함수

정답 및 해설

고등 내신 1등급을 위한

고등수학 기출문제집

2학기 기말 D

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"

함수

Ⅴ

(3) 유리식과 유리함수

⑴ Y

Y™AY ⑵ Y

⑴  ⑵ Y

⑴ 

Y Y ⑵ Y



ㄴ, ㄷ, ㅁ

⑴ \Y]Y인 실수^ ⑵ \Y]Y인 실수^

해설 참조

해설 참조 01

02

03

04 05 06 07 08

p. 010 교과서 예제

01 ^① 02 ^① 03 ^④ 04 ^③ 05 ^③

06 ^③ 07 ^② 08 ^⑤ 09 ^③ 10 ^①

11 ^⑤ 12 ^⑤ 13 ^③ 14 ^④ 15 ^④ 16 ^② 17 ^① 18 ^⑤ 19 ^① 20 ^⑤ 21 ^③ 22 ^③

p. 014 기출 BEST 1회

01 ^② 02 ^① 03 ^④ 04 ^③ 05 ^②

06 ^⑤ 07 ^② 08 ^④ 09 ^③ 10 ^⑤

11 ^④ 12 ^① 13 ^② 14 ^③ 15 ^② 16 ^⑤ 17 ^④ 18 ^② 19 ^④ 20 ^⑤ 21 ^⑤ 22 ^④

p. 019 기출 BEST 2회

01 ^③ 02 ^④ 03 ^④ 04 ^④ 05 ^①

06 ^① 07 ^③ 08 ^② 09 ^③ 10 ^①

11 ^② 12 ^③ 13 ^③ 14 ^⑤ 15 ^② 16 ^⑤ 17 ^③ 18 ^② 19 ^ 20 ^

p. 032 실전문제 1회

01 ^① 02 ^③ 03 ^⑤ 04 ^① 05 ^③

06 ^① 07 ^⑤ 08 ^⑤ 09 ^① 10 ^④

11 ^④ 12 ^④ 13 ^③ 14 ^② 15 ^① 16 ^④ 17 L, 최솟값:  18 ^

p. 036 실전문제 2회

01 ^④ 02 ^③

03 ^④ 04 ^①

p. 024 변형유형 집중공략

01 _^ 02 ^

03 ^{L또는 Ly} 04 ^

p. 028 서술형 What & How 연습문제

01 ^⑤ 02 ^④

03 ^① 04 ^④

05 ^② 06 ^⑤

07 ^⑤ 08 ^②

p. 040 수능형 기출문제 & 변형문제

02

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"

01 ^③ 02 ^④ 03 ^① 04 ^② 05 ^④ 06 ^① 07 ^⑤ 08 ^{②, ③} 09 ^⑤ 10 ^④ 11 ^⑤ 12 ^④ 13 ^③ 14 ^⑤ 15 ^① 16 ^③ 17 ^③ 18 ^③ 19 ^③ 20 ^④ 21 ^③ 22 ^③

p. 050 기출 BEST 1회

01 ^③ 02 ^④ 03 ^⑤ 04 ^① 05 ^③

06 ^④ 07 ^⑤ 08 ^① 09 ^④ 10 ^⑤

11 ^⑤ 12 ^③ 13 ^③ 14 ^① 15 ^③ 16 ^④ 17 ^⑤ 18 ^③ 19 ^② 20 ^⑤ 21 ^⑤ 22 ^⑤

p. 055 기출 BEST 2회

01 ^③ 02 ^③

03 ^② 04 ^⑤

p. 060 변형유형 집중공략

01 ^④ 02 ^③ 03 ^② 04 ^③ 05 ^③

06 ^④ 07 ^① 08 ^② 09 ^⑤ 10 ^④

11 ^② 12 ^② 13 ^⑤ 14 ^⑤ 15 ^② 16 ^④ 17 ^③ 18 ^_ 19 ^

p. 068 실전문제 1회

01 ^ 02 ^{B, C}

03 ^_^ƒNƒ_ 04 ^

p. 064 서술형 What & How 연습문제

01 ^⑤ 02 ^⑤ 03 ^① 04 ^④ 05 ^①

06 ^② 07 ^① 08 ^③ 09 ^③ 10 ^④

11 ^③ 12 ^④ 13 ^⑤ 14 ^① 15 ^⑤ 16 ^② 17 ^⑤ 18 ^L_ ^{또는 L}

19 ^{⑴ G  Yƒ ⑵ }

p. 072 실전문제 2회

01 ^ 02 ^③

03 ^ 04 ^④

05 ^② 06 ^②

07 ^ 08 ^④

p. 076 수능형 기출문제 & 변형문제

(4) 무리식과 무리함수

⑴ Y ⑵ 

BC

⑴ 

 ⑵ YāY Y



⑴ \Y]Yy^ ⑵ \Y]Yƒ^

해설 참조

해설 참조

해설 참조 01

02 03

04 05 06 07 08

p. 046 교과서 예제

(1) 경우의 수 ~ (2) 순열





01 02

p. 082 교과서 예제

순열과 조합

Ⅵ

03

빠른 정답

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"

01 ^③ 02 ^② 03 ^③ 04 ^③ 05 ^⑤

06 ^② 07 ^② 08 ^⑤ 09 ^③ 10 ^①

11 ^② 12 ^② 13 ^② 14 ^③ 15 ^③ 16 ^④ 17 ^④ 18 ^⑤ 19 B, C

20 ⑴  ⑵  ⑶ 

p. 100 실전문제 1회

01 ^③ 02 ^① 03 ^⑤ 04 ^③ 05 ^④

06 ^④ 07 ^④ 08 ^② 09 ^② 10 ^③

11 ^① 12 ^① 13 ^⑤ 14 ^② 15 ^③ 16 ^④ 17 ^② 18 ^③ 19 ^{⑴  ⑵ }

20 ^번째

p. 104 실전문제 2회

01 ^② 02 ^⑤

p. 094 변형유형 집중공략

01 ^ 02 ^

03 ^ 04 ^번째

p. 096 서술형 What & How 연습문제

01 ^③ 02 ^③

03 ^ 04 ^③

p. 108 수능형 기출문제 & 변형문제

(3) 조합

⑴ S ⑵ O

⑴  ⑵ 

⑴  ⑵ 

⑴  ⑵ 

01 02 03 04

p. 112 교과서 예제

01 ^⑤ 02 ^② 03 ^③ 04 ^③ 05 ^③

06 ^① 07 ^④ 08 ^③ 09 ^② 10 ^②

11 ^⑤ 12 ^① 13 ^③ 14 ^③ 15 ^⑤

p. 114 기출 BEST 1회

01 ^⑤ 02 ^② 03 ^④ 04 ^④ 05 ^②

06 ^⑤ 07 ^① 08 ^① 09 ^② 10 ^⑤

11 ^③ 12 ^② 13 ^③ 14 ^③ 15 ^④ 16 ^③ 17 ^③ 18 ^③ 19 ^① 20 ^②

p. 090 기출 BEST 2회

01 ^③ 02 ^④ 03 ^① 04 ^② 05 ^①

06 ^③ 07 ^④ 08 ^⑤ 09 ^② 10 ^③

11 ^② 12 ^③ 13 ^③ 14 ^⑤ 15 ^④ 16 ^⑤ 17 ^④ 18 ^② 19 ^⑤ 20 ^④

p. 086 기출 BEST 1회

⑴  ⑵ 



⑴  ⑵ 

⑴  ⑵ 

⑶  ⑷ !





03 04 05 06

07 08

04

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"

01 ^① 02 ^③ 03 ^② 04 ^⑤ 05 ^③

06 ^④ 07 ^③ 08 ^③ 09 ^② 10 ^②

11 ^④ 12 ^④ 13 ^② 14 ^③ 15 ^④ 16 ^③ 17 ^{해설 참조} 18 ^

p. 126 실전문제 1회

01 ^③ 02 ^① 03 ^① 04 ^② 05 ^⑤

06 ^① 07 ^③ 08 ^⑤ 09 ^④ 10 ^⑤

11 ^② 12 ^④ 13 ^① 14 ^③ 15 ^② 16 ^③ 17 ^ 18 ⑴  ⑵ 

p. 130 실전문제 2회

01 ^⑤ 02 ^⑤

p. 120 변형유형 집중공략

01 ^ 02 ^

03 ^{⑴  ⑵ } 04 ^

p. 122 서술형 What & How 연습문제

01 ^④ 02 ^② 03 ^② 04 ^④ 05 ^①

06 ^④ 07 ^③ 08 ^④ 09 ^⑤ 10 ^①

11 ^④ 12 ^③ 13 ^③ 14 ^⑤ 15 ^⑤

p. 117 기출 BEST 2회

01 ^② 02 ^④

03 ^ 04 ^

p. 134 수능형 기출문제 & 변형문제

05

빠른 정답

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"

함수

Ⅴ

⑴  Y 

YY Y

 Y Y™AY

∴ Y Y™AY

⑵  Y™A 

Y    

Y

  Y

 Y

∴ Y

⑴ Y

Y™A@ Y

Y™AY  Y @ Y

 

∴ 

⑵ Y™A

Y™AY– Y

Y™AY  @Y Y

Y

Y ∴ Y

⑴ 

Y Y  

[  Y

Y]

[  Y 

Y] 

[  Y

Y  Y 

Y] 

[  Y

Y]  Y Y

∴  Y Y

⑵ Y

Y Y Y

 Y™A

Y Y

Y

Y™A

Y

Y Y

∴ Y

Y : Z : 에서 Y

Z

L L로 놓으면 YL, ZL이 므로

YZ

YZ @LL

LL L

L

∴ 

ㄱ, ㄹ. 다항함수이다.

따라서 다항함수가 아닌 유리함수인 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.

01

02

03

04

05 교과서 예제

(3) 유리식과 유리함수

p. 10

①

Y™AY

Y™AY@Y

Y™A–Y™AY

Y™AY

 Y™A @ Y @

 Y

∴ Y

01

기출BEST

1

⑴ \Y]Y인 실수^

⑵ \Y]Y인 실수^

⑴

O 3

5 x

y y= 2 +3

x-5

135 133

정의역: \Y]Y인 실수^

치역: \Z]Z인 실수^

⑵ Z  Y

Y

Å Y

Y  

Y

 이므로 정의역은 \Y]Y인 실수^, 치역은 <Z\Z

인 실수=

∴

O 2 3 x

y

y= x-32x-4 34

12

정의역: \Y]Y인 실수^

치역: <Z\Z

인 실수=

ZY

Y로 놓고 Y에 대하여 풀면 Z YY, ZYZY

ZYZ, YZ

Z

Y와 Z를 서로 바꾸면 ZY

Y  Y

Y   Y

∴ ZY

Y , 06

07

08

- O 1

1 -4

x y

y= -4x-1x-1 14

06

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"

이다.

ㄴ. ZY

Y Y

Y   Y

이므로 함수 ZY

Y의 그래프는 함수 Z

Y의 그래프를 Y축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

ㄷ. ZY

Y  Y Y  

Y 이므로 함수 ZY

Y 의 그래프는 함수 Z

Y의 그래프를 Y축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

따라서 평행이동에 의하여 함수 Z

Y의 그래프와 겹쳐지는 것은 ㄱ, ㄷ이다.

②

ZYL

Y  YL Y  L

Y

이므로 점근선의 방정식은 Y, Z이다. 이 함수의 그래프가 제  사분면을 지나기 위해서는 그림과 같아야 한다.

ΠL

 Y일 때 Z이어야 하므로 L

 , L, L

Œ, 에 의하여 L

따라서 구하는 정수 L의 최댓값은 이다.

∴ 

⑤

점근선의 방정식이 Y, Z이므로 함수의 식을 Z L

Y L …… ㉠ 로 놓을 수 있다. 이때 ㉠의 그래프가 점 , 를 지나므로 L

, L

L을 ㉠에 대입하면 Z 

Y Y

Y Y Y 즉, B, C, D이므로

BCD@@

∴ 

③ ZBY

YC B YCBC

YC BC

YC B 이므로 이 그래프의 점근선의 방정식은 YC, ZB이다.

07

O 2 -3

x y

y= -3x+k+6x-2

08

09

①

주어진 식의 좌변을 통분하면 B

Y C Y 

 BCYBC Y™AY 즉, BCYBC

Y™AY  Y

Y™AY이 Y에 대한 항등식이므로 BC, BC

두 식을 연립하여 풀면 B, C이므로 BC@

∴ 

④



Y Y 

Y Y 

[  Y

Y][ Y 

Y][  Y 

Y]

  Y 

Y

Y Y

 

∴ 

③

Y™AY에서 Y이므로 양변을 Y로 나누면 Y

Y, Y Y

이때 Y™A 

Y™A[Y

Y]A™A이므로 Y™AY

Y 

Y™A [Y™A 

Y™A][Y Y]

@@

∴ 

③ Y

Z

[

L L로 놓으면 YL, ZL, [L이므로 YZZ[[Y

Y™AZ™A[™A L@LL@LL@L

L™A

L™A



∴ 



③

ㄱ. ZY

Y Y Y  

Y 이므로 함수 ZY

Y의 그래프는 함수 Z

Y의 그래프를 Y 축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것 02

03

04

05

06

07

정답 및 해설

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"

따라서 주어진 함수의 그래프는 두 점근선의 교점 C, B를 지 나고 기울기가  또는 인 두 직선에 대하여 대칭이다.

즉, 두 직선 ZY, ZY이 모두 점 C, B를 지나므로 BC, BC

두 식을 연립하여 풀면 B

, C

이므로 C

B

@

∴ 

①

점근선의 방정식이 Y, Z이므로 함수의 식을 Z L

Y L …… ㉠

으로 놓을 수 있다. 이때 ㉠의 그래프가 점 , 를 지나므로  L

, L

L를 ㉠에 대입하면 Z 

Y Y

Y Y

Y

즉, B, C, D이므로 BCD 

∴ 

⑤ ZY

Y  Y

Y   Y

① 정의역은 \Y]Y인 실수^이다.

② 점근선의 방정식은 Y, Z이 다.

③ 그래프는 그림과 같으므로 제, ,  사분면을 지난다.

④ 그래프는 Z† Y, 즉 두 직 선 ZY, ZY에 대하여 대칭이다.

⑤ 그래프는 Z

Y의 그래프를 Y축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

⑤ ZY

Y  Y Y  

Y 이므로 함수 ZY

Y 의 그래프는 함수 Z

Y의 그래프를 Y축 의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

따라서 ƒYƒ에서 함수 ZY Y 의 그래프는 그림과 같다.

Y일 때, Z

, 10

11

- O 3

-2

x y y= 2x-53-x

52 53

12

O 1 2 2 3 5

4 x

y y= 2x+1x-1

Y일 때, Z



즉, ., N이므로 .N

∴ 

③ ZY

Y  Y Y  

Y 이므로 함수 ZY

Y 의 그래프는 함수 Z

Y의 그래프를 Y축 의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 이 때 직선 ZNYN, 즉

ZN Y는 N의 값에 관계 없이 점 , 를 지난다. 따라서 함 수 ZY

Y 의 그래프와 직선 ZNYN가 만나지 않도록 하 는 N의 값의 범위는 Nƒ이다.

∴ Nƒ

함수 ZY

Y 의 그래프와 직선 ZNYN가 만나 지 않아야 하므로

Œ N일 때, Y

Y NYN에서

NY™ANYN

이 이차방정식의 판별식을 %라 하면 %이어야 하므로 %



 N일 때 함수 ZY

Y 의 그래프와 직선 ZNYN는 만 나지 않는다.

Œ, 에 의하여 N의 값의 범위는 Nƒ이다.

∴ Nƒ

[다른 풀이]

④ ZY

Y Y Y  

Y 이므로 함수 ZY

Y의 그래프는 함수 Z

Y의 그래프를 Y축 의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

따라서 ƒYƒ에서 함수 ZY Y의 그래프는 그림과 같고, 두 직선 ZBY, ZCY은 각각 B, C의 값 에 관계없이 점 , 을 지난다.

13

O 2 1

3 x

y

y=mx-3m+2 y= 2x-3x-3

32

14

O 1 1

2 2

3 3

x y

y=bx+1 y=ax+1 y= x+1x-1

08

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"

Œ 직선 ZBY이 점 , 를 지날 때, B, B

 즉, Bƒ



 직선 ZCY이 점 , 을 지날 때, C, C

즉, Cy

Œ, 에 의하여 B의 최댓값은 

, C의 최솟값은 이므로 구하는 값은 





∴ 



④

점 "의 좌표를 [B, 

B] B이라 하면

  #[BL, 

B], $[B, L B]

△"#$의 넓이를 4라 하면 4 

@#"“@$"“

 BLB@[L B

B]



B L@

B L

 L™A 이때 4이므로 



L†, L ∵ L

∴ 

②

점 1의 좌표를 [B, 

B] B라 하면 2 B, , 3[, 

B]이므로

  12“13“ 

BB 

B B 이때 B이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 

B B y|± 

B@ B

@

[단, 등호는 

BB, 즉 B일 때 성립]

따라서 12“13“의 최솟값은 이다.

∴ 

① 1[B, 

B]라 하면 원점과 점 1 사이의 거리는 |± B™A[

B]A|±B™A

B™A

이때 B™A이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 15

16

17

B™A

B™Ay|±B™A@

B™A@

[단, 등호는 B™A

B™A, 즉 B†일 때 성립]

∴ |±B™A

B™Ay

따라서 원점과 점 1 사이의 거리의 최솟값은 이다.

∴ 

⑤

G , G ^ G 

 G ^ G G ^ 

]

 G ^ G G ^ 

]

G ^ G G ^ 즉, G ^O 은 , 

, 

, 이 반복된다.

이때 @이므로 G ^

∴ 

G ^ Y

Y

G ^ YG

@Y

Y 

Y

Y

Y

YY

Y

G ^ YG G ^

@Y

Y

Y

Y

 

Y

G ^ YG G ^

@ 

Y



Y

Y

따라서 함수 G ^ YG ^ YG ^ YUG ^O Y O은 자연수는 항등함수이므로

G ^G ^@

∴ G ^ 

 

∴  [다른 풀이]

① ZBY

Y로 놓고 Y에 대하여 풀면 Z YBY, ZYZBY ZBYZ, YZ

ZB Y와 Z를 서로 바꾸면

ZY

YB ∴ G ^ YY

YB 18

19

09

정답 및 해설

⥊⥐⥤QVLJ! !!࿼ፎ"

이때 CY

YY

YB 에서 B, C이므로 BC@ 

∴ 

⑤ ZBYC

Y 로 놓고 Y에 대하여 풀면 Z YBYC, ZYZBYC ZBYCZ, YCZ

ZB Y와 Z를 서로 바꾸면

ZCY

YB ∴ G ^ YYC YB 즉, BYC

Y YC

YB 이므로 B

이때 함수 G YYC

Y 의 그래프가 점 , 를 지나므로 C

 , C, C

∴ BC@ 

∴ 

BC

 , BC …… ㉠ GG ^에서 함수 ZG ^

BC, BC …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 B, C이므로 BC@ 

∴ 

[다른 풀이]

③ ZY

Y로 놓고 Y에 대하여 풀면 Z YY, ZYZY ZYZ, YZ

Z

Y와 Z를 서로 바꾸면 ZY

Y

∴ H YY

Y  Y Y  

Y 이때 G YY

Y Y Y  

Y에서

함수 ZG Y의 그래프를 Y축의 방향으로 B만큼, Z축의 방향으 로 C만큼 평행이동한 그래프의 식은

Z 

YBC 20

21

이 그래프가 함수 ZH Y의 그래프와 겹쳐지므로 B, C

즉, B, C이므로 BC

∴ 

③

IxGH에서 IHxG ^

ZY

Y로 놓고 Y에 대하여 풀면 Z YY, ZYZY ZYZ, YZ

Z

Y와 Z를 서로 바꾸면 ZY

Y ∴ G ^ YY Y

이때 I YH G ^

@Y Y

Y Y

 Y

YY

Y

즉, BYC

YD Y

Y 에서 B, C, D이므로

∴ 

22

②

Y™AY

YšA @Y™AY

Y™AY– Y™A

Y™AY

 @ Y™AY

@

  Y

∴  Y

①

주어진 식의 좌변을 통분하면 B

Y C Y 

 BCYBC Y™AY 즉, BCYBC

Y™AY  Y

Y™AY이 Y에 대한 항등식이므로 BC, BC

두 식을 연립하여 풀면 B, C이므로 B™AC™A™A™A

∴  01

02

기출

2

10

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"

의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

③ ZY

Y  Y Y  

Y 이므로 함수 Z

Y의 그래프를 Y축의 방향으로 만큼, Z축 의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

④ ZY

Y Y

Y   Y

이므로 함수 Z

Y의 그래프를 Y축의 방향으로 만큼, Z축 의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

⑤ ZY

Y Y

Y  

Y  YÅ



이므로 함수 Z

Y의 그래프를 Y축의 방향으로 

만큼, Z 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

따라서 함수 ZY

Y의 그래프와 겹쳐질 수 있는 것은 ⑤이다.

②

ZYL

Y  YL

Y L

Y  이므로 점근선의 방정식은 Y, Z이다.

이 함수의 그래프가 모든 사분면을 지나 기 위해서는 그림과 같아야 한다.

ΠL, L

 Y일 때 Z이어야 하므로 L, L

Œ, 에 의하여 L

따라서 자연수 L는 , , , …, 의 개이다.

∴ 

④

점근선의 방정식이 Y, Z이므로 함수의 식을 Z L

Y L …… ㉠

으로 놓을 수 있다. 이때 ㉠의 그래프가 점 , 를 지나므로 L

, L

L을 ㉠에 대입하면 Z 

Y Y

Y Y

Y 즉, B, C, D이므로

BCD 

∴ 

③ ZBY

YC B YCBC

YC BC YC B 이므로 이 그래프의 점근선의 방정식은 YC, ZB이다.

07

O -1

3 x y

y=3x+k-10x+1

08

09

④



Y Y   

Y

[ Y 

Y][  Y 

Y][  Y 

Y]

 Y 

Y  Y Y

∴  Y Y

③

Y™AY에서 Y이므로 양변을 Y로 나누면 Y

Y, Y Y

이때 YšA 

YšA[Y

Y]A[Y

Y]šA@, Y™A 

Y™A[Y

Y]A™A

이므로

YšAY™A  Y™A

YšA [YšA 

YšA][Y™A  Y™A]

@@



∴ 

②

YZ

 Z[

 [Y

 L L로 놓으면 YZL, Z[L, [YL 세 식을 연립하여 풀면 YL, ZL, [L 즉, YZZ[[Y

Y™AZ™A[™A L™AL™AL™A

L™AL™AL™A L™A

L™A



∴ 



⑤ ZY

Y Y

Y   Y 이므로 함수 Z

Y의 그래프를 Y축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

① ZY

Y Y Y  

Y 이므로 함수 Z

Y의 그래프를 Y축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

② ZY

Y Y

Y  

Y 

[YÅ]



이므로 함수 Z 

Y의 그래프를 Y축의 방향으로 

만큼, Z축 03

04

05

06

11

정답 및 해설

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"

따라서 주어진 함수의 그래프는 두 점근선의 교점 C, B를 지 나고 기울기가  또는 인 두 직선에 대하여 대칭이다.

즉, 두 직선 ZY, ZY가 모두 점 C, B를 지나므 로

BC, BC 두 식을 연립하여 풀면 B

, C

이므로 C

B

@





∴ 



⑤

점근선의 방정식이 Y, Z이므로 함수의 식을 Z L

Y L …… ㉠

로 놓을 수 있다. 이때 ㉠의 그래프가 점 , 를 지나므로 L

, L

L를 ㉠에 대입하면 Z 

Y Y

Y Y Y 즉, B, C, D이므로

BCD@@

∴ 

④ ZY

Y  Y

Y   Y

④ 함수 Z

Y의 그래프를 Y축의 방 향으로 만큼, Z축의 방향으로 만 큼 평행이동한 것이다.

⑤ 그래프는 그림과 같으므로 모든 사분 면을 지난다.

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

① ZYB

Y  YB

Y B

Y 이므로 함수 ZYB

Y 의 그래프는 함수 ZB

Y 의 그래프를 Y 축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

이때 ƒYƒ에서 함수 ZYB Y 의 최댓값이 이므로 그래프는 그림과 같아 야 한다. 즉, Y일 때, 최댓값 을 가지 므로

B

 , B

10

11

O -1

-4 2

2 x

y= 2x-4x+1 y

12

O -1

2 1

2 x

b y

y=2x+ax+1

Y일 때, 최솟값 C를 가지므로 CB

B, C

∴ BC 

∴ 

②

함수 ZY

Y의 그래프와 직선 ZLY이 한 점에서 만나므 로 Y

YLY에서

이 이차방정식의 판별식을 %라 하면 %이어야 하므로 %L™AL, L L

L ∵ L

∴ 

③ ZY

Y  Y

Y   Y 이므로 함수 ZY

Y 의 그래프는 함수 Z

Y의 그래프를 Y축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이 다. 따라서 ƒYƒ에서 함수

ZY

Y 의 그래프는 그림과 같고, 두 직선 ZBY, ZCY은 각각 B, C의 값에 관계없이 점 , 을 지 난다.

Œ 직선 ZBY이 점 , 을 지날 때, B, B

 즉, Bƒ



 직선 ZCY이 점 , 를 지날 때, C, C

 즉, Cy



BC의 최댓값은 B의 최댓값에서 C의 최솟값을 뺀 값이고,

Œ, 에 의하여 B의 최댓값은 

, C의 최솟값은 

이므로 

[

] 



∴  



②

점 "의 좌표를 [B, 

B] B이라 하면 13

14

O 3 2 1

2 3 4 x

y y=ax+3

y=bx+3 y= 3x-8x-2

15

12

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"

  #[BLL, 

B], $[B, L B]

△"#$의 넓이를 4라 하면 4 

@#"“@$"“



 BLLB@[ L B 

B]





L

B





L

B

 L™A 이때 4이므로 



L†, L ∵ L

∴ 

⑤

점 1의 좌표를 [B, 

BL] BL라 하면

" B, , #[, 

BL]이므로 1"“1#“ 

BLB 

BL BLL 이때 BL이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 

BL BLL y|± 

BL@ BLL

@LL [단, 등호는 

BLBL, 즉 BL일 때 성립]

그런데 1"“1#“의 최솟값이 이므로 L, L

∴ 

④

점 2 B, C가 함수 Z 

Y의 그래프 위의 점이므로 C 

B 즉, 2[B, 

B]

점 1와 점 2 사이의 거리는 |± B™A[ 

B]A|± B™A 

B™A 이때 B™A이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 B™A 

B™Ay|± B™A@ 

B™A@

∴ |± B™A 

B™Ay

등호는 B™A 

B™A일 때 성립하므로

즉, C 

이므로 16

17

BC

∴ 

②

ΠG 

, G ^ 

]











G ^ G G ^ 

, U 즉, O이 홀수일 때, G ^O 

, O이 짝수일 때, G ^O 이 므로 G ^ 



 G , G ^ 즉, G ^ 

Œ, 에 의하여

G ^ G ^ 





∴ 



④ ZCYD

YB로 놓고 Y에 대하여 풀면 Z YBCYD, ZYBZCYD ZCYDBZ, YDBZ

ZC Y와 Z를 서로 바꾸면

ZDBY

YC ∴ G ^ YBYD YC 이때 Y

Y BYD

YC 에서 B, C, D이므로 BCD

∴ 

ZY

Y 로 놓고 Y에 대하여 풀면 Z YY, ZYZY ZYZ, YZ

Z

Y와 Z를 서로 바꾸면 ZY

Y ∴ G YY Y

이때 CYD

YB Y

Y 에서 B, C, D이므로 BCD

∴  [다른 풀이]

18

19

13

정답 및 해설

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"!

⑤ ZYC

YB로 놓고 Y에 대하여 풀면 Z YBYC, ZYBZYC ZYCBZ, YCBZ

Z

Y와 Z를 서로 바꾸면 ZCBY

Y ∴ G ^ YBYC

Y

즉, YC

YBBYC

Y 이므로 B

이때 G ^

C

, C, C

∴ BC@ 

∴ 

⑤

Z BY

YB 로 놓고 Y에 대하여 풀면

ZBYBZ, Y BZ ZB Y와 Z를 서로 바꾸면

Z BY YB

∴ H Y  BY

YBB YBB™AB YB

B™AB YBB 이때 G Y  BY

YB 

YB

B™AB YB B

에서 함수 ZG Y의 그래프를 Y축의 방향으로 Q만큼, Z축의 방 향으로 만큼 평행이동한 그래프의 식은

ZB™AB

YQB B

이 그래프가 함수 ZH Y의 그래프와 겹쳐지므로 QBB, BB

즉, B, Q이므로 BQ

∴ 

④

IxGH에서 IHxG ^

Z Y

Y로 놓고 Y에 대하여 풀면 Z YY, ZYZY ZYZ, Y Z

Z

20

21

22

Y와 Z를 서로 바꾸면 Z Y

Y ∴ G ^ Y Y Y

이때 I YH G ^

Y Y

Y Y

Y

Y

Y Y

Y

Y

즉, BYC

YDY

Y 에서 B, C, D이므로 BCD 

∴ 

유형변형 집중공략 ^{p. 24}

④

주어진 등식이 Y에 대한 항등식이므로 양변에 Y을 대입하면 B„BmBfBeUB}Bƒ~

∴ B„BmBfBeUB}Bƒ~

∴ 

③ ZYC

Y  YC

Y C

Y 이므로 점근선의 방정식은 Y, Z이다.

이때 C가 음수인 경우와 양수인 경우로 나눈다.

Œ C에서

그림과 같이 ƒYƒ에서 Y일 때, 최댓값 를 가져야 한다.

C

, C, C

이때 C이므로 조건을 만족시키지 않는다.

 C에서

그림과 같이 ƒYƒ에서 Y일 때, 최댓값 를 가져야 한다.

C

, C

또, Y일 때, 최솟값 B를 가져야 하 므로



B, B

Œ, 에 의하여 B, C이므로 BC

∴  01

02

-1 O 2

2 x

b y

y= 2x+bx+1

-1O 5

2 2

x a

y y= 2x+bx+1

14

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"!

④

점 1의 Y좌표를 B B로 놓으면

  1[B, 

B], 2 B, , 3[, 

B], 4 ,  즉, 12“[ 

B] 

B, 13“B이므로 직사각형 1342의 둘레의 길이는

 12“13“[ 

BB] 

B B

이때 B이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 

B By|± 

B@ B

[단, 등호는 

B B, 즉 B일 때 성립]

따라서 직사각형 1342의 둘레의 길이의 최솟값은 이다.

∴ 

①

Œ 함수 G의 그래프가 점 , 를 지나므로 G 

즉, G BC

 , BC …… ㉠

 함수 G의 역함수의 그래프가 점 , 를 지나므로 G ^

즉, G BC

 , BC …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 B, C이므로 BC

∴ 

03

04

서술형

How

What

&

oz

G Y 



[ 

Y 

Y] ^…… ❶



[

]

[



]

[



]U

 

[ 

 

] 

<[

][



][



]U[ 

 

]=



[ 

] 

 ^…… ❷

∴ 



01

연습문제

채점기준 배점

❶G Y를 부분분수로 바르게 변형하였다. 3

❷주어진 식의 값을 바르게 구하였다. 3



ZY

Y  Y

Y  

Y …… ❶ 이므로 함수 ZY

Y 의 그래프는 함수 Z

Y의 그래프를 Y축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이 다. 이때 ƒYƒ에서 함수의 그래프는 그림과 같다.

O

-1 2 3

3

x a

b y

y= 3x-13x-3

…… ❷

즉, Y에서 최솟값 B를 가지므로 B

Y에서 최댓값 C를 가지므로 C

∴ BC …… ❸

∴ 

채점기준 배점

❶주어진 함수를 Z L

YQR L 꼴로 바르게 변형하였다. 2

❷주어진 조건에 맞게 함수의 그래프를 바르게 그렸다. 2

❸BC의 값을 바르게 구하였다. 2

L 또는 Ly

"#Δ에서 함수 ZY

Y 의 그래프와 직선 ZLY는

적어도 한 점에서 만나야 한다. …… ❶

Œ L일 때, Y

Y LY에서

LY™ALY

이 이차방정식의 판별식을 %라 하면 %y이어야 하므로 % L™ALy, L™ALy

L Ly, Lƒ 또는 Ly

이때 L이므로 L 또는 Ly …… ❷

 L일 때, 함수 ZY

Y 의 그래프와 직선 ZLY는 만나지 않는

다. ^…… ❸

Œ, 에 의하여 L 또는 Ly …… ❹

∴ L 또는 Ly

채점기준 배점

❶"#Δ이 의미하는 바를 바르게 말하였다. 2

❷L일 때, L의 값의 범위를 바르게 구하였다. 2

❸L일 때, 함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 바르게 말하였다. 2

❹실수 L의 값의 범위를 바르게 구하였다. 1

02

03

15

정답 및 해설

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"!



점 1의 Y좌표를 U U라 하면 1[U, U U ]이므로

  12“U

U , 13“U …… ❶

즉, 직사각형 0213의 넓이는 U

U @U U™AU U 

U

 U 

U …… ❷ 이때 U이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여  U 

U y|± U@  U

@

 [단, 등호는  U 

U, 즉 U일 때 성립]

따라서 직사각형 0213의 넓이의 최솟값은 이다. …… ❸

∴ 

채점기준 배점

❶점 1의 Y좌표를 U라 하고, 12“, 13“의 길이를 각각 바르게 구하였다. 2

❷직사각형 0213의 넓이를 U에 대하여 바르게 나타내었다. 3

❸직사각형 0213의 넓이의 최솟값을 바르게 구하였다. 3

04

③



G Y  Y Y

[ Y 

Y]

∴  G  

G  

G U  G 



[









U 

 

] 

[ 

]



∴ 



④

쓰레기  를 치우는 데 드는 비용이 만 원이므로  B

, B, B

즉, Z Y

Y이므로 Y을 대입하면 Z@

 

01

02

실전문제

1

따라서 쓰레기  를 치우는 데 드는 비용은 만 원이다.

∴ 만 원

④

함수 Z 

Y의 그래프는 그림과 같으므로 Z일 때, Y의 값은  

Y,  Y

Y

, Y

 Z

 일 때, Y의 값은 

  

Y,  Y

, Y, Y

따라서 정의역은 <Y\

ƒYƒ=이므로 정의역에 속하는 정수 Y 는 , , 이고, 이들의 합은 이다.

∴ 

④



ZY로 놓고 Y에 대하여 풀면 YZ Y와 Z를 서로 바꾸면

ZY ∴ G ^ YY 즉, I Y Y

Y Y

Y   Y 따라서 함수 ZI Y의 그래프는 Z

Y의 그래프를 Y축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로

④이다.

① ZY

Y  Y Y  

Y 이므로 함수 ZY

Y 의 그래프를 Y축의 방향으로 Q만큼, Z축 의 방향으로 R만큼 평행이동한 그래프의 식은

Z 

YQR

이 그래프를 직선 ZY에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 Y 

ZQR, YR  ZQ ZQ 

YR, Z 

YRQ

이때 ZY

Y  Y Y  

Y이고



YRQ 

Y이므로 R, Q

즉, Q, R이므로 QR 

∴ 

03

O 1

3 5

x

y y= 1 +3

x-1 103

04

05

16

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"!

③ ZY

Y  Y Y  

Y 이므로 점근선의 방정식은 Y, Z이다.

즉, 함수 ZCYD

YB의 그래프의 점근선의 방정식도 Y, Z

이므로 함수의 식을 Z L

Y L …… ㉠

로 놓을 수 있다. ㉠의 그래프가 점 , 을 지나므로 L, L

L을 ㉠에 대입하면 Z 

Y Y

Y Y

Y Y

Y

즉, B, C, D이므로 BCD 

∴ 

②

ZY

Y  Y

Y  

Y

Z의 값이 자연수이려면 Y은 의 양의 약수이어야 한다.

즉, Y, , , 에서 Y, 

, , 

 Y는 자연수이므로 Y, 

따라서 Y좌표, Z좌표가 모두 자연수인 점의 개수는 이다.

∴ 

③

ZY

Y  Y Y  

Y

ㄴ. 점근선의 방정식은 Y, Z

이다.

ㄷ. 그래프는 그림과 같으므로 모든 사분 면을 지난다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

① ZY

Y Y Y  

Y 이므로 함수 ZY

Y의 그래프는 함수 Z

Y의 그래프를 Y축의 방향으로 만 큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 그 래프이다. 따라서 ƒYƒ에서 함수 ZY

Y의 그래프는 그림과 같고, 직선 ZBY는 원점을 지난 다.

07

08

09

O -1

-2 3

x y y=-2x+3x+1

32

10

O 2 3

2 4

5 x

y y= x+1x-2



Π1

ZY

Y  Y Y  

Y 이므로 함수 ZY

Y 의 그래프의 두 점근선의 교점의 좌 표는 , 이다.

이 점을 Y축의 방향으로 Q만큼, Z축의 방향으로 R만큼 평행 이동한 점의 좌표는 Q, R

이 점을 직선 ZY에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 R, Q

또, ZY

Y  Y Y  

Y 이므로 함수 ZY

Y 의 그래프의 두 점근선의 교점의 좌 표는 , 이다.

R, Q

즉, Q, R이므로 QR 

∴ 

[다른 풀이]

①

함수 ZCY

YB의 그래프가 점 [, 

]에 대하여 대칭이므로 함수의 식을 Z L

Y

 L으로 놓을 수 있다.

Z L Y

L Y

 Y YL

Y

YL

Y 즉, B, C

이므로 BC@



∴ 

ZCY

YB C

 YBBC

 

YB

 BC

 

YB C

 BC

 

 YB

 C



이므로 이 그래프의 두 점근선의 교점의 좌표는 [B

, C

]이 다. 즉, 함수 ZCY

YB의 그래프가 점 [B

, C

]에 대하여 대칭이므로

[B

, C

][, 

] 즉, B, C

이므로 BC@



∴ 

[다른 풀이]

06

17

정답 및 해설

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"!

Œ 직선 ZBY가 점 , 를 지날 때, B, B



 직선 ZBY가 점 , 를 지날 때, B, B



Œ, 에 의하여 

ƒBƒ

 즉, .

, N

이므로 .N







∴ 



②

Œ Yy일 때, Z]Y]

Y Y

Y Y Y  

Y

 Y일 때, Z ]Y]

Y Y

Y  Y

Y

  Y

Œ, 에 의하여 함수 Z]Y]

Y

의 그래프는 그림과 같다. 이때 함수 Z]Y]

Y 의 그래프와 직선 ZL가 서로 다른 두 점에서 만나려

면 그림과 같아야 하므로 실수 L의 값의 범위는 L

∴ L

③ 곡선 Z

Y의 그래프 위의 한 점을 2[B, 

B]라 하면 점 2와 직선 ZY, 즉 YZ 사이의 거리는

\B@ \

ā™A™A 

B@ 

 ∵ B

이때 B이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 B

By|±B@

B

 [단, 등호는 B

B, 즉 B일 때 성립]

∴

B@ 

 y

 

따라서 선분 12의 길이의 최솟값은 이다.

∴ 

11

O 2

-2 1 -1

y=kx y y=|x+2|x-2

12

③ Z Y

Y Y Y  

Y 점 1의 Y좌표를 B B로 놓으면 그림 에서

1[B, 

B], 2 B,  3[, 

B], 4 ,  이때 12“ 

B, 13“B이므로 직사각형 1342의 둘레의 길이는 [ 

BB] 

B B

이때 B이므로 산술평균과 기하평균에 의하여 

B By|± 

B@ B

[단, 등호는 

B B, 즉 B일 때 성립]

따라서 직사각형 1342의 둘레의 길이의 최솟값은 이다.

∴ 

⑤



G Y의 역함수이다.

대칭이므로 두 함수의 그래프의 교점은 함수 ZG Y의 그래프 와 직선 ZY의 교점과 같다.

Y

Y Y, Y™AYY, Y™AY

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 모든 Y의 값의 합은  

∴ 

②

함수 ZG Y의 그래프와 역함수 ZG ^ Y의 그래프의 교점은 함수 ZG Y의 그래프와 직선 ZY의 교점과 같으므로

 YB

B, C가 자연수이므로 이 등식을 만족시키는 순서쌍 B, C는

Œ B, C에서 B, C이므로 , 

 B, C에서 B, C이므로 , 

Œ, 에 의하여 모든 B의 값의 합은 

∴  13

O 1

3 S Q

R P

x y

14

15

18

⥊⥐⥤QVLJ !!࿼ፎ"!

⑤ G ^

B

B, BB, B, B

즉, G ^ 이므로 HxG ^

∴ 

③

O 12

1 3 6

-6 -2 -1

-1

x y

y=f{x}

-32 -52

ƒYƒ에서 주어진 함수의 그래프를 그리면 그림과 같다.

즉, Y일 때, 최댓값 



Y일 때, 최솟값 



 를 갖는다.

따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 [

]



∴ 



②

직선 ZY이 Y축, Z축과 만나는 점을 각각 ", #라 하면

삼각형 0"#의 넓이는 △0"#

@@

함수 ZL

Y의 그래프와 직선 ZY은 모두 직선 ZY에 대하여 대칭이므로 삼각형 0"1와 삼각형 02#의 넓이는 서로 같다. 이때 삼각형 012의 넓이가 이므로

△0"1△02#

 

이때 점 1의 좌표를 B, C라 하면 △0"1

@@C, C

 점 1는 직선 ZY 위의 점이므로 CB, 즉 B

 또, 점 1는 함수 ZL

Y의 그래프 위의 점이므로 LBC

 @





∴ L@

 

∴ 

16

17

18



ZY

Y  Y Y  

Y …… ❶ 이므로 점근선의 방정식은 Y, Z이다.

따라서 주어진 함수의 그래프는 두 점근선의 교점 , 을 지나 고 기울기가  또는 인 두 직선에 대하여 대칭이다. …… ❷ 즉, 두 직선 ZYB, ZYC가 모두 점 , 을 지나므로 B, C

즉, B, C이므로 BC@ …… ❸

∴ 

채점기준 배점

❶주어진 함수의 식을 Z L

YQR L 꼴로 바르게 변형하였다. 2

❷주어진 함수의 그래프가 어떤 직선에 대하여 대칭인지 바르게 말하였

다. 2

❸BC의 값을 바르게 구하였다. 2



즉, C

B에서

CB, BC …… ㉠ …… ❶

 함수 G의 역함수의 그래프가 점 , 를 지나므로 G ^

즉, C

B에서

CB, BC …… ㉡ …… ❷

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 B, C이므로

BC  ^…… ❸

∴ 

채점기준 배점

❶G 임을 이용하여 B, C에 대한 식을 바르게 구하였다. 2

❷G ^ 임을 이용하여 B, C에 대한 식을 바르게 구하였다. 2

❸BC의 값을 바르게 구하였다. 2

19

20

① Y Y

Y

Y

 Y

Y Y Y

 Y

Y Y Y

 Y

Y™AYY™AY Y

 Y

Y Y

Y

∴ Y

01

실전문제

2

19

정답 및 해설

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