0253 n이 라 가정하면

n= (k는 자연수)로 놓을 수 있으므로 n¤ =(2k)¤ =4k¤ =2

즉, n¤ 은 이다.

그런데 이것은 n¤ 이 라는 사실에 모순이다.

따라서 n¤ 이 홀수이면 n도 이다.

답 ㈎ 짝수 ㈏ 2k ㈐ (2k¤ ) ㈑ 짝수 ㈒ 홀수 ㈓ 홀수

0254

^{3+'2를 라 가정하면}

3+'2와 -3은 이고

(3+'2)+(-3)='2는 이다.

그런데 이것은'2가 라는 사실에 모순이다.

따라서 3+'2는 이다.

답 ㈎ 유리수 ㈏ 유리수 ㈐ 유리수 ㈑ 무리수 ㈒ 무리수

0255

a…0이고 b…0이라 가정하면

a+b…0이 되어 a+b>0이라는 사실에 모순이다.

따라서 실수 a, b에 대하여 a+b>0이면 a, b 중 적어도 하나

는 양수이다. (증명 끝) 답 풀이 참조

0256

⑴ 주어진 명제의 대우는

‘실수 a, b에 대하여 a+0 또는 b+0이면 a¤ +b¤ +0이다.’

이때 a+0 또는 b+0이면 a¤ >0 또는 b¤ >0이므로 a¤ +b¤ >0에서 a¤ +b¤ +0이다.

따라서 실수 a, b에 대하여 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다. (증명 끝)

⑵ a+0 또는 b+0이라 가정하면 a¤ >0 또는 b¤ >0이므로 a¤ +b¤ >0이다. 그런데 이것은 a¤ +b¤ =0이라는 사실에 모 순이다.

따라서 실수 a, b에 대하여 a¤ +b¤ =0이면 a=0이고 b=0

이다. (증명 끝) 답 풀이 참조

0257

ㄱ. a(a-b)=0 a=b (2⁄의 반례) a=0, b=1

따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.

ㄴ. a>0, b>0 ab>0

(¤2의 반례) a=-1, b=-1

따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. 답 ③

0258

^{① x¤ =4 x=2}

②(2⁄의 반례) x=-2

②따라서 필요조건이지만 충분조건은 아니다.

1^×⁄

¤^○1 1^○⁄

¤^×1

1^×⁄

¤^○1

무리수 무리수

유리수 유리수

유리수 홀수 홀수 짝수

(2k¤ ) 2k

짝수

② x는 6의 양의 약수 x는 12의 양의 약수

⑴a>bHjK a-b>0, b>c HjK b-c>0, a>c HjK c-a<0

⑴∴ (a-b)(b-c)(c-a)<0

⑴a>b>c (a-b)(b-c)(c-a)<0

⑴(¤2의 반례) a=2, b=1, c=3

③HjK 2xy=2|x||y|

③HjK xy=|xy|

a…-1

따라서 실수 a의 최댓값은 -1이다. 답 ②

0267

x¤ -6x+8<0에서 (x-2)(x-4)<0

∴ 2<x<4

-2<x-a<2에서 a-2<x<a+2

이때 2<x<4가 a-2<x<a+2이기 위한 충분조건이므로 오른쪽 그림에서

a-2…2, 4…a+2

∴ 2…a…4

따라서 정수 a는 2, 3, 4의 3개이다.

답 3

0268

x-3+0은 x¤ +ax-12+0이기 위한 필요조건이므로 명제‘x¤ +ax-12+0이면 x-3+0이다.’는 참이다.

따라서 이 명제의 대우

‘x=3이면 x¤ +ax-12=0이다.’도 참이다.

즉, 3¤ +3a-12=0 ∴ a=1 답 ④

0269

p가 q이기 위한 필요조건이므로 qjjK p므로∴ Q,P

① P;Q=Q ② P'Q=P

③ P;QÇ +Δ ⑤ PÇ -Q=PÇ 답 ④

0270

조건 p는 조건 q이기 위한 충분조건이지만 필요조건 은 아니므로 P,Q

∴ P;QÇ =Δ 답 ⑤

0271

p는 q이기 위한 충분조건이므로

P,Q㉠㉠ yy㉠

~r는 q이기 위한 필요조건이므로 Q,RÇ ㉠㉠ yy㉡

㉠, ㉡에서 P,Q,RÇ ∴ P;R=Δ 답 ④

0272

p가 ~p 또는 ~q이기 위한 충분조건이므로 P,(PÇ 'QÇ ) HjK P,QÇ (∵ P;PÇ =Δ)

HjK Q,PÇ ^답 ⑤

U Q

P R

a-2 2 4 a+2 x

0273

조건 p를 벤 다이어그램으로 나타 내면 오른쪽 그림과 같으므로

p는 q이기 위한 필요충분조건이다.

또한, q2⁄ r는 참, r 2⁄ q는 거짓이다.

(반례)

따라서 q는 r이기 위한 충분조건이다. 답 ④

0274

r가 p 또는 q이기 위한 충분조 건이므로

R,(P'Q)

벤 다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.

① (P'Q);R=R (참)

② (P'Q);RÇ =(P'Q)-R+R (거짓)

③ (PÇ 'QÇ );R=(P;Q)Ç ;R

③ (PÇ 'QÇ );R=R-(P;Q)+R (거짓)

④ (PÇ 'QÇ );RÇ =(P;Q)Ç ;RÇ

③ (PÇ 'QÇ );RÇ ={(P;Q)'R}Ç +Δ (거짓) 답 ①

0275

^p2⁄ ~q가 참이므로 대우 q2⁄ ~p도 참이다.

∴ P,QÇ , Q,PÇ

또, ~r2⁄ q가 참이므로 대우 ~q 2⁄ r 도 참이다.

∴ RÇ ,Q, QÇ ,R

따라서 P,QÇ ,R, RÇ ,Q,PÇ 이므로 ④는 옳지 않다.

답 ④

0276

^{ㄱ. 명제 p}2⁄ q가 참이므로 q는 p이기 위한 필요조건 ㄴ. 이다. (거짓)

ㄴ. 명제 ~r2⁄ ~q가 참이므로 대우 q 2⁄ r가 참이다.

ㄴ. 따라서 r는 q이기 위한 필요조건이다. (참)

ㄷ. 명제 p2⁄ q, q 2⁄ r가 참이므로 p 2⁄ r가 참이다.

ㄴ. 따라서 p는 r이기 위한 충분조건이다. (참)

그러므로 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ④

0277

q는 p이기 위한 필요조건이므로 qHjj p yy㉠ q는 r이기 위한 충분조건이므로 qjjK r yy㉡ r는 p이기 위한 충분조건이므로 rjjK p yy㉢

㉠, ㉡에서 pjjK q, q jjK r이므로 p jjK r yy㉣

㉢, ㉣에서 rjjK p, p jjK r이므로 r HjK p이다.

답 필요충분조건

U R

P QÇ U

R

P Q

U B A

U A=B

단계 채점요소 배점

x¤ -6x+8<0에서 x의 값의 범위 구하기 20%

-2<x-a<2에서 x의 값의 범위 구하기 20%

a의 값의 범위 구하기 50%

정수 a의 개수 구하기 10%

0278

p는 q이기 위한 충분조건이므로 pjjK q yy㉠

∴ ~qjjK ~p

~q는 r이기 위한 필요조건이므로 qjjK ~r yy㉡

㉠, ㉡에서 pjjK ~r

∴ rjjK ~p

따라서 ①, ②, ③, ④는 참이지만, ⑤는 ②의 역이므로 반드시

참이라 할 수 없다. 답 ⑤

0279

p는 q이기 위한 충분조건이므로 pjjK q yy㉠

같은 방법으로 sjjK r yy㉡ qjjK s yy㉢ rjjK q yy㉣

㉢에서 qjjK s이고 ㉡, ㉣에서 s jjK q이므로 q는 s이기 위한 조건이고 pjjK q jjK s이므로 s는 p이기 위한

조건이다. 답 ④

0280

^⁄지선이의 말이 참일 때

¤지선：학원, 수진：학원, 준호：서점

¤이 경우 독서실에 간 학생이 없으므로 모순

¤수진의 말이 참일 때

¤지선：서점 또는 독서실, 수진：서점 또는 독서실,

¤준호：서점

¤이 경우 학원에 간 학생이 없으므로 모순

‹준호의 말이 참일 때

¤지선：서점 또는 독서실, 수진：학원,

¤준호：학원 또는 독서실

¤이로부터 지선, 수진, 준호가 각각 간 곳은 서점, 학원, 독서 실이다.

따라서 학원, 서점, 독서실에 간 학생은 수진, 지선, 준호이다.

답 수진, 지선, 준호

0281

p：수학을 잘하는 사람이다.

q：머리가 좋다.

r：컴퓨터를 잘하는 사람이다.

로 놓으면 주어진 명제 ㈎, ㈏가 참이므로 pjjK q, ~p jjK ~r 이다.

이때 ~p jjK ~r는 r jjK p이므로 r jjK p, p jjK q에서 rjjK q이다.

따라서 반드시 참인 명제는 ④이다. 답 ④

0282

B가 옳은 진술이라면 고등학생은 D가 되고 C도 옳은 진술이 된다. 그러나 진실을 말한 사람은 한 명뿐이기 때문에 B는 거짓이 되고, D가 옳은 진술이 된다.

D를 제외한 나머지 모두 거짓말이 되기 때문에 고등학생은 C 필요

필요충분

이다. 답 D, C

다른풀이이네 사람 A, B, C, D가 모두 고등학생이라 가정하 고, 주어진 진술을 가지고 표를 만들어 보면 다음과 같다.

0283

^{- =}

- =

a>b>0에서 a-b>0, 1+3a>0, 1+3b>0

이므로 A-B>0∴∴∴ A>B 답 ③

0284

A-B=(2x¤ -y¤ )-(x¤ -4xy-6y¤ )

=x¤ +4xy+5y¤ =(x¤ +4xy+4y¤ )+y¤

=( )¤ +y¤

( )¤ æ0, y¤ æ0이므로

A-B 0에서 A B이다.

이때 등호는 x+2y=0, y=0, 즉 일 때 성립한다.

답 ③

0285

a<b<c<d일 때

A-B=(ad+bc)-(ac+bd)=a(d-c)+b(c-d)

=a(d-c)-b(d-c)=(d-c)(a-b)<0

∴ A<B∴∴yy㉠

B-C=(ac+bd)-(ab+cd)=a(c-b)+d(b-c)

=a(c-b)-d(c-b)=(c-b)(a-d)<0

∴ B<C∴∴yy㉡

㉠, ㉡에서 A<B<C

답 A<B<C

0286

("√2(a+b))¤ -('a+'b)¤

=2(a+b)-(a+b+2'∂ab)

=a-2'∂ab+b

=('a)¤ -2'a'b+('b)¤

x=y=0 æ

æ x+2y

x+2y

3(a-b) 14111111(1+3a)(1+3b)

3a(1+3b)-3b(1+3a) 14111111111(1+3a)(1+3b) 14111+3b3b

14111+3a3a

A B C D

A Y Y Z Z

B Z Y Z Z

C Y Y Y Z

D Y Z Z Y

고등학생 진술

단계 채점요소 배점

A, B의 대소 비교하기 40%

B, C의 대소 비교하기 40%

A, B, C의 대소 비교하기 20%

pjjK q Hjj r s jjKjjK

=( )¤ æ0

∴ ("√2(a+b))¤æ_('a+'b)¤

그런데"√2(a+b)>0, 'a+'b>0이므로

"√2(a+b)æ_'a+'b

이때 등호는 일 때 성립한다. 답 ②

0287

A='3+'6, B=2+'5, C=1+2'2이므로 A¤ =('3+'6)¤ =9+2'∂18=9+'∂72

B¤ =(2+'5)¤ =9+4'5=9+'∂80 C¤ =(1+2'2)¤ =9+4'2=9+'∂32 '∂80>'∂72>'∂32이므로 B¤ >A¤ >C¤

그런데 A>0, B>0, C>0이므로 B>A>C

답 B>A>C

0288

^{⁄ =} ={;8^;}1 0 <1므로∴ 6⁄ ‚ <2‹ ‚

¤ = ={;9*;}1 0 <1므로∴ 2‹ ‚ <3¤ ‚

⁄, ¤에서 6⁄ ‚ <2‹ ‚ <3¤ ‚ 답 ①

0289

^{={ }1 0}

이때 4‹ ‚ >n¤ ‚ 이므로 >1므로∴ 64>n¤

그런데 n은 자연수이므로 0<n<8

따라서 자연수 n의 최댓값은 7이다. 답 7

0290

x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의 하여

5x+3yæ2'ƒ5x¥3y 그런데 5x+3y=10이므로

10æ2'ƒ15xy (단, 등호는 5x=3y일 때 성립)

∴ ('∂5x+'∂3y)¤ =5x+3y+2'ƒ15xy

=10+2'ƒ15xy…10+10=20 즉, ('∂5x+'∂3y)¤ …20이므로

0<'∂5x+'∂3y…'∂20=2'5

따라서'∂5x+'∂3y의 최댓값은 2'5이다. ^답 ④

0291

x, y가 양수이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의 하여

2x¤ +8y¤ æ2"√2x¤ ¥8y¤ =8xy

그런데 2x¤ +8y¤ =56이므로 56æ8xy

∴ xy…7 (단, 등호는 x=2y일 때 성립)

따라서 xy의 최댓값은 7이다. 답 ④

0292

a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의 하여

144n¤4‹

144n¤4‹

142n¤ ‚4‹ ‚ (2‹ )⁄ ‚ 1421(3¤ )⁄ ‚ 1422‹ ‚3¤ ‚

1421(2‹ )⁄ ‚6⁄ ‚ 1426⁄ ‚2‹ ‚

a=b

'a-'b 2a+4bæ2"√2a¥4b=2'∂8ab

그런데 ab=4이므로 2a+4bæ2'∂32=8'2

따라서 2a+4b의 최솟값은 8'2이다. ^답 ⑤

0293

a+0, b+0에서 a¤ >0, b¤ >0이므로 산술평균과 기하 평균의 관계에 의하여

a¤ +b¤ æ2"ça¤ b¤ =2|ab|

그런데 a¤ +b¤ =12이므로 12æ2|ab|

|ab|…6 (단, 등호는 |a|=|b|일 때 성립)

∴ -6…ab…6

따라서 ab의 최솟값은 -6이다. 답 -6

0294

x>-1에서 x+1>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

x+ =x+1+ -1

x+ æ2Æ…(x+1)¥ -1=2¥2-1=3 이때 등호는 x+1= 일 때 성립하므로 (x+1)¤ =4, x+1=2 (∵ x+1>0)므므∴ x=1 따라서 x+ 는 x=1일 때 최솟값 3을 가지므로

m=3, n=1므므∴ m+n=4 답 ③

0295

x>2에서 x-2>0이므로 산술평균과 기하평균의 관 계에 의하여

x+3+ =x-2+ +5

x+3+ æ2æ≠(x-2)¥ +5=7

{단, 등호는 x-2= ,즉 x=3일 때 성립}

따라서 구하는 최솟값은 7이다. 답 ④

0296

a>1에서 a-1>0이므로 산술평균과 기하평균의 관 계에 의하여

9a-1+ =9(a-1)+ +8

9a-1+ æ2æ≠9(a-1)¥ +8

9a-1+ =2¥3+8=14

{단, 등호는 9(a-1)= ,즉 a=;3$;일 때 성립}

9a-1+ æ14이므로 9a-1+ æk가 항상 성립

하려면 k…14

따라서 k의 최댓값은 14이다. 답 ④

1412a-11 1412a-11

1412a-11 1412a-11 1412a-11 1412a-11

1412x-21 1412x-21 1412x-21 1412x-21

1412x+14

1412x+14 1412x+14 1412x+14 1412x+14

0297

x>3에서 x-3>0이므로 산술평균과 기하평균의 관 계에 의하여

= =x+

=x-3+ +3

æ2æ≠(x-3)¥ +3

=2¥2+3=7

{단, 등호는 x-3= ,즉 x=5일 때 성립}

따라서 의 최솟값은 7이다. 답 ③

0298

{x+;]$;}{4y+;[!;}=4xy+1+16+;[¢];

æ17+2Æ…4xy¥;[¢];

=17+8=25

{단, 등호는 4xy=;[¢];, 즉 xy=1일 때 성립}

따라서 구하는 최솟값은 25이다. 답 ⑤

0299

{;bA;+;dC;}{;aB;+;cD;}=1+ + +1

=2+ +

æ2+2æ≠ ¥ =4

{단, 등호는 = ,즉 ad=bc일 때 성립}

따라서 구하는 최솟값은 4이다. 답 ④

0300

{a+(3b+c)}{;a!;+ }

=1+ + +4

=5+ +

æ5+2æ≠ ¥

=5+2¥2=9

{단, 등호는 = ,즉 2a=3b+c일 때 성립}

따라서 구하는 최솟값은 9이다. 답 ③

0301

^{+ +}

=;aB;+;aC;+;bC;+;bA;+;cA;+;cB;

={;aB;+;bA;}+{;bC;+;cB;}+{;cA;+;aC;}

1421a+bc 1421c+ab

1421b+ca

14213b+ca 14213b+c4a

14213b+ca 14213b+c4a

14213b+ca 14213b+c4a

14213b+ca 14213b+c4a

14213b+c4 142adbc 142adbc

142adbc 142adbc

142adbc 142adbc

142adbc 142adbc x¤ -3x+4

1412112x-3

1412x-34 1412x-34 1412x-34

1412x-34 x(x-3)+4

14121122x-3 x¤ -3x+4

1412112x-3

æ2æ–;aB;¥;bA;+2æ–;bC;¥;cB;+2æ–;cA;¥;aC;

=2+2+2=6 (단, 등호는 a=b=c일 때 성립)

따라서 구하는 최솟값은 6이다.

답 6

0302

(k+1)x¤ +2(k+1)x+3>0에서

⁄k=-1일 때, 0¥x¤ +0¥x+3>0이므로 모든 실수 x에 대 하여 항상 성립한다.

¤k+-1일 때, k+1>0에서 k>-1∴∴yy㉠

⁄이차방정식 (k+1)x¤ +2(k+1)x+3=0의 판별식을 D 라 하면

⁄ =(k+1)¤ -3(k+1)<0에서

⁄k¤ -k-2<0, (k+1)(k-2)<0

⁄∴ -1<k<2∴∴ yy㉡

⁄㉠, ㉡의 공통 범위는 -1<k<2

⁄, ¤에서 -1…k<2 답 ②

0303

(a+3)x¤ +4x+a…0이 모든 실수 x에 대하여 성립 하려면 a+3<0, D…0

a+3<0에서 a<-3 yy㉠

이차방정식 (a+3)x¤ +4x+a=0의 판별식을 D라 하면

=2¤ -a(a+3)…0에서 a¤ +3a-4æ0, (a-1)(a+4)æ0 a…-4또는 aæ1 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위는 a…-4 답 ③

0304

a(x¤ +2x+2)æ-2x에서 ax¤ +2(a+1)x+2aæ0

이 이차부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면

a>0이고 이차방정식 ax¤ +2(a+1)x+2a=0의 판별식을 D 라 할 때

=(a+1)¤ -2a¤ …0에에∴ a¤ -2a-1æ0

a¤ -2a-1=0에서 근의 공식에 의하여 a=1—'2이므로 14D4

14D4 14D4

단계 채점요소 배점

주어진 식 변형하기 30%

산술평균과 기하평균의 관계 이용하기 40%

의 식 정리하기 20%

최솟값 구하기 10%

{a-(1+'2)}{a-(1-'2)}æ0

∴ aæ1+'2 (∵ a>0)

따라서 구하는 정수 a의 최솟값은 3이다. 답 3

0305

주어진 부등식을 x에 대하여 정리하면 x¤ +(2y+a)x+y¤ -4y+bæ0

이 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면

이차방정식 x¤ +(2y+a)x+y¤ -4y+b=0의 판별식을 D라 할 때

D=(2y+a)¤ -4(y¤ -4y+b)…0 4(a+4)y+a¤ -4b…0∴∴yy㉠

㉠이 임의의 실수 y에 대하여 성립해야 하므로 a+4=0, a¤ -4b…0성립∴ a=-4

(-4)¤ -4b…0, 16-4b…0성립∴ bæ4

∴ a=-4, bæ4 답 ②

0306

전체 직사각형의 가로의 길이 를 a m, 세로의 길이를 b m라 하면 a>0, b>0

철망의 길이가 40 m이므로 2a+4b=40

산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 2a+4bæ2'ƒ2a¥4b, 40æ2'ƒ8ab하면

∴ 20æ'ƒ8ab (단, 등호는 2a=4b일 때 성립) 양변을 제곱하면

400æ8ab하면∴ ab…50 직사각형의 넓이 S는 S=ab…50

따라서 우리의 넓이의 최댓값은 50 m¤ 이다. 답 ②

0307

꽃밭의 가로의 길이를 x m, 세로의 길이를 y m라 하면 x>0, y>0, xy=60

이때 필요한 전체 줄의 길이는 (5x+3y) m이므로 5x+3yæ2'ƒ5x¥3y=2'ƒ15xy=2'ƒ15¥60=60

따라서 필요한 줄의 최소 길이는 60 m이다. 답 ③

0308

소포의 가로, 세로의 길이를 각각 x cm, y cm라 하면 끈의 길이는 2x+2y+4¥5

끈의 길이가 100 cm이므로

2x+2y+4¥5=100므로∴ x+y=40므로yy㉠ x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계의 의하여 x+yæ2'∂xy, 40æ2'∂xy (∵ ㉠)

20æ'∂xy므로∴ xy…400

∴ (소포의 부피)=5xy…2000

따라서 소포의 최대 부피는 2000 cm‹ 이다. 답 2000 cm‹

0309

x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여

a

b

(1¤ +2¤ ){x¤ +(2y)¤ }æ(x+4y)¤

x¤ +4y¤ =4이므로 20æ(x+4y)¤

∴ -2'5…x+4y…2'5 (단, 등호는 x=y일 때 성립) 따라서 x+4y의 최댓값은 2'5이다. ^답 ②

0310

x, y, z가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 {1¤ +(-2)¤ +3¤ }(x¤ +y¤ +z¤ )æ(x-2y+3z)¤

그런데 x¤ +y¤ +z¤ =14이므로 14¤ æ(x-2y+3z)¤

∴ -14…x-2y+3z…14

{단, 등호는 x=-;2};=;3Z;일 때 성립}

따라서 x-2y+3z의 최솟값은 -14이다. 답 -14

0311

x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 (3¤ +2¤ )(x¤ +y¤ )æ(3x+2y)¤

x¤ +y¤ =a이므로 (3x+2y)¤ …13a

∴ -'∂13a…3x+2y…'∂13a

따라서 최댓값과 최솟값이 각각 '∂13a, -'∂13a이고 그 차가 13이므로

2'∂13a=13, 4¥13a=13¤∴∴∴ a=:¡4£: ^답 ④

0312

x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 [1¤ +{-;2!;}2 ]{(3x)¤ +(2y)¤ }æ(3x-y)¤

3x-y=3이므로;4%;(9x¤ +4y¤ )æ3¤

∴ 9x¤ +4y¤ æ:£5§:

{

^{단, 등호는 = ,}즉 3x=-4y일 때 성립

}

따라서 9x¤ +4y¤ 의 최솟값은:£5§:이다. ^답 ③

0313

직사각형의 가로, 세로의 길이가 각각 a, b이므로 a¤ +b¤ =20

이때 직육면체의 밑면의 한 변의 길이는;4A;, 높이는 b이므로 정사각기둥의 모든 모서리의 길이의 합은

;4A;¥8+4b=2a+4b

따라서 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여 (2¤ +4¤ )(a¤ +b¤ )æ(2a+4b)¤

20¥20æ(2a+4b)¤∴∴∴ -20…2a+4b…20 그런데 a>0, b>0이므로 0<2a+4b…20

따라서 구하는 최댓값은 20이다. 답 20

1112y -;2!;

1433x1

0314

오른쪽 그림과 같이 직육면체의 가로, 세로의 길이를 각각 x, y, 높이를 z라 하면 대각선의 길이가 2'6이므로

"√x¤ +y¤ +z¤ =2'6

∴ x¤ +y¤ +z¤ =24

직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은

4(x+y+z)이고, x, y, z는 실수이므로 코시-슈바르츠의 부 등식에 의하여

(1¤ +1¤ +1¤ )(x¤ +y¤ +z¤ )æ(x+y+z)¤

3¥24æ(x+y+z)¤

∴ -6'2…x+y+z…6'2

∴ -24'2…4(x+y+z)…24'2

(단, 등호는 x=y=z일 때 성립) 그런데 x>0, y>0, z>0이므로

0<4(x+y+z)…24'2

따라서 모든 모서리의 길이의 합의 최댓값은 24'2이다. ^답 ②

0315

직각삼각형 ABC에서 AC”="√3¤ +4¤ =5이므로

△ABC=△PAB+△PBC+△PCA에서

;2!;¥4¥3=;2!;¥3m+;2!;¥4¥1+;2!;¥5n

∴ 3m+5n=8

이때 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여

이때 코시-슈바르츠의 부등식에 의하여

문서에서 2014 개념원리 RPM 수학2 (페이지 23-31)