Power Series Method - Frobenius Method

Power Series Method - Frobenius Method

채윤성 2008.9.16

Elementary Differentila Equation with Boundary Value Problems David E. Penny, Georgia Univ.

1 The Second Solution fo Frobenius Metheod 1.1 두번째 해가 로그항을 포함하지 않는 경우, r

x²y^′′+ xp(x)y^′+ q(x)y = 0 (1) 에 대해 다음과 같은 해가 가능하다.

y =∑

n=0

Fn(r)x^r+n (2)

x의 멱을 n + r 로 맞추었을 때 Fn(r)을 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

Fn(r) = ϕ(n + r)cn+ Ln(r; c0,· · · , cn−1). (3) x^n+r의 계수 Fn를 cn부분과 cn−1 이하를 포함하는 Ln부분의 합으로 나타냈 음을 주목하라. 또한 Fn일 때 ϕ(r +n)cn+ L_n으로 첨자가 일치함을 주목하라.

이제 계수 관계식을 살펴보기로 하자. 먼저 n = 0 일때 ϕ(r)c0+ L₀ = 0 이다. L0= 0 이므로 지수 방정식

ϕ(r)c0= 0 (4)

을 얻는다. 이제 n ≥ 1 인 경우에 대해 계수 방정식을 살펴보자. 여기서 r1 을 계수 방정식에 대입하면 ϕ(r1 + n)cn+ Ln = 0 이다. phi(r) 은 r1과 그보다

정수차로 작은 수 r1− N 일 때만 0 이 되므로 r = r1+ N 일때는 결코 0이 될 수 없다. 따라서 ϕ(r1+ n)은 0이 아니다. 따라서 cn은 Ln이 0이 되거나 되지 않거나 항상 결정할 수 있다. 이로서 큰 지수 r1에 대해서는 항상 프로베니우 스 해가 존재한다.

자 이제 r2를 대입하고계수 방정식에서 n 을 하나씩 증가시켜 보자.

ϕ(r₂+ 1)c₁+ L₁= 0 ϕ(r₂+ 2)c₂+ L₂= 0 ϕ(r₂+ 3)c₃+ L₃= 0

...

ϕ(r2+ N )cN + LN = 0

(5)

마지막 행에서 문제가 문제가 발행하였다 ! r2+ N은 r1으로서 cN의 계수 를 0으로 만든다. 더 큰 문제는 이 때 Ln에다 n = N 을 대입했을 때 LN이 0 이 되지 않는 상황이다. 이러한 상황에서는 0 · cN + LN(̸= 0) = 0 이므로 cN

이 어떤 수이든지 계수 방정식이 성립하지 않게 된다. 결국 cN은 결정되지 않 으며 그 이후의 계수도 결정되지 않는다. 그러나 c0 에서 cN−1까지는 결정할 수 있다. 그렇다고 해서 계수가 결정된 항으로만 이루어진 다항식을 미분방정 식의 해라고 할 수 없다. 실제로 이것을 해라고 가정하고 미분방정식에 대입해 보라. 만족하지 않음을 알 수 있을 것이다. 물론 어느 항 이후로 계수가 0이 되는 해는 미분방정식의 해로 가능하다. 그러나 어느 항이후로 계수를 결정할 수 없을 때는 해가 존재하지 않는 것이 된다.

마지막 행에서 LN이 0이 되는 경우는 다행스런 경우이다. 0 · cN + 0 = 0 이 되어 임의의 cN에 대해서 계수 방정식은 만족한다. 이 경우는 n 을 계속 증가시킬 때 ϕ(r2+ N + 1)가 0이 아니므로 LN +1이 0이든 0이 아니든 cN +1

을 결정할 수 있다. 따라서 이 경우는 두개의 선형 독립인 프로베니우스 해를 얻을 수 있다.

예제1)

x²y^′′+ (6x + x²)y^′+ xy = 0 (6) y =∑

n=1c_nx^r+n 을 대입하고 x^r+n로 전개하면 n = 0 일 때 지수 방정식은 ϕ(r) = r(r− 1) = 0 이다. x^n+r의 계수 Fn는

[(n + r)²+ 5(n + r)]cn+ (n + r)cn−1= 0, (n≥ 1) (7)

이다. 여기서 ϕ(n + r) = (n + r)²+ 5(n + r)이며 Ln= (n + r)c_n−1이다. r = 0 일때 ϕ(r) 은 0이 될 수 없으므로 언제나 cn을 결정할 수 있어 프로베니우스 해가 존재한다.

r = r2=−5 일 때 계수 관계식을 살펴보자. ϕ(−5) = (n − 5)²+ 5(n− 5) = n(n− 5) 이다. n = 5 일 때 ϕ(r) = 0 이되며 Ln = (n− 5)cn−1 도 0이 된다.

다행히 임의의 c5에 대해 계수관계식은 항상 성립한다. n = 6 일 때 ϕ(−5) 는 0이 아니고 L6도 0이 아니다. 따라서 c6 이후로는 모든 계수를 구할 수 있다.

따라서 c0와 c5를 임의의 상수로 하는 두개의 선형 독립해를 구할 수 있다.

예제2.

x²y^′′− xy^′+ (x²− 8)y = 0 (8) y =∑

n=0c_nx^r+n을 대입해 x^r+n로 묶으면

∑

n=0

[(n + r)²− 2(n + r) − 8]cnx^n+r+∑

n=2

cn−2x^n+r= 0. (9)

위 식의 첫항에서 n = 0 일때 지수방정식 ϕ(r) = r²−2r−8 = (r−4)(r+2) = 0 이고 n = 1 일때 [(r + 1)²− 2(r + 1) − 8]c1= 0 이다. r = 4, − 2 일때는 결코 c₁의 계수가 0이 되지 않으므로 c1은 0이된다. 그리고 n ≥ 2 일때

[(n + r)²− 2(n + r) − 8]cn+ c_n−2 = 0 (10) 이다. 위 식에서 n = 1 을 대입할 때 두번째 항 c₋₁은 존재하지 않는다. 그리고 c1의 계수가 0이 아니므로 c1이 0이여야 한다. r1= 4 일때 적어도 n ≥ 2 인 경우 ϕ 는 절대 0이 될 수 없으므로 계수 cn을 모두 결정할 수 있다. 따라서 r1= 4 일때 하나의 급수해가 존재한다.

이제 작은 근 r2=−2 에 대해 계수 방정식을 생각해 보자. 작은 근을 계수 방정식에 대입하여 정리하면

n(n− 6)cn+ c_n−2= 0 (11) 를 얻는다. n = 0 일 때 0 · c0+ 0 = 0 이므로 c0은 임의의 수이다. n = 1 일때

−5c1+ 0 = 0 이므로 c1 = 0 이다. n = 2, 3, 4, 5 일 때는 c2, c₃ c₄, c₅모두 결정할 수 있다. n = 6 일때가 문제다. cn−2(n = 6) = c4도 0이면 임의의 c6

에 대해 계수관계식이 성립하지만 c4가 0이 아니경우 c6를 결정할 수 없다 !

문제는 c4가 0인지 아닌지 보는 것이다. c4 는 c2로 쓸 수 있고 c2는 c0로 쓸 수 있다. c0는 0이 아니므로 c4는 0이 아니다. 결국 0·c6+ c₄(̸= 0) = 0 이되어 c₆는 결정되지 않는다.

결국 r1 = 4에 해당하는 하나의 프로베니우스해가 존재할 뿐이다. r = 4 일때 계수방정식은

cn=− cn−2

n(n + 6), (n≥ 2) (12)

이다.

요컨데, r1−r2= N 일 때 작은 근에 대한 급수해는 존재하지 않을 수 있다.

작은 근에 대한 급수해가 존재한다면 큰 근에 대한 급수해를 포함하는 두개의 선형독립 프로베니우스 해로 나타나며 존재하지 않는다면 큰 지수에 대한 해 하나만 존재한다. 작은 근에 대한 급수해가 존재하지 않는다면 선형2계미방의 두번째 해가 존재하지 않는다는 것인가 ? 그렇지 않다. 프로베니우스 방법으로 찾을 수 없다는 것이지 두 번째 해를 찾는 다른 방법이 알려져 있다. 이때 두 번째 해는 프로베니우스 급수해 형태가 아니며 로그항을 포함하게 된다. 프로 베니우스 방법으로 해를 구할 때 하나의 해만을 주는 다른 경우가 있는데 바로 지수방정식의 근이 중근일 때다. 이때 두번째 해를 찾는 방법이 있으며 두번째 해는 로그항을 포함하게 된다.

그러면 두번째 해를 찾는 방법은 무엇인가 ? 프로베니우스 해는 적어도 하 나의 해를 알려준다. 새로은 방법은 바로 이미 알려진 해를 이용해 두번째 해 를 찾는 것이다. 바로 차수내림 방법이다. 기본 생각은 알려진 해를 이용해 주 어진 2계 선형미방을 1계 선형미방꼴로 변형하는 것이다.

1.2 알려진 해로부터 두 번째 해 구하기 - Reduction of Order

y^′′+ P (x)y^′+ Q(x)y = 0 (13) 에서 차수 감소 법으로 두번째를 구하면

y2= y1

∫ exp(−∫

P (x)dx

y₁² dx (14)

이다. y2는 y1과 선형독립이다.

y^′′+p(x)

x y^′+q(x)

x² y = 0 (15)

의 해를 y1 = x^r1∑

n=0a_nxⁿ (a₀ ̸= 1)d이라 하자. r = r1, r₁− N 이 지수방 정식의 근이라고 하면

r²+(p0−1)r+q0= (r−r1)(r−(r1+N )) = r²+(N−2r1)r+(r₁²−r1N ) = 0 (16) 이다. 이로부터 −p0− 2r1=−1 − N 임을 얻는다.

하나의 해 y1 과 P (x) = ^p(x)_x 를 이용해 y2구하면

y2= y1

∫

x^−1−N(1 + C1x + C2x²+· · ·)dx (17) 가 된다. 자 ! 여기서 N 의 조건을 생각해 보자. N = 0 일때는 지수방정식이 중근인 경우이다. 프로베니우스 방법으로 하나의 급수해 밖에 구하지 못하였 다. 차수감소법이 두번째 해를 준다.

y2= y1

∫(¹_x+ C1+ C2x²+· · ·)dx

= y1ln x + x^r1(b0x + b1x²+ b2x³+· · ·). (18) 결과적으로

y2= y1ln x + x^r1+1∑

n=0

bnxⁿ (19)

이다. N = 0 일때는 두번째 해에 항상 로그항이 나타난다.

이제 r1= r2+ N 일 때를 생각해 보자.

y₂ = y₁∫

x^−1−N(1 + C₁x + C₂x²+· · · + CNx^N +· · ·)dx

= y1

∫(^C_x^N +_{xN +1}¹ +_x^C_N¹ +· · ·)dx

= CNy1ln x + y1(^x_−N^−N +^C_−N+1^1x−N+1 +· · ·)

= CNy1ln x + x^r2+N(∑

n=0anxⁿ)x^−N(−_N¹ +_−N+1^C1x +· · ·)

(20)

이므로

y2(x) = CNy1(x) ln x + x^r2∑

n=0

bnxⁿ (21)

지금까지 한것은 두번째 해의 형태를 구한 것이다. 결국 완전한 해는 이 해 를 주어진 미분방정식 에 대입해 계수 bn을 결정함으로써 얻을 수 있다.