사각형의 성질 - 창의사고력 TEST 021쪽 - 숨마쿰라우데 중학수학 개념기본서2 2 해설

창의사고력 TEST 021쪽

2. 사각형의 성질

01

∠BCA=∠DAC=70˘ (엇각)이고

∠B+∠C=180˘이므로

(∠x+30˘)+(70˘+∠y)=180˘

∴ ∠x+∠y=80˘

02

∠DBC=∠ADB=30˘ (엇각)

△OBC에서 ∠BOC=180˘-(30˘+45˘)=105˘

03

∠A+∠D=180˘에서 ∠A=130˘

AD”∥BC”이므로

∠AEB=∠DAE=;2!;_130˘=65˘

04

AB”∥PR”, AC”∥QP”이므로 AQPR는 평행사변형 이다.

또, △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이므로

∠B=∠C

이때, AC”∥QP”에서 ∠C=∠QPB (동위각),

∠B=∠QPB이므로 △QBP는 QB”=QP”인 이등변 삼각형이다.

따라서 AQPR의 둘레의 길이는

2(AQ”+QP”)=2(AQ”+QB”)=2AB”=24(cm)

11

CD”=AB”=6 cm, OC”=;2!;AC”=5 cm, DO”=;2!;BD”=6 cm

∴ (△DOC의 둘레의 길이)=OC”+CD”+DO”

∴ (△DOC의 둘레의 길이)=5+6+6=17(cm)

12

△AOE와 △COF에서

AO”=CO”, ∠EAO=∠FCO (엇각),

∠EOA=∠FOC (맞꼭지각)이므로

△AOE™△COF (ASA 합동)

∴ EO”=FO”, AE”=CF”

또, △ABO와 △CDO에서 AO”=CO”, BO”=DO”,

∠AOB=∠COD (맞꼭지각)이므로

△ABO™△CDO (SAS 합동)

13

① 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로

② ABCD는 평행사변형이다.

② 오른쪽 그림에서

②∠B+∠C=180˘이면

∠BCE=∠B

②즉, 엇각의 크기가 같으므로

②AB”∥DC”

②또, AD”∥BC”이므로 두 쌍의 대변이 평행하다.

②따라서 ABCD는 평행사변형이다.

③ △AOB™△COD이므로 AB”=CD”

②또, AB”∥DC”이므로 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

②따라서 ABCD는 평행사변형이다.

④ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 ABCD는 평행사변형이다.

⑤ 오른쪽 그림에서 ABCD는

⑤AD”∥BC”, ∠B=∠C이지만 평행사변형이 아니다.

15

AFCE가 평행사변형이므로

∠AEC=∠AFC=112˘

∴ ∠x=180˘-112˘=68˘

16

△AED와 △CFB에서

AE”=CF”, AD”=CB”, ∠DAE=∠BCF (엇각) 이므로 △AED™△CFB (SAS 합동)

∴ DE”=BF”

B C

E D

C D

△AEB와 △CFD에서

AE”=CF”, AB”=CD”, ∠BAE=∠DCF (엇각) 이므로 △AEB™△CFD (SAS 합동)

∴ BE”=DF”

따라서 EBFD는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으 므로 평행사변형이다.

17

`EOCD가 평행사변형이므로 ED”∥OC”, ED”=OC”

이다. 즉, ED”∥AO”, ED”=AO”이므로 AODE는 평행사변형이다.

이때, AD”=16 cm, EO”=DC”=12 cm이고 AODE의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 FD”=AF”=8 cm, EF”=FO”=6 cm

∴ EF”+FD”=6+8=14(cm)

18

ABNM, MNCD는 평행사변형이므로 두 대각 선에 의해 넓이가 4등분된다.

∴ MPNQ=△MPN+△MNQ

∴ MPNQ=;4!; ABNM+;4!; MNCD

∴ MPNQ=;4!;_;2!; ABCD+;4!;_;2!; ABCD

∴ MPNQ=3+3=6(cm¤ )

19

△APD+△BPC=△ABP+△CDP

△APD+△BPC=;2!; ABCD

△APD+△BPC=;2!;_40=20(cm¤ ) 이때, △APD : △BPC=3 : 1이므로

△APD=;4#;_20=15(cm¤ )

20

△OAE와 △OCF에서

AO”=CO”, ∠AOE=∠COF (맞꼭지각)

∠OAE=∠OCF (엇각)

∴ △OAE™△OCF (ASA 합동) 즉, △OAE와 △OCF의 넓이가 같다.

∴ (색칠한 부분의 넓이)

∴=△OAB+△OCF+△ODE

∴=△OAB+△OAE+△ODE

∴=△ABD=;2!; ABCD

∴=;2!;_52=26(cm¤ )

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테스트BOOK

27

평행사변형 ABCD의 두 대각선이 수직으로 만나므로 ABCD는 마름모이다.

∴ AB”=BC”

즉, 2x-4=12이므로 x=8

28

ABCD가 정사각형이므로 AC”는 ∠A를 이등분한다.

∴ ∠BAF=45˘

이때, △ABF™△ADF (SAS 합동)이므로

∠ABF=∠ADF=90˘-35˘=55˘

∴ ∠x=180˘-(45˘+55˘)=80˘

29

△AOE와 △DOF에서

AO”=DO”, ∠OAE=∠ODF=45˘이고,

∠AOE+∠AOF=∠AOF+∠DOF=90˘에서

∠AOE=∠DOF

∴ △AOE™△DOF (ASA 합동)

즉, DF”=AE”=3 cm이므로 AD”=5+3=8(cm) 따라서 ABCD의 한 변의 길이는 8 cm이므로

ABCD=8_8=64(cm¤ )

30

∠ECD=90˘-60˘=30˘

이때, △CDE는 CD”=CE”인 이등변삼각형이므로

∠CDE=;2!;(180˘-30˘)=75˘

∴ ∠EDB=∠CDE-∠CDB=75˘-45˘=30˘

31

∠A+∠B=180˘이므로 ∠A=180˘-70˘=110˘

∴ ∠y=∠A=110˘

또, ∠DAC=110˘-80˘=30˘이므로 △ACD에서

∠x=180˘-(110˘+30˘)=40˘

32

오른쪽 그림에서 점 A를 지나고 DC”에 평행한 직선 이 BC”와 만나는 점을 E라 고하면

∠BEA=∠C=60˘ (동위각) 이므로 ∠EAB=60˘

따라서 △ABE는 정삼각형이므로 BE”=AB”=6 cm

이때, AECD는 평행사변형이므로 AD”=CE”=10-6=4(cm)

10`cm 6`cm

B 60æ E C

21

직사각형의 두 대각선은 길이가 같고 서로를 이등분하 므로 OC”=OD”

따라서 △OCD가 이등변삼각형이므로

∠ODC=∠OCD=40˘

∴ ∠x=∠COD=180˘-2_40˘=100˘

22

∠FAE=90˘-24˘=66˘이므로

∠AEB=∠FAE=66˘ (엇각) 이때, ∠AEF=∠FEC (접은 각)이므로

∠x=;2!;(180˘-66˘)=57˘

23

평행사변형이 직사각형이 되려면 한 내각이 직각이거 나 두 대각선의 길이가 같아야 한다.

② 오른쪽 그림에서 ABCD가

②평행사변형이므로

②∠A+∠B=180˘

②이때, ∠A=∠B이면

②∠A=∠B=90˘

②따라서 ABCD는 직사각형이다.

24

△OAB가 이등변삼각형이므로 OA”=OB”

∴ AC”=BD”

따라서 평행사변형 ABCD는 두 대각선의 길이가 같 으므로 직사각형이다.

25

마름모는 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하므 로 ∠AOD=90˘

∴ ∠ADO=90˘-65˘=25˘

이때, AB”=AD”이므로 ∠x=∠ADO=25˘

또, DA”=DC”이므로 ∠y=∠DAO=65˘

∴ ∠y-∠x=65˘-25˘=40˘

26

△ABP와 △ADQ에서 AB”=AD”, ∠ABP=∠ADQ,

∠BPA=∠DQA=90˘이므로

△ABP™△ADQ (RHA 합동)

∴ AP”=AQ”

따라서 △APQ가 AP”=AQ”인 이등변삼각형이므로

∠APQ=;2!;(180˘-50˘)=65˘

C D

33

오른쪽 그림과 같이 점 D를 지나고 AB”에 평행한 직선이 BC”와 만나는 점을 E라고 하면 ABED는 마름모이다.

즉, AB”=DE”=EC”=CD”이므로 △DEC는 정삼각 형이다.

∴ ∠DEC=60˘

따라서 AB”∥DE”이므로

∠B=∠DEC=60˘ (동위각)

∴ ∠A=180˘-60˘=120˘

34

⑤ 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 평행사변형은 직 사각형이다.

35

두 대각선의 길이가 같은 사각형은 ① 정사각형,

③ 직사각형, ⑤ 등변사다리꼴이다.

36

ABCD는 평행사변형이므로 ∠A+∠D=180˘

∴ ∠FAD+∠FDA=;2!;(∠A+∠D)=90˘

즉, △FAD에서

∠AFD=180˘-90˘=90˘

같은 방법으로 하면

∠HEF=∠FGH=∠BHC=90˘

따라서 EFGH는 네 내각의 크기가 모두 90˘이므로 직사각형이다.

④ 두 대각선이 서로 수직으로 만나는 사각형은 마름 모이다.

37

ABCD는 직사각형이므로 AB”∥CD”

∴ ∠ABD=∠CDB (엇각) EBFD는 마름모이므로 EB”=ED”

∴ ∠EBD=∠EDB 즉, ∠ABE=∠a라고 하면

∠D=∠CDB+∠BDE=2∠a+∠a=90˘

따라서 ∠a=30˘이므로

∠x=90˘-30˘=60˘

38

△AEH™△BEF™△CGF™△DGH (SAS 합동) 이므로 EH”=EF”=GF”=GH”

따라서 EFGH는 마름모이다.

B E C

60æ

39

△ABP=;3@;△ABM=;3@;_;2!;△ABC=;3!;△ABC

△ABP=;3!;_15=5(cm¤ )

40

AB”∥DC”이므로 △BCQ=△ACQ AC”∥PQ”이므로 △ACQ=△ACP 이때, △ACP : △ACD=2 : 5이므로

△ACP=;5@;△ACD=;5@;_;2!;` ABCD

△ABP=;5!;` ABCD=;5!;_50=10(cm¤ )

∴ △BCQ=△ACP=10 cm¤

41

△ACD=△ABC=△ABE=28(cm¤ )이므로

△ACD=△ADE+△ACE에서 28=12+△ACE

∴ △ACE=28-12=16(cm¤ ) 이때, AB”∥CD”이므로

△ACE : △AED=CE” : ED”

16 : 12=CE” : 3 ∴ CE”=4 cm

42

BD” : CD”=1 : 2이므로

△ADC=;3@;△ABC=;3@;_12=8(cm¤ ) 이때, AD”∥CE”이므로

△ADE=△ADC=8 cm¤

01

∠BAE=∠DEA (엇각)이므로 △DAE는 DE”=DA”=10 cm인 이등변삼각형이다.

그런데 CD”=8 cm이므로 CE”=DE”-CD”=10-8=2(cm)

또, ∠ABF=∠CFB (엇각)이므로 △CBF는 CF”=CB”=10 cm인 이등변삼각형이다.

∴ EF”=CF”+CE”=10+2=12(cm)

039~041쪽

실력 TEST

0112 cm 0225˘ 03평행사변형 0412 cm 0512 cm¤ 069 cm¤ 0745˘

0836 cm¤ 0990˘ 10직사각형 1156 cm¤

1216 cm¤

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테스트BOOK

06

ED”∥BF”, ED”=BF”이므로 EBFD는 평행사변형

이다. ……❶

또, ED”=;2!; AD”, BF”=;2!; BC”이므로

EBFD=;2!; ABCD=;2!;_36=18 cm¤ ……❷ 오른쪽 그림과 같이 ABCD의

두 대각선의 교점을 O라고 하면

△BOG™△DOH (ASA 합동) 이므로

EGHD= EGOD+△DOH EGHD= EGOD+△BOG EGHD=△EBD=;2!; EBFD

EGHD=;2!;_18=9(cm¤ ) ……^❸

△EIC™△EJD (ASA 합동)

∴ EICJ=△EIC+△ECJ=△EJD+△ECJ

∴ EICJ=△ECD=;4!; ABCD

∴ EICJ=;4!;_12_12=36(cm¤ )

∠APF=180˘-(90˘+65˘)=25˘ ……^❶ 이때, △EPD와 △EBC에서

ED”=EC”, ∠DEP=∠CEB (맞꼭지각),

∠PDE=∠BCE (엇각)이므로

△EPD™△EBC (ASA 합동)

∴ DP”=CB”=AD”

△AOE™△COG (ASA 합동)

∴ EO”=GO”

△ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C

△EBP에서 AC”∥EP”이므로 ∠C=∠EPB (동위각)

05

AD”∥BC”이므로 △DBE=△ABE=12 cm¤

AF”∥DC”이므로 △DBF=△CBF

09

△ABE와 △BCF에서 AB”=BC”,

∠ABE=∠BCF=90˘, BE”=CF”이므로

△ABE™△BCF (SAS 합동) 따라서 ∠BAE=∠CBF이므로

∠AGF=∠BGE

∠AGF=180˘-(∠GBE+∠BEG)

∠AGF=180˘-(∠BAE+∠AEB)

∠AGF=∠ABE=90˘

10

ANCM, MBND는 평행사변형이므로 PN”∥MQ”, MP”∥QN”

이때, NM”을 그으면 AB”=AM”이므로 ABNM은 마름모이다.

∴ ∠MPN=90˘

따라서 MPNQ는 한 내각의 크기가 90˘인 평행사변 형이므로 직사각형이다.

11

BP” : PC”=4 : 3이므로

△ABP=;7$;△ABC

△ABP=;7$;_;2!; ABCD

△ABP=;7$;_;2!;_{;2!;_28_14}

△ABP=56(cm¤ )

12

AO” : OC”=3 : 4이므로

△AOD : △DOC=3 : 4 9 : △DOC=3 : 4

∴ △DOC=12 cm¤ ……❶

△ABO=△DOC=12 cm¤ 이므로

△ABO : △OBC=3 : 4에서 12 : △OBC=3 : 4

∴ △OBC=16 cm¤ ……❷

E C F G

❶△DOC의 넓이 구하기

❷△OBC의 넓이 구하기

50 % 50 %

채점 기준 배점

01

AD”∥BC”이므로 동위각의 크기가 같다.

∴ ∠EAD=∠B=;2!;(180˘-72˘)=54˘

02

^AD”=ED”이므로 ∠DAE=∠DEA=28˘

△ADE에서 ∠ADC=28˘+28˘=56˘

AD”=AC”이므로 ∠ACD=∠ADC=56˘

BC”∥AD””이므로

∠BCA=∠CAD=180˘-(56˘+56˘)=68˘

03

∠B=6∠x라고 하면 ∠C=4∠x 따라서 ∠BAM=∠B=6∠x,

∠MAC=∠C=4∠x이므로 △ABC에서 6∠x+(6∠x+4∠x)+4∠x=180˘

∴ ∠x=9˘

∴ ∠MAC=4∠x=36˘

04

∠BAC=∠x (접은 각), ∠ACB=∠x (엇각)이므로

∠x=;2!;(180˘-54˘)=63˘

05

△ABP와 △ADQ에서

∠B=∠D=90˘, AP”=AQ”, AB”=AD”이므로

△ABP™△ADQ (RHS 합동)

∴ ∠BAP=∠DAQ=;2!;(90˘-60˘)=15˘

∴ ∠BPA=180˘-(90˘+15˘)=75˘

06

△ABD™△AED (RHA 합동)이므로 AE”=AB”=6

∴ EC”=AC”-AE”=10-6=4 ……^❶ DE”=DB”=x라고 하면 △ABC의 넓이는

;2!;_6_8=;2!;_6_x+;2!;_10_x

8x=24 ∴ x=3 ……^❷

042~044쪽

대단원 TEST

01② 02^68˘ 03④ 04^63˘

05③ 066 07④ 08③

09⑤ 10④ 11①, ③ 12③, ⑤

13③ 1454 152 16③

17^{12 cm¤} 18^{9 cm¤}

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테스트BOOK

④ ∠A+∠B=180˘, ∠B+∠C=180˘

①에서 ∠A=∠C

12

① AD”∥BC”이므로 △AEB=△AEC

② EF”∥AC”이므로 △AEC=△AFC

④ AB”∥DC”이므로 △BFC=△AFC=△AEC

13

두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 ABCD AB”=BC”=10 cm이므로 x=10

y=∠ODA=44˘이므로 y=44 ……❷

∴ x+y=10+44=54 ……^❸

15

∠DAC=∠BCA (엇각)이므로 ∠BAC=∠BCA 따라서 △BAC는 BA”=BC”인 이등변삼각형이므로

10

∠DBI=∠CBI이고, ∠DIB=∠CBI (엇각)이므로

△DBI는 DB”= DI”인 이등변삼각형이다.

또, ∠ECI=∠BCI이고, ∠EIC=∠BCI (엇각)이므로

△EIC는 EI”= EC”인 이등변삼각형이다.

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