개념편 250쪽
1. 평면의 벡터방정식 점 A를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 n¯에 수직인 평 면 a 위의 임의의 점을 P, 두 점 A, P의 위치벡 터를 각각 a¯, p¯라 하면 평면 a의 벡터방정식은
(p¯-a¯)∑n¯=0
이때 벡터 n¯을 평면 a의 법선벡터라고 한다.
2. 한 점을 지나고 주어진 벡터에 수직인 평면의 방정식 점 A(x¡, y¡, z¡)을 지나고, 벡터 n¯=(a, b, c)에 수직인 평면의 방정식은
a(x-x¡)+b(y-y¡)+c(z-z¡)=0
3. 일차방정식과 평면
좌표공간에서 x, y, z에 대한 일차방정식 ax+by+cz+d=0
은 벡터 n¯=(a, b, c)에 수직인 평면을 나타낸다.
O A a P
y x
z
p n a
개념plus
점 (x¡, y¡, z¡)을 지나고 좌표평면에 평행한 평면의 방정식
⑴ xy평면에 평행한 평면의 방정식 ◀ z축에 수직
z=z¡ ◀ 법선벡터 (0, 0, c)
⑵ yz평면에 평행한 평면의 방정식 ◀ x축에 수직
x=x¡ ◀ 법선벡터 (a, 0, 0)
⑶ zx평면에 평행한 평면의 방정식 ◀ y축에 수직
y=y¡ ◀ 법선벡터 (0, b, 0)
중요
3 직선과평면의방정식183
▷▶정답과 해설 216쪽
오른쪽 그림과 같은 정팔 면체가 좌표공간에 놓여 있다. 점 E의 좌표가 (4, 2, 6)일 때, 평면 ABCD의 방정식은 ax+by+cz=14이다.
이때 상수 a, b, c에 대하여 a+b+c의 값은?
① 3 ② 6 ③ 9
④ 12 ⑤ 15
0 4
A D
B O C
E
x
y z
한 평면과 평행한 평면의 방정식
점 (1, 2, -1)을 지나고, 평면 2x-y+3z=1에 평행한 평면이 점 (1, 2, a)를 지날 때, 상수 a의 값을 구하여라.
1 5
점 (1, 2, 3)을 지나고, xy평면에 평행한 평면의 방정식을 구하여라.
1 6
점 A(2, -3, 1)을 지나고,
평면 3x-2y+6z+1=0에 평행한 평면이 x축, y 축, z축과 만나는 점을 각각 P, Q, R라 할 때, 삼 각형 PQR의 무게중심 G의 좌표는 (a, b, c)이 다. 이때 상수 a, b, c에 대하여 a+b+c의 값은?
① -2 ② -1 ③ 0
④ 1 ⑤ 2
1 7
세 점을 지나는 평면의 방정식
좌표공간의 네 점 A(2, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, 0, 3), D(1, 2, k)가 한 평면 위에 있을 때, 실수 k의 값을 구하여라.
1 8
좌표공간의 세 구
x¤ +y¤ +z¤ -2x+4y=0 x¤ +y¤ +z¤ +2y-6z=0 x¤ +y¤ +z¤ -4x+2z=0
의 부피를 모두 이등분하는 평면의 방정식이 ax+by+cz-11=0일 때, 상수 a, b, c에 대하 여 a+b+c의 값은?
① 2 ② 4 ③ 6
④ 8 ⑤ 10
1 9
직선과 평면의 교점
점 (1, -1, 1)과 직선 =y+4= 를 포함하는 평면의 방정식을 구하여라.
z-4 -4 x+2
12
3평면 x+2y-z=1과 직선 = = 의 교점의 좌표는?
① (-4, 1, -3) ② (4, 2, -3)
③ (-3, 1, 2) ④ (3, 2, -1)
⑤ (2, 1, -3)
z-1 4 y-3
2 x+1
14
3점과 직선을 포함하는 평면의 방정식 좌표공간에서 점 A(1, -2, 3)을 지나고,
u¯=(1, 2, -1)에 평행한 직선과 원점 O를 지나 고, n¯=(2, 1, 1)에 수직인 평면의 교점을 B라 할 때, 선분 AB의 길이를 구하여라.
15
다음 중 직선 =y-2= 을 포함하고, 점 (2, -1, 0)을 지나는 평면 위의 점은?
① (0, 2, 1) ② (1, 1, 2)
③ (2, 2, 1) ④ (-1, 1, 0)
⑤ (-1, 2, -1)
z-3 3 x-1
13
2 평면 a : x+ay+bz=0이 두 직선 g¡ : x= =와 g™ : -x= = 를 모두 포함할 때, 상수 a, b 에 대하여 a¤ +b¤ 의 값은?
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
z 2 y 3
z 3 y
10
2두 직선을 포함하는 평면의 방정식
두 직선
g¡ : =y+2=
g™ : = =
으로 결정되는 평면의 방정식을
a：ax+by+cz=14라 할 때, 상수 a, b, c에 대 하여 a+b+c의 값을 구하여라.
z-3 -4 y+2
-3 x-1
6
z-3 2 x-1
-4
11
3 직선과평면의방정식185
▷▶정답과 해설 218쪽
점 A(1, 2, 3)에서 법선벡터가 n¯=(2, -1, 3) 인 평면에 내린 수선의 발을 H(a, b, c)라 할 때, 점 H는 반구면 x¤ +y¤ +z¤ =10(z>0) 위에 존재한다.
이때 a+b+c의 값을 구하여라.
19
좌표공간의 원점 O에서 두 평면
a：2x-y+3z+14=0, b：x-2y-z-12=0 에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라 할 때, OH≥∑O’H'≥의 값을 구하여라.
18
점 A(2, 1, -3)에서 평면 x-2y+3z-5=0에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 점 H의 좌표를 구하 여라.
17
두 평면 2x-y+z=6, x+y+2z=3에 의하여 직선 x-1=y= 가 잘리는 선분의 길이는?
① '2 ② 2'2 ③ 3'2
④ 4'2 ⑤ 5'2 z-4
-4
16
평면에 내린 수선
Level up
좌표공간의 원점 O와 두 점 A(0, 2, 1),
B(1, 0, 2)에 대하여 선분 AB 위를 움직이는 점 을 P라 하고, 직선 OP가 평면 a：2x+y-3z=4 와 만나는 점을 Q라 하자. 점 P가 점 A에서 점 B 까지 움직일 때, 점 Q가 움직이는 거리를 구하여라.
21
좌표공간의 점 A(3, 6, 0)에서 평면 '3y-z=0 에 내린 수선의 발을 B라 할 때, OA≥∑OB≥의 값은?
(단, O는 원점)
① -1 ② 0 ③ 6
④ 12 ⑤ 18
20
Check
개념다음 두 평면이 이루는 각의 크기를 구하여라.
⑴ a：3x+4y+5z=1, b：-x+7y+10z=5
⑵ a：x+y+1=0, b：4x-y+z-2=0
0 1
3 직선과평면의방정식187
▷▶정답과 해설 221쪽
두 평면이 이루는 각의 크기
Training
유형두 평면
a: 3x-y-kz+4=0 b: x+ky-3z-1=0
이 이루는 각의 크기가 일 때, 상수 k의 값을 구 하여라.
p 3
1 1
평면 4x+2y-4z+5=0이 xz평면과 이루는 각의 크기를 a, yz평면과 이루는 각의 크기를 b라 할 때, cos a+cos b의 값은?
① ;3@; ② 1 ③ ;3$;
④ '2 ⑤ '3
1 2
평면 2x-y+3z=5 위에 넓이가 7인 도형 F가 있다. 도형 F의 평면 x+2y+3z=4 위로의 정사 영을 F'이라 할 때, F'의 넓이를 구하여라.
1 3
직선과 평면이 이루는 각의 크기
두 평면의 평행 조건
직선 = = 와 평면
4x+3y-5z=1이 이루는 예각의 크기를 구하여라.
z -5 y+2
4 1-x
1 4
3직선 x+2=2-y= 와 평면 4x-5y-3z=1이 이루는 예각의 크기를 h라 할 때, sin h의 값을 구 하여라.
z
1 5
2두 평면
a¡ : 2x+ay+6z+1=0 a™ : x-y+bz+2=0
이 평행할 때, 상수 a, b의 값을 구하여라.
1 6
직선과 평면의 위치 관계
다음과 같은 직선 g와 평면 a가 있다.
g : = =
a: ax-3y+3z-1=0
직선 g와 평면 a가 평행할 때, 상수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구하여라.
z -1 y+2
b x-1
-3
10
직선 = = 과 평면
2x+(1-k)y+6z-6=0이 서로 만나지 않도록 z-1
3 y-1 k+1 x+2
12
k-2좌표공간에서 직선 g와 평면 a가
g : = =z-1
a: x+y-5z=0
일 때, 직선 g와 평면 a의 위치 관계를 바르게 설명 한 것은?
① 직선 g와 평면 a는 만나지 않는다.
② 직선 g는 평면 a에 포함된다.
③ 직선 g는 평면 a와 수직으로 만난다.
④ 직선 g는 평면 a와 30˘를 이루며 만난다.
⑤ 직선 g는 평면 a와 60˘를 이루며 만난다.
y-3 3 x-2
2
11
두 평면의 수직 조건
점 A(-1, 0, 2)를 지나고, 두 평면 x-y+3z=1, x+y-z=0에 모두 수직인 평면의 방정식을 구하 여라.
1 9
두 평면
x+ay+(a-9)z+1=0 3x+(a-2)y+z-1=0
이 서로 수직일 때의 상수 a의 값을 a, b라 할 때, a+b의 값을 구하여라.
1 8
두 평면
a¡ : x+ay+3z+1=0 a™ : bx+3y+az+1=0
이 일치할 때, 상수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구 하여라.
1 7
3 직선과평면의방정식189
▷▶정답과 해설 223쪽
두 평면의 교선의 방정식
두 평면 x-y+z-1=0, 6x-y+3z+4=0의 교선의 방정식을 구하여라.
13
평면 2x-y+3z=1과 xy평면의 교선의 방정식을 구하여라.
14
점 (-2, 0, 1)을 지나고, 두 평면 2x+3y+z=0, x+y+z=1의 교선에 수직인 평면이 점 (0, a, 3) 을 지날 때, 상수 a의 값은?
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
15
두 평면 3x+y+z=4, x+2y+z=2의 교선을 포 함하는 평면 a와 직선 g：x-1= = 가 서로 수직일 때, 상수 a의 값은?
① -3 ② -2 ③ 1
④ 3 ⑤ 5
z+2 a y-3
7
17
두 평면 x+y-2z=k+2, 2x-y+z=k+1의 교선은 실수 k의 값에 관계없이 항상 일정한 평면 a위에 있을 때, 평면 a가 y축과 만나는 점의 좌표 를 구하여라.
18
두 평면의 교선을 포함하는 평면의 방정식
두 평면 x+3y+2z-6=0, x+y+2z-2=0의 교선을 포함하고, 점 (1, 2, 3)을 지나는 평면의 방 정식을 구하여라.
16
▷▶정답과 해설 224쪽
13
점과 평면 사이의 거리1. 점과 평면 사이의 거리
점 (x¡, y¡, z¡)과 평면 ax+by+cz+d=0 사이 의 거리 h는
h=|ax¡+by¡+cz¡+d|
"√a¤ +b¤ +c¤
개념편 261쪽
Check
개념점과 평면 사이의 거리
Training
유형점 P(1, 3, 2)와 평면 3x-2y+6z-2=0 사이의 거리를구하여라.
0 1
점 (1, -1, 1)에서의 거리가 2이고, 직선
=y+2= 과 수직인 평면의 방정식을
구하여라.
z+3 -1 x-1
2
1 1
두 점 (0, 1, 2), (1, -1, 3)을 지나고, 평면 x+y-z+2=0에 수직인 평면을 a라 할 때, 점 P(1, -2, -1)에서 평면 a까지의 거리는?
1 2
평면에 대하여 대칭인 점
점 A(3, 1, 0)과 평면 x-y-z=1에 대하여 대 칭인 점이 B(a, b, c)일 때, 상수 a, b, c에 대하 여 a+b+c의 값을 구하여라.
19
두 점 A(1, -2, 1), B(-2, 0, 3)과 평면 x-y+2z+2=0위의 임의의 점 P에 대하여 AP”+BP”의 최솟값은?
① 5 ② '3å0 ③ '3å5
④ 2'1å0 ⑤ 3'5
21
두 점 A(-3, 4, 5), B(1, -2, 3)이 평면 a에 대하여 대칭일 때, 평면 a의 방정식을 구하여라. `
20
중요
3 직선과평면의방정식191
▷▶정답과 해설 225쪽
다음 그림과 같이 AB”=4, AE”=2, BC”=2인 직 육면체에서 삼각형 ACD를 포함하는 평면 a와 꼭 짓점 O 사이의 거리를 구하여라.
1 5
E
4
2 2
B G D
O
F C
A
두 평면 x+2y-2z+1=0, 2x-2y+z-2=0 이 이루는 각을 이등분하는 평면의 방정식을 모두 구하여라.
1 3
평면 a와 직선 g가 a: ax+by+cz=0
g : = =1-z
이고, 직선 g와 평면 a가 이루는 각의 크기가 일 때, 점 P(-4, -6, 2)와 평면 a 사이의 거리 를 구하여라.
p 6 y+2
3 x+1
2
1 4
평행한 두 평면 사이의 거리
평행한 두 평면 2x+y-2z-5=0과 2x+y-2z+10=0사이의 거리는?
① 3 ② 5 ③ 3'5
④ 5'3 ⑤ 5'5
1 6
점 (a, b, c)가 구 x¤ +y¤ +z¤ =4 위의 점일 때, 두 평면 ax+by+cz=1과 ax+by+cz=3 사이 의 최단 거리를 구하여라.
1 7
구와 평면 사이의 거리
구 (x-1)¤ +(y-2)¤ +(z-3)¤ =1 위의 점에서 평면 x+y+z=10에 이르는 거리의 최솟값은?
① '3-1 ② ③
④ ⑤ 3'3+5
3 2'3+5
3
3'3+2 3 4'3-3
3
1 8
구 x¤ +(y-1)¤ +(z-3)¤ =4에 접하고 직선
=y-1= 에 수직인 평면의 방정식을
모두 구하여라.
z+1 -1 x-1
2
14
구와 접하는 평면의 방정식 ② 중심이 C(2, 1, 3)이고 반지름의 길이가 2인 구
위의 점 P에서 평면 x+2y-z+5=0에 이르는 거리의 최댓값을 구하여라.
1 9
좌표공간에서 중심이 A(1, 1, 1)이고, 평면 a: x+2y+3z=20
에 접하는 구의 반지름의 길이는?
① '5 ② '7 ③ '1å4
④ '1å7 ⑤ '2å1
12
구와 접하는 평면의 방정식 ①
두 구
(x-1)¤ +y¤ +(z+1)¤ =1 (x+1)¤ +(y-1)¤ +(z-4)¤ =1
에 동시에 접하고 벡터 (1, -2, 2)에 수직인 평면 이 점 (0, a, -1)을 지날 때, a의 값은?
① -2 ② -1 ③ 0
④ 1 ⑤ 2
13
구 x¤ +y¤ +z¤ =9 위의 점 A(1, 2, 2)에서 접하 는 평면의 방정식을 구하여라.
10
구 x¤ +y¤ +z¤ =1 위의 점 { , , 0}에서 구에
접하는 평면을 a, 점 {0, , }에서 구에 접하 는 평면을 b라 한다. 평면 a 위에 있는 삼각형의 넓이가 100일 때, 이 삼각형의 평면 b 위로의 정사 영의 넓이를 구하여라.
4 5 3 5
3 5 4
11
53 직선과평면의방정식193
▷▶정답과 해설 227쪽
평면과 구가 만날 때 생기는 교선
좌표공간에서 x축을 포함하고, 구 (x-2)¤ +(y-3)¤ +(z-4)¤ =5
에 접하는 두 평면이 이루는 각의 크기를 h라 할 때, sin h의 값은?
① ② ③
④ ⑤ 4
5 3
5
'3 2 '2
2 1
2
15
구 (x-1)¤ +(y-2)¤ +(z+1)¤ =25와 평면 a: 2x+y+2z=11이 만날 때 생기는 원의 둘레의 길이는?
① 4p ② 6p ③ 8p
④ 10p ⑤ 12p
16
평면 2x-2y+z-8=0과 구
(x-1)¤ +(y-1)¤ +(z+1)¤ =16이 만날 때 생기 는 원의 중심을 M(a, b, c)라 할 때, 상수 a, b, c 에 대하여 a+b+c의 값은?
① -3 ② -1 ③ 0
④ 2 ⑤ 4
17
구 x¤ +y¤ +z¤ =9를 평면 a：2x+2y+z-6=0 으로 자를 때 생기는 단면의 평면 b：x+z=3 위 로의 정사영의 넓이를 구하여라.
18
두 구의 교선의 방정식
두 구
x¤ +y¤ +z¤ +2x-4y+2=0 x¤ +y¤ +z¤ -6x+4y-2z-6=0 이 만날 때 생기는 원을 포함하는 평면과 점 A(1, 0, -2) 사이의 거리를 구하여라.
19
▷▶정답과 해설 230쪽