∠ABE=∠FDA=60˘+∠a이고,
VII
∠FCE=360˘-(180˘-∠a)-60˘-60˘
∠FCE=60˘+∠a
세 삼각형은 두 쌍의 대응변의 길이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같으므로
△ABE™△FDA™△FCE (SAS 합동)
따라서 AE”=FA”=FE”이므로 △AEF는 정삼각형 이고 ∠EAF=60˘이다.
06
원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 5 : 10=3 : r ∴ r=6따라서 원기둥 B의 밑면의 둘레의 길이는 2p_6=12p(cm)
07
⑤ BC”와 CA”의 끼인 각은 ∠C이고,⑤EF”와 FD”의 끼인 각은 ∠F이므로
⑤∠C=∠F일 때, SAS 닮음조건에 의하여
⑤△ABCª△DEF이다.
08
① ∠A=75˘이면 ∠C=180˘-(45˘+75˘)=60˘∠F=45˘이면 ∠B=∠F, ∠C=∠E이므로
△ABCª△DFE (AA 닮음)
09
△BDE와 △BAC에서 BD” : BA”=6 : 9=2 : 3, BE” : BC”=8 : 12=2 : 3,∠B는 공통
∴ △BDEª△BAC (SAS 닮음) 따라서 DE” : AC”=2 : 3이므로 6 : AC”=2 : 3 ∴ AC”=9(cm)
10
△ADB와 △ABC에서 AB” : AC”=6 : 12=1 : 2,AD” : AB”=(12-9) : 6=1 : 2,
∠A는 공통
∴ △ADBª△ABC (SAS 닮음) 따라서 DB” : BC”=1 : 2이므로 4 : BC”=1 : 2 ∴ BC”=8(cm)
11
△ABC와 △EDC에서∠A=∠DEC, ∠C는 공통
∴ △ABCª△EDC (AA 닮음) 따라서 BC” : DC”=AC” : EC”이므로 (BE”+3) : 4=6 : 3
3(BE”+9)=24, 3BE”=15 ∴ BE”=5(cm)
12
BD”가 접는 선이므로 ∠PBD=∠DBC∠PDB=∠DBC (엇각)이므로 ∠PBD=∠PDB 따라서 △PBD는 이등변삼각형이므로 꼭지각의 이등 분선은 밑변을 수직이등분한다.
∴ BQ”=DQ”=10_;2!;=5(cm) 이때, △PQD와 △BAD에서
∠PQD=∠BAD=90˘, ∠ADB는 공통
∴ △PQDª△BAD (`AA닮음) 따라서 PQ”” : BA”=QD”” : AD”이므로 PQ” : 6=5 : 8 ∴ PQ”=;;£8º;;=;;¡4∞;;(cm)
13
∠DAE=∠DEB=90˘이므로∠ABE+∠EDB=90˘,
∠EDB+∠DEA=90˘
따라서 ∠ABE=∠DEA 이므로 ∠BEA=∠EDB
∴ △ABCª△DBEª△EACª△DEAª△EBA
14
△ABE와 △ADF에서∠AEB=∠AFD=90˘
∠B=∠D (평행사변형의 대각)
∴ △ABEª△ADF (AA 닮음) AB” : AD”=AE” : AF”이므로 12 : AD”=9 : 12
9 AD”=144 ∴ AD”=16(cm)
15
AH” ¤ =BH”_CH”이므로 4¤ =BH”_8∴ BH”=2(cm)
16
BC” ¤ =BD”_BA”이므로 6¤ =4 AB”∴ AB”=9(cm)
17
AD” ¤ =2_8=16=4¤ ∴ AD”=4(cm) 점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 AM”=BM”=CM”=;2!; BC”=;2!;_10=5(cm)∴ DM”=BM”-BD”=5-2=3(cm)
△ADM에서 ∠ADM=90˘이므로
△ADM의 넓이는
;2!;_4_3=;2!;_5_DH” ∴ DH”=;;¡5™;;(cm)
18
△FEC와 △FAB에서∠ECF=∠ABF=90˘, ∠F는 공통
∴ △FECª△FAB (AA 닮음)
B C E F
A D
#해(042~080)중2-2부록 2014.6.4 10:27 AM 페이지068 DK
테스트BOOK 이때, AB”=2AC”이므로 AC”=2x 따라서 △ACD와 △ABC에서
△CAB와 △AEB에서
AC”=BC”이므로 ∠CAB=∠AEB,
∠B가 공통
∴ △CABª△AEB (AA 닮음)
AB”” : EB”=CB”” : AB”=2:1 ∴ AB”=2 EB”
∴ BE”=;2!; AB”=;2!;_;2!; BC”=;4!; BC”
따라서 BE”의 길이는 BC”의 길이의 ;4!;배이다.
07
△ADCª△EFD (AA 닮음)이므로 AD” : EF”=AC” : ED”=4 : 3△DAEª△FEG (AA 닮음)이므로
DE” : FG”=AD” : EF”=4 : 3 yy㉠ AC”=a라고 하면
a : DE”=4 : 3 ∴ DE”=;4#;a 이 식을 ㉠에 대입하면 ;4#;a : FG”=4 : 3 4 FG”=;4(;a ∴ FG”=;1ª6;a
∴ AC” : FG”=a : ;1ª6;a=16 : 9
08
△ABD에서 AE” ¤ =BE”_ED”이므로36=BE”_8 ∴ BE”=;2(;(cm) ……❶ AB” ¤ =BE”_BD”이므로
AB” ¤ =;2(;{;2(;+8}=;2(;_;;™2∞;;= ={;;¡2∞;;}¤
∴ AB”=;;¡2∞;;(cm) ……❷ AD” ¤ =DE”_DB”이므로
AD” ¤ =8{8+;2(;}=8_;;™2∞;;=4_25=2¤ _5¤ =10¤
∴ AD”=10(cm) ……❸
따라서 ABCD의 둘레의 길이는
2_{;;¡2∞;;+10}=35(cm) ……❹ 3¤ _5¤
112532¤
❶BE”의 길이 구하기
❷AB”의 길이 구하기
❸AD”의 길이 구하기
❹ ABCD의 둘레의 길이 구하기
30 % 30 % 30 % 10 %
채점 기준 배점
01
BC”∥DE”이려면 AD” : AB”=AE” : AC” 또는 AD” : DB”=AE” : EC”이어야 한다.① 12 : 6=8 : 4
② (12-4) : 4+6 : 2
③ 5 : 4+6 : 3
④ 3 : 9=2 : 6
⑤ 3 : 2+5 : 2
따라서 BC”∥DE”인 것은 ①, ④이다.
02
10 : 25=x : 20이므로 25x=200 ∴ x=803
4 : (4+8)=x : 6이므로 12x=24 ∴ x=2 2 : 6=1 : y이므로 2y=6 ∴ y=304
EQ”∥BC”이므로 AE” : AB”=EQ” : BC”3 : 5=EQ” : 10 ∴ EQ”=6(cm) EP”∥AD”이므로 EB” : AB”=EP” : AD”
2 : 5=EP” : 6 ∴ EP”=;;¡5™;;(cm)
∴ PQ”=EQ”-EP”=6-;;¡5™;;=;;¡5•;;(cm)
051~056쪽
유형 TEST
01①, ④ 028 03x=2, y=3
04;;¡5•;; cm 057 cm 06;;¡4∞;; cm 076
085 09x=8, y=;;¡2∞;; 1013
114 cm 128 cm 136 cm 14③ 1512 cm 164 cm 1718 cm 186 cm 1922 cm 2036 cm 2164 225 cm
23③ 248 254 cm 2615
2736 cm¤ 289 cm¤ 2915 cm¤ 306 cm 314 cm¤ 3210 cm¤ 3360p cm¤ 3465 cm¤
35;;™3∞;; cm¤ 36320 cm‹ 3757 cm‹ 3837분 3924p cm‹ 404 cm 41②
2. 닮음의 활용
#해(042~080)중2-2부록 2014.6.4 10:27 AM 페이지070 DK
테스트BOOK
05
점 A를 지나고 CD”에 평행한 직선이 EF”, BC”와 만나는 점을 각각 G, H라고 하면GF”=HC”=AD”=5 cm
∴ BH”=BC”-HC”=8-5=3(cm) EG”∥ BH”이므로 AE” : AB”=EG” : BH”
4 : (4+2)=EG” : 3, 6 EG”=12 ∴ EG”=2(cm)
∴ EF”=2+5=7(cm)
06
△ABEª△CDE (AA 닮음) BE” : DE”=6 : 10=3 : 5이므로 BE” : BD”=3 : 8따라서 EF” : 10=3 : 8이므로 8EF”=30 ∴ EF”=;;¡4∞;;(cm)
07
△ABPª△DCP (AA 닮음) 즉, BP” : CP”=12 : 18=2 : 3이므로 2 : 3=(10-x) : x, 2x=3(10-x) 5x=30 ∴ x=608
x : (15-x)=4 : 8이므로8x=4(15-x), 12x=60 ∴ x=5
09
12 : 9=x : 6이므로 9x=72 ∴ x=8 12 : 9=10 : y이므로 12y=90 ∴ y=:¡2∞:10
12 : 8=x : 6이므로 8x=72 ∴ x=9 8 : y=6 : 3이므로 6y=24 ∴ y=4∴ x+y=13
11
9 : 6=(10-DC”) : DC”이므로 9 DC”=6(10-DC”), 9 DC”=60-6 DC”15 DC”=60 ∴ DC”=4(cm)
12
AB” : 12=4 : 6이므로 6 AB”=48 ∴ AB”=8(cm)13
6 : 4=(CD”+3) : CD”이므로4(CD”+3)=6 CD”, 2 CD”=12 ∴ CD”=6(cm)
B C
F A D
4`cm 5`cm
8`cm 2`cmE G
H
14
6 : 4=3 : PC”이므로6PC”=12 ∴ PC”=2(cm) 6 : 4=(5+CQ”) : CQ”이므로 4(5+CQ”)=6CQ”, 20+4CQ”=6CQ”
∴ CQ”=10(cm)
이때, △ABP와 △APQ의 높이는 같으므로 두 삼각 형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다.
∴ △ABP : △APQ=3 : 12=1 : 4
15
AM””=MB””, BC”∥MN”이므로 AN”=NC”즉, AM”””=;2!;AB”, MN”=;2!;BC””, NA”=;2!;CA”이므로 (△AMN의 둘레의 길이)
=;2!;_(△ABC의 둘레의 길이)
=;2!;_24=12(cm)
16
삼각형의 중점연결정리에 의하여△DBC에서 BC”=2PQ”=8(cm)
△ABC에서 MN”=;2!; BC”=4(cm)
17
(△ABC의 둘레의 길이)=24_3=72(cm)△DEF의 각 변의 길이는 △ABC의 각 변의 길이의
;2!;이므로
(△DEF의 둘레의 길이)=;2!;_72=36(cm) 또, △GHI의 각 변의 길이는 △DEF의 각 변의 길이 의 ;2!;이므로
(△GHI의 둘레의 길이)=;2!;_36=18(cm)
18
△AEC에서 AD”=DE”, AF”=FC”이므로 DF”∥EC”, EC”=2DF”=8(cm)△BDF에서 DE”=EB”, DF”∥EP”이므로 EP”=;2!; DF””=2
∴ CP”=8-2=6
19
등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 같으므로 AC”=BD”=11 cm삼각형의 중점연결정리에 의하여 EF”=HG”=;2!; AC”=;;¡2¡;; (cm) EH”=FG”=;2!; BD”=;;¡2¡;; (cm)
∴ (` EFGH의 둘레의 길이)
∴=;;¡2¡;;+;;¡2¡;;+;;¡2¡;;+;;¡2¡;;=22(cm)
20
삼각형의 중점연결정리에 의하여 EH”=FG”=;2!; AC”=8(cm) GH”=EF”=;2!; BD”=10(cm)∴ (` EFGH의 둘레의 길이)
=8+10+8+10=36(cm)
21
AD”∥BC”, AM”=MB”, DN”=NC”이므로 AD”∥MN”∥BC”△ABC에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 x=;2!; BC”=;2!; _16=8
△CDA에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 y=2PN”=2_4=8
∴ xy=8_8=64
22
AD”∥BC”, AM”=MB”, DN”=NC”이므로 AD”∥MN”∥BC”△ABC에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 MF”=;2!; BC”=:¡2∞:(cm)
△ABD에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 ME”=;2!; AD”=;2%;(cm)
∴ EF”=MF”-ME”=:¡2∞:-;2%;=5(cm)
23
③ △ABC가 정삼각형일 때만 AG”=BG”=CG”가 성 립한다.24
CG” : GD”=2 : 1이므로 x=;3!; CD”=;3!;_9=3 점 E는 BC”의 중점이므로 y=BE”=5∴ x+y=3+5=8
25
점 G는 △ABC의 무게중심이므로 12 : GD”=2 : 1, 2GD”=12∴ GD”=6(cm)
점 G'은 △GBC의 무게중심이므로 GG'”=;3@; GD”=;3@;_6=4(cm)
26
점 G가 △ABC의 무게중심이므로 12 : x=2 : 1, 2x=12∴ x=6
△CAD에서 CE”=EA”, AD”∥EF”이므로 삼각형의 중점연결정리에 의하여
y=;2!; AD”=;2!;_(12+6)=9
∴ x+y=6+9=15
27
△GBM=2△GNM=2_3=6(cm¤ )∴ △ABC=6△GBM=6_6=36(cm¤ )
28
△ADC=;2!;△ABC=;2!;_108=54(cm¤ )△DAE=;2!;△ADC=;2!;_54=27(cm¤ ) 이때, 점 G가 △ABC의 무게중심이므로
△EGD=;3!;△DAE=;3!;_27=9(cm¤ )
29
△ADG=;2!;△ABG=;2!;_;3!;△ABC=;6!;△ABC△AEG=;2!;△ACG=;2!;_;3!;△ABC=;6!;△ABC 즉, ADGE=△ADG+△AEG
즉, ADGE=;6!; △ABC+;6!; △ABC 즉, ADGE=;3!;△ABC
즉, ADGE=5(cm¤ )
∴ △ABC=3_5=15(cm¤ )
30
대각선 AC를 그으면 두 점 M, N은 각각 △ABC,△ACD의 무게중심이다.
∴ BD”=3MN”=3_4=12(cm)
△CBD에서 삼각형의 중점연결정리에 의하여 PQ”=;2!; BD”=;2!;_12=6(cm)
#해(042~080)중2-2부록 2014.6.4 10:27 AM 페이지072 DK
테스트BOOK
31
점 P는 △ABC의 무게중심이므로△APO=;6!;_△ABC=;6!;_;2!; ABCD
=;1¡2; ABCD=;1¡2;_48=4(cm¤ )
32
두 대각선 AC, BD의 교점을 R라고 하면 점 P, Q는 각각△ABC와 △ACD의 무게중심 이므로
CMPR=;3!;△ABC=;3!;_;2!; ABCD CMPR=;6!; ABCD=;6!;_30=5(cm¤ ) CNQR=;3!;△ACD=;3!;_;2!; ABCD CMPR=;6!; ABCD=;6!;_30=5(cm¤ )
∴ (오각형 CMPQN의 넓이)=5+5=10(cm¤ )
33
두 원의 둘레의 길이의 비가 2 : 3이므로 닮음비는 2 : 3 이다.따라서 두 원의 넓이의 비는 2¤ : 3¤ =4 : 9이므로 작은 원의 넓이는 195p_;1¢3;=60p`(cm¤ )
34
가장 작은 원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 AN”=r cm, AM”=2r cm, AB”=4r cm이므로 세 원의 닮음비는 AM” : AB” : AC”=1 : 2 : 4 이때,각각을 지름으로 하는 세 원의 넓이의 비는 1¤ : 2¤ : 4¤ =1 : 4 : 16따라서 나누어진 세 부분의 넓이의 비는
1 : (4-1) : (16-4)=1 : 3 : 12이므로 색칠한 부분 의 넓이는
5+12_5=65(cm¤ )
35
△ABCª△ADE (AA닮음)이고 닮음비는 AC” : AE”=5 : 8이므로△ABC : △ADE=5¤ : 8¤ =25 : 64
∴ △ABC : BDEC=25 : (64-25)=25 : 39
△ABC : 13=25 : 39, 13△ABC=325
∴ △ABC=;;™3∞;;(cm¤ )
A
B M C
P RQ D
N
36
두 원기둥의 닮음비가 3 : 4이므로 부피의 비는 3‹ : 4‹ =27 : 64원기둥 ㈏의 부피를 x cm‹ 이라고 하면 27 : 64=135 : x, 27x=8640
∴ x=320
따라서 원기둥 ㈏의 부피는 320 cm‹ 이다.
37
세 원뿔의 닮음비는 1 : 2 : 3이므로 부피의 비는 1‹ : 2‹ : 3‹ =1 : 8 : 27따라서 세 입체도형 A, B, C의 부피의 비는 1 : (8-1) : (27-8)=1 : 7 : 19
이때, 원뿔대 C의 부피를 x cm‹ 이라고 하면 7 : 19=21 : x, 7x=399
∴ x=57
따라서 원뿔대 C의 부피는 57 cm‹ 이다.
38
수면의 높이와 그릇의 높이의 비가 3 : 4이므로 부피의 비는 27 : 64이다. 15 cm까지 물을 채우는 데 27분이 걸렸으므로 그릇에 물을 가득 채우려면64-27=37(분)이 더 걸린다.
39
두 구의 중심을 지나는 단면의 넓이의 비가 4 : 9이므 로 두 구의 닮음비는 2 : 3이다.따라서 두 구의 부피의 비는 8 : 27이므로 구 O의 부피 를 x cm‹ 이라고 하면
8 : 27=x : 81p ∴ x=24p 따라서 구 O의 부피는 24p cm‹ 이다.
40
40(m)=4000(cm)이므로 지도에서 두 지점 사이의 거리를 x cm라고 하면1 : 1000=x : 4000 1000x=4000 ∴ x=4
즉, 지도에서 두 지점 사이의 거리는 4 cm이다.
41
축척이 ;100¡000;이므로 지도에서의 마을의 넓이와 실 제 마을의 넓이의 비는 1¤ : 100000¤ =1 : 10⁄ ‚이때, A마을의 실제 넓이를 x cm¤ 이라고 하면 1 : 10⁄ ‚ =5 : x ∴ x=5_10⁄ ‚
따라서 A마을의 실제 넓이는 5_10⁄ ‚ (cm¤ )=5(km¤ )
01
△PBCª△PNM (AA 닮음)이므로 4 : 10=6 : BC”4 BC”=60 ∴ BC”=15(cm)
△ABC에서 6 : 15=AM” : (AM”+10)이므로 15AM”=6(AM”+10)
9AM”=60 ∴ AM”=:™3º:(cm)
02
8 : AC”=4 : 3이므로04
사다리꼴 EBCF에서 EF”∥GH”∥BC”, FH”=HC”이므로 8=;2!;(x+9) ∴ x=7
즉, △ABF에서 AF”=2_2x=18+x, 3x=18 ∴ x=6
∴ PQRS=;5@; HBFD
∴ PQRS=;5@;_;2!; ABCD=;5!; ABCD
∴ PQRS=;5!;_20=4(cm¤ )
07
BE”=ED”=DF”=FC”=3 cm이므로EF”=6(cm) ……❶
테스트BOOK
이때, AF”=FC”이므로
△DAF=△DCF=30 cm¤
또한, DE”=EC”이므로
△FEC=;2!;△DCF=;2!;_30=15(cm¤ )
09
△GBG'=;3@;△GBM=;3@;_;2!;△GBC△GBG'=;3!;_;3!;△ABC=;9!;_45=5(cm¤ )
10
△GNLª△GBM (AA 닮음)이고 닮음비가 1 : 2이므로 두 삼각형의 넓이의 비는 1 : 4이다.∴ △GBM=4△GNL=4_2=8(cm¤ )
∴ △ABC=6△GBM=6_8=48(cm¤ )
11
OD”를 지름으로 하는 반원을 P, AO”를 지름으로 하는 반원을 Q, AB”를 지름으로 하는 반원을 R라고 하면 P, Q, R의 닮음비는 1 : 2 : 4이므로 넓이의 비는1 : 4 : 16이다. ……❶
반원 P의 넓이와 색칠한 부분의 넓이의 비는
1 : (16-4-1-1)=1 : 10 ……❷
∴ (색칠한 부분의 넓이)=3_10=30(cm¤ ) ……❸
12
세 정사각뿔의 닮음비는 1 : 2 : 3이므로 부피의 비는 1 : 2‹ : 3‹ =1 : 8 : 27즉, 세 입체도형 ㈎, ㈏, ㈐의 부피의 비는 1 : (8-1) : (27-8)=1 : 7 : 19
따라서 입체도형 ㈏와 처음에 주어진 정사각뿔의 부피 의 비는 7 : 27이므로 처음에 주어진 정사각뿔의 부피 를 x cm‹ 라고 하면
7 : 27=84 : x
∴ x=324
따라서 처음에 주어진 정사각뿔의 부피는 324 cm‹ 이다.
❶크기가 서로 다른 세 반원의 넓이의 비 구하기
❷가장 작은 반원의 넓이와 색칠한 부분의 넓이의 비 구하기
❸색칠한 부분의 넓이 구하기
30 %
40 %
30 %
채점 기준 배점
060~062쪽
대단원 TEST
01③, ⑤ 02⑤ 03② 04④ 05;;¡4∞;; cm 069 07;;£4∞;; cm 08③
0914 cm 104 cm 114 12②
13AD”=8 cm, MN”=9 cm 14③ 15;3!; cm 165 cm 17;;¡2∞;; cm¤ 1828 cm¤
19:£;3*;º:p cm‹ 203시간
01
일정한 비율로 확대하거나 축소하여 서로 포개어지는 도형이 아닌 것은 ③, ⑤이다.02
△ABCª△EDB이므로 AB” : ED”=CA” : BE”에서 3 : 6=7 : BE”3 BE”=42 ∴ BE”=14(cm)
∴ CE”=BE”-BC”=14-5=9(cm)
03
△ABC와 △ADE에서∠ABC=∠ADE (엇각),
∠CAB=∠EAD (맞꼭지각)
∴ △ABCª△ADE (AA 닮음) 즉, AB” : AD”=BC” : DE”이므로 20 : 10=24 : DE” ∴ DE”=12(cm)
04
△ABD와 △ACE에서∠ADB=∠AEC=90˘, ∠A는 공통
∴ △ABDª△ACE (AA 닮음) 이때, BE”=x cm라고 하면 10 : 8=5 : (10-x) ∴ x=6 따라서 BE”의 길이는 6 cm이다.