정답 과 풀이

(1)

수학 2 ^- ¹

중

정답 ^과 풀이

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(2)

정답 찾기

TOP

level

015;3¥3ª3; 016 0 017 ④ 018 ㄴ, ㄷ 019 8 020 4 021 7개 022 4 023 ⑴ 9 ⑵ 1 024 ⑴ -0.00H7 ⑵ 11 025 0.H42857H1 026_:¢9¼: 027_③ 028 ② 029 5 030 202 031 168 032 10개 033 134번

출제율 100% 문제로

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B

015 ⑤ 016 8aÝ` 017 ⑤ 018 2

019 7 020 ② 021 6 022 2²⁰ 023_;1»6; 024 _27aÜ`^bÛ` 025 15 026 4abÞ`

027₂ 028 ^aÛ`_bÛ` 029 25 030 3개 031 ② 032 -2 033 10 034 13 035 18

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B

050 -2aÛ`-3a+5 051 3xÛ`y-2y+3 052_:ª4Á: 053 -22 054 -;2%;

055 xÛ`+2x+2xy+y 056 -27 057 -7x 058 264 059 1234 060 -:°3¤: 061 1 062 -1 063 2aÛ`+a-6

064 4aÛ`+4bÛ`+4cÛ` 065 -3ab+1 066 ④ 067 92 068 a= 10000T

(100+x)(100-y) 069 ③

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B

001 ③ 002 139 003 45 004_;9%9);

005 100 006 72 007 132 008 4.25 009 ② 010 63 011 0.1H2 012 0.H8 013 9 014 90

유리수와 순환소수

Ⅰ

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A

01. 유리수와 순환소수

001 ① 002 ①, ④ 003 4 004 3 005 ① 006_;2£5;ab

007 ⑴ 15 ⑵ 18 ⑶ 27 008 ① 009 ⑤ 010 4 011 9bÛ`2a 012 -1 013 ③ 014 23

식의 계산

Ⅱ

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A

02. 단항식의 계산

042 ⑴ 93개 ⑵ 0588235294117647 043 200 044 a=8, b=2, c=1, d=0

교과서 속 ^창의

사고력 문제

034 18 035 7개 036 A£¼(29, 30) 037 12 038 2 039_;9&; 040 18개 041 ⑴ 199개 ⑵ ;:!2(:(; ⑶ 600

최고난도 문제로

1 등급 뛰어넘기

C

036 5xÛ`-7x+24 037 -3x+;]^; 038 -8 039 ② 040 -6 041 -4y

042 -5x-18y+30 043 28 044 ⑤ 045 3 046 16 047_;2!; 048 32 049 24aà`b-36aß`

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A

03. 다항식의 계산

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(3)

049 ③ 050 643 051 9 052 200 g 053 5120원 054 ① 055 46점

056 시속 ;2%;`km 057 28분

058 합금 A : 200 g, 합금 B : 50 g 059 68점 060 국어 : 63점, 수학 : 92점 061 800

062 4 % : 100 g, 7 % : 200 g, 8 % : 300 g 063 합금 A : 120 g, 합금 B : 280 g

064 A : 분속 80 m, B : 분속 60 m 065 30 km 066 7개 067 64점

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B

001 ①, ④ 002 3 003 2개

004 ⑴ -5 ⑵ -8<-3x-2É7 005 3 006 ⑤ 007;4%;Éx<:Á8£: 008 -;2#;

009;2&;Éa<:Á4¦: 010 27, 28, 29 011 50 g 012 5 km 013 3대 014 6 km

Ⅳ 부등식

출제율 100%^문제로

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A

06. 일차부등식 084 ⑴ a=10, b=4 ⑵ :ª3¥: % 085 1명 086 27

사고력 문제

086 14, 6 087 -495

088 ⑴ {;3@;}Þ` ⑵ {;3@;}Ú`â` ⑶ :ª3¢2£:배

사고력 문제

070 15 071 11 072:Á3¢: 073 3 074 -1 075 19 076 6 077 -;3$;

078 31 079 23x-8 080 6 081 a= S-4pbÛ`

6b 082 33 083 2 084 4a+2b 085 18

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C

068 264 069 x=2, y=3 070 21 071 x=1, y=2, z=3 072 1 073 63 074 8 075 x=-;4!8!;, y=-;4°8;

076 a=;5!;, b=-;3!;, c=;7!; 077;2#; 078 3000만 원 079 80켤레 080 86만 원 081 9시간

082 시속 2 km 083 A : 6 %, B : 2.4 %

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C

015 14 016 3 017 -2 018 1 019 27 020 -2 021 10 022 5 023 ㄷ 024 18 025 1 026 2 027 4 028 x=1, y=2 029 4 030 x=1, y=3 031 4 032 3 033 -:Á5ª: 034 15 035 10

1 등급 도전하기

B

001 ④ 002 -1 003 ㄴ, ㄷ 004 7 005 0.1 006 -1 007 -11 008 3 009 ② 010 ④ 011 2 012 -2 013_:ª3¤: 014 2

연립방정식

Ⅲ

1 등급 도전하기

A

04. 연립방정식

036 형 : 36살, 동생 : 24살 037 530원 038 20명 039 55 040 A : 분속 70 m, B : 분속 50 m 041 120 km 042 462명 043 9회 044 10일 045 17500원 046 72 cmÛ` 047 54`g 048 5400원

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A

05. 연립방정식의 활용

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(4)

정답 찾기

TOP

level

049 x>-;5$; 050 -5Éx<-3 051 2 052_;1^6%; 053 6 054 -6 055 -3 056 3 057 5Éa<:ª3ª:

058 -;1@6#;<x<-;1°6; 059 23 060 0 061 ④ 062 80ÉxÉ160 063 ⑤ 064 8 % 이상 12 % 이하 065 50 g 이상 100 g 이하 066 31명 067 20명 068 27 069 217명

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B

087 a=4, <, ¾ 088 7번 089  090 풀이 참조

사고력 문제

070 a=-3, b=2 071 ㄷ

072 (-2, -8), (-1, -6), (0, -4) 073_:Á4°:

074 a=-1, b=2 075 10 cm 이상 30 cm 이하 076;1@7!;<x<;2#; 077 ③

078 11Éx<15 079 8, :Á4Á: 080 1<aÉ5 081 5 082_;3¥1; 083 3개 084 5층 085 250 g 086 시속 125 km 이상 150 km 이하

1 등급 뛰어넘기

C

015{;2%;, ;2%;} 016 -3 017 ③ 018 -2 019 y=x+6 020 ㄷ 021 -10

022 -2<kÉ;3@; 023 -6 024_;3!;

025 D(2, 5) 026 36 027 제 1사분면 028 -3 029 3분 후 030 4초 후 031 -1 032 ③ 033 71분 034 36초 후

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B

048 y=-2x+4 049 ① 050 ② 051 ③ 052 -;3!; 053 -;5*;

054 y=-4x-2 055 2 056 -3

1 등급 도전하기

B

001 ⑤ 002 5 003 7 004 -4 005 -1 006 ②, ④ 007 8 008 5 009 7 010 22.5분 011 22 L 012 ② 013 28 cm 014 14

Ⅴ 일차함수

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A

08. 일차함수와 그 그래프

035 6 036 ⑤ 037_;3&; 038 15개 039 -6 040_:¥2Á: 041 5 042 4 043 2 044 ① 045 ③

046 ⑴ A : 10 L, B : 5 L ⑵ 4분 후 047 6

1 등급 도전하기

A

09. 일차함수와 일차방정식의 관계 015 8 016 ② 017_;9$; 018 2

019 4 020 ⑤ 021 -8 022 -5 023 x>5 024 16 025 ⑤ 026 5 027 12 028 7 029;5$; km 030 6명 031 54명 032 32 % 033 34 034 23개

1 등급 도전하기

B

035 ①, ⑤ 036 ② 037 10개 038 5 039 2개 040;7$;<xÉ;5^; 041_;5@;

042 6 043 10<aÉ11 044 10개 045 ⑤ 046 150개 047 75 g 이상 300 g 이하 048 8명

1 등급 도전하기

A

07. 연립일차부등식

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(5)

개 념 원 리 T o p l e v e l

084 ⑴ 5분 ⑵ 25분 후 또는 35분 후

085 ⑴ y=800x`(x¾0), y=300x+100000`(x¾0)

⑵ (200, 160000) ⑶ 200개

사고력 문제

068 -500 069 f(x)=;6!;x-1

070_;4#;ÉaÉ1 071_;2!; 072_:Á8°:

073 P{;1!3%;, 0} 074 P{-;4&;, 0}, Q{0, ;3&;}

075 -2, -;2!;, 1 076;2@5&;

077 -;2!;<m<2 078_;3$; 079_{;2#; km} 080 y=-;9@;x 081 6 082_:Á7¥:

083 y=-;2@2(;x

1 등급 뛰어넘기

C

057 7ÉbÉ17 058 0 059 5개 060 제 2사분면 061_;2!;ÉmÉ4 062 -;3&; 063 3 064 -5ÉpÉ1 065_;2%;

066 ⑴ :¢3¼: 분 후 ⑵ :ª9¼: km 067 16

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(6)

5

00

^정답¹⁰⁰

0.H1=;9!;, 0.H2=;9@;, 0.H3=;9#;, y, 0.H8=;9*;, 0.H9=;9(;이므로 (주어진 식)

=11_

{

_{0.11 +}^;9!; _{0.22 +}^;9@; _{0.33 +y+}^;9#; _{0.88 +}^;9*; _0.99^;9(;

}

=11_

{

_;1Á0Á0;^;9!; ⁺_;1ª0ª0;^;9@; ⁺_;1£0£0;^;9#; ^+…+_;1¥0¥0;^;9*; ⁺_;1»0»0;^;9(;

}

=11_{:Á9¼9¼:+:Á9¼9¼:+ 10099 +y+:Á9¼9¼:+:Á9¼9¼:}

=11_{ 10099 _9}

=100

6 00

^정답⁷²

0.3H6=;9#0#;, 0.H8=;9*;=;9*0);이므로

;9#0#;<;90;<;9*0); ∴ 33<a<80

 이때 ;90;= a

2_3Û`_5가 유한소수가 되려면 자연수 a는 3Û`=9의 배수이어야 한다.

그런데 33<a<80이므로 가장 큰 자연수 a의 값은 72이다.



단계 채점요소 배점

 0.3H6<;90;<0.H8에서 a의 값의 범위 구하기 60 %

 가장 큰 자연수 a의 값 구하기 40 %

7

00

^정답¹³²

1.H0H9= 10899 =;1!1@;=2Û`_3 11

순환소수 1.H0H9에 자연수 A를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되도 록 하는 자연수 A는 A=3_11_(자연수)Û` 꼴이어야 하므로 가 장 작은 세 자리의 자연수는

3_11_2Û`=132

참고 어떤 자연수의 제곱인 수는 소인수분해했을 때, 모든 소인 수의 지수가 짝수이다.

8

00

^정답^4.25

x=0.H5=;9%;이므로 (주어진 식) =1+ 1

1- 12-;9%;

=1+ 1 1- 1:Á9£:

9개

0.3H6= 36-390

Ⅰ 유리수와 순환소수

01. 유리수와 순환소수 출제율 100% 문제로

A ^{1 등급 도전하기}

00 1

^정답^

① 0.686868y>0.686686y 이므로 0.H6H8>0.H68H6

② 0.67H8=0.67888y<0.68

③ 2.0333y>2.0303y 이므로 2.0H3>2.H0H3

④ 0.3252525y<0.325325y=0.H32H5

⑤ 5.999y>5.9이므로 5.H9>;1%0(;

따라서 대소 관계가 옳은 것은 ③이다.

순환소수의 대소 비교는 순환소수를 풀어 쓴 후 앞자리부터 차례대로 각 자리의 숫자의 크기를 비교한다.

비법 특강

2

00

^정답¹³⁹

;8&;= 72Ü`= 7_5Ü`

2Ü`_5Ü`= 875 10Ü`이므로 a=5Ü`=125, m=3

125 =7 7

5Ü`= 7_2Ü`

5Ü`_2Ü`=56 10Ü`이므로 b=2Ü`=8, n=3

∴ a+b+m+n=125+8+3+3=139

3 00

^정답⁴⁵

;5!;{;1Á0;+;10!0;+;10Á00;+y} = 15 (0.1+0.01+0.001+y)

= 15 _0.H1=1 5 _;9!;

= 145

∴ a=45

4

00

^정답 ⁵⁰₉₉

0.H5-0.0H5+0.00H5-0.000H5+0.0000H5-0.00000H5+y

=(0.H5-0.0H5)+(0.00H5-0.000H5)

+(0.0000H5-0.00000H5)+y

=0.5+0.005+0.00005+y

=0.505050y

=0.H5H0=;9%9);

0.111y

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(7)

Ⅰ

유리수와 순환소수 을이 본 분수는

0.8H1= 81-890 =;9&0#;

인데 을은 분자만 잘못 보았으므로 처음 분수의 분모는 90이다.

 즉, 처음 기약분수는 ;9!0!;이다.



따라서 분수 ;9!0!;을 순환소수로 나타내면

;9!0!;=0.1H2



 옳은 분자 구하기 30 %

 옳은 분모 구하기 30 %

 처음 기약분수 구하기 10 %

 처음 기약분수를 순환소수로 나타내기 30 %

기약분수를 소수로 나타내는데

⑴ 분모를 잘못 보았다. ⇨ 분자는 제대로 보았다.

⑵ 분자를 잘못 보았다. ⇨ 분모는 제대로 보았다.

비법 특강

12

0

^정답^0.H8

a>b이고 0.HaHb와 0.HbHa의 차가 0.H5H4이므로 0.HaHb-0.HbHa=0.H5H4

 10a+b

99 -10b+a 99 =;9%9$;

9(a-b) 99 =;1¤1;

∴ a-b=6

 이때 a>b이고 a, b는 모두 8보다 작은 자연수이므로

a=7, b=1



∴ 0.HaHb+0.HbHa =0.H7H1+0.H1H7=;9&9!;+ 1799

= 8899 =;9*;=0.H8



 조건에 맞게 식 세우기 30 %

 식을 간단히 하여 a-b=6으로 나타내기 20 %

 a, b의 값 구하기 30 %

 0.HaHb+0.HbHa를 순환소수로 나타내기 20 % 분모는 제대로 보았다.

a>b이므로 0.HaHb>0.HbHa가 된다.

즉, 0.HaHb와 0.HbHa의 차는 0.HaHb-0.HbHa

=1+ 1

1-;1»3;=1+ 1

;1¢3;

=1+:Á4£:= 174

=4.25

다른 풀이 주어진 식을 정리한 후에 x의 값을 대입한다.

1+ 1 1- 12-x

=1+ 1 2-x-1

2-x

=1+ 2-x1-x

= 1-x+2-x1-x = 3-2x1-x x=0.H5=;9%;이므로

3-2x1-x = 3-:Á9¼:

1-;9%; =:Á9¦:

;9$; =:Á4¦:=4.25

9 00

^정답^

270 =A A

2_3Ü`_5가 유한소수가 되려면 A는 3Ü`의 배수이어야 한다. 또한 이것을 기약분수로 나타내면 3

B 이므로 A는 3_3Ü`의 배수, 즉 3Ý`의 배수이어야 한다.

그런데 50ÉA<100이므로 A=81 이때 A

270 = 3Ý`

2_3Ü`_5=;1£0;이므로 B=10

∴ A+B=81+10=91

10 0

^정답⁶³

20_x =12 3

5_x 이 유한소수가 되려면 x의 값은 소인수가 2나 5 뿐인 수 또는 3의 약수 또는 이들의 곱으로 이루어진 수이어야 한 다.

이때 10<xÉ20인 x의 값은 12, 15, 16, 20이므로 모든 x의 값 의 합은

12+15+16+20=63

분수를 유한소수로 나타낼 수 있는지 판별할 때는 반드시 주어진 분수를 기약분수로 나타낸 후 분모에 2나 5 이외의 소인수가 있는지 확인한다.

비법 특강

11

0

^정답^0.1H2

갑이 본 분수는

0.91H6= 916-91900 =;9*0@0%;=;1!2!;

인데 갑은 분모만 잘못 보았으므로 처음 분수의 분자는 11이다.

분자는 제대로 보았다. 

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(8)

16 0

^정답⁰

y=;9$;=0.H4

m=;3#3&;=1+;3¢3;=1+;9!9@;=1.H1H2

∴ (x ⊗ y) ⊗ (m ⊗ n)

=(0.H5 ⊗ 0.H4) ⊗ (1.H1H2 ⊗ 1.H1)

=1 ⊗ 1=0

17 0

^정답^

0.H2x+0.4H9=1.6H1에서 0.H2=;9@;, 0.4H9= 49-490 =;9$0%;

1.6H1= 161-1690 =:Á9¢0°:

이므로

;9@;x+;9$0%;=:Á9¢0°:, ;9@;x=:Á9¼0¼: ∴ x=5 x=5를 주어진 부등식에 대입하면

;5!;<0. Hy<0.H5, ;5!;<;9};<;9%; ∴ ;5(;<y<5 y는 자연수이므로 y=2, 3, 4

따라서 모든 y의 값의 합은 2+3+4=9

18

0

^정답^ㄴ^,^ㄷ

기약분수를 x

4500 라고 하면 2x

9000 가 된다.

따라서 이 분수는 순환소수 a.bcdHe의 형태로 나타낼 수 있다. 순 환소수 a.bcdHe의 순환마디의 숫자의 개수는 1이고, 소수 부분에 서 순환하지 않는 부분의 숫자의 개수는 3이며, 소수점 아래 넷째 자리부터 순환마디가 시작된다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

19 0

^정답⁸

순환소수 0.abHcde Hf의 순환마디의 숫자는 c, d, e, f의 4개이고, 소수 부분에서 순환하지 않는 숫자는 a, b의 2개이다.

 그런데 36-2=4_8+2이므로 소수점 아래 36번째 자리의 숫 자는 순환마디의 2번째 숫자인 d이다.

 이때 소수점 아래 36번째 자리부터 39번째 자리까지의 숫자가 차 례로 7, 1, 6, 9이므로 d=7, e=1, f=6, c=9이다.



∴ d+e=7+1=8



a는 자연수, b, c, d는 0 또 는 한 자리의 자연수, e는 한 자리의 자연수

13 0

^정답⁹

11 =0.H3H6이고 50=2_25이므로 소수점 아래 50번째 자리의 4 숫자는 6이다.

∴ x=6 또, 53

370 =0.1H43H2에서 순환마디의 숫자는 3개이고 소수점 아래 첫째 자리의 숫자 1은 순환하지 않는다.

따라서 51-1=3_16+2이므로 소수점 아래 51번째 자리의 숫 자는 순환마디의 2번째 숫자인 3이다.

∴ y=3

∴ x+y=6+3=9

순환소수의 소수점 아래 n번째 자리의 숫자를 구할 때

① 소수점 아래 첫째 자리부터 순환마디가 시작되는 경우에는 n을 순환마 디의 숫자의 개수로 나눈 나머지를 이용하여 찾는다.

② 소수점 아래 첫째 자리부터 순환마디가 시작되지 않는 경우에는 n에서 소수점 아래의 순환하지 않는 숫자의 개수를 뺀 값을 순환마디의 숫자 의 개수로 나눈 나머지를 이용하여 찾는다.

비법 특강

14 0

^정답⁹⁰

13 =0.H53846H1이므로 7

aÁ=5, aª=3, a£=8, a¢=4, a°=6, a¤=1, a¦=5, a¥=3, y 이다. 이 순환소수의 순환마디의 숫자는 6개이고 50=6_8+2 이므로 소수점 아래 50번째 자리까지는 순환마디가 8번 반복되 고 2개의 숫자가 더 나온다.

∴ aÁ-aª+a£-a¢+y+a¢»-a°¼

=(5-3+8-4+6-1)_8+5-3

=11_8+2=90

B ^{1 등급 도전하기}

15

0

^정답 ₃₃₃⁸²

246_{ 110Ü`+ 110ß`+ 110á`+ 110Ú`Û`+y}

=246_(0.001+0.000001+0.000000001

+0.000000000001+y)

=246_0.H00H1=246_;99!9;

=;9@9$9^;=;3¥3ª3;

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(9)

Ⅰ

유리수와 순환소수

23

0

^정답^{⑴ 9 ⑵ 1}

⑴ (999999.H9-1)_;3{;‌‌=(999999+0.H9-1)_ 1 143 _;3!;

=(999999+1-1)_ 1143 _;3!;

=999999_ 1143 _;3!;

=2331 따라서 각 자리의 숫자의 합은 2+3+3+1=9

⑵ a =0.12347812347812y

=0.H12347H8

= 123478999999 이므로

1-a =1- 123478999999 =876521 999999

=0.H87652H1

순환소수 0.H87652H1의 순환마디의 숫자는 6개이고

2016=6_336이므로 소수점 아래 2016번째 자리의 숫자는 순환마디의 마지막 숫자인 1이다.

참고 순환소수의 정수 표현

순환마디가 9인 순환소수는 모두 정수 또는 유한소수로 나타낼 수 있다.

 0.H9 =;9(;=1, 0.1H9=19-1

90 =;9!0*;=;1ª0;=0.2

24

0

^정답 ⑴ -0.00H7 ⑵ 11

⑴ 0.0H7= 7

100 -x에서 x = 7100 -0.0H7= 7

100 -;9¦0;

=;9¤0£0;- 70900

=- 7900

=-0.00H7

⑵ 1+;2#;+ 32Û`_5+ 3

2Ü`_5Û`+ 3

2Ý`_5Ü`+y=;aB;의 양변에 1 5 을 곱하면

5a =;5!;+b 3

2_5 + 3

2Û`_5Û`+ 3

2Ü`_5Ü`+ 3

2Ý`_5Ý`+y

=0.2+0.3+0.03+0.003+0.0003+y

=0.5H3= 53-590

=;9$0*;= 815 이므로 ;aB;=;3*;

따라서 a=3, b=8이므로 a+b=3+8=11

0.H9=;9(;=1

분모를 10의 거듭제곱이 되도록 하려면 분모에 5를 곱해주면 된다.

 소수점 아래 순환하는 숫자와 순환하지 않는 숫자 파악하기 10 %

 소수점 아래 36번째 자리의 숫자 구하기 40 %

 c, d, e, f의 값 구하기 40 %

 d+e의 값 구하기 10 %

20 0

^정답⁴

;5!5#;_x= 135_11 _x yy ㉠

;2Á4¦0;_x= 17

2Ý`_3_5_x yy ㉡

이므로 ㉠, ㉡이 모두 유한소수가 되려면 x는 11과 3의 공배수, 즉 33의 배수이어야 한다.

이때 x는 두 자리의 자연수이므로 x=33, 66, 99 ∴ A=3 또, 21

100y = 3_7

2Û`_5Û`_y이 순환소수가 되도록 하는 한 자리의 자 연수 y는 9뿐이므로 B=1

∴ A+B=3+1=4

21

0

^정답⁷^개

;1÷4;= n2_7 이 유한소수가 되려면 n은 7의 배수가 되어야 한다.

100=7_14+2이므로 1ÉnÉ100에서 7의 배수인 n의 값은 14개이고, 이 중에서 n의 값이 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98일 때 는 n

14 이 정수가 되므로 제외해야 한다.

따라서 주어진 조건을 모두 만족하는 자연수 n의 개수는 14-7=7

22 0

^정답⁴

0.Ha=;9A;, 0.0Hb=;9õ0;, 0.00Hc=;900;이므로 (0.0Hb)Û`=0.Ha_0.00Hc에서

{;9õ0;}Û`=;9A;_;900; ∴ bÛ`=ac

 2ÉaÉ6, 4ÉcÉ8이고 ac의 값이 어떤 자연수의 제곱이 되는 경 우는 (a, c)=(2, 8), (4, 4), (5, 5), (6, 6)

이때 a<b<c이므로 a=2, c=8

 따라서 bÛ`=16=4Û`에서 b=4



 a, b, c 사이의 관계식 구하기 30 %

 a, c의 값 구하기 50 %

 b의 값 구하기 20 %

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(10)

= 1 1- 1

x-1-x x-1

= 1

1- 1 x-1-1

= 1

1+x-1 =;[!;

x=0.3H7H6= 376-3990 =;9#9&0#;

이므로 ;[!;= 1

;9#9&0#;=;3(7(3);

29 0

^정답⁵

15x-1=7a에서 x= 7a+115 =7a+1 3_5

 이므로 x가 유한소수가 되려면 7a+1은 3의 배수이어야 한다.

a=1일 때, 7a+1=8 a=2일 때, 7a+1=15 a=3일 때, 7a+1=22 a=4일 때, 7a+1=29 a=5일 때, 7a+1=36

 따라서 7a+1이 3의 배수가 되는 경우는 a=2 또는 a=5인 경 우이다.

그런데 a=2일 때는 x=1로 정수가 되므로 x가 정수가 아닌 유 한소수가 되는 a의 값은 5이다.



 일차방정식의 해를 a를 이용하여 나타내기 20 %

 a=1, 2, 3, 4, 5일 때, 7a+1의 값 구하기 50 %

 조건을 만족하는 a의 값 구하기 30 %

다른 풀이 15x-1=7a에서 x=7a+1 3_5 a=1일 때, x= 83_5 (순환소수) a=2일 때, x= 153_5 =1 (정수) a=3일 때, x= 223_5 (순환소수) a=4일 때, x= 293_5 (순환소수) a=5일 때, x= 363_5 =:Á5ª: (유한소수) 따라서 구하는 a의 값은 5이다.

30

0

^정답²⁰²

;1¦1¼1¥1; = 708_91111_9 =;9^9#9&9@;

=0.H637H2

정수가 아닌 유리수를 소수로 나타내면 유한소수 또는 순환소수가 된다.

25

0

^정답 0.H42857H1

27  -27=2719에서 27  =2719+27=2746

;9@9&0!0(;= 2746-279900 =0.27H4H6

∴ a=2, b=7, c=4, d=6

∴ a_d

b_c =;2!8@;=;7#;=0.H42857H1

26

0

^정답^:¢9¼:

ab 의 값이 가장 크려면 a의 값은 가장 크고 b의 값은 가장 작아 야 한다.

56a =2Ü`_7

a 이 유한소수가 되므로 a의 소인수는 2나 5뿐인 수 또는 7의 약수 또는 이들의 곱으로 이루어진 수이어야 한다.

가능한 a의 값 중 가장 큰 두 자리의 자연수는 a=2Ý`_5=80

또, b 45 = b

3Û`_5가 유한소수가 되므로 b는 3Û`의 배수이다.

가능한 b의 값 중 가장 작은 두 자리의 자연수는 b=3Û`_2=18

따라서 가능한 ;bA;의 값 중 가장 큰 값은

;bA;=;1*8);=:¢9¼:

0 27

^정답^

0.Ha+0.H3Hb=1.H1Hc에서

;9A;+30+b

99 =1+10+c 99 11a+30+b=99+10+c 11a+b-c=79 yy ㉠

㉠에 b=a+c

2 를 대입하면 11a+ a+c2 -c=79 22a+a+c-2c=158

∴ c=23a-158

그런데 a와 c는 한 자리의 자연수이므로 a=7, c=3

∴ b=7+3 2 =5

∴ a+b+c=7+5+3=15

28 0

^정답^

1 1- 1

1- 1 1- 1x

= 1 1- 1

1- 1 x-1x

= 1

1- 1 1- xx-1

양변에 분모의 최소공배수 99를 곱한다.

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(11)

Ⅰ

=0.637263726372y

=0.6+0.03+0.007+0.0002+0.00006+0.000003+y

=;1¤0;+ 310Û`+ 7 10Ü`+ 2

10Ý`+ 6 10Þ`+ 3

10ß`+y

∴ xÁ=6, xª=3, x£=7, x¢=2, x°=6, x¤=3, y

순환소수 0.H637H2의 순환마디의 숫자는 4개이고 99=4_24+3 이므로 소수점 아래 99번째 자리까지는 순환마디가 24번 반복되 고 세 개의 숫자가 더 나온다.

∴ xÁ-xª+x£-x¢+y+x»»

=(6-3+7-2)_24+6-3+7

=8_24+10

=202

31

0

^정답¹⁶⁸

조건 (나)에서 m

105 = m

3_5_7 이 유한소수가 되므로 m은 3_7 의 배수, 즉 21의 배수이다.

m=21k (k는 자연수)라고 하면 조건 (다)에서 105 _10=m 21k

105 _10=2k

이고, 2k는 어떤 자연수의 제곱이므로 k=2nÛ` (n은 자연수) 꼴 이어야 한다.

따라서 m=21_2nÛ`=42nÛ`이고 이를 만족하는 세 자리의 자연 수 m의 값 중 가장 작은 수는

42_2Û`=168

32

0

^정답¹⁰^개

소수로 나타낼 때, 유한소수가 되는 분수는 기약분수로 나타내었 을 때, 분모의 소인수가 2나 5뿐이므로 분모는 2나 5의 곱으로만 이루어진 수이다.

분모는 10 이상 100 이하의 자연수이므로 Ú 분모가 2 ^ 꼴일 때

가능한 분모는 2Ý`, 2Þ`, 2ß` ∴ 3개 Û 분모가 2 ^_5 꼴일 때

가능한 분모는 2_5, 2Û`_5, 2Ü`_5, 2Ý`_5 ∴ 4개 Ü 분모가 2 ^_5Û` 꼴일 때

가능한 분모는 2_5Û`, 2Û`_5Û` ∴ 2개 Ý 분모가 5 ^ 꼴일 때

가능한 분모는 5Û` ∴ 1개

따라서 주어진 분수 중 소수로 나타낼 때, 유한소수가 되는 것은 3+4+2+1=10(개)

33

0

^정답¹³⁴^번

;1¢9¢9°8;=;9@9@9@0%;= 2227-29990 =0.2H22H7

이므로 순환마디는 227, 순환마디의 숫자의 개수는 3개이고 소

C

^{최고난도 문제로}

^{1 등급 뛰어넘기}

34 0

^정답¹⁸

해결전략 분수의 분모가 세 수 111, 259, 296의 공약수임을 이용한다.

주어진 나눗셈의 과정에서 분수의 분모는 111, 259, 296의 공약 수이다.

111=3_37, 259=7_37, 296=2Ü`_37이므로 분모는 37이 된다.

∴ 140

37 =3.783783y=3.H78H3

따라서 순환마디의 숫자는 7, 8, 3이므로 그 합은 7+8+3=18

참고 오른쪽 그림은 분수 9

2 를 나눗셈

4.5 2`

)

`9

8 1 0 1 0 0

분모

을 이용하여 소수로 나타내는 과정이 분자

다.

나눗셈의 성질에 의하여 분모 2는 8과 10의 공약수이다.

35

0

^정답⁷^개

해결전략 조건 (가)에서 2a+3b의 값의 범위를 구하고 조건 (나)에서 2a+3b가 어떤 자연수의 배수인지 알아낸다.

조건 (가)의 2<2a+3b

15 <;3*;에서

;1#5);< 2a+3b15 <;1$5);

30<2a+3b<40 조건 (나)에서 2a+3b

15 =2a+3b

3_5 가 유한소수가 되므로 2a+3b는 3의 배수이다.

즉, 2a+3b=33, 36, 39

두 수 a, b는 모두 10보다 작은 자연수이므로 수점 아래 첫 번째 자리의 숫자 2는 순환하지 않는다.

이때 200-1=3_66+1이므로 0.2H22H7=0.2227 227y2272 y

따라서 소수점 아래 첫 번째 자리부터 200번째 자리까지 숫자 2 는 모두 1+2_66+1=134(번) 나온다.

소수점 아래 첫 번째 자리 ( \ { \ 9

66번 소수점 아래 200번째 자리

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(12)

따라서 3Û`_b

a 의 값은 a=3, b=4일 때 가장 크므로 3Û`_b a 의 값 중 가장 큰 값은

3Û`_4

3 =3_4=12

38 0

^정답²

해결전략 ;1@6#1%;를 순차적으로 a+ 1 b+ 1

c+ 1 d+ 4e

의 꼴로 변형하여 a, b,

c, d, e의 값을 알아낸다.

;1@6#1%; =1+;1¦6¢1;=1+ 1

:Á7¤4Á:=1+ 1 2+;7!4#;

=1+ 1 2+ 1;1&3$;

=1+ 1

2+ 1 5+;1»3;

=1+ 1

2+ 1 5+ 113

9

=1+ 1

2+ 1 5+ 11+ 49 따라서 a=1, b=2, c=5, d=1, e=9이므로 0.Ha+0.Hb+0.Hc+0.Hd+0.He

=0.H1+0.H2+0.H5+0.H1+0.H9

=;9!;+;9@;+;9%;+;9!;+;9(;

=:Á9¥:

=2

39 0

^정답 ⁷₉

해결전략 우선 조건 (가)를 간단히 하여 a, b, c, d 사이의 관계식을 알아낸다.

조건 (가)의 0.Hb

0.Ha_0.Hc=0.Hd에서 ;9B;

;9A;_;9C;=;9D;

∴ ad=bc yy ㉠

조건 (다)에서 a+b=14이고 조건 (나)에서 a>b이므로 a=9, b=5 또는 a=8, b=6

이때 ㉠에서

Ú a=9, b=5이면 9d=5c 5, 9는 서로소이므로 c=9, d=5 이것은 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

Û a=8, b=6이면 6c=8d에서 3c=4d 조건 (나)를 만족하려면 c=4, d=3 Ú, Û에서 a=8, b=6, c=4, d=3

∴ 0.Ha+0.Hb-0.Hc-0.Hd =0.H8+0.H6-0.H4-0.H3 Ú 2a+3b=33일 때

(a, b)=(3, 9), (6, 7), (9, 5) ∴ 3개 Û 2a+3b=36일 때

(a, b)=(6, 8), (9, 6) ∴ 2개 Ü 2a+3b=39일 때

(a, b)=(6, 9), (9, 7) ∴ 2개

따라서 주어진 두 조건을 모두 만족하는 순서쌍 (a, b)의 개수는 3+2+2=7

36

0

^정답 A£¼(29, 30)

해결전략 우선 분수 1232

9999 를 순환소수로 나타내어 순환마디를 알아낸 후 규 칙 (가)에서 점 A£¼의 x좌표를 구하고 규칙 (나)에서 점 A£¼의 y좌표를 구한다.

;9!9@9#9@;=0.H123H2이므로

aÁ=1, aª=2, a£=3, a¢=2, a°=1, a¤=2, y이다.

규칙 (가)에서 n이 홀수이면 점이 x축의 방향으로 움직이므로 점 A£¼의 x좌표는

aÁ+a£+a°+a¦+y+aª»

=(1+3)+(1+3)+y+(1+3)+1

=4_7+1

=29

규칙 (나)에서 n이 짝수이면 점이 y축의 방향으로 움직이므로 점 A£¼의 y좌표는

aª+a¢+a¤+a¥+y+a£¼

=2+2+2+2+y+2

=2_15

=30

따라서 점 A£¼의 좌표는 (29, 30)이다.

37 0

^정답¹²

해결전략 우선 k_999.H9-k를 a, b를 사용하여 나타낸 후 자연수가 될 a, b의 조건을 알아낸다.

999.H9= 9999-9999 =1000이므로 k_999.H9-k=1000k-k=999k

a_111 =k이므로b

k_999.H9-k=999k=999_ b

a_111 =3Û`_b a a_111 가 기약분수이므로 a와 b는 서로소이고, b 3Û`_b

a 가 자연수이므로 a는 9의 약수이다.

그런데 1<a<5이므로 a=3

b는 1<b<5인 자연수이고 a와 b는 서로소이므로 b=2, 4

(

|

{

|

9

7개

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(13)

Ⅰ

= 89 +;9^;-;9$;-;9#;

= 79

40

0

^정답¹⁸^개

해결전략 a, b의 순환마디의 숫자가 각각 3개, 2개이므로 6자리씩 끊어서 생각한다.

a=0.H12H3=0. 123 123123 123123 123123 y b=0.1H2H3=0. 123 232323 232323 232323 y

소수점 아래 첫 번째, 두 번째, 세 번째 자리의 숫자는 서로 같으 므로

aÁ=bÁ=1, aª=bª=2, a£=b£=3 이고,

a¥=b¥=2, a»=b»=3, aÁ¢=bÁ¢=2, aÁ°=bÁ°=3, ⋮

이므로 n (1ÉnÉ50)의 값이 1, 2, 3, 8, 9, 14, 15, 20, 21, 26, 27, 32, 33, 38, 39, 44, 45, 50일 때, aÇ=bÇ이 성립한다.

따라서 구하는 n의 개수는 18이다.

41

0

^정답^{⑴ 199}^개^⑵¹⁹⁹_{2 ⑶ 600}

해결전략 우선 분모 1400을 소인수분해하여 x

1400 가 유한소수가 될 때의 x의 조건을 구한다.

⑴ 1400=2Ü`_5Û`_7이므로 x

1400 (x는 1ÉxÉ1399인 자연 수)가 유한소수가 되려면 분자는 7의 배수이어야 한다.

1부터 1399까지의 자연수 중 7의 배수의 개수는 200-1=199

이므로 주어진 수 중 유한소수의 개수는 199이다.

⑵ 주어진 수 중 유한소수의 총합은

;14¦00;+;14!0$0;+;14@0!0;+y+ 7_1991400

=;14¦00;_(1+2+3+y+199)

=;14¦00;_ 199_2002 = 1992

⑶ (순환소수의 총합)

=(전체 유리수의 총합)-(유한소수의 총합) 이므로 순환소수의 총합은

{;14Á00;+;14ª00;+;14£00;+y+;1!4#0(0(;}- 1992

=;14Á00;_(1+2+3+y+1399)- 1992

=;14Á00;_ 1399_14002 - 1992

= 12002 =600

1부터 1400까지의 자연수 중 7의 배수의 개수에서 1400을 제외한다.

교과서 속 창의

사고력 문제

42

0

^정답^{⑴ 93}^개 ⑵ 0588235294117647

⑴ 15 미만의 자연수 중에서 서로 다른 두 자연수 m, n을 뽑아 만들 수 있는 순서쌍 (m, n)의 개수는

14_13=182 이때 n

m 의 분모 m에 대하여 다음과 같이 경우를 나누어 생각 할 수 있다.

Ú 분모 m이 2 또는 5만을 소인수로 갖는 경우

m 이 정수 또는 유한소수가 되기 위한 m의 개수는 1, 2, n 4, 5, 8, 10의 6이다.

이 각각에 대하여 m의 값을 제외한 나머지 13개의 자연수 가 분자 n이 될 수 있으므로 순서쌍 (m, n)의 개수는 6_13=78

Û 분모 m이 2 또는 5 이외의 소인수를 갖는 경우, 즉 m이 3, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14일 때

기약분수로 나타냈을 때 2 또는 5 이외의 소인수가 약분되 어 n

m 이 정수 또는 유한소수가 되기 위한 n의 개수는 m=3일 때, n=6, 9, 12의 3개

m=6일 때, n=3, 9, 12의 3개 m=7일 때, n=14의 1개 m=9일 때, 0개

m=11일 때, 0개

m=12일 때, n=3, 6, 9의 3개 m=13일 때, 0개

m=14일 때, n=7의 1개 따라서 순서쌍 (m, n)의 개수는 3+3+1+3+1=11

Ú, Û에서 구하는 순서쌍 (m, n)의 개수는 182-78-11=93

⑵ ;1Á7;, ;1ª7;, ;1£7;, 4

17 를 소수로 나타내었을 때 각 소수에서 공 통인 부분을 찾으면

;1Á7;=0. 0588235294y, ;1ª7;=0. 1176 47 0588y

;1£7;=0. 176 47 05882y, ;1¢7;=0. 235294 1176y 따라서 ;1Á7;의 순환마디는 0588235294117647이다.

43

0

^정답²⁰⁰

6.H0H6 =6.0606060606y

=6+0.06+0.0006+0.000006+y

=6+;10^0;+;100^00;+;1000^000;+y

순환마디에 포함된 숫자가 모두 같고, 각각의 숫자가 나타나는 순서가 같다.

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(14)

1001a+990=110a+11b 891a=11b-990

81a=b-90

이때 이 식을 만족하는 0 이상 9 이하의 정수 a, b는 존재하지 않는다.

Ú, Û, Ü에서 a=8, b=2, c=1, d=0

=6+6_;10!0;+6_;10!0;_;10!0;

+6_;10!0;_;10!0;_;10!0;+y 이므로 제시문의 식 ㉠에서

a=6, b=;10!0;

∴ 6.H0H6= 6

1-;10!0;= 6

;1»0»0;=:¤9¼9¼:=:ª3¼3¼:

따라서 p=33, q=200이므로

ap+bq=6_33+;10!0;_200=198+2=200

44

0

^정답 a=8, b=2, c=1, d=0 cdc =0.HaccHa에서 ab

0.HaccHa = acca9999

= 1001a+110c9999

= abcdc

이므로 cdc는 9999=3Û`_11_101의 약수이다.

c, d가 서로 다른 0 이상 9 이하의 정수이고, c+0이므로 cdc는 101 또는 303 또는 909의 값을 갖는다.

Ú c=1, d=0인 경우 1001a+110c

9999 = ab cdc 에서 1001a+110

9999 =10a+b 101 이므로 1001a+110=990a+99b 11a=99b-110

즉, a=9b-10에서

a=8, b=2 (∵ a, b는 0 이상 9 이하의 정수)

∴ a=8, b=2, c=1, d=0 Û c=3, d=0인 경우

1001a+110c 9999 = ab

cdc 에서 1001a+330

9999 =10a+b 303 이므로 1001a+330=330a+33b 671a=33b-330

61a=3b-30

이때 이 식을 만족하는 0 이상 9 이하의 정수 a, b는 존재하지 않는다.

Ü c=9, d=0인 경우 1001a+110c

9999 = ab cdc 에서 1001a+990

9999 =10a+b 909 이므로

1000a+100c+10c+a 9999

c=0이면 d+0이 므로 cdc는 9999 의 약수가 될 수

3_101 3Û`_101 없다.

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(15)

Ⅱ

식의 계산

∴ b=8

 (다) 4ß`+8Ý`+16Ü`+64Û` =(2Û`)ß`+(2Ü`)Ý`+(2Ý`)Ü`+(2ß`)Û`

=2¹²+2¹²+2¹²+2¹²

=4_2¹²

=2Û`_2¹²=2¹⁴

∴ c=14



∴ a+b-c=10+8-14=4



 a의 값 구하기 20 %

 b의 값 구하기 30 %

 c의 값 구하기 40 %

 a+b-c의 값 구하기 10 %

4 00

^정답³

81^3x

3^3y+3=(3Ý`)^3x 3^3y+3 = 3^12x

3^3y+3이고 729=3ß`이므로 3^12x

3^3y+3=3ß`, 3^12x-(3y+3)=3ß`, 3^12x-3y-3=3ß`

즉, 12x-3y-3=6이므로 3(4x-y)=9 ∴ 4x-y=3

지수법칙

l, m, n이 자연수일 때

⑴ a^m_aⁿ=a^m+n

⑵ (a^m)ⁿ=a^mn, {(a^m)ⁿ}^l=a^mnl

⑶ a^mÖaⁿ=

a^m-n (m>n)

1 (m=n) (단, a+0) 1

a^n-m (m<n) á\

{\

»

⑷ (ab)^m=a^mb^m, {;bA;}^m= a^m

b^m (단, b+0) 개념과 원리

5 00

^정답^

4Ý`Ö{;3Á2;}Û`_{;1Á6;}ß` =(2Û`)Ý`Ö{ 12Þ` }Û`_{ 12Ý` }ß`

=2¡`Ö 12Ú`â`_ 12Û`Ý`

=2¡`_2Ú`â`_ 1 2Û`Ý`

=2¹⁸_ 12Û`Ý`= 12ß`

= 1(2Ü`)Û`= 1 AÛ`

밑이 3으로 같으므로 지수가 같다.

02. 단항식의 계산 출제율 100% 문제로

A ^{1 등급 도전하기}

00 1

^정답^

① 4

②, ③, ④, ⑤ 6

2

00

^정답^{, }

① (주어진 식) =-2xÛ`Ö;9!;xß`_;9$;xÝ`

=-2xÛ`_ 9xß`_;9$;xÝ`

={-2_9_ 49 }_xß`

xß`

=-8

② (주어진 식) =a¡`_ 1 a¹⁶b¹²Ö 1

aß`bÛ`

=a¡`_ 1a¹⁶b¹²_aß`bÛ`

= a¹⁴bÛ`

a¹⁶b¹²= 1 aÛ`b¹⁰

③ (주어진 식) =5xy_(-8yÜ`)ÖxÛ`yÝ`

9

=5xy_(-8yÜ`)_ 9 xÛ`yÝ`

={5_(-8)_9}_ xyÝ`xÛ`yÝ`

=-360_;[!;=- 360x

④ (주어진 식) =12xÛ`yÝ`Ö16xÛ`yß`_8xÜ`yß`

=12xÛ`yÝ`_ 1

16xÛ`yß`_8xÜ`yß`

={12_ 116 _8}_xÞ`yÚ`â`

xÛ`yß`

=6xÜ`yÝ`

⑤ (주어진 식) =;2%;abÜ`_ 4

25aÛ`bÛ`_;4#;aÛ`b

={;2%;_;2¢5;_;4#;}_ aÜ`bÝ`aÛ`bÛ`

= 310 abÛ`

따라서 옳은 것은 ①, ④이다.

3 00

^정답⁴

(가) 5Û`_5Û`_5Û`_5Û`_5Û` =5^2+2+2+2+2=5¹⁰

∴ a=10

 (나) {(5Û`)Û`}Û`=(5Ý`)Û`=5¡`

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(16)

8 00

^정답^

(주어진 식) =2_10Ý`

4_5Ý` =2_(2_5)Ý`

2Û`_5Ý`

= 2_2Ý`_5Ý`2Û`_5Ý` = 2Þ`_5Ý`2Û`_5Ý`

=2Ü`=8

9 00

^정답^

(-3xÝ`yÛ`)Û`Ö24xÛ`yÖ =;8!;xÛ`y에서 9x¡`yÝ`_ 124xÛ`y_ 1 =;8!;xÛ`y

3xß`yÜ`

8 _ 1 =;8!;xÛ`y

∴ =3xß`yÜ`

8 Ö;8!;xÛ`y

= 3xß`yÜ`8 _ 8 xÛ`y

=3xÝ`yÛ`

10 0

^정답⁴

8^b+1=(2Ü`)^b+1=2^3b+3이므로 2^3b+3=2ß`에서 3b+3=6

∴ b=1

 또, b=1을 -4º`+2^a+2=28에 대입하면

-4+2^a+2=28, 2^a+2=32=2Þ`에서 a+2=5 ∴ a=3



∴ a+b=3+1=4



 b의 값 구하기 40 %

 a의 값 구하기 40 %

 a+b의 값 구하기 20 %

11

0

^정답 ^9bÛ`_2a

어떤 식을 라고 하면 _{-;3$;aÜ`b}=8aÞ`bÝ`

∴ =8aÞ`bÝ`Ö{-;3$;aÜ`b}=8aÞ`bÝ`_{- 34aÜ`b }=-6aÛ`bÜ`

따라서 바르게 계산하면

(-6aÛ`bÜ`)Ö{-;3$;aÜ`b} =(-6aÛ`bÜ`)_{- 34aÜ`b }

= 9bÛ`2a

6

00

^정답;2£5; ab

a=3^x-1에서 a=3^xÖ3 ∴ 3^x=3a b=5^x+2에서 b=5^x_5Û` ∴ 5^x= b 5Û`

∴ 15^x=(3_5)^x=3^x_5^xyy (✽)

=3a_ b5Û`=;2£5;ab

…… (✽) 풀이 첨삭

주어진 a, b를 사용하여 나타내려면 먼저 15^x을 a, b의 밑과 같 도록 만들어야 한다.

a, b의 밑이 각각 3, 5이므로 15^x을 밑이 3, 5인 형태로 만들면 15^x=(3_5)^x=3^x_5^x으로 나타낼 수 있다.

7

00

^정답 ⑴ 15 ⑵ 18 ⑶ 27

⑴ (-2xÛ`y^A)Ü`_(-xyÞ`)^B

=-8xß`y^3A_(-1)^Bx^By^5B

={(-8)_(-1)^B}_x^6+By^3A+5B

즉, {(-8)_(-1)^B}_x^6+By^3A+5B=Cx¹¹y³¹이므로 6+B=11에서 B=5

-8_(-1)^B=C에서 C=8 3A+5B=31에서 A=2

∴ A+B+C=2+5+8=15

⑵ {-;3@;x}Ü`ÖyÛ`

x^A_(-3y)Ü`

=-;2¥7;xÜ`Ö yÛ`x^A_(-27yÜ`)

=-;2¥7;xÜ`_ xyÛ`^A_(-27yÜ`)

=[{-;2¥7;}_(-27)]_x^3+Ay

=8x^3+Ay

즉, 8x^3+Ay=BxÚ`Û`y^C이므로

B=8이고 3+A=12에서 A=9, C=1

∴ A+B+C=9+8+1=18

⑶ 28xß`y^AÖ(xyÛ`)Ü`Ö4 3 xyÛ`

=28xß`y^AÖxÜ`yß`Ö 4xyÛ`3

=28xß`y^A_ 1 xÜ`yß`_ 3

4xyÛ`

={28_ 34 }_xß`y``

xÝ`y¡`

= 21xÛ`

y^8-A 즉, 21xÛ`

y^8-A=Bx`

yÝ` 이므로 8-A=4에서

A=4, B=21, C=2

∴ A+B+C=4+21+2=27

이때 y^A y⁸이 1

yÝ`이어야 하므로 A<8 즉, 1

y ^8-A로 나타내야 한다.

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(17)

Ⅱ

식의 계산

12

0

^정답^-1

2xÜ`yÛ`Ö(-xÛ`y)_{;4!;xy}Û` =2xÜ`yÛ`_{- 1xÛ`y }_;1Á6;xÛ`yÛ`

=- 18 xÜ`yÜ`

이때 x=-1, y=-2를 대입하면 (주어진 식) =-1

8 _(-1)Ü`_(-2)Ü`

=- 18 _(-1)_(-8)=-1

이 문제는 식의 값을 구하는 문제로 먼저 주어진 식을 간단히 한 후 x, y의 값을 각각 대입하여 구하도록 한다.

비법 특강

13 0

^정답^

밑면의 반지름의 길이가 6abÛ`_;2!;=3abÛ`이므로 원기둥의 부피는

p_(3abÛ`)Û`_(높이)=36paÝ`bÝ`

9paÛ`bÝ`_(높이)=36paÝ`bÝ`

∴ (높이)=36paÝ`bÝ`_ 1

9paÛ`bÝ`=4aÛ`

14 0

^정답²³

4_(8Ü`+8Ü`+8Ü`)_125_(5ß`+5ß`+5ß`+5ß`)

=2Û`_(3_8Ü`)_5Ü`_(4_5ß`)

=2Û`_3_2á`_5Ü`_2Û`_5ß`

=3_2¹³_5á`

=3_2⁴⁺⁹_5á`

=(3_2Ý`)_(2á`_5á`)

=48_(2_5)á`

=48_10á`

 따라서 주어진 수는 11자리의 자연수이므로

n=11

 각 자리의 숫자의 합은 4+8=12이므로

m=12



∴ m+n=12+11=23



 주어진 식을 a_10û` 의 꼴로 나타내기 50 %

 n의 값 구하기 20 %

 m의 값 구하기 20 %

 m+n의 값 구하기 10 %

(2Ü`)Ü`=2á`

2⁴⁺⁹=2Ý`_2á`

B ^{1 등급 도전하기}

0 15

^정답^

(4_5_6_7_8)_(14_15_16_17_18)

=(2Û`_5_2_3_7_2Ü`)_(2_7_3_5_2Ý`_17_2_3Û`)

=2¹²_3Ý`_5Û`_7Û`_17

따라서 x=12, y=4, z=2, w=2이므로 x+y+z+w=12+4+2+2=20

16

0

^정답^8aÝ`

6a=3^2x+1에서 6a=3^2x_3

∴ 3^2x=2a

∴ 81^3x

9^2x+81^x = (3Ý`)^3x

(3Û`)^2x+(3Ý`)^x= 3^12x 3^4x+3^4x

= (3^2x)ß`

(3^2x)Û`+(3^2x)Û`= (2a)ß`

(2a)Û`+(2a)Û`

= 2ß`aß`

2_(2a)Û`= 2ß`aß`2Ü`aÛ`

=2Ü`aÝ`=8aÝ`

다른 풀이 81^3x

9^2x+81^x = (3Ý`)^3x

(3²)^2x+(3⁴)^x= 3^12x 3^4x+3^4x

= 3^12x 2_3^4x

= 32 =^8x (3^2x)⁴

2 =(2a)⁴ 2

= 2⁴a⁴

2 =2³a⁴=8a⁴

17 0

^정답^

① 5⁴⁰

② 25¹⁹=(5Û`)¹⁹=5³⁸

③ 36²⁰=(6Û`)²⁰=6⁴⁰

④ 196¹⁰=(14Û`)¹⁰=14²⁰

⑤ 216¹⁴=(6Ü`)¹⁴=6⁴² 따라서 가장 큰 수는 ⑤이다.

각 수를 소인수분해하여 나타낸다.

3^2x=2a이므로

이 문제는 주어진 수를 지수법칙을 이용하여 a_10^k (a, k는 자연수)의 꼴 로 나타낸 후 몇 자리 수인지 해결하는 문제이다.

10^k=(2_5)^k=2^k_5^k이므로 주어진 수를 변형하여 밑이 2와 5인 부분 을 먼저 10의 거듭제곱으로 나타낼 수 있게 분리한 후 나머지를 모두 곱하 여 a_10^k의 꼴로 나타낼 수 있도록 한다.

비법 특강

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(18)

즉, (2Û`)^x=2ß`, 2^2x=2ß`

2x=6 ∴ x=3

 (나) 3^y+1=9^2y-4에서

3^y+1=(3Û`)^2y-4=3^4y-8 즉, y+1=4y-8, 3y=9

∴ y=3



∴ x+y=3+3=6



 x의 값 구하기 40 %

 y의 값 구하기 40 %

 x+y의 값 구하기 20 %

22 0

^정답²²⁰

(4`)º`_16` ={(2Û`)`}º`_(2Ý`)`

=2^2ab_2^4c

=2^2ab+4c 이때 ab+2c-10=0에서 2ab+4c-20=0이므로 2ab+4c=20

∴ (주어진 식)=2²⁰

23

0

^정답 ₁₆⁹

(주어진 식) =2_2Ü`

3_9Û`_3_3ß`

4_8Û`

= 2Ý`

3_(3Û`)Û`_ 3à`

2Û`_(2Ü`)Û`

= 2Ý`

3_3Ý`_ 3à`

2Û`_2ß`

= 2Ý`3Þ`_ 3à`2¡`

= 3Û`

2Ý`=;1»6;

24

0

^정답 _27aÜ`^bÛ`

이전의 연속하는 두 항을 곱하여 다음 항을 만든다. yy (✽) 두 번째와 세 번째의 항을 각각 ㉠, ㉡이라 하자.

㉡_3a=-b에서 ㉡=- b 3a

㉠_{- b

3a }=3a에서

㉠=3aÖ{- b

3a }=3a_{-3a

b }=-9aÛ`

b

{(a^m)ⁿ}^l=a^mnl

18 0

^정답²

5^x+2+5^x+1+5^x =5^x_5Û`+5^x_5+5^x

=25_5^x+5_5^x+1_5^x

=(25+5+1)_5^x

=31_5^x 이므로 31_5^x=775에서 5^x=25=5Û` ∴ x=2

19 0

^정답⁷

(-xy^A)Û`Ö{ 2yx^B}Ü`Ö;1Á6;xÜ`y

=xÛ`y^2AÖ 8yÜ`

x^3BÖ;1Á6;xÜ`y

=xÛ`y^2A_ x8yÜ`^3B_ 16xÜ`y

=2x^3By^2A xyÝ`

=2x^3B-1y^2A-4

즉, 2x^3B-1y^2A-4=CxÞ`yÛ`이므로 C=2

3B-1=5에서 B=2 2A-4=2에서 A=3

∴ A+B+C=3+2+2=7

20 0

^정답^

;3@;xÛ`yÖ _{-;5$;xyÛ`}={- xÝ`yÛ` }Û`에서

;3@;xÛ`y_ 1 _{-;5$;xyÛ`}= x¡`yÝ`

[;3@;_{-;5$;}]_xÜ`yÜ`_ 1 = x¡`yÝ`

-;1¥5;x³y³_ 1 = x¡`

yÝ`

∴ ={-;1¥5;xÜ`yÜ`}_yÝ`

x¡`=- 8yà`

15xÞ`

다른 풀이 주어진 식에서

=;3@;xÛ`y_{-;5$;xyÛ`}Ö{-xÝ`

yÛ` }Û`

=;3@;xÛ`y_{-;5$;xyÛ`}_ yÝ`x¡`

=[;3@;_{-;5$;}]_ xÜ`yà`x¡`

=- 8yà`

15xÞ`

21 0

^정답⁶

(가) 4^x+1+4^x=320에서 4^x_4+4^x=320

5_4^x=320 ∴ 4^x=64

x^3B

x =xÞ`이어야 하므로 3B>1, 즉 x^3B-1 마찬가지로 y^2A

yÝ`=yÛ`이어야 하므로 2A>4, 즉 y^2A-4

정답 과 풀이

수학 2 - 1

중