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삼각함수 도형문제

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Academic year: 2022

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(1)

기하와 벡터 (2009 학년도 - 2015 학년도 )

삼각함수 도형문제

학년도 학년도

(2006 -2015 )

모든 문제의 풀이의 근거와 이유 보편성을 찾도록 합니다 왜 그렇게 풀어야만 하 , . 는지 다른 발상을 하면 왜 안 되는지 고민합니다 , .

다른 문제에도 적용이 되는 가 개념에서 배웠는가 어디에서 힌트를 얻는

“ ?”, “ ?”, “

가 ?” 를 중점적으로 살펴보면 대부분의 경우 답이 될 것입니다 .

틀린 문제에 대해서는 무엇을 잘못했는지 찾아내서 사고 교정을 합니다 맞춘 문제 .

에 대해서도 철저한 분석을 통해 사고 , 교정을 합니다.

참고 : 2009학년도 ~ 2012학년도 평면곡선은 제외되어 있습니다. 교육과정에서 벗어난 삼각함수 도형문제는 제외되어 있습니다.

(2)

지수 삼각함수 극한 파트이며 대부분 삼각함수 문제로 이루어져 있/ , 습니다.

공간좌표에서 설명한 내용은 평면좌표계에서도 적용됩니다 평면좌표. 에 있는 문제를 좌표축을 없애고 기하학적으로만 풀고 싶으면 문제에, 주어진 거리정보 각정보, 를 이용해서 표현해놓고 풀면 됩니다 축을. 없애는 과정에서 어떤 점의, 좌표가 주어졌다면 이를 이용해 다른 점, 과의 거리를 이용해도 되지만, 원점에서축 방향,축방향 거리로 생 각해도 됩니다 좌표값의 기하학적 의미.( )

문제에 주어진 도형이 좌표상으로 표현되어 있지 않으면 그냥 기하, 학적으로 풀면 됩니다.

삼각함수의 정의는 직각삼각형에서 빗변, 밑변, 높이사이의 비율 나타냅니다 따라서 우리는 각을 알고 한 변의 길이를 알면 다른 변. , , 의 길이를 알 수 있음을 반드시 생각해야 합니다 대부분의 문제는. 각 삼각형이 완성되지 않은 상태로 주어집니다 그래도 보조선을 그어. 서 밑변 높이 빗변 길이를 생각할 수 있어야 합니다 머릿속에 꼭 넣, , . 으세요. 각을 알고 한 선분의 길이 알면 다른 두 선분의 길이를 알, 수 있다.

위 관점이 모두 적용되는 문제 월 즉 학년도

( : 2012 9 , 2013 9 )

번부터 순서대로 풀길 바라며 하루에 몰아서 풀지 마세요 이러면

1 , .

문제에 질려버리고 그대로 집중력 저하로 이어지며 이게 습관이 굳, , 어지면 실력퇴화로 이어집니다.

나눠서 풀도록 하며 집중력이 좋을 때 푸는 것을 권장합니다 미적, . 분 공도벡에 쓰는 뇌와 살짝 다르므로 개인적으로 추천하는 방식은, , 다른 수학문제 푸는 것에 추가로 곁들어서 매일매일 풀어주는 것입니 다 본인 입맛대로 하세요 몰아서 푸는 것만 금지. . .

1.

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형

에서 변의 중점을, 변

의 중점을라 하자.

선분 위의 양 끝점이 아 닌 임의의 점에 대하여 선 분와 선분의 교점을

, 선분와 선분의 교 점을라 하자. ∠  ,

∠  라 할 때, <보기>

에서 옳은 것을 모두 고른 것 은? 1)

[4][2005 6]

< >

 

  

lim

→ 



 



 

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ

,

④ ㄱ ㄴ ⑤ ㄱ ㄷ,

2.

[그림]은 중심이 같은 두 개의 정각형에서 큰 정각형의 꼭지점 작은 정, 각형의 꼭지점과 중심이 한 직선 위에 있도록 연결한 것이다 중심에서 두 개의 정. 각형의 꼭지점까지의 거 리는 각각 , 이다. [그림]의 어두운 부분을 잘라내어 만든

그림

[ ]와 같은 도형의 넓이를 이라 하자.

lim

 → ∞

의 값을 구하시오. 2)

[4][2005 6]

그림

[ ] [그림]

(3)

3.

곡선      위를 움 직이는 점 와 원점 를 이은 선분이 축의 양의 방향과 이 루는 각의 크기를 라 한다 점.

가 원점 에 한없이 가까워 질 때 의 극한값은? 3)

[3][2005 7 월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

4.

곡선    위를 움직이는 점    와 두 점   ,

  에 대하여 삼각형 의 넓이를    라 할 때,

lim

 →     

  

의 값은 단?( , 는 자연로그의 밑) 4)

[4][2005 10]

①    ②    ③

  



  

  

5.

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형에서 변

의 중점를 중심으로 하고 반지름의 길이가인 반원 위에 점

가 있다.∠  일 때 삼각형의 넓이를   , 부채 꼴 의 넓이를   라 하자.

lim

 → 

  

    

  라 할 때, 의 값을 구하시오.

( , < < 

이다.) 5)

[4][2005 9]

6.

 <θ < 

 θ ≠ 

 일 때 곡선,    위의 점

 θ  θ 를 지나고 축에 수직인 직선과 곡선    의 교점을 라 하자 점. 를 지나고 축에 평행한 직선과 점

  

를 지나고 축에 수직인 직선의 교점을 라 하자.

삼각형 의 넓이를  θ , 삼각형 의 넓이를  θ 라 할 때,

lim

θ → 

 θ 

 θ 

의 값은? 6)

[4][2006 6]

①  ②  ③  ④  ⑤  x

(4)

7.

그림과 같이 중심각의 크기가 이고 반지름의 길이가 인 부 채꼴 가 있다 부채꼴의 호. 의 길이를 , 삼각형 에 내접하는 원의 둘레의 길이를 라 할 때,

lim

 → 

의 값은?7)

[4][2006 9]

 ②

 ③  ④

 ⑤ 

8.

곡선    위의

점   과 원점 에 대하여 직선 와 축의 양의 방향이 이루 는 각의 크기를 라고 하자.

이때,

lim

 → 

의 값은? 8)

[3][2006 10]

①  ②    ③ 

④    ⑤   

9.

그림과 같이 지름의 길이가 이고 두 점, ,를 지름의 양 끝 점으로 하는 반원 위에 점가 있다 삼각형. 의 내접원의 중심을, 중심에서 선분와 선분에 내린 수선의 발을 각각,라 하자.∠  이고 호, 의 길이를 , 호

의 길이를 라 할 때,

lim

 → 

의 값은? 9)

( ,  <θ <

이다.)

[3][2007 6]

①  ②

 ③

 ④

 ⑤

10.

오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 에 서 ∠    이다 꼭지점. 로부 터 빗변 에 내린 수선의 발을 ,

∠  라 할 때,

lim

 →  ·   



의 값 은? 10)

[3][2007 10]

①  ②  ③

 ④  ⑤ 

(5)

11.

좌표평면에서 원     과 포물선  의 교 점 중 제사 분 면 위 에 있 는 점 을 라 하 고, 두 점

,  를 지나는 직선이 축과 만나는 점을 라 하자.

다음은 의 값이 에 한없이 가까워질 때 점, 가 한없이 가까워지는 점의 좌표를 구하는 과정이다.

선분 와 축이 이루 는 각의 크기를 라 하면 점 는 원    위의 점이므로

 로 놓을 수 있다. 이때, 점 는 포물선   위의 점이 므로

  ( ) 이다. … ㉠

두 점  ,  를 지나는 직선의 방정식은

  

  

  

이므로 점 의 좌표를  으로 놓으면

    



이다. … ㉡

 → 일 때,  → 

 이므로 ㉠ ㉡, 에서

lim

 → 

 

lim

→

  



( ) 이다.

따라서 의 값이  한없이 가까워질 때, 점 는 점 ( ( ) , 0)에 한없이 가까워진다.

위 과정에서 가( ), ( )나 에 알맞은 것은?11)

[4][2007 10]

( ) ( )나



 



 



 



 



 

12.

그림과 같이 양수 에 대하여 ∠  ∠  이고

 인 이등변삼각형 가 있다 삼각형. 의 내접원의 중심을 , 선분 와 내접원이 만나는 점을 , 선분 와 내 접원이 만나는 점을 라 하자.

삼각형 의 넓이를  라 할 때, lim

 →  

  

의 값은?12)

[3][2008년 수능]

 ②

 ③

 ⑤

13.

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형에서 변

를 연장한 직선 위에  인 점가 있다 점. 를 꼭짓점으로 하고 한 변의 길이가 인 정사각형에 대하여∠   일 때 변, 와 변의 교점을, 변와 변의 교점을 이라 하자 삼각형. 의 넓이를  라 할 때,

lim

 → 

 

 

이다.  의 값을 구하시오. ( ,단 < <

이고,  는 서로 소인 자연수이다.) 13)

[4][2008 6]

(6)

14.

그림과 같이 반지름의 길이가 1인 두 원이 서로 다른 두 점 에서 만나고 있다 이 두 원 내부의 공통부분의 길이를. , 두 원 의 교점을 잇는 선분의 길이를 이라 하자 두 원의 중심사이의. 거리가 에 한없이 가까워질 때2 ,

 의 극한값은? 14)

[4][2008 5]

①  ②

 ③ ④

 ⑤

15.

그림과 같이 두 곡선    (  ),     이 제사 분면에서 만나는 점을 라 하자 원점. 와 두 점  ,

 에 대하여 삼각형 의 넓이를 , 삼각형 의 넓이를 라 하자. 의 값이 한없이 커질 때,

의 값은 에 한없이 가까워진다. 의 값은? 15)

[3][2008 10]

 ②

 ③  ④  ⑤ 

16.

그림과 같이 양수 에 대하여

∠   ∠  

  인 직각삼각형  가 있다.

변  위에 있는  인 점 에 대하여 삼각형  의 둘레의 길이를 라 하자.

lim

→ 

의 값을 구하시오. 16)

[4][2009 6]

17.

좌표평면 위에 타원



 

 과 점  이 있고 원, 점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 11인 원 과 원점을 중 심으로 하고 반지름의 길이가 3인 원 가 있다 제. 1사분면에 있는 원  위의 점 에 대하여 선분 와 원 의 교점을

, 점 에서 축에 내린 수선의 발을 , 선분 와 타원의 교점을 , 선분 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 θ라 하자 삼각형. 의 넓이를 이라 하고 삼각형, 의 넓이를 라 하자.

lim

 → ⋅

 

일 때,   의 값을 구하시오. ( ,단 와 는 서 로소인 자연수이다.) 17)

[4][2009 9]

(7)

18.

그림과 같이 원    위의 점 에서의 접선이 축과 만나는 점을 라 하자. 점   과 원점 에 대하여

∠  라 할 때,

lim

→

  

  

의 값은?18)

단 점

( , 는 제 사분면 위의 점이다.)

[3][2010년 수능]

①  ②  ③

④  ⑤

19.

좌표평면에서 중심이 원점 이고 반지름의 길이가 인 원 위의 점 에서의 접선이 축과 만나는 점을 , 점  과 점 를 지나는 직선이 축과 만나는 점을 라 하자.

∠  라 하고 삼각형 의 넓이를  라고 하자.

lim

 →  

 

 일 때, 의 값을 구하시오.

단 점

( , 는 제사분면 위의 점이다.) 19)

[4][2010 6]

20.

그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가

인 부채꼴 가 있다 호.  위의 점 에서 선분 와 선분

에 내린 수선의 발을 각각 , 라 하고 ∠⊤  라 하자 점.

와 점 를 지름의 양끝으로 하고 점 를 지나는 반원을 라 할 때 반원, 의 호 , 선분 , 부채꼴 의 호 로 둘러싸인 부분의 넓이를 , 삼각형 의 넓이를 라 하 자.

lim

→ 

  

 일 때, 의 값을 구하시오.

( ,     

) 20)

[4][2010 9]

21.

좌표평면에서 그림과 같이 원    위의 점 에 대하 여 선분 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를

    

라 하자.

점 를 지나고 축에 평행한 직선이 곡선    과 만나는 점을 라 하고, 점 에서 축에 내린 수선의 발을 라 하자.

선분 와 선분 의 교점을 라 할 때 삼각형, 의 넓이 를 라 하자

lim

→ 

 일 때, 의 값을 구하시오. 21)

① [][2011년 수능]

(8)

22.

그림과 같이 길이가 인 선분 를 지름으로 하는 반원이 있다 선분. 의 중점 와 반원 위를 움직이는 점 에 대하 여 부채꼴 에 내접하는 원을 , 현 와 호 로 둘 러싸인 부분에 내접하는 원 중 반지름의 길이가 가장 큰 원을

라 하자. ∠  라 하고 두 원 , 의 반지름의 길이 를 각각   ,   라 할 때,

lim

→

  

  

 

이다.

 의 값을 구하시오. ( ,단 , 는 서로소인 자연수이다.)22)

[4][2011 3]

23.

그림과 같이 중심각의 크기가 이고 반지름의 길이가 인 부 채꼴 에서 호 를 등분한 각 점 양 끝점도 포함 을 차( ) 례로

  , , , , ⋯,   ,  

라 하자. , , , ⋯,   을 각각 밑변으로 하는 정삼각형 개의 넓이의 합을  이라 할 때,

lim

 → ∞

․ 의 값은?23)

[3][2011 4]

   

  

 

① 

② 

③ 

④ 

⑤ 

24.

중심이 이고 두 점,  를 지름의 양 끝으로 하며 반지름 의 길이가 인 원 가 있다 그림과 같이 원.  위의 점 에 대하여 점 를 지나고 직선 와 평행한 직선이 선분 와 만나는 점을 , 호 와 만나는 점을 라 하자.

∠       

라 하고 점, 와 점 를 지름의 양 끝으

로 하는 원의 넓이를 라 할 때,

lim

→ 

 

이다.    의 값을 구하시오. ( ,단  이고, 와 는 서로소인 정수이 다.) 24)

[4][2011 6]

25.

그림과 같이 반지름의 길이가 인 원 위에 한 점 가 있다.

  이 되는 원 위의 두 점을 , , 지름  위의 점을 라 하자. ∠  에 대하여 사각형 의 넓이를

라 할 때,

lim

 → 

의 값은? 25)

[4][2011 7]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

(9)

26.

그림과 같이 중심이 이고 길이가 인 선분 를 지름으로 하는 원 위의 점 에서 선분 에 내린 수선의 발을 , 점

에서 선분 에 내린 수선의 발을 , 점 에서 선분 에 내린 수선의 발을 라 하자.

∠  

    

일 때 삼각형, 의 넓이를 ,

각형 의 넓이를 라 하자.

lim

→ 



 

일 때,

 의 값을 구하시오.26)( ,단 와 는 서로소인 자연수이다.)

⑥ [4점][2012년 수능]

27.

그림과 같이 길이가 인 선분 를 지름으로 하고 중심이

인 반원이 있다. 호  위를 움직이는 점 에 대하여

∠ 일 때 삼각형, 에 내접하는 원의 넓이를  

라 하자.

lim

 →  

 

의 값은? ( ,단      이다.) 27)

[4][2012 3]

 ②

 ③

 ④



 ⑤



28.

그림과 같이 길이가 인 선분 를 지름으로 하는 반원 위 에 두 점 , 를 ∠  ∠  

    

가 되도록

잡는다 두 선분. , 와 호 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 할 때,

lim

→ 



 

    이다.  의 값

을 구하시오. ( ,단 와 는 유리수이다.)28)

[4][2012 6]

29.

29) 그림과 같이 점   과 원    위의 점 에 대 하여 직선 가 원     과 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 에 가까운 점을 라 하자.

∠  라 할 때,

lim

→ 



의 값은?

[4][2012 9] [아마 제 코싸인 안 써도 풀릴2 것으로 생각 됨]

 ②  ③

 ④  ⑤

(10)

30.

30) 그림과 같이 길이가 인 선분 를 지름으로 하는 반원 위 의 점 를 가 되도록 잡는다 호.  위를 움직이는 점 에 대하여 선분 와 선분 가 만나는 점을 라 하고,

∠  라 하자. 삼각형 의 넓이를  라 할 때,

lim

→ 

 

의 값은?

단     

[4][2012 10]

②  ③  ④  ⑤ 

31.

31) 한 변의 길이가 인 정사각형 의 변 위의 점  에 대하여 ∠  라 하고, 변 위의 점 를

∠  

 가 되도록 잡는다 삼각형. 의 넓이를 , 삼 각형 의 내접원의 넓이를 라 할 때,

lim

→  ×

  



이다.   의 값을 구하시오.

( , 와 는 서로소인 자연수이다.) [4 ][2012점 년 월5 ]

32.

32) 그림과 같이 길이가 인 선분 를 지름으로 하는 반원 위 에 점 가 있다 점. 를 지나고 선분 에 수직인 직선이 직 선 와 만나는 점을 라 하고 점, 에서 이 반원에 접하는 직선과 선분 가 만나는 점을 라 하자. ∠  라 하고 삼각형 의 넓이를  라 할 때,

lim

→ 

의 값은?

( ,     

이다.)

[4][2013 3]

 ②

 ③  ④

 ⑤ 

33.

33) 그림과 같이 좌표평면에서 점 가 원점 를 출발하여 축 을 따라 양의 방향으로 이동할 때 점, 는 점   을 출발 하여    을 만족시키며 축을 따라 음의 방향으로 이동한 다. ∠   ( <  < 

)일 때 삼각형, 의 내접원의

반지름의 길이를  라 하자 이때. ,

lim

 →

의 값을 구하시 오.

[3][2013 4]

  





(11)

34.

34) 그림과 같이 길이가 인 선분 를 한 변으로 하고,

    ∠  인 이등변삼각형 가 있다 선분. 

의 연장선 위에   인 점 를 잡고,   이고

∠  인 점 를 잡는다 삼각형. 의 넓이를 라 할 때,

lim

→ 

 ×의 값을 구하시오. ( ,단     

)

[4][2014년 수능]

35.

35) 그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가

 인 부채꼴 와 선분 를 지름으로 하는 반원이 있다 호. 

위의 점 에 대하여 점 에서 선분 에 내린 수선의 발을

, 선분 와 반원의 교점 중 가 아닌 점을 라 하고,

∠  라 하자. 삼각형 의 넓이를  라 할 때,

lim

→ 

 

의 값은?

[4][2014 3]

 ②

 ③

 ④

 ⑤

36.

36) 2보다 큰 실수 에 대하여 두 곡선   ,      가

축과 만나는 점을 각각 , 라 하고 두 곡선의 교점을, 라 하자 직선. 의 기울기를 , 직선 의 기울기를  라 할 때,

lim

 →  

 의 값은?

[4][2014 3]



 ②



 ③  ④    ⑤ 

37.

37) 그림과 같이 사다리꼴 에서 변 와 변 가 평행 하고 ∠  , ∠  ,   ,     이다.

사다리꼴 의 넓이를 라 할 때,

lim

→ 

 

 이다.

  의 값을 구하시오.

( ,     

 이고, 와 는 서로소인 자연수이다.)

[4][2014 6]

(12)

38.

38)  ,  , ∠  인 이등변삼각형 가 있 다 그림과 같이 선분. 의 연장선 위에  인 점 를 잡는다 삼각형. 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 , 삼 각형 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 할 때,

lim

 →  

의 값은?

[4][2014 7]

  

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

39.

39) 그림과 같이 서로 평행한 두 직선 과  사이의 거리가 1 이다 직선. 위의 점 에 대하여 직선 위에 점 를 선분

와 직선 이 이루는 각의 크기가 가 되도록 잡고 직선,  위에 점 를 ∠   가 되도록 잡는다 직선. 위에 점  를 ∠  이고 선분 가 선분 와 만나지 않도록 잡 는다.

삼각형 의 넓이를 , 삼각형 의 넓이를 라 할 때,

lim

 →  

의 값을 구하시오. ( .단     



 )

[4][2014 9][아마 제 코싸인 안 써도 풀릴2 것으로 생각 됨]

40.

40) 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원에 외접하고

∠  ∠  인 이등변삼각형 가 있다.

선분 의 연장선 위에 점 가 아닌 점 를 ∠  가 되 도록 잡는다 삼각형. 의 넓이를 라 할 때,

lim

→ 

 ×의 값은? ( ,단     

)

[4][2015년 수능]

 ②

 ③

 ④

 ⑤



(13)

1) ⑤

오른쪽 그림과 같이 점 에서에 내린 수선의 발을 라 하고,와가 만나는 점을 라 하자.

ㄱ. (참) , 이므로

      일정( ) 거짓

. ( )

ㄴ △ 에서∠  α  β  ˚

∴     ˚  ∠

이 때 점, 의 위치에 따라 ∠ 의 크기가 달라지 고,

∠ 의 크기가 달라지면   의 값이 달라진다.

참 . ( )

ㄷ △ 에서  

 이므로

 

  

lim

→ 



 



lim

→



 

 

lim

→ 



 



 

 

따라서 옳은 것은, ㄱ ㄷ, 이다. 2) 250

그림

[ ]의 도형의 넓이는 두 변의 길이가 인 이등변삼각형  개의 넓이와 두 변의 길이가 인 이등변삼각형  개의 넓이의 합이다.

이 때 같은 두 변 사이의 끼인 각의 크기는, 

 

이므로

 ․

․․

 ․

․․

 ․

∴ 

lim

→∞

 

lim

→∞

․

 →∞

lim





 

3) ③

점P의 좌표를 P     라 하면

  

  

이때,  → 이면  →이므로

lim

→

 

lim

→

  

lim

→

  

× 

4) ③

△ 의 넓이   

․ ․  

   이므로

lim

 →    

 

lim

 →    

  

 

  

lim

 →    



 

  

× (∵

lim

 →   

  )

lim

 →    

  

  

5)

   θ

 θ  

․․∠

  θ

 θ

  θ



θ   

θ

  θ

θ  

θ

 θ  θθ

  θ  θ  θθ θ θ  

․․θ  θ

lim

θ→θ

  θ

lim

θ→θ

θ  θθ

 

lim

θ→θ

θ․

lim

θ→

θ  θ  ․․  

α  

6) ②

  θ  

 ,

 θ  

θ  θ

 θ

θ  

 θ

 

 θ

θ

 θ

 



 θ

θ  θ



 θ  

 ,

 θ  

θ  θ

θ  

θ  

θ  

 

θ  

θ

 θ

 

θ  

θ  θ

 



 θ

θ  θ

lim

θ→

θ

 θ

lim

θ→



 θ

θ  θ

lim

θ→

 θ



 θ

θ  θ

θ  θθ  θ

 θ

lim

θ→

 θ

θ  θ

θ  θ

 θ

lim

→ 

         

        

(14)

lim

→ 

    

    

lim

θ→

θ  θ

  θ

 



 

 

 



 

7) ③

A B

O

 θ

 △  

θ

 

△  

 

 

× 

  θ



θ    θ

∴   

   θ



θ

 θ  

   θ

θ

lim

θ→

lim

θ→θ

 × 

   θ

θ

lim

θ→θ

θ× 

   θ

  ×   8) ①

lim

→

는 곡선    위의 원점에서 그은 접선의 기울기 이다.

 ′   이므로   ′    

9) ④

의 중점을 ′이라 하면 ∠′  이므로

  ×  

직각삼각형 에서

    ,    

∆의 넓이를  원, 의 반지름을  라 하면

  

      

 

×  × 

∴       

  

∠     이므로

       

  

  

lim

 →

lim

 →    

      

 

10) ④

∠    이므로  이다.

∠  이므로       이다.

lim

 →  ·   



lim

 →  ·   

 

lim

 → 

 

· 

·   

 · 

lim

 → 

 ,

lim

 → 

 ,

lim

 →   

  이므로

lim

 → 

 

· 

·   

 · 

lim

 → 

 

·

lim

 → 

·

lim

 →   

 · 

 가 된다.

11) ④

( ) :   가 



나 ( ) :

lim

→

  



lim

→ 

  



 

12) ②

사각형 에서∠    ,

∠  ∠ 이므로 ∠  

한편, 에서 선분에 내린 수선의 발을 라 하고, 내접원의 반지름의 길이를 라 하면



  



 

 

∴  ∆  

  



 

lim

→ 



lim

→ 



 

lim

→ 











 

13) 65





  이므로

(15)

  

  

  

또, ∠  

 에서





 

 

 

  ⋅

 

⋅⋅  

 

  

×

 

  

⋅

 



   

⋅ 

 

     

   

lim

→



lim

→    ⋅

   

lim

→    ⋅    

      

lim

→    ⋅   



 ⋅⋅

  

  

14) ③

   × ×  

  × ×

lim

→



 ×   

15) ④

   이라 하면 →∞일 때 →이다.

 

  ,  

이므로

 

lim

→∞

lim

→

  

 

16) 

  

  

 이므로      이고   

    

   

lim

→ 

  

   

       

17) 27

조건에 의해    ,    ,   ,

   ,       로 놓을 수 있다.

  ,   ,     

∆   

⋅⋅  

⋅⋅  

∆   

⋅⋅  

⋅⋅  

   

lim

→⋅

 ⋅

  

 

⋅

  

⋅









 



∴         

18) ④

그림에서 ∆가 이등변삼각형이므로 ∠  

∴  

를 지나는 접선의 방정식은     

∴ 



  

∴   

  

   

      

    

   

  

  

(16)

한편   

 라 하면   

 이므로



  

 



 



 

 

  

  

  

 

 



lim

 → 

  

 

lim

 →  





 

lim

 →  



․

 ․

 

19) 

 라 하면 접선은      이므로 의 좌표는



  

직선  식은   

  

  이고, 좌표는

  

  

  

× ×

  

  

 

 ×   

    

 

 ×   

  

 





lim

→ 



lim

→ 







lim

→ 



 

∴    × 

 

20) 

의 좌표를  라 하고 직사각형, 에서 두 대 각선 , 의 교점을이라 하자.

  부채꼴의넓이

 삼각형의 넓이

 부채꼴의 넓이

 

××  

×  ×  ×  

××

    

  

× ×

 

 

lim

→ 

  

lim

→ 

   

lim

→ 



  

   

 

  

21) 

의 좌표를  라고 하면

         이고 이 때 직선의 방정식은   이므로 점의 좌표

       이다.

따라서 삼각형의 넓이  

  이므로

lim

→ 

 

lim

→ 

  

 

lim

→ 



lim

→ 

  

 

lim

→ 



lim

→ 

  

 

lim

→ 



lim

→ 

   

∙ 

 

 

× ×  

 

∴   × 

 

22) 

점 에서 선분 에 내린 수선의 발을  직선, 와 현 , 호 의 교점을 각각 , 라 하자.

    , ∠  

    

  

   



 ,     이므로

  

  

lim

→ 



 

lim

→ 

  





  

lim

→



    

참조

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