개념편 164쪽
2. 구의 방정식
⑴중심이 C(a, b, c)이고, 반지름의 길이가 r인 구의 방정식은
(x-a)¤ +(y-b)¤ +(z-c)¤ =r¤
⑵중심이 원점이고, 반지름의 길이가 r인 구의 방 정식은
x¤ +y¤ +z¤ =r¤
구의 방정식의 표준형 1. 구의 정의
공간에서 한 정점 C로부 터 일정한 거리에 있는 점 전체의 집합을 구라 한다.
이때 정점 C를 구의 중심,
일정한 거리를 구의 반지름의 길이라 한다.
다음 방정식이 나타내는 구의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하여라.
⑴ x¤ +(y+1)¤ +(z-2)¤ =1
⑵ (x+2)¤ +(y+4)¤ +(z-3)¤ =16
0 1
Check
개념다음 구의 방정식을 구하여라.
⑴ 중심이 C(2, 1, -2)이고, 반지름의 길이가 2인 구
0 2
중요
3. 이차방정식 x¤ +y¤ +z¤ +Ax+By+Cz+D=0이 나타내는 도형
x, y, z에 대한 이차방정식
x¤ +y¤ +z¤ +Ax+By+Cz+D=0 y㉠ 에서 A¤ +B¤ +C¤ -4D>0이면 방정식 ㉠`은
중심의 좌표Δ {- , - , - }
반지름의 길이 Δ
인 구를 나타낸다.
"√A¤ +B¤ +C¤ -4D 2
C 2 B
2 A
2
4. 좌표평면에 접하는 구의 방정식
⑴ xy평면에 접하는 구의 방정식 구의 방정식의 일반형은
x¤ +y¤ +z¤ +Ax+By+Cz+D=0 (단, A¤ +B¤ +C¤ -4D>0)
⑵ yz평면에 접하는 구의 방정식
yz평면 C(a, b, c) |a|
(반지름의 길이)=|중심의 x좌표|=|a|
Δ (x-a)¤ +(y-b)¤ +(z-c)¤ =a¤
⑶ zx평면에 접하는 구의 방정식
|b|
zx평면 C(a, b, c)
(반지름의 길이)=|중심의 y좌표|=|b|
Δ (x-a)¤ +(y-b)¤ +(z-c)¤ =b¤
중심 C
반지름의 길이
2 공간좌표121
▷▶정답과 해설 153쪽
중심이 C(3, 1, -2)이고, 다음을 만족하는 구의 방 정식을 구하여라.
⑴ xy평면에 접하는 구
⑵ yz평면에 접하는 구
⑶ zx평면에 접하는 구
0 4
구의 방정식 ①
Training
유형구 x¤ +y¤ +z¤ -12x-14y-16z-20=0 위의 점 (3, 3, -4)를 한 끝점으로 하는 지름의 다른 한 끝 점의 좌표를 구하여라.
1 4
중심이 C(1, -2, 3)이고, 점 A(2, 5, 2)를 지 나는 구의 방정식을 구하여라.
1 1
두 점 A(-1, 2, -1), B(2, 5, -4)에 대하여 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 구의 반지름의 길이는?
① 2'2 ② 2'3 ③ 4
④ 2'5 ⑤ 2'6
1 2
다음 방정식이 나타내는 구의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하여라.
⑴ x¤ +y¤ +z¤ -2y+2z+1=0
⑵ x¤ +y¤ +z¤ +2x-2y+4z-3=0
0 3
방정식 x¤ +y¤ +z¤ +2x-4y-6z+d=0이 나타 내는 구의 중심의 좌표가 (a, b, c), 반지름의 길이 가 5일 때, 상수 a, b, c, d의 합 a+b+c+d의 값을 구하여라.
1 3
구의 방정식 ②–좌표축 또는 좌표평면에 접하는 경우
점 A(-2, 3, 1)을 지나고, xy평면, yz평면, zx 평면에 모두 접하는 구는 2개 있다. 이 두 구의 반 지름의 길이의 합은?
① 3 ② 4 ③ 5
④ 6 ⑤ 7
1 6
두 점 A(1, 1, 1), B(1, 1, 3)을 지나고, yz평면 과 zx평면에 동시에 접하는 구는 2개 있다. 이 두 구의 겉넓이의 합은?
① 38p ② 40p ③ 42p
④ 44p ⑤ 46p
1 7
1 8
중심의 좌표가 모두 양수이고, 반지름의 길이가 2 인 구가 x축, y축, z축에 모두 접할 때, 원점과 구 의 중심 사이의 거리는?① '2 ② '3 ③ 2
④ '5 ⑤ '6
1 9
반지름의 길이가 3이고, 점 A(1, 3, 3)을 지나며 x축과 yz평면에 동시에 접하는 구가 있다. 이 구의 중심의 좌표를 (a, b, c)라 할 때, a+b+c의 값 을 구하여라.구 x¤ +y¤ +z¤ -2ax-6y+2z+b=0이 zx평면 과 yz평면에 동시에 접할 때, 상수 a, b에 대하여 a+b의 값은? (단, a>0)
① 13 ② 14 ③ 15
④ 16 ⑤ 17
1 5
구의 방정식 ③–네 점이 주어진 경우
네 점 (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 2, 2), (-4, 0, 3)을 지나는 구의 방정식을 구하여라.
10
2 공간좌표123
▷▶정답과 해설 154쪽
15
두 점 P(0, 0, 5), Q(a, b, 4)를 지나는 직선과 구 (x-1)¤ +(y-2)¤ +(z-3)¤ =4에 대하여 직 선과 구의 xy평면 위로의 정사영이 서로 접할 때,의 값은? (단, b+0)
① -2 ② - ③ -1
④ - ⑤ -2
3 3
4
3 2 a
b 자취의 방정식`
두 점 A(4, 0, 0), B(-4, 0, 0)에서의 거리의 비가 3 : 1인 점 P의 자취의 방정식을 구하여라.
12
14
두 점 A(2, 1, 0), B(6, 5, 4)에 대하여∠APB=90˘인 점 P의 자취의 방정식을 구하여라.
점 A(0, 6, -2)와 구 (x-2)¤ +(y-1)¤ +z¤ =4 위의 점 B에 대하여 선분 AB의 중점이 그리는 자 취의 넓이를 S라 할 때, S의 값을 구하여라.
p
13
11
다음 그림과 같은 사면체에 대하여 OA”=2, OB”=3, OC”=4이고, ∠AOB=∠BOC=∠COA=90˘일 때, 네 점 O, A, B, C를 지나는 구의 반지름의 길이를 구하여라.
A 4
2 3 B
C
O
Level up
16
반구 x¤ +(y-3)¤ +(z-4)¤ =4 (xæ0)와 z축을 포함하는 평면 a가 접할 때, 평면 a와 yz평면이 이루는 각의 크기를 h라 하자. 이때 cos h의 값을 구하여라. {단, 0<h< }p 2
08
구와 평면의 위치 관계1. 두 구의 위치 관계
두 구 O, O'의 반지름의 길이를 각각 r, r'(r>r'), 중심거리를 d라 하면 두 구의 위치 관계에 따른 r, r', d 사이의 관계식은 다음과 같다.
개념편 169쪽
두 구
(x-1)¤ +(y-4)¤ +z¤ =16 x¤ +y¤ +z¤ -6x+8z+a=0
의 위치 관계가 다음과 같을 때, 상수 a의 값 또는 a의 값의 범위를 구하여라.
⑴ 두 구가 서로 외접할 때
⑵ 두 구가 서로 내접할 때
⑶ 한 구가 다른 구의 외부에 있을 때
⑷ 한 구가 다른 구의 내부에 있을 때
⑸ 두 구의 교선이 원이 되게 만날 때
0 1
Check
개념구 (x-1)¤ +(y+3)¤ +(z-2)¤ =16과 다음 평면이 만나서 생기는 교선의 방정식을 구하여라.
⑴ xy평면
⑵ yz평면
⑶ zx평면
0 2
2. 구와 좌표평면이 만날 때 생기는 교선 구와 좌표평면이 만날 때 생기 는 교선은 오른쪽 그림과 같 이 원이다.
구 (x-a)¤ +(y-b)¤ +(z-c)¤ =r¤ 과 xy평면, yz평면, zx평면과의 각각의 교선인 원의 방정식은 다음과 같다.
교선
㉠ 한 구가 다른 구의
외부에 있다.
외접한다.
교선이 원이 되게 만난다.
내접한다.
한 구가 다른 구의 내부에 있다.
r+r'<d O r' O'
d r
r+r'=d O r r' O'
d
r-r'<d<r+r' r'
O O'
d r
r-r'=d O r
d r' O'
r-r'>d dOO' r'
r
2 공간좌표125
▷▶정답과 해설 157쪽
두 구의 위치 관계
Training
유형두 구
(x+1)¤ +(y+2)¤ +(z+3)¤ =a+16 (x+1)¤ +(y-2)¤ +z¤ =16
의 교점이 존재하지 않기 위한 상수 a의 값의 범위 를 구하여라.
1 2
두 집합
A={(x, y, z)|x¤ +y¤ +z¤ =9}
B={(x, y, z)|(x-a)¤ +(y-b)¤ +(z-c)¤ =1}
에 대하여 A;B+∅이 되도록 하는 점 (a, b, c) 의 영역의 부피를 구하여라.