개념완성
기하와 벡터
VITAEDU-ACADEMY
노박사수학교실
제1장
평면곡선
01 포물선
➊삼각자의 한 변 AB의 길이와 같게 실 을 자른다.
➋실의 한쪽 끝을 삼각자의 한 꼭짓점 A 에, 다른 끝을 점 F에 고정한다.
➌실을 팽팽하게 유지하며 막대자를 따라 삼각자를 움직이면서 곡선을 그린다.
개념완성 기하와 벡터
6 / 제1장 평면곡선
1. 포물선
(1) 포물선
평면 위의 한 정점 F 와
이 점을 지나지 않는 한 정직선 로부터
같은 거리에 있는 점의 자취를 이라 한다.
초 점 : 준 선 : 축 : 꼭지점 :
(2) 포물선의 방정식
포물선 초점 : F
준선 : ⇨ 초점 : F
준선 : ⇨
그래프
초 점 꼭지점 준 선
축
▶ 증명 초점 : F
준선 : ⇨
포물선 위의 임의의 점을 P 라 하고 점 P 에서 준선에 내린 수선의 발을 H 라 하면, 포물선의 정의에 의하여 PF PH 이므로
양변을 제곱하여 정리하면
포물선
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 7
1.
다음 자취의 방정식을 구하시오.1)⑴ 점 과 직선 로부터 같은 거리에 있는 점의 자취
⑵ 점 와 직선 로부터 같은 거리에 있는 점의 자취
2.
원 의 중심을 초점으로 하고, 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 점 을 지날 때, 상수 의 값을 구하시오.2)3.
오른쪽 그림과 같이 포물선 모양인 강이 포물선의 초점 위치에 있는 마을 와 또 다른 마을 를 돌아 흐르고 있다. 강변의 한 곳에 하수 처리장을 건설하려 하는 데 하수 처리장으로부터 두 마을까지의 직선거리의 합이 최소가 되도록 하려면 , , , , 중 어느 곳이 좋을지를 구하시오. 3)개념완성 기하와 벡터
8 / 제1장 평면곡선
2. 포물선의 평행이동
방정식
⇨
⇨그래프
초 점 꼭지점 준 선
축
■ 포물선의 방정식의 일반형
(1)
축에 평행한 축을 가지는 포물선의 방정식
≠
⇦
(2)
축에 평행한 축을 가지는 포물선의 방정식
≠ ⇦
▶ 포물선의 일반형
기본형 평행이동 표준형
⇦
일반형
→
x축:m, y축:n ⇨ 꼭지점 : ⇨ 축 : ⇨ 초 점 : ⇨ 준 선 :
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 9
4.
다음 포물선의 꼭짓점의 좌표, 초점의 좌표, 준선의 방정식을 구하시오.4)⑴
⑵
5.
포물선 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하였더니 초점이 원점이 되었다. 이 때, 상수 , 의 합 의 값을 구하시오.5)6.
포물선 를 직선 에 대하여 대칭이동한 도형을 이라고 하자.점 에서 축과 평행한 직선을 그어 포물선 과의 교점을 라고 할 때, 포물선 의 초점과 점 를 이은 선분의 길이를 구하시오.6)
개념완성 기하와 벡터
10 / 제1장 평면곡선
■ 초점을 지나는 직선
(1) 어떤 포물선의 꼭지점을 O, 초점을 F 라 하고, F 를 지나는 직선이 이 포물선과 만나는 두 점을 A B
FA , FB , FO 라 할 때, 그림에서
HH ′
(2) 포물선 ( ) 의 초점을 지나는 직선 이 포물선과 서로 다른 두 점 P Q 에서 만난다.
두 점 P Q 에서 직선
에 내린 수선의 발을 각각 R S라 하고, 초점을 지나고 직선 에 수직인 직선이 직선 과 만나는 점을 M 이라 하면다음 관계가 성립한다.
ㄱ. RM SM FM ㄴ. ∠PMQ
ㄷ. MF
PR ⋅ QS
ㄱ. ∆PRM과 ∆PFM에서 PR PF ∠PRM ∠PFM , PM 은 공통이므로 ∴ RM ⋯⋯ ㉠
같은 방법으로 ∆QSM ≡∆QFM이므로 SM ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에 의해 RM SM
ㄴ. ㄱ에서 ∆PRM ≡∆PFM이므로 ∠PMR ⋯⋯ ㉢
∆QSM ≡∆QFM이므로 ∠QMS ⋯⋯ ㉣
㉢, ㉣에 의하여 ∠PMQ
ㄷ. ∆MQF∆PMF이므로 MF PF
∴MF PF⋅QF
a-b a-2f a
b
H
H’
02 타원
➊ FF′ cm인 두 점 F와 F′을 잡는다.
➋실 cm 의 양 끝을 두 점 F와 F′에 각각 고정한다.
➌연필 끝으로 실을 팽팽하게 당기면서 곡선을 그린다.
개념완성 기하와 벡터
12 / 제1장 평면곡선
1. 타원
(1) 타원
평면 위의 두 정점에서의 거리의 합이 일정한 점 전체의 집합을 이라 한다.
초 점 : 꼭지점 : 장 축 : 단 축 :
(2) 타원의 방정식
타 원 초점 : F±
거리의 합 : ⇨ 초점 : F ±
거리의 합 : ⇨
그래프
초 점 중 심 장 축 단 축
▶ 증명
초점 : F , F′ c
거리의 합 : ⇨
포물선 위의 임의의 점을 P 라 하고 점 P 에서 초점에 이르는 거리의 합은 타원의 정의에 의하여 PF PF′ a ⇨
양변을 제곱하여 정리하면
＞이라 놓으면
타원
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 13
7.
다음 타원의 그래프를 그리고, 장축, 단축의 길이와 중심, 꼭짓점, 초점의 좌표를 구하시오.7) (1)
(2)
(3)
8.
다음 자취의 방정식을 구하시오.8)(1) 두 점 ′ 로부터의 거리의 합이 인 점의 자취
(2) 두 점 ′ 로부터의 거리의 합이 인 점의 자취
9.
두 초점이 ′ 이고, 장축과 단축의 길이의 차가 인 타원의 방정식을 구하시오.9)개념완성 기하와 벡터
14 / 제1장 평면곡선
2. 타원의 평행이동
방정식
⇨
⇨
그래프
초 점 꼭지점 중 심 장 축 단 축
■ 타원의 방정식의 일반형
( 단, ≠ ＞ )
▶ 타원의 일반형
기본형 평행이동 표준형
⇦
일반형
→
x축:m, y축:n
⇨ 초 점 : ⇨ 꼭지점 : ⇨ 중 심 : ⇨ 장 축 : ⇨ 단 축 :
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 15
10.
이차곡선 과 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원이 서로 다른 네 점에서 만날 때, 의 범위를 구하시오.10)11.
타원
의 두 초점 , ′ 에 대하여 의 값을 구하시오.11)
12.
이차곡선 에 내접하는 원의 넓이를 구하시오.12)개념완성 기하와 벡터
16 / 제1장 평면곡선
■ 타원의 초점과 거리의 합
(1)
의 초점의 좌표 구하기
그림과 같이 초점이 축 위에 있으므로
두 초점을 Fc F′ c 점 P 로 놓으면
PF PF ′ 이므로 PF PF ′ PF PF ∴PF
∆POF 는 직각삼각형이므로 ∴
따라서 초점의 좌표는 F
F ′
(2) (두 초점으로부터 거리의 합) = (장축의 길이)
타원 위의 점 P 를 장축의 꼭짓점 A 로 옮겨보면
AF A ′F ′
PF PF ′ AF A ′F ′
A ′F ′ AF ′ AA ′
▶ 타원에서 평행한 두 현의 중점을 연결한 직선은 중심을 지난다.
⑴ 타원의 중심
❶ 타원을 지나는 두 평행선을 작도한다.
❷ 각 평행선이 타원과 만나서 생기는 선분(타원의 현)의 중점을 작도한다.
❸ ❷에서 작도한 두 중점을 지나는 직선을 그린다.
❹ ❸에서 그린 직선이 타원과 만나서 생기는 선분의 중점을 작도한다. 이 중점이 타원의 중심이다.
⑵ 타원의 장축과 단축
❶ 위에서 구한 점을 중심으로 하고 타원과 개의 서로 다른 점에서 만나는 원을 작도한다.
❷ 이 네 점을 연결하여 직사각형을 그린다.
❸ 직사각형의 긴 변의 수직이등분선을 작도한다. 이 선이 타원과 만나 생기는 선분이 타원의 단축이다.
❹ 직사각형의 짧은 변의 수직이등분선을 작도한다. 이 선이 타원과 만나서 생기는 선분이 타원의 장축이다.
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 17
방법
1
방법
2
원을 이용하여 타원 만들기
원을 이용하여 타원을 만들어 보고, 그 원리를 알아보자.
원 O에 내접하면서 원 O의 내부의 한 점 A를 지나는 원의 중심 P가 나타내는 도형은 타원이다.
오른쪽 그림과 같이 두 원의 접점을 B라 하고, 원 O의 반지름의 길이를 라고 하면
O B O P P B O P AP (일정)
이다. 즉, 점 P가 나타내는 도형은 두 점 O, A로부터의 거리의 합이 로 일정한 점들의 집합이다. 따라서 점 P가 나타내는 도형은 타원이다.
원 A의 내부에 원 B가 있을 때, 원 A에 내접하면서 원 B에 외접하는 원의 중심 P가 나타내는 도형은 타원이다.
오른쪽 그림과 같이 원 A에 내접하면서 원 B에 외접하는 원이 원 A와 접하는 점을 C, 원 B와 접하는 점을 D라 하고, 두 원 A, B의 반지름의 길이를 각각 , 라고 하면
AP AC P C P C, BP BD P D P C 이므로
AP BP (일정)
이다. 즉, 점 P가 나타내는 도형은 두 점 A, B로부터의 거리의 합이 로 일정한 점들의 집합이다. 따라서 점 P가 나타내는 도형은 타원이다.
1
오른쪽 그림과 같이 점 A 을 지나고, 원 에 내접하는 원의 중심을 P 라고 하자.
두 원의 접점을 B 라고 할 때, O P AP 임을 보이고, 이것을 이용하여 점 P 가 나타내는 도형의 방정식을 구하여라.
확인 하기
03 쌍곡선
➊ FF′ cm인 두 점 F와 F′을 잡는다.
➋실 cm 의 한쪽 끝을 자 cm 의 한쪽 끝에 붙인다.
➌실의 다른 끝을 F에, 자의 다른 끝을 F′에 고정한다.
➍실이 팽팽하도록 연필을 자에 붙이고
점 F′을 중심으로 자를 회전하면서 곡선을 그린다.
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20 / 제1장 평면곡선
1. 쌍곡선
(1) 쌍곡선
평면 위의 두 정점에서 거리의 차가 일정한 점 전체의 집합을 이라 한다.
초 점 : 중 심 : 주 축 : 꼭지점 :
(2) 쌍곡선의 방정식
쌍 곡 선 초점 : F±
거리의 차 : ⇨ 초점 : F ±
거리의 차 : ⇨
그 래 프
초 점 꼭 지 점 중 심 주축 길이 점 근 선
▶ 증명
초점 : F , F′ c
거리의 차 :
⇨
포물선 위의 임의의 점을 P 라 하면 쌍곡선의 정의에 의하여
PF PF′ a ⇨ 양변을 제곱하여 정리하면
＞이라 놓으면
쌍곡선
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 21
13.
두 점 A B 으로부터 거리의 차가 인 점 P의 자취의 방정식을 구하시오.13)14.
다음 조건을 만족하는 쌍곡선의 방정식을 구하시오.14)(1) 두 초점의 좌표가 F F′ 이고, 점근선의 방정식이 ±
인 쌍곡선
(2) 한 점 를 지나고, 점근선의 방정식이 ± 인 쌍곡선
15.
오른쪽 그림과 같은 쌍곡선
위의 점 P와 두 초점 F F′에 대하여 ∠F′PF 이고 PF′ PF 일 때, cos의 값을 구하시오.15)
개념완성 기하와 벡터
22 / 제1장 평면곡선
2. 쌍곡선의 평행이동
방정식
⇨
⇨
그래프
초 점 꼭지점 중 심 거리의차 주축길이 점근선
■ 쌍곡선의 방정식의 일반형
( 단, ＜ )
▶ 쌍곡선의 일반형
기본형 평행이동 표준형
⇦
일반형
→
x축:m, y축:n ⇨ 초 점 : ⇨ 꼭지점 : ⇨ 중 심 : ⇨ 주 축 : ⇨ 점근선 :
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 23
16.
다음 쌍곡선의 초점의 좌표, 꼭짓점의 좌표, 중심의 좌표, 주축의 길이, 점근선의 방정식을 각각 구하시오.16)
을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 쌍곡선
17.
점 F 과 축에 이르는 거리의 비가 인 점 P 의 자취의 방정식을 구하시오.17)18.
두 초점의 좌표가 F , F′ 이고, 주축의 길이가 인 쌍곡선의 방정식을 구하시오.18)개념완성 기하와 벡터
24 / 제1장 평면곡선
3. 쌍곡선의 점근선의 방정식
쌍곡선
± 의 점근선 ⇨
▶ ±
＞ ＞
쌍곡선의 방정식
………… ㉠
을 에 관하여 정리하면
에서
±
±
∴ ±
………… ㉡이 식에서 가 커짐에 따라
은 한없이 에 가까워지므로 ㉡ 는………… ㉢ 에 한없이 가까워진다.
따라서, 쌍곡선 ㉠ 은 원점에서 멀어질수록 직선 ㉢ 에 가까워짐을 알 수 있다.
이에 따라 ±
를 쌍곡선의 점근선이라 한다.
쌍곡선
의 점근선도 같은 방법으로 구하면 다음과 같다. ±
, 즉 ±
또, 점근선을
과 같이 하나의 방정식으로 나타낼 수 있다.
특히, 일 때 쌍곡선 ㉠ 의 점근선은 와 이고, 이들은 서로 직교한다.
이와 같이 두 점근선이 서로 직교하는 쌍곡선을 이라고 한다.
▶ 점근선을 공유하는 두 쌍곡선
⇨개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 25
19.
다음 조건을 만족하는 쌍곡선의 방정식을 구하시오.19)⑴ 두 초점의 좌표가 F F′ 이고, 점근선의 방정식이 ± 인 쌍곡선
⑵ 한 점 을 지나고, 점근선의 방정식이 ± 인 쌍곡선
20.
두 초점을 공유하는 타원
과 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선의 한 점근선이
일 때, 이 쌍곡선의 두 꼭짓점 사이의 거리는? 20)
①
②
③
④ ⑤
21.
방정식 에 대한 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?21)ㄱ. 주축이 축에 수직이다.
ㄴ. 주축의 길이는 이다.
ㄷ. 중심의 좌표는 이다.
ㄹ. 점근선의 방정식은
또는
이다.
[ 보 기 ]
① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄷ ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ, ㄹ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ
개념완성 기하와 벡터
26 / 제1장 평면곡선
■ 쌍곡선의 초점과 거리의 차
(1) 쌍곡선의 초점의 좌표구하기
쌍곡선의 방정식이
일때원점을 중심으로 하고 두 초점
F F ′
를 지나는 원이 점근선과 제1사분면에서 만나는 점을P
라 하면점
P
에서
축에 내린 수선의 발이 쌍곡선의 꼭짓점A
이므로 점P
의 좌표는P
이다.이때
∆PO A
는 직각삼각형이므로
∴
따라서 초점의 좌표는F
′
(2) (두 초점으로부터 거리의 차)=(주축의 길이)
쌍곡선 위의 임의의 점
P
를 꼭지점A ′
으로 옮겨 보면 AF A ′F ′
이므로 PF PF ′ A ′F A ′F ′
A′A AF A ′F ′
A′A AF A F
′
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 27
컴퓨터
를 이용한수학
다음 그림과 같은 메뉴가 있는 프로그램을 이용하여 이차곡선을 그려 보자.
포물선
➊ 평면 위에 한 직선 과 그 직선 위에 있지 않는 한 점 P를 그린다.
➋ 직선 위의 임의의 점 Q에서 직선 에 수선을 그린다.
➌ 선분 P Q를 그린다.
➍ 선분 P Q의 수직이등분선을 그린다.
➎ 위의 ➋에서 그린 수선과 ➍에서 그린 수직이등분선의 교점 X를 그린다.
➏ 점 X를 선택하고 흔적 남기기를 선택한다.
➐ 점 Q를 움직인다.
타원
➊ 평면 위에 두 점 A B를 나타내고, 점 A를 중심으로 반지름의 길이가
AB 인 원을 그린다.
➋ 원 위의 임의의 점 C에 대하여 두 선분 AC BC를 그린다.
➌ 선분 BC의 수직이등분선을 그린다.
➍ 원의 반지름 AC와 위의 ➌에서 그린 수직이등분선의 교점 X를 그린다.
➎ 점 X를 선택하고 흔적 남기기를 선택한다.
➏ 점 C를 움직인다.
쌍곡선
➊ 평면 위에 두 점 A B를 나타내고, 점 A를 중심으로 반지름의 길이가
AB 인 원을 그린다.
➋ 원 위의 임의의 점 C에 대하여 선분 BC를 그린다.
➌ 선분 BC의 수직이등분선을 그린다.
➍ 직선 AC와 위의 ➌에서 그린 수직이등분선의 교점 X를 그린다.
➎ 점 X를 선택하고 흔적 남기기를 선택한다.
➏ 점 C를 움직인다.
개념완성 기하와 벡터
28 / 제1장 평면곡선
■ 이차곡선과 종이접기
(1) 포물선
다음과 같이 종이를 접어서 포물선을 만들어 보자.
➊ 직사각형 모양의 종이를 준비하여 가운데에 점을 찍는다.
➋ 아래 그림과 같이 종이를 접어 점이 가로선 위에 놓이도록 한다.
➌ 약간의 간격을 두고 종이를 계속 접어 점이 가로선 위에 놓이는 과정을
되풀이한다.접은 자국에서 포물선 모양이 나타나는 이유에 대하여 설명하여라.
(2) 타원
다음과 같이 종이를 접어서 타원을 만들어 보자.
① 원의 내부에 임의의 점을 찍고 원이 이 점에 놓이도록 접는다.
② 약간의 간격을 두고 원을 한 바퀴 돌리면서 ①과 같은 방식으로 계속 접으면 접은 자국에서 타원의 모습이 나타난다.
접은 자국에서 타원 모양이 나타나는 이유에 대하여 설명하여라.
제2장
평면곡선의
접선
01 음함수의 미분법
개념완성 기하와 벡터
32 / 제2장 평면곡선의 접선
1. 음함수의 미분법
(1) 음함수와 양함수
가 의 함수일 때, 꼴의 함수를 음함수라 하고,
꼴의 함수를 양함수라 한다.
(2) 음함수의 미분법
가 의 함수일 때,
위의 성질을 이용하여 의 양변을 에 대하여 미분하면
⇨
⋅
∴
■ 로그미분법
도함수를 구하는 한 방법으로서 양변의 절댓값에 자연로그를 취한 다음 양변을 미분하여 도함수를 구하는 미분법을 로그미분법이라고 하며, 지수가 복잡하거나 형태가 복잡한 함수의 도함수를 구할 때는 로그미분법을 이용하는 것이 편리하다.
① 주어진 식의 양변의 절댓값에 자연로그를 취한다.
② 양변을 에 대하여 미분한다.
이 때, ln ⇨ ′
이 이용된다.
양변이 양이면 절대값을 취하지 않고 직접 로그를 취한다.
▶ 의 미분법
함수 의 양변에 절대값을 취하면 ⇨ 이 식의 양변에 자연로그를 취하면 ⇨ 양변을 에 대하여 미분하면 ⇨
∴
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 33
22.
에 대하여 를 구하시오.22)
23.
음함수
에서
는?
(단, ≠)23)
①
②
③
④
⑤
24.
함수 ln 에 대하여 ′을 구하시오. 24)개념완성 기하와 벡터
34 / 제2장 평면곡선의 접선
2. 곡선 위의 점에서의 접선
이차곡선
의 접선
☑ 이차곡선 위의 접점
이 주어졌을 때 접선의 방정식
⇨
⇨ ⇨ ⇨ 상수항은 그대로
▶ 포물선, 타원, 쌍곡선의 방정식은 음함수의 꼴이므로 음함수의 미분법을 이용하여 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있다.
▶ 포물선
위의 점
에서의 접선의 방정식ⅰ) ≠ 일 때
의 양변을 에 대하여 미분하면
∴
(단, ≠ ) …… ①
이므로 ①에 을 대입하면 접선의 기울기는 이다.
따라서 구하는 접선의 방정식은
이고,
이 식의 양변에 을 곱하면 …… ②
이다. 이때 은 포물선 위의 점이므로 이고,
이를 ②에 대입하여 정리하면 …… ③
ⅱ) 일 때
포물선 위의 점 에서의 접선의 방정식은 이고, 이는 ③에 , 을 대입한 것과 같다.
따라서 ⅰ), ⅱ)에 의하여 구하는 접선의 방정식은 이다.
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 35
25.
곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식이 일 대, 상수 에 대하여 의 값을 구하시오.25)26.
곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기를 구하시오.26)27.
곡선 위의 점 P에서의 접선이 축, 축과 만나는 점을 각각 라 할 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면? 27)(단, )<보기>
ㄱ.
ㄴ. 일 때, 의 최솟값은 8이다.
ㄷ. △의 넓이는 이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ
36 / 제2장 평면곡선의 접선
곡선 밖에 주어진 점에서 그은 접선의 방정식
곡선 밖에 주어진 점에서 이차곡선에 그은 접선의 방정식을 구하여 보자.
점 (, )에서 쌍곡선 에 그은 접선의 방정식을 구하여라.
접점을 P(, )이라 하고 음함수의 미분법을 적용하면
이므로
( ≠ )
이다. 따라서 접점 P(, )에서 그은 접선의 기울기는 이고 접선의 방정식은
⋯⋯①
이다. 이 직선이 점 (, )을 지나므로
⋯⋯②
이다. 한편 접점 P(, )은 쌍곡선 위의 점이므로
⋯⋯③
②, ③으로부터
또는
이것을 ①에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 다음과 같다.
또는
02 매개변수로
나타낸 함수의 미분
개념완성 기하와 벡터
38 / 제2장 평면곡선의 접선
1. 매개변수로 나타낸 함수의 미분
가 각각 미분가능하고 ′ ≠
이면 다음이 성립한다.
▶ 매개변수로 나타낸 함수의 미분
가 에 대하여 미분가능하고 ′≠ 이면
는 의 함수라 생각할 수 있으므로
의 증분 에 대한 의 증분을 라 하면 → 일 때, → 이다.
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
′
′
∵ →일 때, → )
∴
′
′
▶ 이계도함수의 계산
곡선
에 대하여
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 39
28.
의 함수 가
( 는 이 아닌 실수)로 주어질 때,
lim
→
의 값을
구하시오.28)
29.
으로 주어진 함수 에서 일 때
의 값을
구하시오.29)
30.
실수 에 대하여 로 주어진 함수 가 있다. 의 역함수를 라 할 때, 의 값은?30)
개념완성 기하와 벡터
40 / 제2장 평면곡선의 접선
2. 이차곡선의 매개변수방정식
(1) cos
sin ⇨
(2) cos sin ⇨
(3)
⇨
(4) sec tan ⇨
▶ 접선의 방정식
곡선
에 대하여 곡선 위의 점
에서의 접선의 방정식
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 41
31.
sin cos 로 표시된 곡선의 인 점에서의
접선의 방정식을 구하시오.31)
32.
곡선
,
위의 에 대응 하는 점에서의
접선의 방정식은 이다. 이때, 의 값을 구하시오.32)
33.
cos , sin 로 나타내어지는 곡선 위의 에 대응하는 점에서의
접선과 수직이고
에 대응하는 점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.33)
03 평면곡선의 접선
개념완성 기하와 벡터
44 / 제2장 평면곡선의 접선
1. 포물선의 접선
접선의 방정식
기울기가 인 접선
포물선 위의 점
▶ 특별한 경우가 아니면 공식을 이용하는 것이 편리하다.
▶ 증명
(1) 기울기가
인 접선의 방정식포물선 에 접하는 기울기 인 접선의 방정식을
이라 놓고 이것을 에 대입하면
이 방정식의 ⇨ ∴
따라서, 구하는 접선의 방정식은
(2) 포물선 위의 점
에서의 접선의 방정식 포물선 위의 점 에서의 접선 의 방정식을 ⋯ ① 이라 놓고
기울기기 인 접선의 방정식은 ⋯ ➁
이때 ➀, ② 는 같은 직선이므로
즉, ∴
±
⋯ ③
이때 점 은 포물선 위의 점이므로 이를 ③ 에 대입하여 기울기 을 구하면
이를 ①에 대입하여 정리하면
➡ (∵ )
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 45
34.
포물선 에 접하고 직선 에 수직인 직선은 점 를 지난다.이 때 의 값을 구하시오. 34)
35.
포물선 에 접하고 기울기가 인 직선과 직선 사이의 최단 거리를 구하시오.35)36.
포물선 위의 점 에서의 접선에 수직이면서, 이 포물선의 초점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.36)개념완성 기하와 벡터
46 / 제2장 평면곡선의 접선
2. 타원의 접선
접선의 방정식 기울기가 인 접선 타원 위의 점
▶ 증명 (1) 타원
⋯ ① 에 접하고, 기울기가 인 접선의 방정식 기울기가 인 접선의 방정식을 이라 하고
① 에 대입하여 정리하면
이 방정식의 ⇨ ∴
따라서, 구하는 접선의 방정식은
(2) 타원
위의 점 에서의 접선의 방정식
ⅰ) ≠ 일 때,
① 접선의 기울기를 이라하면
② 기울기가인 접선의 방정식은 ±
③ ①, ② 에서 ⇨
양변을 제곱하여 정리하면 ⇨
④
⇨
⑤ ④를 ③ 에 대입 ⇨ ⇨ ∴ 따라서, 구하는 접선의 방정식은
ⅱ) 일 때, ± 이므로 접선의 방정식은 ±
이 경우에도 접선의 방정식은
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 47
37.
타원 에 접하고 기울기가 인 직선의 방정식을 구하시오.37)
38.
타원 위의 점 에서의 접선과 타원의 중심 사이의 거리를 구하시오.38)39.
타원
위의 점 P 에서의 접선이 축, 축과 만나는 점을 각각 A B라 할 때, 삼각형 AOB의 넓이의 최솟값은?39) (단, O는 원점이다.)
개념완성 기하와 벡터
48 / 제2장 평면곡선의 접선
3. 쌍곡선의 접선
접선의 방정식
기울기가 인 접선
쌍곡선 위의 점
▶ 증명 (1) 쌍곡선
의 기울기가 ≠ 인 접선의 방정식 기울기가 인 접선의 방정식을 이라 하고
① 에 대입하여 정리하면
이 방정식의 ⇨ ∴
따라서, 구하는 접선의 방정식은
(2) 쌍곡선
위의 한 점 에서의 접선의 방정식
ⅰ) ≠ 일 때,
① 접선의 기울기를 이라하면
② 기울기가인 접선의 방정식은 ±
③ ①, ② 에서 ⇨
양변을 제곱하여 정리하면 ⇨
④
⇨
⑤ ④를 ③ 에 대입 ⇨ ⇨ ∴ 따라서, 구하는 접선의 방정식은
ⅱ) 일 때, ± 이므로 접선의 방정식은 ±
이 경우에도 접선의 방정식은
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 49
40.
다음 접선의 방정식을 구하시오.40)⑴ 쌍곡선
에 접하고, 직선 와 평행한 접선
⑵ 쌍곡선
에 접하고, 축의 양의 방향과 의 각을 이루는 접선
41.
쌍곡선
위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하시오.41)
42.
쌍곡선
위의 점 에서의 접선과 축 및 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.42)
04 이차곡선
개념완성 기하와 벡터
52 / 제2장 평면곡선의 접선
1. 이차곡선의 일반형
에 대한 이차방정식
의 좌변이 일차식의 곱으로 인수분해되거나 ⇨한 변수만의 이차식이 되는 경우 ⇨ 제곱의 합으로 나타내지는 경우 ⇨
가 아니면 다음과 같이 원, 포물선, 타원, 쌍곡선이 된다.
이차곡선 원 포물선 타원 쌍곡선
계수의 관계
■ 원뿔곡선
이차곡선인 원, 타원, 포물선, 쌍곡선을 흔히 원뿔곡선이라고도 부른다. 이는 원뿔을 꼭짓점을 지나지 않는 평면으로 잘랐을 때의 단면이 이와 같은 곡선들로 나타나기 때문이다.
이때 자른 평면의 기울기에 따라 다음과 같은 곡선을 얻을 수 있다.
➊ 원 - 밑면에 평행한 평면으로 잘랐을 때
➋ 타원 - 밑면에 평행한 평면을 조금 기울여서 모선에 평행해지기 전까지 기울인 평면으로 잘랐을 때
➌ 포물선 - 모선에 평행한 평면으로 잘랐을 때
➍ 쌍곡선 - 모선에 평행한 평면보다 기울기가 더 급한 평면으로 잘랐을 때
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 53
■ 만델린의 공
원뿔곡선의 단면을 나타내 보면 다음과 같다.
종류
포물선 타원 쌍곡선
단면
모선에 평행한 평면으로 잘랐을 때
밑면에 평행한 평면을 조금 기울여서 모선에 평행해지기 전까지 기울인 평면으로 잘랐을 때
모선에 평행한 평면보다 기울기가 더 급한 평면으로 잘랐을 때
그림
Q
F’
F P R
R F’
Q
P F
성질
확인
개념완성 기하와 벡터
54 / 제2장 평면곡선의 접선
2. 이차곡선의 정의
포물선 타원 쌍곡선
정 의 한 점과 직선으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합
두 점에서 거리의 합이 일정한 점들의 집합
두 점에서 거리의 차가 일정한 점들의 집합
그래프
초 점
성 질
간편 작도
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 55
3. 이차곡선의 접선
기울기가 인 접선 곡선 위의 점
포물선
타원
쌍곡선
개념완성 기하와 벡터
56 / 제2장 평면곡선의 접선
■ 포물선의 접선
(1) 축에 평행하게 입사한 빛은 반사되어 초점을 지난다.
포물선 위의 한 점 P 에 있어서의 접선은 P 를 지나고 축에 평행한 직선과 P 를 초점 F 에 이어서 이루어지는 직선이 이루는 각은 서로 같다.
▶ 증명 : 포물선 ( ) 에 대하여 점
에서의 접선의 방정식 ⇨
,
∴ ∆
는 이등변 삼각형이고동위각으로부터 ∠
∠
∠
▶ 포물선 ( ) 위의
점 P 에서의 접선과 축과의 교점을 T, P 에서 준선에 내린 수선의 발을 Q, 또 이 포물선의 초점을 F 라고 하자.
위의 성질에 따르면 □QTFP 는 마름모이다.
개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 57
(2) 두 접선이 수직으로 교차하는 점의 자취는 포물선의 준선이다.
▶ 증명
기울기 m 인 접선의 방정식 ⇨ 이 접선과 수직인 직선의 기울기 ⇨ 이 접선과 수직인 접선의 방정식 ⇨
이 두 식을 연립하면
∴ (준선)
이 때 두 접점을 연결한 직선 AB 는 초점을 지난다.
또한, 포물선의 초점을 지나는 현을 지름으로 하는 원은 그 포물선의 준선에 접한다.
▶ [미적분 1] 이차함수 (포물선)에서
`
′
⇨
(3) 이차곡선의 극선
▶ 이차곡선
에서 을 곡선에 대한 점 P (x1, y1) 의 극선이라 하며 이 때, 점 P 를 극(極) 이라 한다.
점 P (x1, y1) 의 극선 ⇨
곡선 위의 점에서의 극선 ⇨
개념완성 기하와 벡터
58 / 제2장 평면곡선의 접선
■ 곡선과 직선, 점
(1) 곡선과 직선
곡선과 직선 위의 두 점 사이의 거리의 최소값을 곡선과 직선 사이의 거리라고 한다.
곡선과 직선 사이의 거리 ⇨
(2) 곡선과 점
곡선 위의 점과 두 점 사이의 거리의 최소값을 곡선과 점 사이의 거리라고 한다.
곡선과 점 사이의 거리 ⇨
[예제]
두 점
와 포물선 위의 점
에 대하여 (1) ∆
의 최솟값을 구하여라.(2)
의 최솟값을 구하여라.개념완성 기하와 벡터
노박사수학 / 59
■ 타원의 접선
(1) 타원 상의 한 점 P 에서의 법선은 두 초점에 이어지는 각을 이등분한다.
▶ 쌍곡선
에 대해 P ( x1 , y1 ) 에서의
접선의 방정식
⇨
법선의 방정식
⇨
법선의 x 절편 A
⇨
′
′
∴
′
′
따라서 각의 이등분선에 대한 정리로부터 직선 PA 는 ∠F'PF 를 이등분한다.
(2) 타원과 직선
타원
( )의 두 초점을 F, F′이라 하고, 타원 위의 점 P에서의 접선을 , 에 대하여 F와 대칭인 점을 R이라 한다. 또, 접선 위의 P가 아닌 점 Q, S를 서로 반대쪽에 잡을 때, 다음과 같은 성질이 있다.
ㄱ. P F P F′ Q F Q F′
ㄴ. 세 점 R , P , F′은 일직선 위에 있다.
ㄷ. ∠FP S ∠F′P Q
|다 음|
개념완성 기하와 벡터
60 / 제2장 평면곡선의 접선
■ 쌍곡선의 접선
(1) 쌍곡선 상의 한 점 P 에서의 법선은 두 초점에 이어지는 각을 이등분한다.
▶ 쌍곡선
에 대해 P ( x1 , y1 ) 에서의
접선의 방정식
⇨
법선의 방정식
⇨
법선의 x 절편 A
⇨
′
′
∴
′
′
따라서 각의 이등분선에 대한 정리로부터 직선 PA 는 ∠F'PF 를 이등분한다.
(2) 초점을 향해 입사한 빛은 반사되어 다른 초점을 지난다.
한 초점 F에서 쌍곡선에 보낸 빛이 쌍곡선 위의 한 점에 도달하여 반사될 때 반사궤적은 다른 초점 F′에서 쌍곡선 위의 한 점을 이은 선분의 연장선이다.
