RPM
수학
Ⅱ
정답
과
풀이
0001
집합 A의 원소는 1, 2, {1, 2} ⑴ 1<A ⑵ {1},A ⑶ Δ은 모든 집합의 부분집합이므로 Δ,A ⑷ {{1, 2}},A 답 ⑴ < ⑵ , ⑶ , ⑷ ,0002
⑴ ∴ {1, 2, 3, 4, 5} ⑵ ∴ {0, 1, 2, 3, 4, 6} 답 풀이 참조0003
A=B이려면 a¤ -1=8 a¤ =9려면∴ a=—3 답 —30004
A={1, 2, 5, 10}으로 원소의 개수가 4개이므로 2› =16(개) 답 160005
1, 5를 모두 포함하는 부분집합의 개수는 2› —¤ =2¤ =4(개) 답 40006
2, 10을 포함하지 않는 부분집합의 개수는 2› —¤ =2¤ =4(개) 답 40007
U={1, 2, 3, 4, y, 15} A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} B={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} C={5, 10, 15} ⑴ A'B={1, 2, 3, 4, y, 14, 15} ⑵ BÇ ={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} ⑵∴ BÇ ;C={10} ⑶ B'C={1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15} ⑵∴ A;(B'C)={10} ⑷ B-C={1, 3, 7, 9, 11, 13} ⑵∴ A;(B-C)=Δ 답 풀이 참조0008
⑴ {x|-2…x…5} ⑵ {x|x<-1 또는 x>6} ⑶ Δ ⑷ A'B={x|-2…x…5}이므로 ⑷(A'B)Ç ={x|x<-2 또는 x>5} 답 풀이 참조0009
A;B={1}, C;A=Δ, B;C=Δ이므로 서로소 인 두 집합은 A와 C, B와 C이다. 답 A와 C, B와 C0010
㈎：드모르간의 법칙, ㈏：결합법칙 yy답0011
⑴ (AÇ 'B);A=(AÇ ;A)'(B;A)=Δ'(B;A)=B;A
⑵ (BÇ -A)Ç ;A=(BÇ ;AÇ )Ç ;A=(B'A);A=A ⑶ (A'B)'(AÇ ;BÇ )=(A'B)'(A'B)Ç =U ⑷ [B'(C;B)]Ç ;A=BÇ ;A=A-B 답 ⑴ B;A ⑵ A ⑶ U ⑷ A-B
0012
⑴ n(AÇ )=n(U)-n(A)=60-37=23 ⑵ n(B-A)=n(B)-n(A;B)=40-22=18 ⑶ n(A;BÇ )=n(A-B)=n(A)-n(A;B) =37-22=15 ⑷ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =37+40-22=55⑸ n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç )=n(U)-n(A'B)
=60-55=5
⑹ n(AÇ 'BÇ )=n((A;B)Ç )=n(U)-n(A;B)
=60-22=38 답 ⑴ 23 ⑵ 18 ⑶ 15 ⑷ 55 ⑸ 5 ⑹ 38
0013
n(A'B'C) =n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)-n(B;C) -n(C;A)+n(A;B;C) =50+35+26-9-7-8+4 =91 답 910014
③‘키가 큰’은 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아 니다. 답 ③0015
‘아름다운’, ‘착한’은 기준이 명확하지 않으므로 집합 이 아니다. 따라서 보기 중 집합인 것은 ㄴ, ㄷ의 2개이다. 답 20016
집합 A의 원소는 1, 3, 5이므로0≤A, 3<A, 4≤A, 5<A, 7≤A
따라서 옳은 것은 ②이다. 답 ②
집합
01
Ⅰ.집합과 명제 _ 0 1 2 1 0 1 2 2 0 2 4 3 0 3 6 + 0 1 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 50017
집합 A의 원소는 1, 2, 3, 6, 9, 18이므로1<A, 3<A, 8≤A, 12≤A
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다. 답 ㄱ, ㄷ, ㄹ
0018
따라서 집합 C={2¤ , 2‹ , 2› , y, 2· }이므로 원소의 개수는 8개이다. 답 80019
A={1, 2}, B={0, 2, 4, 6}이므로 오른쪽 표에서 C={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 따라서 집합 C의 원소의 개수는 8개이다. 답 ④0020
집합 C의 원소는 2« 3μ (n, m은 자연수)의 꼴이므로 각각의 수를 소인수분해하면 ① 72=2‹ _3¤ ② 108=2¤ _3‹ ③ 126=2_3¤ _7 ` ④ 144=2› _3¤ ⑤ 162=2_3› 즉, ③은 2와 3의 거듭제곱의 곱만으로 표현되지 않으므로 집 합 C의 원소가 아니다. 답 ③0021
⑴ (6, 2)<A, (-3, -2)<A이므로 (6, 2)와 (-3, -2)를 ax-by=12에 각각 대입하면 6a-2b=12, -3a+2b=12 두 식을 연립하여 풀면 a=8, b=18 ∴ a+b=26 ⑵ -3…2x+1…9에서 -4…2x…8, -2…x…4 -1…x+1…5 ∴ - … … 이때 은 정수이므로 의 값은 0, 1, 2이다. 즉, =0, =1, =2일 때, x의 값은 -1, 1, 3이므로 집합 A={-1, 1, 3}이다. 따라서 집합 A의 모든 원소의 합은 3이다. 답 ⑴ 26 ⑵ 30022
① {3, 6, 9, y}：무한집합 ② {1, 2, 3, y}：무한집합 ③ Δ：유한집합 ④ {4, 8, 12, y, 96}：유한집합 ⑤ {9, 11, 13, y}：무한집합 답 ③, ④ x+1 2 x+1 2 x+1 2 x+1 2 x+1 2 5 2 x+1 2 1 20023
③ {101, 103, 105, 107, y} ④ {20, 21, 22, 23, y} ⑤[;4%;, ;3$;, ;2#;, ;3%;, y] 답 ②0024
② B={0}이면 n(B)=1 답 ②0025
ㄱ. n({0, 1, 2, 3, 4})=5 ㄴ. n({a, b, 3, 4})=4 ㄷ. n({x|x는 18의 양의 약수})=n({1, 2, 3, 6, 9, 18})=6 ㄹ. n(Δ)=0 ㅂ. n({2, 3, 4, 7})-n({1, 2, 3})=4-3=1 답 ㄷ, ㅁ, ㅂ0026
집합 A={Δ, 1, {1}}의 원소는 Δ, 1, {1} ① Δ<A이므로 {Δ},A (참) ② {1}<A (참) ③ {1}<A이므로 {{1}},A (참)④ Δ<A, 1<A이므로 {Δ, 1},A (거짓)
⑤ Δ<A (참) 답 ④
0027
집합 A={1, 2, {1, 2}}의 원소는 1, 2, {1, 2}이므로1<A, {1, 2}<A, {2},A, {1, 2},A
집합 A의 원소의 개수는 3개이므로 옳지 않은 것은 ⑤이다.
답 ⑤
0028
집합 A={Δ, {Δ}, 1, {1, 2}}의 원소는 Δ, {Δ}, 1, {1, 2}이므로Δ<A, {Δ}<A, 1<A, {1, 2}<A {1, {1, 2}},A 또한, 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 Δ,A ㄹ. 2≤A이므로 {Δ, 1, 2}¯A 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ이다. 답 ④
0029
10의 양의 약수는 1, 2, 5, 10이므로 X={1, 2, 5, 10} ㄱ. 0은 집합 X의 원소가 아니므로 0≤X (거짓) ㄴ. 4는 집합 X의 원소가 아니므로 4≤X (참) ㄷ. 1, 10은 집합 X의 원소이므로 {1, 10},X (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ③0030
⑤ {3, 4, 5}¯A 답 ⑤0031
A={1, 2, 4, 8} ① 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 Δ,A ② 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이므로 {1, 2, 4, 8},A 이다. ③ {1}, {2}, {4}, {8}의 4개 ab 2 2¤ 2‹ 2› 2fi 2 2¤ 2‹ 2› 2fi 2fl 2¤ 2‹ 2› 2fi 2fl 2‡ 2‹ 2› 2fi 2fl 2‡ 2° 2› 2fi 2fl 2‡ 2° 2· x+y 1 2 0 1 2 2 3 4 4 5 6 6 7 8④ {1, 2}, {1, 4}, {1, 8}, {2, 4}, {2, 8}, {4, 8}의 6개 ⑤ {1, 2, 4}, {1, 2, 8}, {1, 4, 8}, {2, 4, 8}의 4개 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤
0032
A={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} ①, ②, ③, ④는 집합 A의 부분집합이면서 집합 A와 같지 않 으므로 집합 A의 진부분집합이다. ⑤ {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}=A이므로 집합 A의 진부분 집합이 아니다. 답 ⑤0033
⑴ 집합 A의 원소는 0, 1, {0, 1}이다. 따라서 집합 A의 진부분집합은 Δ, {0}, {1}, {{0, 1}}, {0, 1}, {0, {0, 1}}, {1, {0, 1}}이다.⑵ 집합 A={1, 3, 9}이고 X,A, X+A이므로 집합 X는 집합 A의 진부분집합이다. 따라서 집합 X는 Δ, {1}, {3}, {9}, {1, 3}, {1, 9}, {3, 9} 이다. 답 풀이 참조
0034
A={x|x는 20 이하의 자연수}의 원소 중 5의 배수는 5, 10, 15, 20 구하는 부분집합은 이 네 개의 수로 이루어진 부분집합에서 공 집합을 제외하면 되므로 2› -1=15(개) 답 150035
① 7의 약수는 1, 7이므로 진부분집합의 개수는 2¤ -1=3(개) ② 2‹ -1=7(개) ③ 10보다 작은 홀수는 1, 3, 5, 7, 9이므로 진부분집합의 개 수는 2fi -1=31(개) ④ 15 이하의 3의 배수는 3, 6, 9, 12, 15이므로 진부분집합 의 개수는 2fi -1=31(개) ⑤ 원소가 Δ, 1, 2 {3, 4}의 4개이므로 진부분집합의 개수는 2› -1=15(개) 답 ⑤0036
a<A, b<A에 대하여;aB;의 값은 다음 표와 같다.∴ B=[;4!;, ;3!;, ;2!;, ;3@;, ;4#;, 1, ;3$;, ;2#;, 2, 3, 4]
따라서 집합 B의 원소의 개수는 11개이므로 부분집합의 개수는
2⁄ ⁄ =2048(개) 답 ⑤
0037
집합 P(A)는 집합 A의 모든 부분집합을 원소로 갖는집합이므로
P(A)={Δ, {a}, {b}, {a, b}}
① Δ,A이므로 Δ<P(A) ② {a, b},A이므로 {a, b}<P(A) ③ {a},A이므로 {a}<P(A)
④ {a, b}<P(A)이므로 {{a, b}},P(A)
⑤ 집합 A의 부분집합의 개수는 4개이므로 n(P(A))=4
따라서 옳은 것은 ①이다. 답 ①
0038
1<A, 2<A에서 집합 A는 1, 2를 반드시 포함하고,5≤A에서 5를 포함하지 않는 집합 S의 부분집합이다. 따라서 집합 A의 개수는 2fl —¤ —⁄ =2‹ =8(개) 답 ②
0039
A={1, 2, 7, 14}의 부분집합 중에서 2를 포함하는 진부분집합은 2› —⁄ -1=2‹ -1=7(개) 답 70040
집합 S={0, 3, 5, {3}, 7}의 부분집합 중 집합 X는 5, 7을 포함하는 부분집합이므로 2fi —¤ =2‹ =8(개) 답 80041
⑴ 2« —¤ —¤ =16=2› 이므로 n-4=4 ∴ n=8 ⑵ 2« —¤ -1=63에서 2« —¤ =64=2fl 이므로 n-2=6 ∴ n=8 답 ⑴ 8 ⑵ 80042
집합 A의 부분집합 중에서 홀수만으로 이루어진 집합 {1, 3, 5}의 부분집합을 제외하면 되므로 구하는 집합의 개수 는 2fi -2‹ =32-8=24(개) 답 ④0043
집합 A={3, 6, 9, 12, 15, 18}의 진부분집합 중에서 원소가 모두 짝수인 집합 {6, 12, 18}의 부분집합을 제외하면 되므로 구하는 집합의 개수는 (2fl -1)-2‹ =64-1-8=55(개) 답 550044
집합 A의 부분집합 중에서 집합 A에서 원소 a, c를 제외한 집합 {b, d, e, f}의 부분집합을 제외하면 되므로 구하 는 집합의 개수는 2fl -2› =64-16=48(개) 답 ④ 다른풀이 집합 A의 부분집합 중 a를 포함하는 부분집합의 개 수는 2fl —⁄ =2fi (개) c를 포함하는 부분집합의 개수는 2fl —⁄ =2fi (개) a, c를 모두 포함하는 부분집합의 개수는 2fl —¤ =2› (개) 따라서 a 또는 c를 포함하는 부분집합의 개수는 2fi +2fi -2› =32+32-16=48(개)0045
원소의 개수가 2개이고 1이 반드시 포함된 부분집합은 {1, 3}, {1, 5}, {1, 7}, {1, 9}이므로 4개이다. 마찬가지로 원소의 개수가 2개이고 3, 5, 7, 9가 각각 포함된 부분집합은 4개씩이다. 2 4 6 8 2 1 2 3 4 4 ;2!; 1 ;2#; 2 6 ;3!; ;3@; 1 ;3$; 8 ;4!; ;2!; ;4#; 1 a b따라서 각각의 원소는 모두 4번씩 들어 있고 집합 A의 모든 원소의 총합은 1+3+5+7+9=25이므로 구하는 원소의 총 합은 4_25=100 답 ③
0046
집합 X는 {2, 3, 5, 7, 9}의 부분집합 중에서 원소 2, 7을 반드시 포함하는 부분집합이므로 구하는 집합 X의 개수는 2fi —¤ =2‹ =8(개) 답 ③0047
A={1, 2, 3, y, 10}, B={2, 4, 6, 8}이고 B,X,A를 만족하는 집합 X는 집합 A의 부분집합 중에서 원소 2, 4, 6, 8을 포함하는 집합의 개수와 같으므로 2⁄ ‚ —› =2fl =64(개) 이때 X+A, X+B이므로 구하는 집합 X의 개수는 64-2=62(개) 답 620048
① A={2, 4, 6, y}, B={4, 8, 12, y}서∴ A+B ② A={1, 2, 3, y, 9}에서∴ A+B③ A={1, 2, 3, 6}, B={1, 2, 5, 10}에서∴ A+B ④ B={1, 3, 5, 7, 9}이므로 A=B이다.
⑤ A={2, 4, 6, y}, B={1, 3, 5, y}에서∴ A+B 답 ④
0049
A,B이고 B,A이므로 A=BA={1, 2, 4, 8, 16}이므로 n(B)=5 답 5
0050
A={1, a, 4}, B={1, b¤ , b¤ -1}에서 4<A이므로 4<B이어야 한다. 즉, b¤ =4또는 b¤ -1=4 ⁄ b¤ =4일 때, b=2 (∵ b는 자연수) ⁄ ∴ A=B={1, 4, 3}이므로 a=3 ¤ b¤ -1=4일 때, 만족하는 자연수 b의 값은 없다. ⁄, ¤에서 A=B를 만족하는 a, b의 값은 a=3, b=2이므로 a+b=5 답 50051
A,B, B,A이므로 A=B A={1, 2, 4, 8}, B={1, 4, a+1, b}에서 2<A, 8<A이므로 2<B, 8<B이어야 한다. ⁄ a+1=2, b=8인 경우 ⁄ a=1, b=8에서∴ a+b=9 ¤ a+1=8, b=2인 경우 ⁄ a=7, b=2에서∴ a+b=9 ⁄, ¤에서 a+b=9 답 ④0052
A,B, B,A이므로 A=B3<A, 5<A이므로 3<B, 5<B이어야 한다. 즉, a-2=3, b-2=5또는 a-2=5, b-2=3 따라서 a=5, b=7 또는 a=7, b=5이므로 a+b=12 답 12
0053
⑴ A=B이므로 x+1=2x-1 또는 x+1=3x-2 ∴ x=2 또는 x= ⁄ x=2일 때, A={2, 3, 4}, B={2, 3, 4}이므로 ⁄ A=B를 만족한다. ¤ x= 일 때, A=[ , , ], B=[ , 2, ]이므로 ⁄ A+B이다. 따라서 ⁄, ¤에서 x=2 ⑵ 2<B이므로 2<A이어야 한다. 즉,a¤ +1=2에서 a¤ =1 ∴ a=—1
⁄ a=1일 때, A={1, 3, 2}, B={2, 1, b-1}에서 ⁄ 3=b-1 ∴ b=4 ¤ a=-1일 때, A={1, 3, 2}, B={2, -1, b-1}에서 ⁄ A+B이다. 따라서 ⁄, ¤에서 a=1, b=4이므로 a+b=5 답 ⑴ 2 ⑵ 5
0054
3<A이므로 3<B이어야 한다. 즉, 3=a¤ +2또는 3=a-4 ∴ a=—1 또는 a=7 ⁄ a=1일 때, A={3, -1}, B={3, -3, 1} ⁄ ∴ A¯B ¤ a=-1일 때, A={3, 1}, B={3, -5, 1} ⁄ ∴ A,B ‹ a=7일 때, A={3, -7}, B={51, 3, 1} ⁄ ∴ A¯B 따라서 A,B를 만족하는 a의 값은 -1이다. 답 ②0055
A,B이므로 A의 모든 원소가 B에 속한다. 즉, 1<A에서 1<B이므로 x=1 또는 x-1=1 ∴ x=1 또는 x=2 ⁄ x=1일 때, A={1, 2, 0}, B={3, 1, 0} ⁄ ∴ A¯B ¤ x=2일 때, A={1, 2, 3}, B={1, 2, 3} ⁄ ∴ A,B 따라서 A,B를 만족하는 x의 값은 2이다. 답 2 5 2 3 2 9 4 5 2 3 2 3 2 3 2 단계 채점요소 배점 B,X,A에서 집합 X의 의미 알기 20% B,X,A를 만족하는 집합 X의 개수 구하기 50% X+A, X+B를 만족하는 집합 X의 개수 구하기 30%0056
2<A에서 2<B이므로 2=a-1또는 2=a¤ +3 ∴ a=3 또는 a¤ =-1 ⁄ a=3일 때, A={10, 2}, B={2, 10, 12} ⁄ ∴ A,B ¤ a¤ =-1을 만족하는 실수 a는 존재하지 않는다. 따라서 A,B를 만족하는 a의 값은 3이다. 답 30057
두 집합 A, B에 대하여 B,A를 수직선에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 즉, B,A이려면 a…0이고 3a+4æ3이어야 한다. ∴ - …a…0 따라서 만족하는 정수 a는 0이다. 답 00058
A={3, 4, 6, 8}, B={4, 5, 9}, C={1, 2, 4, 8}이 므로 ① {3, 4, 6, 8};{4, 5, 9}={4} ② {4, 5, 9}'{1, 2, 4, 8}={1, 2, 4, 5, 8, 9} ③ A;B={4}이므로 {4};{1, 2, 4, 8}={4} ④ {3, 4, 5, 6, 8, 9};{1, 2, 4, 8}={4, 8} ⑤ {3, 4, 6, 8}'{4}={3, 4, 6, 8} 답 ④0059
A={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, B={1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}이므로 A;B={1, 2, 4, 8}={x|x는 8의 양의 약수} ∴ p=8 답 ③0060
B={1, 3, 5, 15}이므로 A;B, A'B를 벤 다이어그램으로 나타내면 오 른쪽 그림과 같다. ∴ A={2, 3, 4, 5, 6} 답 {2, 3, 4, 5, 6}0061
집합 A는 원소 2, 3, 6은 반드시 포함하고 4, 7은 포함하지 않아야 한다. 따라서 ③ {2, 3, 4, 6}은 집합 A가 될 수 없다. 답 ③0062
A;B={1, 5}에서 5<A이므로 a¤ +1=5 ∴ a=—2 ⁄ a=2일 때, A={1, 2, 5}, B={0, 1, 5} ⁄ ∴ A;B={1, 5} ¤ a=-2일 때, A={1, 2, 5}, B={0, 5, -7} ⁄ ∴ A;B={5}+{1, 5} 따라서 ⁄, ¤에서 구하는 a의 값은 2이다. 답 ④ A B 2 3 6 4 7 A B 2 4 6 3 1 15 5 1 3 x a 0 3 3a+4 A B0063
A;B={2, 3}에서 3<A, 2<B이므로 a-2=3, b+1=2에서∴ a=5, b=1 ∴ a+b=6 답 ②0064
A;B={1, 2}에서 a-1=2또는 a+2=2, b-4=1 또는 b+1=1 a+2=2이면 이를 만족하는 자연수 a는 존재하지 않으므로 a-1=2에서∴ a=3 또한, b+1=1이면 이를 만족하는 자연수 b는 존재하지 않으 므로 b-4=1에서∴ b=5 따라서 A={1, 2, 5}, B={1, 2, 6}이므로 A'B={1, 2, 5, 6} 답 {1, 2, 5, 6}0065
A;B={-1, 2}에서 2<A이므로 a¤ +a-4=2, a¤ +a-6=0(a+3)(a-2)=0 ∴ a=-3 또는 a=2 ⁄ a=-3일 때, A={-1, 0, 2}, B={2, 6, 9} ⁄ ∴ A;B={2}+{-1, 2} ¤ a=2일 때, A={-1, 0, 2}, B={2, 1, -1} ⁄ ∴ A;B={-1, 2} 따라서 ⁄, ¤에서 구하는 a의 값은 2이다. 답 2
0066
① A'B=A이면 B,A ② (A;B),A ③ A;B=B;A④ A;Δ=Δ, A'Δ=A이므로 (A;Δ),(A'Δ)
⑤ A,B이면 A;B=A 답 ④
0067
A'B=B이므로 A,B이다. 따라서 두 집합 A, B에 대하여 A,B가 성립하기 위해서는 안에 12의 약수가 들어가야 한다. 따라서 안에 들어갈 수 없는 것은 ⑤ 8이다. 답 ⑤0068
㈎에서 {1, 2},A ㈏에서 A,{1, 2, 3, 4} ∴ {1, 2},A,{1, 2, 3, 4} 단계 채점요소 배점 A;B의 의미 이해하기 20% a의 값 구하기 30% b의 값 구하기 30% A'B구하기 20%따라서 집합 A는 {1, 2, 3, 4}의 부분집합 중 원소 1, 2를 반 드시 포함하는 집합이므로 부분집합을 모두 구하면 {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4} 답 {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}
0069
A={1, 2, 3, 6}, B={1, 2, 4, 8}에서 (A;B)'X=X이므로 (A;B),X (A'B);X=X이므로 X,(A'B) ∴ (A;B),X,(A'B) 즉, {1, 2},X,{1, 2, 3, 4, 6, 8} 따라서 집합 X는 {1, 2, 3, 4, 6, 8}의 부분집합 중 원소 1, 2 를 반드시 포함하는 집합이므로 그 개수는 2fl —¤ =2› =16(개) 답 ④0070
U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 주어진 조건을 벤 다이어그램으로 나타 내면 오른쪽 그림과 같다. ③ A;BÇ ={2, 5} 답 ③0071
U={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} A={3, 6, 8, 24}, B={1, 2, 3, 4, 6, 12} ⑴ AÇ =U-A={1, 2, 4, 12} ⑵ A-B={8, 24} ⑶ B;AÇ =B-A={1, 2, 4, 12} ⑷ (A;B)Ç =U-(A;B)=U-{3, 6} ={1, 2, 4, 8, 12, 24} ⑸ UÇ =Δ ⑹ AÇ ;A=Δ 답 풀이 참조0072
A'B={1, 3, 5, 7, 9}, AÇ ={3, 6, 9, 12}에서 A'B의 원소 중에서 3과 9는 AÇ 의 원소이므로 B-A={3, 9} 따라서 집합 B-A의 모든 원소의 합은 3+9=12 답 ②0073
U={1, 2, 3, y, 9}, A-B={2, 5, 7}, (A'B)Ç ={1, 9}이므로 A'B={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} B;AÇ =B-A={4, 8} 이것을 벤 다이어그램으로 나타내면 오 른쪽 그림과 같다. ∴ A;B={3, 6} 따라서 구하는 집합 B는 B={3, 4, 6, 8} 답 {3, 4, 6, 8} U A B 2 5 7 1 9 4 8 3 6 U A B 3 9 12 6 U A B 2 5 1 3 4 7 60074
주어진 조건을 벤 다이어그램 으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ B={1, 3, 5, 7} 답 ④0075
U={1, 2, 3, y, 9} A;BÇ =A-B={4, 9} AÇ ;BÇ =(A'B)Ç ={1, 8} 이므로 주어진 조건을 벤 다이어그램으 로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ A={4, 5, 7, 9} 답 {4, 5, 7, 9}0076
A-B={2} AÇ ;B=B-A={3} 이므로 주어진 조건을 벤 다이어그램으 로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ A;B={4} 답 {4}0077
U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} AÇ 'BÇ =(A;B)Ç ={2, 4, 5, 7} A;BÇ =A-B={2, 4} 이므로 주어진 조건을 벤 다이어그램으 로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ B={1, 3, 6, 7} 답 {1, 3, 6, 7}0078
A-B={1, 2}에서 2<A이므로 x¤ -x=2, (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 ⁄ x=-1일 때, A={1, 2, 3}, B={0, 1, 2}이므로 ⁄ A-B={3}+{1, 2} ¤ x=2일 때, A={1, 2, 3}, B={3, 4, 5}이므로 ⁄ A-B={1, 2} 따라서 ⁄, ¤에서 구하는 x의 값은 2이다. 답 20079
A-B={5, 7}이므로 a+2=7므로∴ a=5따라서 A={1, 5, 7}, B={1, 6, 9}이므로 B-A={6, 9} 답 ③
0080
B-A={2}이므로 2<B 즉, x=2 또는 x+1=2 ⁄ x=2일 때, A={1, 3, 8}, B={1, 2, 3}이므로 ⁄ B-A={2} ¤ x+1=2, 즉 x=1일 때, A={0, 3, 4}, B={1, 2}이므로 U A B 2 4 1 6 3 7 5 U A B 2 4 3 5 1 A 5 7 4 9 2 3 6 B U 1 8 A 2 1 3 5 7 6 B U 4⁄ B-A={1, 2}+{2} 따라서 ⁄, ¤에서 A={1, 3, 8}, B={1, 2, 3}이므로 A'B={1, 2, 3, 8} 답 {1, 2, 3, 8}
0081
A={x|x¤ -x-6=0}={-2, 3} A-B={3}이므로 -2<B이다. 즉, x¤ -ax-10=0의 한 근이 -2이므로 4+2a-10=0 ∴ a=3 B={x|x¤ -3x-10=0}={-2, 5} ∴ A'B={-2, 3, 5} 답 {-2, 3, 5}0082
④ A-B=A;BÇ 답 ④0083
④ U-AÇ =U;(AÇ )Ç =U;A=A⑤ A-AÇ =A;(AÇ )Ç =A;A=A 답 ⑤
0084
(A-B)'X=X이므로 (A-B),X (A'B);X=X이므로 X,(A'B) ∴ (A-B),X,(A'B) 즉, {1, 2, 3},X,{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 따라서 집합 X는 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}의 부분집합 중 원 소 1, 2, 3을 반드시 포함하는 집합이므로 그 개수는 2° —‹ =2fi =32(개) 답 ④0085
A'X=X이므로 A,X 즉, {1, 2},X yy㉠ (B-A);X={3, 5};X={5}이므로 5<X, 3≤X yy㉡ ㉠, ㉡에서 {1, 2, 5},X,{1, 2, 4, 5} 따라서 집합 X의 개수는 2› —‹ =2(개) 답 20086
주어진 벤 다이어그램의 색칠한 부분은 집합 A에서 B;C를 뺀 것과 같다. ∴ A-(B;C)=A;(B;C)Ç =A;(BÇ 'CÇ ) 답 ⑤0087
①, ③ A-B=A;BÇ ② U-A ④ AÇ -B 따라서 색칠한 부분을 나타내는 집합은 ⑤이다. 답 ⑤0088
주어진 벤 다이어그램의 색칠한 부분은 집합 A에서 C-B를 뺀 것과 같다. ∴ A-(C-B) 답 ③0089
A-B A-C 따라서 색칠한 부분은 (A-B);(A-C) 답 ②0090
A,B이면 오른쪽 그림에서 A'B=B, A;B=A A-B=Δ, BÇ ,AÇ A;BÇ =Δ 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤0091
A;B=A이므로A,B, A'B=B, A;BÇ =Δ, BÇ ,AÇ
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ
0092
A'B=A에서 B,A ① A'B=A ②, ③ A;B=B 답 ④, ⑤0093
A,BÇ 을 만족하는 집합을 벤 다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ④ A'B+U일 수도 있다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④0094
각각의 보기를 벤 다이어그램으로 나타내면 U A B U B A U A C B U A C B U A B U A B U A B 단계 채점요소 배점 2<B임을 이해하기 20% x=2일 때, B-A 구하기 30% x+1=2일 때, B-A 구하기 30% A'B 구하기 20%ㄱ. ㄴ. ㄷ. 따라서 보기 중 서로소인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ⑤
0095
두 집합 A, B가 서로소이면 A;B=Δ이다. ① {2, 5, 8};{3, 6, 8, 9}={8} 따라서 두 집합 A, B는 서로소가 아니다.② A={1, 3, 5, 7, y}, B={3, 5, 7, 11, y}이므로
A;B=B 따라서 두 집합 A, B는 서로소가 아니다. ③ 집합 B에서 |x|>1이므로 x>1, x<-1 ∴ A;B=Δ 따라서 두 집합 A, B는 서로소이다. ④ A={2, 3, 5, 7}, B={2, 4, 6, y}이므로 A;B={2} 따라서 두 집합 A, B는 서로소가 아니다. ⑤ A;BÇ =A에서 A-B=A이므로 A;B=Δ
따라서 두 집합 A, B는 서로소이다. 따라서 서로소인 집합으로 묶은 것인 ③, ⑤이다. 답 ③, ⑤
0096
ㄱ. A,B이므로 A-B=Δ ㄴ. ∴ A;(A-B)=Δ (참) ㄴ. A,B이므로 B-A,B ㄴ. 또한, B-A+Δ, B+Δ이므로 B;(B-A)+Δ (거짓) ㄷ. A,B이므로 오른쪽 벤 다이어그램에 서 알 수 있듯이 AÇ 'B=U (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ0097
⑴ k-1<k이므로 A;B=Δ이려면 다음과 같아야 한다. x k-1 2k-1 k k+2 B A U B A Ö = U A B U A B U A B ACÖBC AÖB Ö = U A B U A B U A B A-B AÖB Ö = U A B U A B U A B AÖBC ACÖB 즉, 2k-1…k이어야 하므로 k…1 따라서 k의 최댓값은 1이다. ⑵ A={1, 2, 3, y, 10}, B={1, 3, 5, 7, 9, 11, y}이므로 구하는 부분집합의 개수는 A와 B의 공통 원소인 1, 3, 5, 7, 9를 포함하지 않는 것이므로 2⁄ ‚ —fi =2fi =32(개) 답 ⑴ 1 ⑵ 320098
(A-B)-C=(A;BÇ );CÇ =A;(BÇ ;CÇ ) =A;(B'C)Ç =A-(B'C) 답 ②0099
A-(B-C)=A;(B;CÇ )Ç =A;(BÇ 'C) =(A;BÇ )'(A;C) =(A-B)' 답 ①0100
(AÇ 'B);BÇ =(AÇ ;BÇ )'(B;BÇ ) =(A'B)Ç 'Δ =(A'B)Ç∴ [(AÇ 'B);BÇ ]Ç =[(A'B)Ç ]Ç =A'B 답 ④
0101
(A'CÇ )Ç '(B-A)=(A'CÇ )Ç '(B; ) =(AÇ ;C)'(B;AÇ ) =( ;C)'( ;B) =AÇ ;(C'B) =AÇ (B' ) =(B'C);AÇ = 답 ⑤0102
(B-A);AÇ =(B;AÇ );AÇ =B;(AÇ ;AÇ ) =B;AÇ =B-A B-A=Δ이므로 B,A 따라서 항상 B,A를 만족하는 것은 ① A'B=A이다.답 ①0103
[(A;B)'(A-B)];B =[(A;B)'(A;BÇ )];B =[A;(B'BÇ )];B =(A;U);B=A;B A;B=A이므로 A,B 따라서 항상 A,B를 만족하는 것은 ① A-B=Δ이다. 답 ①0104
[(AÇ ;BÇ )'(B-A)]'BÇ =[(AÇ ;BÇ )'(B;AÇ )]'BÇ (B'C)-A C ; AÇ AÇ AÇ (A;C)=[(AÇ ;BÇ )'(AÇ ;B)]'BÇ =[AÇ ;(BÇ 'B)]'BÇ =(AÇ ;U)'BÇ =AÇ 'BÇ
따라서 AÇ 'BÇ =AÇ 이므로 BÇ ,AÇ , 즉 A,B 답 ②
0105
(A'B);(A;B)Ç =(A'B)-(A;B) ={1, 2, 4, 7} 이고 A={2, 3, 4, 5, 6}이므로 오 른쪽 벤 다이어그램에서 A;B={3, 5, 6}임을 알 수 있다. 따라서 집합 A;B의 모든 원소의 합은 3+5+6=14 답 140106
(A'B);(AÇ 'BÇ ) =(A'B);(A;B)Ç =(A'B)-(A;B) =(A-B)'(B-A)={2, 4, 6} 이고, A={2, 3}이므로 벤 다이어그램 으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 이때 AÇ ;BÇ =(A'B)Ç ={1, 5}이므 로 AÇ ;BÇ 의 모든 원소의 곱은 5이다. 답 50107
U={1, 2, 3, y, 10}A-BÇ =A;(BÇ )Ç =A;B={2, 5}
(A;BÇ )'(AÇ -B)=(A;BÇ )'(AÇ ;BÇ ) =(A'AÇ );BÇ =U;BÇ =BÇ 따라서 BÇ ={1, 3, 6, 9, 10}이므로 B={2, 4, 5, 7, 8} 이것을 벤 다이어그램으로 나타내면 오 른쪽 그림과 같다. ∴ B-A=B-(A;B) ={4, 7, 8} 따라서 집합 B-A의 원소의 개수는 3개이다. 답 3 U A B 2 5 4 8 7 U A B 2 3 4 6 5 1 1 7 2 4 3 5 6 A B U
0108
(A-B)'(A-C)=(A;BÇ )'(A;CÇ ) =A;(BÇ 'CÇ ) =A;(B;C)Ç =A-(B;C)={2, 3, 5, 7} 이고 A={1, 2, 3, 5, 7, 9}이므로 오른쪽 벤 다이어그램에서 1<(B;C), 9<(B;C)임을 알 수 있다. 답 ①0109
n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) n(A;B)=11+10-16=5 n(B;C)=n(B)+n(C)-n(B'C) n(B;C)=10+7-12=5 A;C=Δ에서 A;B;C=Δ이므로 n(A;C)=0, n(A;B;C)=0 ∴ n(A'B'C) ∴=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)-n(B;C) -n(C;A)+n(A;B;C) ∴=11+10+7-5-5-0+0=18 답 ④0110
n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç ) n(AÇ ;BÇ )=n(U)-n(A'B) n(AÇ ;BÇ )=20-n(A'B)=8 ∴ n(A'B)=12 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 12=n(A)+n(B)-4 ∴ n(A)+n(B)=16 답 ⑤0111
A,BÇ 이므로 A;B=Δ 즉, n(A;B)=0 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 10=6+n(B)-0법칙∴ n(B)=4 답 40112
⑴ A,B이므로 A'B'C=B'C n(B'C)=n(B)+n(C)-n(B;C) =8+4-2=10 ∴ n(AÇ ;BÇ ;CÇ )=n((A'B'C)Ç ) =n(U)-n(A'B'C) =n(U)-n(B'C) =30-10=20 ⑵ 두 집합 A와 B가 서로소, 즉 A;B=Δ이므로 집합 A, B, C는 오른쪽 벤 다이어그램과 같다. A;B=Δ에서 A;B;C=Δ n(A;B)=0, n(A;B;C)=0 U A B C U A B C 1 9 단계 채점요소 배점 주어진 집합을 간단히 하기 40% 집합 B 구하기 20% 집합 B-A 구하기 30% 집합 B-A의 원소의 개수 구하기 10%n(CÇ )=n(U)-n(C)에서 11=21-n(C) ∴ n(C)=10 n(A'C)=n(A)+n(C)-n(A;C)에서 11=3+10-n(A;C) ∴ n(A;C)=2 n(B'C)=n(B)+n(C)-n(B;C)에서 14=7+10-n(B;C) ∴ n(B;C)=3 ∴ n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C) -n(A;B)-n(B;C)-(C;A) +n(A;B;C) =3+7+10-0-3-2+0 =15 답 ⑴ 20 ⑵ 15
0113
음악을 좋아하는 학생의 집합을 A, 미술을 좋아하는 학생의 집합을 B라 하면 n(A)=16, n(B)=19, n(A;B)=9 따라서 음악을 좋아하거나 미술을 좋아하는 학생 수는 n(A'B)이므로 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =16+19-9 =26 답 ③0114
닭을 기르는 가구의 집합을 A, 토끼를 기르는 가구의 집합을 B라 하면 n(A)=150, n(B)=113, n(A'B)=220 따라서 닭과 토끼를 모두 기르는 가구 수는 n(A;B)이므로 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) =150+113-220 =43 답 ②0115
A문제를 푼 학생의 집합을 A, B문제를 푼 학생의 집 합을 B라 하면 n(A)=23, n(B)=18, n(A'B)=30 따라서 두 문제를 모두 푼 학생 수는 n(A;B)이므로 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) =23+18-30 =11 답 11명0116
50이하의 자연수 중 3의 배수의 집합을 A, 5의 배수 의 집합을 B라 하면 A;B는 15의 배수의 집합이고 n(A)=16, n(B)=10, n(A;B)=3 이때 3의 배수 또는 5의 배수인 수의 개수는 n(A'B)이므로 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =16+10-3 =23 답 ①0117
n(A-B)=n(A)-n(A;B)이므로 5=18-n(A;B)므로∴ n(A;B)=13 ∴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =18+20-13 =25 따라서 색칠한 부분이 나타내는 집합은 (A'B)Ç 이므로 n((A'B)Ç )=n(U)-n(A'B)=30-25=5 답 ②0118
n(A;BÇ )=n(A-B)=n(A'B)-n(B) =15-7=8 답 80119
n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç ) n(AÇ ;BÇ )=7 주어진 집합의 원소의 개수를 벤 다이 어그램에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ n(A)=n(U)-n(B-A)-n((A'B)Ç ) =43-16-7 =20 답 200120
n(U-B)=n(U)-n(B)에서 14=26-n(B) ∴ n(B)=12 n(A-B)=n(A)-n(A;B)에서 10=17-n(A;B) ∴ n(A;B)=7 따라서 색칠한 부분이 나타내는 집합은 B-A이므로 n(B-A)=n(B)-n(A;B) =12-7 =5 답 50121
30명의 학생 전체의 집합을 U, 핸드폰을 보유한 학생 의 집합을 A, MP3를 보유한 학생의 집합을 B라 하면n(U)=30, n(A)=25, n(B)=20, n(AÇ ;BÇ )=4 n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç )=n(U)-n(A'B)에서
n(A'B)=30-4=26 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 26=25+20-n(A;B)∴∴∴ n(A;B)=19 이때 MP3만 보유한 학생의 집합은 B-A이므로 n(B-A)=n(B)-n(A;B) =20-19=1 답 1명 A B U 16 43 7 단계 채점요소 배점 두 문제 A, B를 맞힌 학생의 집합을 각각 A, B로 놓기 20% n(A), n(B), n(A'B) 구하기 30% 두 문제를 모두 푼 학생 수 구하기 50%
0122
1교시 수학을 신청한 학생의 집합을 A, 2교시 영어를 신청한 학생의 집합을 B라 하면 n(A)=23, n(B)=20 또한, 모든 학생이 1교시와 2교시 중 적어도 하나를 신청하였 으므로 n(A'B)=35 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 35=23+20-n(A;B)교시∴ n(A;B)=8 이때 1교시 수학만 신청한 학생의 집합은 A-B이므로 n(A-B)=n(A)-n(A;B)=23-8=15 답 15명0123
50명의 학생 전체의 집합을 U, 농구와 축구를 좋아하 는 학생의 집합을 각각 A, B라 하면n(U)=50, n(A)=27, n(B)=34, n(A;B)=19
∴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)
=27+34-19 =42
두 종목을 모두 좋아하지 않는 학생의 집합은 AÇ ;BÇ 이므로
n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç )=n(U)-n(A'B) =50-42 =8 답 8명
0124
n(A'B'C) =n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)-n(B;C) -n(C;A)+n(A;B;C) =27+21+17-8-5-6+2 =48 ⑴ 영어, 일어, 중국어를 하나도 못하는 학생의 집합은 AÇ ;BÇ ;CÇ 이므로 전체 학생의 집합을 U라 하면 ⑴n(AÇ ;BÇ ;CÇ )=n(U)-n(A'B'C) =55-48 =7 ⑵ 영어와 일어만을 할 수 있는 학생의 집합은 오른쪽 벤 다이어그램의 어두 운 부분과 같다. ⑴따라서 구하는 학생 수는 ⑴n(A;B)-n(A;B;C) ⑴=8-2=6 답 ⑴ 7명 ⑵ 6명0125
40명의 학생 전체의 집합을 U, 음악과 영화를 좋아하 는 학생의 집합을 각각 A, B라 하면 n(U)=40, n(A)=26, n(B)=18 ⁄n(A;B)…n(A), n(A;B)…n(B)이므로 ⁄n(A;B)…18 ¤n(A'B)…n(U)이므로 ⁄n(A)+n(B)-n(A;B)…n(U) ⁄26+18-n(A;B)…40영어∴ 4…n(A;B) U A B C ⁄, ¤에 의하여 4…n(A;B)…18 따라서 M=18, m=4이므로 M-m=14 답 140126
n(B-A)=n(B)-n(A;B)이므로 n(B-A)의 최솟값은 n(A;B)가 최댓값을 가질 때이다. n(A;B)…n(A), n(A;B)…n(B) 이므로 n(A;B)…25 따라서 n(A;B)의 최댓값이 25이므로 n(B-A)의 최솟값 은 30-25=5 답 50127
50명의 학생 전체의 집합을 U, 두 종류의 참고서 A, B를 사용하는 학생의 집합을 각각 A, B라 하면 n(U)=50, n(A)=35, n(B)=30 n(A'B)…n(U)이므로 n(A)+n(B)-n(A;B)…n(U) 35+30-n(A;B)…50모두∴ n(A;B)æ15 따라서 두 종류의 참고서를 모두 사용하는 학생은 최소 15명이 다. 답 ②0128
n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 ⁄n(A'B)의 최댓값은 n(A;B)가 최소일 때이다. ⁄n(A;B)æ13에서 n(A;B)=13일 때 ⁄n(A'B)=35+28-13=50 ¤n(A'B)의 최솟값은 n(A;B)가 최대일 때이다. ⁄n(A;B)…n(A), n(A;B)…n(B)에서 ⁄n(A;B)…28이므로 n(A;B)=28일 때 ⁄n(A'B)=35+28-28=35 ⁄, ¤에서 최댓값과 최솟값의 합은 50+35=85 답 850129
A={x|x¤ -4x+3…0} ={x|(x-1)(x-3)…0} ={x|1…x…3} A;B=Δ, A'B={x|1…x<5}이므로 오른쪽 그림에서 B={x|3<x<5} ={x|(x-3)(x-5)<0} ={x|x¤ -8x+15<0} 따라서 a=-8, b=15이므로 a+b=7 답 70130
A={x||x-1|<a} ={x|-a<x-1<a} ={x|-a+1<x<a+1} B={x|x¤ -2x-15<0} ={x|(x+3)(x-5)<0} ={x|-3<x<5} A;B=A,즉 A,B이므로 B A 3 5 x 1오른쪽 그림에서 -a+1æ-3, a+1…5 ∴ a…4 따라서 a의 최댓값은 4이다. 답 ④
0131
A-B=A;BÇ이고 BÇ ={x|(x+a)(x-3)>0} A={x|x¤ -5x+4<0} ={x|(x-1)(x-4)<0} ={x|1<x<4} A;BÇ ={x|3<x<4}이려면 오른쪽 그림에서 -a…1그림∴ aæ-1 답 aæ-10132
A={x|x¤ -4x+4æ0}={x|(x-2)¤ æ0} ={x|x는 모든 실수} B={x|x¤ -3x>0}={x|x(x-3)>0} ={x|x<0 또는 x>3} B'C=A, B;C={x|-1…x<0}이므로 오른쪽 그림에서 C={x|-1…x…3} ={x|(x+1)(x-3)…0} ={x|x¤ -2x-3…0} 따라서 a=-2, b=-3이므로 ab=6 답 ①0133
(A¡•'A£§);(A£§'A™¢) =(A£§'A¡•);(A£§'A™¢) =A£§'(A¡•;A™¢) =A£§'A¶™ =A£§ 답 ④0134
(N•'N¡™),N˚에서 N•,N˚, N¡™,N˚이므로 k는 8의 약수이고, 12의 약수이다. 따라서 k는 8과 12의 공약수이므로 이를 만족하는 k의 최댓값 a는 8과 12의 최대공약수 4이다.이이∴ a=4 또한, (N£;N¢).N˚를 만족하는 k의 최솟값 b는 3과 4의 최소공배수이므로 b=12 ∴ a+b=4+12=16 답 160135
A£'(A¢;A∞)=A£'A™º 여기서 A£은 100 이하의 자연수 중에서 3의 배수의 집합, A™º은 100 이하의 자연수 중에서 20의 배수의 집합이다. ∴ n(A£'A™º)=n(A£)+n(A™º)-n(A£;A™º) =n(A£)+n(A™º)-n(A§º) =33+5-1 =37 답 37 B B C 3 x -1 0 BÇ BÇ A x -a 1 3 4 x -3 -a+1 a+1 B A 50136
① A△B=(A'B)-(A;B) =(B'A)-(B;A)=B△A ② A△Δ=(A'Δ)-(A;Δ)=A-Δ=A ③ A△AÇ =(A'AÇ )-(A;AÇ )=U-Δ=U ④ A△U=(A'U)-(A;U)=U-A=AÇ ⑤ A△A=(A'A)-(A;A)=A-A=Δ 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④0137
x와 6-x가 모두 자연수이므로 xæ1, 6-xæ1배수∴ 1…x…5 따라서 집합 S는 1, 2, 3, 4, 5 중의 어떤 원소들로 구성되어 야 한다. ① 5<S이면 6-5=1<S ② 원소가 1개인 집합 S는 {3}으로 존재한다. ③ 원소가 2개인 집합 S는 {1, 5}, {2, 4}의 2개이다. ④ 원소가 3개인 집합 S는 {1, 3, 5}, {2, 3, 4}의 2개이다. ⑤ 원소의 개수가 가장 많은 집합 S는 {1, 2, 3, 4, 5}로 원소 의 개수가 5개이다. 답 ⑤0138
① 원소 7은 3과 5의 합의 꼴로 고칠 수 없다. ①∴ 7≤S ② 3<S, 5<S이므로 3+5=8<S ③ 3<S이므로 3+(3+3)=9<S ④ 5<S이므로 5+5=10<S ⑤ 3<S, 5<S이므로 (3+3)+5=11<S 답 ①0139
집합 A의 모든 원소는 자연수이므로aæ1, 8-aæ1므로∴ 1…a…7
a=1이면 7<A, a=2이면 6<A
a=3이면 5<A, a=4이면 4<A
a=5이면 3<A, a=6이면 2<A
a=7이면 1<A 따라서 집합 A는 1과 7, 2와 6, 3과 5, 4를 원소로 갖는 집합 의 부분집합에서 공집합을 제외한 것이므로 구하는 집합 A의 개수는 2› -1=15(개) 답 15 다른풀이이집합 A는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 중 어떤 원소로 이루 어진 집합이다. ⁄집합 A의 원소의 개수가 1개일 때 ⁄{4} ¤집합 A의 원소의 개수가 2개일 때 ⁄{1, 7}, {2, 6}, {3, 5} ‹집합 A의 원소의 개수가 3개일 때 ⁄{1, 4, 7}, {2, 4, 6}, {3, 4, 5} ›집합 A의 원소의 개수가 4개일 때 ⁄{1, 2, 6, 7}, {1, 3, 5, 7}, {2, 3, 5, 6}
fi집합 A의 원소의 개수가 5개일 때 ⁄{1, 2, 4, 6, 7}, {1, 3, 4, 5, 7}, {2, 3, 4, 5, 6} fl집합 A의 원소의 개수가 6개일 때 ⁄{1, 2, 3, 5, 6, 7} ‡집합 A의 원소의 개수가 7개일 때 ⁄{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 따라서 집합 A의 개수는 15개이다.
0140
집합 A의 원소는 자연수이고, <A이므로 x가 될 수 있는 수는 64의 양의 약수인 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64이다. ∴ B={1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}, C={8} ∴ B-C={1, 2, 4, 16, 32, 64} 답 {1, 2, 4, 16, 32, 64}0141
집합 A={Δ, a, b, {c}}의 원소는 Δ, a, b, {c}이므로 {Δ, b},A이다. 답 ③0142
① n({ㄱ, ㄴ, ㄷ})-n({ㄹ, ㅁ})=3-2=1 ② n({1})+n({3})=1+1=2 ③ n({x, y})=n({8, 9})=2 ④ n(A)=n(B)이면 A+B일 수도 있다. ④( A={1, 2, 3}, B={3, 4, 5}) ⑤ n(Δ)+n({2})+n({0, Δ})=0+1+2=3 답 ②, ④0143
① (AÇ 'B)Ç =(AÇ )Ç ;BÇ =A-B② (A-B)'(A;B)=(A;BÇ )'(A;B)
② (A-B)'(A;B)=A;(BÇ 'B)=A;U=A
③ (A-B);C=(A;BÇ );C
③ (A-B)'C=(A;C);BÇ
③ (A-B)'C=(A;C)-B
④ A-(B;C)=A;(B;C)Ç
③ (A-B)'C=A;(BÇ 'CÇ )
③ (A-B)'C=(A;BÇ )'(A;CÇ )
③ (A-B)'C=(A-B)'(A-C)
⑤ A-(B-C)=A;(B;CÇ )Ç
③ (A-B)'C=A;(BÇ 'C)
③ (A-B)'C=(A;BÇ )'(A;C)
③ (A-B)'C=(A-B )'(A;C) 답 ⑤ 64 12x
0144
A=[;2!;, ;2@;, ;2#;, ;2$;, y, :∞2º:] B=[;3!;, ;3@;, ;3#;, ;3$;, y, :∞3º:] ∴ A;B={1, 2, 3, y, 16} ∴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =50+50-16 =84 답 840145
집합 {a, b}와 서로소인 집합의 개수는 원소 a, b를 포 함하지 않는 집합 A의 부분집합의 개수와 같다. ∴ 2› —¤ =2¤ =4(개) 답 ②0146
주어진 벤 다이어그램의 색칠한 부분은 A에는 속하고 B, C에는 속하지 않는 부분이다. ∴ A-(B'C) 답 ④0147
A-(A;B)=Δ에서 A,(A;B) 또한, (A;B),B이므로 A,B 답 ⑤0148
집합 A={1, 2, 3, 4, 5, 6}에 대하여 A-B={1, 2, 3, 5}이므로 4<B, 6<B 따라서 조건 ㈎에 의하여 B={a, 4, 6}이라 하면 집합 B의 모 든 원소의 합이 17이므로 a+4+6=17므로∴ a=7 즉, B-A={7}이므로 집합 B-A의 부분집합의 개수는 2⁄ =2(개) 답 20149
B,A를 만족하도록 두 집합 A={x|-2…x…2}, B={x|a…x…a+3} 을 수직선 위에 나타내면 다음과 같다. 따라서 -2…a, a+3…2이므로 -2…a…-1 답 ③0150
⑴ 집합 A의 원소에서 1, 4를 제외한 집합 {2, 3, 5} 의 진부분집합을 구한 다음 각각에 1, 4를 넣어주면 된다. ∴ 2‹ -1=7(개) ⑵ {1, 2, 3};X+Δ에서 집합 X는 집합 {1, 2, 3}의 원소 중 적어도 하나는 포함한다. 따라서 집합 S의 부분집합의 개수에서 원소 1, 2, 3을 모두 포함하지 않는 부분집합의 개수를 빼면 된다. ∴ 2fi -2fi —‹ =32-4=28(개) 답 ⑴ 7 ⑵ 28 x -2 a a+3 2 A B 단계 채점요소 배점 x가 될 수 있는 수 구하기 40% 집합 B, C 구하기 40% 집합 B-C 구하기 20%0151
AÇ ,BÇ 을 만족하는 두 집합 A, B의 관계를 벤 다이어그램으로 나 타내면 오른쪽 그림과 같으므로 B,A, A;B=B, A'B=A, A'BÇ =U이다. ④ A-B+Δ 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④0152
{2, 6, 10};X={2}이므로 집합 X는 2를 포함하고 6, 10은 포함하지 않는다. 따라서 집합 X는 2를 포함하고 6, 10을 포함하지 않는 집합 A의 부분집합이므로 집합 X의 개수 는 2fi —⁄ —¤ =2¤ =4(개) 답 ③0153
1<A이므로 1<B에서 a¤ -3=1 ∴ a=2 또는 a=-2 ⁄ a=2일 때 ⁄ A={1, 4, 7}, B={1, 3, 4}에서 A+B ¤ a=-2일 때 ⁄ A={1, 3, 4}, B={1, 3, 4}에서 A=B 따라서 구하는 상수 a의 값은 -2이다. 답 -20154
B={x|x는 10 이하의 홀수}={1, 3, 5, 7, 9} n(X;B)=2이므로 집합 X는 3, 5, 7 중 두 원소만을 포함 하는 집합 A의 부분집합이다. 따라서 집합 X의 개수는 다음과 같다. ⁄3, 5를 원소로 갖고 7은 원소로 갖지 않는 경우 ⁄2fl —¤ —⁄ =8(개) ¤3, 7을 원소로 갖고 5는 원소로 갖지 않는 경우 ⁄2fl —¤ —⁄ =8(개) ‹5, 7을 원소로 갖고 3은 원소로 갖지 않는 경우 ⁄2fl —¤ —⁄ =8(개) ⁄, ¤, ‹에 의하여 구하는 집합 X의 개수는 8_3=24(개) 답 ③0155
A;B=Δ이므로 A-B=A, B-A=B ㄱ. A;(A-B)=A;A=A+Δ ㄱ. 이므로 A와 A-B는 서로소가 아니다. ㄴ. A;(B-A)=A;B=Δ ㄱ. 이므로 A와 B-A는 서로소이다. ㄷ. (A-B);(B-A)=A;B=Δ ㄱ. 이므로 A-B와 B-A는 서로소이다. ㄹ. (A;B)'(A-B)=Δ'A=A ㄹ.∴ [(A;B)'(A-B)];B=A;B=Δ ㄹ.이므로 (A;B)'(A-B)와 B는 서로소이다. 따라서 두 집합이 서로소인 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ로 3개이다. 답 ④ A B U A B0156
주어진 벤 다이어그램에서 B,A이므로 A'BÇ = U, B-A=Δ ∴ [(A'BÇ )'(B-A)];A=(U'Δ);A =U;A =A 답 ①0157
1부터 100까지의 자연수 전체의 집합을 U, 1부터 100 까지의 자연수 중 3의 배수의 집합을 A, 5의 배수의 집합을 B 라 하면 A;B는 15의 배수의 집합이므로n(U)=100, n(A)=33, n(B)=20, n(A;B)=6
∴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)
∴ n(A'B)=33+20-6=47
따라서 3의 배수도 아니고 5의 배수도 아닌 자연수의 개수는
n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç )=n(U)-n(A'B)
n(AÇ ;BÇ )=100-47=53 답 ③
0158
집합 X는 3의 배수, 즉 3, 6, 9는 포함하지 않으므로 2, 4, 5, 7, 8중에서 적어도 하나의 2의 배수를 포함하는 집 합이다. 즉, {2, 4, 5, 7, 8}의 부분집합의 개수에서 짝수를 하나도 포 함하지 않는 부분집합의 개수를 빼면 된다. ∴ 2fi -2¤ =32-4=28 (개) 답 ②0159
n(AÇ ;B)=n(B-A)=13 ∴ n(A'B)=n(A)+n(B-A) ∴ n(A'B)=15+13=28 ∴ n(A;B) =n(A'B)-n((A-B)'(B-A)) =28-20 =8 답 ④0160
전체 학생의 집합을 U, A를 푼 학생의 집합을 A, B 를 푼 학생의 집합을 B라 하면n(U)=100, n(A)=68, n(B)=42, n(A;B)=26
이때 두 문제 중 한 문제만 푼 학생 수는 A문제만 푼 학생 수와 B문제만 푼 학생 수의 합이므로 ⁄A문제만 푼 학생의 집합 A-B에서 ⁄n(A-B)=n(A)-n(A;B)=68-26=42 ¤B문제만 푼 학생의 집합 B-A에서 ⁄n(B-A)=n(B)-n(A;B)=42-26=16 따라서 두 문제 중 한 문제만 푼 학생의 수는 n(A-B)+n(B-A)=42+16=58 답 58명
0161
ㄱ. A≠B=(A-B)'(B-A) ㄱ. A≠B=(B-A)'(A-B) ㄱ. A≠B=B≠A (참) A B U (A-B)'(B-A)ㄴ. 집합 (A≠B)≠C를 벤 다이어그램으로 나타내면
ㄴ. 집합 A≠(B≠C)를 벤 다이어그램으로 나타내면
ㄷ. ∴ (A≠B)≠C=A≠(B≠C) (참) ㄷ. AÇ ≠BÇ =(AÇ -BÇ )'(BÇ -AÇ )
ㄷ. AÇ ≠BÇ =(AÇ ;B)'(BÇ ;A)
ㄷ. AÇ ≠BÇ =(B-A)'(A-B)
ㄷ. AÇ ≠BÇ =(A-B)'(B-A)
ㄷ. AÇ ≠BÇ =A≠B (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답 ③
0162
⁄Aμ,(A¢;A§)에서 Aμ,A¢이고 Aμ,A§이므로⁄m은 4의 배수이고, 6의 배수이다.
⁄따라서 m은 4와 6의 공배수이므로 이를 만족하는 m의 최 솟값은 4와 6의 최소공배수 12이다.
¤(A¡™'A¡•),A«에서 A¡™,A«이고 A¡•,A«이므로 n은 12의 약수이고, 18의 약수이다. ⁄따라서 n은 12와 18의 공약수이므로 이를 만족하는 n의 최 댓값은 12와 18의 최대공약수 6이다. ∴ (m의 최솟값)_(n의 최댓값)=12_6=72 답 72
0163
마을 가구 전체의 집합을 U, A신문을 구독하는 가구 의 집합을 A, B신문을 구독하는 가구의 집합을 B라 하면n(U)=50, n(A)=27, n(B)=32, n(A;B)æ15
A신문 또는 B신문을 구독하는 가구의 집합은 A'B이므로 n(A'B)의 최댓값과 최솟값을 구하면 된다. n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 ⁄n(A'B)의 최댓값은 n(A;B)가 최소일 때이다. ⁄n(A;B)æ15이므로 n(A;B)가 최솟값 15를 가질 때 ⁄n(A'B)=27+32-15=44 ¤n(A'B)의 최솟값은 n(A;B)가 최대일 때이다. ⁄n(A;B)…n(A), n(A;B)…n(B)에서 ⁄n(A;B)…27이므로 n(A;B)가 최댓값 27을 가질 때 ⁄n(A'B)=27+32-27=32 ⁄, ¤에서 최댓값과 최솟값의 합은 44+32=76 답 ③
0164
학생 40명 전체의 집합을 U, A그룹 팬클럽에 가입한 학생의 집합을 A, B그룹 팬클럽에 가입한 학생의 집합을 B 라 하면 A B C U A B C U n(U)=40, n(A)=28, n(B)=22 n(A;B)가 최소일 때는 A'B=U일 때이므로 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) =28+22-40 =10 또한, (A;B),B이므로 n(A;B)는 22보다 작거나 같다. 따라서 n(A;B)는 10보다 크거나 같고 22보다 작거나 같으 므로 최댓값 M=22, 최솟값 m=10 ∴ M+m=22+10=32 답 320165
A;B={0, 3}에서 0<A, 0<B즉, a¤ +2a=0에서 a(a+2)=0에서
∴ a=0 또는 a=-2 ⁄a=0일 때, A={0, 1, 3}, B={-4, 1, 3} ⁄이므로 A;B={1, 3}이 되어 주어진 조건에 모순이다. ¤a=-2일 때, A={0, 1, 3}, B={-1, 0, 3} ⁄이므로 A;B={0, 3}이 되어 주어진 조건을 만족한다. 따라서 ⁄, ¤에서 a=-2 답 -2
0166
A;X=X이므로 X,A (A-B)'X=X이므로 (A-B),X ∴ (A-B),X,A A-B={1, 2, 3, 4, 5, 6}-{1, 4, 5}={2, 3, 6} 이므로 집합 X는 집합 A의 부분집합 중에서 원소 2, 3, 6을 반드시 포함하는 부분집합이므로 그 개수는 2fl —‹ =2‹ =8(개) 답 80167
N-(AÇ ;B)Ç =N-(B-A)Ç =N;(B-A)N-(AÇ ;B)Ç =B-A={6, 7} 단계 채점요소 배점 0<A임을 알고 a의 값 구하기 40% 조건을 만족하는 a의 값 구하기 60% 단계 채점요소 배점 A;X=X에서 X,A임을 구하기 20% (A-B)'X=X에서 (A-B),X임을 구하기 20% 집합 A-B 구하기 20% 집합 X의 개수 구하기 40%
A-B=A-(A;B) ={1, 2, 3, 4, 5}-{2, 3, 5} ={1, 4} ∴ A△B=(A-B)'(B-A) ={1, 4}'{6, 7} ={1, 4, 6, 7} 따라서 모든 원소의 합은 1+4+6+7=18 답 18
0168
학생 전체의 집합을 U, N메신저를 사용하는 학생의 집합을 A, M메신저를 사용하는 학생의 집합을 B라 하면n(U)=40, n(A)=35, n(B)=25, n(AÇ ;BÇ )=2
n(A'B)=n(U)-n((A'B)Ç ) =n(U)-n(AÇ ;BÇ ) =40-2 =38 따라서 N메신저만 사용하는 학생의 집합은 A-B이므로 n(A-B)=n(A'B)-n(B) =38-25 =13 답 13
0169
국어, 영어, 수학의 세 과목에서 2등급 이상을 받은 학 생의 집합을 각각 A, B, C라 하면 구하는 학생의 집합은 AÇ ;BÇ ;CÇ 이다. n(A'B'C) =n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)-n(B;C) -n(C;A)+n(A;B;C) =3+5+7-2-1-1+1 =12 ∴ n(AÇ ;BÇ ;CÇ )=n((A'B'C)Ç ) =n(U)-n(A'B'C) =25-12=13 답 130170
A={x|x¤ -2x-3>0} A={x|(x-3)(x+1)>0} A={x|x<-1 또는 x>3} A'B={x|x는 모든 실수}, A;B={x|3<x…4} 이므로 오른쪽 그림에서 B={x|-1…x…4} ={x|(x+1)(x-4)…0} ={x|x¤ -3x-4…0} 따라서 a=-3, b=-4이므로 a+b=-7 답 ①0171
오른쪽과 같이 벤 다이어그램에 각 과목을 선택한 학생 수를 나타내면 국어를 선택한 학생 수는 25=a+6+10+7이므로 a=2 영어를 선택한 학생 수는 28=b+6+10+8이므로 b=4 수학을 선택한 학생 수는 30=c+7+10+8이므로 c=5 ∴ a+b+c=11 답 110172
집합 A의 원소는 자연수이므로 A의 원소는 12의 약 수인 1, 2, 3, 4, 6, 12 중의 어떤 원소로 이루어져야 한다. 1<A이면 =12<A 2<A이면 =6<A 3<A이면 =4<A 4<A이면 =3<A 6<A이면 =2<A 12<A이면 =1<A 따라서 집합 A는 1과 12, 2와 6, 3과 4를 원소로 갖는 집합의 부분집합에서 A+Δ이므로 2‹ -1=7(개) 답 ③ 다른풀이 ⁄ 집합 A의 원소의 개수가 2개：{1, 12}, {2, 6}, {3, 4} ¤집합 A의 원소의 개수가 4개：{1, 2, 6, 12}, {1, 3, 4, 12}, {2, 3, 4, 6} ‹집합 A의 원소의 개수가 6개：{1, 2, 3, 4, 6, 12} 따라서 집합 A의 개수는 모두 7개이다. 12 12 12 6 12 4 12 3 12 2 12 1 수학 국어 영어 10 7 a b c 6 8 3 -1 A A B 4 x 단계 채점요소 배점 N-(AÇ ;B)Ç 간단히 하기 30% 집합 A-B 구하기 30% 집합 A△B 구하기 30% 모든 원소의 합 구하기 10% 단계 채점요소 배점 주어진 조건을 집합으로 나타내기 30% n(A'B)의 값 구하기 30% N메신저만 사용하는 학생 수 구하기 40%0173
ㄴ. x¤ =1은 x의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 ㅁ. 되기도 하므로 명제가 아니다. ㅁ. 기준이 명확하지 않으므로 참, 거짓을 판별할 수 없다. 따 라서 명제가 아니다. 따라서 보기 중 명제는 ㄱ, ㄷ, ㄹ이므로 모두 3개이다. 답 30174
⑴'4는 무리수가 아니다. (거짓) ⑵ (정사각형의 집합),(마름모의 집합) ⑵이므로 정사각형은 마름모이다. (참) ⑶ 4의 배수 중에서 4, 12, 20, y은 8의 배수가 아니다. (거짓) ⑷ x가 실수이면 x¤ æ0이므로 x¤ +1>0이다. (참) 답 ⑴ 거짓 ⑵ 참 ⑶ 거짓 ⑷ 참0175
x+0이고 y+0양의yy답0176
a가 홀수이거나 b가 짝수이다.양의yy답0177
정수가 아닌 자연수가 있다. (거짓)양의yy답0178
2는 소수이거나 합성수이다. (참)양의yy답0179
(반례) a='2, b=-1 답 거짓0180
(반례) x=1, y=2 답 거짓0181
x가 6의 약수이면 x는 12의 약수이다. 답 참0182
p2⁄ q가 참이므로 P,Q 답 ④0183
역：xy=0이면 x=y=0이다. (거짓) 대우：xy+0이면 x+0 또는 y+0이다. (참) 답 풀이 참조0184
역：a+b>0이면 a>0 또는 b>0이다. (참) 대우：a+b…0이면 a…0이고 b…0이다. (거짓)답 풀이 참조0185
역：세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형은 직각삼각형 이：이면 a¤ +b¤ =c¤ 이다. (거짓) 대우：세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형은 직각삼각형이 아니 면 a¤ +b¤ +c¤ 이다. (참) 답 풀이 참조0186
p2⁄ ~q의 역 ~q 2⁄ p가 참이므로 이것의 대우인 ~p2⁄ q가 참이다. 답 ⑤0187
P,Q이므로 p2⁄ q가 참이다. 따라서 p2⁄ q의 대우인 ~q 2⁄ ~p도 참이다. 답 ③0188
⑴ x=3 x¤ =9 ⑴(¤2의 반례) x=-3 ⑴∴ 충분조건 ⑵ xz=yz x=y ⑴(2⁄의 반례) x=1, y=2, z=0 ⑴∴ 필요조건 ⑶ x<0이고 y>0 xy<0 ⑴(¤2의 반례) x=1, y=-1 ⑴∴ 충분조건 ⑷ x=1 또는 x=2 x¤ -3x+2=0 ⑴∴ 필요충분조건 답 ⑴ 충분 ⑵ 필요 ⑶ 충분 ⑷ 필요충분0189
ㄱ. |a|+|b|=0HjK a=0이고 b=0 ㄴ. a+b=0HjK a=-b ㄷ. a¤ +b¤ =0HjK a=0이고 b=0 ㄹ. ab=0HjK a=0 또는 b=0 따라서 필요충분조건인 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ0190
- = - = a>b>0에서 b-a<0이므로 - <0이므∴ < ∴yy답0191
- = - = a>b>0에서 a-b>0이므로 - >0이므∴ > ∴∴yy답0192
('∂a+b)¤ -('a+'b)¤ =(a+b)-(a+b+2'a'b) =-2'∂ab<0 (∵ '∂ab>0) ∴ ('∂a+b)¤ <('a+'b)¤ 그런데'∂a+b >0, 'a+'b>0이므로 '∂a+b <'a+'b∴∴yy답0193
={ }3 ={;1!0)0@0$;}3 >1⑴∴ 2‹ ‚ >10· yy답 2⁄ ‚ 12310‹ 2‹ ‚ 12310· b 112b+1 a 112a+1 b 112b+1 a 112a+1 a-b 1121111(a+1)(b+1) a(b+1)-b(a+1) 112111111(a+1)(b+1) b 112b+1 a 112a+1 1 112b+1 1 112a+1 1 112b+1 1 112a+1 b-a 1121111(a+1)(b+1) b+1-(a+1) 11211115(a+1)(b+1) 1 112b+1 1 112a+1 1○⁄ ¤○1 1○⁄ ¤×1 1×⁄ ¤○1 1○⁄ ¤×1명제
02
Ⅰ.집합과 명제0194
={ }5 ={;2!5);}5 <1⑴⑴∴ 10fi <5⁄ ‚⑴yy답0195
x¤ +kx+4>0이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 이차방정식 x¤ +kx+4=0의 판별식을 D라 할 때 D=k¤ -4¥4<0, (k-4)(k+4)<0 ∴ -4<k<4∴∴yy답0196
x¤ -(k+1)x+k¤ æ0이 모든 실수 x에 대하여 성립하 려면 이차방정식 x¤ -(k+1)x+k¤ =0의 판별식을 D라 할 때 D=(k+1)¤ -4k¤ …0 -3k¤ +2k+1…0, 3k¤ -2k-1æ0 (k-1)(3k+1)æ0 ∴ k…-;3!; 또는 kæ1∴∴yy답0197
kx¤ +(k+2)x+k+1<0이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 ⁄k<0 ¤방정식 kx¤ +(k+2)x+k+1=0의 판별식을 D라 할 때 D=(k+2)¤ -4k(k+1)<0 -3k¤ +4<0, k¤ >;3$; ∴ k<- 또는 k> ⁄, ¤에서 k<- 답k<-0198
a¤ +b¤ -ab={a¤ -ab+ }+;4#;b¤a¤ +b¤ -ab={a-;2B;}2 +;4#;b¤
a, b가 실수이므로{a-;2B;}2 æ0, ;4#;b¤ æ0 따라서 a¤ +b¤ -abæ0이므로
a¤ +b¤ æab (단, 등호는 a=b=0일 때 성립)∴y증명 끝
0199
a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca=;2!;(2a¤ +2b¤ +2c¤ -2ab-2bc-2ca)
=;2!;{(a¤ -2ab+b¤ )+(b¤ -2bc+c¤ )+(c¤ -2ca+a¤ )} =;2!;{(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ }
a, b, c가 실수이므로
(a-b)¤ æ0, (b-c)¤ æ0, (c-a)¤ æ0
따라서 a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-caæ0이므로
a¤ +b¤ +c¤ æab+bc+ca (단, 등호는 a=b=c일 때 성립)
∴y증명 끝 b¤ 124 2'3 1153 2'3 1153 2'3 1153 2'3 1153 10 125¤ 10fi 1235⁄ ‚
0200
x>0, ;[!;>0이므로 (산술평균)æ(기하평균)에서 x+;[!;æ2Æ…x¥;[!;=2 (단, 등호는 x=1일 때 성립) 따라서 구하는 최솟값은 2이다. 답 20201
x>0, ;[$;>0이므로 (산술평균)æ(기하평균)에서 x+;[$;æ2Æ…x¥;[$;=2¥2=4 (단, 등호는 x=2일 때 성립) 따라서 구하는 최솟값은 4이다. 답 40202
4x>0, ;[(;>0이므로 (산술평균)æ(기하평균)에서 4x+;[(;æ2Æ…4x¥;[(;=2¥6=12 {단, 등호는 x=;2#;일 때 성립} 따라서 구하는 최솟값은 12이다. 답 120203
(a+b){;a!;+;b$;}=1+ +;aB;+4 =5+ +;aB; >0, ;aB;>0이므로 (산술평균)æ(기하평균)에서 5+ +;aB;æ5+2Æ… ¥;aB;=5+2¥2=9 {단, 등호는 =;aB;일 때 성립} 따라서 구하는 최솟값은 9이다. 답 90204
{a+;b@;}{2b+;a!;}=2ab+1+4+ {a+;b$;}{4b+;a!;}=5+2ab+ 2ab>0, >0이므로 (산술평균)æ(기하평균)에서 5+2ab+ æ5+2Æ…2ab¥ =5+2¥2=9 {단, 등호는 2ab= 일 때 성립} 따라서 구하는 최솟값은 9이다. 답 90205
a>0, b>0이므로 (산술평균)æ(기하평균)에서 a+bæ2'∂ab (단, 등호는 a=b일 때 성립)그런데 a+b=16이므로 16æ2'∂ab, 8æ'∂ab 양변을 제곱하면 ab…64 따라서 ab의 최댓값은 64이다. 답 64
0206
a>0, b>0이므로 (산술평균)æ(기하평균)에서 a+bæ2'∂ab=2'∂16=2¥4=8 (단, 등호는 a=b일 때 성립) 따라서 a+b의 최솟값은 8이다. 답 8 2 12ab 2 12ab 2 12ab 2 12ab 2 12ab 2 12ab 4a 12b 4a 12b 4a 12b 4a 12b 4a 12b 4a 12b0207
a>0, b>0이므로 (산술평균)æ(기하평균)에서 3a+4bæ2'∂3a¥4b=2'∂12ab=2'∂12¥2=4'6 (단, 등호는 3a=4b일 때 성립) 따라서 3a+4b의 최솟값은 4'6이다. 답 4'60208
a, b, x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여(a¤ +b¤ )(x¤ +y¤ )æ(ax+by)¤ , 4¥9æ(ax+by)¤
∴ -6…ax+by…6{단, 등호는 ;a{;=;b};일 때 성립} 답 -6…ax+by…6
0209
x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 (2¤ +3¤ )(x¤ +y¤ )æ(2x+3y)¤ x¤ +y¤ =13이므로 13¥13æ(2x+3y)¤ ∴ -13…2x+3y…13{단, 등호는 ;2{;=;3};일 때 성립} 답 -13…2x+3y…130210
‘…’의 부정은‘>’,‘>’의 부정은‘…’,‘또는’의 부 정은‘이고’이므로 주어진 명제의 부정은‘x>-1 이고 x…2’ 이다. 답 ④0211
‘모든’의 부정은‘어떤’이고‘한다.’의 부정은‘하지 않는다.’이므로 주어진 명제의 부정은‘어떤 직장인은 버스로 출근하지 않는다.’이다. 즉‘버스로 출근하지 않는 직장인도 있다.’이다. 답 ②0212
(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ =0의 부정은 (a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ +0 ∴ a+b 또는 b+c 또는 c+a 즉, a, b, c 중에 서로 다른 것이 적어도 하나 있다. 답 ⑤0213
x…-3또는 1<x…4는 x…-3또는 1<x이고 x…4를 나타내므로 부정은 x>-3그리고 1æx 또는 x>4 ∴ -3<x…1 또는 x>4 답 -3<x…1또는 x>40214
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 |x|…2에서 -2…x…2 ∴ P={-2, -1, 0, 1, 2} x‹ -9x=0에서 x(x¤ -9)=0 x(x+3)(x-3)=0 ∴ x=0 또는 x=-3 또는 x=3 ∴ Q={-3, 0, 3} 이때‘~p이고 ~q’의 진리집합은 PÇ ;QÇ 이므로 PÇ ;QÇ ={-3, 3};{-2, -1, 1, 2}=Δ 답 ① x -3 1 40215
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 |x-2|<3에서 -3<x-2<3 -1<x<5 ∴ P={0, 1, 2, 3, 4} x¤ -x+0에서 x(x-1)+0 ∴ x+0이고 x+1 ∴ Q={2, 3, 4, 5} 이때‘~p이고 q’의 진리집합은 PÇ ;Q이므로 PÇ ;Q={5};{2, 3, 4, 5}={5} 답 {5}0216
P={x|xæ3}, Q={x|x<-2}이므로 따라서‘-2…x<3’의 진리집합은 {x|-2…x<3} ∴ PÇ ;QÇ =(P'Q)Ç 답 ③0217
f(x)g(x)>0은 f(x), g(x)가 모두 양이거나 음임을 나타낸다. 즉, f(x)g(x)>0은 ‘f(x)>0이고 g(x)>0’또는‘f(x)<0이고 g(x)<0’이므로 (A;B)'(C;D) 답 ④0218
① (반례) x=-1이면 x¤ =1이다. (거짓)② (반례) x=3, y=-1이면 x+y=2>0이지만 xy=-3<0 이다. (거짓) ③ |x|>1이면 x<-1 또는 x>1이므로 x¤ >1이다. (참) ④ (반례) x=-2이면 x¤ =4이다. (거짓) ⑤ (반례) 가로의 길이가 1, 세로의 길이가 4인 사각형과 가로, 세로의 길이가 2인 사각형은 넓이가 서로 같지만 합동은 아 니다. (거짓) 답 ③
0219
① (반례) x=9이면 x는 3의 배수이지만 6의 배수는 ④아니다. (거짓) ② |x|=1이면 x¤ =1이다. (참) ③ -1<x<1이면 x¤ <1이다. (참) ④ 8의 양의 약수의 집합은 A={1, 2, 4, 8} ④16의 양의 약수의 집합은 B={1, 2, 4, 8, 16} ④A,B이므로 주어진 명제는 참이다. (참) ⑤ 평행사변형은 사다리꼴이다. (참) 답 ①0220
ㄱ. (반례) a=3, b=2, c=0이면 ac=bc=0이지만 ㄷ. a+b이다. (거짓) ㄴ. a=2이면 a¤ =2¤ =4이다. (참) ㄷ. (반례) a=-2, b=-2이면 ㄷ. (a-1)(b-1)=(-3)(-3)=9>0 ㄷ. 이지만 a<1, b<1이다. (거짓) 따라서 참인 명제는 ㄴ이다. 답 ㄴ x -2 3 x -2 3 Q P0221
① (반례) a=1, b=-1이면 a¤ =b¤ 이지만 a+b이 다. (거짓) ② x가 실수이면 x¤ æ0이다. (거짓) ③ 이등변삼각형이 항상 정삼각형이 될 수는 없다. (거짓) ④ 네 각의 크기가 모두 직각인 사각형은 직사각형이다. (거짓) ⑤ 실수 a, b에 대하여 a¤ +b¤ =0이면 a=0, b=0이다. 따라 서 |a|+|b|=0이다. (참) 따라서 참인 명제는 ⑤이다. 답 ⑤0222
명제 ~q2⁄ p가 참이므로 QÇ ,P 이고 QÇ , P의 포함 관계는 오른쪽 벤 다이 어그램과 같다. ∴ P'Q=U 답 ②0223
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={3, 6, 9}, Q={1, 2, 3, 6, 9} P,Q이므로 명제 p2⁄ q는 참이다. 답 ③0224
ㄱ. Q¯R이므로 q2⁄ r는 거짓 ㄴ. (P;Q),P이므로 (p이고 q)2⁄ p는 참 ㄷ. (P'Q)¯R이므로 (p 또는 q)2⁄ r는 거짓 따라서 참인 명제는 ㄴ이다. 답 ②0225
P;Q=Δ이므로 P,QÇ 따라서 명제 p2⁄ ~q는 참이다. 답 ③0226
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|-2…x…a}, Q=[x|-;3A;…x<10] p2⁄ q가 참이 되려면 P,Q이 어야 하므로 오른쪽 그림에서 -;3A;…-2, a<10 즉, aæ6, a<10 ∴ 6…a<10 따라서 정수 a는 6, 7, 8, 9이고 이들의 합은 30이다. 답 ②0227
주어진 명제가 참이 되려면 {x|a-3…x<a+1},{x|-2<x<4}이어야 하므로 오른쪽 그림에서 -2<a-3, a+1…4 즉, a>1, a…3 ∴ 1<a…3 답 ②0228
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|a…x…1}, Q={x|xæ-1} x -2 a-3 a+1 4 x -2 -;3;a P Q a 10 P QÇ U p2⁄ q가 참이 되려면 P,Q이어야 한다. P, Q를 수직선에 나타내면 오른 쪽 그림과 같다. ∴ -1…a…1 답 ④0229
p：|x-1|æh에서 ~p：|x-1|<h이므로 -h<x-1<h ∴ -h+1<x<h+1 q：|x+2|<5에서 -5<x+2<5 ∴ -7<x<3 따라서 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 PÇ ={x|-h+1<x<h+1} Q={x|-7<x<3} 명제‘~p이면 q이다.’가 참이 되 려면 PÇ ,Q이어야 하므로 오른 쪽 그림에서 -7…-h+1, h+1…3 h…8, h…2 ∴ 0<h…2 (∵ h>0) 따라서 실수 h의 최댓값은 2이다. 답 20230
명제‘q2⁄ p’가 거짓임을 보이려면 집합 Q에는 속 하지만 집합 P에는 속하지 않는, 즉 Q-P=Q;PÇ ={d, f, g}이다. 답 ④0231
명제‘xy가 유리수이면 x, y는 모두 유리수이다.’가 거짓임을 보여주는 반례는 xy가 유리수이지만 x, y 중 적어도 하나가 무리수인 경우이다. 따라서 x='2+1, y='2-1일 때, xy=1이므로 xy는 유리수이지만 x, y는 모두 유리수가아니다. 답 ⑤
