기하와 벡터 (2009 학년도 - 2015 학년도 )
삼각함수 도형문제
학년도 학년도
(2006 -2015 )
모든 문제의 풀이의 근거와 이유 보편성을 찾도록 합니다 왜 그렇게 풀어야만 하 , . 는지 다른 발상을 하면 왜 안 되는지 고민합니다 , .
다른 문제에도 적용이 되는 가 개념에서 배웠는가 어디에서 힌트를 얻는
“ ?”, “ ?”, “
가 ?” 를 중점적으로 살펴보면 대부분의 경우 답이 될 것입니다 .
틀린 문제에 대해서는 무엇을 잘못했는지 찾아내서 사고 교정을 합니다 맞춘 문제 .
에 대해서도 철저한 분석을 통해 사고 , 교정을 합니다.
참고 : 2009학년도 ~ 2012학년도 평면곡선은 제외되어 있습니다. 교육과정에서 벗어난 삼각함수 도형문제는 제외되어 있습니다.
지수 삼각함수 극한 파트이며 대부분 삼각함수 문제로 이루어져 있/ , 습니다.
공간좌표에서 설명한 내용은 평면좌표계에서도 적용됩니다 평면좌표. 에 있는 문제를 좌표축을 없애고 기하학적으로만 풀고 싶으면 문제에, 주어진 거리정보 각정보, 를 이용해서 표현해놓고 풀면 됩니다 축을. 없애는 과정에서 어떤 점의, 좌표가 주어졌다면 이를 이용해 다른 점, 과의 거리를 이용해도 되지만, 원점에서 축 방향, 축방향 거리로 생 각해도 됩니다 좌표값의 기하학적 의미.( )
문제에 주어진 도형이 좌표상으로 표현되어 있지 않으면 그냥 기하, 학적으로 풀면 됩니다.
삼각함수의 정의는 직각삼각형에서 빗변, 밑변, 높이사이의 비율을 나타냅니다 따라서 우리는 각을 알고 한 변의 길이를 알면 다른 변. , , 의 길이를 알 수 있음을 반드시 생각해야 합니다 대부분의 문제는. 직 각 삼각형이 완성되지 않은 상태로 주어집니다 그래도 보조선을 그어. 서 밑변 높이 빗변 길이를 생각할 수 있어야 합니다 머릿속에 꼭 넣, , . 으세요. 각을 알고 한 선분의 길이 알면 다른 두 선분의 길이를 알, 수 있다.
위 관점이 모두 적용되는 문제 년 월 즉 학년도 월
( : 2012 9 , 2013 9 )
번부터 순서대로 풀길 바라며 하루에 몰아서 풀지 마세요 이러면
1 , .
문제에 질려버리고 그대로 집중력 저하로 이어지며 이게 습관이 굳, , 어지면 실력퇴화로 이어집니다.
나눠서 풀도록 하며 집중력이 좋을 때 푸는 것을 권장합니다 미적, . 분 공도벡에 쓰는 뇌와 살짝 다르므로 개인적으로 추천하는 방식은, , 다른 수학문제 푸는 것에 추가로 곁들어서 매일매일 풀어주는 것입니 다 본인 입맛대로 하세요 몰아서 푸는 것만 금지. . .
1.
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형에서 변의 중점을, 변
의 중점을라 하자.
선분 위의 양 끝점이 아 닌 임의의 점에 대하여 선 분와 선분의 교점을
, 선분와 선분의 교 점을라 하자. ∠ ,
∠ 라 할 때, <보기>
에서 옳은 것을 모두 고른 것 은? 1)
① [4점][2005년 6월]
보 기
< >
lim
→
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
,
④ ㄱ ㄴ ⑤ ㄱ ㄷ,
2.
[그림]은 중심이 같은 두 개의 정각형에서 큰 정각형의 꼭지점 작은 정, 각형의 꼭지점과 중심이 한 직선 위에 있도록 연결한 것이다 중심에서 두 개의 정. 각형의 꼭지점까지의 거 리는 각각 , 이다. [그림]의 어두운 부분을 잘라내어 만든그림
[ ]와 같은 도형의 넓이를 이라 하자.
lim
→ ∞
의 값을 구하시오. 2)
② [4점][2005년 6월]
그림
[ ] [그림]
3.
곡선 위를 움 직이는 점 와 원점 를 이은 선분이 축의 양의 방향과 이 루는 각의 크기를 라 한다 점.가 원점 에 한없이 가까워 질 때 의 극한값은? 3)
③ [3점][2005년 7 월]
① ② ③
④ ⑤
4.
곡선 위를 움직이는 점 와 두 점 , 에 대하여 삼각형 의 넓이를 라 할 때,
lim
→
의 값은 단?( , 는 자연로그의 밑) 4)
④ [4점][2005년 10월]
① ② ③
④
⑤
5.
그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형에서 변의 중점를 중심으로 하고 반지름의 길이가인 반원 위에 점
가 있다.∠ 일 때 삼각형의 넓이를 , 부채 꼴 의 넓이를 라 하자.
lim
→
라 할 때, 의 값을 구하시오.
단
( , < <
이다.) 5)
⑤ [4점][2005년 9월]
6.
<θ <
θ ≠
일 때 곡선, 위의 점
θ θ 를 지나고 축에 수직인 직선과 곡선 의 교점을 라 하자 점. 를 지나고 축에 평행한 직선과 점
를 지나고 축에 수직인 직선의 교점을 라 하자.삼각형 의 넓이를 θ , 삼각형 의 넓이를 θ 라 할 때,
lim
θ →
θ
θ
의 값은? 6)
⑥ [4점][2006년 6월]
① ② ③ ④ ⑤ x
7.
그림과 같이 중심각의 크기가 이고 반지름의 길이가 인 부 채꼴 가 있다 부채꼴의 호. 의 길이를 , 삼각형 에 내접하는 원의 둘레의 길이를 라 할 때,lim
→
의 값은?7)
⑦ [4점][2006년 9월]
①
②
③ ④
⑤
8.
곡선 위의점 과 원점 에 대하여 직선 와 축의 양의 방향이 이루 는 각의 크기를 라고 하자.
이때,
lim
→
의 값은? 8)
⑧ [3점][2006년 10월]
① ② ③
④ ⑤
9.
그림과 같이 지름의 길이가 이고 두 점, ,를 지름의 양 끝 점으로 하는 반원 위에 점가 있다 삼각형. 의 내접원의 중심을, 중심에서 선분와 선분에 내린 수선의 발을 각각,라 하자.∠ 이고 호, 의 길이를 , 호의 길이를 라 할 때,
lim
→
의 값은? 9)
단
( , <θ <
이다.)
⑨ [3점][2007년 6월]
① ②
③
④
⑤
10.
오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 에 서 ∠ ∘ 이다 꼭지점. 로부 터 빗변 에 내린 수선의 발을 ,∠ 라 할 때,
lim
→ ·
의 값 은? 10)
⑩ [3점][2007년 10월]
① ② ③
④ ⑤
11.
좌표평면에서 원 과 포물선 의 교 점 중 제사 분 면 위 에 있 는 점 을 라 하 고, 두 점, 를 지나는 직선이 축과 만나는 점을 라 하자.
다음은 의 값이 에 한없이 가까워질 때 점, 가 한없이 가까워지는 점의 좌표를 구하는 과정이다.
선분 와 축이 이루 는 각의 크기를 라 하면 점 는 원 위의 점이므로
로 놓을 수 있다. 이때, 점 는 포물선 위의 점이 므로
( ) 이다. … ㉠
두 점 , 를 지나는 직선의 방정식은
이므로 점 의 좌표를 으로 놓으면
이다. … ㉡
→ 일 때, →
이므로 ㉠ ㉡, 에서
lim
→
lim
→
( ) 이다.
따라서 의 값이 한없이 가까워질 때, 점 는 점 ( ( ) , 0)에 한없이 가까워진다.
위 과정에서 가( ), ( )나 에 알맞은 것은?11)
⑪ [4점][2007년 10월] 가
( ) ( )나
①
②
③
④
⑤
12.
그림과 같이 양수 에 대하여 ∠ ∠ 이고 인 이등변삼각형 가 있다 삼각형. 의 내접원의 중심을 , 선분 와 내접원이 만나는 점을 , 선분 와 내 접원이 만나는 점을 라 하자.
삼각형 의 넓이를 라 할 때, lim
→
의 값은?12)
⑫ [3점][2008년 수능]
①
②
③
④
⑤
13.
그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형에서 변를 연장한 직선 위에 인 점가 있다 점. 를 꼭짓점으로 하고 한 변의 길이가 인 정사각형에 대하여∠ 일 때 변, 와 변의 교점을, 변와 변의 교점을 이라 하자 삼각형. 의 넓이를 라 할 때,
lim
→
이다. 의 값을 구하시오. ( ,단 < <
이고, 는 서로 소인 자연수이다.) 13)
⑬ [4점][2008년 6월]
14.
그림과 같이 반지름의 길이가 1인 두 원이 서로 다른 두 점 에서 만나고 있다 이 두 원 내부의 공통부분의 길이를. , 두 원 의 교점을 잇는 선분의 길이를 이라 하자 두 원의 중심사이의. 거리가 에 한없이 가까워질 때2 ,
의 극한값은? 14)
⑭ [4점][2008년 5월]
① ②
③ ④
⑤
15.
그림과 같이 두 곡선 ( ), 이 제사 분면에서 만나는 점을 라 하자 원점. 와 두 점 , 에 대하여 삼각형 의 넓이를 , 삼각형 의 넓이를 라 하자. 의 값이 한없이 커질 때,
의 값은 에 한없이 가까워진다. 의 값은? 15)
⑮ [3점][2008년 10월]
①
②
③ ④ ⑤
16.
그림과 같이 양수 에 대하여∠ ∠
인 직각삼각형 가 있다.
변 위에 있는 인 점 에 대하여 삼각형 의 둘레의 길이를 라 하자.
lim
→
의 값을 구하시오. 16)
⑯ [4점][2009년 6월]
17.
좌표평면 위에 타원
과 점 이 있고 원, 점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 11인 원 과 원점을 중 심으로 하고 반지름의 길이가 3인 원 가 있다 제. 1사분면에 있는 원 위의 점 에 대하여 선분 와 원 의 교점을
, 점 에서 축에 내린 수선의 발을 , 선분 와 타원의 교점을 , 선분 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 θ라 하자 삼각형. 의 넓이를 이라 하고 삼각형, 의 넓이를 라 하자.
lim
→ ⋅
일 때, 의 값을 구하시오. ( ,단 와 는 서 로소인 자연수이다.) 17)
⑰ [4점][2009년 9월]
18.
그림과 같이 원 위의 점 에서의 접선이 축과 만나는 점을 라 하자. 점 과 원점 에 대하여∠ 라 할 때,
lim
→
의 값은?18)
단 점
( , 는 제 사분면 위의 점이다.)
⑱ [3점][2010년 수능]
① ② ③
④ ⑤
19.
좌표평면에서 중심이 원점 이고 반지름의 길이가 인 원 위의 점 에서의 접선이 축과 만나는 점을 , 점 과 점 를 지나는 직선이 축과 만나는 점을 라 하자.∠ 라 하고 삼각형 의 넓이를 라고 하자.
lim
→
일 때, 의 값을 구하시오.
단 점
( , 는 제사분면 위의 점이다.) 19)
⑲ [4점][2010년 6월]
20.
그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가
인 부채꼴 가 있다 호. 위의 점 에서 선분 와 선분
에 내린 수선의 발을 각각 , 라 하고 ∠⊤ 라 하자 점.
와 점 를 지름의 양끝으로 하고 점 를 지나는 반원을 라 할 때 반원, 의 호 , 선분 , 부채꼴 의 호 로 둘러싸인 부분의 넓이를 , 삼각형 의 넓이를 라 하 자.
lim
→
일 때, 의 값을 구하시오.
단
( ,
) 20)
⑳ [4점][2010년 9월]
21.
좌표평면에서 그림과 같이 원 위의 점 에 대하 여 선분 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를
라 하자.점 를 지나고 축에 평행한 직선이 곡선 과 만나는 점을 라 하고, 점 에서 축에 내린 수선의 발을 라 하자.
선분 와 선분 의 교점을 라 할 때 삼각형, 의 넓이 를 라 하자
lim
→
일 때, 의 값을 구하시오. 21)
① [점][2011년 수능]
22.
그림과 같이 길이가 인 선분 를 지름으로 하는 반원이 있다 선분. 의 중점 와 반원 위를 움직이는 점 에 대하 여 부채꼴 에 내접하는 원을 , 현 와 호 로 둘 러싸인 부분에 내접하는 원 중 반지름의 길이가 가장 큰 원을라 하자. ∠ 라 하고 두 원 , 의 반지름의 길이 를 각각 , 라 할 때,
lim
→
이다.
의 값을 구하시오. ( ,단 , 는 서로소인 자연수이다.)22)
② [4점][2011년 3월]
23.
그림과 같이 중심각의 크기가 이고 반지름의 길이가 인 부 채꼴 에서 호 를 등분한 각 점 양 끝점도 포함 을 차( ) 례로 , , , , ⋯, ,
라 하자. , , , ⋯, 을 각각 밑변으로 하는 정삼각형 개의 넓이의 합을 이라 할 때,
lim
→ ∞
․ 의 값은?23)
③ [3점][2011년 4월]
①
②
③
④
⑤
24.
중심이 이고 두 점, 를 지름의 양 끝으로 하며 반지름 의 길이가 인 원 가 있다 그림과 같이 원. 위의 점 에 대하여 점 를 지나고 직선 와 평행한 직선이 선분 와 만나는 점을 , 호 와 만나는 점을 라 하자.∠
라 하고 점, 와 점 를 지름의 양 끝으
로 하는 원의 넓이를 라 할 때,
lim
→
이다. 의 값을 구하시오. ( ,단 이고, 와 는 서로소인 정수이 다.) 24)
④ [4점][2011년 6월]
25.
그림과 같이 반지름의 길이가 인 원 위에 한 점 가 있다. 이 되는 원 위의 두 점을 , , 지름 위의 점을 라 하자. ∠ 에 대하여 사각형 의 넓이를
라 할 때,
lim
→
의 값은? 25)
⑤ [4점][2011년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
26.
그림과 같이 중심이 이고 길이가 인 선분 를 지름으로 하는 원 위의 점 에서 선분 에 내린 수선의 발을 , 점에서 선분 에 내린 수선의 발을 , 점 에서 선분 에 내린 수선의 발을 라 하자.
∠
일 때 삼각형, 의 넓이를 , 삼각형 의 넓이를 라 하자.
lim
→
일 때,
의 값을 구하시오.26)( ,단 와 는 서로소인 자연수이다.)
⑥ [4점][2012년 수능]
27.
그림과 같이 길이가 인 선분 를 지름으로 하고 중심이인 반원이 있다. 호 위를 움직이는 점 에 대하여
∠ 일 때 삼각형, 에 내접하는 원의 넓이를
라 하자.
lim
→
의 값은? ( ,단 이다.) 27)
⑦ [4점][2012년 3월]
①
②
③
④
⑤
28.
그림과 같이 길이가 인 선분 를 지름으로 하는 반원 위 에 두 점 , 를 ∠ ∠
가 되도록잡는다 두 선분. , 와 호 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 할 때,
lim
→
이다. 의 값
을 구하시오. ( ,단 와 는 유리수이다.)28)
⑧ [4점][2012년 6월]
29.
29) 그림과 같이 점 과 원 위의 점 에 대 하여 직선 가 원 과 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 에 가까운 점을 라 하자.∠ 라 할 때,
lim
→
의 값은?
⑨ [4점][2012년 9월] [아마 제 코싸인 안 써도 풀릴2 것으로 생각 됨]
①
② ③
④ ⑤
30.
30) 그림과 같이 길이가 인 선분 를 지름으로 하는 반원 위 의 점 를 가 되도록 잡는다 호. 위를 움직이는 점 에 대하여 선분 와 선분 가 만나는 점을 라 하고,∠ 라 하자. 삼각형 의 넓이를 라 할 때,
lim
→
의 값은?
단
⑩ [4점][2012년 10월]
①
② ③ ④ ⑤
31.
31) 한 변의 길이가 인 정사각형 의 변 위의 점 에 대하여 ∠ 라 하고, 변 위의 점 를∠
가 되도록 잡는다 삼각형. 의 넓이를 , 삼 각형 의 내접원의 넓이를 라 할 때,
lim
→ ×
이다. 의 값을 구하시오.
단
( , 와 는 서로소인 자연수이다.) [4 ][2012점 년 월5 ]
32.
32) 그림과 같이 길이가 인 선분 를 지름으로 하는 반원 위 에 점 가 있다 점. 를 지나고 선분 에 수직인 직선이 직 선 와 만나는 점을 라 하고 점, 에서 이 반원에 접하는 직선과 선분 가 만나는 점을 라 하자. ∠ 라 하고 삼각형 의 넓이를 라 할 때,lim
→
의 값은?
단
( ,
이다.)
⑪ [4점][2013년 3월]
①
②
③ ④
⑤
33.
33) 그림과 같이 좌표평면에서 점 가 원점 를 출발하여 축 을 따라 양의 방향으로 이동할 때 점, 는 점 을 출발 하여 을 만족시키며 축을 따라 음의 방향으로 이동한 다. ∠ ( < < )일 때 삼각형, 의 내접원의
반지름의 길이를 라 하자 이때. ,
lim
→
의 값을 구하시 오.
⑫ [3점][2013년 4월]
34.
34) 그림과 같이 길이가 인 선분 를 한 변으로 하고, ∠ 인 이등변삼각형 가 있다 선분.
의 연장선 위에 인 점 를 잡고, 이고
∠ 인 점 를 잡는다 삼각형. 의 넓이를 라 할 때,
lim
→
×의 값을 구하시오. ( ,단
)
⑬ [4점][2014년 수능]
35.
35) 그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가
인 부채꼴 와 선분 를 지름으로 하는 반원이 있다 호.
위의 점 에 대하여 점 에서 선분 에 내린 수선의 발을
, 선분 와 반원의 교점 중 가 아닌 점을 라 하고,
∠ 라 하자. 삼각형 의 넓이를 라 할 때,
lim
→
의 값은?
⑭ [4점][2014년 3월]
①
②
③
④
⑤
36.
36) 2보다 큰 실수 에 대하여 두 곡선 , 가축과 만나는 점을 각각 , 라 하고 두 곡선의 교점을, 라 하자 직선. 의 기울기를 , 직선 의 기울기를 라 할 때,
lim
→
의 값은?
⑮ [4점][2014년 3월]
①
②
③ ④ ⑤
37.
37) 그림과 같이 사다리꼴 에서 변 와 변 가 평행 하고 ∠ , ∠ , , 이다.사다리꼴 의 넓이를 라 할 때,
lim
→
이다.
의 값을 구하시오.
단
( ,
이고, 와 는 서로소인 자연수이다.)
⑯ [4점][2014년 6월]
38.
38) , , ∠ 인 이등변삼각형 가 있 다 그림과 같이 선분. 의 연장선 위에 인 점 를 잡는다 삼각형. 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 , 삼 각형 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 할 때,lim
→
의 값은?
⑰ [4점][2014년 7월]
① ② ③
④ ⑤
39.
39) 그림과 같이 서로 평행한 두 직선 과 사이의 거리가 1 이다 직선. 위의 점 에 대하여 직선 위에 점 를 선분와 직선 이 이루는 각의 크기가 가 되도록 잡고 직선, 위에 점 를 ∠ 가 되도록 잡는다 직선. 위에 점 를 ∠ 이고 선분 가 선분 와 만나지 않도록 잡 는다.
삼각형 의 넓이를 , 삼각형 의 넓이를 라 할 때,
lim
→
의 값을 구하시오. ( .단
)
⑱ [4점][2014년 9월][아마 제 코싸인 안 써도 풀릴2 것으로 생각 됨]
40.
40) 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원에 외접하고∠ ∠ 인 이등변삼각형 가 있다.
선분 의 연장선 위에 점 가 아닌 점 를 ∠ 가 되 도록 잡는다 삼각형. 의 넓이를 라 할 때,
lim
→
×의 값은? ( ,단
)
⑲ [4점][2015년 수능]
①
②
③
④
⑤
1) ⑤
오른쪽 그림과 같이 점 에서에 내린 수선의 발을 라 하고,와가 만나는 점을 라 하자.
ㄱ. (참) , 이므로
일정( ) 거짓
. ( )
ㄴ △ 에서∠ α β ˚
∴ ˚ ∠
이 때 점, 의 위치에 따라 ∠ 의 크기가 달라지 고,
∠ 의 크기가 달라지면 의 값이 달라진다.
참 . ( )
ㄷ △ 에서
이므로
∴
lim
→
lim
→
lim
→
따라서 옳은 것은, ㄱ ㄷ, 이다. 2) 250
그림
[ ]의 도형의 넓이는 두 변의 길이가 인 이등변삼각형 개의 넓이와 두 변의 길이가 인 이등변삼각형 개의 넓이의 합이다.
이 때 같은 두 변 사이의 끼인 각의 크기는,
이므로
․
․․
․
․․
․
∴
lim
→∞
lim
→∞
․
→∞lim
3) ③
점P의 좌표를 P 라 하면
이때, → 이면 →이므로
lim
→
lim
→
lim
→
×
4) ③
△ 의 넓이
․ ․
이므로
lim
→
lim
→
lim
→
× (∵
lim
→
)
∴
lim
→
5)
θ
θ
․․∠
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θθ θ θ θθ θ θ
․․θ θ
lim
θ→θ θ
lim
θ→θ
θ θθ
lim
θ→θ
θ․
lim
θ→
θ θ ․․
α
6) ②
θ
,
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
,
θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ
θ θ
∴
lim
θ→
θ
θ
lim
θ→
θ
θ θ
lim
θ→
θ
θ
θ θθ θθ θ
θ
lim
θ→
θ
θ θθ θ
θ
lim
→
lim
→
lim
θ→
θ θ
θ
7) ③
A B
O
θ
△
θ
△
×
θ
θ θ
∴
θ
θ
θ
θ
θ
lim
θ→
lim
θ→θ
×
θ
θ
lim
θ→θ
θ×
θ
× 8) ①
lim
→
는 곡선 위의 원점에서 그은 접선의 기울기 이다.
′ 이므로 ′
9) ④
의 중점을 ′이라 하면 ∠′ 이므로
×
직각삼각형 에서
,
∆의 넓이를 원, 의 반지름을 라 하면
× ×
∴
∠ 이므로
∴
lim
→
lim
→
10) ④
∠ 이므로 이다.
∠ 이므로 이다.
lim
→ ·
lim
→ ·
lim
→
·
·
·
lim
→
,
lim
→
,
lim
→
이므로
lim
→
·
·
·
lim
→
·
lim
→
·
lim
→
·
가 된다.
11) ④
( ) : 가
나 ( ) :
lim
→
lim
→
12) ②
사각형 에서∠ ,
∠ ∠ 이므로 ∠
한편, 에서 선분에 내린 수선의 발을 라 하고, 내접원의 반지름의 길이를 라 하면
∴ ∆
∴
lim
→
lim
→
lim
→
13) 65
이므로
∴
또, ∠
에서
∴ ⋅
⋅⋅
×
⋅
⋅
∴
lim
→
lim
→ ⋅
lim
→ ⋅
lim
→ ⋅
⋅⋅
∴
14) ③
× ×
× ×
∴
lim
→
×
15) ④
이라 하면 →∞일 때 →이다.
,
이므로
lim
→∞
lim
→
16)
∴
이므로 이고
∴
lim
→
17) 27
조건에 의해 , , ,
, 로 놓을 수 있다.
, ,
∆
⋅⋅
⋅⋅
∆
⋅⋅
⋅⋅
lim
→⋅
⋅
⋅
⋅
∴
18) ④
그림에서 ∆가 이등변삼각형이므로 ∠
∴
점 를 지나는 접선의 방정식은
∴
∴
한편
라 하면
이므로
∴
lim
→
lim
→
lim
→
․
․
19)
라 하면 접선은 이므로 점 의 좌표는
직선 의 식은
이고, 점 의 좌표는
× ×
×
×
∴
lim
→
lim
→
lim
→
∴ ×
20)
점 의 좌표를 라 하고 직사각형, 에서 두 대 각선 , 의 교점을 이라 하자.
부채꼴의넓이
삼각형의 넓이
부채꼴의 넓이
××
× × ×
××
× ×
∴
lim
→
lim
→
lim
→
∴
21)
점의 좌표를 라고 하면
이고 이 때 직선의 방정식은 이므로 점의 좌표
이다.
따라서 삼각형의 넓이
이므로
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
∙
× ×
∴ ×
22)
점 에서 선분 에 내린 수선의 발을 직선, 와 현 , 호 의 교점을 각각 , 라 하자.
, ∠
, 이므로
lim
→
lim
→
lim
→