05 무리함수 Ⅱ. 함수 - 2014 개념원리 RPM 수학2

='5+2 yy답

0614

⁼

=3+2'2 yy답

0615

⁺ ⁼

= yy답

0616

x-2, y+1이 유리수이므로 무리수가 서로 같을 조건 에 의하여

x-2=0, y+1=0

∴ x=2, y=-1 답 x=2, y=-1

0617

x+y+3, x-y가 유리수이므로 무리수가 서로 같을 조건에 의하여

x+y+3=2, x-y=-3 위의 두 식을 연립하여 풀면

x=-2, y=1 답 x=-2, y=1

0618

x-2æ0에서 xæ2

1313x-y2'x

'x-'y+'x+'y 3331131331313331('x+'y)('x-'y) 311311

'x-'y 311311

'x+'y

3+2'2 313112-1

('2+1)¤

33313133131333('2-1)('2+1) 33131'2+1

'2-1

33131'5+25-4

333131331313333('5-2)('5+2)'5+2 331311

'5-2

05 무리함수

^Ⅱ.^함수

0628

y='ƒ-2∂x+ß6="√-√2(xç-≈3Ω) 따라서 주어진 함수의 그래프는 y='ƒ-2x의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그 림과 같고

정의역：{x|x…3}

치역：{y|yæ0} 답 풀이 참조

0629

y='∂x∂-å1+2의 그래프는 y='x의 그래프를 x축의 방향으로 1만 큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같고

정의역：{x|xæ1}

치역：{y|yæ2} 답 풀이 참조

0630

y=-'ƒ2x-å1+1=-æ≠2{x≠-;–2!;}+1 따라서 주어진 함수의 그래프는

y=-'∂2x의 그래프를 x축의 방향으로

;2!;만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동 한 것이므로 오른쪽 그림과 같고 정의역：[x|xæ;2!;]

치역：{y|y…1} 답 풀이 참조

0631

y=-'ƒ2-x+3=-"√-(√x-2Ω)+3 따라서 주어진 함수의 그래프는

y=-'∂-ßx의 그래프를 x축의 방 향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만 큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그 림과 같고

정의역：{x|x…2}

치역：{y|y…3} 답 풀이 참조

0632

y='ƒx-1 (xæ1, yæ0)의 양변을 제곱하면 y¤ =x-1 ∴ x=y¤ -1

x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는

y=x¤ -1 (xæ0) 답 y=x¤ -1 (xæ0)

0633

y='ƒx-3+1 (xæ3, yæ1)에서 y-1='ƒx-3 양변을 제곱하면 (y-1)¤ =x-3

∴ x=(y-1)¤ +3

x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는

y=(x-1)¤ +3 (xæ1) 답 y=(x-1)¤ +3 (xæ1)

0634

2<a<3이므로

O 3-'23

-7 x

y=-"ç2-x+3

O x

y=-"ç2x-1+1 1

;2;1

O x

y="çx-1+2

1 2

O x

y="ç-2x+6 '6

따라서 주어진 무리함수의 정의역은 {x|xæ2} yy답

0619

-2x+6æ0에서 x…3

따라서 주어진 무리함수의 정의역은 {x|x…3} yy답

0620

2x-3æ0에서 xæ;2#;

따라서 주어진 무리함수의 정의역은[x|xæ;2#;] yy답

0621

1-xæ0에서 x…1

따라서 주어진 무리함수의 정의역은 {x|x…1} yy답

0622

y='ßx의 그래프는 오른쪽 그림 과 같고

정의역：{x|xæ0}

치역：{y|yæ0}

답 풀이 참조

0623

y='∂-ßx의 그래프는 오른쪽 그 림과 같고

정의역：{x|x…0}

치역：{y|yæ0}

답 풀이 참조

0624

y=-'ßx의 그래프는 오른쪽 그 림과 같고

정의역：{x|xæ0}

치역：{y|y…0}

답 풀이 참조

0625

y=-'∂-ßx의 그래프는 오른쪽 그림과 같고

정의역：{x|x…0}

치역：{y|y…0}

답 풀이 참조

0626

y='2ßx의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은

y="√2(√x+3Ω)+2 ^답 y="√2(xç+≈3Ω)+2

0627

y='ƒ-2ƒx+4-3="√-2√(x-≈2Ω)-3

이므로 y='∂ƒ-2x 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.

∴ p=2, q=-3 답 p=2, q=-3

O x y -1

-1 y=-'∂-x

O x

y 1 -1

y=-'x O x

-1 1 y="ç-x

O x

1 1

y='x

a-3<0, a-2>0, a-1>0

∴"(√a-≈3≈)¤ +|a-2|+"(√a-≈1≈)¤

=-(a-3)+(a-2)+(a-1)

=-a+3+a-2+a-1

=a 답 ④

0635

^æ≠ ^{-2+a¤ -æ≠} ^+2+a¤

=æ≠{;a!;-a}2 -æ≠{;a!;+a}2 -1<a<0에서 ;a!;<-1

∴;a!;-a<0, ;a!;+a<0

∴ (주어진 식)=-{;a!;-a}+;a!;+a

=-;a!;+a+;a!;+a=2a ^답 ③

0636

'ƒx-3 'ƒ1-x =-"√-x¤ +4x-3

=-"√-(x¤ -4x+3)

=-"√-(x-1)(x-3)

=-"√(x-3)(1-x) 이므로 x-3…0, 1-x…0 ∴ 1…x…3 따라서 모든 자연수 x의 값의 합은

1+2+3=6 답 ①

0637

^⑴ ^=-æ≠ ^이므로

x+1æ0, x-1<0

∴"√(x+1)¤ +"√(x-1)¤ =(x+1)-(x-1)

⑵ =-Æ;bA;이므로 aæ0, b<0 따라서 a-b>0이므로

"a¤Ω -"(√a-b≈)¤ +"bΩ¤ =a-(a-b)-b=0 ^답 ⑴ 2 ⑵ 0

0638

⁺

= =-2 답 ②

0639

⁺ ⁼

=(5-2'6)+(5+2'6)

=10 답 10

('3-'2)¤ +('3+'2)¤

1412111111123 ('3+'2)('3-'2) '3+'2

14121 '3-'2 '3-'2

14121 '3+'2 142-x2x

x-x'ƒx+1+x+x'ƒx+1 14121111111111-(x+1)

x(1-'ƒx+1)+x(1+'ƒx+1) 141211111111112

(1+'ƒx+1)(1-'ƒx+1) 141211x

1-'ƒx+1 141211x

1+'ƒx+1 142'ßa

'ßb

112x+1x-1 '∂x+1

11225 '∂x-1

13a¤1 13a¤1

0640

⁼

='2-'3

∴ a=2, b=3

∴ a+b=5 답 ③

0641

f(x)='x+'ƒx-1이므로

+ + +y+

= + + +y+

=('2-1)+('3-'2)+('4-'3)+y+('∂100-'ß99)

='∂100-1

=10-1

=9 ^답 ④

0642

^2x+1æ0 ^yy^㉠

4x-1æ0 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 xæ;4!; ^답 ⑤

0643

^2-xæ0 ^yy^㉠

x+3>0 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

-3<x…2 답 -3<x…2

0644

^4-6xæ0 ^yy^㉠

x+1æ0 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -1…x…;3@; ^답 ③

0645

가 정의되어야 하므로 4-xæ0, x-1+0

∴ x<1 또는 1<x…4

따라서 모든 자연수 x의 값의 합은 2+3+4=9

답 9 'ƒ4-x

14213x-1

1412324141 '∂100+'ß99 14123241

'4+'3 14123241

'3+'2 141231

'2+1

1411f(100)1 141f(4)1

141f(3)1 141f(2)1

141232-'6 '2 -4+2'6 141211

-2'2 1-('2-'3)¤

1412112112 (1-'2)¤ -('3)¤

(1+'2-'3)(1-'2+'3) 14121121111112 (1-'2-'3)(1-'2+'3) 1+'2-'3

1412112 1-'2-'3

0646

1<'3<2이므로

0647

1<'3<2이므로

정수 부분 a=1, 소수 부분 b= -1=

0650

1+x>0, 1-x>0이므로

æ≠ -æ≠ = 1422132x

"√1-x¤ 142231-x1+x

142231+x1-x

2 143122

3-'3 143122

'3+1

=2x-"√4x¤ -1

여기에 x= 을 대입하면

2¥ -æ≠4¥{ }2 -1 ='7-'6 ^답 '7-'6

0654

x+y=4, xy=1, x-y=2'3

∴ =

∴ = = 답 ①

0655

x-y=2'3, xy=1

∴ x‹ -y‹ =(x-y)‹ +3xy(x-y)

=(2'3)‹ +3¥2'3

=24'3+6'3

=30'3 ^답 ④

0656

^x= ^=4-'∂15

y=1421111111('5+'3)¤ =4+'∂15 ('5-'3)('5+'3) 14211211x-y

('x-'y)¤ 4x-2"√4x¤ -1 1422131112

(2x+1)+(2x-1)-2"√(2x+1)(2x-1) 142213111111111111112(2x+1)-(2x-1)

('ƒ2x+1-'ƒ2x-1)¤

142212 1-12'32 142251-x2

1+'x+1-'x (1-'x)(1+'x) 142151

1+'x 142151

1-'x 14x‹1

1422331 '2-1

단계 채점요소 배점

무리식의 값이 정의되기 위한 조건 구하기 40%

x의 값의 범위 구하기 30%

자연수 x의 값의 합 구하기 30%

∴ x+y=8, xy=1

∴ x+y+xy+x¤ +y¤ =x+y+(x+y)¤ -xy

=8+8¤ -1

=71 답 ④

0657

x+y=4, xy=2

∴ x› -x¤ y¤ +y› =(x¤ )¤ +(y¤ )¤ -(xy)¤

=(x¤ +y¤ )¤ -2x¤ y¤ -(xy)¤

={(x+y)¤ -2xy}¤ -3(xy)¤

=(4¤ -2¥2)¤ -3¥2¤

=132 답 132

0658

x=2+'3에서 x-2='3의 양변을 제곱하여 정리하면 x¤ -4x+1=0

∴ x‹ -5x¤ +4x+1

∴=x(x¤ -4x+1)-x¤ +3x+1

∴=x(x¤ -4x+1)-(x¤ -4x+1)-x+2

=-x+2

=-(2+'3)+2

=-'3 ^답 ②

0659

^x= ^=4+'∂15

에서 x-4='∂15의 양변을 제곱하여 정리하면 x¤ -8x+1=0

∴ x‹ -9x¤ +9x+12

=x(x¤ -8x+1)-x¤ +8x+12

=x(x¤ -8x+1)-(x¤ -8x+1)+13

=13 답 ②

0660

x=3+'2에서 x-3='2의 양변을 제곱하여 정리하면 x¤ -6x+7=0

∴ (x-1)(x-5)(x¤ -6x+10)

=(x¤ -6x+5)(x¤ -6x+10)

=(x¤ -6x+7-2)(x¤ -6x+7+3)

=(-2)¥3

=-6 답 ②

0661

x='7-2에서 x+2='7의 양변을 제곱하여 정리하면 x¤ +4x-3=0

(분자)=x› +5x‹ +2x¤ +3x+3

=(x¤ +4x-3)(x¤ +x+1)+2x+6

=2x+6

∴ =

∴ =142112112('7-2)+62 1421121112(x¤ +4x-3)+22x+6 x› +5x‹ +2x¤ +3x+3

1421121111213x¤ +4x-1 ('5+'3)¤

14211211112('5-'3)('5+'3)

='7+1 ^답 '7+1

0662

a('3+2)¤ +b('3-2)= 에서 a(7+4'3)+b('3-2)=

∴ (7a-2b)+(4a+b)'3=;2!;+;2!;'3

여기서 a, b가 유리수이므로 7a-2b, 4a+b도 유리수이다.

∴ 7a-2b=;2!;, 4a+b=;2!;

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=b=;1¡0;

∴ a+b=;5!; ^답 ④

0663

x('3+1)+'3(2-'3y)=2+'3y에서 x('3+1)+(2'3-3y)=2+'3y

∴ (x-3y)+(x+2)'3=2+'3y 따라서 x-3y=2, x+2=y이므로 x=-4, y=-2

∴ x-y=-2 답 -2

0664

연산 ≠의 정의에 의하여 3≠2=3'3+2'2

y≠x=y'3+x'2='2x+'3y '2≠(-'2)='2'3-'2'2='6-2 따라서 (3≠2)(y≠x)='2≠(-'2)에서 (3'3+2'2)('2x+'3y)='6-2

∴ (4x+9y)+(3x+2y)'6='6-2 따라서 4x+9y=-2, 3x+2y=1이므로 x=;1!9#;, y=-;1!9);

∴ x+y=;1£9; ^답 ③

0665

f(x)=x¤ +ax+b가 x-('6-2)로 나누어 떨어지므로 f('6-2)=('6-2)¤ +a('6-2)+b

=10-4'6+a'6-2a+b

=(10-2a+b)+(a-4)'6=0

따라서 10-2a+b=0, a-4=0이므로 a=4, b=-2

∴ ab=-8

답 -8 142111111'3+1

('3-1)('3+1) 14211 '3-1

0666

3-2xæ0에서 x…;2#;이므로 주어진 함수의 정의역은 [x|x…;2#;] ∴ a=;2#;

또, '3ƒ-2xæ0이므로 주어진 함수의 치역은 {y|yæ1-2b}

즉, {y|yæ-1}에서 1-2b=-1 ∴ b=1

∴ ab=;2#;¥1=;2#; ^답 ③

0667

2x+5æ0에서 xæ-;2%; ∴ A=[x|xæ-;2%;]

12-3xæ0에서 x…4 ∴ B={x|x…4}

따라서 A;B=[x|-;2%;…x…4]이므로 이 집합에 속하는 정 수는 -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4의 7개이다. 답 ④

0668

y='4ƒx+k+2의 그래프가 점 (2, 4)를 지나므로 4='8∂+ßk+2, '8∂+ßk=2

양변을 제곱하면 8+k=4 ∴ k=-4

∴ y='4ƒx-4+2

4x-4æ0에서 xæ1이므로 주어진 함수의 정의역은 {x|xæ1}

∴ a=1

또, '4ƒx-4æ0이므로 치역은 {y|yæ2} ∴ b=2

∴ ab=1¥2=2

답 2

0669

ax+4æ0에서 axæ-4

이때 정의역이 {x|x…2}이려면 a<0이어야 하므로 양변을 a로 나누면 x…-;a$;

즉, -;a$;=2이므로 a=-2

한편, 이 함수의 그래프가 점 (0, -1)을 지나므로 -1=-'ß4+b, -1=-2+b

∴ b=1

따라서 함수 y=-'ƒ4-2ßx+1에서

-'4ƒ-2x…0이므로 치역은 {y|y…1} ^답 ④

0670

y='ƒ-2x∂+ß6-2="√-2(√x-3Ω)-2

따라서 y='ƒ-2x∂+ß6-2의 그래프는 y='ƒ-2x의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.

∴ p=3, q=-2

∴ p+q=1 답 ③

0671

y=2-'2ƒx-5=-æ2{≠x-–;2%;—}+2

따라서 y=2-'ƒ2x-ß5의 그래프는 y=-'2ßx의 그래프를 x축 의 방향으로;2%;만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.

∴ m=;2%;, n=2 ∴ mn=;2%;¥2=5 ^답 5

0672

^{함수 y=}'ƒ-3x의 그래프를 x축의 방향으로 c만큼, y 축의 방향으로 d만큼 평행이동하면

y="√-3√(x-≈cΩ)+d='ƒ-3x∂+ß3åc+d 즉, y='aƒx+1+b='ƒ-3x∂+ß3åc+d이므로 a=-3, 3c=1, d=b

∴ a=-3, c=;3!;, d=b

∴ y='ƒ-3x∂+å1+b

이 함수의 그래프가 점 (-1, -2)를 지나므로 -2='ƒ3+1+b, 2+b=-2

∴ b=d=-4

∴ abcd=(-3)¥(-4)¥;3!;¥(-4)=-16 ^답 ②

0673

^{함수 y=}'aßx의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축 의 방향으로 -1만큼 평행이동하면

y="√a(xç-≈2Ω)-1

이 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면 y="√a(-√x-2Ω)-1='ƒ-axƒ-2a-1

이 함수의 그래프가 함수 y='3ƒx+b+c의 그래프와 일치하 므로

-a=3, -2a=b, -1=c

∴ a=-3, b=6, c=-1

∴ a+b+c=2

답 2

단계 채점요소 배점

나누어 떨어질 조건 구하기 50%

a, b의 값 구하기 40%

ab의 값 구하기 10%

단계 채점요소 배점

k의 값 구하기 30%

a의 값 구하기 30%

ab의 값 구하기 40%

0674

^{① y=}'6ƒ+2x-3에 y=0을 대입하면 0='ƒ6+2ßx-3, 3='ƒ6+2ßx

9=6+2x ∴ x=;2#;

따라서 점{;2#;, 0}을 지난다.

② 6+2xæ0에서 xæ-3

따라서 정의역은 {x|xæ-3}이다.

③'6ƒ+2xæ0이므로 치역은 {y|yæ-3}이다.

④ y='6ƒ+2x-3="√2(xç+≈3Ω)-3

이므로 주어진 함수의 그래프는 y='2ßx의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것 이다.

⑤ 함수 y='ƒ6+2ßx-3의 그래프는 오 른쪽 그림과 같으므로 제 2 사분면을 지나지 않는다.

답 ⑤

0675

ㄱ. 4-2xæ0에서 x…2 ㄱ. 따라서 정의역은 {x|x…2}이다.

ㄱ. '4ƒ-2xæ0이므로 치역은 {y|yæ-3} (참) ㄴ. y='4ƒ-2x-3="√-2(√x-2Ω)-3

이므로 주어진 함수의 그래프는 함수 y='ƒ-2x의 그래프 를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이 동한 것이다. (참)

ㄷ. 함수 y='4ƒ-2x-3의 그래프는 오 른쪽 그림과 같으므로 제 3 사분면을 지난다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답 ⑤

0676

^{ㄱ. y=a}'ƒx+b+c의 그래프는 y=a'x의 그래프를 ㄱ.x축의 방향으로 -b만큼, y축의 방향으로 c만큼 평행이동

한 것이다. (참)

ㄴ. a>0, b<0, c>0이면 주어진 함수 의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 제 2 사분면을 지나지 않는다. (거짓) ㄷ. x+bæ0에서 xæ-b

따라서 정의역은 {x|xæ-b}이다.

a<0이면 a'x∂+åb…0이므로 치역은 {y|y…c} (참)

O x

c -b

O 2 -1 -3

x y

-;2;

5 O -3

-3 x y

;2;

'6-3

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ③

0677

^{함수 y=a}'ƒx+b+c의 그래프는 함수 y=a'x의 그 래프를 x축의 방향으로 -b만큼, y축의 방향으로 c만큼 평행 이동한 것이므로

-b=-2, c=-1

∴ b=2, c=-1

∴ y=a'ƒx+2-1

한편, 이 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 1=a'2-1 ∴ a='2

∴ abc='2¥2¥(-1)=-2'2 ^답 -2'2

0678

주어진 함수의 그래프에서 정의역은 {x|x…3}, 치역 은 {y|yæ-2}이므로

y=k"a√(x-≈3Ω)-2 (k>0, a<0)

따라서 주어진 함수의 그래프의 식으로 적당한 것은 ⑤이다.

답 ⑤

0679

주어진 함수의 그래프는 y=-'aßx (a<0)의 그래프 를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로

y=-"√a(xç-≈1Ω)+2 yy㉠

㉠의 그래프가 점 (-2, 0)을 지나므로 0=-"√a(-√2-1Ω)+2

'ƒ-3a=2 ∴ a=-;3$;

이것을 ㉠에 대입하면

y=-æ-≠;3$;(x–≠-1)+2=-æ-≠;3$;x≠+;3$; +2

∴ a=-;3$;, b=;3$;, c=2

∴ a+b+c=2 답 2

0680

주어진 함수의 그래프는 y=-'aåx (a>0)의 그래프 를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 것이므로

y=-"√a(x√-mΩ)+n=-'aƒx-∂am+n 이 함수가 y=-'aƒx+b+c와 같으므로 b=-am, c=n

주어진 함수의 그래프에서 a>0, m<0, n>0이므로 a>0, b>0, c>0

ㄱ. ac>0 (참)

ㄴ. x=1일 때, -'ƒa+b+c<0이므로 ㄴ. 'ƒa+b>c

ㄴ. 즉, a+b>c¤ >c (∵ |c|>1) ㄴ. ∴ a+b>c (참)

ㄷ. x=0일 때, -'b+c<0

단계 채점요소 배점

평행이동한 함수의 식 구하기 40%

대칭이동한 함수의 식 구하기 40%

a+b+c의 값 구하기 20%

ㄴ. c<'b에서 b>c¤ >c ㄴ. ∴ c<b

ㄴ. c>0이므로;cB;>1 (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ

0681

y='ƒ-x∂+ßa-1의 그래프는 함수 y='∂-ßx의 그래프를 평행이동한 것이므로 x의 값이 증가할 때, y의 값은 감소한다.

따라서 x=-3일 때 최댓값, x=2일 때 최솟값을 가진다.

x=-3일 때, 최댓값이 2이므로

'ƒ3+a-1=2, 'ƒ3+a=3, 3+a=9 ∴ a=6

∴ y='ƒ-x∂+ß6-1

그러므로 x=2일 때, 최솟값은

'ƒ-2∂+ß6-1=1 ^답 ①

0682

^{함수 y=}'ƒx+1-1의 그래프는 y='x의 그래프를 x 축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.

3…x…8에서 y='ƒx+1-1의 그 래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x=3일 때, 최솟값

m='ƒ3+1-1=1 x=8일 때, 최댓값 M='ƒ8+1-1=2

∴ M+m=2+1=3 답 3

0683

y='ƒ-2ƒx+a+3의 그래프는 y='ƒ-2x의 그래프를 평행이동한 것이므로 x의 값이 증가할 때, y의 값은 감소한다.

따라서 x=-6일 때 최댓값, x=2일 때 최솟값을 가진다.

x=-6일 때, 최댓값이 7이므로 '1ƒ2+a+3=7, '1ƒ2+a=4 12+a=16 ∴ a=4

∴ y='ƒ-2ƒx+4+3

그러므로 x=2일 때, 최솟값은

'ƒ-ƒ4+4+3=3 ^답 ③

0684

y=-'2ƒx-3+1=-æ≠2{x≠-;2#;—}+1 따라서 함수 y=-'2ƒx-3+1의 그래프 는 함수 y=-'2ßx의 그래프를 x축의 방 향으로;2#;만큼, y축의 방향으로 1만큼 평 행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.

따라서 2…x…a에서

x=2일 때, 최댓값 b를 가지므로 b=-'ƒ2¥ƒ2-3+1 ∴ b=0 또, x=a일 때, 최솟값 -2를 가지므로

O x

y 1

;2;3

O x

3 -11

-1 8

-2=-'2ƒa-3+1

'2ƒa-3=3, 2a-3=9 ∴ a=6

∴ a+b=6+0=6 답 ⑤

0685

오른쪽 그림과 같이 곡 선과 직선이 서로 다른 두 점에 서 만나려면 직선이 어두운 부 분에 있어야 한다.

⁄직선 y=-x+k가 함수 y='ƒ1-x의 그래프와 접할 때, 'ƒ1-x=-x+k 양변을 제곱하면 1-x=x¤ -2kx+k¤

x¤ -(2k-1)x+k¤ -1=0

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(2k-1)¤ -4(k¤ -1)=0 -4k+5=0 ∴ k=;4%;

¤직선 y=-x+k가 점 (1, 0)을 지날 때, 0=-1+k ∴ k=1

⁄, ¤에서 곡선과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면

1…k<;4%; ^답 ⑤

0686

^{함수 y=}'3ƒx-2의 그래프와 직선 y=x+k가 접하므 로'3ƒx-2=x+k의 양변을 제곱하면

3x-2=x¤ +2kx+k¤

x¤ +(2k-3)x+k¤ +2=0

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(2k-3)¤ -4(k¤ +2)=0

-12k+1=0 ∴ k=;1¡2; ^답 ;1¡2;

0687

n(A;B)=2이므로 함수 y='ƒx+2의 그래프와 직 선 y=x+k는 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.

⁄곡선 y='ƒx+2와 직선 y=x+k가 접할 때,

⁄x+k='ƒx+2의 양변을 제곱하면

⁄x¤ +2kx+k¤ =x+2

⁄x¤ +(2k-1)x+k¤ -2=0

⁄이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

⁄D=(2k-1)¤ -4(k¤ -2)=0

O x

⁄

-2

y="çx+2 y=x+k

O x

¤ ⁄y

1 y="ç1-x 1

y=-x+k

⁄-4k+9=0 ∴ k=;4(;

¤직선 y=x+k가 점 (-2, 0)을 지날 때,

⁄0=-2+k ∴ k=2

⁄, ¤에서 곡선과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 2…k<;4(;

답 2…k<;4(;

0688

오른쪽 그림과 같이 함수 y='ƒx-3의 그래프와 직선 y=x+k가 한 점에서 만나려면 직 선 y=x+k의 위치는 직선 ¤의 오 른쪽 또는 직선 ⁄이어야 한다.

⁄직선 y=x+k가 함수 y='ƒx-3의 그래프와 접할 때,

⁄'ƒx-3=x+k의 양변을 제곱하면

⁄x-3=x¤ +2kx+k¤

⁄x¤ +(2k-1)x+k¤ +3=0

⁄이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

⁄D=(2k-1)¤ -4(k¤ +3)=0

⁄-4k-11=0 ∴ k=-;;¡4¡;;

¤직선 y=x+k가 점 (3, 0)을 지날 때

⁄0=3+k ∴ k=-3

⁄, ¤에서 곡선과 직선이 한 점에서 만나기 위해서는

k=-;;¡4¡;; 또는 k<-3 ^답 ⑤

0689

^{함수 y=4-}'2ƒx+6의 치역이 {y|y…4}이므로 역함 수의 정의역은 {x|x…4}이다.

y=4-'2ƒx+6에서 y-4=-'2ƒx+6 양변을 제곱하면

(y-4)¤ =2x+6 ∴ x=;2!;(y-4)¤ -3 x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=;2!;(x-4)¤ -3 (x…4)

따라서 a=;2!;, b=-4, c=-3, d=4이므로

abcd=;2!;¥(-4)¥(-3)¥4=24 ^답 24

O x

y ⁄¤

y=x+k 3

y="çx-3

0690

f —⁄ (-2)=k라 하면 f(k)=-2 -'4ƒ-2k-1=-2, '4ƒ-2k=1 양변을 제곱하면

4-2k=1 ∴ k=;2#; ^답 ;2#;

0691

두 함수가 서로 역함수이므로 두 함수의 그래프의 교 점은 곡선 y='ƒx+1-1과 직선 y=x의 교점과 같다.

'ƒx+1-1=x에서 'ƒx+1=x+1 양변을 제곱하면 x+1=x¤ +2x+1 x¤ +x=0, x(x+1)=0

∴ x=-1 또는 x=0

따라서 주어진 두 함수의 그래프는 두 점 (-1, -1), (0, 0) 에서 만나므로 두 점 사이의 거리는

"(√-1)√¤ +(√-1)Ω¤ ='2 ^답 ②

0692

함수 y=f(x)와 그 역함수 y=f —⁄ (x)의 그래프는 오른쪽 그림 과 같이 직선 y=x에 대하여 대칭이 므로 두 함수 y=f(x), y=f—⁄ (x) 의 그래프의 교점은 y=f(x)의 그 래프와 직선 y=x의 교점과 같다.

'ƒx+6=x의 양변을 제곱하면 x+6=x¤

x¤ -x-6=0, (x+2)(x-3)=0

∴ x=3 (∵ x>0)

따라서 교점의 좌표가 (3, 3)이므로

a=3, b=3 ∴ a+b=6 답 ④

0693

fΩf —⁄ =f —⁄ Ωf=I (I는 항등함수)이므로 ( f —⁄ Ωf —⁄ Ωf)(3)=( f —⁄ ΩI)(3)=f —⁄ (3) f —⁄ (3)=k라 하면 f(k)=3

'2ƒk-3=3, 2k-3=9 ∴ k=6 답 ⑤

0694

(( fΩg—⁄ )—⁄ Ωf)(3)=(gΩf—⁄ Ωf)(3)=g(3)

='ƒ6-5=1 ^답 ①

0695

((gΩf)—⁄ Ωg)(4)=(f—⁄ Ωg—⁄ Ωg)(4)

=f —⁄ (4)

f —⁄ (4)=k라 하면 f(k)=4

'2ƒk-1+3=4에서 '2ƒk-1=1 2k-1=1 ∴ k=1

답 1

-6 -6

y=f(x) y=x

O x

y y=f —⁄ (x)

단계 채점요소 배점

직선과 곡선이 접할 조건 구하기 40%

직선이 점 (-2, 0)을 지날 조건 구하기 40%

k의 값의 범위 구하기 20%

0696

( f —⁄ Ωf —⁄ )(a)=( fΩf)—⁄ (a)=9이므로 ( fΩf)(9)=a

f(x)=[ 이므로

( fΩf)(9)=f( f(9))=f(-2)='4=2

∴ a=2 답 ④

0697

^x= =('3-'2)¤ =5-2'6 y= =('3+'2)¤ =5+2'6 이므로 x+y=10, xy=1

∴ 2x¤ -5xy+2y¤ =2(x¤ +y¤ )-5xy

=2{(x+y)¤ -2xy}-5xy

=2(10¤ -2)-5¥1

=191 답 ④

0698

^{(주어진 식)=}

= 답 ①

0699

^x= ⁼ ^=5+'2å1

y= = =5-'2å1

이므로 x+y=10, xy=4

∴ ('x-'y )¤ =x+y-2'åxy

=10-2'4

이때 x>y이므로'x-'y='6 ^답 ②

0700

'ƒx-1 'ƒy-2=-"√(x-1)(y-2)이므로 x-1…0, y-2…0므로yy㉠

=-æ≠ 이므로

x+1æ0, y+1<0므로yy㉡

㉠, ㉡에서 -1…x…1, y<-1 1412x+1y+1 'ƒx+1

14112 'ƒy+1

4(5-'2å1) (5+'2å1)(5-'2å1) 4

5+'2å1

4(5+'2å1) (5-'2å1)(5+'2å1) 4

5-'2å1

'2-'6 2 2(1-'3)

2'2

(1-'3)¤ -('2)¤

(1+'2)¤ -('3)¤

(1-'2-'3)(1+'2-'3) (1+'2+'3)(1+'2-'3) '3+'2

14112 '3-'2

'3-'2 14112

'3+'2 -'x+1 (xæ1) 'ƒ2-x (x<1)

∴ |x-2|+"√(x+1)¤ -|y-3|+"≈y¤

∴=-(x-2)+x+1+y-3-y

∴=0 답 ③

0701

^{x- ^}^{¤ =x¤ +} ^-2에서

x¤ + ={x- }¤ +2 9={x- }¤ +2

∴{x- }¤ =9-2=7

그런데 0<x<1에서 x< 이므로 x- <0 ∴ x- =-'7 이 식의 양변에 x를 곱하면

x¤ -1=-'7x ∴ x¤ +'7x=1 ^답 ③

0702

y=2'ƒx+2의 치역은 {y|yæ0}이므로 역함수의 정의 역은 {x|xæ0}이다.

y=2'ƒx+2의 양변을 제곱하면 y¤ =4(x+2)

∴ x=

x와 y를 서로 바꾸면 역함수는

y= =;4!;x¤ -2 (xæ0) ^답 ③

0703

^{함수 y=}'ƒx+1의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y 축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면

0703

^{함수 y=}'ƒx+1의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y 축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면

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