Training유형

행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f의 역 변환 f —⁄ 에 의하여 점 P(2, -1)은 점 Q로 옮겨 진다. 이때 PQ”의 길이는?

① ② ③ 1

④ 3 ⑤ 2

2

1 2 1

4

1 -2 0 1

1 1

원점을 중심으로 60˘만큼 회전하는 회전변환에 의 하여 점 ('3, -1)로 옮겨지는 점의 좌표를 구하 여라.

1 2

일차변환 f에 의하여 점 (1, 3)은 점 (13, -4) 로 옮겨지고, f의 역변환 f —⁄ 에 의하여 점

(16, -32)는 점 (-3, 2)로 옮겨진다. 이때 일차 변환 f에 의하여 점 (2, -3)이 옮겨지는 점의 좌 표를 구하여라.

1 4

일차변환 f에 의하여 좌표평면 위의 두 점 (2, 1), (4, 3)이 각각 두 점 P, Q로 옮겨지고, 원점을 중 심으로 30˘만큼 회전하는 회전변환 g에 의하여 두 점 P, Q가 각각 두 점 (1, '3), (-1, -'3)으 로 옮겨진다. 이때 일차변환 f를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합을 구하여라.

1 5

역변환에 의한 점의 이동 ②

일차변환 f의 역변환 f —⁄ 를 나타내는 행렬이

{ }일 때, 일차변환 f에 의하여 점 (2, -1) 이 점 (4, -1)로 옮겨진다고 한다. 이때 일차변환 f에 의하여 점 (1, -3)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라. (단, a, b는 상수)

a 2 -1 b

1 3

다음보기의 일차변환 중에서 역변환이 원래의 변환 과 일치하는 것을 있는 대로 고른 것은?

① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄹ ③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

1 6

보기

ㄱ. x축에 대한 대칭변환 ㄴ. 원점에 대한 대칭변환 ㄷ. 직선 y=x에 대한 대칭변환

ㄹ. 원점을 중심으로 90˘만큼 회전하는 회전변환 원래의 변환과 같은 역변환

좌표평면 위의 임의의 두 점 P, Q가 일차변환 f : (x, y)1⁄ (-x+ay, x+by)에 의하여 각 각 두 점 Q, P로 옮겨진다고 할 때, 상수 a, b의 곱 ab의 값을 구하여라. (단, a+b+0)

1 7

역변환과 합성변환에 의한 점의 이동

일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각

{ }, { }

일 때, 합성변환 g—⁄ Ω(fΩg—⁄ )—⁄ Ωg에 의하여 점 (1, -2)가 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

3 -1 7 -2 3 -1

-2 1

1 8

두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각

{ }, { }

일 때, fΩhΩf—⁄ =g를 만족하는 일차변환 h에 의 하여 점 (1, 4)가 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

1 -4 -1 5 4 5

1 1

0 9

원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환을 f, 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 '3인 닮음 변환을 g라 하자. 이때 합성변환 fΩg에 의하여 점 P가 점 Q(2, 0)으로 옮겨질 때, 점 P의 좌표 를 구하여라.

p

10

3

x축에 대한 대칭변환을 f, 직선 y=-x에 대한 대 칭변환을 g라 할 때, 합성변환 fΩhΩg에 의하여 좌표평면 위의 임의의 점 P가 자기 자신으로 옮겨 진다. 이때 일차변환 h를 나타내는 행렬을 구하여 라.

11

역변환과 합성변환의 활용

일차변환 f를 나타내는 행렬이 { }일 때, 합성 변환 f²⁰¹¹에 의하여 점 P가 점 (3, 1)로 옮겨진다 고 한다. 이때 합성변환 f²⁰¹⁰에 의하여 점 P가 옮 겨지는 점의 좌표를 구하여라.

(단, f ¤ =fΩf, f« ±⁄ =f « Ωf , n 은 자연수) 2 3

12

1 2

2 일차변환의합성과역변환027

▷▶정답과 해설 34쪽

원점을 중심으로 60˘

만큼 회전하는 회전변 환 f와 x축에 대한 대 칭변환 g가 있다. 오른 쪽 그림과 같이 정육각 형의 각 꼭짓점을 P¡,

P™, y, P§이라 할 때, 다음 중 점 P™를 점 P¢로 옮기는 합성변환이 아닌 것은?

① fΩf ② gΩf—⁄ ③ g—⁄ Ωf—⁄

④ f —⁄ Ωg ⑤ fΩg—⁄

16

^y

O x P¡

P§

P∞

P¢

P£

P™

역변환과 합성변환에 의한 도형의 이동 ①

행렬 { }으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 직선 5x-y+1=0이 옮겨지는 도형의 방 정식을 구하여라.

5 -4 -4 3

13

두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각 { },

{ }일 때, 합성변환 ( fΩg)—⁄ 에 의하여 원 x¤ +y¤ =4가옮겨지는도형의방정식을구하여라.

-1 2 2 -3

2 1

14

5 3

두 일차변환 f, g가 각각

f : (x, y)1⁄ (3x, ax+2y) g : (x, y)1⁄ (x+y, -y) 일 때, 합성변환 g—⁄ ΩfΩg에 의하여 직선

y=3x+2는 원 (x-1)¤ +(y+3)¤ =9의 넓이를 이등분하는 직선으로 옮겨진다. 이때 상수 a의 값 을 구하여라.

15

역변환과 합성변환에 의한 도형의 이동 ②

역변환이 존재하지 않을 조건

행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f의 역 변환이 존재하지 않을 때, 점 (a, b)의 자취의 길 이를 구하여라.

a-1 b 2-b a

18

일차변환 f를 나타내는 행렬이 { }일 때, f의 역변환이 존재하지 않도록 하는 상수 a, b에 대 하여 a¤ +b¤ 의 최솟값을 구하여라.

4 a+1 3 b+2

19

일차변환에 의한 직선의 이동 ①

20

일차변환 f를 나타내는 행렬이 { }일 때, 일 차변환 f에 의하여 직선 x+2y-5=0이 옮겨지는 도형의 방정식은?

① y=-5x ② y=-3x ③ y=-x

④ y=x ⑤ y=3x

2 -1 6 -3

두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각

{ }, { }일 때, 합성변환 fΩg에 의하여 직선 x+2y-3=0이 옮겨지는 도형은?

① 점 (6, 3) ② 점 (-6, -3)

③ 직선 x+2y=0 ④ 직선 2x+y=0

⑤ 직선 2x+y-3=0 -2 -4

5 10 -1 0

2 1

21

세 일차변환 f, g, h를 나타내는 행렬이 각각

{ }, { }, { }

일 때, 오른쪽 그림의 삼각 형 OAB가 합성변환 fΩg—⁄ Ωh에 의하여 옮겨지 는 도형의 넓이를 구하여라.

-1 0 0 1 cos45˘ -sin 45˘

sin 45 cos 45˘

'2 0 0 '2

17

y

O 1 x

A 1 B

2 일차변환의합성과역변환029

▷▶정답과 해설 37쪽

일차변환에 의한 직선의 이동 ②

22

^{행렬 {} }로 나타내어지는 일차변환 f에 의 하여 직선 x-y-2=0이 점 (b, c)로 옮겨질 때, 세 상수 a, b, c의 값을 구하여라.

3 a 2 -2

일차변환 f에 의하여 직선 3x+2y-1=0이 점 (2, -3)으로 옮겨질 때, 일차변환 f를 나타내는 행렬을 구하여라.

23

일차변환에 의한 좌표평면의 이동

행렬 { }으로 나타내어지는 일차변환 f에 의 하여 좌표평면 위의 모든 점이 옮겨지는 도형의 방 정식을 구하여라.

3 1

24

9 3

두 점 (2, 1), (0, 2)를 각각 두 점 (3, -3), (-2, 2)로 옮기는 일차변환 f에 의하여 좌표평면 위의 모든 점이 옮겨지는 도형의 방정식을 구하여라.

25

행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f에 의하 여 좌표평면 위의 모든 점이 원점을 지나는 직선 y=mx위의 점으로 옮겨질 때, 모든 m의 값의 곱 을 구하여라.

a b

26

b a

원점 이외의 점으로 옮기는 일차변환

행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f에 의하 여 점 (x, y)가 점 (kx, ky)로 옮겨지는 점 P가 원점 이외에도 존재할 때, x와 y 사이의 관계식을 모두 구하여라.

3 4

27

3 2

행렬 { }로 나타내어지는 일차변환 f에 대하 여 합성변환 fΩf에 의하여 자기 자신으로 옮겨지 는 점이 원점 이외에도 존재하고, 일차변환 f에 의 하여 직선 x=0이 직선 y=2x로 옮겨질 때, 상수 a, b에 대하여 a¤ +b¤ 의 값을 구하여라.

a 1

28

0 b

직선 y=ax+b를 행렬 { }로 나타내어지는 일차변환에 의하여 옮긴 직선이 처음 직선과 일치할 때, 다음보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

3 4

30

a 5

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 보기

ㄱ. a의 값은 1개 존재한다.

ㄴ. b의 값은 1개 존재한다.

ㄷ. 직선 y=ax+b 위의 모든 점이 자기 자신으 로 옮겨질 수 있다.

일차변환 f가 선분 PQ를 다시 선분 PQ로 옮길 때, 다음보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

31

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 보기

ㄱ. 일차변환 f 에 의하여 점 P는 점 Q로, 점 Q는 점 P로만 옮겨진다.

ㄴ. 일차변환 f 에 의하여 선분 PQ의 중점은 다시 선분 PQ의 중점으로 옮겨진다.

ㄷ. 일차변환 f 를 나타내는 행렬을 A라고 할 때, A¤ =E이다.

행렬 { }로 나타내어지는 일차변환에 의하 여 직선 x+by=1이 점 (1, -1)로 옮겨질 때, 이 일차변환에 의하여 좌표평면 전체가 옮겨지는 도형 의 방정식을 구하여라.

a b c -2

29

Level up

▷▶정답과 해설 40쪽

문서에서 고등 수학 개념 플러스 유형 개념플러스유형 기하와 벡터 (유형편) pdf (페이지 25-31)