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고등 수학(상)

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(1)

고등 수학(상)

정답과 해설

개념과 유형이 하나로

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(2)

정답과 해설

개 념 편

01 다항식의 연산 I-1. 다항식

1.  내림차순: -3y@+{x+1}y+2x@-5x-2 오름차순: 2x@-5x-2+{x+1}y-3y@

2.  ⑴ 3x@-x+5 ⑵ x@-5x-3 ⑶ -x@-9x-11

1 p.8

유제 & 문제 p.9

1

유제 01  12x@-7x+3 2{A+B}-3{B-C}

=2A-B+3C

=2{2x@-x+1}-{x@+2x-1}+3{3x@-x}

=4x@-2x+2-x@-2x+1+9x@-3x

=12x@-7x+3 문제 01-1  a@+3ab+b@

A-2{X-B}=3A에서

A-2X+2B=3A, 2X=-2A+2B

∴ X =B-A

=2a@+ab-b@-{a@-2ab-2b@}

=2a@+ab-b@-a@+2ab+2b@

=a@+3ab+b@

문제 01-2  3

두 다항식 A, B에 대하여

A+B=3a@-3ab yy ㉠

A-B=a@-ab+2 yy ㉡

㉠+㉡에서 2A=4a@-4ab+2

∴ A=2a@-2ab+1 yy ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면

{2a@-2ab+1}+B=3a@-3ab

∴ B =3a@-3ab-{2a@-2ab+1}

=3a@-3ab-2a@+2ab-1

=a@-ab-1

∴ A-2B =2a@-2ab+1-2{a@-ab-1}

=2a@-2ab+1-2a@+2ab+2

=3

1.  ⑴ 64x% ⑵ -2a%b^

2.  ⑴ 2x#-7x@+10x-8

⑵ 3x@+xy-2y@-x+9y-10

3.  ⑴ x@+4xy+4y@ ⑵ a@-ab+b@

4 ⑶ 4x@-9y@ ⑷ a@-5a-14 ⑸ 6x@+23x+20 ⑹ 2a@+5ab+2b@

2 p.11

p.12~14 유제 & 문제

2

유제 02  11

{x$-2x@+x-3}{x#+4x@-5x+1}의 전개식에서 나오 는 삼차항은

(A의 이차항)\(B의 일차항) SG -2x@\{-5x}=10x#

(A의 일차항)\(B의 이차항) SG x\4x@=4x#

(A의 상수항)\(B의 삼차항) SG -3\x#=-3x#

따라서 x#의 계수는 10+4-3=11

문제 02-1  -5

{3x@-4x-1}{x@+kx+2}의 전개식에서 나오는 일차 항은

(A의 일차항)\(B의 상수항) SG -4x\2=-8x (A의 상수항)×(B의 일차항) SG -1\kx=-kx 따라서 x의 계수는 -8+{-k}=-3이므로 k=-5

문제 02-2  55

{x+1}{x+2}{x+3}y{x+10} 중 임의의 9개의 일 차식에서 x만 뽑아 곱하면 x(이 되고, 이때 남은 일차식 의 상수항을 곱하면 x(의 계수가 된다.

예를 들어 {x+1}{x+2}y{x+9}에서 x를 모두 곱하 면 x(이 되고, 남은 일차식 x+10의 상수항 10과 곱하면 10x(이 된다.

같은 방법으로 하면

x(+2x(+3x(+y+10x(=55x(

따라서 x(의 계수는 55이다.

A B

A B

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(3)

개 념 편

유제 03  ⑴ a@+b@+c@-2ab+2bc-2ca ⑵ 4x@+9y@+z@-12xy-6yz+4zx ⑶ a#+6a@b+12ab@+8b#

⑷ 27x#-54x@+36x-8 ⑸ 8x#-1 ⑹ 64x#+27

⑴ {a-b-c}@

=9a+{-b}+{-c}0@

=a@+{-b}@+{-c}@

+2a K {-b}+2 K {-b} K {-c}+2 K {-c} K a =a@+b@+c@-2ab+2bc-2ca

⑵ {2x-3y+z}@

=92x+{-3y}+z0@

={2x}@+{-3y}@+z@

+2 K 2x K {-3y}+2 K {-3y} K z+2 K z K 2x =4x@+9y@+z@-12xy-6yz+4zx

⑶ {a+2b}# =a#+3 K a@ K 2b+3 K a K {2b}@+{2b}#

=a#+6a@b+12ab@+8b#

⑷ {3x-2}# ={3x}#-3 K {3x}@ K 2+3 K 3x K 2@-2#

=27x#-54x@+36x-8

⑸ {2x-1}{4x@+2x+1}

={2x-1}9{2x}@+2x K 1+1@0 ={2x}#-1#=8x#-1

⑹ {4x+3}{16x@-12x+9}

={4x+3}9{4x}@-4x K 3+3@0 ={4x}#+3#=64x#+27

문제 03-1  ⑴ x#+7x@+14x+8 ⑵ x#-7x+6 ⑶ x#+y#-z#+3xyz ⑷ a#-b#+3ab+1

⑴ {x+1}{x+2}{x+4}

=x#+{1+2+4}x@+{1K2+2K4+4K1}x+1K2K4 =x#+7x@+14x+8

⑵ {x-2}{x-1}{x+3}

=x#+{-2-1+3}x@

+9{-2} K {-1}+{-1} K 3+3 K {-2}0x+{-2} K {-1} K 3 =x#-7x+6

⑶ {x+y-z}{x@+y@+z@-xy+yz+zx}

=9x+y+{-z}0

\9x@+y@+{-z}@-xy-y K {-z}-{-z} K x0 =x#+y#+{-z}#-3xy K {-z}

=x#+y#-z#+3xyz

⑷ {a-b+1}{a@+b@+ab-a+b+1}

=9a+{-b}+10

\9a@+{-b}@+1@-a K {-b}-{-b} K 1-1 K a0

=a#+{-b}#+1#-3KaK{-b} K 1

=a#-b#+3ab+1

문제 03-2  ⑴ a*-1 ⑵ x^-16x#+64

⑴ {a-1}{a+1}{a@+1}{a$+1}

={a@-1}{a@+1}{a$+1}

={a$-1}{a$+1}

=a*-1

⑵ {x-2}@{x@+2x+4}@

=9{x-2}{x@+2x+4}0@

={x#-8}@

=x^-16x#+64

유제 04  ⑴ x$+6x#+13x@+12x+3 ⑵ a@-b@-c@+2bc

⑶ x$-2x#-7x@+8x+12 ⑷ x$+14x#+41x@-56x-180

⑴ {x@+3x+1}{x@+3x+3}

={X+1}{X+3} ◀ x@+3x=X

=X@+4X+3

={x@+3x}@+4{x@+3x}+3 ◀ X=x@+3x =x$+6x#+9x@+4x@+12x+3

=x$+6x#+13x@+12x+3

⑵ {a+b-c}{a-b+c}

=9a+{b-c}09a-{b-c}0

={a+X}{a-X} ◀ b-c=X

=a@-X@

=a@-{b-c}@ ◀ X=b-c

=a@-b@-c@+2bc

⑶ {x+1}{x+2}{x-2}{x-3}

=9{x+1}{x-2}09{x+2}{x-3}0

={x@-x-2}{x@-x-6}

={X-2}{X-6} ◀ x@-x=X

=X@-8X+12

={x@-x}@-8{x@-x}+12 ◀ X=x@-x

=x$-2x#+x@-8x@+8x+12

=x$-2x#-7x@+8x+12

⑷ {x-2}{x+2}{x+5}{x+9}

=9{x-2}{x+9}09{x+2}{x+5}0

={x@+7x-18}{x@+7x+10}

={X-18}{X+10} ◀ x@+7x=X =X@-8X-180

={x@+7x}@-8{x@+7x}-180 ◀ X=x@+7x =x$+14x#+49x@-8x@-56x-180

=x$+14x#+41x@-56x-180

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(4)

문제 04-1  27

{x+3}{x+1}{x-2}{x-4}

=9{x+3}{x-4}09{x+1}{x-2}0

={x@-x-12}{x@-x-2}

={X-12}{X-2} ◀ x@-x=X

=X@-14X+24

={x@-x}@-14{x@-x}+24 ◀ X=x@-x

=x$-2x#+x@-14x@+14x+24

=x$-2x#-13x@+14x+24 따라서 a=-13, b=14이므로 b-a=14-{-13}=27

1.  ⑴ 7 ⑵ 18 2.  ⑴ 22 ⑵ -100

3 p.15

p.16~17 유제 & 문제

3

유제 05  ⑴ 25 ⑵ 36

⑴ x#+y#={x+y}#-3xy{x+y}이므로 37=1#-3xy / xy=-12

/ x@+y@ ={x+y}@-2xy

=1@-2 K {-12}=25

⑵ x@-3x-1=0에서 x=0이므로 양변을 x로 나누면 x-3-x!=0 / x-x!=3

/ x#- 1x#=[x-x!]#+3[x-x!]

=3#+3 K 3=36 문제 05-1  20

x+y, xy의 값을 구하면 x+y={2+j2}+{2-j2}=4 xy={2+j2}{2-j2}=4-2=2 / x@y+y@

x=x#+y#

xy ={x+y}#-3xy{x+y}

xy = 4#-3 K 2 K 42 =20 문제 05-2  17

a@+b@={a+b}@-2ab이므로 5=1@-2ab / ab=-2 / a$+b$ ={a@+b@}@-2{ab}@

=5@-2 K {-2}@=17

유제 06  ⑴ 11 ⑵ 27 ⑶ 19

⑴ a@+b@+c@ ={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}

=3@-2 K {-1}=11

⑵ a#+b#+c#

={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}+3abc

=3 K 911-{-1}0+3 K {-3}=27

⑶ a@b@+b@c@+c@a@

={ab+bc+ca}@-2abc{a+b+c}

={-1}@-2 K {-3} K 3=19 문제 06-1  15

a-b=2+j3, b-c=2-j3 을 변끼리 더하면 a-c=4

/ a@+b@+c@-ab-bc-ca

=2!{2a@+2b@+2c@-2ab-2bc-2ca}

=2!9{a@-2ab+b@}+{b@-2bc+c@}

+{a@-2ac+c@}0 =2!9{a-b}@+{b-c}@+{a-c}@0

=2!9{2+j3}@+{2-j3}@+4@0=2! K 30=15 문제 06-2  5

오른쪽 그림과 같이 직육면체의 밑 면의 가로의 길이, 세로의 길이와 높이를 각각 x, y, z라 하면 겉넓 이가 24이므로

2{xy+yz+zx}=24 / xy+yz+zx=12 또한 모든 모서리의 길이의 합이 28이므로 4{x+y+z}=28 / x+y+z=7

이때 직육면체의 대각선의 길이는 1x@+y@+z@3 이므로 x@+y@+z@ ={x+y+z}@-2{xy+yz+zx}

=7@-2 K 12=25

∴ 1x@+y@+z@3=5

따라서 직육면체의 대각선의 길이는 5이다.

1.  ⑴ 2x, 2x, 9x, 9, 3, 몫: 2x+9, 나머지: 3 ⑵ 3x, 3x@, 6x, -x@, 12x, x, 2, 11x, 3

몫: 3x-1, 나머지: -11x-3

2.  ⑴ -1, -3, 4, -1, 몫: x@-4x+2, 나머지: -1 ⑵ 7, 0, 6, -6, -3, -10,

몫: 2x#-3x@-2x-6, 나머지: -10

4 p.19

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(5)

개 념 편

p.20~21 유제 & 문제

4

유제 07  3x@+1

3x$-5x@+4x-7=A{x@-2}+4x-5 A{x@-2}=3x$-5x@-2

/ A={3x$-5x@-2}_{x@-2}

/ A=3x@+1

문제 07-1  10

∴ Q{x}=4x@-x-2, R{x}=-5x+3

∴ Q{2}+R{1} ={4 K 2@-2-2}+{-5+3}=10

문제 07-2  13

f{x} ={x@-2x+2}{2x+3}+5x-2

=2x#-x@+3x+4 x@-x+1 2x`-3

x@+x+3r 2x#- x@+3x+4`t x@-x+1 2x#+2x@+6x x@-x+1 x`-3x@-3x+4 x@-x+1 x$-3x@-3x-9 x@-x+1 x`-3x@-3x 13 따라서 나머지는 13이다.

유제 08  ⑴ 몫: 2x@-4x+7, 나머지: -16 ⑵ 몫: 2x#+x@-3x+1, 나머지: 2

⑴ -2 2 0 -1 -2 -4 8 -14 2 -4 7 -16

∴ 몫: 2x@-4x+7, 나머지: -16

2! 4 0 -7 5 1 2 1 -3 1 4 2 -6 2 2 x!-2 3x@+1

x@-2r 3x$-5x@-2`t x!-1 3x$-6x@

x!-1 x` x@-2 x@-1 x` x@-2 x@-1 x` x@ 0

x@-x+1 4x@- x`-2

x@-x+1r 4x$-5x#+3tx@-4x+1`t x@-x+1 4x$-4x#+4x@ x ` x@-x+1 x`- x#- x@-4x x@-x+1 x$- x#+ x@- x ` x@-x+1 x` x#-2x@-3x+1 x@-x+1 x$- x#-2x@+2x-2`

x@-x+1 x` x#-2x@-5x+3

4x$-7x@+5x+1

=[x-2!]{4x#+2x@-6x+2}+2 =2[x-2!]{2x#+x@-3x+1}+2 ={2x-1}{2x#+x@-3x+1}+2

/ 몫: 2x#+x@-3x+1, 나머지: 2

문제 08-1  ⑴2! ⑵ x@-x-3

⑴ 다항식 2x#-3x@-5x+6 2! 2 -3 -5 6 1 -1 -3 2 -2 -6 3 을 2x-1로 나누었을 때

의 몫과 나머지를 조립제

법을 이용하여 구하면 오른쪽과 같다.

따라서 a=2!, b=-2, c=-1, d=3이므로 a+b+c+d=2!

⑵ 2x#-3x@-5x+6을 x-2!로 나누었을 때의 몫은 2x@-2x-6, 나머지는 3이므로

2x#-3x@-5x+6=[x-2!]{2x@-2x-6}+3

=2[x-2!]{x@-x-3}+3

={2x-1}{x@-x-3}+3 따라서 주어진 다항식을 2x-1로 나누었을 때의 몫은 x@-x-3이다.

1 두 다항식 A, B에 대하여

A+B=2x@+3x-7 yy ㉠

A-2B=5x@-6x-1 yy ㉡

㉠-㉡에서 3B=-3x@+9x-6

/ B=-x@+3x-2 yy ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면

A+{-x@+3x-2}=2x@+3x-7 / A =2x@+3x-7-{-x@+3x-2}

=2x@+3x-7+x@-3x+2

=3x@-5

1 A=3x@-5, B=-x@+3x-2 2-20 34 x^-y^ 5-6 6120600 7 3j17k 8 ㄴ, ㄹ 911x-6 10-32

기본 연습문제 p.22~23

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(6)

2 {4x$+3x@-2x-6}{5x%-3x#-x@+4x+a}의 전개식에 서 나오는 사차항은

(A의 사차항)\(B의 상수항) SG 4x$\a=4ax$

(A의 이차항)\(B의 이차항) SG 3x@\{-x@}=-3x$

(A의 일차항)\(B의 삼차항) SG -2x\{-3x#}=6x$

이므로 4a-3+6=-5 / a=-2 주어진 다항식의 전개식에서 나오는 일차항은 (A의 일차항)\(B의 상수항) SG -2x\{-2}=4x (A의 상수항)\(B의 일차항) SG -6\4x=-24x 따라서 x의 계수는 4-24=-20

3 ① {a-2b-3c}@

=a@+{-2b}@+{-3c}@+2 K a K {-2b}

+2 K {-2b} K {-3c}+2 K {-3c} K a =a@+4b@+9c@-4ab+12bc-6ca

② {a-b}@{a+b}@{a@+b@}@

=9{a-b}{a+b}{a@+b@}0@

=9{a@-b@}{a@+b@}0@

={a$-b$}@=a*-2a$b$+b*

③ {2a-3b}#

={2a}#-3 K {2a}@ K 3b+3 K 2a K {3b}@-{3b}#

=8a#-36a@b+54ab@-27b#

④ {x@+x-2}{x@-x-2}

=9{x@-2}+x09{x@-2}-x0 ={x@-2}@-x@

=x$-5x@+4

⑤ {a-b-1}{a@+b@+ab+a-b+1}

=a#+{-b}#+{-1}#-3 K a K {-b} K {-1}

=a#-b#-3ab-1 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

4 {x-y}{x+y}{x@-xy+y@}{x@+xy+y@}

=9{x-y}{x@+xy+y@}09{x+y}{x@-xy+y@}0

={x#-y#}{x#+y#}

=x^-y^

5 {x+3}{x+2}{x-1}{x-2}

=9{x+3}{x-2}09{x+2}{x-1}0

={x@+x-6}{x@+x-2}

={X-6}{X-2} ◀ x@+x=X

=X@-8X+12

={x@+x}@-8{x@+x}+12 ◀ X=x@+x

=x$+2x#+x@-8x@-8x+12

=x$+2x#-7x@-8x+12

따라서 a=2, b=-8이므로 a+b=-6

A B

6 201#-{200+1}{40001-200}

={200+1}#-{200+1}{200@+1@-200 K 1}

={200+1}#-{200#+1#}

=200#+3 K 200@ K 1+3 K 200 K 1@+1#-200#-1#

=120600

7 x#+y#={x+y}#-3xy{x+y}이므로 45=3#-3 K xy K 3 / xy=-2 {x-y}@ ={x+y}@-4xy

=3@-4 K {-2}=17 이때 x>y이므로 x-y=j17k`

/ x@-y@ ={x+y}{x-y}=3 K j17k=3j17k

8 ㄱ. x@-3x+1=0에서 x=0이므로 양변을 x로 나누면 x-3+1

x=0 / x+ 1x=3 ㄴ. [x- 1x ]@=[x+ 1x ]@-4=3@-4=5

이때 x>1이므로 x-1 x=j5 ㄷ. x@+1

x@=[x+ 1x ]@-2=3@-2=7 ㄹ. x#+1

x#=[x+ 1x ]#-3[x+ 1x ]=3#-3 K 3=18 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

9 f{x} ={x@-x+1}{2x-1}+{3x+1}

=2x#-3x@+6x

따라서 구하는 나머지는 11x-6이다.

10 주어진 다항식 f{x}를 x-1 1 a b c d 1 -1 3 1 -1 3 -5 로 나누었을 때의 몫과 나머

지를 조립제법을 이용하여 구 하면 오른쪽과 같다.

a=1, b+1=-1이므로 b=-2 c+{-1}=3이므로 c=4 d+3=-5이므로 d=-8 / f{x}=x#-2x@+4x-8

따라서 f{x}를 x+2로 나 -2 1 -2 4 -8 -2 8 -24 1 -4 12 -32 누었을 때의 몫과 나머지

를 조립제법을 이용하여

구하면 오른쪽과 같으므로 나머지는 -32이다.

2x`+3

x@-3x+2r 2x#-3x@+ 6x `t x@-3x+1 2x#-6x@+ 4x x@-3x+1 x`-3x@+ 2x x@-3x+1 x`-3x@- 9x+6 x@-3x+1 x` x@ 11x-6

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(7)

개 념 편

1 {1+2x+3x@+y+101x!))}{1+2x+3x@+y+101x!))}

의 전개식에서 나오는 삼차항은

(A의 상수항)\(B의 삼차항) SG 1\4x#=4x#

(A의 일차항)\(B의 이차항) SG 2x\3x@=6x#

(A의 이차항)\(B의 일차항) SG 3x@\2x=6x#

(A의 삼차항)\(B의 상수항) SG 4x#\1=4x#

따라서 x#의 계수는 4+6+6+4=20

2 서로 외접하는 작은 두 구의 반지름의 길이를 각각 a, b라 하면 반지름의 길이가 6인 구에 내접하고 있으므로 2{a+b}=12 / a+b=6

작은 두 구의 부피의 합이 96p이므로 3$p{a#+b#}=96p / a#+b#=72 a#+b#={a+b}#-3ab{a+b}이므로 72=6#-3ab K 6 / ab=8 / a@+b@ ={a+b}@-2ab

=6@-2 K 8=20

따라서 작은 두 구의 겉넓이의 합은 4p{a@+b@}=4p K 20=80p

3 {a+b+c}@=a@+b@+c@+2{ab+bc+ca}에서 0=3+2{ab+bc+ca}

/ ab+bc+ca=- 32

{ab+bc+ca}@=a@b@+b@c@+c@a@+2abc{a+b+c}에서 a@b@+b@c@+c@a@={ab+bc+ca}@-2abc{a+b+c}

=[- 32 ]

@=9 4

{a@+b@+c@}@=a$+b$+c$+2{a@b@+b@c@+c@a@}에서 a$+b$+c$={a@+b@+c@}@-2{a@b@+b@c@+c@a@}

=3@-2 K 94=9 2

4

/ 2x#+x@-7x+7={x@+x-3}{2x-1}+4 이때 x@+x-3=0이므로 구하는 식의 값은 4이다.

A B

2x -1

x@+x-3r 2x#+ x@-`7x`+`7 t`

2x#+2x@-`6x x` - x@- x`+`7 x` `- x@- x`+`3 x` x@ `` 4 1 20 2 80p 3 4 4 실전 연습문제 p.24

01 나머지정리

I-2. 나머지정리와 인수분해

1.  ㄴ, ㄹ

2.  ⑴ a=1, b=-2, c=4 ⑵ a=1, b=5, c=3 3.  ⑴ a=-1, b=2 ⑵ a=-1, b=2

⑴ 등식의 좌변을 전개하여 x에 대하여 정리하면 {a+b}x-a+2b=x+5

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a+b=1, -a+2b=5

/ a=-1, b=2

⑵ 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=1을 대입하면 3b=6 / b=2 양변에 x=-2를 대입하면 -3a=3 / a=-1

1 p.27

p.28~31 유제 & 문제

1

유제 01  x=-3, y=-1

주어진 등식의 좌변을 k에 대하여 정리하면 {x-y+2}k-2x+3y-3=0

이 등식이 k에 대한 항등식이므로 x-y+2=0, -2x+3y-3=0 두 식을 연립하여 풀면 x=-3, y=-1 문제 01-1  a=4, b=7

주어진 등식을 x, y에 대하여 정리하면 ax-3ay+2by-bx+3x-2y=0 {a-b+3}x+{-3a+2b-2}y=0 이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로 a-b+3=0, -3a+2b-2=0 두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=7 문제 01-2  a=-2, b=-1

ax+2y+6

x+by-3=k ( k는 상수)로 놓으면 ax+2y+6=kx+bky-3k / {a-k}x+{2-bk}y+6+3k=0 이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로 a-k=0, 2-bk=0, 6+3k=0

세 식을 연립하여 풀면 k=-2, a=-2, b=-1

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(8)

유제 02  ⑴ a=1, b=2, c=1

⑵ a=2, b=-2, c=1

⑴ 등식의 좌변을 전개하여 x에 대하여 정리하면 2x#+{2a-3}x@+{2b-3a}x-3b

=2x#-x@+cx-6

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 2a-3=-1, 2b-3a=c, -3b=-6 / a=1, b=2, c=1

⑵ 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=0을 대입하면

-2b=4 / b=-2 양변에 x=-1을 대입하면 3c=3 / c=1

양변에 x=2를 대입하면 6a=12 / a=2

문제 02-1  a=-3, b=2

주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1을 대입하면 0=1+a+b

/ a+b=-1 yy ㉠

양변에 x@=2를 대입하면 0=2@+2a+b

/ 2a+b=-4 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=2

문제 02-2  1025

주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=2를 대입하면

2!)+1=a1+a2\{2-1}+a3\{2-1}@

+y+a11\{2-1}!)‚

=a1+a2+a3+y+a11

/ a1+a2+a3+y+a11=2!)‚+1=1025

유제 03  ⑴ a=0, b=-1

⑵ a=2, b=3, c=-1

⑴ x^+ax#+b를 x@-1, 즉 {x+1}{x-1}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라 하면

x^+ax#+b={x+1}{x-1}Q{x}

이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1을 대입하면 1-a+b=0 양변에 x=1을 대입하면 1+a+b=0 두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=-1

⑵ x#+ax@+bx+c ={x@+2}{x+2}+x-5

=x#+2x@+3x-1 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a=2, b=3, c=-1

문제 03-1  8

x#+ax@+7x+b를 x@+3x+4로 나누었을 때의 몫을 x+c`(c는 상수)라 하면

x#+ax@+7x+b ={x@+3x+4}{x+c}

=x#+{c+3}x@+{3c+4}x+4c 이 등식이 x에 대한 항등식이므로

a=c+3, 7=3c+4, b=4c

따라서 a=4, b=4, c=1이므로 a+b=8

유제 04  ⑴ a=1, b=5, c=8, d=8 ⑵ 8.851

⑴ x#-x@+4=a{x-2}#+b{x-2}@+c{x-2}+d 이므로 조립제법을 이용하면

2 1 -1 0 4 2 2 4 2 1 1 2 8 ◀ d

2 6 2 1 3 8 ◀ c

2

a ▶ 1 5 ◀ b

/ a=1, b=5, c=8, d=8

⑵ A={x-2}#+5{x-2}@+8{x-2}+8 이므로 x=2.1일 때, A의 값은 A =0.1#+5\0.1@+8\0.1+8

=0.001+0.05+0.8+8=8.851

p.33~36 유제 & 문제

2

유제 05  ⑴ 5 ⑵ a=4, b=2

⑴ f{x}=x$-ax#+3x@-2ax-5라 하면 나머지정리에 의해 f{2}=-1이므로

f{2}=16-8a+12-4a-5=-1 -12a=-24 / a=2

따라서 f{x}=x$-2x#+3x@-4x-5이므로 f{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지는

f{-1}=1+2+3+4-5=5

⑵ f{x}=-x#+ax@+bx-3이라 하면 나머지정리에 의해 f{-1}=0, f{3}=12

1.  ⑴ -34 ⑵ 1 2.  -4

f{x}=x#+kx@+3x+2라 하면 f{2}=8+4k+6+2=0 / k=-4

2 p.32

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(9)

개 념 편

f{-1}=0에서 f{-1}=1+a-b-3=0

/ a-b=2 yy ㉠

f{3}=12에서 f{3}=-27+9a+3b-3=12

/ 3a+b=14 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=2

문제 05-1  32

f{x}=x#+2x@-ax+2라 하면 나머지정리에 의해 f{-1}=f{2}이므로

-1+2+a+2=8+8-2a+2 3a=15 / a=5

따라서 f{x}=x#+2x@-5x+2이므로 f{x}를 x-3으 로 나누었을 때의 나머지는

f{3}=27+18-15+2=32

문제 05-2  11

나머지정리에 의해 f{2}=5, g{2}=-1 따라서 구하는 나머지는

3f{2}+4g{2}=3 K 5+4 K {-1}=11

유제 06  1

나머지정리에 의해 f{1}=2, f{-1}=4

f{x}를 x@-1로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 R{x}=ax+b`{a, b는 상수)라 하면

f{x} ={x@-1}Q{x}+ax+b

={x-1}{x+1}Q{x}+ax+b

이 식의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면 f{1}=a+b=2, f{-1}=-a+b=4 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=3 따라서 R{x}=-x+3이므로 R{2}=1

문제 06-1  7x-12

f{x}를 x@-3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라 하면 f{x} ={x@-3x+2}Q{x}+2x-1

={x-1}{x-2}Q{x}+2x-1 이 식의 양변에 x=1, x=2를 각각 대입하면

f{1}=1, f{2}=3 yy ㉠

xf{x-1}을 x@-5x+6으로 나누었을 때의 몫을 Q'{x}, 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

xf{x-1} ={x@-5x+6}Q'{x}+ax+b

={x-2}{x-3}Q'{x}+ax+b 이 식의 양변에 x=2, x=3을 각각 대입하면 2f{1}=2a+b=2, 3f{2}=3a+b=9 (? ㉠) 두 식을 연립하여 풀면 a=7, b=-12 따라서 구하는 나머지는 7x-12

문제 06-2  -x@+2x+5

f{x}를 {x@-1}{x-2}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 ax@+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면

f{x}={x@-1}{x-2}Q{x}+ax@+bx+c yy ㉠ f{x}를 x@-1로 나누었을 때의 나머지가 2x+4이므로

㉠에서 ax@+bx+c를 x@-1로 나누었을 때의 나머지가 2x+4이다. 즉

ax@+bx+c=a{x@-1}+2x+4 이것을 ㉠에 대입하면

f{x}={x@-1}{x-2}Q{x}+a{x@-1}+2x+4 한편 f{x}를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 5이므로 f{2}=3a+8=5 / a=-1

따라서 구하는 나머지는

-{x@-1}+2x+4=-x@+2x+5 유제 07  4

f{x}를 x+3으로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 -2이므로

f{x}={x+3}Q{x}-2 yy ㉠ Q{x}를 x-2로 나누었을 때의 몫을 Q'{x}라 하면 나 머지가 1이므로

Q{x}={x-2}Q'{x}+1 yy ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

f{x} ={x+3}9{x-2}Q'{x}+10-2

={x+3}{x-2}Q'{x}+x+1 따라서 R{x}=x+1이므로 R{3}=4 문제 07-1  1

f{x}를 x+1로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 2 이므로

f{x}={x+1}Q{x}+2 yy ㉠ f{x}를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 나머지 정리에 의해

f{1}=4 yy ㉡

㉠의 양변에 x=1을 대입하면

f{1}=2Q{1}+2=4 (∵ ㉡) ∴ Q{1}=1 문제 07-2  -2

x#+3x@+ax+1={x-1}Q{x}+2 양변에 x=1을 대입하면

1+3+a+1=2 / a=-3

/ x#+3x@-3x+1={x-1}Q{x}+2 yy ㉠ Q{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 Q{-1}이므 로 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면

-1+3+3+1=-2Q{-1}+2 -2Q{-1}=4 / Q{-1}=-2

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(10)

유제 08  a=-6, b=8

f{x}가 x@+x-2={x+2}{x-1}로 나누어떨어지므로 f{-2}=0, f{1}=0

-8-12-2a+b=0, 1-3+a+b=0 / -2a+b=20, a+b=2

두 식을 연립하여 풀면 a=-6, b=8 문제 08-1  1

f{x}=x((-ax@+bx-1이라 하면 f{x}는 x+1, x-1을 인수로 가지므로 f{-1}=0, f{1}=0 -1-a-b-1=0, 1-a+b-1=0

/ a+b=-2, a-b=0

두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-1 / ab=1 문제 08-2  a=-9, b=9

f{x-1}이 x+2로 나누어떨어지므로 f{-2-1}= f{-3}=0

또 f{x+1}이 x-2로 나누어떨어지므로 f{2+1}= f{3}=0

-27-9-3a+b=0, 27-9+3a+b=0 / -3a+b=36, 3a+b=-18 두 식을 연립하여 풀면 a=-9, b=9

1 2x+y=1에서 y=1-2x yy ㉠

㉠을 ax+by=x+2y+1에 대입하여 x에 대하여 정리하면 ax+b{1-2x}=x+2{1-2x}+1

{a-2b}x+b=-3x+3 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a-2b=-3, b=3 / a=3, b=3 2 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로

양변에 x=1을 대입하면 2=a / a=2 양변에 x=2를 대입하면 12=a+b / b=10 양변에 x=3을 대입하면 36=a+2b+2c / c=7 이때 우변을 전개한 식에서 x#의 계수는 d이므로 d=1 / a+b+c+d=2+10+7+1=20

3 ax#+2x@+bx+1={x-1}{x+2}Q{x}+3x-1 양변에 x=1을 대입하면

1a=3, b=3 2 20 3 -12 4 -2 5-2x+4 6

7 4!{x-2}@ 또는 4!x@-x+1 8 5 9 2 10p=-6, q=8

기본 연습문제 p.37~38

a+2+b+1=2 / a+b=-1 yy ㉠ 양변에 x=-2를 대입하면

-8a+8-2b+1=-7 / 4a+b=8 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-4 / ab=-12 4 f{x}=2x#+ax@-bx+3이라 하면 나머지정리에 의해

f{-1}=0, f{2}=9

f{-1}=0에서 f{-1}=-2+a+b+3=0

/ a+b=-1 yy ㉠

f{2}=9에서 f{2}=16+4a-2b+3=9

/ 2a-b=-5 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=1 / ab=-2 5 나머지정리에 의해

f{-1}=2, g{-1}=3, f{3}=1, g{3}=-2

f{x}g{x}를 x@-2x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면

f{x}g{x} ={x@-2x-3}Q{x}+ax+b

={x-3}{x+1}Q{x}+ax+b 이 식의 양변에 x=-1, x=3을 각각 대입하면 f{-1}g{-1}=-a+b, f{3}g{3}=3a+b / -a+b=6, 3a+b=-2

두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=4 따라서 구하는 나머지는 -2x+4

6 {x-1}!)을 x@+x-2로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라 하 고 R{x}=ax+b ( a, b는 상수)라 하면

{x-1}!) ={x@+x-2}Q{x}+ax+b

={x-1}{x+2}Q{x}+ax+b 이 식의 양변에 x=1, x=-2를 각각 대입하면 a+b=0, -2a+b={-3}!)=3!)

두 식을 연립하여 풀면 a=-3(, b=3(

따라서 R{x}=-3(x+3(이므로 R{0}=3(

7 f{x}를 {x-2}@{x+2}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 ax@+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면

f{x}={x-2}@{x+2}Q{x}+ax@+bx+c yy ㉠ f{x}를 {x-2}@으로 나누었을 때의 나머지가 0이므로 ax@+bx+c를 {x-2}@으로 나누었을 때의 나머지가 0 이다. 즉

ax@+bx+c=a{x-2}@

/ f{x}={x-2}@{x+2}Q{x}+a{x-2}@

한편 f{x}를 x+2로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 f{-2}=16a=4 / a=4!

따라서 구하는 나머지는 4!{x-2}@=4!x@-x+1

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(11)

개 념 편

8 f{x}를 x+2로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 3 이므로

f{x}={x+2}Q{x}+3 yy ㉠ Q{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 Q{-1}=2

f{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 f{-1}이므로

㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 f{-1} =Q{-1}+3=5

9 f{x}-2가 x@-5x+6={x-2}{x-3}으로 나누어떨 어지므로 f{2}-2=0, f{3}-2=0

/ f{2}=f{3}=2 yy ㉠

f{x+2}를 x@-x로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지 를 ax+b`{a, b는 상수)라 하면

f{x+2} ={x@-x}Q{x}+ax+b

=x{x-1}Q{x}+ax+b

이 식의 양변에 x=0, x=1을 각각 대입하면 f{2}=b=2, f{3}=a+b=2 (∵ ㉠) / a=0, b=2

따라서 구하는 나머지는 2이다.

10 ㈎, ㈏에 의해 f{x}는 {x-2}{x@-2}로 나누어떨어지 므로 f{x}를 {x-2}{x@-2}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라 하면

x$+px@+q={x-2}{x@-2}Q{x}

이 식의 양변에 x=2, x@=2를 각각 대입하면 2$+4p+q=0, 2@+2p+q=0

/ 4p+q=-16, 2p+q=-4 두 식을 연립하여 풀면 p=-6, q=8

1 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=1을 대입하면

{1+1+1@}#=a0+a1+a2+y+a6

/ a0+a1+a2+y+a6=27 yy ㉠ 양변에 x=-1을 대입하면

91-1+{-1}@0#=a0-a1+a2-y+a6

∴ a0-a1+a2-y+a6=1 yy ㉡

㉠+㉡을 하면

2a0+2a2+2a4+2a6=28, 2{a0+a2+a4+a6}=28 / a0+a2+a4+a6=14

1 14 2 5 3 4 4 5 115 실전 연습문제 p.39

2 2x#+x@-x-1=a{x+1}#+b{x+1}@+c{x+1}+d 이므로 a, b, c, d의 값을 조립제법을 이용하여 구하면

따라서 a=2, b=-5, c=3, d=-1이므로 a-b-c-d=5

3 f{x}를 x-5로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 f{5}=4 이때 f{3+x}= f{3-x}에 x=2를 대입하면

f{5}= f{1}

f{x}를 {x-1}{x-5}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나 머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면

f{x}={x-1}{x-5}Q{x}+ax+b 이 식의 양변에 x=1, x=5를 각각 대입하면 a+b=4, 5a+b=4

두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=4 따라서 구하는 나머지는 4이다.

4 x@$을 x-2로 나누었을 때의 나머지를 R (R는 상수)라 하면

x@$={x-2}Q{x}+R

이 식의 양변에 x=2를 대입하면 2@$=R

∴ x@$={x-2}Q{x}+2@$ yy ㉠ Q{x}를 x-4로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해 Q{4}이므로 ㉠의 양변에 x=4를 대입하면 4@$={4-2}Q{4}+2@$, 2$*=2Q{4}+2@$

∴ Q{4}=2$&-2@#

5 f{x}={x-1}@%+{x-1}!%+{x-1}%이라 하면 나머지 정리에 의해

f{0}={-1}@%+{-1}!%+{-1}%=-3 / a=-3 121=x라 하면 120=x-1

120@%+120!%+120%을 121로 나누었을 때의 몫을 q라 하 면 나머지는 f{x}를 x로 나누었을 때의 나머지와 같다.

그런데 나머지는 0<(나머지)<121이므로 120@%+120!%+120% =121q-3

=121{q-1}+121-3

=121{q-1}+118 / b=118

/ a+b=-3+118=115 -1 2 1 -1 -1 -2 1 0 -1 2 -1 0 -1 ◀ d

-2 3 -1 2 -3 3 ◀ c

-2

a ▶ 2 -5 ◀ b

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(12)

02 인수분해

1 p.41

1.  ⑴ {a-b}{x-y} ⑵ {x-1}{x@+1}

⑶ {3x+2}@ ⑷ {4y-1}@

⑸ {a+2b}{a-2b} ⑹ {2x+3y}{2x-3y}

⑺ {2a+3b}{3a-2b} ⑻ {5x+4y}{3x-2y}

2.  ⑴ 2x, 2x, 2x, 2x ⑵ 3x, 3x, 9x@-3xy+y@

⑶ -2y, x, 2y

p.42~43 유제 & 문제

1

유제 01  ⑴ {a-b-2c}@ ⑵ {x+2y}#

⑶ {3a+2b}{9a@-6ab+4b@}

⑷ {a+b-1}{a@+b@+1-ab+a+b} 또는 2!{a+b-1}9{a-b}@+{a+1}@+{b+1}@0

⑴ a@+b@+4c@-2ab+4bc-4ca =a@+{-b}@+{-2c}@+2 K a K {-b}

+2 K {-b} K {-2c}+2 K {-2c} K a

={a-b-2c}@

⑵ x#+6x@y+12xy@+8y#

=x#+3 K x@ K 2y+3 K x K {2y}@+{2y}#={x+2y}#

⑶ 27a#+8b# ={3a}#+{2b}#

={3a+2b}{9a@-6ab+4b@}

⑷ a#+b#+3ab-1

=a#+b#+{-1}#-3 K a K b K {-1}

={a+b-1}9a@+b@+{-1}@-a K b-b K {-1}

-{-1} K a0

={a+b-1}{a@+b@+1-ab+a+b}

=2!{a+b-1}9{a-b}@+{a+1}@+{b+1}@0 문제 01-1  ⑴ {2x+3y-1}@ ⑵ {-2a+3b}#

⑶ 2b{3a@+b@}

⑷ {x-2y-z}{x@+4y@+z@+2xy-2yz+zx} 또는 2!{x-2y-z}9{x+2y}@+{2y-z}@+{z+x}@0

⑴ 4x@+9y@+1+12xy-4x-6y

={2x}@+{3y}@+{-1}@+2 K 2x K 3y

+2 K 2x K {-1}+2 K 3y K {-1}

={2x+3y-1}@

⑵ -8a#+36a@b-54ab@+27b#

={-2a}#+3 K {-2a}@ K 3b+3 K {-2a} K {3b}@+{3b}#

={-2a+3b}#

⑶ {a+b}#-{a-b}#‹

=9{a+b}-{a-b}09{a+b}@+{a+b}{a-b}

+{a-b}@0

=2b{a@+2ab+b@+a@-b@+a@-2ab+b@}

=2b{3a@+b@}

⑷ x#-8y#-z#-6xyz

=x#+{-2y}#+{-z}#-3 K x K {-2y} K {-z}

={x-2y-z}9x@+{-2y}@+{-z}@-x K {-2y}

-{-2y} K {-z}-{-z} K x0

={x-2y-z}{x@+4y@+z@+2xy-2yz+zx}

=2!{x-2y-z}9{x+2y}@+{2y-z}@+{z+x}@0

유제 02  ⑴ -{x-y+z}{x-y-z}

⑵ {a+3b+c}{a-b+c}

⑶ {a+b}{a-b}{a@-ab+b@}{a@+ab+b@}

⑷ -8xy{x@+y@}

⑴ 2xy+z@-x@-y@ =-9{x@-2xy+y@}-z@0

=-9{x-y}@-z@0

=-{x-y+z}{x-y-z}

⑵ a@-3b@+c@+2ab+2bc+2ca

={a@+b@+c@+2ab+2bc+2ca}-4b@

={a+b+c}@-{2b}@

={a+b+c+2b}{a+b+c-2b}

={a+3b+c}{a-b+c}

⑶ a^-b^

={a#}@-{b#}@

={a#+b#}{a#-b#}

={a+b}{a-b}{a@-ab+b@}{a@+ab+b@}

⑷ {x-y}$-{x+y}$

=9{x-y}@0@-9{x+y}@0@

=9{x-y}@+{x+y}@09{x-y}@-{x+y}@0

=9{x@-2xy+y@}+{x@+2xy+y@}0

\9{x@-2xy+y@}-{x@+2xy+y@}0

={2x@+2y@}{-4xy}

=-8xy{x@+y@}

문제 02-1  ⑴ {a+b}{a-b}@

⑵ xy{x+y}{x-y-1}

⑴ a#+b#-ab{a+b}

={a+b}{a@-ab+b@}-ab{a+b}

={a+b}{a@-2ab+b@}={a+b}{a-b}@

⑵ -x@y-xy@+x#y-xy#

=-xy{x+y}+xy{x@-y@}

=-xy{x+y}+xy{x+y}{x-y}

=xy{x+y}{x-y-1}

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(13)

개 념 편

1.  ⑴ {x+2}{x-1} ⑵ {x@+4}{x+1}{x-1}

⑴ {x+1}@-{x+1}-2

=X@-X-2 ◀ x+1=X

={X+1}{X-2}

={x+1+1}{x+1-2} ◀ X=x+1

={x+2}{x-1}

⑵ x$+3x@-4 =X@+3X-4 ◀ x@=X

={X+4}{X-1}

={x@+4}{x@-1} ◀ X=x@

={x@+4}{x+1}{x-1}

2.  {x@+z}{y-xz}

x@y-x#z+yz-xz@ ={x@+z}y-x#z-xz@

={x@+z}y-xz{x@+z}

={x@+z}{y-xz}

3.  0, x-1, x@+x-6, x-2

2 p.45

p.46~51 유제 & 문제

2

유제 03  ⑴ {x@-4x-4}{x-1}{x-3}

⑵ {x+1}@{2x@+4x+1}

⑶ {x+2}@{x@+4x-6}

⑴ {x@-4x-5}{x@-4x+4}+8

={X-5}{X+4}+8 ◀ x@-4x=X =X@-X-12

={X-4}{X+3}

={x@-4x-4}{x@-4x+3} ◀ X=x@-4x ={x@-4x-4}{x-1}{x-3}

⑵ 2x@{x+2}@+3x@+6x+1

=29x{x+2}0@+3x{x+2}+1

=2X@+3X+1 ◀ x{x+2}=X

={2X+1}{X+1}

=92x{x+2}+109x{x+2}+10 ◀ X=x{x+2}

={2x@+4x+1}{x@+2x+1}

={x+1}@{2x@+4x+1}

⑶ {x-1}{x+1}{x+3}{x+5}-9

=9{x-1}{x+5}09{x+1}{x+3}0-9

={x@+4x-5}{x@+4x+3}-9

={X-5}{X+3}-9 ◀ x@+4x=X

=X@-2X-24

={X+4}{X-6}

={x@+4x+4}{x@+4x-6} ◀ X=x@+4x

={x+2}@{x@+4x-6}

문제 03-1  -5

{x@+3x+2}{x@-5x+6}-60

={x+2}{x+1}{x-2}{x-3}-60

=9{x+2}{x-3}09{x+1}{x-2}0-60

={x@-x-6}{x@-x-2}-60

={X-6}{X-2}-60 ◀ x@-x=X

=X@-8X-48

={X-12}{X+4}

={x@-x-12}{x@-x+4} ◀ X=x@-x

={x-4}{x+3}{x@-x+4}

따라서 a=-4, b=-1이므로 a+b=-5

유제 04  ⑴ {x+2}{x-2}{x@+5}

⑵ {2x@+3}{x+1}{x-1}

⑶ {x@+2x-1}{x@-2x-1}

⑷ {x@+x+2}{x@-x+2}

⑴ x@=X로 치환하면 x$+x@-20 =X@+X-20

={X-4}{X+5}

={x@-4}{x@+5} ◀ X=x@

={x+2}{x-2}{x@+5}

⑵ x@=X로 치환하면 2x$+x@-3 =2X@+X-3

={2X+3}{X-1}

={2x@+3}{x@-1} ◀ X=x@

={2x@+3}{x+1}{x-1}

⑶ x$-6x@+1 ={x$-2x@+1}-4x@

={x@-1}@-{2x}@ ◀ A@-B@ 꼴

={x@+2x-1}{x@-2x-1}

⑷ x$+3x@+4 ={x$+4x@+4}-x@

={x@+2}@-x@ ◀ A@-B@ 꼴

={x@+x+2}{x@-x+2}

문제 04-1  5 x$-x@y@+16y$

={x$+8x@y@+16y$}-9x@y@

={x@+4y@}@-{3xy}@ ◀ A@-B@ 꼴

={x@+3xy+4y@}{x@-3xy+4y@}

따라서 a=4, b=-3, c=4이므로 a+b+c=5

유제 05  ⑴ {2y+1}{x+y-1}

⑵ {a-b}{a@+b@+c@}

⑶ {x+2y-5}{x+2y+1}

⑷ {a+b}{b+c}{c+a}

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(14)

⑴ 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 2y@+2xy+x-y-1

={2y+1}x+{2y@-y-1}

={2y+1}x+{2y+1}{y-1}

={2y+1}{x+y-1}

⑵ 주어진 식을 c에 대하여 내림차순으로 정리하면 a#-a@b+ab@+ac@-b#-bc@

={a-b}c@+a#-a@b+ab@-b#

={a-b}c@+a@{a-b}+b@{a-b}

={a-b}{a@+b@+c@}

⑶ 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 x@+4y@+4xy-4x-8y-5

=x@+4{y-1}x+{4y@-8y-5}

=x@+4{y-1}x+{2y-5}{2y+1}

=9x+{2y-5}09x+{2y+1}0

={x+2y-5}{x+2y+1}

⑷ 주어진 식을 a에 대하여 내림차순으로 정리하면 a@{b+c}+b@{c+a}+c@{a+b}+2abc

=a@b+a@c+b@c+ab@+ac@+bc@+2abc

={b+c}a@+{b@+2bc+c@}a+bc{b+c}

={b+c}a@+{b+c}@a+bc{b+c}

={b+c}9a@+{b+c}a+bc0

={b+c}{a+b}{a+c}

={a+b}{b+c}{c+a}

문제 05-1  -3

주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 x@+4xy+3y@+ax-7y+2

=x@+{4y+a}x+{3y@-7y+2}

=x@+{4y+a}x+{y-2}{3y-1}

이 식이 x, y에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해되므로 4y+a={y-2}+{3y-1}

/ a=-3

유제 06  ⑴ {x+3}{x-1}@

⑵ {x-1}{x+2}{x-3}

⑶ {x+1}{x+2}{x-1}@

⑷ {x-1}{x+1}{2x-1}{x+3}

⑴ f{x}=x#+x@-5x+3이라 하면

f{1}=0이므로 오른쪽과 1 1 1 -5 3 1 2 -3 1 2 -3 0 같이 조립제법을 이용하

여 인수분해하면 / x#+x@-5x+3

={x-1}{x@+2x-3}

={x+3}{x-1}@

⑵ f{x}=x#-2x@-5x+6이라 하면

f{1}=0이므로 오른쪽과 1 1 -2 -5 6 1 -1 -6 1 -1 -6 0 같이 조립제법을 이용하

여 인수분해하면 / x#-2x@-5x+6

={x-1}{x@-x-6}

={x-1}{x+2}{x-3}

⑶ f{x}=x$+x#-3x@-x+2라 하면

f{1}=0, f{-1}=0이므로 조립제법을 이용하여 인 수분해하면

/ x$+x#-3x@-x+2

={x-1}{x#+2x@-x-2}

={x-1}{x+1}{x@+x-2}

={x+1}{x+2}{x-1}@

⑷ f{x}=2x$+5x#-5x@-5x+3이라 하면

f{1}=0, f{-1}=0이므로 조립제법을 이용하여 인 수분해하면

/ 2x$+5x#-5x@-5x+3

={x-1}{2x#+7x@+2x-3}

={x-1}{x+1}{2x@+5x-3}

={x-1}{x+1}{2x-1}{x+3}

문제 06-1  {x-1}{x+1}{x@+2x+3}

f{x}가 x-1, x+1을 인수로 가지므로 f{1}=1+a+b-2-3=0

/ a+b=4 yy ㉠

f{-1}=1-a+b+2-3=0

/ -a+b=0 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=2 f{x}를 조립제법을 이용하여 인수분해하면

1 1 1 -3 -1 2 1 2 -1 -2 -1 1 2 -1 -2 0 -1 -1 2 1 1 -2 0

1 2 5 -5 -5 3 2 7 2 -3 -1 2 7 2 -3 0 -2 -5 3 2 5 -3 0

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(15)

개 념 편

/ x$+2x#+2x@-2x-3 ={x-1}{x+1}{x@+2x+3}

유제 07 4%

주어진 식을 인수분해하면

x@+2xy+y@-x@y-xy@ ={x+y}@-xy{x+y}

={x+y}{x+y-xy}

x+y, xy의 값을 구하면 x+y=1+j2

2 +1-j2 2 =1 xy= 1+j22 K 1-j22 =-4!

인수분해한 식에 식의 값을 대입하면 {x+y}{x+y-xy}

=1 K [1+4!]=4%

문제 07-1  16

a-b=4, b-c=-2를 변끼리 더하면 a-c=2 주어진 식을 인수분해하면

ab@-a@b+bc@-b@c+ca@-c@a

=-{b-c}a@+{b@-c@}a-b@c+bc@

=-{b-c}a@+{b+c}{b-c}a-bc{b-c}

=-{b-c}9a@-{b+c}a+bc0

=-{b-c}{a-b}{a-c}

={a-b}{b-c}{c-a}

=4 K {-2} K {-2}=16

문제 07-2  ⑴ 322 ⑵ 52

⑴ 321=x로 놓고 x에 대한 식으로 나타낸 후 인수분해 하여 정리하면

321#+1

320 K 321+1 = x#+1 {x-1}x+1

= x#+1 x@-x+1

={x+1}{x@-x+1}

x@-x+1

=x+1

인수분해한 식에 x=321을 대입하면 x+1=321+1=322

1 1 2 2 -2 -3 1 3 5 3 -1 1 3 5 3 0 -1 -2 -3 1 2 3 0

⑵ a@-b@={a+b}{a-b}를 이용할 수 있도록 두 항씩 묶고 인수분해하여 식의 값을 구하면

10@-9@+8@-7@+6@-5@+4@-3@

={10@-9@}+{8@-7@}+{6@-5@}+{4@-3@}

={10+9}{10-9}+{8+7}{8-7}

+{6+5}{6-5}+{4+3}{4-3}

=19 K 1+15 K 1+11 K 1+7 K 1=52 유제 08  빗변의 길이가 c인 직각삼각형

주어진 등식의 좌변을 인수분해하면 a{a@+ab-c@}+b{b@+ab-c@}

=a#+a@b-ac@+b#+ab@-bc@

=a#+b#+a@b+ab@-ac@-bc@

={a+b}{a@-ab+b@}+ab{a+b}-c@{a+b}

={a+b}{a@-ab+b@+ab-c@}

={a+b}{a@+b@-c@}=0

이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a+b>0 / a@+b@-c@=0

따라서 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다.

문제 08-1  정삼각형

a#+b#+c#-3abc=0에서 좌변을 인수분해하면 a#+b#+c#-3abc

={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}

= 12{a+b+c}9{a-b}@+{b-c}@+{c-a}@0=0 이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a+b+c>0

{a-b}@+{b-c}@+{c-a}@=0이므로 a=b, b=c, c=a / a=b=c

따라서 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 정삼각형이다.

1 ⑴ {x-y}{a+2b+c} ⑵ {x+y-3}@

⑶ {x-y-1}{x@+y@+1+xy-y+x} 또는 12{x-y-1}9{x+y}@+{y-1}@+{1+x}@0

⑷ a@{a-1}{a#+a@+2}

2 -3 3 4 5 -9 6 5 7 {x+1}{x-3}{x@+x+1} 8 -3

기본 연습문제 p.52~53

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(16)

1 ⑴ ax-ay+2bx-2by+cx-cy

=a{x-y}+2b{x-y}+c{x-y}

={x-y}{a+2b+c}

⑵ x@+2xy+y@-6x-6y+9

={x+y}@-6{x+y}+9

={x+y-3}@

⑶ x#-y#-3xy-1

=x#+{-y}#+{-1}#-3 K x K {-y} K {-1}

={x-y-1}9x@+{-y}@+{-1}@-x K {-y}

-{-y} K {-1}-{-1} K x0

={x-y-1}{x@+y@+1+xy-y+x}

=2!{x-y-1}9{x+y}@+{y-1}@+{1+x}@0

⑷ a^+2a#-a$-2a@

=a^-a$+2a#-2a@

=a${a@-1}+2a@{a-1}

=a${a+1}{a-1}+2a@{a-1}

=a@{a-1}9a@{a+1}+20

=a@{a-1}{a#+a@+2}

2 {x@-2x}@-2x@+4x-3

={x@-2x}@-2{x@-2x}-3

=X@-2X-3 ◀ x@-2x=X

={X-3}{X+1}

={x@-2x-3}{x@-2x+1} ◀ X=x@-2x

={x-3}{x+1}{x-1}@

/ a+b+c=-3

3 {x+2}@{x-2}{x+6}+60

=9{x+2}{x+2}09{x-2}{x+6}0+60

={x@+4x+4}{x@+4x-12}+60

={X+4}{X-12}+60 ◀ x@+4x=X

=X@-8X+12

={X-2}{X-6}

={x@+4x-2}{x@+4x-6} ◀ X=x@+4x 따라서 주어진 다항식의 인수인 것은 ③이다.

4 x@=X로 치환하면 x$-10x@+9

=X@-10X+9

={X-1}{X-9}

={x@-1}{x@-9} ◀ X=x@

={x+1}{x-1}{x+3}{x-3}

따라서 주어진 다항식의 인수가 아닌 것은 ③이다.

5 x$+5x@+9 ={x$+6x@+9}-x@

={x@+3}@-x@ ◀ A@-B@ 꼴

={x@+x+3}{x@-x+3}

따라서 a=3, b=-1, c=3이므로 abc=-9

6 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 2x@+xy-3y@+kx+5y+2

=2x@+{y+k}x-3y@+5y+2

=2x@+{y+k}x+{3y+1}{-y+2}

이 식이 x, y에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해되므로 y+k=2{-y+2}+{3y+1} / k=5

7 f{x}=x$-x#+ax@+bx-3이라 하면 f{x}가 x+1로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해

f{-1}=1+1+a-b-3=0

/ a-b=1 yy ㉠

또 f{x}를 x-1로 나누면 나머지가 -12이므로 나머지 정리에 의해

f{1}=1-1+a+b-3=-12

/ a+b=-9 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=-5

따라서 f{x}=x$-x#-4x@-5x-3이고 조립제법을 이 용하여 인수분해하면

/ x $-x #-4x @-5x-3

={x+1}{x#-2x@-2x-3}

={x+1}{x-3}{x @+x+1}

8 {a+b+c}@=a@+b@+c@+2{ab+bc+ca}에서 {-3}@=5+2{ab+bc+ca}

/ ab+bc+ca=2 / a#+b#+c#abc -3

=a#+b#+c#-3abc abc

={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}

abc

=-3 K {5-2}

3 =-3

-1 1 -1 -4 -5 -3 -1 2 2 3 3 1 -2 -2 -3 0 3 3 3 1 1 1 0

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(17)

개 념 편

01 복소수의 뜻과 사칙연산

Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식

1.  ⑴ -2, 3 ⑵ 0, -1 ⑶ -5, 0 ⑷ 1 2 , j3

2 허수: ⑴, ⑵, ⑷, 순허수: ⑵

2.  ⑴ x=-5, y=2 ⑵ x=1, y=3 3.  ⑴ 4-2i ⑵ -1-15i ⑶ 3i ⑷ -7

4.  ⑴ 5+2i ⑵ 7+10i ⑶ 23-14i ⑷ -1-8i 5

1 p.57

p.58~60 유제 & 문제

1

유제 01  ⑴ -3! ⑵ 1

⑴ {1-3i}{x-i}={x-3}+{-1-3x}i 이 복소수가 실수이려면

-1-3x=0 ∴ x=-3!

⑵ {1+i}x@-{4+5i}x+3+6i

={x@-4x+3}+{x@-5x+6}i 이 복소수가 순허수이려면 x@-4x+3=0, x@-5x+6=0

! x@-4x+3=0에서 {x-1}{x-3}=0   ∴ x=1 또는 x=3

@ x@-5x+6=0에서 {x-2}{x-3}=0   ∴ x=2, x=3

!, @에서 x=1 문제 01-1  1

z=i{x+i}@=-2x+{x@-1}i

복소수 z가 순허수이려면 -2x=0, x@-1=0 ∴ x=0, x=-1, x=1 ∴ a=0 이때 z=-i이므로 b=-i

∴ a@-b@=0-{-1}=1

문제 01-2  ⑴ 0 ⑵ -2#, 0 z=3{k+i}-k{1-i}@=3k+{2k+3}i

⑴ z@이 음수가 되려면 z는 순허수이어야 하므로 3k=0, 2k+3=0

/ k=0, k=-2#

따라서 구하는 실수 k의 값은 0이다.

1 {x+1}{x+2}{x-3}{x-4}-a =9{x+1}{x-3}09{x+2}{x-4}0-a ={x@-2x-3}{x@-2x-8}-a

={X-3}{X-8}-a ◀ x@-2x=X

=X@-11X+24-a

=[X- 112 ]

@-a-25 4

이 식이 완전제곱식이려면 -a-25 4=0 / a=- 254

2 f{x}가 {x+1}@을 인수로 가지므로 인수정리에 의해 f{-1}=-1+a-1+b=0

/ b=-a+2` yy ㉠

따라서 f{x}=x#+ax@+x-a+2이므로 조립제법을 이 용하여 인수분해하면

/ f{x}={x+1}@{x+a-2} yy ㉡ 이때 -2a+4=0이므로 a=2

a=2를 ㉠에 대입하면 b=0

또 a=2를 ㉡에 대입하면 f{x}=x{x+1}@

3 31=a로 놓고 a에 대한 식으로 나타낸 후 인수분해하면 31$+31@+1

31@+31+1=a$+a@+1

a@+a+1={a@+a+1}{a@-a+1}

a@+a+1 =a@-a+1={a-1}@+a ={31-1}@+31=30@+31 / k=31

4 b@+ca-ba-c@ ={c-b}a+b@-c@

=-{b-c}a+{b-c}{b+c}

={b-c}{-a+b+c}=0

이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a<b+c / b-c=0

따라서 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 b=c인 이등변 삼각형이다.

-1 1 a 1 -a+2 -1 -a+1 a-2 -1 1 a-1 -a+2 0 -1 -a+2 1 a-2 -2a+4

1 -254 2 a=2, b=0, x{x+1}@ 3 31 4 b=c인 이등변삼각형

실전 연습문제 p.54

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(18)

/ x#-4x@+3x+5 =x{x@-4x+5}-2x+5

=-2x+5

=-2{2-i}+5

=1+2i 문제 03-1  2

x=1+j3i

1-j3i= {1+j3i}@

{1-j3i}{1+j3i}=-1+j3i 2 즉, 2x+1=j3i이므로 양변을 제곱하면 4x@+4x+1=-3 / x@+x+1=0

/ x$+x#-x+1 =x@{x@+x+1}-x@-x+1

=-{x@+x+1}+2=2

p.62~63 유제 & 문제

2

유제 04  10

aaC+bbC+aCb+abC

=a{aC+bC}+b{aC+bC}

={a+b}{aC+bC}

={a+b}{a+bZ} ◀ aC+bC=a+bZ

이때 a=-3+2i, b=2-5i이므로 a+b=-1-3i, a+bl=-1+3i

/ {a+b}{a+bl}={-1-3i}{-1+3i}=1+9=10 문제 04-1  -i

aaC=1에서 aC=,!, bbC=1에서 bC=.!

/ ,!+.!=aC+bC=a+bZ=i C=-i 문제 04-2  -2

z=a+ai이므로 zC=a-ai 주어진 등식의 좌변을 정리하면 {z+2}{z-1Z}Z+3zC+2

={z+2Z}{z-1}+3zC+2 ◀ {z1X}Z=z1, z1z2X=z1X K z2X

={zC+2}{z-1}+3zC+2 ◀ z1+z2X=z1X+z2X =zzC-zC+2z-2+3zC+2

=zzC+2{z+zC}

={a+ai}{a-ai}+2{a+ai+a-ai}

=2a@+4a

따라서 2a@+4a=0이므로 a@+2a=0, a{a+2}=0 / a=-2 또는 a=0

이때 a=0이므로 a=-2 유제 05  i

z=a+bi`(a, b는 실수)라 하면 zC=a-bi 이를 {1+i}z+3i zC=2+i에 대입하면

⑵ z@이 실수가 되려면 z는 실수 또는 순허수이어야 한다.

! 복소수 z가 실수인 경우   2k+3=0 / k=-2#

@ 복소수 z가 순허수인 경우   3k=0 / k=0

!, @에 의해 구하는 실수 k의 값은 -2#, 0

유제 02  ⑴ x=-2, y=4 ⑵ x=3, y=1 ⑴ 등식 {1+i}x+{1-i}y=2-6i에서 {x+y}+{x-y}i=2-6i

복소수가 서로 같을 조건에 의해 x+y=2, x-y=-6

두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=4 ⑵ x

1+i+ y 1-i= 5

2+i에서 x{1-i}+y{1+i}

{1+i}{1-i} = 5{2-i}

{2+i}{2-i}

x+y 2 +y-x

2 i=2-i 복소수가 서로 같을 조건에 의해 x+y

2 =2, y-x 2 =-1

두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=1

문제 02-1  x=-2, y=3 1+4il=1-4i이므로

{x+i}{1-4i}=2+3yi에서 x-4xi+i+4=2+3yi {x+4}+{-4x+1}i=2+3yi 복소수가 서로 같을 조건에 의해 x+4=2, -4x+1=3y

두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=3

유제 03  ⑴ -3@ ⑵ 1+2i ⑴ x+y={1+j2 i}+{1-j2 i}=2 xy={1+j2 i}{1-j2 i}=1-2i @=3 / y

x+x y=x@+y@

xy ={x+y}@-2xy xy / =2@-2 K 3

3 =- 2 3 ⑵ x= 5

2+i= 5{2-i}

{2+i}{2-i}=2-i 즉, x-2=-i이므로 양변을 제곱하면 {x-2}@={-i}@ / x@-4x+5=0

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(19)

개 념 편

{1+i}{a+bi}+3i{a-bi}=2+i {a+2b}+{4a+b}i=2+i

복소수가 서로 같을 조건에 의해 a+2b=2, 4a+b=1

두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=1 / z=i 문제 05-1  -2+i, 2+i

z=a+bi`(a, b는 실수)라 하면 zC=a-bi z-zC=2i에서 {a+bi}-{a-bi}=2i

2bi=2i / b=1 yy ㉠

zzC=5에서 {a+bi}{a-bi}=5

/ a@+b@=5 yy ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 a@+1=5 / a=-2 따라서 구하는 복소수 z는 -2+i, 2+i이다.

문제 05-2  -1-2i, 3-2i

z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 zC=a-bi 주어진 등식의 좌변에서

z{zC-2} =zzC-2z

={a+bi}{a-bi}-2{a+bi}

={a@+b@-2a}-2bi

따라서 {a@+b@-2a}-2bi=7+4i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의해

a@+b@-2a=7, b=-2

b=-2를 a@+b@-2a=7에 대입하면 a@-2a-3=0, {a+1}{a-3}=0 / a=-1 또는 a=3

따라서 구하는 복소수 z는 -1-2i, 3-2i이다.

p.65~67 유제 & 문제

3

유제 06  ⑴ -1 ⑵ 0 ⑴ 1

i+1 i @+1

i #+y+ 1 i !@#

=[ 1i+1 i @+1

i #+1 i $ ]+1

i $ [ 1 i+1

i @+1 i #+1

i $ ]

+y+ 1

i !@) [ 1 i+1

i @+1 i # ]

=[ 1i-1-1

i+1]+ 1i $ [ 1 i-1-1

i+1]

+y+ 1

i !@) [ 1 i-1-1

i ] =-1

⑵ 1-i

1+i= {1-i}@

{1+i}{1-i}=-2i 2 =-i

1+i 1-i =

{1+i}@

{1-i}{1+i}=2i 2 =i / [ 1-i1+i ]!@#+[ 1+i1-i ]!@#

  ={-i}!@#+i !@#

  =9{-i}$0#) K {-i}#+{i $}#) K i #   =1 K i+1 K {-i}=0

문제 06-1  51-50i

1+2i+3i @+4i #+y+100i ((+101i !))

=1+{2i+3i @+4i #+5i $}+i ${6i+7i @+8i #+9i $}

+y+i (^{98i+99i @+100i #+101i $}

=1+{2i-3-4i+5}+{6i-7-8i+9}

+y+{98i-99-100i+101}

=1+{2-2i}+{2-2i}+y+{2-2i}

=1+25{2-2i}=51-50i

문제 06-2  8

z@=[ 1+i j2 ]@= 2i 2=i이므로 i $={z@}$=z*=1

따라서 zN=1을 만족하는 자연수 n의 최솟값은 8이다.

유제 07  -1+{2-j3}i

j-3l j-12l+j-2l j2+ j9j-3l+ j-50l j-2l =-j36k+j-4k-j-3k+j25k =-6+2 i-j3 i+5 =-1+{2-j3}i

문제 07-1  6

{j5+j-5l}{2j5-j-5l}+j-3l j-12l+ j28k j-7k =2j25k-j-25l+2j-25l+j25k-j36k-j-4l =10-5i+10i+5-6-2i

=9+3i

따라서 9+3i=a+bi이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의해 a=9, b=3 / a-b=6 1.  ⑴ i ⑵ 1 ⑶ -1

2.  ⑴ -17i ⑵ -10i ⑶ -515i 3.  ⑴ 2j10l i ⑵ -4 ⑶ -5^ i

3 p.64

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(20)

기본 연습문제 p.68~69

1 2⑴ -1, 3 ⑵ 2 3 4-2%

5 -i 6-j3-i, j3-i 7 ㄴ, ㄹ 8-1 9 -3j5i

1 ⑤ a=1, b=i이면 a+bi=1+i @=1-1=0이다.

2 z ={1+i}x@-{1+2i}x-2-3i

={x@-x-2}+{x@-2x-3}i ⑴ z=zC이려면 z는 실수이어야 하므로 x@-2x-3=0, {x+1}{x-3}=0 / x=-1 또는 x=3

⑵ z@<0이려면 z는 순허수이어야 하므로 x@-x-2=0, x@-2x-3=0

! x@-x-2=0에서 {x+1}{x-2}=0   / x=-1 또는 x=2

@ x@-2x-3=0에서 {x+1}{x-3}=0   / x=-1, x=3

!, @에서 x=2

3 x 1-i+ y

1+i=-3+2i에서 x{1+i}+y{1-i}

{1-i}{1+i} =-3+2i x{1+i}+y{1-i}

2 =-3+2i

/ {x+y}+{x-y}i=-6+4i 복소수가 서로 같을 조건에 의해 x+y=-6, x-y=4

두 식을 연립하여 풀면

x=-1, y=-5 / xy=5

4 x+y=1+j7 i

2 +1-j7 i 2 =1 xy=1+j7 i

2 K 1-j7 i 2 =2 / y@ x+x@

y=x#+y#

xy ={x+y}#-3xy{x+y}

xy =1#-3 K 2 K 1

2 =- 5 2 5 a+b=3+2i, ab=2-3i이므로

a+bZ=3-2i, abX=2+3i / 1aC+1

bC=aC+bC aC bC =a+bZ

abX ◀ aC+bC=a+bZ, aC K bC=abX

    = 3-2i2+3i={3-2i}{2-3i}

{2+3i}{2-3i}

    =-13i13 =-i

6 z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 zC=a-bi 이를 zzC+3{z-zC}=4-6i에 대입하면 {a+bi}{a-bi}+3{a+bi-a+bi}=4-6i {a@+b@}+6bi=4-6i

복소수가 서로 같을 조건에 의해 a@+b@=4, 6b=-6

두 식을 연립하여 풀면 a=-j3, b=-1 따라서 구하는 복소수 z는 -j3-i, j3-i이다.

7 z=a+bi`{a, b는 실수}라 하면 zC=a-bi

ㄱ. z-zC={a+bi}-{a-bi}=2bi` ◀ 허수 또는 0 문제 07-2  0

j2ak j-2al+j-2al j-2al

2a + ja

j-ak+ ja@k j{-ka}@l = j-4a@l -j4a@k

2a -q a -a e+ra@

a@ t =2ai-2a

2a -i+1=2a{i-1}

2a -i+1 ={i-1}-i+1=0

유제 08  -b

ja jb=-jabk이므로 a<0, b<0 / a+b<0 / 1{a+b}@3-1a@2 =|a+b|-|a|

=-{a+b}-{-a}=-b 문제 08-1  3

j4-al

j1-al=-q 4-a1-a e이므로 ! 1-a<0, 4-a>0인 경우

  a-1>0, a-4<0

  / |a-1|+|a-4| ={a-1}-{a-4}=3 @ a=4인 경우

  |a-1|+|a-4|=3+0=3 !, @에 의해 |a-1|+|a-4|=3

문제 08-2  -2a

ja jb=-jabk이므로 a<0, b<0 yy ㉠ ㉠에서 b<0이고 jc

jb=qbC w이므로 c<0 즉, a+b<0, b+c<0, c+a<0이므로

|a+b|-|b+c|+4{c+a}@6

=-{a+b}-9-{b+c}0-{c+a}

=-a-b+b+c-c-a=-2a

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(21)

개 념 편

ㄴ. z zC={a+bi}{a-bi}=a@+b@ ◀ 실수 ㄷ. zC

z=a-bi

a+bi= {a-bi}@

{a+bi}{a-bi}

={a-bi}@

a@+b@ =a@-b@

a@+b@- 2ab

a@+b@i ◀ 실수 또는 허수

ㄹ. 1 z+1

zC= 1

a+bi+ 1 a-bi ={a-bi}+{a+bi}

{a+bi}{a-bi} = 2a

a@+b@ ◀ 실수 따라서 항상 실수인 것은 ㄴ, ㄹ이다.

8 주어진 등식의 좌변을 정리하면 1

i+2 i @+3

i #+y+ 777 i &&&

=[ 1i+2 i @+3

i #+4

i $ ]+[ 5i %+6 i ^+7

i &+8 i * ] +y+[ 773i &&#+774

i &&$+775 i &&%+776

i &&^ ]+777 i &&&

=[ 1i+ 2 -1+ 3

-i+4

1 ]+[ 5i+ 6 -1+ 7

-i+8 1 ] +y+[ 773i +774

-1+775 -i+776

1 ]+777 i =[2- 2i ]+[2- 2i ]+y+[2- 2i ]+777

i =194[2- 2i ]+777

i

=194{2+2i}-777i=388-389i 따라서 388-389i=x+yi에서

복소수가 서로 같을 조건에 의해 x=388, y=-389 / x+y=-1

9 j-1k j-5k+ j10kj-2k\1{-3}@3+ j-15lj-3k =-j5+{-j-5k}\3+j5

=-j5-3j5i+j5=-3j5i

1 z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 z-1

z=a+bi- 1 a+bi    =a+bi- a-bi

{a+bi}{a-bi}

   =[a- aa@+b@ ]+[b+ ba@+b@ ]i 11 2 -4 3 4a-c

실전 연습문제 p.70

이 복소수가 순허수이려면 a- a

a@+b@=0, a= a a@+b@

그런데 a=0이므로 a@+b@=1 이때 zC=a-bi이므로

z zC={a+bi}{a-bi}=a@+b@=1 2 aaC=bbC=4에서 a=4

aC, b=4 bC a+b=i에서 4

aC+4 bC=i 4{aC+bC}

aC bC =i, 4{a+bX}=i abX, 4iC =i abX -4i=iabX, abX=-4

∴ ab=-4

3 i+i @+i #+i $=i-1-i+1=0이므로 k=0, 1, 2, 3, y에 대하여

! n=4k+1인 경우

{i+i @+i #+i $}+i ${i+i @+i #+i $}+y+i $K"!

=i

@ n=4k+2인 경우

{i+i @+i #+i $}+i ${i+i @+i #+i $}

+y+i $K"!+i $K"@

=i-1

# n=4k+3인 경우

{i+i @+i #+i $}+i ${i+i @+i #+i $}

+y+i $K"!+i $K"@+i $K"#

=i-1-i=-1

$ n=4k+4인 경우

{i+i @+i #+i $}+i ${i+i @+i #+i $}

+y+i $K{i+i @+i #+i $}

=0

!~$에 의해 식의 값이 될 수 없는 것은 ③이다.

4 0이 아닌 세 실수 a, b, c에 대하여

ja jb=-jabk이므로 a<0, b<0 yy ㉠

㉠에서 b<0이고 jc

jb=-qbC w이므로 c>0 즉, a+b<0, c-b>0, 2a<0이므로

4{a+b}@6=|a+b|=-{a+b}, |c-b|=c-b,

|2a|=-2a

/ 4{a+b}@6-|c-b|-|2a|

  =-{a+b}-{c-b}-{-2a}

  =-a-b-c+b+2a=a-c

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(22)

02 이차방정식의 판별식

1 p.71

1.  ⑴ x=3 또는 x=5 ⑵ x=-1 또는 x=5 2 ⑶ x=3-j17k

2 ⑷ x=1-j3i 4

p.72~74 유제 & 문제

1

유제 01  ⑴ x=-2-j7i

⑵ x=-1 또는 x=3+j3 ⑴ 3{x+2}{x+3}=2x@+11x+7에서 3{x@+5x+6}=2x@+11x+7

3x@+15x+18=2x@+11x+7, x@+4x+11=0 / x=-2-12@2-1 K 112=-2-j-7l=-2-j7i ⑵ 주어진 방정식의 양변에 j3+2를 곱하면

{j3-2}{j3+2}x@+{j3+2}x+{3-j3}{j3+2}

=0 x@-{j3+2}x-{3+j3}=0

{x+1}9x-{3+j3}0=0 / x=-1 또는 x=3+j3

문제 01-1  2, -3 2

방정식 mx@-3x-4m-1=0의 한 근이 3이므로 x=3을 대입하면

9m-9-4m-1=0 / m=2 m=2를 주어진 이차방정식에 대입하면 2x@-3x-9=0, {2x+3}{x-3}=0

/ x=- 3 2 또는 x=3

따라서 m=2, 다른 한 근은 -3 2이다.

문제 01-2  1

x=-1이 주어진 방정식의 근이므로 k-m+{k+1}n=0

주어진 방정식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 {n+1}k-m+n=0

n+1=0, -m+n=0 / m=-1, n=-1 / mn=1

유제 02  ⑴ x=-5 또는 x=4 ⑵ 해는 없다.

⑴ ! x<1일 때

  x@+3{x-1}-7=0에서 x@+3x-10=0   {x+5}{x-2}=0 / x=-5 또는 x=2   그런데 x<1이므로 x=-5

@ x>1일 때

  x@-3{x-1}-7=0에서 x@-3x-4=0   {x+1}{x-4}=0 / x=-1 또는 x=4   그런데 x>1이므로 x=4

!, @에 의해 방정식의 해는 x=-5 또는 x=4

⑵ ! -1<x<0일 때, [x]=-1이므로   x@-2-1=0, x@=3 / x=-j3

  그런데 -1<x<0이므로 이를 만족하는 해는 없다.

@ 0<x<1일 때, [x]=0이므로   x@-1=0 / x=-1

  그런데 0<x<1이므로 이를 만족하는 해는 없다.

!, @에 의해 방정식의 해는 없다.

문제 02-1  x=-2 또는 x=j2

x@+1x@2=|x-1|+3에서 x@+|x|=|x-1|+3

! x<0일 때

x@-x=-{x-1}+3에서 x@=4 / x=-2 그런데 x<0이므로 x=-2

@ 0<x<1일 때

x@+x=-{x-1}+3에서 x@+2x-4=0 / x=-1-j5

그런데 0<x<1이므로 이를 만족하는 해는 없다.

# x>1일 때

x@+x=x-1+3에서 x@=2 / x=-j2 그런데 x>1이므로 x=j2

!, @, #에 의해 방정식의 해는 x=-2 또는 x=j2 유제 03  1m

길의 폭을 x m라 하면

x는 변의 길이이므로 0<x<15 2 길의 넓이가 33 m@이므로 10 K 15-{10-x}{15-2x}=33 2x@-35x+33=0

{2x-33}{x-1}=0 / x= 332 또는 x=1

그런데 0<x<15

2 이므로 x=1 따라서 길의 폭은 1 m로 하면 된다.

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(23)

개 념 편

문제 03-1  12 cm

원에 내접하는 직사각형의 대각선은 원의 지름이고, 지름 에 대한 원주각의 크기는 90!이므로 이를 그림으로 나타 내면 다음과 같다.

원의 반지름의 길이를 r cm라 하 면 원의 넓이가 100p cm@이므로 pr@=100p

/ r=10`{? r>0}

원에 내접하는 직사각형의 둘레의 길이가 56 cm이므로 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는

{28-x} cm이다.

이때 x는 변의 길이이므로 0<x<28

원의 지름의 길이가 20 cm이므로 피타고라스 정리에 의해 x@+{28-x}@=20@, x@-28x+192=0

{x-12}{x-16}=0 / x=12 또는 x=16 따라서 직사각형의 짧은 변의 길이는 12 cm이다.

2 p.75

1.  ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 중근 ⑶ 서로 다른 두 허근

p.76~77 유제 & 문제

2

유제 04  ⑴ a<1 ⑵ a=1 ⑶ a>1

이차방정식 x@-2ax+a@+a-1=0의 판별식을 D라 하면

4D={-a}@-{a@+a-1}=-a+1 ⑴ 4D=-a+1>0 ∴ a<1 ⑵ 4D=-a+1=0 ∴ a=1 ⑶ 4D=-a+1<0 ∴ a>1 문제 04-1  a>2

이차방정식 x@-2{a+1}x+a@+5=0의 판별식을 D라 하면 실근을 가질 조건은 D>0이므로

4D=9-{a+1}0@-{a@+5}=2a-4>0 / a>2

문제 04-2  k<-2 또는 -2<k<-3@

{k+2}x@+2kx+k+1=0이 x에 대한 이차방정식이므로

k+2=0 / k=-2 yy ㉠

이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 판별식 D>0이므로

4D=k@-{k+2}{k+1}>0

-3k-2>0 / k<-3@ yy ㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족하는 실수 k의 값의 범위는 k<-2 또는 -2<k<-3@

유제 05  ⑴ a=1, b=-2 ⑵ -1, 3

⑴ 이차방정식 x@-2{k+a}x+{k+1}@+a@-b-3=0 이 중근을 가질 조건은 판별식 D=0이므로

4D=9-{k+a}0@-9{k+1}@+a@-b-30=0

2{a-1}k+b+2=0 yy ㉠

㉠은 k에 대한 항등식이므로 a-1=0, b+2=0

/ a=1, b=-2

⑵ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식 x@-{k+3}x+2k+3=0이 중근을 가져야 하므로

판별식 D=0이어야 한다.

D=9-{k+3}0@-4{2k+3}=0 k@+6k+9-8k-12=0

k@-2k-3=0, {k+1}{k-3}=0 / k=-1 또는 k=3

문제 05-1  서로 다른 두 실근

이차방정식 x@-21bx+a+1=0이 중근을 가질 조건은 판별식 D1=0이므로

D1

4={-1b}@-{a+1}=b-a-1=0

/ b=a+1 yy ㉠

이차방정식 x@-2x-ab=0의 판별식을 D2라 하면 D2

4={-1}@-{-ab}

=1+ab

=1+a{a+1}`{? ㉠}

=a@+a+1

=[a+2!]@+4#>0 [? [a+2!]@>0]

따라서 이차방정식 x@-2x-ab=0은 서로 다른 두 실근 을 갖는다.

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(24)

문제 05-2  빗변의 길이가 b인 직각삼각형

b{x@+1}-2ax+c{x@-1}을 x에 대하여 정리하면 {b+c}x@-2ax+b-c

이차방정식 {b+c}x@-2ax+b-c=0이 중근을 가지므 로 판별식 D=0이다.

4D={-a}@-{b+c}{b-c}=0 a@-{b@-c@}=0, a@-b@+c@=0 ∴ a@+c@=b@

따라서 구하는 삼각형은 빗변의 길이가 b인 직각삼각형이다.

1 주어진 방정식의 양변에 j2-1을 곱하면

{j2+1}{j2-1}x@-{3+j2}{j2-1}x+j2{j2-1}

=0

x@-{2j2-1}x+j2{j2-1}=0 {x-j2}9x-{j2-1}0=0 ∴ x=j2 또는 x=j2-1

따라서 a=j2, b=j2-1이므로 a-b=1

2 이차방정식 {a-1}x@-{a@+1}x+2{a+1}=0의 한 근이 2이므로 x=2를 대입하면

4{a-1}-2{a@+1}+2{a+1}=0 a@-3a+2=0, {a-1}{a-2}=0 / a=1 또는 a=2

그런데 a-1=0, 즉 a=1이므로 a=2

이차방정식 {a-1}x@-{a@+1}x+2{a+1}=0에 a=2를 대입하면

x@-5x+6=0, {x-2}{x-3}=0

∴ x=2 또는 x=3 ∴ k=3

∴ a+k=2+3=5

3 방정식 [x]@+[x]-6=0에서 [x]=t로 치환하면 t@+t-6=0, {t+3}{t-2}=0

∴ t=-3 또는 t=2

[x]=t이므로 [x]=-3 또는 [x]=2 / -3<x<-2 또는 2<x<3

1 1 25 3 -3<x<-2 또는 2<x<3 4 -2+j2 5 x=-1 또는 x=2

6 8 cm 73 cm 8 3 9 서로 다른 두 실근

기본 연습문제 p.78~79

4 x@-|x|-1{x-1}@3=2에서 x@-|x|-|x-1|=2

! x<0일 때, x@+x+{x-1}=2

x@+2x-3=0 / x=-3 또는 x=1 그런데 x<0이므로 x=-3

@ 0<x<1일 때, x@-x+{x-1}=2 x@-3=0 ∴ x=-j3

그런데 0<x<1이므로 이를 만족하는 해는 없다.

# x>1일 때, x@-x-{x-1}=2 x@-2x-1=0 ∴ x=1-j2 그런데 x>1이므로 x=1+j2

!, @, #에 의해 방정식의 해는 x=-3 또는 x=1+j2 따라서 모든 x의 값의 합은

-3+{1+j2}=-2+j2 5 |2  x|=x  x에서

|2x-2-x|=x@-x-x, |x-2|=x@-2x ! x<2일 때

-x+2=x@-2x에서 x@-x-2=0 {x+1}{x-2}=0 ∴ x=-1 또는 x=2 그런데 x<2이므로 x=-1

@ x>2일 때

x-2=x@-2x에서 x@-3x+2=0 {x-1}{x-2}=0 ∴ x=1 또는 x=2 그런데 x>2이므로 x=2

!, @에 의해 방정식의 해는 x=-1 또는 x=2 6 BCl=x c m라 하면 ACl={30-x} cm이므로 2!p K 15@-2!p K [ 30-x 2 ]@-2!p K [ x 2 ]@=44p

x@-30x+176=0, {x-8}{x-22}=0 / x=8 또는 x=22

이때 ACl>BCl이므로 BCl=8 cm이다.

7 케이크의 가로와 세로의 길이를 각각 x cm만큼 줄인다고 하면 줄인 케이크의 가로의 길이와 세로의 길이는 각각 {15-x} cm, {20-x} cm

케이크의 부피를 32`% 줄이면 줄인 케이크의 부피는 원래 케이크의 부피의 68

100 배이므로 {15-x}{20-x}\10=68

100 \15\20\10 x@-35x+96=0, {x-3}{x-32}=0 / x=3 또는 x=32

그런데 0<x<15이므로 x=3

따라서 가로와 세로의 길이를 각각 3 cm씩 줄여야 한다.

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참조

관련 문서

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개념과

EBS 중학 뉴런 수학

x의 최고차항이 이차이므로

상징의

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•직관의 교육적인 문제는 직관적인 표상이나 해석을 제거하는 것이 아 니라 학생의 직관적 개념을 계속 조종하고 형식적인 수학적 요구와 일 니라 학생의 직관적

자명성과 내재적 확실성은 매우 밀접히 관련되어 있지만 자명성과 내재적 확실성은 매우 밀접히 관련되어 있지만 한쪽이 다른