Ⅰ.확률
유형편 라이트
유 형 편
라이트 P. 6
1⑴ 3가지 ⑵ 4가지 ⑶ 6가지 ⑷ 3가지 2⑴ 5가지 ⑵ 4가지 ⑶ 3가지 ⑷ 2가지
3⑴ (앞면, 앞면), (앞면, 뒷면), (뒷면, 앞면), (뒷면, 뒷면)
⑵ 2가지 4표는 풀이 참조
⑴ 36가지 ⑵ 6가지 ⑶ 4가지 ⑷ 6가지 ⑸ 8가지 유형 1
⑴ 1, 3, 5의 3가지
⑵ 1, 2, 3, 6의 4가지
⑶ 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6가지
⑷ 4, 5, 6의 3가지
⑴ 2, 4, 6, 8, 10의 5가지
⑵ 1, 2, 5, 10의 4가지
⑶ 3, 6, 9의 3가지
⑷ 1, 2의 2가지
⑵ (앞면, 뒷면), (뒷면, 앞면)의 2가지
⑴ 일어나는 모든 경우의 수는 36가지이다.
⑵ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지
⑶ (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지
⑷ (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)의 6가지
⑸ (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)의 8가지
4 3 2 1
1 경우의 수 P. 7
1 6가지 2⑴ 4가지 ⑵ 5가지
3⑴ 8가지 ⑵ 13가지 4⑴ 8가지 ⑵ 12가지 56가지 612가지 715가지
8⑴ 3가지 ⑵ 3가지 ⑶ 9가지 유형 2
2+4=6(가지)
⑴ 3보다 작은 눈이 나오는 경우의 수는 1, 2의 2가지 4보다 큰 눈이 나오는 경우의 수는 5, 6의 2가지
∴ 2+2=4(가지)
⑵ 2의 배수의 눈이 나오는 경우의 수는 2, 4, 6의 3가지 5의 약수의 눈이 나오는 경우의 수는 1, 5의 2가지
∴ 3+2=5(가지)
⑴ 3의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수는 3, 6, 9, 12, 15, 18의 6가지
7의배수가적힌카드가나오는경우의수는 7, 14의 2가지
∴ 6+2=8(가지)
⑵ 짝수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수는 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20의 10가지
9의 약수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수는 1, 3, 9의 3가지
∴ 10+3=13(가지)
⑴ 두 눈의 수의 합이 4인 경우의 수는 (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지
⑴ 두 눈의 수의 합이 6인 경우의 수는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5가지
⑴ ∴ 3+5=8(가지)
⑵ 두눈의수의차가 2인경우의수는 (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)의 8가지
⑴ 두 눈의 수의 차가 4인 경우의 수는 (1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)의 4가지
⑴ ∴ 8+4=12(가지)
A지점에서 B지점으로 가는 경우의 수는 2가지 B지점에서 C지점으로 가는 경우의 수는 3가지
∴ 2_3=6(가지) 3_4=12(가지) 5_3=15(가지)
⑴ 가위, 바위, 보의 3가지 ⑵ 가위, 바위, 보의 3가지
⑶ 3_3=9(가지) 8
7 6 5 4 3 2 1
A B
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
⑷
⑸
⑸ ⑶
⑵
두 눈의 수의 합이
두 눈의 수의 차가 3 4
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정답과해설_ 유형편라이트
P. 8 1⑴ 풀이 참조, 8가지 ⑵ 3가지
2⑴ 36가지 ⑵ 12가지 ⑶ 24가지 3⑴ 6가지 ⑵ 6가지 ⑶ 24가지 ⑷ 24가지 4⑴ 6가지 ⑵ 2가지 ⑶ 4가지 ⑷ 12가지 유형 3
⑴
⑵2_2_2=8(가지)
⑵ HTT, THT, TTH의 3가지
⑴ 6_6=36(가지)
⑵ 2_6=12(가지)
⑶ 2_2_6=24(가지)
⑴ 3_2_1=6(가지)
⑵ 3_2=6(가지)
⑶ 4_3_2_1=24(가지)
⑷ 4_3_2=24(가지)
⑴ A를 맨 앞에 고정시키고 B, C, D 3명을 한 줄로 세우는 경우이므로 3_2_1=6(가지)
⑵ A를 맨 앞에, B를 맨 뒤에 고정시키고 C, D 2명을 한 줄로 세우는 경우이므로
⑴2_1=2(가지)
⑶ ⑵`의 경우에서 A, B가 자리를 바꾸는 경우의 수가 2가 지이므로 (2_1)_2=4(가지)
⑷ A, B를 한 명으로 생각하면 3명을 한 줄로 세우는 경우 의 수는 (3_2_1)가지
A, B가 자리를 바꾸는 경우의 수가 2가지
⑴ ∴ (3_2_1)_2=12(가지) 4
3 2
H
yy HHH
H
yy yy yy yy yy yy yy TTT T
TTH H
T
THT T
THH H
H
HTT T
HTH H
T
HHT T
H
T
1
P. 9 1⑴ 12개 ⑵ 24개 ⑶ 6개 2 ⑴ 9개 ⑵ 18개 ⑶ 4개 3⑴ 12가지 ⑵ 6가지
4⑴ 20가지 ⑵ 10가지 ⑶ 30가지 5 15번 유형 4
⑴
⑴∴ 4_3=12(개)
⑵
⑴∴ 4_3_2=24(개)
⑶ 십의자리의숫자가 3인자연수의개수는 31, 32, 34의3개
⑴십의자리의숫자가 4인자연수의개수는 41, 42, 43의3개
⑴∴ 3+3=6(개)
⑴
⑴∴ 3_3=9(개)
⑵
⑴∴ 3_3_2=18(개)
⑶ 일의 자리의 숫자가 1인 홀수의 개수는 21, 31의 2개
⑴일의 자리의 숫자가 3인 홀수의 개수는 13, 23의 2개
⑴∴ 2+2=4(개)
⑴ 자격이 다른 대표를 뽑는 경우이므로 4_3=12(가지)
⑵ 자격이 같은 대표를 뽑는 경우이므로 =6(가지)
⑴ 자격이 다른 대표를 뽑는 경우이므로 5_4=20(가지)
⑵ 자격이 같은 대표를 뽑는 경우이므로 =10(가지)
⑶ 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 5가지
4명 중에서 부회장 2명을 뽑는 경우의 수는 { } 가지
∴ 5_ =30(가지)
6개의 축구팀 중에서 순서와 관계없이 2팀을 뽑는 경우이므로
=15(번) 6_5
2 5
4_3 2
4_3 2 5_4
2 4
4_3 2 3
2
1 십의
자리 일의 자리
백의 자리
십의 자리
일의 자리
≈f
0을 제외한 1, 2, 3의 3개 십의
자리 일의 자리
Z`십의 자리의 숫자를 제외하고 0을 포함한 3개
≈f
1, 2, 3, 4의 4개
Z`십의 자리의 숫자를 제외한 3개
백의 자리
십의 자리
일의 자리
Z``백, 십의 자리의 숫자를 제외한 2개
≈2f2
z백의 자리의 숫자를 제외하고 0을 포함한 3개
≈2f2 f2f2
0을 제외한 1, 2, 3의 3개
Z``백, 십의 자리의 숫자를 제외한 2개
≈2f2
z백의 자리의 숫자를 제외한 3개
≈2f2 f2f2
1, 2, 3, 4의 4개
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Ⅰ.확률
유 형 편
라이트
쌍둥이기출문제 P. 11~14
1③ 2 4가지 3 ④ 4 6가지, 과정은 풀이 참조 5 5가지 6 13가지 7 ② 8④ 9 15가지 10 12가지 11④ 12 6가지, 과정은 풀이 참조 13④ 14③ 15 4가지 16 ④ 17④ 18② 19③ 20⑤ 21 12개, 과정은 풀이 참조 22④ 23 9개, 과정은 풀이 참조 24③ 25⑤ 26④
27 6가지 28 15가지 29③ 30③
2, 3, 5의 3가지 3, 4, 5, 6의 4가지
두 눈의 수의 합이 2인 경우의 수는 (1, 1)의 1가지 두 눈의 수의 합이 6인 경우의 수는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5가지
∴ 1+5=6(가지)
두 눈의 수의 합이 4인 경우의 수는
(1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지 y`⁄
두 눈의수의 합이 10인 경우의수는
(4, 6), (5, 5), (6, 4)의 3가지 y`¤
따라서 구하는 경우의 수는 3+3=6(가지) y`‹
3+2=5(가지)
3+10=13(가지)
3의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수는 3, 6, 9의 3가지 5의 배수가 적힌 카드가 나오는 경우의 수는 5, 10의 2가지
∴ 3+2=5(가지)
4의 배수가 나오는 경우의 수 : 4, 8, 12의 3가지 10의 약수가 나오는 경우의 수 : 1, 2, 5, 10의 4가지
∴ 3+4=7(가지)
5_3=15(가지)
4_3=12(가지) 3_4=12(가지)
A B C
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
3~8 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수
두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A가 일어나는 경 우의 수를 a가지, 사건 B가 일어나는 경우의 수를 b가지라 하면
⇨ (사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수)=a+b (가지)
9~16 사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우의 수 사건 A가 일어나는 경우의 수를 a가지, 그 각각에 대하여 사건 B 가 일어나는 경우의 수를 b가지라 하면
⇨ (사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우의 수)=a_b(가지)
⁄ 두 눈의 수의 합이 4인 경우의 수 구하기 40 %
채점 기준 배점
¤ 두 눈의 수의 합이 10인 경우의 수 구하기 40 %
‹ 답 구하기 20 %
한번더연습 P. 10
1⑴ 4가지 ⑵ 2가지 ⑶ 8가지 2 72가지 3 12가지 4⑴ 6가지 ⑵ 12가지 5 24가지
6⑴ 20개 ⑵ 8개 7⑴ 16개 ⑵ 9개 8 6개
⑶ 4_2=8(가지)
2_6_6=72(가지)
A와 B를 양 끝에 고정시키고 나머지 3명을 한 줄로 세우고, A와 B가 자리를 바꿀 수 있으므로
(3_2_1)_2=12(가지)
⑴ 딸을 두 번째에 고정시키고 나머지 3명을 한 줄로 세우는 경우이므로 3_2_1=6(가지)
⑵ 아빠와 엄마를 한 명으로 생각하여 3명을 한 줄로 세우 고, 아빠와 엄마가 자리를 바꿀 수 있으므로
(3_2_1)_2=12(가지) 4_3_2_1=24(가지)
⑴ 5_4=20(개)
⑵ 2인 짝수의 개수는 12, 32, 42, 52의 4개 4인 짝수의 개수는 14, 24, 34, 54의 4개
∴ 4+4=8(개)
⑴ 4_4=16(개)
⑵ 2 인 자연수의 개수는 24의 1개
3 인 자연수의 개수는 30, 31, 32, 34의 4개 4 인자연수의 개수는 40, 41, 42, 43의 4개
∴ 1+4+4=9(개)
4개의 점 중에서 2개의 점을 선택하므로 4_3=6(개) 8 2
7 6 5 4 3 2
학교
① ①
②
②
③ ④ 서점
1 집
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정답과해설_ 유형편라이트
집에서 서점까지 가는 방법의 수는 2가지 y`⁄
서점에서 학교까지 가는 방법의 수는 3가지 y`¤
따라서 구하는 경우의 수는 2_3=6(가지) y`‹
A에서 홀수의 눈이 나오는 경우의 수는 1, 3, 5의 3가지 B에서 6의 약수의 눈이 나오는 경우의 수는 1, 2, 3, 6의 4가지
∴ 3_4=12(가지)
A에서 2의 배수의 눈이 나오는 경우의 수는 2, 4, 6의 3가지 B에서 소수의 눈이 나오는 경우의 수는 2, 3, 5의 3가지
∴ 3_3=9(가지) 2_2=4(가지) 2_2_2=8(가지)
5_4_3_2_1=120(가지)
C는 맨 앞에 고정시키고 A, B, D 3명을 한 줄로 세우는 경우이므로 3_2_1=6(가지)
B, D를 한 명으로 생각하여 4명을 한 줄로 세우고 B와 D 가 서로 자리를 바꿀 수 있으므로
(4_3_2_1)_2=48(가지)
유성이와 현준이를 한 명으로 생각하여 5명을 한 줄로 세우 고 유성이와 현준이가 서로 자리를 바꿀 수 있으므로 (5_4_3_2_1)_2=240(가지)
십의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 5, 6, 7, 8의 4개 y ⁄ 일의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 십의 자리의 숫자를 제
외한 3개 y ¤
따라서 두 자리의 자연수의 개수는 4_3=12(개) y`‹
21
20 19 18 17 16 15 14 13 12십의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 5, 6, 7, 8, 9의 5개 일의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 십의 자리의 숫자를 제 외한 4개
∴ 5_4=20(개)
십의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 0을 제외한 7, 8, 9
의 3개 y ⁄
일의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 십의 자리의 숫자를 제
외한 3개 y ¤
따라서 두 자리의 자연수의 개수는 3_3=9(개) y`‹
십의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 0을 제외한 6, 7, 8, 9의 4개
일의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수는 십의 자리의 숫자를 제 외한 4개
∴ 4_4=16(개)
3_2=6(가지) 4_3=12(가지)
=6(가지)
=15(가지)
5개의 점 중에서 2개의 점을 선택하므로
=10(개)
6개의 점 중에서 2개의 점을 선택하므로
=15(개) 6_5
2 30
5_4 2 29
6_5 28 2
4_3 27 2 26 25 24 23 22
17~20 한 줄로 세우기 n명을 한 줄로 세우는 경우의 수는
˙k n_(n-1)_(n-2)_y_2_1(가지)
21~24 정수 만들기
서로 다른 한 자리의 숫자가 각각 적힌 n장의 카드에서 2장을 동 시에 뽑아 만들 수 있는 두 자리의 정수의 개수
˙k 0이 포함되지 않는 경우 : n_(n-1)(개) 0이 포함된 경우 : (n-1)_(n-1)(개)
25~30 대표 뽑기
⑴ n명 중에서 자격이 다른 대표 2명을 뽑는 경우의 수
˙k n_(n-1)(가지)
⑵ n명 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수
˙k n_(n-1)(가지) 2
⁄ 집에서 서점까지 가는 방법의 수 구하기 40 %
채점 기준 배점
¤ 서점에서 학교까지 가는 방법의 수 구하기 40 %
‹ 답 구하기 20 %
⁄ 십의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수 구하기 40 %
채점 기준 배점
¤ 일의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수 구하기 40 %
‹ 두 자리의 자연수의 개수 구하기 20 %
⁄ 십의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수 구하기 40 %
채점 기준 배점
¤ 일의 자리에 올 수 있는 숫자의 개수 구하기 40 %
‹ 두 자리의 자연수의 개수 구하기 20 %
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Ⅰ.확률
유 형 편
라이트 P. 15
1⑴ ⑵ 2
3⑴ ⑵ ⑶ 4⑴ ⑵ ⑶
5⑴ ⑵ 2 6⑴ 16가지 ⑵ 풀이 참조 5
3 5
2 9 1 12 1 6 1
2 2 3 1 2
2 25 3
8 5 8 유형 1
전체 제비의 개수는 100개이고 당첨 제비의 개수는 8개이므 로 당첨될 확률은 =
모든 경우의 수는 6가지
⑴ 홀수의 눈이 나오는 경우의 수는 1, 3, 5의 3가지이므 로 확률은 =
⑵ 6의 약수의 눈이 나오는 경우의 수는 1, 2, 3, 6의 4가 지이므로 확률은 =
⑶ 소수의 눈이 나오는 경우의 수는 2, 3, 5의 3가지이므 로 확률은 =
모든 경우의 수는 6_6=36(가지)
⑴ 두 눈의 수가 같은 경우의 수는 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지이므로 확률은
=
⑵ 두 눈의 수의 합이 4인 경우의 수는 (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지이므로 확률은 =
⑶ 두 눈의 수의 차가 2인 경우의 수는 (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)의 8가지이므로 확률은 =
모든 경우의 수는 10가지
⑴ 4보다 큰 수가 나오는 경우의 수는 5, 6, 7, 8, 9, 10의 6가지이므로 확률은 =
⑵ 10의 약수가 나오는 경우의 수는 1, 2, 5, 10의 4가지 이므로 확률은 =
⑴ 2_2_2_2=16(가지) 6
2 5 4 10
3 5 6 10 5
2 9 8 36
1 12 3 36 1
6 6 36 4
1 2 3 6
2 3 4 6 1 2 3 6 3
2 25 8 100 2
2 확률 ⑵ 경우 경우의 수 확률
=1 4 4 4가지 16 도
6가지 ;8#;
개
4가지 ;4!;
걸
1 1가지 16
윷
;1¡6;
1가지 모
모든 경우의 수는 6가지
⑴ 짝수의 눈이 나오는 경우의 수는 2, 4, 6의 3가지이므 로 확률은 =
⑵ 주사위의 눈은 모두 6 이하이므로 확률은 1
⑶ 6보다 큰 눈은 없으므로 확률은 0 모든 경우의 수는 6_6=36(가지)
⑴ 두 눈의 수의 합이 1인 경우는 없으므로 확률은 0
⑵ 두 눈의 수의 합은 모두 12 이하이므로 확률은 1 (복권에 당첨되지 않을 확률)=1-(복권에 당첨될 확률)
=1- =
카드에 적힌 숫자가 3의 배수인 경우의 수는 3, 6, 9, 12, 15, 18의 6가지이므로 3의 배수일 확률은
∴ (3의 배수가 아닐 확률)=1-(3의 배수일 확률)
=1- = =
(적어도 한 개는 앞면이 나올 확률)
=1-(두 개 모두 뒷면이 나올 확률)=1- =
(적어도 한 개는 뒷면이 나올 확률)
=1-(세 개 모두 앞면이 나올 확률)=1- =
(서로 다른 눈이 나올 확률)
=1-(서로 같은 눈이 나올 확률)=1- = =5 6 30 36 6 36 8
7 8 1 8 7
3 4 1 4 6
7 10 14 20 6 20
6 20 5
3 5 2 5 4
2
1 2 3 6 1
유형 2 P. 16
1⑴ ⑵ 1 ⑶ 0 2⑴ 0 ⑵ 1
3⑴ ⑵ 0 ⑶ 1 4 5 6
7 8 5
6 7
8
3 4 7
10 3
5 5
12 1 2
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한걸음더연습 P. 19
1⑴ ⑵ 2⑴ ⑵ 3⑴ ⑵
4⑴ ⑵ ⑶ 5
6⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 5
9 4 9 1 9 2 3
8 15 5
12 1
4 1 6
22 45 1
3 1
8 1 12 1
4 1 6
정답과해설_ 유형편라이트
⑴ _ =
⑵ {1- }_{1- }= _ = 1 15 1 5 1 3 4 5 2
3 8 15 4 5 2 8 3
전체 공의 개수는 5+7+8=20(개)
빨간 공이 나올 확률은 , 파란 공이 나올 확률은 따라서 구하는 확률은 + = =
⑴ 5의 배수가 나오는 경우의 수는 5, 10, 15의 3가지이므 로 확률은
7의 배수가 나오는 경우의 수는 7, 14의 2가지이므로 확률은
따라서 구하는 확률은 + = =
⑵ 소수가 나오는 경우의 수는 2, 3, 5, 7, 11, 13의 6가 지이므로 확률은
6의 배수가 나오는 경우의 수는 6, 12의 2가지이므로 확률은
따라서 구하는 확률은 + = 전체 학생 수는 43+35+17+5=100(명) A형일 확률은 , O형일 확률은
따라서 구하는 확률은 + = =
모든 경우의 수는 6_6=36(가지)
두 눈의 수의 합이 3인 경우의 수는 (1, 2), (2, 1)의 2가 지이므로 확률은
두 눈의 수의 합이 7인 경우의 수는 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)의 6가지이므로 확률은
따라서 구하는 확률은 + = =
_ =
_ =
⑴ _ = ⑵ _ = 4
15 4 6 2 5 1
5 2 6 3 7 5
2 25 2 5 1 6 5
1 6 2 6 1 5 2
2 9 8 36 6 36 2 36
6 36 2
36 4
3 5 60 100 17 100 43 100
17 100 43
100 3
8 15 2 15 6 15 2
15 6 15
1 3 5 15 2 15 3 15 2
15 3 15 2
3 5 12 20 7 20 5 20
7 20 5
20 1
유형 3 P. 17
1 2⑴ ⑵ 3 4
5 6 7⑴ ⑵ 8⑴ ⑵ 1
15 8
15 4
15 1 5 2
25 1
6
2 9 3
5 8 15 1
3 3
5
모든 경우의 수는 6_6=36(가지)
⑴ x+2y…6에서 x…6-2y
y=1일 때, 순서쌍 (x, y)의 개수는 (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)의 4가지
y=2일 때, 순서쌍 (x, y)의 개수는 (1, 2), (2, 2)의 2가지
y=3, 4, 5, 6일 때, x+2y…6을 만족하는 x의 값은 없다.
∴ 4+2=6(가지) 1
⑴ _ = ⑵ _ =
⑴ 처음에 검은 공이 나올 확률은 , 처음에 검은 공 1개 를 뽑았으므로 남은 전체 공의 개수는 9개이고, 흰 공은 6개이므로 나중에 흰 공이 나올 확률은
∴ _ =
⑵ 처음에 흰 공이 나올 확률은 , 나중에 흰 공이 나올
확률은 ∴ _ =
⑴ _ = ⑵ _ =
⑶ _ = 7 15 6 9 7 10
7 30 7 9 3 10 1
15 2 9 3 3 10
1 3 5 9 6 10 5
9
6 10 4
15 6 9 4 10
6 9 4 2 10
1 4 5 10 5 10 3
25 4 10 3 1 10
유형 4 P. 18
1⑴ ⑵ 2⑴ ⑵
3⑴ ⑵ ⑶ 7
15 7 30 1
15
1 3 4 15 1
4 3 25
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Ⅰ.확률
유 형 편
라이트 따라서 x+2y…6일 확률은 =
⑵ y<2x-6에서
x=1, 2, 3일때, y<2x-6을만족하는 y의값은없다.
x=4일 때, 순서쌍 (x, y)의 개수는 (4, 1)의 1가지 x=5일 때, 순서쌍 (x, y)의 개수는 (5, 1), (5, 2), (5, 3)의 3가지
x=6일 때, 순서쌍 (x, y)의 개수는 (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)의 5가지
∴ 1+3+5=9(가지)
따라서 y<2x-6일 확률은 =
⑴ 홀수의 눈이 나올 확률은 , 2의 배수의 눈이 나올 확 률은 , 5의 약수의 눈이 나올 확률은 이므로
_ _ =
⑵ 짝수의 눈이 나올 확률은 이므로
_ _ =
⑴ _ =
⑵ (A는 흰 공, B는 검은 공이 나올 확률)= _ = (A는 검은 공, B는 흰 공이 나올 확률)= _ = 따라서 구하는 확률은 + =
⑴ _{1- }= _ =
⑵ {1- }_ = _ =
⑶ 갑은 합격하고 을은 불합격하거나 갑은 불합격하고 을은 합격할 확률이므로 + =
x+y가 홀수이려면 x는 짝수이고 y는 홀수이거나 x는 홀 수이고 y는 짝수이어야 하므로
{1- }_ + _{1- }= + =
⑴ 1- = ⑵ _ =
⑶ {1- }_{1- }= _ =
⑷ (적어도 한 번은 우승할 확률)
=1-(한 번도 우승하지 못할 확률)=1- =5 9 4 9 4 9 2 3 2 3 1 3 1
3
1 9 1 3 1 3 2
3 1 6 3
8 15 2 15 6 15 3 5 1
3 3 5 1 3 5
5 12 1 4 1 6
1 4 3 4 1 3 3 4 2 3
1 6 1 4 2 3 3 4 2
4 3
22 45 10 45 12 45
10 45 5 9 2 5
12 45 4 9 3 5 1
3 5 9 3 3 5
1 8 3 6 3 6 3 6
3 6 1 12 2 6 3 6 3 6
2 6 3
6
3 2 6
1 4 9 36
1 6 6
36 쌍둥이기출문제 P. 20~23
1 2 3 4 5④ 6④
7 , 과정은 풀이 참조 8① 9⑤ 10②
11③ 12④ 13 14 15⑤ 16⑤
17 18 19④ 20
21 , 과정은 풀이 참조 22② 23③ 24①
25⑴ ⑵ ⑶ 26④ 27 28
29 30 31 4 32⑤
5 3
10 3
5
1 15 3
28 1
2 3 10 1 5 1 6
3 10 9
10 4
5
3 5 3
4 1
12
1 5 1
4 2
5 1
2
모든 경우의 수는 6가지
2의 배수가 나오는 경우의 수는 2, 4, 6의 3가지 따라서 구하는 확률은 =
모든 경우의 수는 10가지
소수가 나오는 경우의 수는 2, 3, 5, 7의 4가지 따라서 구하는 확률은 =
모든 경우의 수는 4_3_2_1=24(가지)
두리를 첫 번째에 세우고 나머지 3명의 순서를 정하는 경우 의 수는 3_2_1=6(가지)
따라서 구하는 확률은 =
모든 경우의 수는 5_4_3_2_1=120(가지)
A를 맨 처음에 고정시키고 나머지 네 알파벳을 한 줄로 나열 하는 경우의 수는 4_3_2_1=24(가지)
따라서 구하는 확률은 = 모든 경우의 수는 3_3=9(가지)
30 이상인 경우의 수는 30, 31, 32의 3가지 따라서 구하는 확률은 =
모든 경우의 수는 3_3=9(가지)
짝수가 되는 경우의 수는 10, 12, 20, 30, 32의 5가지 따라서 구하는 확률은 5
9 6
1 3 3 9 5
1 5 24 120 4
1 4 6 24 3
2 5 4 10 2
1 2 3 6 1
1~6 확률 구하기
=②
´˙k (확률) ① Ç
① 모든 경우의 수 구하기
② 사건이 일어나는 경우의 수 구하기
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정답과해설_ 유형편라이트
모든 경우의 수는 6_6=36(가지) y ⁄ x+2y=7을 만족하는 순서쌍 (x, y)의 개수는
(1, 3), (3, 2), (5, 1)의 3가지 y ¤
따라서 x+2y=7일 확률은 = y ‹
모든 경우의 수는 6_6=36(가지)
2x+y=8을 만족하는 순서쌍 (x, y)의개수는 (1, 6), (2, 4), (3, 2)의 3가지
따라서 구하는 확률은 =
① 0 ② ③ ④
① ③ 1 ④ ⑤
(당첨되지 않을 확률)=1-(당첨될 확률)=1- = (`A학교가 이길 확률)=1-(`B학교가 이길 확률)
=1- = (4의 배수가 적힌 구슬이 나오지 않을 확률)
=1-(4의 배수가 적힌 구슬이 나올 확률)
=1- = =
(소수가 아닌 수가 나올 확률)=1-(소수가 나올 확률)
=1- = =3 5 6 10 4 10 14
3 4 15 20 5 20 13
7 12 5 12 12
5 7 2 11 7
1 10 1
10 1
10 10
2 3 1 2 1 9 6
1 12 3 36 8
1 12 3 36 7
(적어도 한 개는 앞면이 나올 확률)
=1-(3개 모두 뒷면이 나올 확률)=1- =
모든 경우의 수는 2_2=4(가지)
두 문제 모두 틀리는 경우의 수는 1가지이므로 두 문제 모두 틀릴 확률은
∴ (적어도 한 문제는 맞힐 확률)`=1- =
모든 경우의 수는 =15(가지)
2명모두남학생이뽑히는경우의수는 =3(가지)이므로 2명 모두 남학생이 뽑힐 확률은 =
∴ (적어도 한 명은 여학생이 뽑힐 확률)=1- =
모든 경우의 수는 =10(가지)이고
2개 모두 검은 공을 꺼내는 경우의 수는 =1(가지)이므 로 2개 모두 검은 공을 꺼낼 확률은
∴ (적어도 한 개는 흰 공을 꺼낼 확률)=1- =
3의 배수가 적힌 카드가 나올 확률은 5의 배수가 적힌 카드가 나올 확률은 따라서 구하는 확률은 + = =
8의 약수가 적힌 구슬이 나올 확률은 7의 배수가 적힌 구슬이 나올 확률은 따라서 구하는 확률은 + = =
모든 경우의 수는 6_6=36(가지)
두 눈의 수의 합이 4인 경우의 수는 (1, 3), (2, 2), (3, 1)
의 3가지이므로 확률은 3 y ⁄
36 21
3 10 6 20 2 20 4 20
2 20
4 20 20
1 2 6 12 2 12 4 12
2 12
4 19 12
9 10 1 10 1 10
2_1 2 5_4
18 2
4 5 1 5 1 5 3 15
3_2 2 6_5
17 2
3 4 1 4 1
4 16
7 8 1 8 15
9~10 확률의 성질
⑴ 어떤 사건이 일어날 확률을 p라 하면 0…p…1
⑵ 반드시 일어나는 사건의 확률은 1
⑶ 절대로 일어나지 않는 사건의 확률은 0
11~18 어떤 사건이 일어나지 않을 확률
⑴ 사건 A가 일어날 확률을 p라 하면 (사건 A가 일어나지 않을 확률)=1-p
⑵ (적어도 ~일 확률)`=1-(모두 ~가 아닐 확률)
19~22 확률의 덧셈
두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A가 일어날 확 률을 p, 사건 B가 일어날 확률을 q라 하면
˙k (사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률)=p+q 7~8 방정식을 만족할 확률
주사위를 던져서 나온 두 눈의 수가 a, b일 때, 방정식을 만족하는 자연수인 순서쌍 (a, b)를 찾는다.
⁄ 모든 경우의 수 구하기 40 %
채점 기준 배점
¤ x+2y=7을 만족하는 순서쌍의 개수 구하기 40 %
‹ x+2y=7일 확률 구하기 20 %
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Ⅰ.확률
유 형 편
라이트 두 눈의 수의 합이 10인 경우의 수는 (4, 6), (5, 5), (6, 4)
의 3가지이므로 확률은 y ¤
따라서 구하는 확률은 + = = y ‹
모든 경우의 수는 6_6=36(가지)
두 눈의 수의 합이 6인 경우의 수는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)의 5가지이므로 확률은
두 눈의 수의 합이 12인 경우의 수는 (6, 6)의 1가지이므 로 확률은
따라서 구하는 확률은 + = =
동전은 뒷면이 나올 확률은 주사위는 소수의 눈이 나올 확률은 따라서 구하는 확률은 _ =
3의 배수가 나올 확률은 12의 약수가 나올 확률은
따라서 구하는 확률은 _ =
⑴ A주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은 B주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은
따라서 두 공이 모두 흰 공일 확률은 _ =
⑵ A주머니에서 검은 공을 꺼낼 확률은 B주머니에서 검은 공을 꺼낼 확률은
따라서 두 공이 모두 검은 공일 확률은 _ =
⑶ (두 공이 모두 흰 공일 확률)+(두 공이 모두 검은 공일 확률)
= + = =1 2 5 10 3 10 1 5
3 10 3 6 3 5 3 6 3 5
1 5 3 6 2 5 3 6 2 25 5
1 6 6 12 4 12
6 12 4 24 12
1 4 3 6 1 2
3 6 1 23 2
1 6 6 36 1 36 5 36 1
36
5 36 22
1 6 6 36 3 36 3 36
3 36
(A``:``흰 돌, B``:``검은 돌일 확률)+(A``:``검은돌, B``:``흰돌일확률)
={ _ }+{ _ }= + = =
처음에 검은 공이 나올 확률은 나중에 검은 공이 나올 확률은
따라서 2개 모두 검은 공일 확률은 _ =
처음에 당첨 제비가 나올 확률은 나중에 당첨 제비가 나올 확률은
따라서 2개 모두 당첨 제비일 확률은 _ =
A문제를 맞힐 확률은 1- = B문제를 맞힐 확률은 1- =
따라서 두 문제 A, B를 모두 맞힐 확률은 _ =
토요일에 눈이 내리지 않을 확률은 1- = 일요일에 눈이 내리지 않을 확률은 1- = 따라서 주말에 눈이 내리지 않을 확률은 _ =
(적어도 한 사람이 합격할 확률)
=1-(두 사람 모두 불합격할 확률)
=1-{1- }_{1- }=1- =
(적어도 한 명이 명중시킬 확률)
=1-(두 사람 모두 명중시키지 못할 확률)
=1-{1- }_{1- }=1- =17 20 3 20 3
4 2
5 32
4 5 1 5 2
3 2
5 31
3 10 3 5 1 2
3 5 2 5
1 2 1 30 2
3 5 4 5 3 4 4
5 1 5
3 4 1 29 4
1 15 2 9 3 10 2 9 3 28 10
3 28 2 7 3 8 2 7 3 27 8
8 15 16 30 12 30 4 30 3 5 4 6 2 5 2 6 26
23~26 확률의 곱셈
두 사건 A, B가 서로 영향을 끼치지 않을 때,
사건 A가 일어날 확률을 p, 사건 B가 일어날 확률을 q라 하면
˙k (사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 확률)=p_q
⁄ 두 눈의 수의 합이 4일 확률 구하기 40 %
채점 기준 배점
¤ 두 눈의 수의 합이 10일 확률 구하기 40 %
‹ 두 눈의 수의 합이 4 또는 10일 확률 구하기 20 %
29~32 두 사건 A, B가 서로 영향을 끼치지 않고 동시에 일어날 때, 사건 A가 일어날 확률을 p, 사건 B가 일어날 확률을 q라 하면
⑴ 두 사건 A, B 모두 일어나지 않을 확률
˙k (1-p)_(1-q)
⑵ 두 사건 A, B 중 적어도 하나는 일어날 확률
˙k 1-(두 사건 모두 일어나지 않을 확률)
=1-(1-p)_(1-q) 27~28 연속하여 뽑는 경우의 확률
˙k 꺼낸 것을 다시 넣는지, 넣지 않는지를 확인한다.
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정답과해설_ 유형편라이트
유형편 라이트 Ⅱ. 도형의 성질
1 이등변삼각형
유형 1 P. 26
1⑴ 64˘ ⑵ 70˘ ⑶ 80˘ ⑷ 50˘ ⑸ 120˘ ⑹ 140˘
2⑴ ∠x=80˘, ∠y=120˘ ⑵ ∠x=55˘, ∠y=55˘
3⑴ x=10, y=90 ⑵ x=5, y=55 ⑶ x=65, y=90
⑴ ∠x=180˘-(58˘+58˘)=64˘
⑵ ∠x= _(180˘-40˘)=70˘
⑶ ∠x=180˘-(50˘+50˘)=80˘
⑷ ∠ABC=180˘-100˘=80˘
∴ ∠x= _(180˘-80˘)=50˘
⑸ ∠ACB= _(180˘-60˘)=60˘
∴ ∠x=180˘-60˘=120˘
⑹ ∠x=70˘+70˘=140˘
⑴ AB”=AC”이므로 ∠ACB=∠ABC=40˘
△ABC에서 ∠x=40˘+40˘=80˘
AC”=CD”이므로 ∠ADC=∠DAC=80˘
△DBC에서 ∠y=80˘+40˘=120˘
⑵ ∠y= _(180˘-70˘)=55˘
AD”//BC”이므로 ∠x=∠B=∠y=55˘(동위각)
⑴ x= BC”= _20=10 , ∠ADC=90˘이므로 y=90
⑵ x=DC”=5
∠ADC=90˘, ∠DAC=∠BAD=35˘이므로
△ADC에서 ∠ACD=180˘-(35˘+90˘)=55˘
∴ y=55
⑶ ∠ADC=90˘이므로 y=90
△ABD에서 ∠ABD=180˘-(25˘+90˘)=65˘
∴ x=65 1 2 1 3 2
1 2 2
1 2 1 2 1 2 1
⑴ ∠ACB=180˘-(40˘+70˘)=70˘이므로 △ABC는 이 등변삼각형이다.
∴ x=AB”=7
⑵ ∠DCA=∠A=50˘이므로 △DCA는이등변삼각형이다.
∴ DC”=D’A”=6
∠B=∠DCB=40˘이므로 △DBC는이등변삼각형이다.
∴ x=DC”=6
⑴ AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠C=72˘
∴ ∠A=180˘-(72˘+72˘)=36˘
∠DBC= ∠ABC= _72˘=36˘
⑵ ∴ ∠BDC=180˘-(36˘+72˘)=72˘
⑵ 오른쪽 그림에서 이등변삼각형은
△ABC, △ABD, △BCD이다.
⑶ △BCD는 이등변삼각형이므로 BD”=BC”=9 cm
△ABD는 이등변삼각형이므로 AD”=BD”=9 cm
⑴ ∠ABC=∠C= _(180˘-36˘)=72˘
∴ ∠ABD=∠DBC= ∠ABC= _72˘=36˘
따라서 △ABD는 이등변삼각형이므로 BD”=AD”=5 cm
⑵ △BCD에서 ∠BDC=180˘-(36˘+72˘)=72˘
△BCD는 이등변삼각형이므로 BC”=BD”=5 cm
⑴ AC”//BD”이므로 ∠ACB=∠CBD(엇각)
∠ABC=∠CBD(접은 각)
⑵ ∠ABC=∠ACB이므로 △ABC는 이등변삼각형이다.
⑶ ∠ABC=∠ACB=65˘이므로
△ABC에서 ∠BAC=180˘-(65˘+65˘)=50˘
AD”//BC”이므로 ∠PFE=∠FEC (엇각)
∠PEF=∠FEC (접은 각)이므로 ∠PFE=∠PEF 따라서 △PEF는 이등변삼각형이므로
PF”=PE”=7 cm 5
4
1 2 1
2 1 3 2
9 cm 72˘72˘
36˘
36˘
36˘
B C
D A 1
2 1
2 2
1
유형 2 P. 27
1⑴ 7 ⑵ 6
2⑴ ∠A=36˘, ∠BDC=72˘
⑵ △ABC, △ABD, △BCD ⑶ 9 cm 3⑴ 5 cm ⑵ 5 cm
4⑴ ∠ABC, ∠ACB ⑵ 이등변삼각형 ⑶ 50˘ 57 cm
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Ⅱ.도형의성질
유 형 편
라이트
⑴ ⑵
⑶ A
B C
D
E F
A
B C
D
E F
A
B C
D
E F
2
유형 3 P. 28
1㉮`와 ㉳ (RHS 합동), ㉰`와 ㉱ (RHA 합동) 2그림은 풀이 참조
⑴ RHS 합동 ⑵ RHA 합동 ⑶ 합동이 아니다.
3⑴ BQO, 90, AO”, BOQ, RHA
⑵ 90, 90, 90, EBC, RHA
⑴ △ABD와 △AED에서
∠ABD=∠AED=90˘, AD”는 공통,
∠BAD=∠EAD이므로
△ABD™△AED(RHA 합동)
⑵ △ABD와 △AED에서
∠ABD=∠AED=90˘, AD”는 공통, BD”=ED”이므로
△ABD™△AED(RHS 합동)
⑴ ∠C=45˘이므로
∠EDC=90˘-45˘=45˘
따라서 △EDC는 ∠E=90˘인 직각이등변삼각형이다.
⑵ BD”=DE”이므로 ED”=5 cm
△EDC는 직각이등변삼각형이므로 EC”=ED”=5 cm
⑶ △ABD와 △AED에서
∠ABD=∠AED=90˘, AD”는 공통, BD”=ED”
이므로 △ABD™△AED(RHS 합동)
∴ ∠DAB=∠DAE
∴ ∠DAE= ∠BAC=1_45˘=22.5˘
2 1
2 4
3
유형 4 P. 29
190, OP”, BOP, RHA, PA”, 3 290, OP”, PA”, RHS, AOP, 30 3⑴ △ABD™△AED(RHA 합동)
⑵ △ABD™△AED(RHS 합동) 4⑴ 직각이등변삼각형 ⑵ 5 cm ⑶ 22.5˘
한번더연습 P. 30
1⑴ 50˘ ⑵ 130˘ 2∠x=40˘, ∠y=80˘
3⑴ ∠x=30˘, ∠y=45˘ ⑵ ∠x=108˘, ∠y=72˘
4⑴ 4 cm ⑵ 70˘ 5 8 cm 6 4 cm 7②
⑴ ∠x= _(180˘-80˘)=50˘
⑵ ∠B=∠A=65˘이므로
∠x=65˘+65˘=130˘
∠ACB=∠x이므로 △ABC에서
∠y=∠x+∠x=2∠x
∠ADC=∠y=2∠x이므로 △DBC에서
∠x+2∠x=120˘, 3∠x=120˘
∴ ∠x=40˘
∴ ∠y=2∠x=2_40˘=80˘
⑴ ∠ABC=∠C=75˘이므로
∠x=180˘-(75˘+75˘)=30˘
BD”=BC”이므로 ∠BDC=∠C=75˘
∴ ∠DBC=180˘-(75˘+75˘)=30˘
∴ ∠y=∠ABC-∠DBC=75˘-30˘=45˘
⑵ ∠y=∠ABC= _(180˘-36˘)=72˘
⑶ ∠ABD= ∠ABC= _72˘=36˘이므로
△ABD에서
∠x=180˘-(36˘+36˘)=108˘
⑴ BD”= BC”= _8=4 (cm)
⑵ ∠BAD=∠DAC=20˘, ∠ADB=90˘이므로
△ABD에서 ∠ABD=180˘-(90˘+20˘)=70˘
∠A=∠C=45˘
△ABD에서 ∠ABD=180˘-(45˘+90˘)=45˘
∴ AD”=BD”=4 cm
△DBC에서 ∠DBC=180˘-(45˘+90˘)=45˘
∴ DC”=BD”=4 cm
∴ AC”=AD”+DC”=4+4=8 (cm)
△APM과 △BQM에서
∠APM=∠BQM=90˘, A’M”=B’M”,
∠AMP=∠BMQ (맞꼭지각)이므로
△APM™△BQM (RHA 합동)
∴ MQ”=MP”=4 cm 6
5
1 2 1 4 2
1 2 1
2 1 2 3
2
1 1 2
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정답과해설_ 유형편라이트
쌍둥이기출문제 P. 31~33
155˘ 2⑤ 3④ 4③
534˘, 과정은 풀이 참조 6① 712 cm 8 5 cm 96 cm 1050˘ 11④ 12④ 13③ 14② 15③ 16③ 1730 cm¤ 183 cm
∠x= _(180˘-70˘)=55˘
∠ACB=180˘-110˘=70˘이므로
∠x=180˘-(70˘+70˘)=40˘
∠ABC=∠C= _(180˘-40˘)=70˘
∠DBC= ∠ABC= _70˘=35˘
△DBC에서 ∠BDC=180˘-(35˘+70˘)=75˘
∠ABC=∠C=70˘
BD”=BC”이므로 ∠BDC=∠BCD=70˘
△DBC에서 ∠DBC=180˘-(70˘+70˘)=40˘
∴ ∠ABD=∠ABC-∠DBC=70˘-40˘=30˘
△ABC에서 AB”=AC”이므로
∠ACB=∠B=∠x y ⁄
∴ ∠DAC=∠x+∠x=2∠x y ¤
△ACD에서 CA”=CD”이므로
∠ADC=∠DAC=2∠x y ‹
△DBC에서 ∠x+2∠x=102˘
3∠x=102˘ ∴ ∠x=34˘ y › 5
4
1 2 1
2 1 3 2
2
1 1 2
△ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠ACB=∠B=40˘
∴ ∠DAC=40˘+40˘=80˘
AC”=DC”이므로 ∠ADC=∠DAC=80˘
△DBC에서 ∠x=40˘+80˘=120˘
BC”=2BD”=2_6=12 (cm)
AD”⊥BC”이므로
△ABC= _4_AD”=10 (cm¤ )
∴ AD”=5 (cm)
∠CBA=∠BAD`(엇각), ∠CAB=∠BAD`(접은 각)
∴ ∠CBA=∠CAB
따라서 △CAB는 이등변삼각형이므로 AC”=BC”=6 cm
∠DAC=∠ACB=∠x`(엇각)
∠BAC=∠DAC=∠x`(접은 각) 따라서 △ABC에서 ∠x+80˘+∠x=180˘
∴ ∠x=50˘
④ RHS 합동
① RHA 합동 ② ASA 합동
③ RHS 합동 ⑤ SAS 합동 12
11 10 9
1 2 8
7 6
△OHP와 △OKP에서
∠OHP=∠OKP=90˘, OP”는 공통,
∠HOP=∠KOP이므로
△OHP™△OKP(RHA 합동)`(④)
∴ PH”=PK”(③), OH”=OK”(①),
∠OPH=∠OPK(⑤) 7
1~8 이등변삼각형의 성질
⑴ 두 밑각의 크기는 같다.
① ②
⑵ 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.
a a
2a2a 3a x
x 2x
x
2x 2x
11~18 두 직각삼각형에서 빗변의 길이가 같을 때
⑴ 크기가 같은 한 예각이 있으면
˙k RHA 합동
⑵ 길이가 같은 다른 한 변이 있으면
˙k RHS 합동
9~10 직사각형 모양의 종이를 접 었을 때 종이가 겹치는 부분은 이등 변삼각형이다.
이등변삼각형
⁄ ∠ACB의 크기를 ∠x를 사용하여 나타내기 20 %
채점 기준 배점
¤ ∠DAC의 크기를 ∠x를 사용하여 나타내기 30 %
› ∠x의 크기 구하기
30 % 20 %
‹ ∠ADC의 크기를 ∠x를 사용하여 나타내기
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Ⅱ.도형의성질
유 형 편
라이트
△ADE와 △ACE에서
∠ADE=∠ACE=90˘, AE”는 공통, AD”=AC”이므로
△ADE™△ACE(RHS 합동)
∴ DE”=CE”=4 cm
△DBE에서 ∠B=45˘이므로 ∠DEB=90˘-45˘=45˘
∴ BD”=DE”=4 cm
∠B=40˘이므로 ∠BAC=180˘-(40˘+90˘)=50˘
△ADE™△ACE(RHS 합동)이므로
∠DAE= ∠BAC= _50˘=25˘
△ABE와 △ECD에서
∠B=∠C=90˘, AE”=ED”,
∠BAE+∠BEA=90˘이고
∠BEA+∠CED=90˘이므로 ∠BAE=∠CED
∴ △ABE™△ECD (RHA 합동) BE”=CD”=8 cm, EC”=AB”=6 cm이므로 BC”=BE”+EC”=8+6=14 (cm)
△DBA와 △EAC에서
∠ADB=∠CEA=90˘, AB”=CA”,
∠DBA+∠DAB=90˘이고
∠DAB+∠EAC=90˘이므로 ∠DBA=∠EAC(②)
∴ △DBA™△EAC(RHA 합동) (④)
△DBA™△EAC(RHA 합동)이므로
① AD”=CE”
⑤ ∠DBA+∠ACE=∠DBA+∠BAD=90˘
점 D에서 AB”에 내린 수선의 발을 E 라 하면
△AED™△ACD(RHA 합동)
∴ DE”=DC”=4 cm
∴ △ABD= _AB”_DE”
= _15_4=30 (cm¤ )
점 D에서 AC”에 내린 수선의 발을 E 라 하면
△ADC= _AC”_DE”
= _10_DE”=15 (cm¤ )
∴ DE”=3 (cm)
△ABD™△AED`(RHA 합동)이므로 BD”=ED”=3 cm
1 2 1 2
D E B
A
C 10 cm
18
1 2 1 2
D E
A
B 4 cmC
15 cm
17 16 15
1 2 1
2 14
13
ㄷ. 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같다.
ㅁ. 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
⑴ △ADO와 △BDO에서
AD”=BD”, ∠ODA=∠ODB=90˘, OD”는 공통
∴ △ADO™△BDO(`SAS 합동) 3
2
유형 5 P. 34
1⑴ 수직이등분선 ⑵ 세 꼭짓점 2ㄷ, ㅁ 3⑴ ○ ⑵ ○ ⑶ × ⑷ ○ ⑸ ×
점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이다.
⑴ A’M”=BM”=CM”=4 cm ∴ x=4
⑵ AM”=BM”=CM”이므로 ∠MAC=∠MCA=56˘
△AMC에서 ∠AMB=56˘+56˘=112˘
∴ x=112
⑶ AM”=BM”=CM”이므로
∠MAC=∠MCA= _(180˘-80˘)=50˘
∠BAM=90˘-50˘=40˘이므로 x=40
점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OC”=OA”=OB”= _12=6 (cm)
⑴ 직각삼각형에서 외심은 빗변의 중점이므로
(외접원의 반지름의 길이)= AB”= _10=5 (cm) (외접원의 넓이)=p_5¤ =25p (cm¤ )
⑵ 점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 (외접원의 반지름의 길이)=A’M”=BM”=3 cm (외접원의 넓이)=p_3¤ =9p (cm¤ )
⑶ 점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 AM”=CM”
즉, ∠MCA=∠MAC=60˘,
∠AMC=180˘-(60˘+60˘)
=60˘
따라서 △AMC는 정삼각형이므로
(외접원의 반지름의 길이)=AM”=AC”=7 cm (외접원의 넓이)=p_7¤ =49p (cm¤ )
7 cm A 60˘
60˘60˘
30˘ 30˘
B C
M 1 2 1 2 3
1 2 2
1 2 1
유형 6 P. 35
1⑴ 4 ⑵ 112 ⑶ 40 26 cm
3⑴ 5 cm, 25p cm¤ ⑵ 3 cm, 9p cm¤ ⑶ 7 cm, 49p cm¤
426p cm
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정답과해설_ 유형편라이트
⑴ ∠x+25˘+35˘=90˘ ∴ ∠x=30˘
⑵ ∠x+43˘+32˘=90˘ ∴ ∠x=15˘
⑶ ∠x=2∠A=2_55˘=110˘
⑷ ∠x= ∠AOC= _100˘=50˘
⑸ OA”=OB”이므로 ∠OBA=∠OAB=15˘
∴ ∠AOB=180˘-(15˘+15˘)=150˘
∴ ∠x= ∠AOB= _150˘=75˘
⑹ ∠BOC=2∠A=2_40˘=80˘
OB”=OC”이므로 ∠x= _(180˘-80˘)=50˘
⑴ OC”를 그으면 OA”=OC”이므로
∠OCA=∠OAC=40˘
OB”=OC”이므로
∠OCB=∠OBC=30˘
∴ ∠y=∠OCA+∠OCB
=40˘+30˘=70˘
⑵ ∴ ∠x=2∠y=2_70˘=140˘
⑵ OA”=OC”이므로 ∠OCA=∠OAC=∠y
∴ ∠y= _(180˘-150˘)=15˘
40˘+∠x+15˘=90˘ ∴ ∠x=35˘
⑶ ∠BOC=360˘-(140˘+120˘)=100˘
∴ ∠x= _(180˘-100˘)=40˘
∠y= ∠BOC=1_100˘=50˘
2 1
2 1 2 1 2
O A
40˘
B 30˘ C
x y
2
1 2 1 2 1
2
1 2 1
2 1
직각삼각형에서 가장 긴 변이 빗변이므로 (외접원의 반지름의 길이)= _26=13 (cm)
∴ (외접원의 둘레의 길이)=2p_13=26p(cm) 1
2
4 ㄱ. 세 변에 이르는 거리가 같다.
ㅂ. 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점이다.
⑴ △BDI와 △BEI에서
∠IDB=∠IEB=90˘, IBÚ는 공통,
∠DBI=∠EBI이므로
△BDI™△BEI(`RHA 합동)
⑷ △ADI™△AFI(`RHA 합동)이므로 AD”=AF”
3 2
유형 7 P. 36
1⑴ 30˘ ⑵ 15˘ ⑶ 110˘ ⑷ 50˘ ⑸ 75˘ ⑹ 50˘
2⑴ ∠x=140˘, ∠y=70˘ ⑵ ∠x=35˘, ∠y=15˘
⑶ ∠x=40˘, ∠y=50˘
유형 8 P. 37
1⑴ 이등분선 ⑵ 세 변 2ㄱ, ㅂ 3⑴ ○ ⑵ × ⑶ ○ ⑷ ○ ⑸ ○ ⑹ ×
점 I가 내심이므로 ∠DBI=∠IBC DE”//BC”이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각)
따라서 △DBI에서 ∠DBI=∠DIB이므로 DB”=D’I’
같은 방법으로 △EIC에서 E’I’=EC”
∴ (△ADE의 둘레의 길이)=AD”+DE”+AE’”
=AD”+(D’I’+IÆEÚ)+AE’”
=(AD”+DB”)+(EC”+AE’””)
=AB”+AC”
=10+9=19 (cm)
⑴ ∠x+50˘+20˘=90˘ ∴ ∠x=20˘
⑵ IC’를 그으면
∠ICA= ∠ACB
= _70˘=35˘
30˘+∠x+35˘=90˘ ∴ ∠x=25˘
⑶ ∠ICA= ∠ACB= _50˘=25˘
∠x+34˘+25˘=90˘ ∴ ∠x=31˘
⑷ ∠x=90˘+ _64˘=122˘
⑸ 130˘=90˘+ ∠x이므로 ∠x=80˘
⑹ ∠x=90˘+ ∠BAC=90˘+28˘=118˘
⑺ ∠IBC=40˘, ∠ICB=35˘이므로 △IBC에서
∠x=180˘-(40˘+35˘)=105˘
⑻ ∠BIC=90˘+ _60˘=120˘이므로 △IBC에서
∠x=180˘-(120˘+26˘)=34˘
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1
2 1 2 1
2 I
A
B C
30˘
35˘
35˘
x
2 1
유형 9 P. 38
1 19 cm
2⑴ 20˘ ⑵ 25˘ ⑶ 31˘ ⑷ 122˘ ⑸ 80˘ ⑹ 118˘
⑺ 105˘ ⑻ 34˘ ⑼ 64˘
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Ⅱ.도형의성질
유 형 편
라이트
⑼ ∠IBC=28˘이므로 △IBC에서
∠BIC=180˘-(28˘+30˘)=122˘
122˘=90˘+1∠x이므로 ∠x=64˘
2
⑵ AF”=x이므로 CE”=CF”=14-x BE”=BD”=17-x
BC”=15이므로 (17-x)+(14-x)=15
⑵ 31-2x=15 ∴ x=8
⑶ BD”=x이므로 AF”=AD”=6-x, CF”=CE”=9-x
⑵ AC”=5이므로 (6-x)+(9-x)=5
⑵ 15-2x=5 ∴ x=5
⑴ △ABC= _BC”_AC”= _8_6=24 (cm¤ )
⑵ △ABC=24 cm¤ 이므로
r (10+8+6)=24 ∴ r=2
∴ x=8-2=6 [다른 풀이]
AB”=10 cm이므로 (6-r)+(8-r)=10
∴ r=2
∴ x=8-r=8-2=6
내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 △ABC의 넓이에서
⑴ _4_3= r (3+4+5) 6=6r ∴ r=1
따라서 내접원의 반지름의 길이는 1 cm이다.
⑵ _24_10= r (26+24+10) 120=30r ∴ r=4
따라서 내접원의 반지름의 길이는 4 cm이다.
⑶ _5_12= r (5+13+12) 30=15r ∴ r=2
따라서 내접원의 반지름의 길이는 2 cm이다.
⑴ △ABC= _3_(△ABC의 둘레의 길이)
= _3_14=21 (cm¤ )
⑵ _4_(△ABC의 둘레의 길이)=40
∴ (△ABC의 둘레의 길이)=20 (cm)
⑴ AD”=AF”=5이므로
BD”=12-5=7 ∴ x=BD”=7 4
1 2
1 2 1 3 2
1 2 1
2
1 2 1
2
1 2 1
2 2
(6-r) cm
(6-r) cm r cm
r cm (8-r) cmr cm
(8-r) cm 10 cm
I A
B C
1 2
1 2 1
1 2
유형 10 P. 39
1⑴ 24 cm¤ ⑵ r=2, x=6 2⑴ 1 cm ⑵ 4 cm ⑶ 2 cm
3⑴ 21 cm¤ ⑵ 20 cm 4⑴ 7 ⑵ 8 ⑶ 5 한걸음더연습 P. 40
1 7 cm 2 80˘ 3⑴ 120 cm¤ ⑵ 4 cm ⑶ 20 cm¤
4 A와 F, C와 D 5⑴ 100˘ ⑵ 50˘
6⑴ 35˘ ⑵ 20˘ ⑶ 15˘
△ABC의 외접원의 반지름의 길이가 5 cm이므로 OA”=OC”=5 cm
△AOC의 둘레의 길이가 17 cm이므로 AC”=17-(5+5)=7 (cm)
∠BAC : ∠ABC : ∠ACB=4 : 3 : 2이므로
∠ACB=180˘_ =40˘
∴ ∠AOB=2∠ACB=2_40˘=80˘
⑴ △ABC= _10_24=120 (cm¤ )
⑵ 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
△ABC=120 cm¤ 이므로 r(26+10+24)=120 30r=120 ∴ r=4
따라서 내접원의 반지름의 길이는 4 cm이다.
⑶ △IBC= _10_4=20 (cm¤ )
A와 F：삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이 고, 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같다.
C와 D：삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이고, 내심에서 세 변에 이르는 거리가 같다.
⑴ 140˘=90˘+ ∠BOC ∴ ∠BOC=100˘
⑵ ∠A= ∠BOC= _100˘=50˘
⑴ ∠ACB=180˘-(70˘+40˘)=70˘이므로
∠ICB= ∠ACB=1_70˘=35˘
2 1
2 6
1 2 1
2 1 5 2
4
1 2 1
2
1 3 2
2 9 2
1
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정답과해설_ 유형편라이트
쌍둥이기출문제 P. 41~43
1② 2② 314 cm, 100˘ 45 cm 525˘
620˘ 765˘ 850˘ 9③ 10②
119 cm, 과정은 풀이 참조 1215 cm 13④ 14③ 15130˘ 16 120˘ 17 3 cm, 과정은 풀이 참조
184 19 9 202 21③, ⑤ 22③, ④
2
② 내심의 성질
⑤ △OBC에서 OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB
OA”=OB”=OC”=7 cm
∴ AB”=OA”+OB”=7+7=14 (cm) OA”=OC”이므로 ∠OCA=∠A=50˘
∴ ∠BOC=50˘+50˘=100˘
OA”=OB”=OC”= AB”= _10=5 (cm)
△ABC에서 ∠A=180˘-(30˘+90˘)=60˘
OA”=OC”이므로 ∠OCA=∠A=60˘
따라서 △OCA는 정삼각형이므로 AC”=OA”=5 cm 1
2 1
4 2 3 2 1
⑵ OB”를 그으면
∠BOC=2_70˘=140˘
△OBC에서 OB”=OC”이므로
∠OCB= _(180˘-140˘)
=20˘
⑶ ∠ICO=∠ICB-∠OCB=35˘-20˘=15˘
1 2
A
O I 70˘
140˘
40˘
B C
3~4 직각삼각형의 외심의 위치
˙k 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 있다.
1~2 삼각형의 외심
˙k 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.
∠x+40˘+25˘=90˘
∴ ∠x=25˘
∠OBA+30˘+40˘=90˘
∴ ∠OBA=20˘
OA”를 그으면 OA”=OC”이므로
∠OAC=∠OCA=25˘
∠AOC=180˘-(25˘+25˘)=130˘
∴ ∠x= ∠AOC= _130˘=65˘
OB”를 그으면 OB”=OC”이므로
∠OBC=∠OCB=40˘
∠BOC=180˘-(40˘+40˘)=100˘
∴ ∠x= ∠BOC= _100˘=50˘
③ 외심의 성질
② 외심의 성질
⑤ △ABC가 정삼각형이면 외심과 내심이 일치하므로 AI”=BI”=CI”
점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC DE”//BC”이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각)
따라서 ∠DBI=∠DIB이므로 △DBI는 이등변삼각형이다.
∴ D’IÆ=DB”=5 cm y ⁄
점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠ECI=∠ICB DE”//BC”이므로 ∠EIC=∠ICB(엇각)
따라서 ∠ECI=∠EIC이므로 △EIC는 이등변삼각형이다.
∴ EI’=EC”=4 cm y ¤
∴ DE”=DI”+IE”=5+4=9 (cm) y ‹ 11
10 9
1 2 1
2
x O A
B 40˘ C
8
1 2 1
2
O A
B C
25˘
x
7 6 5
11~14 삼각형의 내심과 엇각의 성질
⑴ DE”=DI”+IE”=DB”+EC”
⑵ (△ADE의 둘레의 길이)=AB”+AC”
A
B C
D E
I
5~8 삼각형의 외심의 활용
⑴ ∠x+∠y+∠z=90˘ ⑵ ∠BOC=2∠A
O A
B C
a
2a O
A x
y
B z C
9~10 삼각형의 내심
˙k 세 내각의 이등분선의 교점이다.
내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다.
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Ⅱ.도형의성질
유 형 편
라이트 위의11번에 의해
DE”=DI”+IE”=DB”+EC”
=7+8=15 (cm)
점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC DE”//BC”이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각)
따라서 △DBI에서 ∠DBI=∠DIB이므로 DI”=DB”
같은 방법으로 △EIC에서 ∠ECI=∠EIC이므로 EI’=EC”
∴ (△ADE의 둘레의 길이)=AD”+DE”+AE”
=AD”+(DI”+IE”)+AE’”
=(AD”+DB”)+(EC”+AE”)
=AB”+AC”
=7+6=13 (cm)
B’I’, C’I’를 각각 그으면 위의13번에 의해
(△ADE의 둘레의 길이)
=AB”+AC”=5+4=9 (cm)
∠x=90˘+ _80˘=130˘
점 I는 △ABC에서 ∠B와 ∠C의 이등분선의 교점이므로
△ABC의 내심이다.
∴ ∠BIC=90˘+1_60˘=120˘
2 16
1 15 2
6 cm 5 cm 4 cm
E A
C
D I
B
14 13 12
내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 △ABC=54 cm¤
이므로
r (12+15+9)=54 y ⁄
18r=54 ∴ r=3
따라서 내접원의 반지름의 길이는 3 cm이다. y ¤
내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 △ABC의 넓이에서 _16_12= r (20+16+12)
96=24 r ∴ r=4
따라서 내접원의 반지름의 길이는 4이다.
[다른 풀이]
AB”=20이므로 (16-r)+(12-r)=20 28-2r=20 ∴ r=4
AF”=AD”=x이므로
BE”=BD”=8-x, CE”=CF”=7-x BC”=6이므로 (8-x)+(7-x)=6 15-2x=6 ∴ x=
CD”=CE”=x이므로
AF”=AE”=5-x, BF”=BD”=6-x AB”=7이므로 (5-x)+(6-x)=7 11-2x=7 ∴ x=2
③ 세 내각의 이등분선이 만나는 점은 내심이다.
⑤ 세 변의 수직이등분선이 만나는 점은 외심이다.
③ 이등변삼각형의 외심과 내심은 꼭지각의 이등분선 위에 있다.
[참고]정삼각형의 외심과 내심은 일치한다.
④ 예각삼각형의 외심은 삼각형의 내부에, 둔각삼각형의 외 심은 삼각형의 외부에, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점 에 위치한다.
22 21 20
9 2 19
16-r 16-r
20
12-r 12-r
r r r
A
B C
I 1
2 1
2 18
1 2 17
19~20 접선의 길이 구하기
점 I는 △ABC의 내심, 세 점 D, E, F는 내접원과 세 변의 접점일 때
˙k AD”=AF”, B’D’=BE”, CE”=CF” I
B E C
D F A
15~16 삼각형의 내심의 활용
∠BIC=90˘+ ∠A
I A
B C
a
90˘+-1 2∠a 1
2
17~18 삼각형의 넓이와 내접원의 반지름의 길이
△ABC= r (a+b+c) c
r a
b A
B I
C 1
2
⁄ △ABC의 넓이에 관한 식 세우기 60 %
채점 기준 배점
¤ 내접원의 반지름의 길이 구하기 40 %
⁄ D’I’의 길이 구하기 40 %
채점 기준 배점
¤ EI’의 길이 구하기 40 %
‹ DE”의 길이 구하기 20 %
