01ㄱ과 ㄹ (AA 닮음), ㄴ과 ㅁ (SAS 닮음), 01ㄷ과 ㅂ (SSS 닮음)
02⑴ △ABCª△CBD (SSS 닮음) 02⑵ △ABCª△EBD (AA 닮음) 03⑴ ;2(; ⑵ :£3™: ⑶ 15
02. 삼각형의 닮음조건
1
-2 9 : A'B'”=3 : 2이므로 A'B'”=6(cm) 12 : B'C'”=3 : 2이므로 B'C'”=8(cm) 따라서 △A'B'C'의 둘레의 길이는 6+8+7=21(cm)유형
02
GH” : G'H'”=9 : 12=3 : 4이므로 두 직육면체의 닮음비는 3 : 4이다.
12 : x=3 : 4이므로 x=16 15 : y=3 : 4이므로 y=20
∴ x+y=16+20=36
2
-1 AC” : A'C'”=9 : 6=3 : 2이므로 두 삼각기둥의 닮음비는 3 : 2이다.6 : x=3 : 2이므로 x=4 y : 8=3 : 2이므로 y=12
∴ x+y=4+12=16
2
-2 두 원뿔 A, B의 모선의 길이의 비는 15 : 18 = 5 : 6 이므로 두 원뿔의 닮음비는 5 : 6이다.즉, 원뿔 A의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라고 하 면 r : 12=5 : 6이므로 r =10
따라서 원뿔 A의 밑면의 둘레의 길이는 2p_10=20p(cm)
유형
03
△ABC와 △EDC에서
∠ABC=∠EDC, ∠C는 공통
∴ △ABCª△EDC (AA 닮음)
⑴ CA” : CE”=AB” : ED”이므로
⑴(4+6) : 5=AB” : 3
⑴5 AB”=30 ∴ AB”=6(cm)
⑵ AB” : ED”=BC” : DC”이므로
⑴6 : 3=(BE”+5) : 6
⑴3(BE”+5)=36, BE”+5=12 ∴ BE”=7(cm)
3
-1 ① △ABC에서 ∠A=70˘이면①∠C=180˘-(50˘+70˘)=60˘
①△DEF에서 ∠E=50˘이면
①∠D=180˘-(50˘+60˘)=70˘
①따라서 ∠C=∠F, ∠B=∠E이므로
①△ABCª△DEF (AA 닮음)
3
-2 △ABC와 △CBD에서∠B는 공통, AB” : CB”=BC” : BD”=2 : 1
∴ △ABCª△CBD (SAS 닮음)
따라서 AC” : CD”=2 : 1이므로 AC” : 3=2 : 1
∴ AC”=6(cm)
3
-3 △ABC와 △DBA에서∠B는 공통, AB” : DB”=BC” : BA”=4 : 3
∴ △ABCª△DBA (SAS 닮음) AC” : DA”=4 : 3이므로 20 : DA”=4 : 3
∴ DA”=15(cm)
3
-4 △ABC와 △EDA에서AD”∥BC”이므로 ∠ACB=∠EAD (엇각) AB”∥DE”이므로 ∠BAC=∠DEA (엇각)
∴ △ABCª△EDA (AA 닮음) AC” : EA”=BC” : DA”이므로 12 : (12-4)=BC” : 10
8 BC”=120 ∴ BC”=15(cm)
3
-5 △BED와 △CFE에서∠B=∠C=60˘ yy㉠
∠BED+∠BDE=120˘,
∠BED+∠CEF=120˘이므로
∠BDE=∠CEF yy㉡
㉠, ㉡에서 △BEDª△CFE (AA 닮음) 정삼각형 ABC의 한 변의 길이가 15 cm이고 DE”=AD”=7 cm이므로
BD”=15-7=8(cm), CE”=15-3=12(cm) 이때, BD” : CE”=ED” : FE”이므로
8 : 12=7 : FE” ∴ FE”=:™2¡:(cm)
∴ AF”=FE”=:™2¡:(cm)
유형
04
△ABD와 △ACE에서
∠ADB=∠AEC=90˘, ∠A는 공통
∴ △ABDª△ACE (AA 닮음) 이때, AD”=20_;5@;=8(cm)이고, AB” : AC”=AD” : AE”이므로
16 : 20=8 : AE” ∴ AE”=10(cm)
∴ BE”=16-10=6(cm)
4
-1 △ADE와 △ACB에서∠ADE=∠ACB=90˘, ∠A는 공통
∴ △ADEª△ACB (AA 닮음) AD” : AC”=DE” : CB”이므로
5 : 8=DE” : 6, 8 DE”=30 ∴ DE”=:¡4∞:(cm)
4
-2 ⁄△ABD와 △ACE에서⁄∠ADB=∠AEC=90˘, ∠A는 공통
⁄∴ △ABDª△ACE (AA 닮음)
¤△ABD와 △FBE에서
⁄∠ADB=∠FEB=90˘, ∠ABD는 공통
⁄∴ △ABDª△FBE (AA 닮음)
‹△FBE와 △FCD에서
⁄∠FEB=∠FDC=90˘,
⁄∠EFB=∠DFC (맞꼭지각)
⁄∴ △FBEª△FCD (AA 닮음)
⁄, ¤, ‹에 의하여
△ABDª△ACEª△FBEª△FCD 따라서 나머지 네 삼각형과 닮음이 아닌 삼각형은
③ △BCD이다
4
-3 ①, ②, ③, ④ △ABHª△CAH (AA 닮음)이므로①AH” : BH”=CH” : AH”에서 AH” ¤ =BH”_CH”
①BH” : AB”=AH” : CA”
①AH” : AB”=CH” : CA”
⑤ △ABCª△HBA (AA 닮음)이므로
①AB” : BC”=HB” : BA” ∴ AB” ¤ =BC”_BH”
4
-4 AD” ¤ =BD”_CD”이므로 12¤ =9_y ∴ y=16 AC” ¤ =CD”_CB”이므로x¤ =16_(16+9)=4¤ _5¤ =(4_5)¤ =20¤
∴ x=20
∴ x-y=20-16=4
4
-5 △ABF와 △DFE에서∠A=∠D=90˘ yy㉠
#해(001~041)중2-2유형 2014.6.4 10:27 AM 페이지030 DK
개념BOOK
∠ABF+∠AFB=90˘, ∠AFB+∠DFE=90˘
∴ ∠ABF=∠DFE yy㉡
㉠, ㉡에서 △ABFª△DFE (AA 닮음) 즉, AB” : DF”=BF” : FE”이므로
9 : (15-12)=15 : FE”
9 FE”=45 ∴ FE”=5(cm)
163~164쪽
실력 EXERCISES
01③ 02③ 0314 cm 0427 cm 056 cm 06④ 07;;∞5¢;; cm 08②
09;;ª7§;; cm 10② 116 cm 12:£2∞: cm
01
AD”” : A'D'”=5 : 10=1 : 2이므로 BC”” : B'C'”=1 : 2, 3 : B'C'”=1 : 2∴ B'C'”=6(cm)
02
ABCDª HIJA이므로 AB”” : HI”=AD”” : HA”AB”” : 3=(4+8) : 4
4 AB”=36 ∴ AB”=9(cm) ABCDª AEFG이므로 AB””” : AE”=AD””” : AG”
9 : AE””=12 : 20 ∴ AE”=15(cm)
∴ BE”=AE”-AB”=15-9=6(cm)
03
△ACB와 △ECD에서 AB”∥DE”이므로∠A=∠E (엇각), ∠B=∠D (엇각)
∴ △ACBª△ECD (AA 닮음)
따라서 AB””” : ED”=AC””” : EC”, 즉 7 : DE”=3 : 6 이므로 3 DE”=42 ∴ DE”=14(cm)
04
△OAB와 △OBC의 닮음비는 OA” : OB”=8 : 12=2 : 3따라서 OB” : OC”=2 : 3, 즉 12 : OC”=2 : 3이므로 OC”=18(cm)
△OBC와 △OCD의 닮음비는 OB” : OC”=2 : 3
따라서 OC” : OD”=2 : 3, 즉 18 : OD”=2 : 3이므로 OD”=27(cm)
05
△FBE와 △FAD에서AD”∥BC”이므로 ∠FBE=∠FAD (동위각)
∠F는 공통
∴ △FBEª△FAD (AA 닮음) 즉, FB” : FA”=BE” : AD”이므로 2 : (2+4)=BE” : 9
6 BE”=18 ∴ BE”=3(cm)
∴ CE”=BC”-BE”=9-3=6(cm)
06
BD”가 접는 선이므로 ∠EBD=∠CBD AD”∥BC”이므로 ∠CBD=∠EDB (엇각)∴ ∠EBD=∠EDB
따라서 △EBD는 이등변삼각형이므로 BF”=FD”=10(cm)
또, △FED와 △ABD에서
∠DFE=∠DAB=90˘, ∠ADB는 공통
∴ △FEDª△ABD (AA 닮음) 즉, FD”” : AD””=EF” : BA”이므로 10 : 16=EF” : 12 ∴ EF”=:¡2∞:(cm)
07
△DEF와 △ABC에서∠DEF=∠BAE+∠ABE
∠DFE=∠CBF+∠ABE=∠ABC
∠DFE=∠CBF+∠BCF
∠DFE=∠ACD+∠BCF=∠ACB
∴ △DEFª△ABC (AA 닮음) DF”” : AC”=3 : 5이므로
EF”” : 7=3 : 5 ∴ EF”=:™5¡:(cm) DE”” : 6=3 : 5 ∴ DE”=:¡5•:(cm) 따라서 △DEF의 둘레의 길이는 :¡5•:+:™5¡:+3=:∞5¢:(cm)
08
△AGE와 △ADC에서∠EAG는 공통
∠AGE=∠ADC=90˘
∴ △AGEª△ADC (AA 닮음) 따라서 AG””” : AD”””=GE” : DC”이므로 5 : 8=GE” : 6 ∴ GE”=:¡4∞:(cm)
09
△ADF와 △ABC에서∠ADF=∠ABC=90˘, ∠A는 공통
∴ △ADFª△ABC (AA 닮음)
정사각형 DBEF의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 AD”” : AB”=DF” : BC”이므로 (6-x) : 6=x : 8 6x=48-8x, 14x=48 ∴ x=:™7¢:
따라서 정사각형 DBEF의 둘레의 길이는 :™7¢:_4=:ª7§:(cm)
10
AD” ¤ =BD”_DC”이므로 4¤ =BD”_6 ∴ BD”=;3*;(cm)∴ △ABD=;2!;_;3*;_4=:¡3§:(cm¤ )
11
AD” ¤ =5_20=100=10¤∴ AD””=10(cm)
점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 AM”=BM”=CM”=;2!; BC”=:™2∞:(cm)
∴ DM”=BM”-BD”=:™2∞:-5=:¡2∞:(cm)
∠ADM=90˘이므로 △ADM의 넓이는 10_:¡2∞:_;2!;=:™2∞:_DE”_;2!;
∴ DE”=6(cm)
12
직각삼각형 DAC에서DE” ¤ =AE”_CE”이므로 3¤ =AE”_4
∴ AE”=;4(;(cm) AD” ¤ =AE”_AC”이므로
AD” ¤ =;4(;_{;4(;+4}=;4(;_:™4∞:={;2#;_;2%;}¤ ={:¡4∞:}¤
∴ AD”=:¡4∞:(cm) DC” ¤ =CE”_CA”이므로
DC” ¤ =4_{4+;4(;}=4_:™4∞:=25=5¤
∴ DC”=5(cm)
따라서 ABCD의 둘레의 길이는 2_{:¡4∞:+5}=:£2∞:(cm)
2. 닮음의 활용
01
AM”=MB”, AN”=NC”이므로 MN”∥BC”∠AMN=∠MBC=50˘ (동위각)이므로 x=50 y=MN”=;2!; BC”=3
02
AM”=MB”, MN”∥BC”이므로 AN”=NC”∴ x=2_4=8
y=BC”=2 MN”=2_6=12
03
⑴ DF”=;2!; BC”=6⑴DE”=;2!; AC”=4, EF”=;2!; AB”=5
⑴∴ (△DEF의 둘레의 길이)=6+4+5=15