

2

3

0.05

68

2

0.08

5 20

4

1

0.2

¤ 몸무게가 55 kg 이상 70 kg 미만인 학생 수 구하기

‹ 몸무게가 55 kg 이상 70 kg 미만인 계급의 상대도수 구하기

30%

40%

⁄ 도수의 총합 구하기

¤ 상대도수가 0.5인 계급의 도수 구하기

50%

∴ (평균)=

∴ (평균)= =41.5(점)

[다른 풀이] 45 점 이상 55점 미만인 계급의 상대도수는 1-(0.1+0.2+0.3+0.15)=0.25

∴ (평균)

=20_0.1+30_0.2+40_0.3+50_0.25+60_0.15

=2+6+12+12.5+9

=41.5(점)

[참고] 상대도수만 주어진 상대도수의 분포표에서 평균은 다음 과 같이 구할 수 있다.

(평균)={(계급값)_(상대도수)의 총합}

830 20

20_2+30_4+40_6+50_5+60_3 20

13

실기 점수(점)

합계 1 20

0.1 0.2 0.3 0.25 0.15

20 30 40 50 60 20_0.1=2

20_0.2=4 20_0.3=6 20-(2+4+6+3)=5

20_0.15=3

상대도수 도수(명) 계급값(점)

(7)

(㈎ 집단의 상대도수)= = (㈏ 집단의 상대도수)=

∴ ： =2：5

50 kg 이상 55 kg 미만인 계급에 속하는 남학생, 여학생 수 를 각각 a명이라 하면

(단, a는 자연수) (남학생의 상대도수)= , (여학생의 상대도수)=

∴ ： = ： =4：5

(단, a는 자연수) (A 중학교의전체도수)= , (B 중학교의전체도수)=

∴ ： = ： =10：12=5：6

볼링 점수가 90점 이상 100점 미만인 계급의 상대도수는 0.35이고, 이 계급의 도수는 14명이므로

(전체 회원 수)= =40(명)

볼링 점수가 100점 이상 110점 미만, 110점 이상 120점 미 만인 계급의 상대도수의 합은 0.15+0.1=0.25이므로 볼링 점수가 100점 이상인 회원 수는 40_0.25=10(명)

① 상대도수가 가장 큰 계급은 16 æ 이상 18 æ 미만이다.

② 각 계급의 상대도수는 그 계급의 도수에 정비례하므로 도수 가 클수록 상대도수도 크다.

③ 상대도수의 총합은 항상 1이다. 즉, 상대도수의 총합은 도수의 총합과 다르다.

9 8

14 0.35

7

4 2 5 3 4a 2b 5a 3b

4a 2b 5a

3b

6

1 120 1 150 a 120 a 150

a 120 a

150

5

5b a 2b

a

5b a

2b a 4b 2a

4 유 형 편

파워

Ⅰ.통계

▲

각 항을;bA;^{로 나눈다.}

유형 20 ^{P. 20}

10.8 250명 3 80점 4ㄴ, ㄹ 5 ④, ⑤

상대도수가 A중학교보다 B중학교가 더 큰 계급은 0.7 이 상 0.9 미만이므로

(계급값)=0.7+0.9=0.8 2

1

시력 A중학교 B중학교

상대도수

합계 0.1^이상~0.3^미만 0.3^이상~0.5^미만 0.5^이상~0.7^미만 0.7^이상~0.9^미만 0.9^이상~1.1^미만 1.1^이상~1.3^미만

0.08 0.22 0.34 0.22 0.1 0.04

0.075 0.2 0.325 0.275 0.1 0.025

1 1

④ 최고 기온이 18 æ 이상 20 æ 미만인 계급의 상대도수 는 0.2이므로 이 계급에 속하는 지역은 50_0.2=10(곳)

⑤ 최고 기온이 18 æ 이상 20æ 미만, 20æ 이상 22æ 미만, 22æ 이상 24æ 미만인 계급의 상대도수의 합은 0.2+0.12+0.02=0.34이므로 전체의

0.34_100=34 (%)이다.

따라서 옳은 것은 ⑤`이다.

상대도수의 총합은 1이므로 독서 시간이 110 분 이상 120 분 미만인 계급의 상대도수는

1-(0.05+0.15+0.35+0.15+0.1)=0.2

따라서 전체 학생 수가 40명이므로 이 계급의 학생 수는 40_0.2=8(명)

과학 성적이 40 점 이상 50 점 미만인 계급의 상대도수는 0.15이고, 이 계급의 학생 수는 6명이므로 전체 학생 수는

=40(명) y ⁄

과학 성적이 60점 이상 70점 미만인 계급의 상대도수는 1-(0.15+0.2+0.2+0.1+0.1)=0.25 y ¤ 따라서 이 계급의 학생 수는

40_0.25=10(명) y ‹

6 0.15

11 10

10권 이상인 계급의 도수 10권 이상인 계급의 상대도수

A중학교 B중학교

5a명 3b

4a명 2b 도수의 총합

50 kg 이상 55 kg 미만인 계급의 도수

남학생 여학생

150명 120명

a명 a명

¤ 60 점 이상 70 점 미만인 계급의 상대도수 구하기

‹ 60 점 이상 70 점 미만인 학생 수 구하기

30%

40%

도수의 총합 어떤 계급의 도수

㈎ 집단 ㈏ 집단

(단, a, b는 자연수) 2a

4b

a 5b

▲

각 항을;aB;^{로 나눈다.}

▲

각 항을 a로 나눈다.

(8)

여학생 중 성적이 60점 미만인 계급의 상대도수의 합은 0.04+0.08+0.18=0.3이므로

전체 여학생 수는 =50(명)

남학생 중 성적이 80점 이상인 계급의 상대도수의 합은 0.05+0.05=0.1이므로 0.1_100=10 (%)

따라서 남학생 중 상위 10 % 이내에 속하는 학생의 성적은 최소 80점 이상이다.

ㄱ. 1학년 전체 여학생 수와 남학생 수가 같은지는 알 수 없다.

ㄴ. 남학생의 그래프보다 여학생의 그래프가 오른쪽으로 더 치우쳐 있으므로 과학 성적이 높은 학생은 여학생이 남학 생보다 상대적으로 더 많은 편이다.

ㄷ. 1학년 전체 여학생 수와 남학생 수가 다를 수 있으므로 상 대도수가 크다고 해서 도수도 큰 것은 아니다.

ㄹ. 계급의 크기가 같고 상대도수의 총합이 같으므로 각 그래 프와 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 서로 같다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

① 각 계급의 상대도수는 그 계급의 도수에 정비례하므로 1학년의 그래프에서 도수가 가장 큰 계급은 24초 이상 30초 미만이고, 이 계급의 상대도수는 0.3이다.

② 100_0.16=16(명)

③ (0.04+0.16)_100=20 (%)

④ 1학년과 2학년에서 기록이 36초 이상 42초 미만인 계급 의 상대도수는 각각 1학년은 0.1, 2학년은 0.14로 2학 년의 상대도수가 더 크므로 이 계급의 학생의 비율은 2학 년이 1학년보다 더 높다.

⑤ 2학년의 그래프가 1학년의 그래프보다 오른쪽으로 더 치 우쳐 있으므로 기록이 좋은 학생은 2학년이 1학년보다 상대적으로 더 많은 편이다.

따라서 옳지 않은 것은 ④, ⑤`이다.

5 4 3

15 0.3

2

115 % 256 cm 3 56 % 4⑤ 5③ 6② 743개 840명 9② 1016명

1140명, 과정은 풀이 참조 1215명 13 ①, ④ 14 9명 15④ 16과정은 풀이 참조 ⑴ 17 ⑵ 54 %

170.32, 과정은 풀이 참조

18 A=66, B=0.16, C=48, D=300, E=1 1923 % 20② 21165 cm 2212명 23 ③, ⑤ 24⑴ 민준이의 점수가 4점 더 높다. ⑵ 91점 25⑴ 45회 ⑵ ㄱ, ㄴ 2611등 27⑴ 0.2 ⑵ B과수원

P. 21~25 중단원마무리

전체 학생 수는 6+7+4+3=20(명)이고

기록이 60 cm 이상인 학생 수는 60 cm, 61 cm, 63 cm의 3명이므로 전체의 _100=15 (%)이다.

기록이 높은 학생의 기록부터 차례로 나열하면 63 cm, 61 cm, 60 cm, 58 cm, 58 cm, 56 cm, y 이므로 기록이 높은 쪽에서 6번째인 학생의 기록은 56 cm 이다.

줄기가 2인 친척 수를 x명이라 하면

줄기가 4인 친척 수가 줄기가 2인 친척 수의 배이므로 x_ =6

∴ x=9(명)

따라서 전체 친척 수는 5+9+2+6+3=25(명)이고, 나이가 30세 미만인 친척은 5+9=14(명)이므로 전체의 _100=56 (%)이다.

②, ④ 숨을 참는 시간이 46초 이상 54초 미만인 학생은 20-(5+3+6+2+1)=3(명)이므로

도수가 가장 큰 계급은 38초 이상 46초 미만이고, 46초 이상 62초 미만인 학생은 3+2=5(명)이다.

③ _100=40 (%)

⑤ 숨을 참는 시간이 긴 쪽에서 5번째인 학생은 46초 이상 54초 미만인 계급에 속하므로

(계급값)= =50(초)

계급의 크기가 6, 계급값이 5인 계급은 5- 이상 5+ 미만, 즉 2 이상 8 미만 따라서 a=2, b=8이므로 = =4

(전체 학생 수)=24+36=60(명)이고

1반의 총점은 24x점, 2반의 총점은 36_83=2988(점)이 므로

(전체 평균)= =81(점)에서 24x+2988=4860, 24x=1872

∴ x=78

문자메시지를 50개 이상 보낸 학생이 전체의 25 %이므로 보낸 문자메시지의 개수가 50개 이상인 학생은

20_ 25 =5(명) 100

7

24x+2988 60

6

8 2 b a 6

2 6

2

5

46+54 2 5+3

20

4

14 25 2 3

2 3

3

2

3 20

1

(9)

유 형 편

파워

Ⅰ.통계

① 계급의 개수는 6개이다.

②, ③ 전체 학생 수는 6+9+10+7+5+3=40(명)이고, 사용 시간이 150분 이상인 학생은 5+3=8(명)이므로 전체의 _100=20(%)이다.

④ 사용 시간이 긴 쪽에서 10번째인 학생이 속하는 계급은 120분 이상 150분 미만이므로

(계급값)= =135(분)

⑤ (도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이)

=30_40=1200

따라서 옳지 않은 것은 ①, ④이다.

점수가 12점 이상인 학생은 30_ =12(명) 따라서 점수가 12점 이상 16점 미만인 학생 수는 12-3=9(명)

(전체 학생 수)= =40(명)

⑴ 기록이 10초 이상 20초 미만인 학생이 8명이므로

(전체 학생 수)= =50(명) y`⁄

∴ A=50-(2+8+16+5+2)=17 y`¤

⑵ 기록이 30초 미만인 학생은

2+8+17=27(명)이므로 y`‹

전체의 _100=54 (%)이다. y`›

전체 학생 수는 4+6+8+5+2=25(명)이고 y`⁄

점수가 낮은 쪽에서 13번째인 학생이 속하는 계급은

60점 이상 70점 미만이다. y ¤

따라서 점수가 60점 이상 70점 미만인 학생은 8명이므로 이 계급의 상대도수는 8 =0.32 y ‹

25

17

27 50

8 0.16

16

12

15

0.3

40

14

100

120+150 2 8 40 따라서 보낸 문자메시지의 개수가 50개 이상 60개 미만인

13

학생은 5-1=4(명)이고, 40개 이상 50개 미만인 학생은 20-(2+6+4+1)=7(명)이므로

(평균)=

= =43(개)

명수네 반 전체 학생 수는 2+3+7+12+9+5+2=40(명)

음악 점수가 70점 이상 80점 미만인 학생은 9명이므로 전체의 _100=22.5 (%)이다.

(평균)=

= =66.5(점)

따라서 음악 점수의 평균보다 점수가 높은 최소 학생 수는 70 점 이상인 계급의 도수의 합인 9+5+2=16(명)이다.

직사각형의 넓이는 각 계급의 도수에 정비례하고, 25점 이상 30점 미만인 학생 수는 6명이므로 20점 이상 25점 미만인 학생 수를 x명이라 하면

5 : 2=x : 6, 2x=30

∴ x=15(명) y`⁄

따라서 전체 학생 수는

2+8+6+15+6+3=40(명) y`¤

한 뼘의 길이가 14 cm 이상 16 cm 미만인 계급의 도수를 x명이라 하자.

히스토그램에서 직사각형의 넓이는 각 계급의 도수에 정 비례하므로 도수분포표를 만 들면 오른쪽과 같다.

전체 학생 수가 40명이므로 x+2x+3x+x+x=40 8x=40 ∴ x=5(명)

따라서 한 뼘의 길이가 18 cm 이상 20 cm 미만인 학생 수는 3x=3_5=15(명)

12 11

2660 40

35_2+45_3+55_7+65_12+75_9+85_5+95_2

10

40

9 40

9

8

860 20

25_2+35_6+45_7+55_4+65_1 20

길이(cm)

합계 40

x 2x 3x x x 도수(명)

¤ A의 값 구하기

‹ 기록이 30초 미만인 학생 수 구하기

› 전체의 몇 %인지 구하기

30%

20%

30%

¤ 점수가 낮은 쪽에서 13번째인 학생이 속하는 계급 구 하기

‹ 점수가 낮은 쪽에서 13번째인 학생이 속하는 계급의 상대도수 구하기

30%

40%

⁄ 20점 이상 25점 미만인 학생 수 구하기

¤ 전체 학생 수 구하기

60%

40%

(10)

(전체 학생 수)= =300(명)이므로 D=300

A=300_0.22=66

B=1-(0.08+0.22+0.27+0.2+0.07)=0.16 C=300_0.16=48

E=1

통학거리가 8 km 이상인계급의상대도수의합은 0.16+0.07=0.23이므로

통학거리가 8 km 이상인학생은 전체의 0.23_100=23(%)이다.

기록이 120 cm 미만인 계급의 상대도수의 합은 0.05+0.1=0.15이므로

제자리멀리뛰기 기록이 120 cm 미만인 학생수는 40_0.15=6(명)

도수가 12명인계급의상대도수는 =0.3이므로 이계급은 150 cm 이상 180 cm 미만이다.

∴ (계급값)= =165 (cm)

등교하는 데 걸리는 시간이 10분 이상 15분 미만인 계급의 상대도수를 x라 하면 15분 이상 20분 미만인 계급의 상대 도수는 2x이고, 상대도수의 총합은 1이므로

0.08+x+2x+0.3+0.14+0.1+0.02=1 3x=0.36 ∴ x=0.12

따라서 15분 이상 20분 미만인 계급의 상대도수는 2x=2_0.12=0.24이므로 이 계급의 도수는 50_0.24=12(명)

① 한문 성적이 70점 이상인 학생은 B중학교의 그래프가 A중학교의 그래프보다 오른쪽으로 더 치우쳐 있으므로 B중학교가 A중학교보다 상대적으로 더 많은 편이다.

② A중학교의 학생 수와 B중학교의 학생 수가 서로 같은지 는 알 수 없다.

④ 상대도수가 같을 뿐 학생 수가 서로 같은지는 알 수 없다.

⑴ 민준이의 점수는 88점, 송이의 점수는 84점이므로 민준이의 점수가 송이의 점수보다 88-84=4(점) 더 높다.

⑵ 남학생과 여학생이 각각 12명씩이므로 전체 학생 수는 12+12=24(명)

이때 성적이 상위 25 % 이내에 속하는 학생 수를 x명이 라 하면

_100=25 ∴ x=6(명) x

24

24 23 22

150+180 2

12

21

40

20 19

24

18

0.08 따라서 반에서 6등인 학생의 점수가 91점이므로 세미의

점수는 최소 91점 이상이다.

⑴ (평균)=

=

=45(회)

⑵ ㄱ. 전학생의 횟수가 36회이면 전학생은 30회 이상 40회 미만인 계급에 속하고 이 계급의 계급값은

=35(회)로 평균보다 작다.

즉, 평균은 낮아진다.

ㄴ. 전학생의 횟수가 40회이면 전학생은 40회 이상 50회 미만인 계급에 속하고 이 계급의 계급값은

=45(회)로 평균과 같다.

즉, 평균은 변함이 없다.

ㄷ. 전학생의 횟수가 62회이면 전학생은 60회 이상 70회 미만인 계급에 속하고 이 계급의 계급값은

=65(회)이므로 평균은

=45 (회)가 되어 회 높아진다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

남학생 수는 2+5+6+3+2=18(명)이므로 여학생 수는 38-18=20(명)이다.

이때 성적이 80점 이상인 남학생은 3+2=5(명)이고, 성적이 80점 이상인 여학생은 성적이 80점 이상인 계급의 상대도수의 합이 0.2+0.1=0.3이므로

(0.2+0.1)_20=6(명)이다.

따라서 반 전체에서 솔이는 5+6=11(등)이다.

⑴ 세로축의 한 눈금의 크기를 a라 하면 A과수원의 그래프 에서

a+3a+7a+8a+4a+2a=25a이므로 25a=1 ∴ a=0.04

따라서 B과수원의 그래프에서 무게가 350 g 이상 400 g 미만인 계급의 상대도수는

1-(0.08+0.08+0.24+0.28+0.12)=0.2이다.

⑵ 무게가 350 g 이상인 사과의 개수는

A과수원이 (0.16+0.08)_500=120(개)이고, B과수원이 (0.2+0.12)_400=128(개)이므로 B과수원이 A과수원보다 더 많다.

27 26

20 31 20

31 1350+65

31 60+70

2 40+50

2 30+40

2 1350

30

25_3+35_8+45_9+55_6+65_4

25

30

(11)

Ⅱ.기본도형

유 형 편

파워

유형편 ^파워

1 ^{기본 도형}

유형 1~4 ^{P. 28~29}

1④ 2④ 325 4③ 5② 6ㄱ, ㄴ

7 26 8⑤ 9① 10ㄴ, ㅁ 11 ③ 1212 cm, 과정은 풀이 참조 13②

④ 오른쪽 그림과 같이 선과 면이 만났을 때도 교점이 생긴다.

입체도형에서 교점의 개수는 꼭짓점의 개수, 교선의 개수는 모서리의 개수와 같으므로 교점은 8개, 교선은 12개이다.

(교점의 개수)=(꼭짓점의 개수)=10(개)이므로 a=10

(교선의 개수)=(모서리의 개수)=15(개)이므로 b=15

∴ a+b=10+15=25

두 반직선이 서로 같으려면 시작점과 뻗어 나가는 방향이 모 두 같아야 하므로 ACØ 와 같은 것은 ③ ABØ 이다.

[참고] ACØ =ABØ =ADØ

② BAØ 와 BCØ 의 시작점은 같지만 뻗어 나가는 방향이 다르 므로 BAØ+BCØ

ㄷ. 시작점과뻗어나가는방향이모두같아야같은반직선이다.

ㄹ. AB≥+BAØ

직선은 ABÍ, ACÍ, ADÍ, BCÍ, BDÍ, BOÍ, CDÍ, COÍ의 8개이므로 a=8

반직선은 ABØ , ACØ , ADØ , BAØ , BCØ , BDØ , BOØ , CAØ , CBØ , CDØ , COØ , DAØ, DBØ , DCØ , OAØ , OBØ , OCØ , ODØ 의 18개이므로 b=18

∴ a+b=8+18=26

[참고] 세 점 A, O, D는 한 선분 위에 있으므로 ADÍ=AOÍ=ODÍ

① 점 B는 AC”의 중점이므로 AB”=BC”, 점 C는 BD”의 중점 이므로 BC”=CD”이다.

∴ AB”=BC”=CD”

D C B

8

A

7 6 5 4 3 2 1

② AC”=AB”+BC”=AB”+AB”=2AB”

∴ AB”= AC”

③ AD”=AB”+BC”+CD”=AB”+AB”+AB”=3AB”

④ BD”=BC”+CD”=AB”+AB”=2AB”

⑤ AC”=AB”+BC”=CD”+CD”=2CD”

∴ CD”=;2!;AC”

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

오른쪽 그림에서

AN”= A’M”= _ AB”

= AB”

오른쪽 그림에서 A’M”=MB”= AB”

MN”=NB”= MB”

ㄱ. A’M”=MB”=2MN”

ㄴ. MN”= MB”= _ AB”= AB”

ㄷ. NB”= MB”

ㄹ. AB”=2MB”

ㅁ. AN”=A’M”+MN”= AB”+ AB”= AB”

∴ AB”= AN”

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㅁ이다.

오른쪽 그림에서 AB”=AC”+CB”

=2MC”+2CN”

=2(MC”+CN”)

=2MN”=2_12=24 (cm) AB”=5AP”이므로

AP”= AB”= _20=4 (cm) y`⁄

∴ PB”=AB”-AP”=20-4=16 (cm) y`¤

PM”=BM”이므로

PM”= PB”= _16=8 (cm) y`‹

∴ AM”=AP”+PM”=4+8=12 (cm) y`›

1 2 1 2

1 5 1 5

12

M C N B

A

12 cm

11

4 3

3 4 1

4 1 2 1

2

1 4 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2

B N M A

10

1 4

1 2 1 2 1

2

N M B A

9

1 2

(12)

AC”=2CD”이므로

AD”=AC”+CD”=2CD”+CD”=3CD”

∴ CD”= AD”= _18=6 (cm), AC”=2CD”=2_6=12 (cm) AB”=2BC”이므로

AC”=AB”+BC”=2BC”+BC”=3BC”

∴ BC”= AC”=1_12=4 (cm) 3

1 3

1 3 1

3

13

유형 5~8 ^{P. 30~31}

1⑤ 2④ 3ㄴ, ㄷ 4 ② 5② 6③ 7② 8∠x=70˘, ∠y=20˘

960˘, 과정은 풀이 참조 10③ 11⑤ 1250˘

② 45˘ ⇨ 예각 ③ 90˘ ⇨ 직각

④ 120˘ ⇨ 둔각 ⑤ 180˘ ⇨ 평각

3x+(5x+20)=180 8x=160 ∴ x=20

(4x-5)+2x+(x+10)=180 7x=175 ∴ x=25

∠AOB=∠BOC, ∠COD=∠DOE이므로

∠BOD=∠BOC+∠COD= ∠AOC+ ∠COE

= (∠AOC+∠COE)= ∠AOE

= _(180˘-40˘)= _140˘=70˘

3x+2x=90, 5x=90

∴ x=18

∠AOC=90˘이므로 ∠COE=180˘-90˘=90˘

∠y+70˘=90˘이므로 ∠y=90˘-70˘=20˘

∠x+∠y=90˘, 즉 ∠x+20˘=90˘이므로

∠x=90˘-20˘=70˘

8 7

1 2 1

2

1 2 1

2

1 2 1

2

6 5 4 2

유형 9~12 ^{P. 32~33}

1② 225 3② 4⑤ 5⑤

650˘, 과정은 풀이 참조 7① 850˘ 9② 10⑤ 11 110 12150˘ 13 ④

14⑴ 점 B ⑵ 6 cm 157 cm

∠a=180˘-50˘=130˘, ∠b=50˘(맞꼭지각)

∴ ∠a-∠b=130˘-50˘=80˘

맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 x+40=3x-10, 2x=50 ∴ x=25

2

1

∠AOB+∠BOC=90˘이므로

∠AOB=90˘-∠BOC y`㉠

∠BOC+∠COD=90˘이므로

∠COD=90˘-∠BOC y`㉡ y`⁄

이때 ∠AOB+∠COD=60˘이고,

㉠, ㉡에서 ∠AOB=∠COD이므로

∠AOB=∠COD=30˘ y`¤

∴ ∠BOC=∠AOC-∠AOB=90˘-30˘=60˘ y`‹

∠x+∠y+∠z=180˘이므로

∠y=180˘_ =180˘_ =54˘

∠DOE=∠DOC+∠COE=;3!;∠AOC+;3!;∠BOC

=;3!;(∠AOC+∠BOC)=;3!;∠AOB

=;3!;_180˘=60˘

오른쪽 그림에서

∠AHD=4∠CHD이므로

∠CHD=;3!;∠AHC

=;3!;_90˘=30˘

∠DHE=;3!;∠DHB=;3!;_(90˘-30˘)=20˘

∴ ∠CHE=∠CHD+∠DHE

=30˘+20˘=50˘

A H

C D E

B

12 11

3 10 3

5+3+2

10

9

⁄ ∠AOB와 ∠COD를 ∠BOC를 이용하여 나타내기

¤ ∠AOB와 ∠COD의 크기 구하기

‹ ∠BOC의 크기 구하기

각 20%

30%

⁄ AP”의 길이 구하기

¤ PB”의 길이 구하기

‹ PM”의 길이 구하기

› AM”의 길이 구하기

30%

20%

30%

20%

(13)

유 형 편

파워

Ⅱ.기본도형

맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 8x-5=5x+55, 3x=60 ∴ x=20 y+(8x-5)=180, y+155=180 ∴ y=25

∴ x+y=20+25=45

∠a：∠b=2：1이고 ∠a+∠b=180˘이므로

∠a=180˘_ =180˘_ =120˘

∠a=∠c(맞꼭지각)이므로 ∠c=120˘

오른쪽 그림에서 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로

∠a+∠b+∠c=180˘

∠COE=∠FOD(맞꼭지각)이므로 y`⁄

60˘+∠x+(2∠x-30˘)=180˘ y`¤

3∠x=150˘ ∴ ∠x=50˘ y`‹

오른쪽 그림에서 맞꼭지각의 크기 는 서로 같으므로

(80-x)+(2x+10)+(x-10)

=180

2x=100 ∴ x=50

오른쪽 그림에서 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로

∠COE=∠DOF

(2x-40)+(x+10)+90=180 3x=120 ∴ x=40

∴ ∠COE=x˘+10˘

=40˘+10˘=50˘

맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로

∠x+90˘=130˘

∴ ∠x=40˘

맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로

∠x=80˘+∠y

∴ ∠x-∠y=80˘

10 9

x˘+10˘ x˘+10˘

2x˘-40˘

A

E C

O F

B D

8

x˘-10˘

2x˘+10˘

80˘-x˘

2x˘+10˘

7 6

b ab c

5

2 3 2

2+1

4

3

② 점 C는 직선 l과 직선 m의 교점이므로 두 직선 l, m 위에 있는 점이다.

⑤ 두 점 C, D는 같은 직선 l 위에 있다.

모서리 AB 위에 있지 않은 꼭짓점은 점 C, 점 D, 점 E의 3개이므로 a=3

면 ABC 위에 있지 않은 꼭짓점은 점 D, 점 E의 2개이므로 b=2

∴ a+b=5

⑤ 평면에서는 두 직선이 만나지도 않고 평행하지도 않는 경 우가 존재하지 않는다.

② 점 A는 BCÍ 위에 있지 않다.

④ ADÍ와 CDÍ는 수직이다.

AHÍ와 한 점에서 만나는 직선은 AHÍ와 평행한 직선인 DEÍ를 제외한 ABÍ, BCÍ, CDÍ, EFÍ, FGÍ, GHÍ의 6개이다.

모서리 DH와 평행한 모서리는 AE”, BF”, CG”의 3개이다.

7 6 5 4 3 2

⁄ ∠COE=∠FOD임을 설명하기

¤ ∠x의 크기를 구하는 식 세우기

‹ ∠x의 크기 구하기

40%

30%

유형 13~15 ^{P. 34~35}

1⑴ 점 A, 점 B ⑵ 점 C ⑶ 점 B 2② 3 5 4⑤ 5②, ④ 6 6개 7③ 8⑤ 9③ 10③, ⑤ 11 3, 과정은 풀이 참조

12BC”, BF”, CD”, DH”, EF”, EH”

맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 x-40=20+90=110 ∴ x=150 y+30=180-(20+90)=70 ∴ y=40

∴ x-y=150-40=110

∠x=90˘-35˘=55˘

∠y=∠x+40˘=55˘+40˘=95˘

∴ ∠x+∠y=55˘+95˘=150˘

④ 점 C와 직선 AB 사이의 거리는 CH”의 길이이다.

⑴ 점 C에서 AB”에 내린 수선의 발은 점 B이다.

⑵ 점 C와 AB” 사이의 거리는 BC”의 길이이므로 6 cm이다.

점 B와 직선 l 사이의 거리는 B’M”의 길이이므로 B’M”= AB”=1_14=7 (cm)

2 1

2

15

14

13

12

11

(14)

AC”와 수직으로 만나는 모서리는 AE”와 CG”이다.

모서리 BE와 만나지도 않고 평행하지도 않은 모서리는 AC”, DF”의 2개이다.

④ 오른쪽 그림과 같이 FEÍ와 HIÍ는 평행하다.

[참고] FEÍ와 꼬인 위치에 있는 직선은 [참고] AGÍ, BHÍ, CI Í, DJÍ, LGÍ, GHÍ, [참고] IJÍ, JKÍ이다.

F A

G

B C

H I D

J L K

3

E

2

D C

A

E F

H G B

1

⑤ AB”와 GH”는 평행하다.

BC”와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AD”이다.

① 두 모서리 AB, BE는 점 B에서 만난다.

②, ④ 두 모서리는 만나지도 않고 평행하지도 않으므로 꼬인 위치에 있다.

AC”와 만나는 모서리는

AB”, AD”, AE”, BC”, CD”의 5개이므로

a=5 y`⁄

AC”와 꼬인 위치에 있는 모서리는 BE”, DE”의 2개이므로

b=2 y`¤

∴ a-b=5-2=3 y`‹

오른쪽 그림에서 AG”와 만나지도 않 고 평행하지도 않은 모서리, 즉 꼬인 위 치에 있는 모서리는 BC”, BF”, CD”, DH”, EF”, EH”이다.

A D

B

F G

E C H

12 11 10 9 8

한번더연습~ 유형 17 ^{P. 36~37}

1④ 2② 3④ 4① 5① 6④

7⑤ 8ㄴ, ㄹ 9 ③, ⑤ 10 ③, ④ 11AD”, CD”, DF” 12 면 BFGC, 면 EFGH 13③, ④

⁄ a의 값 구하기

¤ b의 값 구하기

‹ a-b의 값 구하기

40%

20%

EG”와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AB”, BC”, CD”, AD”, BF”, DH”이 고, 이 중 BC”와 꼬인 위치에 있는 모 서리는 DH”이므로 1개이다.

면 DEF에 수직인 모서리는 AD”, BE”, CF”의 3개이다.

① 꼬인 위치에 있다. ②, ③, ④ 평행하다.

ㄱ. AD”, EH”, FG”의 3개이다.

ㄴ. AE”, BF”, CG”, DH”의 4개이다.

ㄷ. AB”, BC”, CD”, AD”의 4개이다.

ㄹ. 면 ABCD, 면 BFGC, 면 EFGH, 면 AEHD의 4개 이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ,ㄹ이다.

① 면 AEHD, 면 EFGH의 2개이다.

② BF”, DH”의 2개이다.

③ 면 ABCD, 면 EFGH의 2개이다.

④ BF”, DH”, EF”, FG”, GH”, EH”의 6개이다.

⑤ 면 AEHD와 면 BFGC 사이의 거리는 AB”(또는 CD”

또는 EF” 또는 HG”)이다.

따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤`이다.

① l//m, l//n이면 두 직선 m, n은 오 른쪽 그림과 같이 평행하다.

즉, m//n

② l//P, l//Q이면 두 평면 P, Q는 오른쪽 그림과 같 이 평행하거나 한 직선에서 만난다.

평행하다. 한 직선에서 만난다.

③ l⊥P, l⊥Q이면 두 평면 P, Q는 오른 쪽 그림과 같이 평행하다.

즉, P//Q

④ P//Q, P//R이면 두 평면 Q, R는 오른 쪽 그림과 같이 평행하다.

즉, Q//R

⑤ l//P, m//P이면 두 직선 l, m은 다음 그림과 같이 평 행하거나 한 점에서 만나거나 꼬인 위치에 있을 수 있다.

⑤

평행하다. 한 점에서 만난다. 꼬인 위치에 있다.

따라서 옳은 것은 ③, ④`이다.

l m l l

m

P P P

P

R Q l

P Q

l

P Q

l

P Q

l n m

10 9 8 7 6

A B

F G

E H C

4

D

(15)

유 형 편

파워

Ⅱ.기본도형

유형 18~20 ^{P. 38~39}

1④ 2④ 3③, ④ 4 ㄱ, ㄹ 5 4개 6⑤ 7180˘ 8④ 9∠c, ∠e, ∠g 1090˘ 11120˘, 과정은 풀이 참조 12③

주어진 전개도로 정육면체를 만 들면 오른쪽 그림과 같으므로 NC”와 꼬인 위치에 있는 모서리 는 ④ LK”이다.

주어진 전개도로 정육면체를 만들 면 오른쪽 그림과 같으므로 NB”

와 JF”는 꼬인 위치에 있다.

주어진 전개도로 입체도형을 만들면 오른쪽 그림과 같다.

① 모서리 AD와 모서리 CH는 한 점에서 만난다.

② 모서리 IJ와 면 EHGD는 한 점에서 만난다.

⑤ 면 BIFE와 면 CHGD는 한 직선에서 만난다.

한 직선 위에 있는 세 점(ㄱ), 꼬인 위치에 있는 두 직선(ㄹ)으 로는 한 평면이 결정되지 않는다.

한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점은 한 평면을 결정하 므로 네 점 A, B, C, D 중 세 점으로 결정되는 평면은 평면 P(=평면 ABC), 평면 ABD, 평면 BCD, 평면 ACD 의 4개이다.

∠a의 동위각의 크기는 75˘이고

∠b의 엇각의 크기는 180˘-75˘=105˘이므로 75˘+105˘=180˘

7 5 4

J(H, F)

B D

I G

A(C, E)

3

N

G(E) F K

C A(M, I)

B(D, H)

J(L)

2

K N

C(G) D(F)

B(H) E A(M, I) L(J)

1

⁄ ¤

∴ 100˘+135˘=235˘

∠a=∠c(맞꼭지각)

l//m이므로 ∠a=∠e(동위각)

∠e=∠g(맞꼭지각)

따라서 ∠a와 크기가 같은 각은 ∠c, ∠e, ∠g이다.

l//m이므로 ∠a=40˘(엇각), ∠b=50˘(동위각)

∴ ∠a+∠b=40˘+50˘=90˘

오른쪽 그림에서 l//m이므로

∠a=180˘-120˘=60˘(엇각) y`⁄

∠b=∠a=60˘(맞꼭지각) y`¤

∴ ∠a+∠b=60˘+60˘

=120˘ y`‹

오른쪽 그림에서 l//m이므로 45˘+∠x=70˘(엇각)

∴ ∠x=25˘ ^x

l

m 45˘

45˘

70˘

12

l

m a

b

120˘60˘

11 10 9

135˘45˘ n

l m

x 100˘80˘

n l m

x

8

⁄ ∠a의 크기 구하기

¤ ∠b의 크기 구하기

‹ ∠a+∠b의 값 구하기

40%

20%

한걸음더연습 ~ 유형 23 ^{P. 40~41} 1② 2③ 380˘ 4∠x=20˘, ∠y=100˘

5④ 6② 7④ 8⑤

935, 과정은 풀이 참조 1040˘ 11② 12③ 1310˘ 14③ 1561˘

① ∠x=50˘(맞꼭지각)

② l//m이므로 ∠y=∠x=50˘(엇각)

③ ∠w=180˘-(50˘+65˘)=65˘

④ l//m이므로 ∠v=∠w=65˘(동위각)

⑤ ∠z=180˘-65˘=115˘

따라서 옳은 것은 ②이다.

1

BE”와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AD”, CD”, DF”이다.

AD”와 평행한 면은 면 BFGC, 면 EFGH이다.

① CF”, CG”, DG”, EF”의 4개이다.

② 면 BEF, 면 DEFG의 2개이다.

③ 면 CFG의 1개이다.

④ AC”, DG”, EF”의 3개이다.

⑤ AD”, BE”, CG”의 3개이다.

따라서 옳은 것은 ③, ④`이다.

13

12

11

(16)

오른쪽 그림에서 l//m이므로

∠x+35˘+110˘=180˘

∴ ∠x=35˘

오른쪽 그림에서 l//m, k//n이므로

∠x+45˘=125˘

∴ ∠x=125˘-45˘=80˘

오른쪽 그림에서 l//m이고 삼각형 ABC가 정삼각형이므로

∠y=40˘+60˘=100˘(엇각)

∠x=180˘-(∠y+60˘)

=180˘-(100˘+60˘)=20˘

① 동위각의 크기가 같지 않으므로 l, m은 평행하지 않다.

② 동위각의 크기가 같지 않으므로 l, m은 평행하지 않다.

③ 맞꼭지각의 크기는 항상 같으므로 l//m이라 할 수 없다.

④ 엇각의 크기가 같으므로 l, m은 평행하다.

⑤ 동위각의 크기가 같지 않으므로 l, m은 평행하지 않다.

⁄ ¤

위의 그림에서 동위각의 크기가 같으므로 평행한 직선은 l//m, p//q의 2쌍이다.

③ l//m이면 ∠c=∠e(엇각)

④ ∠c=100˘이면 ∠d=180˘-100˘=80˘

따라서 동위각의 크기가 같지 않으므로 l//m이 아니다.

⑤ ∠a=120˘이면 ∠b=180˘-120˘=60˘

따라서 엇각의 크기가 같으므로 l//m이다.

7

120˘

p q

60˘

l 60˘

m p

60˘

120˘

6

60˘

110˘

60˘ 120˘

l

m 80˘

80˘

100˘

l

m l

m 75˘

85˘ 95˘

5

40˘

60˘

x y l

m A

B

C

4

l m k n

125˘ 135˘45˘

45˘

x

3

x l

m 35˘

110˘

70˘

2

오른쪽 그림과 같이

l //m//n인 직선 n을 그으면

∠x=40˘+75˘=115˘

l //m//n인 직선 n을 그으면 y`⁄

x+25=30+30=60 y`¤

∴ x=60-25=35 y`‹

l //m//n인 직선 n을 그으면

∠x=40˘(엇각)

l //m//n인 직선 n을 그으면 55˘+90˘+∠x=180˘

∴ ∠x=35˘

오른쪽 그림과 같이 l //m//p//q인 두 직선 p, q를 그으면

∠x=60˘+20˘=80˘

∠x=10˘(동위각)

오른쪽 그림과 같이 l //m//p//q인 두 직선 p, q를 그으면 70˘-∠x=50˘-∠y(엇각)

∴ ∠x-∠y=70˘-50˘=20˘

(2∠x+10˘)+(∠x-13˘)=180˘

3∠x=183˘ ∴ ∠x=61˘

l p q m 2x+10˘

x-5˘

x-13˘

13˘x-13˘13˘

x-5˘

15

l pq

m x

y x

y 70˘-x

50˘-y

14

30˘ 30˘

40˘

40˘ 10˘

l p

m q x

13

l

20˘ 20˘

30˘30˘

60˘

m q p

12

l

m n 40˘

40˘

55˘55˘

x

11

50˘

40˘

l

m n

10

x

30˘30˘ n l 150˘

30˘

m

9

40˘

140˘40˘

75˘ 75˘

l

m n

8

⁄ l//m//n인 직선 n 긋기

¤ 평행선의 성질을 이용하여 x에 대한 식 세우기

‹ x의 값 구하기

30%

40%

30%

유형편

유 형 편

유형편 파워

1 자료의 정리

11

10 9 8

7 6

5

4 3 2 1

14

13

12

1

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

유 형 편

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2 1

7

6

5

4

3

2

1

3

2

1

11

10

9

8

2

1

유 형 편

8

7

6

5

4

11 10 9

12 11

10

9 8

7

6

5

4

3

3

2

1

13

9 8

7

6

5

4

유형편 ^파워

1 ^{자료의 정리}

유형편 ^파워

1 ^{기본 도형}