a«=;4!;¥(-2)« —⁄
즉,;4!;¥(-2)« —⁄ =256에서 (-2)« —⁄ =1024=(-2)⁄ ‚ n-1=10 ∴ n=11 따라서 256은 제 11 항이다.
⑵ 첫째항이'2+1, 공비가 ='2-1이므로 a«=('2+1)('2-1)« —⁄
∴ a¡ºº=('2+1)('2-1)· ·
=('2+1)('2-1)('2-1)· °
=('2-1)· ° 답 ⑴ 제 11 항 ⑵ ('2-1)· °
0793
등비수열 {a«}의 공비를 r라 하면 (a¡+a™)：(a£+a¢)=1：'2에서(a¡+a¡r)：(a¡r¤ +a¡r‹ )=1：r¤ =1：'2이므로 r¤ ='2
∴ a£：a¶=a¡r¤ ：a¡rfl =1：r›
∴ a£：a¶=1：(r¤ )¤ =1：2 답 ①
0794
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a£=ar¤ =4 yy㉠a§=arfi =32 yy㉡
㉡÷㉠을 하면 r‹ =8 ∴ r=2 (∵ r는 실수) ar¤ =4에서 a¥2¤ =4 ∴ a=1
∴ a«=1¥2« —⁄ =2« —⁄
2« —⁄ >2000에서 2⁄ ‚ =1024, 2⁄ ⁄ =2048이므로 n-1æ11 ∴ næ12
따라서 처음으로 2000보다 커지는 항은 제 12 항이다. 답 ③
0795
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a¡+a™=a+ar=3∴ a(1+r)=3 yy㉠
a¡a™+a¡a£=a¥ar+a¥ar¤
=a¤ r(1+r)=12 yy㉡
㉡÷㉠을 하면 ar=4
∴ a¡a™a£=a¥ar¥ar¤ =a‹ r‹ =(ar)‹ =4‹ =64 답 ⑤ 1
'2+1 -;2!;
;4!;
1 9 2
3 1
9 3 27 2 27
2 3 a™
a¡
2 27 1 3‹
2 3 1 3⁄
0796
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면(3-r)a=18에서 a=3
∴ a«=3¥(-3)« —⁄ (1+r+r¤ )=13, 3r¤ -10r+3=0 (3r-1)(r-3)=0 ∴ r= 또는 r=3
㉡에서 ar(a+ar+ar¤ )=56
㉠, ㉣를 대입하면
x‹ -2x¤ +4x-k=0은 서로 다른 세 실근을 갖는다.
세 실근을 a, ar, ar¤ 이라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관 계에 의하여
a+ar+ar¤ =a(1+r+r¤ )=2 yy㉠ a¤ r+a¤ r¤ +a¤ r‹ =a¤ r(1+r+r¤ )=4 yy㉡ a¥ar¥ar¤ =a‹ r‹ =(ar)‹ =k yy㉢
㉡÷㉠을 하면 ar=2 이를 ㉢에 대입하면
2‹ =k ∴ k=8 답 8
0806
세 수 x-1, x+2, 4x+1이 이 순서대로 등비수열을 이루므로(x+2)¤ =(x-1)(4x+1) x¤ +4x+4=4x¤ -3x-1
∴ 3x¤ -7x-5=0
따라서 모든 상수 x의 값의 합은 이차방정식의 근과 계수의 관 계에 의하여;3&;이다. 답 ;3&;
0807
f(2)=3a+4, f(0)=a, f(-1)=1이때 세 수 3a+4, a, 1이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 a¤ =(3a+4)¥1, a¤ -3a-4=0
따라서 모든 상수 a의 값의 합은 이차방정식의 근과 계수의 관
계에 의하여 3이다. 답 3
0808
1, 3, a가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 3¤ =a ∴ a=92, b, 18이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 b¤ =36 ∴ b=6 (∵ b>0)
1, 2, c가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 2¤ =c ∴ c=4
c(=4), 12, d가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 12¤ =4_d ∴ d=36
∴ a+b+c+d=55 답 55
0809
1, a, b가 이 순서대로 등차수열을 이루므로2a=1+b ∴ b=2a-1 yy㉠
a, '3, b가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
('3)¤ =ab yy㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 3=a(2a-1) 2a¤ -a-3=0, (2a-3)(a+1)=0
∴ a=;2#; 또는 a=-1 그런데 a는 정수이므로 a=-1 a=-1을 ㉠에 대입하면 b=-3
∴ a¤ +b¤ =10 답 10
0810
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=6, ab=4a, p, b가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2p=a+b=6 ∴ p=3
a, q, b가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 q¤ =ab=4 ∴ q=2 (∵ q>0)
따라서 이차항의 계수가 1이고 3, 2를 두 근으로 하는 이차방 정식은
x¤ -(3+2)x+3¥2=0
∴ x¤ -5x+6=0 답 ⑤
0811
주어진 등비수열의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 ar¤ =32 yy㉠arfi =4 yy㉡
㉡÷㉠을 하면 r‹ =;8!; ∴ r=;2!;
㉠에서 a¥{;2!;}¤ =32 ∴ a=128
따라서 S는 첫째항이 128, 공비가;2!;인 등비수열의 첫째항부 터 제10 항까지의 합이므로
S= =256¥[1-{;2!;}⁄ ‚
]=256-;4!;
∴ [S]=255 답 ①
0812
3⁄ ‚ =1¥3« —⁄에서 n=11이므로 구하는 등비수열의 합은S¡¡= = 답 ③
0813
S£= =9 yy㉠S§= =-63에서
=-63 yy㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 9(r‹ +1)=-63, r‹ =-8
∴ r=-2
㉠에 r=-2를 대입하면
=9 ∴ a=3 답 ④
0814
⑴ 첫째항이 ,공비가 이므로 첫째항부터 제10 항 까지의 합은S¡º= = {1- }
1 10⁄ ‚ 2
3 1 10 6
10 a{(-2)‹ -1}
-2-1 a(r‹ -1)(r‹ +1)
r-1 a(rfl -1)
r-1
a(r‹ -1) r-1
3⁄ ⁄ -1 3321252 1¥(3⁄ ⁄ -1)
3321255123-1 128¥[1-{;2!;}⁄ ‚ 33212551111]
1-;2!;
[1-{ }
⁄ ‚ ] 1- 1
10 1 10 6
10
⑵ 첫째항이 ,공비가'2이므로 첫째항부터 제 10 항까지의
= (9+99+999+y+99y9)
= {(10-1)+(10¤ -1)+(10‹ -1)+y+(10⁄ ‚ -1)} 3321511r-1
a(r⁄ ‚ -1) 3321511r-1 ar¤ ‚ (r⁄ ‚ -1)
332151122r-1 ar⁄ ‚ (r⁄ ‚ -1) 332151122r-1
a(r⁄ ‚ -1) 3321511r-1
7 10(2¥2+9¥2)
2 33251125111111-r a(1-r· )
332511251-r a(1-r‹ )(1+r‹ ) 3325112511151-r
a(1-rfl ) 332511251-r a(1-r‹ ) 332511251-r 332a«1
332a«1 3(2fl -1)
332151252-1 a(rfi -1)(rfi +1) 3321511111r-1
a(r⁄ ‚ -1) 3321511r-1 a(rfi -1) 3321511r-1
a(r⁄ ‚ -1)(r⁄ ‚ +1) 33215111112r-1
a(r¤ ‚ -1) 3321511r-1
[1-{ }⁄ ‚
0820
첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S«이라 하면 첫째항은x,공비는 이므로
⁄ +1,즉 x+0일 때,
S«= =(x+1)[1-{ }«
]
S«=x+1-{ }« —⁄
¤ =1,즉 x=0일 때, 모든 항이 0이므로 S«=0
답 x+0일 때 x+1-{ }« —⁄ , x=0일 때 0
0821
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a™=ar=3 yy㉠a∞=ar› =24 yy㉡
㉡÷㉠을 하면
r‹ =8 ∴ r=2 (∵ r는 실수) r=2를 ㉠에 대입하면
2a=3 ∴ a=;2#;
첫째항부터 제n 항까지의 합을 S«이라 하면
S«= =;2#;(2« -1) S«>720에서
;2#;(2« -1)>720, 2« -1>480
∴ 2« >481
이때 2° =256, 2· =512이므로 næ9
따라서 첫째항부터 제9 항까지의 합이 처음으로 720보다 커
진다. 답 9
0822
첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S«이라 하면S«=
=2-|2-S«|<0.01에서
|2-{2- }|<0.01
< , 2« —⁄ >100 이때 2fl =64, 2‡ =128이므로 n-1æ7 ∴ næ8
따라서 n의 최솟값은 8이다. 답 ③
1 100 1
2« —⁄
1 2« —⁄
1 2« —⁄
;2#;(2« -1) 3321255122-1
1 x+1 1
x+1
1 x+1
1 x+1 1
x+1 1 x+1
0823
2S«+1=5« 에서 S«=⁄næ2일 때,
⁄a«=S«-S«–¡
⁄a«= -{ }
⁄a«= (5-1)=2¥5« —⁄
¤n=1일 때,
⁄a¡=S¡= =2
⁄, ¤에서 a«=2¥5« —⁄ (næ1)
따라서 a=2, r=5이므로 a-r=-3 답 ②
0824
S«=3a«≠¡+4 yy㉠S«–¡=3a«+4 yy㉡
㉠-㉡을 하면
S«-S«–¡=3(a«≠¡-a«) a«=3(a«≠¡-a«), 3a«≠¡=4a«
∴ a«≠¡=;3$;a« (næ2)
따라서 수열 {a«}은 제2 항부터 공비가 ;3$;인 등비수열이므로 a∞=a£_{;3$;}¤ =27_{;3$;}¤ =48 답 48
0825
S«=Ar« +B(A, B는 상수)가 등비수열의 합이 될 조건 ⇨ A+B=0ㄱ. S«=3« ±⁄ -3=3¥3« -3이므로 등비수열이다.
ㄴ. S«={;2!;}« —⁄ -1=2¥{;2!;}« -1이므로 등비수열이 아니다.
ㄷ. S«=;4!;-{;4!;}« ±⁄ =;4!;-;4!;¥{;4!;}« 이므로 등비수열이다.
ㄹ. S«=5« —⁄ -;5!;=;5!;¥5« -;5!;이므로 등비수열이다.
ㅁ. S«+1=10¤ « 에서
ㅁ. S«=10¤ « -1=100« -1이므로 등비수열이다.
따라서 등비수열의 합을 나타내는 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ의 4개이다.
답 4