고등 수학(상)
정답과 해설
개념과 유형이 하나로
http://hjini.tistory.com
정답과 해설
개 념 편
01 다항식의 연산 I-1. 다항식
1. 내림차순: -3y@+{x+1}y+2x@-5x-2 오름차순: 2x@-5x-2+{x+1}y-3y@
2. ⑴ 3x@-x+5 ⑵ x@-5x-3 ⑶ -x@-9x-11
1 p.8
유제 & 문제 p.9
1
유제 01 12x@-7x+3 2{A+B}-3{B-C}
=2A-B+3C
=2{2x@-x+1}-{x@+2x-1}+3{3x@-x}
=4x@-2x+2-x@-2x+1+9x@-3x
=12x@-7x+3 문제 01-1 a@+3ab+b@
A-2{X-B}=3A에서
A-2X+2B=3A, 2X=-2A+2B
∴ X =B-A
=2a@+ab-b@-{a@-2ab-2b@}
=2a@+ab-b@-a@+2ab+2b@
=a@+3ab+b@
문제 01-2 3
두 다항식 A, B에 대하여
A+B=3a@-3ab yy ㉠
A-B=a@-ab+2 yy ㉡
㉠+㉡에서 2A=4a@-4ab+2
∴ A=2a@-2ab+1 yy ㉢
㉢을 ㉠에 대입하면
{2a@-2ab+1}+B=3a@-3ab
∴ B =3a@-3ab-{2a@-2ab+1}
=3a@-3ab-2a@+2ab-1
=a@-ab-1
∴ A-2B =2a@-2ab+1-2{a@-ab-1}
=2a@-2ab+1-2a@+2ab+2
=3
1. ⑴ 64x% ⑵ -2a%b^
2. ⑴ 2x#-7x@+10x-8
⑵ 3x@+xy-2y@-x+9y-10
3. ⑴ x@+4xy+4y@ ⑵ a@-ab+b@
4 ⑶ 4x@-9y@ ⑷ a@-5a-14 ⑸ 6x@+23x+20 ⑹ 2a@+5ab+2b@
2 p.11
p.12~14 유제 & 문제
2
유제 02 11
{x$-2x@+x-3}{x#+4x@-5x+1}의 전개식에서 나오 는 삼차항은
(A의 이차항)\(B의 일차항) SG -2x@\{-5x}=10x#
(A의 일차항)\(B의 이차항) SG x\4x@=4x#
(A의 상수항)\(B의 삼차항) SG -3\x#=-3x#
따라서 x#의 계수는 10+4-3=11
문제 02-1 -5
{3x@-4x-1}{x@+kx+2}의 전개식에서 나오는 일차 항은
(A의 일차항)\(B의 상수항) SG -4x\2=-8x (A의 상수항)×(B의 일차항) SG -1\kx=-kx 따라서 x의 계수는 -8+{-k}=-3이므로 k=-5
문제 02-2 55
{x+1}{x+2}{x+3}y{x+10} 중 임의의 9개의 일 차식에서 x만 뽑아 곱하면 x(이 되고, 이때 남은 일차식 의 상수항을 곱하면 x(의 계수가 된다.
예를 들어 {x+1}{x+2}y{x+9}에서 x를 모두 곱하 면 x(이 되고, 남은 일차식 x+10의 상수항 10과 곱하면 10x(이 된다.
같은 방법으로 하면
x(+2x(+3x(+y+10x(=55x(
따라서 x(의 계수는 55이다.
A B
A B
http://hjini.tistory.com
개 념 편
유제 03 ⑴ a@+b@+c@-2ab+2bc-2ca ⑵ 4x@+9y@+z@-12xy-6yz+4zx ⑶ a#+6a@b+12ab@+8b#
⑷ 27x#-54x@+36x-8 ⑸ 8x#-1 ⑹ 64x#+27
⑴ {a-b-c}@
=9a+{-b}+{-c}0@
=a@+{-b}@+{-c}@
+2a K {-b}+2 K {-b} K {-c}+2 K {-c} K a =a@+b@+c@-2ab+2bc-2ca
⑵ {2x-3y+z}@
=92x+{-3y}+z0@
={2x}@+{-3y}@+z@
+2 K 2x K {-3y}+2 K {-3y} K z+2 K z K 2x =4x@+9y@+z@-12xy-6yz+4zx
⑶ {a+2b}# =a#+3 K a@ K 2b+3 K a K {2b}@+{2b}#
=a#+6a@b+12ab@+8b#
⑷ {3x-2}# ={3x}#-3 K {3x}@ K 2+3 K 3x K 2@-2#
=27x#-54x@+36x-8
⑸ {2x-1}{4x@+2x+1}
={2x-1}9{2x}@+2x K 1+1@0 ={2x}#-1#=8x#-1
⑹ {4x+3}{16x@-12x+9}
={4x+3}9{4x}@-4x K 3+3@0 ={4x}#+3#=64x#+27
문제 03-1 ⑴ x#+7x@+14x+8 ⑵ x#-7x+6 ⑶ x#+y#-z#+3xyz ⑷ a#-b#+3ab+1
⑴ {x+1}{x+2}{x+4}
=x#+{1+2+4}x@+{1K2+2K4+4K1}x+1K2K4 =x#+7x@+14x+8
⑵ {x-2}{x-1}{x+3}
=x#+{-2-1+3}x@
+9{-2} K {-1}+{-1} K 3+3 K {-2}0x+{-2} K {-1} K 3 =x#-7x+6
⑶ {x+y-z}{x@+y@+z@-xy+yz+zx}
=9x+y+{-z}0
\9x@+y@+{-z}@-xy-y K {-z}-{-z} K x0 =x#+y#+{-z}#-3xy K {-z}
=x#+y#-z#+3xyz
⑷ {a-b+1}{a@+b@+ab-a+b+1}
=9a+{-b}+10
\9a@+{-b}@+1@-a K {-b}-{-b} K 1-1 K a0
=a#+{-b}#+1#-3KaK{-b} K 1
=a#-b#+3ab+1
문제 03-2 ⑴ a*-1 ⑵ x^-16x#+64
⑴ {a-1}{a+1}{a@+1}{a$+1}
={a@-1}{a@+1}{a$+1}
={a$-1}{a$+1}
=a*-1
⑵ {x-2}@{x@+2x+4}@
=9{x-2}{x@+2x+4}0@
={x#-8}@
=x^-16x#+64
유제 04 ⑴ x$+6x#+13x@+12x+3 ⑵ a@-b@-c@+2bc
⑶ x$-2x#-7x@+8x+12 ⑷ x$+14x#+41x@-56x-180
⑴ {x@+3x+1}{x@+3x+3}
={X+1}{X+3} ◀ x@+3x=X
=X@+4X+3
={x@+3x}@+4{x@+3x}+3 ◀ X=x@+3x =x$+6x#+9x@+4x@+12x+3
=x$+6x#+13x@+12x+3
⑵ {a+b-c}{a-b+c}
=9a+{b-c}09a-{b-c}0
={a+X}{a-X} ◀ b-c=X
=a@-X@
=a@-{b-c}@ ◀ X=b-c
=a@-b@-c@+2bc
⑶ {x+1}{x+2}{x-2}{x-3}
=9{x+1}{x-2}09{x+2}{x-3}0
={x@-x-2}{x@-x-6}
={X-2}{X-6} ◀ x@-x=X
=X@-8X+12
={x@-x}@-8{x@-x}+12 ◀ X=x@-x
=x$-2x#+x@-8x@+8x+12
=x$-2x#-7x@+8x+12
⑷ {x-2}{x+2}{x+5}{x+9}
=9{x-2}{x+9}09{x+2}{x+5}0
={x@+7x-18}{x@+7x+10}
={X-18}{X+10} ◀ x@+7x=X =X@-8X-180
={x@+7x}@-8{x@+7x}-180 ◀ X=x@+7x =x$+14x#+49x@-8x@-56x-180
=x$+14x#+41x@-56x-180
http://hjini.tistory.com
문제 04-1 27
{x+3}{x+1}{x-2}{x-4}
=9{x+3}{x-4}09{x+1}{x-2}0
={x@-x-12}{x@-x-2}
={X-12}{X-2} ◀ x@-x=X
=X@-14X+24
={x@-x}@-14{x@-x}+24 ◀ X=x@-x
=x$-2x#+x@-14x@+14x+24
=x$-2x#-13x@+14x+24 따라서 a=-13, b=14이므로 b-a=14-{-13}=27
1. ⑴ 7 ⑵ 18 2. ⑴ 22 ⑵ -100
3 p.15
p.16~17 유제 & 문제
3
유제 05 ⑴ 25 ⑵ 36
⑴ x#+y#={x+y}#-3xy{x+y}이므로 37=1#-3xy / xy=-12
/ x@+y@ ={x+y}@-2xy
=1@-2 K {-12}=25
⑵ x@-3x-1=0에서 x=0이므로 양변을 x로 나누면 x-3-x!=0 / x-x!=3
/ x#- 1x#=[x-x!]#+3[x-x!]
=3#+3 K 3=36 문제 05-1 20
x+y, xy의 값을 구하면 x+y={2+j2}+{2-j2}=4 xy={2+j2}{2-j2}=4-2=2 / x@y+y@
x=x#+y#
xy ={x+y}#-3xy{x+y}
xy = 4#-3 K 2 K 42 =20 문제 05-2 17
a@+b@={a+b}@-2ab이므로 5=1@-2ab / ab=-2 / a$+b$ ={a@+b@}@-2{ab}@
=5@-2 K {-2}@=17
유제 06 ⑴ 11 ⑵ 27 ⑶ 19
⑴ a@+b@+c@ ={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}
=3@-2 K {-1}=11
⑵ a#+b#+c#
={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}+3abc
=3 K 911-{-1}0+3 K {-3}=27
⑶ a@b@+b@c@+c@a@
={ab+bc+ca}@-2abc{a+b+c}
={-1}@-2 K {-3} K 3=19 문제 06-1 15
a-b=2+j3, b-c=2-j3 을 변끼리 더하면 a-c=4
/ a@+b@+c@-ab-bc-ca
=2!{2a@+2b@+2c@-2ab-2bc-2ca}
=2!9{a@-2ab+b@}+{b@-2bc+c@}
+{a@-2ac+c@}0 =2!9{a-b}@+{b-c}@+{a-c}@0
=2!9{2+j3}@+{2-j3}@+4@0=2! K 30=15 문제 06-2 5
오른쪽 그림과 같이 직육면체의 밑 면의 가로의 길이, 세로의 길이와 높이를 각각 x, y, z라 하면 겉넓 이가 24이므로
2{xy+yz+zx}=24 / xy+yz+zx=12 또한 모든 모서리의 길이의 합이 28이므로 4{x+y+z}=28 / x+y+z=7
이때 직육면체의 대각선의 길이는 1x@+y@+z@3 이므로 x@+y@+z@ ={x+y+z}@-2{xy+yz+zx}
=7@-2 K 12=25
∴ 1x@+y@+z@3=5
따라서 직육면체의 대각선의 길이는 5이다.
1. ⑴ 2x, 2x, 9x, 9, 3, 몫: 2x+9, 나머지: 3 ⑵ 3x, 3x@, 6x, -x@, 12x, x, 2, 11x, 3
몫: 3x-1, 나머지: -11x-3
2. ⑴ -1, -3, 4, -1, 몫: x@-4x+2, 나머지: -1 ⑵ 7, 0, 6, -6, -3, -10,
몫: 2x#-3x@-2x-6, 나머지: -10
4 p.19
http://hjini.tistory.com
개 념 편
p.20~21 유제 & 문제
4
유제 07 3x@+1
3x$-5x@+4x-7=A{x@-2}+4x-5 A{x@-2}=3x$-5x@-2
/ A={3x$-5x@-2}_{x@-2}
/ A=3x@+1
문제 07-1 10
∴ Q{x}=4x@-x-2, R{x}=-5x+3
∴ Q{2}+R{1} ={4 K 2@-2-2}+{-5+3}=10
문제 07-2 13
f{x} ={x@-2x+2}{2x+3}+5x-2
=2x#-x@+3x+4 x@-x+1 2x`-3
x@+x+3r 2x#- x@+3x+4`t x@-x+1 2x#+2x@+6x x@-x+1 x`-3x@-3x+4 x@-x+1 x$-3x@-3x-9 x@-x+1 x`-3x@-3x 13 따라서 나머지는 13이다.
유제 08 ⑴ 몫: 2x@-4x+7, 나머지: -16 ⑵ 몫: 2x#+x@-3x+1, 나머지: 2
⑴ -2 2 0 -1 -2 -4 8 -14 2 -4 7 -16
∴ 몫: 2x@-4x+7, 나머지: -16
⑵
2! 4 0 -7 5 1 2 1 -3 1 4 2 -6 2 2 x!-2 3x@+1
x@-2r 3x$-5x@-2`t x!-1 3x$-6x@
x!-1 x` x@-2 x@-1 x` x@-2 x@-1 x` x@ 0
x@-x+1 4x@- x`-2
x@-x+1r 4x$-5x#+3tx@-4x+1`t x@-x+1 4x$-4x#+4x@ x ` x@-x+1 x`- x#- x@-4x x@-x+1 x$- x#+ x@- x ` x@-x+1 x` x#-2x@-3x+1 x@-x+1 x$- x#-2x@+2x-2`
x@-x+1 x` x#-2x@-5x+3
4x$-7x@+5x+1
=[x-2!]{4x#+2x@-6x+2}+2 =2[x-2!]{2x#+x@-3x+1}+2 ={2x-1}{2x#+x@-3x+1}+2
/ 몫: 2x#+x@-3x+1, 나머지: 2
문제 08-1 ⑴2! ⑵ x@-x-3
⑴ 다항식 2x#-3x@-5x+6 2! 2 -3 -5 6 1 -1 -3 2 -2 -6 3 을 2x-1로 나누었을 때
의 몫과 나머지를 조립제
법을 이용하여 구하면 오른쪽과 같다.
따라서 a=2!, b=-2, c=-1, d=3이므로 a+b+c+d=2!
⑵ 2x#-3x@-5x+6을 x-2!로 나누었을 때의 몫은 2x@-2x-6, 나머지는 3이므로
2x#-3x@-5x+6=[x-2!]{2x@-2x-6}+3
=2[x-2!]{x@-x-3}+3
={2x-1}{x@-x-3}+3 따라서 주어진 다항식을 2x-1로 나누었을 때의 몫은 x@-x-3이다.
1 두 다항식 A, B에 대하여
A+B=2x@+3x-7 yy ㉠
A-2B=5x@-6x-1 yy ㉡
㉠-㉡에서 3B=-3x@+9x-6
/ B=-x@+3x-2 yy ㉢
㉢을 ㉠에 대입하면
A+{-x@+3x-2}=2x@+3x-7 / A =2x@+3x-7-{-x@+3x-2}
=2x@+3x-7+x@-3x+2
=3x@-5
1 A=3x@-5, B=-x@+3x-2 2-20 3 ③ 4 x^-y^ 5-6 6120600 7 3j17k 8 ㄴ, ㄹ 911x-6 10-32
기본 연습문제 p.22~23
http://hjini.tistory.com
2 {4x$+3x@-2x-6}{5x%-3x#-x@+4x+a}의 전개식에 서 나오는 사차항은
(A의 사차항)\(B의 상수항) SG 4x$\a=4ax$
(A의 이차항)\(B의 이차항) SG 3x@\{-x@}=-3x$
(A의 일차항)\(B의 삼차항) SG -2x\{-3x#}=6x$
이므로 4a-3+6=-5 / a=-2 주어진 다항식의 전개식에서 나오는 일차항은 (A의 일차항)\(B의 상수항) SG -2x\{-2}=4x (A의 상수항)\(B의 일차항) SG -6\4x=-24x 따라서 x의 계수는 4-24=-20
3 ① {a-2b-3c}@
=a@+{-2b}@+{-3c}@+2 K a K {-2b}
+2 K {-2b} K {-3c}+2 K {-3c} K a =a@+4b@+9c@-4ab+12bc-6ca
② {a-b}@{a+b}@{a@+b@}@
=9{a-b}{a+b}{a@+b@}0@
=9{a@-b@}{a@+b@}0@
={a$-b$}@=a*-2a$b$+b*
③ {2a-3b}#
={2a}#-3 K {2a}@ K 3b+3 K 2a K {3b}@-{3b}#
=8a#-36a@b+54ab@-27b#
④ {x@+x-2}{x@-x-2}
=9{x@-2}+x09{x@-2}-x0 ={x@-2}@-x@
=x$-5x@+4
⑤ {a-b-1}{a@+b@+ab+a-b+1}
=a#+{-b}#+{-1}#-3 K a K {-b} K {-1}
=a#-b#-3ab-1 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
4 {x-y}{x+y}{x@-xy+y@}{x@+xy+y@}
=9{x-y}{x@+xy+y@}09{x+y}{x@-xy+y@}0
={x#-y#}{x#+y#}
=x^-y^
5 {x+3}{x+2}{x-1}{x-2}
=9{x+3}{x-2}09{x+2}{x-1}0
={x@+x-6}{x@+x-2}
={X-6}{X-2} ◀ x@+x=X
=X@-8X+12
={x@+x}@-8{x@+x}+12 ◀ X=x@+x
=x$+2x#+x@-8x@-8x+12
=x$+2x#-7x@-8x+12
따라서 a=2, b=-8이므로 a+b=-6
A B
6 201#-{200+1}{40001-200}
={200+1}#-{200+1}{200@+1@-200 K 1}
={200+1}#-{200#+1#}
=200#+3 K 200@ K 1+3 K 200 K 1@+1#-200#-1#
=120600
7 x#+y#={x+y}#-3xy{x+y}이므로 45=3#-3 K xy K 3 / xy=-2 {x-y}@ ={x+y}@-4xy
=3@-4 K {-2}=17 이때 x>y이므로 x-y=j17k`
/ x@-y@ ={x+y}{x-y}=3 K j17k=3j17k
8 ㄱ. x@-3x+1=0에서 x=0이므로 양변을 x로 나누면 x-3+1
x=0 / x+ 1x=3 ㄴ. [x- 1x ]@=[x+ 1x ]@-4=3@-4=5
이때 x>1이므로 x-1 x=j5 ㄷ. x@+1
x@=[x+ 1x ]@-2=3@-2=7 ㄹ. x#+1
x#=[x+ 1x ]#-3[x+ 1x ]=3#-3 K 3=18 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
9 f{x} ={x@-x+1}{2x-1}+{3x+1}
=2x#-3x@+6x
따라서 구하는 나머지는 11x-6이다.
10 주어진 다항식 f{x}를 x-1 1 a b c d 1 -1 3 1 -1 3 -5 로 나누었을 때의 몫과 나머
지를 조립제법을 이용하여 구 하면 오른쪽과 같다.
a=1, b+1=-1이므로 b=-2 c+{-1}=3이므로 c=4 d+3=-5이므로 d=-8 / f{x}=x#-2x@+4x-8
따라서 f{x}를 x+2로 나 -2 1 -2 4 -8 -2 8 -24 1 -4 12 -32 누었을 때의 몫과 나머지
를 조립제법을 이용하여
구하면 오른쪽과 같으므로 나머지는 -32이다.
2x`+3
x@-3x+2r 2x#-3x@+ 6x `t x@-3x+1 2x#-6x@+ 4x x@-3x+1 x`-3x@+ 2x x@-3x+1 x`-3x@- 9x+6 x@-3x+1 x` x@ 11x-6
http://hjini.tistory.com
개 념 편
1 {1+2x+3x@+y+101x!))}{1+2x+3x@+y+101x!))}
의 전개식에서 나오는 삼차항은
(A의 상수항)\(B의 삼차항) SG 1\4x#=4x#
(A의 일차항)\(B의 이차항) SG 2x\3x@=6x#
(A의 이차항)\(B의 일차항) SG 3x@\2x=6x#
(A의 삼차항)\(B의 상수항) SG 4x#\1=4x#
따라서 x#의 계수는 4+6+6+4=20
2 서로 외접하는 작은 두 구의 반지름의 길이를 각각 a, b라 하면 반지름의 길이가 6인 구에 내접하고 있으므로 2{a+b}=12 / a+b=6
작은 두 구의 부피의 합이 96p이므로 3$p{a#+b#}=96p / a#+b#=72 a#+b#={a+b}#-3ab{a+b}이므로 72=6#-3ab K 6 / ab=8 / a@+b@ ={a+b}@-2ab
=6@-2 K 8=20
따라서 작은 두 구의 겉넓이의 합은 4p{a@+b@}=4p K 20=80p
3 {a+b+c}@=a@+b@+c@+2{ab+bc+ca}에서 0=3+2{ab+bc+ca}
/ ab+bc+ca=- 32
{ab+bc+ca}@=a@b@+b@c@+c@a@+2abc{a+b+c}에서 a@b@+b@c@+c@a@={ab+bc+ca}@-2abc{a+b+c}
=[- 32 ]
@=9 4
{a@+b@+c@}@=a$+b$+c$+2{a@b@+b@c@+c@a@}에서 a$+b$+c$={a@+b@+c@}@-2{a@b@+b@c@+c@a@}
=3@-2 K 94=9 2
4
/ 2x#+x@-7x+7={x@+x-3}{2x-1}+4 이때 x@+x-3=0이므로 구하는 식의 값은 4이다.
A B
2x -1
x@+x-3r 2x#+ x@-`7x`+`7 t`
2x#+2x@-`6x x` - x@- x`+`7 x` `- x@- x`+`3 x` x@ `` 4 1 20 2 80p 3 ⑤ 4 4 실전 연습문제 p.24
01 나머지정리
I-2. 나머지정리와 인수분해
1. ㄴ, ㄹ
2. ⑴ a=1, b=-2, c=4 ⑵ a=1, b=5, c=3 3. ⑴ a=-1, b=2 ⑵ a=-1, b=2
⑴ 등식의 좌변을 전개하여 x에 대하여 정리하면 {a+b}x-a+2b=x+5
이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a+b=1, -a+2b=5
/ a=-1, b=2
⑵ 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=1을 대입하면 3b=6 / b=2 양변에 x=-2를 대입하면 -3a=3 / a=-1
1 p.27
p.28~31 유제 & 문제
1
유제 01 x=-3, y=-1
주어진 등식의 좌변을 k에 대하여 정리하면 {x-y+2}k-2x+3y-3=0
이 등식이 k에 대한 항등식이므로 x-y+2=0, -2x+3y-3=0 두 식을 연립하여 풀면 x=-3, y=-1 문제 01-1 a=4, b=7
주어진 등식을 x, y에 대하여 정리하면 ax-3ay+2by-bx+3x-2y=0 {a-b+3}x+{-3a+2b-2}y=0 이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로 a-b+3=0, -3a+2b-2=0 두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=7 문제 01-2 a=-2, b=-1
ax+2y+6
x+by-3=k ( k는 상수)로 놓으면 ax+2y+6=kx+bky-3k / {a-k}x+{2-bk}y+6+3k=0 이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로 a-k=0, 2-bk=0, 6+3k=0
세 식을 연립하여 풀면 k=-2, a=-2, b=-1
http://hjini.tistory.com
유제 02 ⑴ a=1, b=2, c=1
⑵ a=2, b=-2, c=1
⑴ 등식의 좌변을 전개하여 x에 대하여 정리하면 2x#+{2a-3}x@+{2b-3a}x-3b
=2x#-x@+cx-6
이 등식이 x에 대한 항등식이므로 2a-3=-1, 2b-3a=c, -3b=-6 / a=1, b=2, c=1
⑵ 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=0을 대입하면
-2b=4 / b=-2 양변에 x=-1을 대입하면 3c=3 / c=1
양변에 x=2를 대입하면 6a=12 / a=2
문제 02-1 a=-3, b=2
주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1을 대입하면 0=1+a+b
/ a+b=-1 yy ㉠
양변에 x@=2를 대입하면 0=2@+2a+b
/ 2a+b=-4 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=2
문제 02-2 1025
주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=2를 대입하면
2!)+1=a1+a2\{2-1}+a3\{2-1}@
+y+a11\{2-1}!)‚
=a1+a2+a3+y+a11
/ a1+a2+a3+y+a11=2!)‚+1=1025
유제 03 ⑴ a=0, b=-1
⑵ a=2, b=3, c=-1
⑴ x^+ax#+b를 x@-1, 즉 {x+1}{x-1}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라 하면
x^+ax#+b={x+1}{x-1}Q{x}
이 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1을 대입하면 1-a+b=0 양변에 x=1을 대입하면 1+a+b=0 두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=-1
⑵ x#+ax@+bx+c ={x@+2}{x+2}+x-5
=x#+2x@+3x-1 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a=2, b=3, c=-1
문제 03-1 8
x#+ax@+7x+b를 x@+3x+4로 나누었을 때의 몫을 x+c`(c는 상수)라 하면
x#+ax@+7x+b ={x@+3x+4}{x+c}
=x#+{c+3}x@+{3c+4}x+4c 이 등식이 x에 대한 항등식이므로
a=c+3, 7=3c+4, b=4c
따라서 a=4, b=4, c=1이므로 a+b=8
유제 04 ⑴ a=1, b=5, c=8, d=8 ⑵ 8.851
⑴ x#-x@+4=a{x-2}#+b{x-2}@+c{x-2}+d 이므로 조립제법을 이용하면
2 1 -1 0 4 2 2 4 2 1 1 2 8 ◀ d
2 6 2 1 3 8 ◀ c
2
a ▶ 1 5 ◀ b
/ a=1, b=5, c=8, d=8
⑵ A={x-2}#+5{x-2}@+8{x-2}+8 이므로 x=2.1일 때, A의 값은 A =0.1#+5\0.1@+8\0.1+8
=0.001+0.05+0.8+8=8.851
p.33~36 유제 & 문제
2
유제 05 ⑴ 5 ⑵ a=4, b=2
⑴ f{x}=x$-ax#+3x@-2ax-5라 하면 나머지정리에 의해 f{2}=-1이므로
f{2}=16-8a+12-4a-5=-1 -12a=-24 / a=2
따라서 f{x}=x$-2x#+3x@-4x-5이므로 f{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지는
f{-1}=1+2+3+4-5=5
⑵ f{x}=-x#+ax@+bx-3이라 하면 나머지정리에 의해 f{-1}=0, f{3}=12
1. ⑴ -34 ⑵ 1 2. -4
f{x}=x#+kx@+3x+2라 하면 f{2}=8+4k+6+2=0 / k=-4
2 p.32
http://hjini.tistory.com
개 념 편
f{-1}=0에서 f{-1}=1+a-b-3=0
/ a-b=2 yy ㉠
f{3}=12에서 f{3}=-27+9a+3b-3=12
/ 3a+b=14 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=2
문제 05-1 32
f{x}=x#+2x@-ax+2라 하면 나머지정리에 의해 f{-1}=f{2}이므로
-1+2+a+2=8+8-2a+2 3a=15 / a=5
따라서 f{x}=x#+2x@-5x+2이므로 f{x}를 x-3으 로 나누었을 때의 나머지는
f{3}=27+18-15+2=32
문제 05-2 11
나머지정리에 의해 f{2}=5, g{2}=-1 따라서 구하는 나머지는
3f{2}+4g{2}=3 K 5+4 K {-1}=11
유제 06 1
나머지정리에 의해 f{1}=2, f{-1}=4
f{x}를 x@-1로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 R{x}=ax+b`{a, b는 상수)라 하면
f{x} ={x@-1}Q{x}+ax+b
={x-1}{x+1}Q{x}+ax+b
이 식의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면 f{1}=a+b=2, f{-1}=-a+b=4 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=3 따라서 R{x}=-x+3이므로 R{2}=1
문제 06-1 7x-12
f{x}를 x@-3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라 하면 f{x} ={x@-3x+2}Q{x}+2x-1
={x-1}{x-2}Q{x}+2x-1 이 식의 양변에 x=1, x=2를 각각 대입하면
f{1}=1, f{2}=3 yy ㉠
xf{x-1}을 x@-5x+6으로 나누었을 때의 몫을 Q'{x}, 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면
xf{x-1} ={x@-5x+6}Q'{x}+ax+b
={x-2}{x-3}Q'{x}+ax+b 이 식의 양변에 x=2, x=3을 각각 대입하면 2f{1}=2a+b=2, 3f{2}=3a+b=9 (? ㉠) 두 식을 연립하여 풀면 a=7, b=-12 따라서 구하는 나머지는 7x-12
문제 06-2 -x@+2x+5
f{x}를 {x@-1}{x-2}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 ax@+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면
f{x}={x@-1}{x-2}Q{x}+ax@+bx+c yy ㉠ f{x}를 x@-1로 나누었을 때의 나머지가 2x+4이므로
㉠에서 ax@+bx+c를 x@-1로 나누었을 때의 나머지가 2x+4이다. 즉
ax@+bx+c=a{x@-1}+2x+4 이것을 ㉠에 대입하면
f{x}={x@-1}{x-2}Q{x}+a{x@-1}+2x+4 한편 f{x}를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 5이므로 f{2}=3a+8=5 / a=-1
따라서 구하는 나머지는
-{x@-1}+2x+4=-x@+2x+5 유제 07 4
f{x}를 x+3으로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 -2이므로
f{x}={x+3}Q{x}-2 yy ㉠ Q{x}를 x-2로 나누었을 때의 몫을 Q'{x}라 하면 나 머지가 1이므로
Q{x}={x-2}Q'{x}+1 yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
f{x} ={x+3}9{x-2}Q'{x}+10-2
={x+3}{x-2}Q'{x}+x+1 따라서 R{x}=x+1이므로 R{3}=4 문제 07-1 1
f{x}를 x+1로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 2 이므로
f{x}={x+1}Q{x}+2 yy ㉠ f{x}를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 나머지 정리에 의해
f{1}=4 yy ㉡
㉠의 양변에 x=1을 대입하면
f{1}=2Q{1}+2=4 (∵ ㉡) ∴ Q{1}=1 문제 07-2 -2
x#+3x@+ax+1={x-1}Q{x}+2 양변에 x=1을 대입하면
1+3+a+1=2 / a=-3
/ x#+3x@-3x+1={x-1}Q{x}+2 yy ㉠ Q{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 Q{-1}이므 로 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면
-1+3+3+1=-2Q{-1}+2 -2Q{-1}=4 / Q{-1}=-2
http://hjini.tistory.com
유제 08 a=-6, b=8
f{x}가 x@+x-2={x+2}{x-1}로 나누어떨어지므로 f{-2}=0, f{1}=0
-8-12-2a+b=0, 1-3+a+b=0 / -2a+b=20, a+b=2
두 식을 연립하여 풀면 a=-6, b=8 문제 08-1 1
f{x}=x((-ax@+bx-1이라 하면 f{x}는 x+1, x-1을 인수로 가지므로 f{-1}=0, f{1}=0 -1-a-b-1=0, 1-a+b-1=0
/ a+b=-2, a-b=0
두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-1 / ab=1 문제 08-2 a=-9, b=9
f{x-1}이 x+2로 나누어떨어지므로 f{-2-1}= f{-3}=0
또 f{x+1}이 x-2로 나누어떨어지므로 f{2+1}= f{3}=0
-27-9-3a+b=0, 27-9+3a+b=0 / -3a+b=36, 3a+b=-18 두 식을 연립하여 풀면 a=-9, b=9
1 2x+y=1에서 y=1-2x yy ㉠
㉠을 ax+by=x+2y+1에 대입하여 x에 대하여 정리하면 ax+b{1-2x}=x+2{1-2x}+1
{a-2b}x+b=-3x+3 이 등식이 x에 대한 항등식이므로 a-2b=-3, b=3 / a=3, b=3 2 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로
양변에 x=1을 대입하면 2=a / a=2 양변에 x=2를 대입하면 12=a+b / b=10 양변에 x=3을 대입하면 36=a+2b+2c / c=7 이때 우변을 전개한 식에서 x#의 계수는 d이므로 d=1 / a+b+c+d=2+10+7+1=20
3 ax#+2x@+bx+1={x-1}{x+2}Q{x}+3x-1 양변에 x=1을 대입하면
1a=3, b=3 2 20 3 -12 4 -2 5-2x+4 6 ④
7 4!{x-2}@ 또는 4!x@-x+1 8 5 9 2 10p=-6, q=8
기본 연습문제 p.37~38
a+2+b+1=2 / a+b=-1 yy ㉠ 양변에 x=-2를 대입하면
-8a+8-2b+1=-7 / 4a+b=8 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-4 / ab=-12 4 f{x}=2x#+ax@-bx+3이라 하면 나머지정리에 의해
f{-1}=0, f{2}=9
f{-1}=0에서 f{-1}=-2+a+b+3=0
/ a+b=-1 yy ㉠
f{2}=9에서 f{2}=16+4a-2b+3=9
/ 2a-b=-5 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=1 / ab=-2 5 나머지정리에 의해
f{-1}=2, g{-1}=3, f{3}=1, g{3}=-2
f{x}g{x}를 x@-2x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면
f{x}g{x} ={x@-2x-3}Q{x}+ax+b
={x-3}{x+1}Q{x}+ax+b 이 식의 양변에 x=-1, x=3을 각각 대입하면 f{-1}g{-1}=-a+b, f{3}g{3}=3a+b / -a+b=6, 3a+b=-2
두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=4 따라서 구하는 나머지는 -2x+4
6 {x-1}!)을 x@+x-2로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라 하 고 R{x}=ax+b ( a, b는 상수)라 하면
{x-1}!) ={x@+x-2}Q{x}+ax+b
={x-1}{x+2}Q{x}+ax+b 이 식의 양변에 x=1, x=-2를 각각 대입하면 a+b=0, -2a+b={-3}!)=3!)
두 식을 연립하여 풀면 a=-3(, b=3(
따라서 R{x}=-3(x+3(이므로 R{0}=3(
7 f{x}를 {x-2}@{x+2}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 ax@+bx+c (a, b, c는 상수)라 하면
f{x}={x-2}@{x+2}Q{x}+ax@+bx+c yy ㉠ f{x}를 {x-2}@으로 나누었을 때의 나머지가 0이므로 ax@+bx+c를 {x-2}@으로 나누었을 때의 나머지가 0 이다. 즉
ax@+bx+c=a{x-2}@
/ f{x}={x-2}@{x+2}Q{x}+a{x-2}@
한편 f{x}를 x+2로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 f{-2}=16a=4 / a=4!
따라서 구하는 나머지는 4!{x-2}@=4!x@-x+1
http://hjini.tistory.com
개 념 편
8 f{x}를 x+2로 나누었을 때의 몫이 Q{x}, 나머지가 3 이므로
f{x}={x+2}Q{x}+3 yy ㉠ Q{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 Q{-1}=2
f{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 f{-1}이므로
㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 f{-1} =Q{-1}+3=5
9 f{x}-2가 x@-5x+6={x-2}{x-3}으로 나누어떨 어지므로 f{2}-2=0, f{3}-2=0
/ f{2}=f{3}=2 yy ㉠
f{x+2}를 x@-x로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지 를 ax+b`{a, b는 상수)라 하면
f{x+2} ={x@-x}Q{x}+ax+b
=x{x-1}Q{x}+ax+b
이 식의 양변에 x=0, x=1을 각각 대입하면 f{2}=b=2, f{3}=a+b=2 (∵ ㉠) / a=0, b=2
따라서 구하는 나머지는 2이다.
10 ㈎, ㈏에 의해 f{x}는 {x-2}{x@-2}로 나누어떨어지 므로 f{x}를 {x-2}{x@-2}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라 하면
x$+px@+q={x-2}{x@-2}Q{x}
이 식의 양변에 x=2, x@=2를 각각 대입하면 2$+4p+q=0, 2@+2p+q=0
/ 4p+q=-16, 2p+q=-4 두 식을 연립하여 풀면 p=-6, q=8
1 주어진 등식이 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=1을 대입하면
{1+1+1@}#=a0+a1+a2+y+a6
/ a0+a1+a2+y+a6=27 yy ㉠ 양변에 x=-1을 대입하면
91-1+{-1}@0#=a0-a1+a2-y+a6
∴ a0-a1+a2-y+a6=1 yy ㉡
㉠+㉡을 하면
2a0+2a2+2a4+2a6=28, 2{a0+a2+a4+a6}=28 / a0+a2+a4+a6=14
1 14 2 5 3 4 4 ⑤ 5 115 실전 연습문제 p.39
2 2x#+x@-x-1=a{x+1}#+b{x+1}@+c{x+1}+d 이므로 a, b, c, d의 값을 조립제법을 이용하여 구하면
따라서 a=2, b=-5, c=3, d=-1이므로 a-b-c-d=5
3 f{x}를 x-5로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 f{5}=4 이때 f{3+x}= f{3-x}에 x=2를 대입하면
f{5}= f{1}
f{x}를 {x-1}{x-5}로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나 머지를 ax+b`(a, b는 상수)라 하면
f{x}={x-1}{x-5}Q{x}+ax+b 이 식의 양변에 x=1, x=5를 각각 대입하면 a+b=4, 5a+b=4
두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=4 따라서 구하는 나머지는 4이다.
4 x@$을 x-2로 나누었을 때의 나머지를 R (R는 상수)라 하면
x@$={x-2}Q{x}+R
이 식의 양변에 x=2를 대입하면 2@$=R
∴ x@$={x-2}Q{x}+2@$ yy ㉠ Q{x}를 x-4로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해 Q{4}이므로 ㉠의 양변에 x=4를 대입하면 4@$={4-2}Q{4}+2@$, 2$*=2Q{4}+2@$
∴ Q{4}=2$&-2@#
5 f{x}={x-1}@%+{x-1}!%+{x-1}%이라 하면 나머지 정리에 의해
f{0}={-1}@%+{-1}!%+{-1}%=-3 / a=-3 121=x라 하면 120=x-1
120@%+120!%+120%을 121로 나누었을 때의 몫을 q라 하 면 나머지는 f{x}를 x로 나누었을 때의 나머지와 같다.
그런데 나머지는 0<(나머지)<121이므로 120@%+120!%+120% =121q-3
=121{q-1}+121-3
=121{q-1}+118 / b=118
/ a+b=-3+118=115 -1 2 1 -1 -1 -2 1 0 -1 2 -1 0 -1 ◀ d
-2 3 -1 2 -3 3 ◀ c
-2
a ▶ 2 -5 ◀ b
http://hjini.tistory.com
02 인수분해
1 p.41
1. ⑴ {a-b}{x-y} ⑵ {x-1}{x@+1}
⑶ {3x+2}@ ⑷ {4y-1}@
⑸ {a+2b}{a-2b} ⑹ {2x+3y}{2x-3y}
⑺ {2a+3b}{3a-2b} ⑻ {5x+4y}{3x-2y}
2. ⑴ 2x, 2x, 2x, 2x ⑵ 3x, 3x, 9x@-3xy+y@
⑶ -2y, x, 2y
p.42~43 유제 & 문제
1
유제 01 ⑴ {a-b-2c}@ ⑵ {x+2y}#
⑶ {3a+2b}{9a@-6ab+4b@}
⑷ {a+b-1}{a@+b@+1-ab+a+b} 또는 2!{a+b-1}9{a-b}@+{a+1}@+{b+1}@0
⑴ a@+b@+4c@-2ab+4bc-4ca =a@+{-b}@+{-2c}@+2 K a K {-b}
+2 K {-b} K {-2c}+2 K {-2c} K a
={a-b-2c}@
⑵ x#+6x@y+12xy@+8y#
=x#+3 K x@ K 2y+3 K x K {2y}@+{2y}#={x+2y}#
⑶ 27a#+8b# ={3a}#+{2b}#
={3a+2b}{9a@-6ab+4b@}
⑷ a#+b#+3ab-1
=a#+b#+{-1}#-3 K a K b K {-1}
={a+b-1}9a@+b@+{-1}@-a K b-b K {-1}
-{-1} K a0
={a+b-1}{a@+b@+1-ab+a+b}
=2!{a+b-1}9{a-b}@+{a+1}@+{b+1}@0 문제 01-1 ⑴ {2x+3y-1}@ ⑵ {-2a+3b}#
⑶ 2b{3a@+b@}
⑷ {x-2y-z}{x@+4y@+z@+2xy-2yz+zx} 또는 2!{x-2y-z}9{x+2y}@+{2y-z}@+{z+x}@0
⑴ 4x@+9y@+1+12xy-4x-6y
={2x}@+{3y}@+{-1}@+2 K 2x K 3y
+2 K 2x K {-1}+2 K 3y K {-1}
={2x+3y-1}@
⑵ -8a#+36a@b-54ab@+27b#
={-2a}#+3 K {-2a}@ K 3b+3 K {-2a} K {3b}@+{3b}#
={-2a+3b}#
⑶ {a+b}#-{a-b}#‹
=9{a+b}-{a-b}09{a+b}@+{a+b}{a-b}
+{a-b}@0
=2b{a@+2ab+b@+a@-b@+a@-2ab+b@}
=2b{3a@+b@}
⑷ x#-8y#-z#-6xyz
=x#+{-2y}#+{-z}#-3 K x K {-2y} K {-z}
={x-2y-z}9x@+{-2y}@+{-z}@-x K {-2y}
-{-2y} K {-z}-{-z} K x0
={x-2y-z}{x@+4y@+z@+2xy-2yz+zx}
=2!{x-2y-z}9{x+2y}@+{2y-z}@+{z+x}@0
유제 02 ⑴ -{x-y+z}{x-y-z}
⑵ {a+3b+c}{a-b+c}
⑶ {a+b}{a-b}{a@-ab+b@}{a@+ab+b@}
⑷ -8xy{x@+y@}
⑴ 2xy+z@-x@-y@ =-9{x@-2xy+y@}-z@0
=-9{x-y}@-z@0
=-{x-y+z}{x-y-z}
⑵ a@-3b@+c@+2ab+2bc+2ca
={a@+b@+c@+2ab+2bc+2ca}-4b@
={a+b+c}@-{2b}@
={a+b+c+2b}{a+b+c-2b}
={a+3b+c}{a-b+c}
⑶ a^-b^
={a#}@-{b#}@
={a#+b#}{a#-b#}
={a+b}{a-b}{a@-ab+b@}{a@+ab+b@}
⑷ {x-y}$-{x+y}$
=9{x-y}@0@-9{x+y}@0@
=9{x-y}@+{x+y}@09{x-y}@-{x+y}@0
=9{x@-2xy+y@}+{x@+2xy+y@}0
\9{x@-2xy+y@}-{x@+2xy+y@}0
={2x@+2y@}{-4xy}
=-8xy{x@+y@}
문제 02-1 ⑴ {a+b}{a-b}@
⑵ xy{x+y}{x-y-1}
⑴ a#+b#-ab{a+b}
={a+b}{a@-ab+b@}-ab{a+b}
={a+b}{a@-2ab+b@}={a+b}{a-b}@
⑵ -x@y-xy@+x#y-xy#
=-xy{x+y}+xy{x@-y@}
=-xy{x+y}+xy{x+y}{x-y}
=xy{x+y}{x-y-1}
http://hjini.tistory.com
개 념 편
1. ⑴ {x+2}{x-1} ⑵ {x@+4}{x+1}{x-1}
⑴ {x+1}@-{x+1}-2
=X@-X-2 ◀ x+1=X
={X+1}{X-2}
={x+1+1}{x+1-2} ◀ X=x+1
={x+2}{x-1}
⑵ x$+3x@-4 =X@+3X-4 ◀ x@=X
={X+4}{X-1}
={x@+4}{x@-1} ◀ X=x@
={x@+4}{x+1}{x-1}
2. {x@+z}{y-xz}
x@y-x#z+yz-xz@ ={x@+z}y-x#z-xz@
={x@+z}y-xz{x@+z}
={x@+z}{y-xz}
3. 0, x-1, x@+x-6, x-2
2 p.45
p.46~51 유제 & 문제
2
유제 03 ⑴ {x@-4x-4}{x-1}{x-3}
⑵ {x+1}@{2x@+4x+1}
⑶ {x+2}@{x@+4x-6}
⑴ {x@-4x-5}{x@-4x+4}+8
={X-5}{X+4}+8 ◀ x@-4x=X =X@-X-12
={X-4}{X+3}
={x@-4x-4}{x@-4x+3} ◀ X=x@-4x ={x@-4x-4}{x-1}{x-3}
⑵ 2x@{x+2}@+3x@+6x+1
=29x{x+2}0@+3x{x+2}+1
=2X@+3X+1 ◀ x{x+2}=X
={2X+1}{X+1}
=92x{x+2}+109x{x+2}+10 ◀ X=x{x+2}
={2x@+4x+1}{x@+2x+1}
={x+1}@{2x@+4x+1}
⑶ {x-1}{x+1}{x+3}{x+5}-9
=9{x-1}{x+5}09{x+1}{x+3}0-9
={x@+4x-5}{x@+4x+3}-9
={X-5}{X+3}-9 ◀ x@+4x=X
=X@-2X-24
={X+4}{X-6}
={x@+4x+4}{x@+4x-6} ◀ X=x@+4x
={x+2}@{x@+4x-6}
문제 03-1 -5
{x@+3x+2}{x@-5x+6}-60
={x+2}{x+1}{x-2}{x-3}-60
=9{x+2}{x-3}09{x+1}{x-2}0-60
={x@-x-6}{x@-x-2}-60
={X-6}{X-2}-60 ◀ x@-x=X
=X@-8X-48
={X-12}{X+4}
={x@-x-12}{x@-x+4} ◀ X=x@-x
={x-4}{x+3}{x@-x+4}
따라서 a=-4, b=-1이므로 a+b=-5
유제 04 ⑴ {x+2}{x-2}{x@+5}
⑵ {2x@+3}{x+1}{x-1}
⑶ {x@+2x-1}{x@-2x-1}
⑷ {x@+x+2}{x@-x+2}
⑴ x@=X로 치환하면 x$+x@-20 =X@+X-20
={X-4}{X+5}
={x@-4}{x@+5} ◀ X=x@
={x+2}{x-2}{x@+5}
⑵ x@=X로 치환하면 2x$+x@-3 =2X@+X-3
={2X+3}{X-1}
={2x@+3}{x@-1} ◀ X=x@
={2x@+3}{x+1}{x-1}
⑶ x$-6x@+1 ={x$-2x@+1}-4x@
={x@-1}@-{2x}@ ◀ A@-B@ 꼴
={x@+2x-1}{x@-2x-1}
⑷ x$+3x@+4 ={x$+4x@+4}-x@
={x@+2}@-x@ ◀ A@-B@ 꼴
={x@+x+2}{x@-x+2}
문제 04-1 5 x$-x@y@+16y$
={x$+8x@y@+16y$}-9x@y@
={x@+4y@}@-{3xy}@ ◀ A@-B@ 꼴
={x@+3xy+4y@}{x@-3xy+4y@}
따라서 a=4, b=-3, c=4이므로 a+b+c=5
유제 05 ⑴ {2y+1}{x+y-1}
⑵ {a-b}{a@+b@+c@}
⑶ {x+2y-5}{x+2y+1}
⑷ {a+b}{b+c}{c+a}
http://hjini.tistory.com
⑴ 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 2y@+2xy+x-y-1
={2y+1}x+{2y@-y-1}
={2y+1}x+{2y+1}{y-1}
={2y+1}{x+y-1}
⑵ 주어진 식을 c에 대하여 내림차순으로 정리하면 a#-a@b+ab@+ac@-b#-bc@
={a-b}c@+a#-a@b+ab@-b#
={a-b}c@+a@{a-b}+b@{a-b}
={a-b}{a@+b@+c@}
⑶ 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 x@+4y@+4xy-4x-8y-5
=x@+4{y-1}x+{4y@-8y-5}
=x@+4{y-1}x+{2y-5}{2y+1}
=9x+{2y-5}09x+{2y+1}0
={x+2y-5}{x+2y+1}
⑷ 주어진 식을 a에 대하여 내림차순으로 정리하면 a@{b+c}+b@{c+a}+c@{a+b}+2abc
=a@b+a@c+b@c+ab@+ac@+bc@+2abc
={b+c}a@+{b@+2bc+c@}a+bc{b+c}
={b+c}a@+{b+c}@a+bc{b+c}
={b+c}9a@+{b+c}a+bc0
={b+c}{a+b}{a+c}
={a+b}{b+c}{c+a}
문제 05-1 -3
주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 x@+4xy+3y@+ax-7y+2
=x@+{4y+a}x+{3y@-7y+2}
=x@+{4y+a}x+{y-2}{3y-1}
이 식이 x, y에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해되므로 4y+a={y-2}+{3y-1}
/ a=-3
유제 06 ⑴ {x+3}{x-1}@
⑵ {x-1}{x+2}{x-3}
⑶ {x+1}{x+2}{x-1}@
⑷ {x-1}{x+1}{2x-1}{x+3}
⑴ f{x}=x#+x@-5x+3이라 하면
f{1}=0이므로 오른쪽과 1 1 1 -5 3 1 2 -3 1 2 -3 0 같이 조립제법을 이용하
여 인수분해하면 / x#+x@-5x+3
={x-1}{x@+2x-3}
={x+3}{x-1}@
⑵ f{x}=x#-2x@-5x+6이라 하면
f{1}=0이므로 오른쪽과 1 1 -2 -5 6 1 -1 -6 1 -1 -6 0 같이 조립제법을 이용하
여 인수분해하면 / x#-2x@-5x+6
={x-1}{x@-x-6}
={x-1}{x+2}{x-3}
⑶ f{x}=x$+x#-3x@-x+2라 하면
f{1}=0, f{-1}=0이므로 조립제법을 이용하여 인 수분해하면
/ x$+x#-3x@-x+2
={x-1}{x#+2x@-x-2}
={x-1}{x+1}{x@+x-2}
={x+1}{x+2}{x-1}@
⑷ f{x}=2x$+5x#-5x@-5x+3이라 하면
f{1}=0, f{-1}=0이므로 조립제법을 이용하여 인 수분해하면
/ 2x$+5x#-5x@-5x+3
={x-1}{2x#+7x@+2x-3}
={x-1}{x+1}{2x@+5x-3}
={x-1}{x+1}{2x-1}{x+3}
문제 06-1 {x-1}{x+1}{x@+2x+3}
f{x}가 x-1, x+1을 인수로 가지므로 f{1}=1+a+b-2-3=0
/ a+b=4 yy ㉠
f{-1}=1-a+b+2-3=0
/ -a+b=0 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=2 f{x}를 조립제법을 이용하여 인수분해하면
1 1 1 -3 -1 2 1 2 -1 -2 -1 1 2 -1 -2 0 -1 -1 2 1 1 -2 0
1 2 5 -5 -5 3 2 7 2 -3 -1 2 7 2 -3 0 -2 -5 3 2 5 -3 0
http://hjini.tistory.com
개 념 편
/ x$+2x#+2x@-2x-3 ={x-1}{x+1}{x@+2x+3}
유제 07 4%
주어진 식을 인수분해하면
x@+2xy+y@-x@y-xy@ ={x+y}@-xy{x+y}
={x+y}{x+y-xy}
x+y, xy의 값을 구하면 x+y=1+j2
2 +1-j2 2 =1 xy= 1+j22 K 1-j22 =-4!
인수분해한 식에 식의 값을 대입하면 {x+y}{x+y-xy}
=1 K [1+4!]=4%
문제 07-1 16
a-b=4, b-c=-2를 변끼리 더하면 a-c=2 주어진 식을 인수분해하면
ab@-a@b+bc@-b@c+ca@-c@a
=-{b-c}a@+{b@-c@}a-b@c+bc@
=-{b-c}a@+{b+c}{b-c}a-bc{b-c}
=-{b-c}9a@-{b+c}a+bc0
=-{b-c}{a-b}{a-c}
={a-b}{b-c}{c-a}
=4 K {-2} K {-2}=16
문제 07-2 ⑴ 322 ⑵ 52
⑴ 321=x로 놓고 x에 대한 식으로 나타낸 후 인수분해 하여 정리하면
321#+1
320 K 321+1 = x#+1 {x-1}x+1
= x#+1 x@-x+1
={x+1}{x@-x+1}
x@-x+1
=x+1
인수분해한 식에 x=321을 대입하면 x+1=321+1=322
1 1 2 2 -2 -3 1 3 5 3 -1 1 3 5 3 0 -1 -2 -3 1 2 3 0
⑵ a@-b@={a+b}{a-b}를 이용할 수 있도록 두 항씩 묶고 인수분해하여 식의 값을 구하면
10@-9@+8@-7@+6@-5@+4@-3@
={10@-9@}+{8@-7@}+{6@-5@}+{4@-3@}
={10+9}{10-9}+{8+7}{8-7}
+{6+5}{6-5}+{4+3}{4-3}
=19 K 1+15 K 1+11 K 1+7 K 1=52 유제 08 빗변의 길이가 c인 직각삼각형
주어진 등식의 좌변을 인수분해하면 a{a@+ab-c@}+b{b@+ab-c@}
=a#+a@b-ac@+b#+ab@-bc@
=a#+b#+a@b+ab@-ac@-bc@
={a+b}{a@-ab+b@}+ab{a+b}-c@{a+b}
={a+b}{a@-ab+b@+ab-c@}
={a+b}{a@+b@-c@}=0
이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a+b>0 / a@+b@-c@=0
따라서 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다.
문제 08-1 정삼각형
a#+b#+c#-3abc=0에서 좌변을 인수분해하면 a#+b#+c#-3abc
={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}
= 12{a+b+c}9{a-b}@+{b-c}@+{c-a}@0=0 이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a+b+c>0
{a-b}@+{b-c}@+{c-a}@=0이므로 a=b, b=c, c=a / a=b=c
따라서 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 정삼각형이다.
1 ⑴ {x-y}{a+2b+c} ⑵ {x+y-3}@
⑶ {x-y-1}{x@+y@+1+xy-y+x} 또는 12{x-y-1}9{x+y}@+{y-1}@+{1+x}@0
⑷ a@{a-1}{a#+a@+2}
2 -3 3 ③ 4 ③ 5 -9 6 5 7 {x+1}{x-3}{x@+x+1} 8 -3
기본 연습문제 p.52~53
http://hjini.tistory.com
1 ⑴ ax-ay+2bx-2by+cx-cy
=a{x-y}+2b{x-y}+c{x-y}
={x-y}{a+2b+c}
⑵ x@+2xy+y@-6x-6y+9
={x+y}@-6{x+y}+9
={x+y-3}@
⑶ x#-y#-3xy-1
=x#+{-y}#+{-1}#-3 K x K {-y} K {-1}
={x-y-1}9x@+{-y}@+{-1}@-x K {-y}
-{-y} K {-1}-{-1} K x0
={x-y-1}{x@+y@+1+xy-y+x}
=2!{x-y-1}9{x+y}@+{y-1}@+{1+x}@0
⑷ a^+2a#-a$-2a@
=a^-a$+2a#-2a@
=a${a@-1}+2a@{a-1}
=a${a+1}{a-1}+2a@{a-1}
=a@{a-1}9a@{a+1}+20
=a@{a-1}{a#+a@+2}
2 {x@-2x}@-2x@+4x-3
={x@-2x}@-2{x@-2x}-3
=X@-2X-3 ◀ x@-2x=X
={X-3}{X+1}
={x@-2x-3}{x@-2x+1} ◀ X=x@-2x
={x-3}{x+1}{x-1}@
/ a+b+c=-3
3 {x+2}@{x-2}{x+6}+60
=9{x+2}{x+2}09{x-2}{x+6}0+60
={x@+4x+4}{x@+4x-12}+60
={X+4}{X-12}+60 ◀ x@+4x=X
=X@-8X+12
={X-2}{X-6}
={x@+4x-2}{x@+4x-6} ◀ X=x@+4x 따라서 주어진 다항식의 인수인 것은 ③이다.
4 x@=X로 치환하면 x$-10x@+9
=X@-10X+9
={X-1}{X-9}
={x@-1}{x@-9} ◀ X=x@
={x+1}{x-1}{x+3}{x-3}
따라서 주어진 다항식의 인수가 아닌 것은 ③이다.
5 x$+5x@+9 ={x$+6x@+9}-x@
={x@+3}@-x@ ◀ A@-B@ 꼴
={x@+x+3}{x@-x+3}
따라서 a=3, b=-1, c=3이므로 abc=-9
6 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 2x@+xy-3y@+kx+5y+2
=2x@+{y+k}x-3y@+5y+2
=2x@+{y+k}x+{3y+1}{-y+2}
이 식이 x, y에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해되므로 y+k=2{-y+2}+{3y+1} / k=5
7 f{x}=x$-x#+ax@+bx-3이라 하면 f{x}가 x+1로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해
f{-1}=1+1+a-b-3=0
/ a-b=1 yy ㉠
또 f{x}를 x-1로 나누면 나머지가 -12이므로 나머지 정리에 의해
f{1}=1-1+a+b-3=-12
/ a+b=-9 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-4, b=-5
따라서 f{x}=x$-x#-4x@-5x-3이고 조립제법을 이 용하여 인수분해하면
/ x $-x #-4x @-5x-3
={x+1}{x#-2x@-2x-3}
={x+1}{x-3}{x @+x+1}
8 {a+b+c}@=a@+b@+c@+2{ab+bc+ca}에서 {-3}@=5+2{ab+bc+ca}
/ ab+bc+ca=2 / a#+b#+c#abc -3
=a#+b#+c#-3abc abc
={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}
abc
=-3 K {5-2}
3 =-3
-1 1 -1 -4 -5 -3 -1 2 2 3 3 1 -2 -2 -3 0 3 3 3 1 1 1 0
http://hjini.tistory.com
개 념 편
01 복소수의 뜻과 사칙연산
Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식
1. ⑴ -2, 3 ⑵ 0, -1 ⑶ -5, 0 ⑷ 1 2 , j3
2 허수: ⑴, ⑵, ⑷, 순허수: ⑵
2. ⑴ x=-5, y=2 ⑵ x=1, y=3 3. ⑴ 4-2i ⑵ -1-15i ⑶ 3i ⑷ -7
4. ⑴ 5+2i ⑵ 7+10i ⑶ 23-14i ⑷ -1-8i 5
1 p.57
p.58~60 유제 & 문제
1
유제 01 ⑴ -3! ⑵ 1
⑴ {1-3i}{x-i}={x-3}+{-1-3x}i 이 복소수가 실수이려면
-1-3x=0 ∴ x=-3!
⑵ {1+i}x@-{4+5i}x+3+6i
={x@-4x+3}+{x@-5x+6}i 이 복소수가 순허수이려면 x@-4x+3=0, x@-5x+6=0
! x@-4x+3=0에서 {x-1}{x-3}=0 ∴ x=1 또는 x=3
@ x@-5x+6=0에서 {x-2}{x-3}=0 ∴ x=2, x=3
!, @에서 x=1 문제 01-1 1
z=i{x+i}@=-2x+{x@-1}i
복소수 z가 순허수이려면 -2x=0, x@-1=0 ∴ x=0, x=-1, x=1 ∴ a=0 이때 z=-i이므로 b=-i
∴ a@-b@=0-{-1}=1
문제 01-2 ⑴ 0 ⑵ -2#, 0 z=3{k+i}-k{1-i}@=3k+{2k+3}i
⑴ z@이 음수가 되려면 z는 순허수이어야 하므로 3k=0, 2k+3=0
/ k=0, k=-2#
따라서 구하는 실수 k의 값은 0이다.
1 {x+1}{x+2}{x-3}{x-4}-a =9{x+1}{x-3}09{x+2}{x-4}0-a ={x@-2x-3}{x@-2x-8}-a
={X-3}{X-8}-a ◀ x@-2x=X
=X@-11X+24-a
=[X- 112 ]
@-a-25 4
이 식이 완전제곱식이려면 -a-25 4=0 / a=- 254
2 f{x}가 {x+1}@을 인수로 가지므로 인수정리에 의해 f{-1}=-1+a-1+b=0
/ b=-a+2` yy ㉠
따라서 f{x}=x#+ax@+x-a+2이므로 조립제법을 이 용하여 인수분해하면
/ f{x}={x+1}@{x+a-2} yy ㉡ 이때 -2a+4=0이므로 a=2
a=2를 ㉠에 대입하면 b=0
또 a=2를 ㉡에 대입하면 f{x}=x{x+1}@
3 31=a로 놓고 a에 대한 식으로 나타낸 후 인수분해하면 31$+31@+1
31@+31+1=a$+a@+1
a@+a+1={a@+a+1}{a@-a+1}
a@+a+1 =a@-a+1={a-1}@+a ={31-1}@+31=30@+31 / k=31
4 b@+ca-ba-c@ ={c-b}a+b@-c@
=-{b-c}a+{b-c}{b+c}
={b-c}{-a+b+c}=0
이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a<b+c / b-c=0
따라서 주어진 조건을 만족하는 삼각형은 b=c인 이등변 삼각형이다.
-1 1 a 1 -a+2 -1 -a+1 a-2 -1 1 a-1 -a+2 0 -1 -a+2 1 a-2 -2a+4
1 -254 2 a=2, b=0, x{x+1}@ 3 31 4 b=c인 이등변삼각형
실전 연습문제 p.54
http://hjini.tistory.com
/ x#-4x@+3x+5 =x{x@-4x+5}-2x+5
=-2x+5
=-2{2-i}+5
=1+2i 문제 03-1 2
x=1+j3i
1-j3i= {1+j3i}@
{1-j3i}{1+j3i}=-1+j3i 2 즉, 2x+1=j3i이므로 양변을 제곱하면 4x@+4x+1=-3 / x@+x+1=0
/ x$+x#-x+1 =x@{x@+x+1}-x@-x+1
=-{x@+x+1}+2=2
p.62~63 유제 & 문제
2
유제 04 10
aaC+bbC+aCb+abC
=a{aC+bC}+b{aC+bC}
={a+b}{aC+bC}
={a+b}{a+bZ} ◀ aC+bC=a+bZ
이때 a=-3+2i, b=2-5i이므로 a+b=-1-3i, a+bl=-1+3i
/ {a+b}{a+bl}={-1-3i}{-1+3i}=1+9=10 문제 04-1 -i
aaC=1에서 aC=,!, bbC=1에서 bC=.!
/ ,!+.!=aC+bC=a+bZ=i C=-i 문제 04-2 -2
z=a+ai이므로 zC=a-ai 주어진 등식의 좌변을 정리하면 {z+2}{z-1Z}Z+3zC+2
={z+2Z}{z-1}+3zC+2 ◀ {z1X}Z=z1, z1z2X=z1X K z2X
={zC+2}{z-1}+3zC+2 ◀ z1+z2X=z1X+z2X =zzC-zC+2z-2+3zC+2
=zzC+2{z+zC}
={a+ai}{a-ai}+2{a+ai+a-ai}
=2a@+4a
따라서 2a@+4a=0이므로 a@+2a=0, a{a+2}=0 / a=-2 또는 a=0
이때 a=0이므로 a=-2 유제 05 i
z=a+bi`(a, b는 실수)라 하면 zC=a-bi 이를 {1+i}z+3i zC=2+i에 대입하면
⑵ z@이 실수가 되려면 z는 실수 또는 순허수이어야 한다.
! 복소수 z가 실수인 경우 2k+3=0 / k=-2#
@ 복소수 z가 순허수인 경우 3k=0 / k=0
!, @에 의해 구하는 실수 k의 값은 -2#, 0
유제 02 ⑴ x=-2, y=4 ⑵ x=3, y=1 ⑴ 등식 {1+i}x+{1-i}y=2-6i에서 {x+y}+{x-y}i=2-6i
복소수가 서로 같을 조건에 의해 x+y=2, x-y=-6
두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=4 ⑵ x
1+i+ y 1-i= 5
2+i에서 x{1-i}+y{1+i}
{1+i}{1-i} = 5{2-i}
{2+i}{2-i}
x+y 2 +y-x
2 i=2-i 복소수가 서로 같을 조건에 의해 x+y
2 =2, y-x 2 =-1
두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=1
문제 02-1 x=-2, y=3 1+4il=1-4i이므로
{x+i}{1-4i}=2+3yi에서 x-4xi+i+4=2+3yi {x+4}+{-4x+1}i=2+3yi 복소수가 서로 같을 조건에 의해 x+4=2, -4x+1=3y
두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=3
유제 03 ⑴ -3@ ⑵ 1+2i ⑴ x+y={1+j2 i}+{1-j2 i}=2 xy={1+j2 i}{1-j2 i}=1-2i @=3 / y
x+x y=x@+y@
xy ={x+y}@-2xy xy / =2@-2 K 3
3 =- 2 3 ⑵ x= 5
2+i= 5{2-i}
{2+i}{2-i}=2-i 즉, x-2=-i이므로 양변을 제곱하면 {x-2}@={-i}@ / x@-4x+5=0
http://hjini.tistory.com
개 념 편
{1+i}{a+bi}+3i{a-bi}=2+i {a+2b}+{4a+b}i=2+i
복소수가 서로 같을 조건에 의해 a+2b=2, 4a+b=1
두 식을 연립하여 풀면 a=0, b=1 / z=i 문제 05-1 -2+i, 2+i
z=a+bi`(a, b는 실수)라 하면 zC=a-bi z-zC=2i에서 {a+bi}-{a-bi}=2i
2bi=2i / b=1 yy ㉠
zzC=5에서 {a+bi}{a-bi}=5
/ a@+b@=5 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 a@+1=5 / a=-2 따라서 구하는 복소수 z는 -2+i, 2+i이다.
문제 05-2 -1-2i, 3-2i
z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 zC=a-bi 주어진 등식의 좌변에서
z{zC-2} =zzC-2z
={a+bi}{a-bi}-2{a+bi}
={a@+b@-2a}-2bi
따라서 {a@+b@-2a}-2bi=7+4i이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의해
a@+b@-2a=7, b=-2
b=-2를 a@+b@-2a=7에 대입하면 a@-2a-3=0, {a+1}{a-3}=0 / a=-1 또는 a=3
따라서 구하는 복소수 z는 -1-2i, 3-2i이다.
p.65~67 유제 & 문제
3
유제 06 ⑴ -1 ⑵ 0 ⑴ 1
i+1 i @+1
i #+y+ 1 i !@#
=[ 1i+1 i @+1
i #+1 i $ ]+1
i $ [ 1 i+1
i @+1 i #+1
i $ ]
+y+ 1
i !@) [ 1 i+1
i @+1 i # ]
=[ 1i-1-1
i+1]+ 1i $ [ 1 i-1-1
i+1]
+y+ 1
i !@) [ 1 i-1-1
i ] =-1
⑵ 1-i
1+i= {1-i}@
{1+i}{1-i}=-2i 2 =-i
1+i 1-i =
{1+i}@
{1-i}{1+i}=2i 2 =i / [ 1-i1+i ]!@#+[ 1+i1-i ]!@#
={-i}!@#+i !@#
=9{-i}$0#) K {-i}#+{i $}#) K i # =1 K i+1 K {-i}=0
문제 06-1 51-50i
1+2i+3i @+4i #+y+100i ((+101i !))
=1+{2i+3i @+4i #+5i $}+i ${6i+7i @+8i #+9i $}
+y+i (^{98i+99i @+100i #+101i $}
=1+{2i-3-4i+5}+{6i-7-8i+9}
+y+{98i-99-100i+101}
=1+{2-2i}+{2-2i}+y+{2-2i}
=1+25{2-2i}=51-50i
문제 06-2 8
z@=[ 1+i j2 ]@= 2i 2=i이므로 i $={z@}$=z*=1
따라서 zN=1을 만족하는 자연수 n의 최솟값은 8이다.
유제 07 -1+{2-j3}i
j-3l j-12l+j-2l j2+ j9j-3l+ j-50l j-2l =-j36k+j-4k-j-3k+j25k =-6+2 i-j3 i+5 =-1+{2-j3}i
문제 07-1 6
{j5+j-5l}{2j5-j-5l}+j-3l j-12l+ j28k j-7k =2j25k-j-25l+2j-25l+j25k-j36k-j-4l =10-5i+10i+5-6-2i
=9+3i
따라서 9+3i=a+bi이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의해 a=9, b=3 / a-b=6 1. ⑴ i ⑵ 1 ⑶ -1
2. ⑴ -17i ⑵ -10i ⑶ -515i 3. ⑴ 2j10l i ⑵ -4 ⑶ -5^ i
3 p.64
http://hjini.tistory.com
기본 연습문제 p.68~69
1 ⑤ 2⑴ -1, 3 ⑵ 2 3 ⑤ 4-2%
5 -i 6-j3-i, j3-i 7 ㄴ, ㄹ 8-1 9 -3j5i
1 ⑤ a=1, b=i이면 a+bi=1+i @=1-1=0이다.
2 z ={1+i}x@-{1+2i}x-2-3i
={x@-x-2}+{x@-2x-3}i ⑴ z=zC이려면 z는 실수이어야 하므로 x@-2x-3=0, {x+1}{x-3}=0 / x=-1 또는 x=3
⑵ z@<0이려면 z는 순허수이어야 하므로 x@-x-2=0, x@-2x-3=0
! x@-x-2=0에서 {x+1}{x-2}=0 / x=-1 또는 x=2
@ x@-2x-3=0에서 {x+1}{x-3}=0 / x=-1, x=3
!, @에서 x=2
3 x 1-i+ y
1+i=-3+2i에서 x{1+i}+y{1-i}
{1-i}{1+i} =-3+2i x{1+i}+y{1-i}
2 =-3+2i
/ {x+y}+{x-y}i=-6+4i 복소수가 서로 같을 조건에 의해 x+y=-6, x-y=4
두 식을 연립하여 풀면
x=-1, y=-5 / xy=5
4 x+y=1+j7 i
2 +1-j7 i 2 =1 xy=1+j7 i
2 K 1-j7 i 2 =2 / y@ x+x@
y=x#+y#
xy ={x+y}#-3xy{x+y}
xy =1#-3 K 2 K 1
2 =- 5 2 5 a+b=3+2i, ab=2-3i이므로
a+bZ=3-2i, abX=2+3i / 1aC+1
bC=aC+bC aC bC =a+bZ
abX ◀ aC+bC=a+bZ, aC K bC=abX
= 3-2i2+3i={3-2i}{2-3i}
{2+3i}{2-3i}
=-13i13 =-i
6 z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 zC=a-bi 이를 zzC+3{z-zC}=4-6i에 대입하면 {a+bi}{a-bi}+3{a+bi-a+bi}=4-6i {a@+b@}+6bi=4-6i
복소수가 서로 같을 조건에 의해 a@+b@=4, 6b=-6
두 식을 연립하여 풀면 a=-j3, b=-1 따라서 구하는 복소수 z는 -j3-i, j3-i이다.
7 z=a+bi`{a, b는 실수}라 하면 zC=a-bi
ㄱ. z-zC={a+bi}-{a-bi}=2bi` ◀ 허수 또는 0 문제 07-2 0
j2ak j-2al+j-2al j-2al
2a + ja
j-ak+ ja@k j{-ka}@l = j-4a@l -j4a@k
2a -q a -a e+ra@
a@ t =2ai-2a
2a -i+1=2a{i-1}
2a -i+1 ={i-1}-i+1=0
유제 08 -b
ja jb=-jabk이므로 a<0, b<0 / a+b<0 / 1{a+b}@3-1a@2 =|a+b|-|a|
=-{a+b}-{-a}=-b 문제 08-1 3
j4-al
j1-al=-q 4-a1-a e이므로 ! 1-a<0, 4-a>0인 경우
a-1>0, a-4<0
/ |a-1|+|a-4| ={a-1}-{a-4}=3 @ a=4인 경우
|a-1|+|a-4|=3+0=3 !, @에 의해 |a-1|+|a-4|=3
문제 08-2 -2a
ja jb=-jabk이므로 a<0, b<0 yy ㉠ ㉠에서 b<0이고 jc
jb=qbC w이므로 c<0 즉, a+b<0, b+c<0, c+a<0이므로
|a+b|-|b+c|+4{c+a}@6
=-{a+b}-9-{b+c}0-{c+a}
=-a-b+b+c-c-a=-2a
http://hjini.tistory.com
개 념 편
ㄴ. z zC={a+bi}{a-bi}=a@+b@ ◀ 실수 ㄷ. zC
z=a-bi
a+bi= {a-bi}@
{a+bi}{a-bi}
={a-bi}@
a@+b@ =a@-b@
a@+b@- 2ab
a@+b@i ◀ 실수 또는 허수
ㄹ. 1 z+1
zC= 1
a+bi+ 1 a-bi ={a-bi}+{a+bi}
{a+bi}{a-bi} = 2a
a@+b@ ◀ 실수 따라서 항상 실수인 것은 ㄴ, ㄹ이다.
8 주어진 등식의 좌변을 정리하면 1
i+2 i @+3
i #+y+ 777 i &&&
=[ 1i+2 i @+3
i #+4
i $ ]+[ 5i %+6 i ^+7
i &+8 i * ] +y+[ 773i &&#+774
i &&$+775 i &&%+776
i &&^ ]+777 i &&&
=[ 1i+ 2 -1+ 3
-i+4
1 ]+[ 5i+ 6 -1+ 7
-i+8 1 ] +y+[ 773i +774
-1+775 -i+776
1 ]+777 i =[2- 2i ]+[2- 2i ]+y+[2- 2i ]+777
i =194[2- 2i ]+777
i
=194{2+2i}-777i=388-389i 따라서 388-389i=x+yi에서
복소수가 서로 같을 조건에 의해 x=388, y=-389 / x+y=-1
9 j-1k j-5k+ j10kj-2k\1{-3}@3+ j-15lj-3k =-j5+{-j-5k}\3+j5
=-j5-3j5i+j5=-3j5i
1 z=a+bi (a, b는 실수)라 하면 z-1
z=a+bi- 1 a+bi =a+bi- a-bi
{a+bi}{a-bi}
=[a- aa@+b@ ]+[b+ ba@+b@ ]i 11 2 -4 3 ③ 4a-c
실전 연습문제 p.70
이 복소수가 순허수이려면 a- a
a@+b@=0, a= a a@+b@
그런데 a=0이므로 a@+b@=1 이때 zC=a-bi이므로
z zC={a+bi}{a-bi}=a@+b@=1 2 aaC=bbC=4에서 a=4
aC, b=4 bC a+b=i에서 4
aC+4 bC=i 4{aC+bC}
aC bC =i, 4{a+bX}=i abX, 4iC =i abX -4i=iabX, abX=-4
∴ ab=-4
3 i+i @+i #+i $=i-1-i+1=0이므로 k=0, 1, 2, 3, y에 대하여
! n=4k+1인 경우
{i+i @+i #+i $}+i ${i+i @+i #+i $}+y+i $K"!
=i
@ n=4k+2인 경우
{i+i @+i #+i $}+i ${i+i @+i #+i $}
+y+i $K"!+i $K"@
=i-1
# n=4k+3인 경우
{i+i @+i #+i $}+i ${i+i @+i #+i $}
+y+i $K"!+i $K"@+i $K"#
=i-1-i=-1
$ n=4k+4인 경우
{i+i @+i #+i $}+i ${i+i @+i #+i $}
+y+i $K{i+i @+i #+i $}
=0
!~$에 의해 식의 값이 될 수 없는 것은 ③이다.
4 0이 아닌 세 실수 a, b, c에 대하여
ja jb=-jabk이므로 a<0, b<0 yy ㉠
㉠에서 b<0이고 jc
jb=-qbC w이므로 c>0 즉, a+b<0, c-b>0, 2a<0이므로
4{a+b}@6=|a+b|=-{a+b}, |c-b|=c-b,
|2a|=-2a
/ 4{a+b}@6-|c-b|-|2a|
=-{a+b}-{c-b}-{-2a}
=-a-b-c+b+2a=a-c
http://hjini.tistory.com
02 이차방정식의 판별식
1 p.71
1. ⑴ x=3 또는 x=5 ⑵ x=-1 또는 x=5 2 ⑶ x=3-j17k
2 ⑷ x=1-j3i 4
p.72~74 유제 & 문제
1
유제 01 ⑴ x=-2-j7i
⑵ x=-1 또는 x=3+j3 ⑴ 3{x+2}{x+3}=2x@+11x+7에서 3{x@+5x+6}=2x@+11x+7
3x@+15x+18=2x@+11x+7, x@+4x+11=0 / x=-2-12@2-1 K 112=-2-j-7l=-2-j7i ⑵ 주어진 방정식의 양변에 j3+2를 곱하면
{j3-2}{j3+2}x@+{j3+2}x+{3-j3}{j3+2}
=0 x@-{j3+2}x-{3+j3}=0
{x+1}9x-{3+j3}0=0 / x=-1 또는 x=3+j3
문제 01-1 2, -3 2
방정식 mx@-3x-4m-1=0의 한 근이 3이므로 x=3을 대입하면
9m-9-4m-1=0 / m=2 m=2를 주어진 이차방정식에 대입하면 2x@-3x-9=0, {2x+3}{x-3}=0
/ x=- 3 2 또는 x=3
따라서 m=2, 다른 한 근은 -3 2이다.
문제 01-2 1
x=-1이 주어진 방정식의 근이므로 k-m+{k+1}n=0
주어진 방정식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 {n+1}k-m+n=0
n+1=0, -m+n=0 / m=-1, n=-1 / mn=1
유제 02 ⑴ x=-5 또는 x=4 ⑵ 해는 없다.
⑴ ! x<1일 때
x@+3{x-1}-7=0에서 x@+3x-10=0 {x+5}{x-2}=0 / x=-5 또는 x=2 그런데 x<1이므로 x=-5
@ x>1일 때
x@-3{x-1}-7=0에서 x@-3x-4=0 {x+1}{x-4}=0 / x=-1 또는 x=4 그런데 x>1이므로 x=4
!, @에 의해 방정식의 해는 x=-5 또는 x=4
⑵ ! -1<x<0일 때, [x]=-1이므로 x@-2-1=0, x@=3 / x=-j3
그런데 -1<x<0이므로 이를 만족하는 해는 없다.
@ 0<x<1일 때, [x]=0이므로 x@-1=0 / x=-1
그런데 0<x<1이므로 이를 만족하는 해는 없다.
!, @에 의해 방정식의 해는 없다.
문제 02-1 x=-2 또는 x=j2
x@+1x@2=|x-1|+3에서 x@+|x|=|x-1|+3
! x<0일 때
x@-x=-{x-1}+3에서 x@=4 / x=-2 그런데 x<0이므로 x=-2
@ 0<x<1일 때
x@+x=-{x-1}+3에서 x@+2x-4=0 / x=-1-j5
그런데 0<x<1이므로 이를 만족하는 해는 없다.
# x>1일 때
x@+x=x-1+3에서 x@=2 / x=-j2 그런데 x>1이므로 x=j2
!, @, #에 의해 방정식의 해는 x=-2 또는 x=j2 유제 03 1m
길의 폭을 x m라 하면
x는 변의 길이이므로 0<x<15 2 길의 넓이가 33 m@이므로 10 K 15-{10-x}{15-2x}=33 2x@-35x+33=0
{2x-33}{x-1}=0 / x= 332 또는 x=1
그런데 0<x<15
2 이므로 x=1 따라서 길의 폭은 1 m로 하면 된다.
http://hjini.tistory.com
개 념 편
문제 03-1 12 cm
원에 내접하는 직사각형의 대각선은 원의 지름이고, 지름 에 대한 원주각의 크기는 90!이므로 이를 그림으로 나타 내면 다음과 같다.
원의 반지름의 길이를 r cm라 하 면 원의 넓이가 100p cm@이므로 pr@=100p
/ r=10`{? r>0}
원에 내접하는 직사각형의 둘레의 길이가 56 cm이므로 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는
{28-x} cm이다.
이때 x는 변의 길이이므로 0<x<28
원의 지름의 길이가 20 cm이므로 피타고라스 정리에 의해 x@+{28-x}@=20@, x@-28x+192=0
{x-12}{x-16}=0 / x=12 또는 x=16 따라서 직사각형의 짧은 변의 길이는 12 cm이다.
2 p.75
1. ⑴ 서로 다른 두 실근 ⑵ 중근 ⑶ 서로 다른 두 허근
p.76~77 유제 & 문제
2
유제 04 ⑴ a<1 ⑵ a=1 ⑶ a>1
이차방정식 x@-2ax+a@+a-1=0의 판별식을 D라 하면
4D={-a}@-{a@+a-1}=-a+1 ⑴ 4D=-a+1>0 ∴ a<1 ⑵ 4D=-a+1=0 ∴ a=1 ⑶ 4D=-a+1<0 ∴ a>1 문제 04-1 a>2
이차방정식 x@-2{a+1}x+a@+5=0의 판별식을 D라 하면 실근을 가질 조건은 D>0이므로
4D=9-{a+1}0@-{a@+5}=2a-4>0 / a>2
문제 04-2 k<-2 또는 -2<k<-3@
{k+2}x@+2kx+k+1=0이 x에 대한 이차방정식이므로
k+2=0 / k=-2 yy ㉠
이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 판별식 D>0이므로
4D=k@-{k+2}{k+1}>0
-3k-2>0 / k<-3@ yy ㉡
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 실수 k의 값의 범위는 k<-2 또는 -2<k<-3@
유제 05 ⑴ a=1, b=-2 ⑵ -1, 3
⑴ 이차방정식 x@-2{k+a}x+{k+1}@+a@-b-3=0 이 중근을 가질 조건은 판별식 D=0이므로
4D=9-{k+a}0@-9{k+1}@+a@-b-30=0
2{a-1}k+b+2=0 yy ㉠
㉠은 k에 대한 항등식이므로 a-1=0, b+2=0
/ a=1, b=-2
⑵ 주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식 x@-{k+3}x+2k+3=0이 중근을 가져야 하므로
판별식 D=0이어야 한다.
D=9-{k+3}0@-4{2k+3}=0 k@+6k+9-8k-12=0
k@-2k-3=0, {k+1}{k-3}=0 / k=-1 또는 k=3
문제 05-1 서로 다른 두 실근
이차방정식 x@-21bx+a+1=0이 중근을 가질 조건은 판별식 D1=0이므로
D1
4={-1b}@-{a+1}=b-a-1=0
/ b=a+1 yy ㉠
이차방정식 x@-2x-ab=0의 판별식을 D2라 하면 D2
4={-1}@-{-ab}
=1+ab
=1+a{a+1}`{? ㉠}
=a@+a+1
=[a+2!]@+4#>0 [? [a+2!]@>0]
따라서 이차방정식 x@-2x-ab=0은 서로 다른 두 실근 을 갖는다.
http://hjini.tistory.com
문제 05-2 빗변의 길이가 b인 직각삼각형
b{x@+1}-2ax+c{x@-1}을 x에 대하여 정리하면 {b+c}x@-2ax+b-c
이차방정식 {b+c}x@-2ax+b-c=0이 중근을 가지므 로 판별식 D=0이다.
4D={-a}@-{b+c}{b-c}=0 a@-{b@-c@}=0, a@-b@+c@=0 ∴ a@+c@=b@
따라서 구하는 삼각형은 빗변의 길이가 b인 직각삼각형이다.
1 주어진 방정식의 양변에 j2-1을 곱하면
{j2+1}{j2-1}x@-{3+j2}{j2-1}x+j2{j2-1}
=0
x@-{2j2-1}x+j2{j2-1}=0 {x-j2}9x-{j2-1}0=0 ∴ x=j2 또는 x=j2-1
따라서 a=j2, b=j2-1이므로 a-b=1
2 이차방정식 {a-1}x@-{a@+1}x+2{a+1}=0의 한 근이 2이므로 x=2를 대입하면
4{a-1}-2{a@+1}+2{a+1}=0 a@-3a+2=0, {a-1}{a-2}=0 / a=1 또는 a=2
그런데 a-1=0, 즉 a=1이므로 a=2
이차방정식 {a-1}x@-{a@+1}x+2{a+1}=0에 a=2를 대입하면
x@-5x+6=0, {x-2}{x-3}=0
∴ x=2 또는 x=3 ∴ k=3
∴ a+k=2+3=5
3 방정식 [x]@+[x]-6=0에서 [x]=t로 치환하면 t@+t-6=0, {t+3}{t-2}=0
∴ t=-3 또는 t=2
[x]=t이므로 [x]=-3 또는 [x]=2 / -3<x<-2 또는 2<x<3
1 1 25 3 -3<x<-2 또는 2<x<3 4 -2+j2 5 x=-1 또는 x=2
6 8 cm 73 cm 8 3 9 서로 다른 두 실근
기본 연습문제 p.78~79
4 x@-|x|-1{x-1}@3=2에서 x@-|x|-|x-1|=2
! x<0일 때, x@+x+{x-1}=2
x@+2x-3=0 / x=-3 또는 x=1 그런데 x<0이므로 x=-3
@ 0<x<1일 때, x@-x+{x-1}=2 x@-3=0 ∴ x=-j3
그런데 0<x<1이므로 이를 만족하는 해는 없다.
# x>1일 때, x@-x-{x-1}=2 x@-2x-1=0 ∴ x=1-j2 그런데 x>1이므로 x=1+j2
!, @, #에 의해 방정식의 해는 x=-3 또는 x=1+j2 따라서 모든 x의 값의 합은
-3+{1+j2}=-2+j2 5 |2 x|=x x에서
|2x-2-x|=x@-x-x, |x-2|=x@-2x ! x<2일 때
-x+2=x@-2x에서 x@-x-2=0 {x+1}{x-2}=0 ∴ x=-1 또는 x=2 그런데 x<2이므로 x=-1
@ x>2일 때
x-2=x@-2x에서 x@-3x+2=0 {x-1}{x-2}=0 ∴ x=1 또는 x=2 그런데 x>2이므로 x=2
!, @에 의해 방정식의 해는 x=-1 또는 x=2 6 BCl=x c m라 하면 ACl={30-x} cm이므로 2!p K 15@-2!p K [ 30-x 2 ]@-2!p K [ x 2 ]@=44p
x@-30x+176=0, {x-8}{x-22}=0 / x=8 또는 x=22
이때 ACl>BCl이므로 BCl=8 cm이다.
7 케이크의 가로와 세로의 길이를 각각 x cm만큼 줄인다고 하면 줄인 케이크의 가로의 길이와 세로의 길이는 각각 {15-x} cm, {20-x} cm
케이크의 부피를 32`% 줄이면 줄인 케이크의 부피는 원래 케이크의 부피의 68
100 배이므로 {15-x}{20-x}\10=68
100 \15\20\10 x@-35x+96=0, {x-3}{x-32}=0 / x=3 또는 x=32
그런데 0<x<15이므로 x=3
따라서 가로와 세로의 길이를 각각 3 cm씩 줄여야 한다.
http://hjini.tistory.com