3+(n+1)d=108 (n+1)d=105=3_5_7
위의 식에서 최소의 자연수인 공차는 3이므로
n+1=35 ∴ n=34 답 34
다른풀이 (n+1)d=105에서 d=
여기서 d는 자연수이므로
(n, d)=(2, 35), (4, 21), (6, 15), (14, 7), (34, 3) 따라서 최소의 자연수인 공차가 3인 경우 n의 값은 34이다.
0764
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 제3 항이 63이므로 a£=a+2d=63 yy㉠ 제10 항이 35이므로 a¡º=a+9d=35 yy㉡105 n+1 1599d
1599d 1599d
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 d=-4, a=71
∴ a«=71+(n-1)¥(-4)=-4n+75 -4n+75<0에서 n>18.75
이때 n은 자연수이므로 처음으로 음수가 나오는 항은 제19 항
이다. 답 제19 항
0765
a«=-62+(n-1)¥5=5n-67 5n-67>0에서 n>13.4이때 n은 자연수이므로 처음으로 양수가 나오는 항은 제14 항
이다. 답 제14 항
0766
수열 {a«}에서 2x=-9+(-1)∴ x=-5
수열 {b«}에서 2y=-1+5 ∴ y=2
∴ x+y=-3 답 ③
0767
f(x)=ax¤ +x+4라 하면 f(1), f(2), f(3)이 순서대 로 등차수열을 이루므로2 f(2)=f(1)+f(3)
2(4a+2+4)=(a+1+4)+(9a+3+4) 8a+12=10a+12
∴ a=0 답 0
0768
삼차방정식의 세 근을 a-d, a, a+d로 놓으면 삼차 방정식의 근과 계수의 관계에 의하여(a-d)+a+(a+d)=6, 3a=6 ∴ a=2
따라서 주어진 방정식의 한 근이 2이므로 x=2를 방정식에 대 입하면
2‹ -6¥2¤ +2k+24=0, 2k=-8 ∴ k=-4 답 -4
0769
⑴ 등차수열을 이루는 네 수를a-3d, a-d, a+d, a+3d (d>0)로 놓으면 네 수의 합이 8이므로
(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=8 4a=8 ∴ a=2
가장 큰 수는 가장 작은 수의 3배이므로 2+3d=3(2-3d)
12d=4 ∴ d=;3!;
따라서 네 수는 1, ;3%;, ;3&;, 3이므로 구하는 네 수의 곱은 1_;3%;_;3&;_3=;;£3∞;;
⑵ 등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d (d>0)로 놓으면 빗변의 길이가 15이므로
a+d=15 yy㉠ 직각삼각형이므로
단계 채점요소 배점
a«을 식으로 나타내기 20%
공차 구하기 40%
a« 구하기 10%
a¡º구하기 30%
(a+d)¤ =(a-d)¤ +a¤
a(a-4d)=0 ∴ a=4d (∵ a+0) a=4d를 ㉠에 대입하면
a=12, d=3
따라서 세 변의 길이가 9, 12, 15이므로 구하는 넓이는
;2!;_9_12=54 답 ⑴;;£3∞;; ⑵ 54
0770
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a§=a+5d=44 yy㉠a¡•=a+17d=116 yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=14, d=6 첫째항부터 제n 항까지의 합이 280이므로
=280
3n¤ +11n-280=0, (n-8)(3n+35)=0
∴ n=8 또는 n=-:£3∞;:
그런데 n은 자연수이므로 n=8 답 ②
0771
⑴ 첫째항이 3, 공차가 2인 등차수열이므로 a«=3+(n-1)¥2=2n+12n+1=39에서 n=19
∴ S¡ª= =399
⑵ 첫째항이 -28, 공차가 5인 등차수열이므로 a«=-28+(n-1)¥5=5n-33
5n-33=22에서 n=11
∴ S¡¡= =-33 답 ⑴ 399 ⑵ -33
0772
등차수열의 항 수를 n, 공차를 d라 하면S«= =220에서 n=11
이때 a¡¡=-10이므로 50+10d=-10, 10d=-60
∴ d=-6
답 -6
0773
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 a¡=6, a¡º=-12에서6+(10-1)d=-12 ∴ d=-2
∴ a«=6+(n-1)¥(-2)=-2n+8 n(50-10)
111112
11(-28+22) 2 19(3+39)
2 n { 2¥14+(n-1)¥6 } 3321255111112542
∴ |a¡|+|a™|+|a£|+y+|a™º|
=|6|+|4|+|2|+|0|+|-2|+|-4|+y+|-32|
=(6+4+2+0)+(2+4+y+32)
=12+
=284 답 ③
0774
24+a¡+a™+y+a«+(-44)=24+(-120)+(-44)=-140
즉, =-140에서
n+2=14 ∴ n=12 답 12
0775
첫째항이 -9, 끝항이 31, 항 수는 (n+2)인 등차수 열이고 첫째항부터 끝항까지의 합이 231이므로=231, 11(n+2)=231 n+2=21 ∴ n=19
따라서 31은 제21 항이므로
-9+(21-1)d=31 ∴ d=2 답 n=19, d=2
0776
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면S¡º= =145
∴ 2a+9d=29 yy㉠
S™º-S¡º= -145=445
∴ 2a+19d=59 yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, d=3 따라서 제21 항부터 제30 항까지의 합은
S£º-S™º= -590
S£º-S™º=1335-590=745 답 745
0777
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면S∞= =5a+10d=70
∴ a+2d=14 yy㉠
S¡º= =5(2a+9d)=190
∴ 2a+9d=38 yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=10, d=2
∴ S¡∞= =360 답 360
0778
두 자리의 자연수 중에서 5로 나누어 2가 남는 수는 12, 17, 22, y, 97이 수열은 첫째항이 12, 공차가 5인 등차수열이므로 일반항을 a«이라 하면
15 {2¥10+(15-1)¥2}
1512551112251152 10{2a+(10-1)d}
15125511122512 5 { 2a+(5-1)d } 33212551112252
30 { 2+(30-1)¥3}
33212551111142 20 { 2a+(20-1)d } 33212551111152 10 { 2a+(10-1)d } 33212551111152 (n+2)(-9+31)
2
(n+2){24+(-44)}
332125511111152 16(2+32)
2
단계 채점요소 배점
항 수 구하기 50%
공차 구하기 50%
a«=12+(n-1)¥5=5n+7
끝항 97은 제18 항이므로 구하는 등차수열의 합은
=981 답 ②
0779
100 이하의 자연수 중에서 4로 나누어 떨어지는 수는 4, 8, 12, 16, y, 100이 수열은 첫째항이 4, 끝항이 100, 항 수가 25인 등차수열이 므로 그 합은
=1300 답 1300
0780
6으로 나누면 5가 남는 수는 5, 11, 17, 23, 29, 35, y8로 나누면 3이 남는 수는 3, 11, 19, 27, 35, y
이들의 공통인 수로 이루어진 수열을 크기순으로 나열하면 11, 35, 59, y
따라서 수열 {a«}은 첫째항이 11, 공차가 24이므로
a¡+a™+y+a•= =760 답 ③
0781
60보다 작은 자연수 중에서 3의 배수는 3, 6, 9, y, 57이 수열은 첫째항이 3, 끝항이 57, 항 수가 19인 등차수열이므 로 그 합은
=570
60보다 작은 자연수 중에서 4의 배수는 4, 8, 12, y, 56
이 수열은 첫째항이 4, 끝항이 56, 항 수가 14인 등차수열이므 로 그 합은
=420
한편, 60보다 작은 자연수 중에서 12의 배수는 12, 24, 36, 48
이 수열은 첫째항이 12, 끝항이 48, 항 수가 4인 등차수열이므 로 그 합은
=120
따라서 60보다 작은 자연수 중에서 3 또는 4로 나누어 떨어지 는 수의 총합은
570+420-120=870 답 870
0782
a«=-;2%;+(n-1)¥;3!;=;3N;-;;¡6¶;;제n 항에서 처음으로 양수가 나온다고 하면 a«=;3N;-;;¡6¶;;>0 ∴ n>;;¡2¶;;=8.5
4(12+48) 1233212552 14(4+56) 1233212552 19(3+57) 1233212552
8 {2¥11+(8-1)¥24}
332125511111222 25(4+100)
332125512252 18(12+97) 33212551222
즉, 제 9 항부터 양수이므로 첫째항부터 제 8 항까지의 합이 최 소가 된다. 따라서 구하는 n의 값은 8이다. 답 8
0783
등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면 S¡¶이 최댓값이므로 a¡¶æ0, a¡•<0에서 100+16dæ0, 100+17d<0∴ -;;™4∞;;…d<-;;¡1º7º;;
즉, -6.25…d<-5.88×××에서 d는 정수이므로 d=-6
∴ a¡º=100+(10-1)¥(-6)=46 답 ②
0784
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a∞=11에서 a+4d=11 yy㉠a¡∞=-9에서 a+14d=-9 yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=19, d=-2 제n 항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면 a«=19+(n-1)¥(-2)=-2n+21<0
∴ n> =10.5
즉, 제11 항부터 음수이므로 제10 항까지의 합이 최대이다.
따라서 구하는 최댓값은
S¡º= =100 답 100
0785
수열 59, a¡, a™, a£, y, a«, 32는 첫째항이 59, 끝항 이 32, 항 수가 (n+2)인 등차수열이므로 그 합을 S«≠™라 하면S«≠™= =455
n+2=10 ∴ n=8
이때 끝항 32는 제 10 항이므로 이 등차수열의 공차를 d라 하면 59+(10-1)d=32 ∴ d=-3
따라서 수열 59, a¡, a™, a£, y, a«, 32, y은 첫째항이 59, 공차가 -3인 등차수열이므로 이 수열의 일반항을 b«이라 하면 b«=59+(n-1)¥(-3)=-3n+62
제 n 항에서 처음으로 음수가 나온다면 b«=-3n+62<0 ∴ n>20.×××
즉, 제 21 항부터 음수이므로 제 20 항까지의 합이 최대이다.
따라서 p=20이고, 그때의 최댓값 q는
q= =610
∴ p+q=20+610=630 답 630
0786
S«=-3n¤ +2n이므로 a¡=S¡=-3+2=-1 a¡º=S¡º-Sª=(-3¥10¤ +2¥10)-(-3¥9¤ +2¥9)
=-55
∴ a¡+a¡º=-1-55=-56 답 ②
20{2¥59+19¥(-3)}
2
(n+2)(59+32) 2
10{2¥19+9¥(-2)}
2 21
2
0787
S«=a¡+a™+y+a«=n¤ +an이라 하면 a•=S•-S¶=(8¤ +8a)-(7¤ +7a)=15+a
또한, T«=b¡+b™+y+b«=2n¤ +n이라 하면 b•=T•-T¶=(2¥8¤ +8)-(2¥7¤ +7)
=31 a•=b•이므로
15+a=31 ∴ a=16 답 16
0788
S«=-(n-2)¤ +k에서⁄næ2일 때,
⁄a«=S«-S«–¡
⁄a«=-(n-2)¤ +k-{-(n-3)¤ +k}
⁄a«=-2n+5 yy㉠
¤n=1일 때,
⁄a¡=S¡=-1+k
a¡=-1+k는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같아야 하므로 -1+k=-2+5 ∴ k=4
∴ a¡=-1+4=3
∴ a¡+k=3+4=7 답 7
0789
S«=n¤ +3n에서⁄næ2일 때,
⁄a«=S«-S«–¡
⁄a«=n¤ +3n-{(n-1)¤ +3(n-1)}
⁄a«=2n+2
¤n=1일 때,
⁄a¡=S¡=1+3¥1=4
⁄, ¤에서 a«=2n+2 (næ1)
따라서 a™«–¡=2(2n-1)+2=4n이므로 a¡+a£+a∞+y+a™«–¡= =2n¤ +2n 2n¤ +2n=420에서
n¤ +n-210=0, (n-14)(n+15)=0
∴ n=14 또는 n=-15
그런데 næ1이므로 n=14 답 ②
0790
등비수열 {a«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a™=ar=2 yy㉠a∞=ar› =16 yy㉡
㉡÷㉠을 하면 r‹ =8 ∴ r=2 r=2를 ㉠에 대입하면 a=1
∴ a¡º=ar· =1¥2· =512 답 ③
0791
a«=2_3⁄ —¤ « 에서n(4+4n) 3321255122
a¡=2_ = , a™=2_ = 따라서 공비는
= = = 답 첫째항 : ,공비 :