1250 log∞ 3=b에서

= =b ∴ log™ 3=ab

∴ log§ 45= =

∴ log§ 45= =

∴ log§ 45= 답 ⑤

1251

"ç6'6=(6^1+;2!;)^;2!;=6^;4#;, "ç3'3=(3^1+;2!;)^;2!;=3^;4#;이므로 log£ "ç6'6-log§ "ç3'3=;4#;(log£ 6-log§ 3)

=;4#;{ - } 111144a(a+1) 3(2a+1)

111144a(a+1) (a+1)¤ -a¤

111112a(a+1) 1141+aa 1141+aa

log™ 3 111121+log™ 3 1+log™ 3

11112log™ 3

log™ 3 111124log™ (2¥3) log™ (2¥3)

111123log™ 3 log™ 3 111log™ 6 log™ 6

111log™ 3 a(2b+1)

111141+ab

2ab+a 11131+ab 2 log™ 3+log™ 5

11111111+log™ 3 log™ (3¤ ¥5) 11111log™ (2¥3) log™ 45

112112(2a+b)3a+b

;2!;(3a+b) 1111242a+b

log¶ '∂24 1111log¶ 12

1

1252

5≈ =2¥ ="ç10Ω =k라 하면 x=log∞ k에서 ;[!;=log˚ 5 y=log™ k에서 ;]!;=log˚ 2

;2Z;=log¡º k에서 ;z@;=log˚ 10

∴;[!;+;]!;-;z@;=log˚ 5+log˚ 2-log˚ 10

∴;[!;+;]!;-;z@;=log˚ { }=log˚ 1=0 ^답 ①

1253

25≈ =4¥ =10에서 x=log™∞ 10, y=log¢ 10이므로

;[!;=log¡º 25, ;]!;=log¡º 4

∴;[!;+;]!;=log¡º 25+log¡º 4=log¡º 100

;[!;+;]!;=log¡º 10¤ =2 답 ②

1254

logå x=1에서 logÆ a=1 log∫ x=2에서 logÆ b=;2!;

logç x=3에서 logÆ c=;3!;

∴ logå∫ç x= =

∴ logå∫ç x= = =;1§1; ^답 ;1§1;

1255

a≈ =b¥ =cΩ =256=2°에서 x=8 logå 2, y=8 log∫ 2, z=8 logç 2

∴;[!;+;]!;+;z!;= + +

∴;[!;+;]!;+;z!;=;8!;(log™ a+log™ b+log™ c)

∴;[!;+;]!;+;z!;=;8!; log™ abc=;8!; log™ 16

∴;[!;+;]!;+;z!;=;8!; log™ 2› =;8!;¥4=;2!; ^답 ;2!;

1256

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 log¡º a+log¡º b=6, log¡º a¥log¡º b=3

∴ logå b+log∫ a

∴= +

∴=

∴=

∴=11126¤ -2¥33 =;;£3º;;=10 ^답 ③ (log¡º a+log¡º b)¤ -2 log¡º a¥log¡º b

1111111111111111log¡º a¥log¡º b (log¡º a)¤ +(log¡º b)¤

1111111112log¡º a¥log¡º b log¡º a 1114log¡º b log¡º b

1114log¡º a

11128 logç 21 11128 log∫ 21

11128 logå 21 1231

:¡6¡:

1111231 1+;2!;+;3!;

11111111124logÆ a+logÆ b+logÆ c1 11123logÆ abc1

1245¥210

1257

⑴ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=10, ab=8

∴ log™ a+log™ b=log™ ab=log™ 8

=log™ 2‹ =3

⑵ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2 log™ 3, ab=1

∴ a+b-ab=2 log™ 3-1=log™ 3¤ -log™ 2=log™ ;2(;

∴ 2^a+b-ab=2^{log™ ;2(;}=;2(; ^답 ⑴ 3 ⑵ ;2(;

1258

주어진 식을 밑이 2인 로그로 변형하면 A=log_;2!; =log™—⁄3—⁄ =log™ 3

B=log¢ 25=log™¤5¤ =log™ 5

C=4^{log¢ 2}=2^{log¢ 4}=2=log™ 2¤ =log™ 4

∴ B>C>A 답 ③

1259

^{A=31-log£ 2=3log£ ;2#;=}

B= + =log£ 2+log™ 3 이때 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 log£ 2+log™ 3æ2'ƒlog£ ƒ2¥lƒog™ 3=2

C=log¢ 2+logª 3= log™ 2+ log£ 3= + =1

∴ C<A<B 답 C<A<B 참고　산술평균과 기하평균

a>0, b>0일 때,

a+bæ2'aåb`(단, 등호는 a=b일 때 성립)

1260

^{(주어진 식)= log}

= {log (k-1)-log k}

=(log 1-log 2)+(log 2-log 3)+y +(log 99-log 100)

=log 1-log 100

=0-2

=-2 답 ①

1261

^{⑴ =}

= ('ƒk+1-'k)

=('2-1)+('3-'2)+y

+('∂10å0-'9å9)

=-1+'∂10å0=9

¡99 k=1

1 'k+'ƒk+1

¡99 k=1

1 f(k)

¡99 k=1

¡100 k=2

k-1 k

¡100 k=2

1 2 1 2 1

2 1

2 1 log£ 2 1

log™ 3

3 2 1

3

∴ log£ { }=log£ 9=2

⑵ log™

= (log™ 'k-log™ 'ƒk+1)

=(log™ 1-log™ '2)+(log™ '2-log™ '3)+y

+(log™ 'n-log™ 'ƒn+1)

=log™ 1-log™ 'ƒn+1

=-log™ 'ƒn+1

즉, -log™ 'ƒn+1=-5이므로 log™ 'ƒn+1=5 'ƒn+1 =2fi

양변을 제곱하면 n+1=2⁄ ‚

∴ n=1024-1=1023 답 ⑴ 2 ⑵ 1023

1262

log£ 9<log£ 20<log£ 27이므로 2<log£ 20<3

즉, log£ 20의 정수 부분 a는 a=2 소수 부분 b는

b=log£ 20-2=log£ 20-log£ 3¤ =log£ :™9º:

∴ 9(2^a+3^b)=9(2¤ +3^{log£ :™9º:})=9{4+:™9º:}

=56 답 56

1263

log∞ 10=log∞ (2¥5)=log∞ 2+1 이때 log∞ 1<log∞ 2<log∞ 5이므로 0<log∞ 2<1, 1<1+log∞ 2<2 즉, log∞ 10의 정수 부분 x는 x=1 소수 부분 y는

y=log∞ 10-1=log∞ 10-log∞ 5=log∞ :¡5º:=log∞ 2

∴ = = = 답

1264

log x=-1.3796=-2+0.6204이므로 log x¤ +log 'x=2 log x+;2!; log x

log x¤ +log 'x=;2%; log x

log x¤ +log 'x=;2%;(-2+0.6204) log x¤ +log 'x=-5+1.5510 log x¤ +log 'x=-4+0.5510

따라서 정수 부분은 -4, 소수 부분은 0.5510이다. 답 ②

1265

ㄱ. log 654=log (10¤ _6.54)

=2+log 6.54=2+0.8156 ㄴ. ∴ 정수 부분：2, 소수 부분：0.8156 (참)

5 16 5

16 2-;2!;

5-;5!;

5^{log∞ 2}-5^{-log∞ 2} 5¹-5^-1 5^y-5^-y

5^x-5^-x

¡n k=1

'k 'ƒk+1

¡n k=1

1 f(k)

¡99 k=1

ㄴ. log 0.0654=log (10—¤ _6.54)

=-2+log 6.54=-2+0.8156

∴ 정수 부분：-2, 소수 부분：0.8156 (거짓) ㄷ. log 13.08=log (2_6.54)

=log 2+log 6.54

=0.3010+0.8156

=1.1166=1+0.1166

∴ 정수 부분：1, 소수 부분：0.1166 (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. 답 ①

1266

^{⑴ 100.7135}=5.17에서 log 5.17=0.7135

log a=-1.2865=-1-0.2865

=(-1-1)+(1-0.2865)

=-2+0.7135

∴ a=0.0517

b=log 517=log (100_5.17)=2+log 5.17

=2.7135

∴ a+b=0.0517+2.7135=2.7652

⑵ log x¤ =2 log x=2¥(-2.54)=-5.08

=-5-0.08=(-5-1)+(1-0.08)

=-6+0.92

∴ n=-6

log =-log x=-(-2.54)=2.54=2+0.54

∴ a=0.54

∴ n+a=-6+0.54=-5.46 답 ⑴ 2.7652 ⑵ -5.46

1267

10…x<100의 각 변에 상용로그를 취하면 log 10…log x<log 100

∴ 1…log x<2

따라서 log x의 정수 부분은 1이다.

log x=1+a (0…a<1)라 하면

log 'x=log x^;2!;=;2!; log x= (1+a)= + 그런데 0…a<1이므로 … + <1

따라서 log 'x의 소수 부분은 + 이다. 답 +

1268

log a의 정수 부분은 3이므로 3…log a<4 ∴ 10‹ …a<10›`

따라서 자연수 a의 개수는 10› -10‹ =9000 답 ⑤

1269

양수 A의 정수 부분이 4자리의 수이므로 log A의 정 수 부분은 3이다.

∴ 3…log A<4 답 ③

a 2 1 2 a

2 1 2

a 2 1 2 1 2

a 2 1 2 1

2 1

x

1270

log A의 정수 부분이 4이므로 4…log A<5 ∴ 10› …A<10fi

∴ x=10fi -10› =9_10›

log 의 정수 부분이 -2이므로

-2…log <-1, -2…-log B<-1 1<log B…2 ∴ 10<B…10¤

∴ y=10¤ -10=9_10

∴ log x-log y=log ;]{;=log

∴ log x-log y=log 10‹ =3

답 3

1271

log (A-B)의 정수 부분이 3이므로 3…log (A-B)<4

∴ 10‹ …A-B<10› yy㉠

또, log AB의 정수 부분이 2이므로 2…log AB<3

∴ 10¤ …AB<10‹ yy㉡

㉠을 ㉡으로 나누면 1< <10¤`

∴ 1< - <10¤`

따라서 - 의 값의 범위에 있는 자연수의 개수는

100-1-1=98 답 98

1272

A‹ B=(2⁄ ‚ )‹ _5⁄ ‚ =2‹ ‚ _5⁄ ‚이므로 log A‹ B=log (2‹ ‚ _5⁄ ‚ )=log (2¤ ‚ _10⁄ ‚ )

=20 log 2+10

=20_0.3010+10=16.02

따라서 log A‹ B의 정수 부분이 16이므로 A‹ B는 17자리의 정

수이다. 답 ①

1273

^{log 530}=30 log 5=30(1-log 2)

=30(1-0.3010)

=30_0.6990=20.97

따라서 log 5³⁰의 정수 부분이 20이므로 5³⁰은 21자리의 정수이

다. 답 ②

224A1 224B1

224A1 224B1 1122A-BAB

9_10›

11229_10 224B1

224B1

1274

^2«이 20자리의 수가 되어야 하므로 log 2« 의 정수 부분 은 19이어야 한다. 즉,

19…log 2« <20, 19…n log 2<20 19…0.3n<20

∴ 63.3y…n<66.6y

따라서 이를 만족시키는 자연수 n은 64, 65, 66이고, 그 합은

64+65+66=195 답 195

1275

24⁄ ‚ ‚ 이 139자리의 수이므로 log 24⁄ ‚ ‚ 의 정수 부분은 138이다. 즉,

138…log 24⁄ ‚ ‚ <139, 138…100 log 24<139

∴ 1.38…log 24<1.39 yy㉠

log 24⁄ · =19 log 24이므로 ㉠의 각 변에 19를 곱하면 1.38_19…19 log 24<1.39_19

∴ 26.22…log 24⁄ · <26.41

따라서 log 24⁄ · 의 정수 부분이 26이므로 24⁄ · 은 27자리의 정수

이다. 답 ⑤

1276

log A=-3.69=-4+0.31이므로 log A²⁰=20 log A=20(-4+0.31) log A²⁰=-80+6.2=-74+0.2

따라서 log A²⁰의 정수 부분이 -74이므로 A²⁰은 소수점 아래 74번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. 답 ③

1277

log 0.25¤ ‚ =log {;4!;}²⁰=log 2—› ‚ log 0.25¤ ‚=-40 log 2=-40_0.3010 log 0.25¤ ‚=-12.04=-13+0.96

따라서 log 0.25¤ ‚ 의 정수 부분이 -13이므로 0.25¤ ‚ 은 소수점 아래 13번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다.

답 13

1278

^{a⁄ ‚}이 14자리의 정수이므로 log a⁄ ‚ 의 정수 부분은 13 이다. 즉,

13…log a⁄ ‚ <14, 13…10 log a<14

∴ 1.3…log a<1.4 yy㉠

log {;a!;}¤ =-2 log a이므로 ㉠의 각 변에 -2를 곱하면 -2.8<-2 log a…-2.6

따라서 log {;a!;}¤ 의 정수 부분이 -3이므로{;a!;}¤ 은 소수점 아 래 3번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. 답 ②

1279

^{log =5+a, log =-3+b}

(0…a<1, 0…b<1) 로 놓으면

12B¤A 12A‹B¤

단계 채점요소 배점

x의 값 구하기 40%

y의 값 구하기 40%

log x-log y의 값 구하기 20%

3 log A-2 log B=5+a yy㉠ 2 log B-log A=-3+b yy㉡

㉠+㉡을 하면 2 log A=2+a+b

∴ log A=1+

이때 0… <1이므로 log A의 정수 부분은 1, 소수 부분

은 이다.

따라서 A는 2자리의 자연수이다. 답 2

1280

log 6¤ ‚ =20 log 6=20(log 2+log 3)

=20(0.3010+0.4771)

=15.562

이때 log 4=2 log 2=2_0.3010=0.6020이므로 log 3<0.562<log 4

15+log 3<15.562<15+log 4 log (3_10⁄ fi )<log 6¤ ‚ <log (4_10⁄ fi )

∴ 3_10⁄ fi <6¤ ‚ <4_10⁄ fi

따라서 6¤ ‚ 은 3 y 꼴의 수이므로 최고 자리의 숫자는

3이다. ^답 3

1281

log 2fi ‚ =50 log 2=50_0.3010=15.05이므로 2fi ‚ 은 16자리의 정수이다.

∴ a=16

2의 거듭제곱의 일의 자리 숫자는 2, 4, 8, 6이 반복되고, 50=4_12+2이므로 2fi ‚ 의 일의 자리 숫자는 4이다.

∴ b=4

한편, log 2=0.3010이므로 0<0.05<log 2 15<15.05<15+log 2

log 10⁄ fi <log 2fi ‚ <log (2_10⁄ fi )

∴ 10⁄ fi <2fi ‚ <2_10⁄ fi

따라서 2fi ‚ 의 최고 자리의 숫자는 1이므로 c=1

∴ a+b+c=16+4+1=21

답 21

1282

10<x<100에서 1<log x<2 yy㉠ log x의 소수 부분과 log ;[!;의 소수 부분이 같으므로

113a+b2 113a+b2

113a+b2

log x-log ;[!;=log x+log x=2 log x=(정수)

㉠에 의하여 2<2 log x<4이므로 2 log x=3, log x=;2#;

x=10^;2#; ∴ x¤ =10‹ 답 ③

1283

log x의 정수 부분이 1이므로 1…log x<2 yy㉠

log x¤ 의 소수 부분과 log ;[!;의 소수 부분이 같으므로 log x¤ -log ;[!;=2 log x+log x=3 log x=(정수)

㉠에 의하여 3…3 log x<6이므로 3 log x=3, 4, 5

log x=1, ;3$;, ;3%;

∴ x=10, 10^;3$;, 10^;3%;

따라서 모든 x의 값의 곱은

10_10^;3$;_10^;3%;=101+;3$;+;3%;=10› 답 ③

1284

log x와 log 'x의 소수 부분의 합이 1이므로 log x+log 'x=log x+;2!; log x

=;2#; log x=(정수)

한편, log x의 정수 부분이 2이므로 2…log x<3 각 변에;2#;을 곱하면 3…;2#; log x<;2(;

;2#; log x=3, 4

∴ log x=2, ;3*;

그런데 log x=2이면 log 'x=1이 되어 log x와 log 'x의 소 수 부분의 합은 0이므로 적합하지 않다.

∴ log x=;3*;=2+;3@;

따라서 log x의 소수 부분은 ;3@;이다. ^답 ④ 다른풀이 log x의 소수 부분을 a라 하면

log x=2+a (0…a<1)

∴ log 'x=;2!; log x=;2!;(2+a)=1+;2ƒ;

따라서 log 'x의 소수 부분은 ;2ƒ;이므로 a+;2ƒ;=1, ;2#;a=1 ∴ a=;3@;

1285

log x와 log ‹'x의 소수 부분의 합이 1이므로 log x+log ‹'x=log x+;3!; log x=;3$; log x=(정수) 10‹ …x<10›에서 3…log x<4

단계 채점요소 배점

a의 값 구하기 20%

b의 값 구하기 30%

c의 값 구하기 40%

a+b+c의 값 구하기 10%

각 변에;3$;를 곱하면 4…;3$; log x<:¡3§:

;3$; log x=4, 5

∴ log x=3, :¡4∞:

그런데 log x=3이면 log ‹'x=1이 되어 log x와 log ‹'x의 소 수 부분의 합은 0이므로 적합하지 않다.

∴ log x=:¡4∞:

따라서 log x¤ =2 log x=:¡2∞:=7+;2!;이므로 log x¤ 의 소수

부분은;2!;이다. ^답 ;2!;

다른풀이 10‹ …x<10›에서 3…log x<4

log x의 소수 부분을 a라 하면 log x=3+a (0…a<1)

∴ log ‹'x=;3!; log x=;3!;(3+a)=1+;3ƒ;

따라서 log ‹'x의 소수 부분은 ;3ƒ;이므로 a+;3ƒ;=1, ;3$;a=1 ∴ a=;4#;

∴ log x¤ =2 log x=6+2a=6+;2#;=7+;2!;

따라서 log x¤ 의 소수 부분은 ;2!;이다.

1286

log x의 소수 부분을 a라 하면 log x=2+a (0…a<1)

∴ log 'x=;2!; log x=;2!;(2+a)=1+;2ƒ;

0…;2ƒ;<1이므로

a+;2ƒ;=;4#;, ;2#;a=;4#; ∴ a=;2!;

따라서 log 'x의 소수 부분은 ;2ƒ;=;4!; ^답 ①

1287

P(x)=1에서 1…log x<2 yy㉠ Q(x)+Q(x¤ )=1에서

log x+log x¤ =log x+2 log x=3 log x=(정수)

㉠의 각 변에 3을 곱하면

3…3 log x<6 ∴ 3 log x=3, 4, 5 즉, log x=1, ;3$;, ;3%;이므로

x=10, 10^;3$;, 10^;3%;

그런데 x=10이면 log x=1, log x¤ =2가 되어 Q(x)+Q(x¤ )=0이므로 적합하지 않다.

따라서 모든 실수 x의 값의 곱은

10^;3$;_10^;3%;=10^;3$;+;3%;=10‹ =1000 답 1000

다른풀이 P(x)=1이므로 log x의 소수 부분을 a라 하면 log x=1+a(0…a<1)

∴ log x¤ =2 log x=2(1+a)=2+2a

⁄ 0…a<;2!;일 때,

0…2a<1에서 log x¤ 의 소수 부분은 2a이고 Q(x)+Q(x¤ )=1이므로

a+2a=1, 3a=1 ∴ a=;3!;

log x=1+;3!;=;3$;이므로 x=10^;3$;

¤ ;2!;…a<1일 때,

1…2a<2에서 log x¤ 의 소수 부분은 2a-1이고 Q(x)+Q(x¤ )=1이므로

a+(2a-1)=1, 3a=2 ∴ a=;3@;

log x=1+;3@;=;3%;이므로 x=10^;3%;

⁄, ¤에서 모든 실수 x의 값의 곱은 10^;3$;_10^;3%;=10^;3$;+;3%;=10‹

1288

log A=n+a (n은 정수, 0…a<1)라 하면 n, a가 이차방정식 2x¤ -5x+k-3=0의 두 근이므로 근과 계수의 관 계에 의하여

n+a=;2%;=2+;2!; yy㉠

na= yy㉡

㉠에서 n=2, a=;2!;이므로 이 값을 ㉡에 대입하면 2¥;2!;=

∴ k=5 답 ⑤

1289

log A=:¡2∞:=7+;2!;이므로 log A의 정수 부분은 7, 소수 부분은;2!;이다. 따라서 이차항의 계수가 1이고 7과 ;2!;을 두 근으로 하는 이차방정식은

x¤ -{7+;2!;} x+7¥;2!;=0 x¤ -:¡2∞:x+;2&;=0

∴ 2x¤ -15x+7=0 답 ①

1290

이차방정식 4x¤ +6x+k=0의 두 근이 n+1, a이므로 근과 계수의 관계에 의하여

(n+1)+a=-;4^;=-;2#;=-2+;2!; yy㉠

(n+1)a=;4K; yy㉡

㉠에서 n은 정수이고, 0…a<1이므로 n+1=-2, a=;2!;

∴ n=-3, a=;2!;

112k-32 112k-32

㉡에서 (n+1)a=(-2)¥;2!;=;4K;

∴ k=-4

∴ n+k=-3-4=-7 답 -7

1291

log z=n+a (n은 정수, 0…a<1)라 하면 이차방정 식 x¤ -ax+b=0의 두 근이 n, a이므로 근과 계수의 관계에 의하여

n+a=a yy㉠

na=b yy㉡

한편,

log ;z!;=-log z=-n-a=(-n-1)+(1-a) 이므로 정수 부분은 -n-1이고, 소수 부분은 1-a이다.

이차방정식 x¤ +ax+b-;2#;=0의 두 근이 -n-1, 1-a이 므로 근과 계수의 관계에 의하여

(-n-1)+(1-a)=-a

(-n-1)(1-a)=b-;2#; yy㉢

㉡, ㉢에서 -n+na-1+a=na-;2#;이므로 n-a=;2!; ∴ n=1, a=;2!;

이 값을 ㉠, ㉡에 대입하면 a=;2#;, b=;2!;이므로

a+b=;2#;+;2!;=2 ^답 2

1292

올해의 매출액이 100억 원일 때, n년 후에 매출액이 5 배가 되면 500억 원이므로

100(1+0.28)« =500 ∴ 1.28« =5 양변에 상용로그를 취하면

n log 1.28=log 5, n log ;1!0@0*;=log 5 n(log 2‡ -log 100)=1-log 2

∴ n= = =7

따라서 앞으로 7년 후에는 매출액이 올해의 매출액의 5배가 된

다. 답 7

1293

정상적인 비의 수소 이온의 농도를 Xº이라 하면 -log Xº=5.6 ∴ log Xº=-5.6

pH 4.82인 빗물의 수소 이온의 농도를 X¡이라 하면 -log X¡=4.82 ∴ log X¡=-4.82

∴ log =log X¡-log Xº=0.78 log 2=0.30, log 3=0.48이므로

log12X¡Xº=0.78=0.30+0.48=log 2+log 3=log 6 12X¡Xº

1-0.3 111127_0.3-2 1-log 2

111127 log 2-2

∴ =6

즉, 오염 물질의 양은 정상적인 상태의 6배이다. 답 6

1294

올해 채굴량을 A, 채굴량의 증가율을 a %라 하면 A{1+:10A0;}⁄ ‚ =2A

양변에 상용로그를 취하면 10 log {1+10A0;}=log 2

∴ log {1+10A0;}=;1¡0; log 2=;1¡0;_0.3=0.03 이때 log 1.07=0.03이므로

1+;10A0;=1.07 ∴ a=7

따라서 채굴량을 매년 7 %씩 증가시켜야 한다. 답 ④

1295

A지역의 소리의 강도를 PÅ, A지역의 소리의 크기를 DÅ, B지역의 소리의 크기를 Dı라 하면

DÅ=10 log Dı=10 log

Dı=10 {log 500+log } Dı=10 log 500+DÅ

Dı=10(log 5+log 100)+DÅ Dı=10(1-log 2+2)+DÅ Dı=27+DÅ

따라서 A지역과 B지역의 소리의 크기의 차이는 27 dB이다.

답 27

1296

5 log£ '3+;2!; log£ 2-log£ '6

=;2%; log£ 3+;2!; log£ 2-;2!; log£ 6

=;2%;+;2!; log£ 2-;2!;(log£ 2+log£ 3)

=;2%;-;2!;=2 ^답 ②

1297

log£ (log™¶ x)=-1에서 log™¶ x=3—⁄ =;3!;

∴ x=27^;3!;=(3‹ )^;3!;=3 답 3

1298

^{ㄱ. log™ =log™} =log™ 2—‹ =-3 (참) ㄴ. log¢ 32=log™¤ 2fi = log™ 2= (참)

ㄷ. log_'24=4 log™ 2=4 (거짓) 5 2 5

2 1 2‹

1 8

12PÅI 500 PÅ 1114I

12PÅI 12X¡Xº

ㄹ. log• '2=log™‹2^;2!;= log™ 2= (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ의 3개이다. 답 ④

1299

logå x=;2!;, log∫ x=;3!;, logç x=;4!;에서 logÆ a=2, logÆ b=3, logÆ c=4

∴ =logÆ abc=logÆ a+logÆ b+logÆ c

=2+3+4=9 답 ④

1300

a=log 0.326=log (3.26_10—⁄ ) a=log 3.26-1=0.5132-1 a=-0.4868

log b=-0.4868=-1+0.5132에서 log b와 log 3.26의 소 수 부분이 같으므로 b는 3.26과 숫자의 배열이 같고, 정수 부 분이 -1이므로 소수점 아래 첫째 자리에서 처음으로 0이 아 닌 숫자가 나타난다.

∴ b=0.326

∴ 10000(a+b)=10000(-0.4868+0.326)=-1608

답 -1608

1301

logå c：log∫ c=2：1에서 2 log∫ c=logå c

= , 2 log a=log b log a¤ =log b ∴ b=a¤

∴ logå b+log∫ a=logå a¤ +loga¤ a

∴ logå b+log∫ a=2+;2!;=;2%; ^답 ;2%;

1302

log£ x+log£ 2y+log£ 3z=1에서 log£ (x_2y_3z)=log£ 6xyz=1 6xyz=3 ∴ xyz=

∴ {(81≈ )¥ }Ω =81≈ ¥ Ω =(3› )^;2!;=3¤ =9 답 ③

1303

^{log0.245= =}

= =

= ^답 ③

1304

밑의 조건에서 a+2>0, a+2+1

a>-2, a+-1 ∴ -2<a<-1 또는 a>-1 yy ㉠ 진수의 조건에서 -a¤ +a+12>0

a¤ -a-12<0, (a+3)(a-4)<0

∴ -3<a<4 yy㉡

a-2b-1 1-a

(1-log 2)+2 log 3 log 2-1 log 5+2 log 3

log 2-1

log (5¥3¤ ) log ;1™0;

log 45 log 0.2

1 2 log c 1134 log a 2 log c

1114 log b 11124 logå∫ç x1

1 6 1

6

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -2<a<-1또는 -1<a<4

따라서 정수 a의 값은 0, 1, 2, 3이고, 그 합은 6이다. 답 ⑤

1305

log "√x¤ y‹ =;2!; log x¤ y‹ =log x+;2#; log y log "√x¤ y‹=-5.1+;2#;_3.3=-0.15 log "√x¤ y‹=-1+0.85

따라서 a=-1, b=0.85이므로

ab=-0.85 답 ①

1306

f(n)=log£ { +1}=log£ 이므로 f(1)+f(2)+f(3)+y+f(3⁄ ‚ ‚ -3)

=log£ ;3$;+log£ ;4%;+log£ ;5^;+y+log£

=log£ {;3$;_;4%;_;5^;_y_ }

=log£ =log£ 3· · =99 답 99

1307

log™ (log™ (log™ (log™ x)))=1에서 log™ (log™ (log™ x))=2⁄ =2

log™ (log™ x)=2¤ =4 log™ x=2› =16 ∴ x=2⁄ fl

∴ log x=log 2⁄ fl =16 log 2

=16_0.3010=4.816

따라서 log x의 정수 부분이 4이므로 x는 5자리의 정수이다.

답 ②

1308

100…x<1000에서 2…log x<3 yy㉠ log x의 소수 부분과 log x› 의 소수 부분이 같으므로 log x› -log x=4 log x-log x=3 log x=(정수)

㉠에 의하여 6…3 log x<9

∴ 3 log x=6, 7, 8 즉, log x=2, ;3&;, ;3*;이므로 x=10¤ , 10^;3&;, 10^;3*;

따라서 모든 실수 x의 값의 곱은

10¤ _10^;3&;_10^;3*;=102+;3&;+;3*;=10‡` ^답 ①

1309

log b=-3+a (0…a<1) yy㉠ 로 놓으면

log a=-3+;3!;a yy㉡

3_㉡-㉠을 하면 3 log a-log b=-6 log =-6, =10—fl

∴ b=10fl a‹ 답 ⑤

14 a‹b 14 a‹b

3⁄ ‚ ‚ 1243

3⁄ ‚ ‚ 1113⁄ ‚ ‚ -1

3⁄ ‚ ‚ 1113⁄ ‚ ‚ -1 n+3114 n+2 114n+21

1310

log N=n+a(n은 정수, 0…a<1)라 하면

이차방정식 x¤ -;2%;x+;2K;=0의 두 근이 n, a이므로 근과 계수 의 관계에 의하여

n+a=;2%;=2+;2!; yy㉠

na=;2K; yy㉡

㉠에서 n=2, a=;2!;

㉡에서 2_;2!;=;2K; ∴ k=2 답 2

1311

^{a⁄ ‚}이 88자리의 수이므로 log a⁄ ‚ 의 정수 부분은 87이 다. 즉,

87…log a⁄ ‚ <88, 87…10 log a<88

∴ 8.7…log a<8.8 yy㉠

log ;a!;=-log a이므로 ㉠의 각 변에 -1을 곱하면 -8.8<-log a…-8.7

따라서 log ;a!;의 정수 부분이 -9이므로 ;a!;은 소수점 아래 9째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. 답 9

1312

log™ 4<log™ 5<log™ 8이므로 2<log™ 5<3

따라서 log™ 5의 정수 부분은 2이므로 x=2 소수 부분은 log™ 5-2이므로

y=log™ 5-2=log™ ;4%;

∴ = = =5 답 ⑤

1313

log x와 log ‹'x의 소수 부분의 합이 1이므로 log x+log ‹'x=log x+;3!; log x=;3$; log x=(정수) 한편, log x의 정수 부분이 3이므로

3…log x<4 각 변에;3$;를 곱하면

4…;3$; log x<:¡3§: ∴;3$; log x=4, 5 즉, log x=3, :¡4∞:

그런데 log x=3이면 log ‹'ßx=1이 되어 log x와 log ‹'x의 소 수 부분의 합은 0이므로 적합하지 않다.

∴ log 'x=;2!; log x=;2!;¥:¡4∞:

∴ log 'x=:¡8∞:=1+;8&;

따라서 p=1, q=;8&;이므로 pq=;8&; ^답 ;8&;

4+;4%;

;4!;+;5$;

2¤ +2^{log™ ;4%;}

2—¤ +2—^{log™ ;4%;}

2≈ +2¥

2—≈ +2—¥

1314

^{5⁄ ‚ ‚}이 70자리의 정수이므로 log 5⁄ ‚ ‚ 의 정수 부분은 69 이다. 즉,

69…log 5⁄ ‚ ‚ <70, 69…100 log 5<70

∴ 0.69…log 5<0.7 yy㉠

또한, 11⁄ ‚ ‚ 이 105자리의 정수이므로 log 11⁄ ‚ ‚ 의 정수 부분은 104이다. 즉,

104…log 11⁄ ‚ ‚ <105, 104…100 log 11<105

∴ 1.04…log 11<1.05 yy㉡

이때 log 55⁄ ‚ =10 log 55=10(log 5+log 11)이므로

㉠+㉡을 하면

1.73…log 5+log 11<1.75, 1.73…log 55<1.75 각 변에 10을 곱하면 17.3…10 log 55<17.5

따라서 log 55⁄ ‚ 의 정수 부분이 17이므로 55⁄ ‚ 은 18자리의 정수

이다. 답 ⑤

1315

ㄱ. log (2¤ ‚ _3⁄ ‚ )=20 log 2+10 log 3

=20_0.3010+10_0.4771

=10.791

즉, 20¤ ‚ _30⁄ ‚ 은 11자리의 정수이다. (거짓) ㄴ. log 1.44¤ ‚ =20 log

=20(4 log 2+2 log 3-2)

=20(4_0.3010+2_0.4771-2)

=3.164

즉, log 1.44¤ ‚ 의 정수 부분은 4자리이다. (참) ㄷ. log { }⁄ ‚ =10(log 2-1)=10(0.3010-1)

=-6.99=(-6-1)+(1-0.99)

=-7+0.01

즉,{ }⁄ ‚ 은 소수점 아래 일곱째 자리에서 처음으로 0이 아 닌 숫자가 나타난다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ⑤

1316

^{{ }}⁄ ‚ 이 소수점 아래 여섯째 자리에서 처음으로 0이 아 닌 숫자가 나타나므로 log { }⁄ ‚ 의 정수 부분은 -6이다. 즉,

1316

^{{ }}⁄ ‚ 이 소수점 아래 여섯째 자리에서 처음으로 0이 아 닌 숫자가 나타나므로 log { }⁄ ‚ 의 정수 부분은 -6이다. 즉,

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