01② 02③ 03② 0426˘
057 cm 06② 07 ④ 08①
09③ 10① 11② 12③
13D(9, 5) 14 ④ 15 ⑤ 16 ③ 17 ③ 18 마름모 19 ②, ③ 20 ③ 21 27 cm¤ 22 6˘ 23 18˘ 24 9 cm
01
△AEC에서 EA”=EC”이므로∠EAC=∠ECA=∠a라고 하면 △ABC에서 180˘=90˘+3∠a
3∠a=90˘ ∴ ∠a=30˘
따라서 △ABE에서
∠x=180˘-(90˘+30˘)=60˘
02
①, ② 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을②수직이등분하므로 PD”⊥BC”, BD”=CD”
④ △ABP와 △ACP에서
AB”=AC”, ∠BAP=∠CAP, AP”는 공통
∴ △ABP™∠ACP (SAS 합동)
⑤ △PBC에서 PB”=PC”이고
②PD””⊥BC”, BD”=CD”이므로
②∠BPC=2∠BPD
03
△DBC에서 BD”=BC”이므로 ∠BDC=∠C=70˘∴ ∠DBC=180˘-(70˘+70˘)=40˘
△ABC에서 AB”=AC”이므로
∠B=∠C=70˘
∴ ∠ABD=∠B-∠DBC=70˘-40˘=30˘
04
∠ABC=∠ACB=;2!;(180˘-52˘)=64˘이므로∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_64˘=32˘
∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;(180˘-64˘)=58˘
∴ ∠BDC=∠DCE-∠DBC=58˘-32˘=26˘
05
△ABD와 △CAE에서∠ADB=∠CEA=90˘, AB”=CA”
∠ABD=90˘-∠BAD=∠CAE이므로
△ABD™△CAE (RHA 합동)
따라서 AD”=CE”=5 cm, AE”=BD”=12 cm이므로 DE”=AE”-AD”=12-5=7(cm)
06
△POQ와 △POR에서OP”는 공통, ∠PQO=∠PRO=90˘,
∠QOP=∠ROP이므로
△POQ™△POR (RHA 합동)
∴ PQ”=PR”
07
OA”=OB”이므로 ∠OAB=∠OBA=42˘∴ ∠A=42˘+∠x
2(42˘+∠x)=136˘, 42˘+∠x=68˘
∴ ∠x=26˘
08
△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 (6-r)+(8-r)=10 ∴ r=2따라서 색칠한 부분의 넓이는 2_2-;4!;_p_2¤ =4-p(cm¤ )
09
AD”=AF”=x cm라고 하면BE”=BD”=10-x(cm), CE”=CF”=13-x(cm) BE”+CE”=BC”이므로 (10-x)+(13-x)=15 2x=8 ∴ x=4
∴ AD”=4 cm
10
BI”, CI”는 각각 ∠B, ∠C의 이등분선이므로∠DBI=∠CBI, ∠ECI=∠BCI 이때, DE”∥BC”이므로
∠DIB=∠CBI (엇각), ∠EIC=∠BCI (엇각)
∴ ∠DBI=∠DIB,
∴∠ECI=∠EIC 따라서 △DBI, △ECI는 이등변삼각형이다.
즉, DI”=DB”, EI”=EC”이므로
△ADE의 둘레의 길이는
AD”+DE”+EA”=AB”+AC”=6+9=15(cm) 이때, △ADE의 내접원의반지름의길이가2 cm이므로
△ADE=;2!;_2_15=15(cm¤ )
11
∠A+∠B=180˘이므로 ∠A=180˘-60˘=120˘∠FAD=;2!;_120˘=60˘이고, ∠D=∠B=60˘
또, AD”∥FC”이므로
∠EFC=∠FAD=60˘ (동위각), ∠ECF=∠D=60˘
따라서 △ADE, △FEC는 정삼각형이다.
DE”=AD”=9 cm, CD”=AB”=5 cm이므로 CE”=DE”-DC”=9-5=4(cm)
따라서 정삼각형 FEC의 둘레의 길이는 4_3=12(cm)
12
∠B, ∠C의 크기를 각각 ∠b, ∠c라고 하면∠b+∠c=180˘
두 이등변삼각형 ABE, CEF에서
∠AEB=;2!;_(180˘-∠b)
∠CEF=;2!;_(180˘-∠c)
∴ ∠x=180˘-(∠AEB+∠CEF)
∴ ∠x=180˘-;2!;_{(180˘-∠b)+(180˘-∠c)}
∴ ∠x=;2!;_(∠b+∠c)=;2!;_180˘=90˘
13
AD”가 x축과 평행해야 하므로 점 D는 직선 y=5 위 에 있어야 한다.또, AD”=BC”=7이므로 D(2+7, 5)=D(9, 5)
B C
D A
E I
9`cm 6`cm
#해(001~041)중2-2유형 2014.6.4 10:27 AM 페이지026 DK
개념BOOK
14
오른쪽 그림에서 AB”∥DC”이므로
∠ABD=∠BDC (엇각)
∴ ∠ABE=∠EBD
∴ ∠ABE=∠BDF=∠FDC 따라서 ∠EBD=∠FDB (엇각)에서 BE”∥FD”이고, ED”∥BF”이므로
EBFD는 평행사변형이다.
이때, 주어진 조건에서 BE”=ED”이므로 EBFD는 마름모이다.
따라서 △FBD는 FB”=FD”인 이등변삼각형이고,
∠FBD=∠FDB=;3!;_90˘=30˘이므로 x=180-2_30=120
한편, △DFO™△DFC (RHA 합동)이므로 DC”=DO”=;2!; BD”=;2!;_12=6(cm) ∴ y=6
∴ x+y=120+6=126
15
① 두 대각선의 길이가 같으므로 직사각형이다.② 두 대각선이 수직으로 만나므로 마름모이다.
③ 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 마름모이다.
④ 이웃하는 두 변의 길이가 같고, 한 내각의 크기가 90˘이므로 정사각형이다.
⑤ 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 마름모이다.
16
∠BCE=45˘이므로 △BCE에서 45˘+∠EBC=65˘ ∴ ∠EBC=20˘17
△BCD는 이등변삼각형이므로∠BDC=;2!;_(180˘-120˘)=30˘
∴ ∠APB=∠DPH=90˘-30˘=60˘
18
ABCD는 평행사변형이므로 BO”=DO”즉, △BPO™△DPO (SSS 합동)이므로
∠BOP=∠DOP=90˘
따라서 두 대각선이 수직으로 만나므로 ABCD는 마름모이다.
19
마름모의 각 변의 중점을 연결하면 직사각형이 된다.보기 중 직사각형의 성질이 아닌 것은 ②, ③이다.
A
B E D
F C
Oxæ
y`cm
20
△ABH와 △DFH에서 AB”=DC”이고 DF”=DC”이므로 AB”=DF”,∠ABH=∠DFH (엇각),
∠BAH=∠FDH (엇각)이므로
△ABH™△DFH (ASA 합동)
∴ AH”=DH” …… ㉠
같은 방법으로 △ABG™△ECG (ASA 합동)
∴ BG”=CG” …… ㉡
이때, AD”=BC”이므로 ㉠, ㉡에 의하여 AH”=BG”
즉, ABGH는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다.
그런데 AD”=2AB”에서 AH”=AB”이므로 ABGH는 마름모이다.
이때, 마름모의 두 대각선은 수직으로 만나므로
∠FPE=90˘
따라서 △FPE는 직각삼각형이다.
③ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분 한다.
21
AC”∥DE”이므로 △ACD=△ACE ABCD=△ABC+△ACD ABCD=△ABC+△ACE ABCD=△ABEABCD=;2!;_(6+3)_6 ABCD=27(cm¤ )
22
∠BAC=180˘-2∠ABC∠BAC=180˘-2_64˘=52˘
∴ ∠BOC=2∠BAC=2_52˘=104˘
△OBC는 OB”=OC”인 이등변삼각형이므로
∠OCB=;2!;_(180˘-104˘)=38˘ ……❶
△IBC에서 ∠ICB=;2!;_64˘=32˘ ……❷
∴ ∠OCI=∠OCB-∠ICB=38˘-32˘=6˘……❸
❶∠OCB의 크기 구하기
❷∠ICB의 크기 구하기
❸∠OCI의 크기 구하기
40 % 40 % 20 %
채점 기준 배점
23
정오각형의 한 외각의 크기는=72˘이므로
∠AEF=72˘ ……❶
∠AEF=∠CEF=72˘ (접은 각)이므로
∠AEC=2_72˘=144˘
AE”=CE”” (접은 선)이므로 이등변삼각형 EAC에서
∠EAC=;2!;_(180˘-144˘)=18˘ ……❷ 이때, AD”∥BC”이므로
∠ACB=∠EAC=18˘ ……❸