2 3 1 오른쪽 그림과 같이 한 모
서리의 길이가 1인 정사 면체에서 모서리 AB, 모 서리 BC의 중점을 각각 M, N이라 할 때, 내적 O’M≥∑O’N≥ 의 값을 구하여 라.
1 7
OB A
M 1
N C
오른쪽 그림과 같이 한 모 서리의 길이가 3인 정사 면체에서 OB≥∑AB≥의 값 을 구하여라.
1 9
OA 3
C
B
벡터의 내적의 연산법칙 ①
두 벡터 a¯, b¯가 두 등식
|a¯+b¯|=4, |a¯-b¯|=2
를 만족할 때, |2a¯-b¯|¤ +|a¯-2b¯|¤ 의 값을 구하 여라.
10
두 벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기가 이고,
|a¯|=2, |b¯|=3일 때, (a¯+b¯)∑(a¯+2b¯)의 값을 구하여라.
p
11
3 공간도형에서의 벡터의 내적오른쪽 그림과 같이 한 모서 리의 길이가 1인 정육면체에 대하여 다음보기에서 그 값 이 1 이상인 것만을 있는 대 로 고른 것은?
① ㄱ, ㄷ ② ㄱ, ㄹ ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄴ, ㄹ ⑤ ㄷ, ㄹ
1 6
A B
H G
E 1 F
C D
보기
ㄱ. AC≥∑AG≥ ㄴ. BD≥∑CG≥
ㄷ. AC≥∑GE≥ ㄹ. CF≥∑CH≥
성분으로 주어진 벡터의 내적
포물선 y¤ =8x 위의 두 점 P, Q와 원점 O에 대하 여 OP≥와 OQ≥의 내적 OP≥∑OQ≥ 의 최솟값은?
① -128 ② -64 ③ -32
④ -16 ⑤ -8
15
두 벡터 a¯=(-1, 1, 0), b¯=(2, -1, 1)에 대하 여 f(t)=(ta¯+b¯)∑(a¯-tb¯)일 때, f(t)의 최솟값 은?
① - ② - ③
④ ⑤ 16
3 13
3
5 3 5
3 13
3
17
점 (2, 1, -1)의 점 (0, 1, 1)에 대한 대칭점을 A, 점 (1, -1, 2)의 y축에 대한 대칭점을 B라 할 때, 내적 O’A≥∑OB≥의 값을 구하여라.
14
세 벡터 a¯=(x, -2, -2), b¯=(0, -1, 3), c¯=(x+5, -6, -3)에 대하여 a¯+b¯와 c¯-a¯가 이루는 각의 크기가 30˘일 때, 정수 x의 값은?
① -3 ② -1 ③ 0
④ 2 ⑤ 3
16
두 벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기가 30˘이고,
|a¯|=1, |b¯|=2일 때, |xa¯+b¯|=2가 되게 하는 실수 x의 값을 구하여라. (단, x+0)
12
오른쪽 그림과 같이 한 모 서리의 길이가 3인 정사면 체에서 모서리 OB의 삼등 분점 중 꼭짓점 O에 가까 운 점을 P라 하고, 모서리 OC의 삼등분점 중 꼭짓점
C에 가까운 점을 Q라 할 때, |OA≥+OP≥+OQ≥|의 값을 구하여라.
13
3A
P Q C
B O
2 벡터의성분과내적167
▷▶정답과 해설 197쪽
오른쪽 그림과 같이 AB”=AD”=4, AE”=8인 직육면체에서 모서리 AE 를 1：3으로 내분하는 점 을 P, 모서리 AB, AD, FG의 중점을 각각 Q, R, S라 하자. 선분 QR의 중점
을 T라 할 때, 벡터 TP≥와 벡터 QS≥의 내적 TP≥∑`QS≥의 값을 구하여라.
21
A P
E F
G C
B D R
H T Q
S
다음 그림과 같이 길이가 4인 선분 OP를 사등분한 점을 각각 A, B, C라 할 때, OP≥∑OQ≥=4를 만족 하는 점 Q의 자취는?
22
A
O B C P
4
① 점 O를 지나고 선분 OP에 수직인 직선
② 점 A를 지나고 선분 OP에 수직인 직선
③ 점 B를 지나고 선분 OP에 수직인 직선
④ 점 C를 지나고 선분 OP에 수직인 직선
⑤ 점 P를 지나고 선분 OP에 수직인 직선 좌표평면 위의 세 점 A(2, 0), B(-2, 0),
C(0, 2)에 대하여
AP≥∑BP≥…5, AP≥∑CP≥æ-1
을 동시에 만족하는 점 P가 존재하는 영역의 넓이 를 구하여라.
19
좌표공간의 두 점 A(8, 0, 12), B(4, 0, 4)와 원 점 O에 대하여 점 C가 AC≥∑BC≥=0을 만족할 때, 점 C의 자취의 방정식을 구하여라.
18
오른쪽 그림과 같이 반지름 의 길이가 2인 원 O에 내 접하는 정팔각형이 있다.
이때 의 값을 구
하여라.
AG≥∑H’A≥
AD≥∑EA≥
20
O A
B H
C G
D E
F
Level up
성분을 이용한 벡터의 내적의 활용 벡터의 내적과 자취의 방정식
▷▶정답과 해설 199쪽
다음[그림 1]과 같이 한 변의 길이가 6인 정사각형 ABCD에서 두 변 AB, DC를 각각 삼등분한 점을 이은 점선을 접는 선으로 하여[그림 2]와 같은 삼각 기둥을 만들었다. 이때 삼각기둥에서 AP≥∑`PQ≥의 값을 구하여라.
A B A
P P
6 Q
Q
D C
[그림 1] [그림 2]
25
좌표평면 위에 원점 O를 시점으로 하는 서로 다른 임의의 두 벡터 OP≥, OQ≥ 가 있다. 두 벡터의 종점 P, Q를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 1 만큼 평행이동한 점을 각각 P', Q'이라 할 때, 다음 보기에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
24
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 보기
ㄱ. |OP≥-OP' ≥|='∂10
ㄴ. |OP≥-OQ≥|=|OP' ≥-OQ' ≥|
ㄷ. OP≥∑OQ≥=OP' ≥∑OQ' ≥ 오른쪽 그림과 같이 점 O에서 만나는 세 직선 l, m, n에 대 하여 직선 m 위의 한 점 B에서 직선 l에
내린 수선의 발을 A, 점 B에서 직선 n에 내린 수 선의 발을 C라 하자. OA”=2, OC”='3일 때, OB≥∑CA≥의 값을 구하여라.
23
O C 2 B
'3 A
m
n l
오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 2인 정 사면체에서 삼각형 ABC, 삼각형 OBC의 무게중심을 각각 G, H 라 할 때, 9(OG≥∑AH≥) 의 값은?
① 0 ② -2 ③ -4
④ -6 ⑤ -8
26
OA C
B H G 2
2 벡터의성분과내적169
▷▶정답과 해설 200쪽
08
두 벡터가 이루는 각1. 두 벡터가 이루는 각의 크기
⑴두 평면벡터
a¯=(a¡, a™), b¯=(b¡, b™)
가 이루는 각의 크기를 h(0…h…p)라 하면 cos h=
=
⑵두 공간벡터
a¯=(a¡, a™, a£), b¯=(b¡, b™, b£) 이 이루는 각의 크기를 h(0…h…p)라 하면
cos h=
= a¡b¡+a™b™+a£b£
"√a¡¤ +a™¤ +a£¤ "√b¡¤ +b™¤ +b£¤
a¯∑b¯
|a¯||b¯|
a¡b¡+a™b™
"√a¡¤ +a™¤ "√b¡¤ +b™¤
a¯∑b¯
|a¯||b¯|
2. 벡터의 수직 조건과 평행 조건
⑴ 두 벡터의 수직
영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯
가 이루는 각의 크기가 일 때, a¯ 와 b¯ 는 서로 수직이라 하고, 이것을 기호로
a¯⊥b¯
와 같이 나타낸다.
⑵ 두 벡터의 수직 조건과 평행 조건 영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯에 대하여
① 수직 조건
a¯⊥b¯ HHjjKK a¯∑b¯=0
② 평행 조건
a¯ // b¯ HjK a¯∑b¯=—|a¯||b¯|
HjK b¯¯=ka¯ (단, k+0인 실수) p
2
개념편 227쪽
두 평면벡터 a¯=(9, 2t), b¯=(8t, 1)이 서로 평행하 도록 하는 양수 t의 값은?
①;9@; ②;4#; ③;3$;
④:¡9§: ⑤;2(;
0 2
두 벡터 a¯=(3, 5, x), b¯=(10, x, 1)이 서로 수직 이 되도록 하는 실수 x의 값을 구하여라.
0 3
b a
Check
개념다음 두 벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기 h를 구하여라.
⑴ a¯=(-'3, 1), b¯=(3, '3 )
⑵ a¯=(2, -1, 5), b¯=(6, -3, -3)
0 1
두 벡터가 이루는 각의 크기 ②
좌표공간의 세 점 A(1, 1, 0), B(3, -2, 1), C(6, -3, -1)에 대하여 ∠BAC의 크기는?
① 0˘ ② 30˘ ③ 45˘
④ 60˘ ⑤ 90˘
1 2
오른쪽 그림과 같은 직육면체 에서 두 선분 EC, GD가 이 루는 예각의 크기를 h라 할 때, cos h의 값은?
① ② ③
④ ⑤ 'ß70
10 3'ß70
35
'ß70 14 2'ß70
35 3'ß70
70
1 3
B A3 G 2
1
E H
F
D C
두 벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기가 60˘이고,
|a¯|=1, |b¯|=1일 때, a¯+b¯와 a¯-2b¯가 이루는 각의 크기는?
① 0˘ ② 30˘ ③ 45˘
④ 90˘ ⑤ 120˘
1 6
두 벡터 a¯, b¯에 대하여 |a¯|=3, |b¯|=1이고,
|a¯-b¯|='7일 때, a¯, b¯가 이루는 각의 크기를 구 하여라.
1 4
영벡터가 아닌 두 벡터 a¯, b¯가 |a¯-b¯|=|a¯+b¯|를 만족할 때, a¯, b¯가 이루는 각의 크기를 구하여라.
1 5
|a¯|='2, |b¯|=2, a¯∑b¯=0인 두 벡터 a¯, b¯에 대 하여 x¯='2 a¯-2b¯, y¯=-a¯+'2 b¯일 때, x¯의 y¯
위로의 정사영의 크기는 '∂m 이다. m의 값을 구하
1 7
두 벡터가 이루는 각의 크기 ①
Training
유형세 벡터 a¯=(-1, 5), b¯=(3, 5), c¯=(1, 2)에 대하여 c¯-a¯, c¯-b¯가 이루는 각의 크기를 h라 할 때, cos h의 값을 구하여라.
1 1
2 벡터의성분과내적171
▷▶정답과 해설 201쪽
두 벡터의 수직 조건
두 벡터 a¯=(2, -1), b¯=(1, 3)에 대하여 a¯+tb¯와 a¯+2b¯가 서로 수직일 때, 실수 t의 값을 구하여라.
13
두 벡터
x¯=(t+1, t¤ ), y¯=(t¤ +kt+1, -t-k) 가 어떤 실수 t에 대해서도 서로 수직이 되지 않도 록 하는 상수 k의 값의 범위는?
① k<-3 ② k…-3
③ -3<k<1 ④ -3…k…1
⑤ kæ1
15
벡터의 내적과 도형의 넓이
두 벡터의 평행 조건
넓이가 8인 예각삼각형 ABC의 두 변 AB, AC의 길이는 각각 4, 5이다. 이때 두 벡터 AB≥, AC≥의 내적 AB≥∑AC≥의 값을 구하여라.
1 8
두 점 A(-1, 2), B(3, 4)에 대하여 OA”, OB”를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이를 구하 여라. (단, O는 원점)
1 9
좌표공간의 세 점 A(1, -2, -2), B(2, 0, -1), C(1, 1, 3)에 대하여 삼각형 ABC의 넓이를 구하 여라.
10
두 벡터 a¯=(1, 2), b¯=(x, 1)에 대하여 a¯+2b¯와 2a¯-b¯가 서로 평행할 때, 실수 x의 값을 구하여라.
11
좌표평면 위의 세 벡터
a¯=(4, 1), b¯=(2, 3), c¯=(1, -3) 에 대하여 p¯+c¯와 a¯-b¯가 서로 평행하고
|p¯-c¯|=2'2일 때, 벡터 p¯의 크기를 구하여라.
12
세 벡터 OA≥=(2, a, 0), OB≥=(1, -1, b), OC≥=(c, 1, 1)이 서로 수직이 되도록 상수 a, b, c의 값을 정할 때, 사면체 O-ABC의 부피를 구하 여라. (단, O는 원점)
14
두 벡터 a¯=(1, 0, -2), b¯=(-1, 2, 3)에 대하
OB≥⊥CA≥, OC≥⊥AB≥
일 때, 두 모서리 OA와 BC
2 벡터의성분과내적173
▷▶정답과 해설 204쪽
Level up
두 변 AB, BC의 길이가 각각 4, 2인 직사각형 ABCD와 같은 평면 위에 있는 점 중에서 다음 두 조건을 모두 만족하는 점 P는 두 개 있다.
이 두 점을 각각 P¡, P™라 하고 선분 AB의 중점 을 O, ∠P¡OP™=h라 할 때, cos h의 값은?
① - ② - ③
-④ ⑤ '2
2 1
2
1 2 '2
2 '3
2
25
Ⅰ. PA≥∑PB≥=0 Ⅱ. PC≥∑PD≥=0 점 O, A, B, C, D가 다음 세 조건
AB≥=DC≥
(AB≥+AD≥)∑(AB≥-AD≥)=0 (OA≥-OB≥)∑(OA≥-OD≥)=0
을 만족할 때, 사각형 ABCD는 어떤 모양인가?
① 직사각형 ② 정사각형 ③ 평행사변형
④ 마름모 ⑤ 사다리꼴
21
(AB≥-BC≥)∑AC≥=0을 만족하는 삼각형 ABC는 어떤 모양인가?
① 정삼각형
② ∠A=90˘인 직각삼각형
③ ∠B=90˘인 직각삼각형
④ AB”=BC”인 이등변삼각형
⑤ AC”=BC”인 이등변삼각형
22
한 직선 위에 있지 않은 세 점 O, A, B에 대하여 O’A≥=a¯, OB≥=b¯라 할 때, 다음 두 조건을 모두 만 족하는 점 P의 위치는? (단, OP≥=p¯)
① 삼각형 OAB의 무게중심
② 삼각형 OAB의 외심
③ 삼각형 OAB의 내심
④ 삼각형 OAB의 수심
⑤ 삼각형 OAB의 방심
23
Ⅰ. p¯∑a¯=a¯∑b¯ Ⅱ. p¯∑b¯=a¯∑b¯
좌표평면 위의 세 점 O(0, 0,), A(6, -8), B(3, 4)에 대하여
OP≥=sOA≥+tOB≥ (0…s…2, 3…t…4) 를 만족하는 점 P가 존재하는 영역의 넓이는?
① 84 ② 92 ③ 96
④ 100 ⑤ 104