숨마쿰라우데 중학수학 개념기본서3 1 해설

(1)

해설 BOOK

•개념 BOOK 002 •테스트 BOOK 053

튼튼한

개념

흔들리지 않는

실력

!

중학수학

개념기본서

3

1 Ⓡ

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지1 DK

(2)

S U M M A C U M L A U D E 정 답 및 풀 이

>

개념

BOOK

>

034~038쪽

유형

EXERCISES

유형01 ③ 1-1 ② 1-2 ③ 1-3 2 1-4 '∂50 cm1-5 '∂28 cm1-6 ①, ⑤ 유형02 ③ 2-1 ⑤ 2-2 -6 2-3 ③ 유형03 a 3-1 a-3b 3-2 2a-2 3-3 -1 유형04 15 4-1 5개 4-2 18 4-3 4, 12 유형05 ⑤ 5-1 ;2%; 5-2 31개 5-3 7개 유형06 ②, ⑤ 6-1 3개 6-2 ⑤ 6-3 ② 유형07 A(2-'∂10), B(-2+'5) 7-1 _{'2, '5, '∂10} 7-2 ⑤ 7-3 ②, ⑤ 7-4 ①, ⑤ 7-5 ④ 유형08 ② 8-1 b<a<c 8-2 B(1-'2), C('7)8-3 ⑤ 유형

0

1

① 4는 16의 양의 제곱근이다. ② 0의 제곱근은 0이다. ④ 음수의 제곱근은 없다. ⑤ 제곱근 1은 1이다.

실수와 그 계산

I

0

4

⑴ ('5)¤ -(-'3)¤ =5-3=2 ⑵ "ç17¤ -"√(-13)¤ =17-13=4

0

5

⑴ 12<15이므로 '∂12<'∂15 ⑵ ;3!;>;5!;이므로 Æ;3!; >Æ;5!; ⑶ 6='∂36이고 '∂36>'∂30이므로 -6<-'∂30 026쪽

개념

CHECK

01_{⑴ 0 ⑵ —'6 ⑶ —'∂0.7 ⑷ —Æ;5#; ⑸ 없다.} ⑹ —;3@; 02⑴ —11, 11 ⑵ —0.5, 0.5 03⑴ -4 ⑵ 12.3 ⑶ -5 04⑴ 2 ⑵ 4 05⑴ < ⑵ > ⑶ <

1. 제곱근과 실수

01. 제곱근의 뜻과 성질

0

1

'∂49=7, 0.3H6= =;9#0#;=;3!0!;, -Æ¬;10#8;=-Æ¬;3¡6;=-;6!;이므로 무리수는 Æ¬;1£6;, '2+3, '5이다. 36-3 1115₉₀

0

2

_{⑴ '9=3과 같이 근호가 있는 수가 유리수인 것도 있다.} ⑵ 순환하지 않는 무한소수는 무리수이다.

0

4

⑴ ABCD=4¤ -{;2!;_1_3}_4=10 ⑵ 정사각형 ABCD의 넓이가 10이므로 한 변의 길이 는 '∂10이다. ⑶ AP”=AB”='∂10이므로 점 P에 대응하는 수는 2+'∂10이다.

0

5

⑴ -2>-4이므로 양변에 '5를 더하면 '5-2>'5-4 ⑵ '2<'6이므로 양변에서 '3을 빼면 '2-'3<'6-'3 033쪽

개념

CHECK

01 Æ¬;1£6;, '2+3, '5 02⑴ × ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ◯ 03⑴ 7.416 ⑵ 7.436 ⑶ 7.497 ⑷ 7.556 04_{⑴ 10 ⑵ '∂10 ⑶ 2+'∂10} 05⑴ > ⑵ < 02. 무리수와 실수

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지002 DK

(3)

개념 BOOK 유형

0

5

① '∂17 >'∂15 ② 4='∂16이므로 4>'∂12 ③ '5<'6이므로 -'5>-'6 ④ 0.1='∂0.01이므로 0.1<'∂0.1

5

-1 (음수)<0<(양수)이므로 음수와 양수로 나누어 비 교한다.

1

-1 _{② —'2} ①, ③, ④, ⑤ '2

1

-2 "≈9¤ ='ß81=9이므로 9의 제곱근은 —3

1

-3 25의 양의 제곱근은 5이므로 A=5 (-3)¤ =9의 음의 제곱근은 -3이므로 B=-3 ∴ A+B=5+(-3)=2

1

-4 작은 정사각형의 넓이는 ;2!;_10_10=50(cm¤ ) 즉, 이 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 x¤ =50 ∴ x='∂50 (∵ x>0) 따라서작은정사각형의한변의길이는 '∂50 cm이다.

1

-5 _{(삼각형의 넓이)=;2!;_7_8=28(cm¤ )} 즉, 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하 면 x¤ =28 ∴ x='∂28 (∵ x>0) 따라서구하는정사각형의한변의길이는'∂28 cm이다.

1

-6 _{① '∂169=13} _{⑤ Æ˚:™9∞:=;3%;} 유형

0

2

③ (-'7)¤ =7

2

-1 ①, ②, ③, ④ 3 ⑤ -3

2

-2 '∂0.04_"√(-5)¤ -(-'7)¤ =0.2_5-7=1-7=-6

2

-3 ③ -"√(-a)¤ =-a 유형

0

3

a>0이므로 (주어진 식)=-(-a)+2a-{-(-2a)} =a+2a-2a=a

3

-1 "ça¤ =a이므로 a>0 ∴ -a<0

"çb¤ =-b이므로 b<0 ∴ 3b<0 ∴ "√(-a)¤ +"ç9b¤ =-(-a)+(-3b)=a-3b

3

-2 a+2>0, a-4<0이므로 (주어진 식)=(a+2)-{-(a-4)}=2a-2

3

-3 b, c의 부호가 서로 다르므로 bc<0 ∴ "çb¤ c¤ -"ç(1-bc)¤ =-bc-(1-bc)=-1 유형

0

4

= 가 제곱수가 되어야 하므로 x=3_5, 2¤ _3_5, 2› _3_5 따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 3_5=15이다.

4

-1 20-n=0, 1, 4, 9, 16이 되게 하는 자연수 n의 값 은 20, 19, 16, 11, 4의 5개이다.

4

-2 24a=2‹ _3_a가 제곱수가 되게 하는 a의 최솟값

은 2_3=6 이때, b의 값은 "√2› _3¤ ="√(4_3)¤ ="ç12¤ =12 따라서 a+b의 최솟값은 6+12=18

4

-3 2x+1이 제곱수가 되어야 하므로 2x+1=1에서 x=0, 2x+1=4에서 x=;2#;, 2x+1=9에서 x=4, 2x+1=16에서 x=:¡2∞:, 2x+1=25에서 x=12, 2x+1=36에서 x=:£2∞:, 2x+1=49에서 x=24, y 따라서 조건을 만족하는 x의 값은 4, 12이다. 2› _3_5 11114_x 240 11_x

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지003 DK

(4)

유형

0

6

② 순환소수는 무한소수이지만 유리수이다. ⑤ 무리수는 순환소수로 나타낼 수 없다.

6

-1 1.2˙ = =:¡9¡:, 3.14, -'∂0.16=-0.4는 유 리수이다. 따라서 '6, '3+2, '∂0.4는 무리수이므로 무리수는 모두 3개이다.

6

-2 _{① '∂0.04=Æ¬;10$0;=;1™0;=0.2} ② '∂1.96=Æ¬;1!0(0^;=;1!0#;=1.3 ③ Æ;9!;=;3!;=0.3H ④ "ç0.4H =Æ;9$;=;3@;=0.6H ⑤ '∂14.4는 무리수이므로 순환하지 않는 무한소수 로 나타내어진다.

6

-3 ② 순환하지 않는 무한소수로 나타내어진다. 12-1 1124₉ ⁄_{음수 : 3<'∂10이므로 -'∂10<-3} ¤_{양수 : ;2!;=Æ;4!; , Æ;8!; , '∂0.2=Æ¬;1™0;=Æ;5!;} ¤_{이므로 Æ;8!;<'∂0.2<;2!;} 따라서 a=-'∂10, b=;2!;이므로 a¤ b¤ =(-'∂10)¤ _{;2!;}¤ =;2%;

5

-2 _{2<'n<6에서 '4<'n<'∂36이므로} 4<n<36 따라서 자연수 n의 개수는 36-4-1=31(개)

5

-3 _{3…'ƒx-2<4에서 9…x-2<16이므로} 11…x<18 따라서 자연수 x의 개수는 18-11=7(개) 유형

0

7

정사각형 ㈎, ㈏의 넓이는 각각 3¤ -{;2!;_¤_⁄}_4=5, 4¤ -{;2!;_‹_⁄}_4=10 즉, 정사각형 ㈎, ㈏의 한 변의 길이는 각각 '5, '∂10이므로 A(2-'∂10), B(-2+'5)

7

-1 정사각형의 넓이가 각각 2, 5, 10이므로 그 한 변의 길이는 각각 '2, '5, '∂10이다. 따라서 P`, Q`, R에 대응하는 세 수는 각각 '2, '5, '∂10이다.

7

-2 _{⑤ E(-1+'2)}

7

-3 AC”=AQ”='2, BD”=BP”='2이므로 ② P(2-'2), ⑤ PA”='2-1

7

-4 ② 모든 무리수는 각각 수직선 위의 한 점에 대응한다. ③ 무리수에 대응하는 점만으로 수직선을 완전히 메 울 수 없다. ④ '5와 '6 사이에는 무수히 많은 무리수가 존재한 다.

7

-5 _{④ -'3과 '3 사이의 정수는 -1, 0, 1로 3개이다.} 유형

0

8

① ('6-1)-1='6-2='6-'4>0이므로 '6-1>1 ③ ('3+'5)-('3+2)='5-2>0이므로 '3+'5 >'3+2 ④ 2-(5-'6)='6-3<0이므로 2<5-'6 ⑤ ('5-1)-('5-'2)='2-1>0이므로 '5-1>'5-'2

8

-1 _{a-b=('5+'6)-('6+2)='5-2>0} 이므로 a>b a-c=('5+'6)-('5+3)='6-3<0 이므로 a<c ∴ b<a<c

8

-2 _{-3<-'6<-2이므로 A(-'6)} -2<-'2<-1이므로 -1<1-'2<0 ∴ B(1-'2) 2<'7<3이므로 C('7) 1<'2<2이므로 4<3+'2<5이다. ∴ D(3+'2)

8

-3 _{⑤ '5+1=3.236>'∂10}

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지004 DK

(5)

개념 BOOK

0

1

① 16의 제곱근은 —4이다. ② 2의 음의 제곱근은 -'2이다. ④ "ç(-5)¤ =5 ⑤ (-6)¤ =36의 제곱근은 —6이다.

0

2

'∂36=6의 양의 제곱근은 '6, "ç(-15)¤ =15의 음의 제곱근은 -'∂15이므로 a='6, b=-'∂15 ∴ "√b¤ -a¤ ='∂15-6='9=3

0

3

두 정사각형 A, B의 넓이가 각각 2, 5이므로 정사각형 C의 넓이는 2+5=7이다. 따라서 정사각형 C의 한 변의 길이는 '7이다.

0

4

æ≠89+;8!1^;=æ≠ æ≠89+;8!1^;=æ≠ =:•9∞:

0

5

a>0, b<0이므로 b-a<0 ∴ (주어진 식)=-(b-a)-2a-b=-a-2b

0

6

⁄`_{2a-1æ0, 즉 aæ;2!;일 때}

⁄`_{"√(2a-1)¤ =2a-1=5} ∴ a=3 ¤`_{2a-1<0, 즉 a<;2!;일 때}

⁄`_{"√(2a-1)¤ =-(2a-1)=5} ∴ a=-2 ⁄, ¤에서 구하는 a의 값은 -2, 3이다.

0

7

ab<0이므로 ab-1<0, ab+bc<0, 1-bc>0 ∴ (주어진 식) =-(ab-1)-{-(ab+bc)}-(1-bc) =2bc 85¤ 145₈₁ (85+4)(85-4)+16 111111111455₈₁ 039~041쪽

실력

EXERCISES

01③ 023 03_'7 04_:•9∞: 05-a-2b 06-2, 3 072bc 082x-1 0912 1070 11 ④ 12 15 13 ③, ④ 14 6개 153 16⑤ 17③ 18b<c<a 19 a='∂10-3, b=4-'∂10 20 ⑤ 217개

0

8

x+1>0, x-2<0이므로 (주어진 식)=(x+1)-{-(x-2)}=2x-1

0

9

48=2› _3이므로 n=3_(자연수)¤ 꼴이어야 한다. ∴ n=3, 12, 27, 48, y 이 중에서 24+n이 제곱수가 되게 하는 가장 작은 자 연수 n의 값은 12이다.

10

근호 안의 수를 소인수분해하면 1_2_3_y_9_n =1_2_3_2¤ _5_(2_3)_7_2‹ _3¤ _n =2‡ _3› _5_7_n 따라서 n=2_5_7_(자연수)¤ 꼴이어야 하므로 가장 작은 자연수 n의 값은 n=2_5_7=70

11

④ 3='9이고 '8<'9이므로 -'9<-'8

12

'∂12<n<'∂42의 각 변을 제곱하면 12<n¤ <42 따라서 자연수 n의 값은 4, 5, 6이므로 그 합은 4+5+6=15

13

순환하지 않는 무한소수는 무리수이다. ① 1.4H =:¡9£: ② (0.04의 제곱근)=—'∂0.04=—0.2 ⑤ '1+'∂0.81=1+0.9=1.9

14

f(1)="ç0.H1=Æ;9!;=;3!;, f(2)="ç0.H2=Æ;9@; , f(3)="ç0.H3=Æ;9#;=Æ;3!; , f(4)="ç0.H4=Æ;9$;=;3@;, f(5)="ç0.H5=Æ;9%; , f(6)="ç0.H6=Æ;9^;=Æ;3@; , f(7)="ç0.H7=Æ;9&; , f(8)="ç0.H8=Æ;9*; 따라서 f(1), f(4)만 유리수이므로 무리수의 개수는 8-2=6(개)이다.

15

p=2-'2, q=1+'2이므로 p+q=(2-'2)+(1+'2)=3 æ≠ ≠

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지005 DK

(6)

16

⑤ 수직선은 실수에 대응하는 점으로 완전히 메울 수 있다.

17

화살표에 대응하는 수는 왼쪽부터 차례로 -1-'2, -'2, -2+'2, -1+'2, 2-'2이다. ③ -2+'2>-'2

18

a-c='ß∂12-5-(-2)='∂12-3>0이므로 a>c b-c=2-'ß20-(-2)=4-'ß20<0이므로 b<c ∴ b<c<a ■ 다른 풀이 ■ 3<'∂12<4이므로 -2<'∂12-5<-1 4<'∂20<5이므로 -3<2-'∂20<-2 ∴ b<c<a

19

⁄_{'9<'∂10<'∂16이므로 3<'∂10<4} ⁄_{즉, '∂10의 정수 부분은 3이고, 소수 부분은} ⁄_{'∂10-3이므로 a='∂10-3} ¤_{-'∂16<-'∂10<-'9이므로 -4<-'∂10<-3} ⁄_{∴ 2<6-'∂10<3} ⁄_{즉, 6-'∂10의 정수 부분은 2이고, 소수 부분은} ⁄_{6-'∂10-2=4-'∂10이므로 b=4-'∂10}

20

⑤ =0.252<'3

21

3<'∂10<4이므로 -2<'∂10-5<-1 2<'5<3이므로 5<3+'5<6 따라서 두 수 사이에 있는 정수는 -1, 0, y, 4, 5의 7 개이다. '5-'3 14511₂

0

1

_{⑵ 2'2_6=(2_6)'2=12'2} ⑶ 4'2_3'7=(4_3)'ƒ2_7=12'∂14

0

2

⑴ '∂72÷'∂12= =Æ…;1&2@;='6 ⑵ 21'6÷7'2=21'6_ =:™7¡:Æ;2^; =3'3 ⑶ Æ¬;1¢5; ÷Æ;5^;=Æ…;1¢5;_;6%;=Æ;9@;=

0

3

_{⑴ '∂54="√3¤ _6=3'6} ⑵ 'ƒ120="√2‹ _3_5=2'∂30 ⑶ 3'∂32=3"√4¤ _2=12'2

0

4

⑵ Æ¬;8¶1; =æ≠ = ⑶ '∂0.12=Æ¬;1¡0™0; =Æ¬;2£5; =æ≠ =

0

5

⑴ '2_'∂75÷'3='ƒ150_ ='∂50=5'2 ⑵2'∂30÷'6_'5=2'∂30_ _'5=2'5_'5=10

0

6

⑴ = = _=2'3 ⑵ = = = = _=3'2 ⑶ = ⑶ = = '1241326-'3 3 '6-'3 124132_6-3 '6-'3 1241111111 ('6+'3)('6-'3) 1 124132 '6+'3 6'2 1242₂ 6_'2 124132 '2_'2 6 124 '2 12 122 2'2 12 124 '8 6'3 124₃ 6_'3 124132 '3_'3 6 124 '3 1 13 '6 1 12 '3 '3 12₅ 3 13_5¤ '7 12₉ 7 13_9¤ '2 124₃ 1 11_7'2 '∂72 11 '∂12 049쪽

개념

CHECK

01_{⑴ '∂77 ⑵ 12'2 ⑶ 12'∂14} 02_{⑴ '6 ⑵ 3'3 ⑶} 03_{⑴ 3'6 ⑵ 2'∂30 ⑶ 12'2} 04⑴ ⑵ ⑶ 05_{⑴ 5'2 ⑵ 10} 06_{⑴ 2'3 ⑵ 3'2 ⑶}12114'6-'3 3 '3 12₅ '7 12₉ '3 12₂ '2 12₃

2. 근호를 포함한 식의 계산

01. 제곱근의 곱셈과 나눗셈

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지006 DK

(7)

개념 BOOK

0

1

⑵ 3'8-2'2=6'2-2'2=4'2 ⑶ '6-3'3+'∂24+'∂12 ='6-3'3+2'6+2'3 =(1+2)'6+(-3+2)'3=3'6-'3 ⑷ 3'7-5'6-'∂28+'∂54=3'7-5'6-2'7+3'6 ='7-2'6

0

2

⑴ '3('6-'2 )='3_'6 -'3_'2 =3'2-'6 ⑵ (4'2-'6 )÷'2 =4'2÷'2 -'6÷'2 =4-'3 ⑶ '∂27+9÷'3-4'3=3'3+ -4'3 '∂27+9÷'3-4'3=3'3+3'3-4'3=2'3 ⑷ '∂84÷'∂14+2'2_'3='ƒ84÷14+2'ƒ2_3 ='6+2'6=3'6 ⑸ ('5-2'3 )¤ =5-4'∂15+12=17-4'∂15 ⑹ (3'2+'6 )(3'2-'6 )=18-6=12

0

3

x+y=(3+'7)+(3-'7)=6 xy=(3+'7)(3-'7)=2 ∴ x¤ -xy+y¤ =(x+y)¤ -3xy

=6¤ -3_2=30

0

4

⑴ '∂2210='ƒ22.1_100=10'∂22.1=47.01 ⑵ '∂0.21=Æ…21_;10!0;= =0.4583 ⑶ 'ƒ0.00213=Æ…21.3_;100!00; ⑶ 'ƒ0.00213=;10!0;'∂21.3=0.04615 ⑷ 'ƒ222000='ƒ22.2_10000=100'∂22.2=471.2 '∂21 1242 10 9 12 '3 055쪽

개념

CHECK

01_{⑴ 5'3 ⑵ 4'2 ⑶ 3'6-'3 ⑷ '7-2'6} 02_{⑴ 3'2-'6 ⑵ 4-'3 ⑶ 2'3 ⑷ 3'6} 04_{⑸ 17-4'∂15 ⑹ 12} 03 30 04⑴ 47.01 ⑵ 0.4583 ⑶ 0.04615 ⑷ 471.2 02. 제곱근의 덧셈과 뺄셈

유형

EXERCISES

056~060쪽 유형01 ③ 1-1 2 1-2 6 1-3 ④ 유형02 ③ 2-1 6'3 2-2 , '∂0.12, Æ¬;4£9; 2-3 ④ 유형03 ⑤ 3-1 ;3@; 3-2 3-3 7 유형04 _'6 4-1 2'∂30 4-2 4-3 유형05 4 5-1 9'∂10 5-2 3'5 cm 유형06 10 6-1 5'3-2'5 6-2 6-3 유형07 _'6 7-1 9 7-2 2 7-3 -1 7-4 7 7-5 8 7-6 ;2#; 7-7 -3 7-8 4-'∂15 7-9 1 유형08 _3-'2 8-1 2 8-2 -1-8-3 -2+'6 유형09 ④ 9-1 104.149-2 ② 9-3 ④ '2 12₂ 7'2 1225₁₂ '6 12₆ 3'2 11₄ '2 12₈ '8 12₃ '3 12₂ 유형

0

1

① '2_'3_'6='ƒ2_3_6="≈6¤ =6 ② =Æ¬:¡3™:='4=2 ③ =Æ¬:™9¶:='3 ④ Æ;3@;_Æ;6(;=Æ…;3@;_;6(;=1 ⑤ ÷Æ¬;1∞4;=Æ…:¡7º:_:¡5¢:='4=2

1

-1 'a=Æ…:¡3¢:_Æ;7^;=Æ…:¡3¢:_;7^;='4 ∴ a=4 'b=Æ;5@; ÷Æ;5$; =Æ;5@; _Æ;4%; =Æ…;5@;_;4%; =Æ;2!; ∴ b=;2!; ∴ ab=4_;2!;=2

1

-2 '3_'4_'∂18_'x='ƒ3_4_18_x='ƒ36_36 3_4_18_x=36_36 ∴ x=6 '∂10 122 '7 '∂27 122 '9 '∂12 122 '3

#해(001~052)유형 2014.10.14 8:7 PM 페이지007 DK

(8)

유형

0

2

③ '∂90=3'∂10

2

-1 '∂72="√6¤ _2=6'2이므로 a=6 3'2="√3¤ _2='∂18이므로 b=18 ∴ '∂ab='ƒ6_18="√6¤ _3=6'3

2

-2 '∂0.12=æ≠ =Æ¬;2£5;= Æ¬;4£9;=Æ¬ = ∴ >'ƒ0.12>Æ¬;4£9;

2

-3 '∂135="≈3‹ _'5=('3)‹ _'5=a‹ b '3 12₂ '3 12₇ 3 14_7¤ '3 12₅ 12 125₁₀₀

1

-3 _{④ 4'∂18÷2'6=4'∂18_}1221 =;2$;Æ¬:¡6•:=2'3 2'6 유형

0

3

① = = ② = = ③ = = ④ = _='6

3

-1 = = = = ∴ a=;9!; = = = = = ∴ b=;3!; ∴ 3a+b=3_;9!;+;3!;=;3@;

3

-2 Æ;3@;= = , ;3@;= , = = 이므로 큰 수부터 차례로 나열하면 , , Æ;3@;, ;3@;, ₁₂'2 3 '8 12₃ 2 12 '3 '∂12 122₃ 2'3 122₃ 2 12 '3 '4 12₃ '6 12₃ '2 12 '3 '5 12₃ 5'5 1234₁₅ 5_'5 123411 3'5_'5 5 1234 3'5 5 12124 "√3¤ _5 5 124 '∂45 '3 12₉ '3 123411 3'3_'3 1 1234 3'3 1 12124 "√3¤ _3 1 124 '∂27 3'2_'3 1212222 '3_'3 3'2 1224 '3 '3 12₆ '3 1212222 2'3_'3 1 1224 2'3 '6 12₃ 2_'6 121222 '6_'6 2 12 '6 '6 12₃ '2_'3 121222 '3_'3 '2 12 '3 유형

0

4

÷ _ = _ _ = ='6

4

-1 '∂32_'∂45÷'∂12 =4'2_3'5_ = = = _=2'∂30

4

-2 2Æ¬;1£4;_3Æ;6%;÷6Æ¬:¢7º: = _ _ = =

4

-3 æ≠ _ ÷ _ = _ _ _ = =113'2 4 3 122 2'2 3'ßb 122 '∂2a '∂2b 112 '∂10a 'a 1225 '∂3b '∂15a 112 2'b '∂9b 122 '∂2a '∂10a 112 '∂2b 'a 1225 '∂3b 15a 123_4b '2 12₈ 1 122 4'2 '7 122235 12'∂10 3'5 122 '6 2'3 1223 '∂14 6'∂30 1222₃ 6'∂10_'3 12245115 '3_'3 6'∂10 12245 '3 1 122 2'3 6 12 '6 2'2 122 '∂15 '5 12 '6 3'3 122 '2 '8 122 '∂15 '6 12 '5 3'3 122 '2

3

-3 = = = 따라서 3a=21이므로 a=7 '∂21 1225₂ '∂3a 1225₂ 3'a_'3 121125 2'3_'3 3'a 1225 2'3 유형

0

5

(삼각형의 넓이)=;2!;_'∂32_'∂24 (삼각형의 넓이)=;2!;_4'2_2'6=8'3 (직사각형의 넓이)=x_'∂12=2'3x 8'3=2'3x ∴ x= =4

5

-1 AB”를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 18이므로 AB”='∂18=3'2 BC”를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 45이므로 BC”='∂45=3'5 따라서 직사각형 ABCD의 넓이는 3'2_3'5=9'∂10

5

-2 직육면체의 높이를 h cm라고 하면 '3_'6_h=9'∂10 ∴ h= =122349'∂10_=3'5 3'2 9'∂10 12234 '∂18 8'3 122 2'3

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지008 DK

(9)

개념 BOOK 유형

0

6

2'∂45-'∂48-'∂125+3'∂75 =2_3'5-4'3-5'5+3_5'3 =6'5-5'5-4'3+15'3 =11'3+'5 따라서 a=11, b=1이므로 a-b=11-1=10

6

-1 _{A=2'3+6'3-3'3=(2+6-3)'3=5'3} B=3'5-7'5+6'5=(3-7+6)'5=2'5 ∴ A-B=5'3-2'5

6

-2 - = - = - =

6

-3 '2- + -='2- + -='2- + -= - + - =12257'2 12 2'2 1225₁₂ 3'2 1225₁₂ 6'2 1225₁₂ 12'2 1223₁₂ '2 12₆ '2 12₄ '2 12₂ 1 122 3'2 1 122 2'2 1 12 '2 1 122 '∂18 1 12 '8 1 12 '2 '6 12₆ '6 12₃ '6 12₂ '2 12 '3 '3 12 '2 a 1_b b 1_a 유형

0

7

'3('6-'2)+'2('∂12-3) ='3 '6-'3 '2+'2 '∂12-3'2 ='∂18-'6+'∂24-3'2 =3'2-'6+2'6-3'2='6

7

-1 '6x+'3y='6('3+'6)+'3('3-'6) ='6 '3+'6 '6+'3 '3-'3 '6 =6+3=9

7

-2 = = = = =-'2+ 따라서 a=-1, b=;2#;이므로 a+2b=-1+2_;2#;=2 3'6 12255₂ 3'6-2'2 12212522₂ (3'3-2)_'2 12212512512 '2_'2 3'3-2 122125 '2 6'3-4 122125 2'2 'ƒ108-4 12222225 '8

7

-3 '∂12 { - }-= - - + ='6-2-'6+1 =-1

7

-4 (5+3'2)(4-'2)=20+(12-5)'2-6 =14+7'2 즉, a=14, b=7이므로 a-b=14-7=7

7

-5 ('3+'2)¤ +('6+1)('6-3) =(3+2'6+2)+(6-2'6-3)=8

7

-6 _{(4-2'3)(3+a'3)=12+(-6+4a)'3-6a} =(12-6a)+(-6+4a)'3 이때, -6+4a=0이므로 a=;2#;

7

-7 -= -= -=('2-1)-(2+'2)=-3

7

-8 = = =4-'∂15

7

-9 x= = _{=2+'3이므로} x-2='3 양변을 제곱하면 x¤ -4x+4=3, x¤ -4x=-1 ∴ x¤ -4x+2=-1+2=1 2+'3 1223334_4-3 2+'3 12233311114 (2-'3)(2+'3) 5-2'∂15+3 12211144_5-3 ('5-'3)¤ 12211111134 ('5+'3)('5-'3) '5-'3 122124 '5+'3 2+'2 1223334_2-1 '2-1 12233_2-1 '2('2+1) 1221241114 ('2-1)('2+1) '2-1 1221241114 ('2+1)('2-1) '2 12233 '2-1 1 12233 '2+1 '3 12 '3 3'2 122 '3 '∂12 122 '3 '∂12 122 '2 3'2-'3 122115 '3 1 12 '3 1 12 '2 유형

0

8

1<'2<2이므로 2<'2+1<3 ∴ a=2 b=(1+'2)-2='2-1 ∴ a-b=2-('2-1)=3-'2

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지009 DK

(10)

유형

0

9

① '∂311='∂3.11_100=10'∂3.11 ③ 'ƒ0.0341=Æ…3.41_;10!0;= ④ '∂0.33=Æ…33_;10!0; = 이므로 '∂33의 값을 알아 ④야 한다. ⑤ 'ƒ33100='∂3.31_∂10000=100'∂3.31

9

-1 '∂626+'ƒ6260='∂6.26_100+'∂62.6_100 =10'∂6.26+10'∂62.6 =25.02+79.12=104.14

9

-2 _{① '∂0.07=Æ…;10&0;=}124'7 10 '∂33 1225₁₀ '∂3.41 1221₁₀ ② '∂0.7=Æ…;1¶0;=Æ…;1¶0º0;= 이므로 '∂70의 값 ②을 알아야 한다. ③ = ④ '∂700='∂7_100=10'7 ⑤ '∂70000='∂7_10000=100'7

9

-3 _{① '∂300="√3_10¤ =10'3=17.32} ② 'ƒ3000="√30_10¤ =10'∂30=54.77 ③ '∂0.3=Æ…;1£0º0;= =0.5477 ④ '∂0.03=Æ…;10#0;= =0.1732 ⑤ 'ƒ0.003=Æ…;10£0º00;=₁₂₂₅'∂30=0.05477 100 '3 124₁₀ '∂30 1225₁₀ '7 124₇ 1 124 '7 '∂70 1244₁₀

0

1

'∂300="√2¤ _3_5¤ =('2)¤ _'3_5=5a¤ b

0

2

aæ– +bæ– =æ– +æ– ='∂3ab+æ– aæ– +bæ– ='ƒ3_18+Æ¬:¡3•: aæ +bæ– =3'6+'6=4'6 ab 12₃ ab¤ 12_3b 3a¤ b 1223_a a 12_3b 3b 12_a 061~063쪽

실력

EXERCISES

01④ 024'6 03 04 05④ 06 - 07③ 087-5'2 09;3!; 10-24-'6114'2 128-2'6 13-3 14 2'2 15 16_{18'2 cm}17 -1 18 19_22-12'2 20③ 211.586 '∂15 122₂ '∂15+'6 1222124₃ '3 125₆ '6 125₁₂ 3'∂30 1222₅ '∂30 122₈

8

-1 '4<'5<'9이므로 2<'5<3 즉, '5의 정수 부분은 2이므로 '5의 소수 부분은 a='5-2 '∂16<'∂20<'∂25이므로 4<'∂20<5 즉, '∂20의 정수 부분은 4이므로 '∂20의 소수 부분은 b='∂20-4=2'5-4 ∴ ;aB;= = =2

8

-2 _{-2<-'2<-1이므로 1<3-'2<2} 즉, 3-'2의 정수 부분은 a=1, 3-'2의 소수 부분은 b=(3-'2)-1=2-'2 ∴ - = -= -=

-('2+1)=-1-8

-3 '4<'6<'9이므로 2<'6<3 -3<-'6<-2 ∴ 2<5-'6<3 즉, 5-'6의 정수 부분은 2이므로 a=2, 5-'6의 소수 부분은 b=5-'6-2=3-'6 ∴ 3a-b=6-(3-'6)=3+'6 즉, 3+'6의 정수 부분은 5이므로 소수 부분은 3+'6-5=-2+'6 '2 125₂ '2 125₂ '2 (2+'2 ) 125251112222 (2-'2)(2+'2) '2 125123 '2_'2 '2 125144 2-'2 1 125 '2 '2 125_b a 125 '2 (2'5-4)('5+2) 1221211113 ('5-2)('5+2) 2'5-4 12212 '5-2

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지010 DK

(11)

개념 BOOK

0

3

5'6_Æ;8#;÷ =5'6_ _ = Æ…6_;2#;_;1™5; =;8%;Æ;5^;=

0

4

;2!;_'∂27_3'2=;2!;_'∂45_AH” ∴ AH”= = = =

0

5

① 3'2+2'3은 더이상 간단히 할 수 없다. ② '∂12-'9=2'3-3 ③ '5('2-3)='∂10-3'5 ⑤ -

=-0

6

+ - -= + - -= + - -={ - }+{ - } =

-0

7

③ '5+3

0

8

2'2='8이므로 2'2<3, 3'2='∂18이므로 3'2>4 ∴ (주어진 식)=-(2'2-3)-(3'2-4)=7-5'2

0

9

= = 즉, x=;2!;, y=-;6!;이므로 x+y=;2!;+{-;6!;}=;3!;

10

('8-'∂27)('∂18+'∂48) =(2'2-3'3)(3'2+4'3) =12-'6-36=-24-'6 3-'6 122342₆ ('3-'2)_'3 122341411225 2'3_'3 '3-'2 1223414 2'3 '3 12₆ '6 12₁₂ 4'3 1254₆ 3'3 1254₆ 3'6 1254₁₂ 4'6 1254₁₂ 2'3 1254₃ '6 135₄ '3 135₂ '6 135₃ 6 1254 3'3 '3 1254 2'2 3 122₂ '3 '2 125 '3 6 122 '∂27 '3 125 '8 3 122 '∂12 '2 125 '3 '∂15 122₆ '5 122 2'3 3'∂30 1223₅ 3'6 122 '5 3'3_3'2 11112_3'5 '∂27_3'2 11112 '∂45 '∂30 122₈ 5 1224_{2_4} '2 12234 4'∂15 '3 122 2'2 4'∂15 12234 '2

11

-= -= -=(3+2'2)-(3-2'2)=4'2

12

= = _='6-'3 -Æ;3!;= - = - ₌ ('3-'2)¤ =3-2'6+2=5-2'6 ∴ (주어진 식)=('6-'3)÷ +(5-2'6) ∴ (주어진 식)=3+(5-2'6)=8-2'6

13

x= = _='3-1에서 x+1='3 양변을 제곱하면 (x+1)¤ =3 x¤ +2x+1=3 ∴ x¤ +2x=2 ∴ x¤ +2x-5=2-5=-3

14

{'a+ }2 =a+;a!;+2=12이므로 a+;a!;=10 또한, {'a- }2 =a+;a!;-2=10-2=8이므로 'a- ='8=2'2

15

x+y=2'5, x-y=2'3, xy=5-3=2이므로

(주어진 식)= = (주어진 식)= = (주어진 식)=

16

정사각형의 한 변의 길이가 각각 '2 cm, '8=2'2(cm), '∂18=3'2(cm)이므로 주어진 도형의 둘레의 길이는 2('2+2'2+3'2)+2_3'2=18'2(cm) '∂15+'6 1223434424₃ '5+'2 12234344 '3 2'5+2'2 1223435144 2'3 x+2'∂xy+y 122343514424_x-y ('x+'y)¤ 1223435144_x-y 1 12 'a 1 12 'a 1 12 'a 2('3-1) 12234311113 ('3+1)('3-1) 2 122343 '3+1 '6-'3 21123₃ '6-'3 21123₃ '3 21₃ '6 21₃ 1 21 '3 2'6 122₆ 2 143 '6 '6-'3 1223451_2-1 '3('2-1) 12234351111 ('2+1)('2-1) '3 122343 '2+1 2-2'2+1 122343511_2-1 2+2'2+1 122343511_2-1 ('2-1)¤ 12234351111 (_'2+1)('2-1) ('2+1)¤ 12234351111 (_'2-1)('2+1) '2-1 1223435 '2+1 '2+1 1223435 '2-1

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지011 DK

(12)

17

C(-1-'2), D(-1+'2)이므로 (-1-'2)(-1+'2)=1-2=-1

18

+ _{=1의 x절편은 '3, y절편은 '5이고,} + _{=1의 x절편은 '∂12, y절편은 '5이다.} 따라서 구하는 넓이는 다음 그림의 색칠한 부분과 같 다. ∴ (구하는 넓이) ∴=;2!;_('∂12-'3)_'5=;2!;_(2'3-'3)_'5 ∴=;2!;_'3_'5=

19

2'7='∂28이고 5<'∂28<6이므로 2<2'7-3<3 즉, 2'7-3의 정수 부분은 a=2 또, 3'2='∂18이고 4<'∂18<5이므로 9<3'2+5<10 즉, 정수 부분이 9이므로 소수 부분은 b=3'2+5-9=3'2-4 따라서 a+b=2+(3'2-4)=3'2-2이므로 (a+b)¤ =(3'2-2)¤ =18-12'2+4=22-12'2

20

③ 'ƒ0.419=Æ…41.9_;10!0;=;1¡0;'ƒ41.9=0.6473

21

=122343543'2-2_{=3-'2=3-1.414=1.586} '2 '∂18-2 12234354 '2 '∂15 212₂ O :::+:::=1 x y '5 '3 '∂12 '3 x '5 y ::::+:::=1 '∂12 x '5 y y 125 '5 x 1253 '∂12 y 125 '5 x 125 '3 066~069쪽

대단원

EXERCISES

01② 02-12 033 04-b 054a 06125 07 ⑤ 083 0918 103개 11② 12④, ⑤ 13④ 14 ⑤ 15 4 16 3 17 4'3-4'2 18 '3+4 19 ;2#; 20 4 21 3'2+'5-5 22 (15-6'5)p 23 24 25 ② 26 27 1224'3₃ A 28 '6+4 '3+1 1221₂ 52'2 1225555₃

0

1

① -'5는 제곱하면 5가 되는 수이다. ③ '∂200은 '2의 10배이다. ④ 0.1='∂0.01이므로 '∂0.1은 0.1보다 크다. ⑤ '∂1.21=1.1의 제곱근은 —'∂1.1이다.

0

2

1.H7= _{=:¡9§:의 양의 제곱근은 a=Æ¬:¡9§:=;3$;} (-9)¤ =81의 음의 제곱근은 b=-'∂81=-9 ∴ ab=;3$;_(-9)=-12

0

3

"≈2¤ +(-'3)¤ -"√(-5)¤ _'∂0.16=2+3-5_0.4=3

0

4

"≈a¤ -"ç4b¤ -"√(-a)¤ +"√(-3b)¤ =a-(-2b)-{-(-a)}+(-3b)=-b

0

5

-;2!;<a<0이므로 -1<2a<0 0<2a+1<1, -2<2a-1<-1 ∴ (주어진 식)=(2a+1)-{-(2a-1)}=4a

0

6

36-n의 값이 제곱수가 되어야 하므로 36-n=1, 4, 9, 16, 25 따라서 n의 값은 35, 32, 27, 20, 11이므로 35+32+27+20+11=125

0

7

a=;3!;이라고 하면 ① a=;3!; ② 'ßa=Æ;3!;= '135₃3 17-1 113355₉

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지012 DK

(13)

개념

BOOK

③ Æ;a!;='3 ④ ;a!;=3 ⑤ a¤ =;9!; 따라서 ⑤ a¤ 의 값이 가장 작다.

0

8

81<85, 36<47이므로 f(85)=9, f(47)=6 ∴ f(85)-f(47)=9-6=3

0

9

3…'∂2x<5의 각 변을 제곱하면 9…2x<25이므로 ;2(;…x<:™2∞: ∴ x=5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 또한, '∂15<x<'∂60의 각 변을 제곱하면 15<x¤ <60 ∴ x=4, 5, 6, 7 따라서 두 부등식을 모두 만족하는 자연수 x의 값은 5, 6, 7이므로 5+6+7=18이다.

10

0.H31H4=;9#9!9$;, "ç0.H1=Æ;9!;=;3!;, Æ¬;2¢5;=;5@;이므로 무리수는 p+1, '2-1, 의 3개이다.

11

② 순환소수는 모두 유리수이다.

12

AQ”=AC”='2, BP”=BD”='2 ④ 점 Q의 좌표는 2+'2이다. ⑤ PA”=PB”-AB”='2-1

13

① '6_'8='∂48='ƒ16_3=4'3 ② '3+'∂27='3+3'3=4'3 ③ '3(4-'3)+3=4'3-3+3=4'3 ④ +2= _+2=2'3 ⑤ (3+2'3+1)-(3-2'3+1)=4'3

14

⑤ '∂60="√2¤ _3_5=2'∂3_5이므로 Æ¬;6¡0;=

15

= = = _{은 '6의 ;5@;배이다.} 즉, x=;5@;이므로 10x=10_;5@;=4

16

'∂108+'x-'∂75=2'3에서 6'3+'x-5'3=2'3 'x=2'3-'3='3 ∴ x=3 2'6 13544₅ 4'6 13544₁₀ 4'3 135444 5'2 4'3 13544 '∂50 1 13544_2ab 4('3-1) 13513144_3-1 4 13513 '3+1 '2 135₃

17

5'2='∂50, 4'3='∂48이므로 5'2>4'3 = = = , = = = 이므로 < ∴ (주어진 식)=(5'2-4'3)-6{ - _} ∴ (주어진 식)=4'3-4'2

18

4'2='∂32, 5<'∂32<6이므로 2<4'2-3<3 3<'∂12<4이므로 4<'∂12+1<5 4<'∂18<5이므로 -5<-'∂18<-4 ∴ 2<7-'∂18<3 1<'3<2이므로 -2<-'3<-1이고 1<3-'3<2 따라서 가장 큰 수는 a='∂12+1, 가장 작은 수는 b=3-'3이므로 a+b=('∂12+1)+(3-'3) =2'3+1+3-'3='3+4

19

(4-2'5)(3+a'5)=12+(4a-6)'5-10a 즉, 4a-6=0이어야 하므로 a=;2#;

20

x= _{=2+'3이므로 x-2='3} 양변을 제곱하면 (x-2)¤ =3이므로 x¤ -4x+4=3 ∴ x¤ -4x+5=(x¤ -4x+4)+1=3+1=4

21

작은 정사각형과 큰 정사각형의 넓이는 각각 5, 10이 므로 두 점 A, B에 대응하는 수는 각각 -1-'5, 3+'∂10이다. 즉, a=-1-'5, b=3+'∂10이므로 '5a+'2b='5(-1-'5)+'2(3+'∂10) =-'5-5+3'2+'∂20 =3'2-'5+2'5-5 =3'2+'5-5

22

사분원 A, B, C, D의 반지름의 길이는 각각 2, 1+'5-2='5-1, 2-('5-1)=3-'5, '5-1-(3-'5)=2'5-4 따라서 구하는 넓이의 합은 2+'3 1431111124 (2-'3)(2+'3) 4'3 1432₃ 3'2 1432₂ 4 143 '3 3 143 '2 '∂192 14323₆ 8'3 1432₆ 4'3 1432₃ 4 143 '3 '∂162 14323₆ 9'2 1432₆ 3'2 1432₂ 3 143 '2

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지013 DK

(14)

;4!;_p_{2¤ +('5-1)¤ +(3-'5)¤ +(2'5-4)¤ } =;4“;(60-24'5)=(15-6'5)p

23

(처음 사각뿔의 부피)=;3!;_('∂18_'∂12)_'∂27 (처음 사각뿔의 부피)=;3!;_(3'2_2'3)_3'3 (처음 사각뿔의 부피)=18'2 자르기 전 사각뿔과 잘라낸 사각뿔의 높이의 비가 3 : 1이므로 부피의 비는 3‹ : 1‹ =27 : 1이다. ∴ (잘라낸 사각뿔의 부피)=;2¡7;_18'2= ∴ (잘라내고 남은 입체도형의 부피) ∴=18'2- =

24

2'3='∂12이고 3<'∂12<4이므로 2<2'3-1<3 따라서 a=2, b=2'3-3이므로 = = =

25

② 'ƒ0.21= 이므로 '∂21의 값을 알아야 한다.

26

{Æ;aB;+Æ;bA; }2 =;aB;+2Æ…;aB;_;bA;+;bA;=;aB;+;bA;+2 = +2= = = _=:¡3§: ……❶ ∴ Æ;aB;+Æ;bA;=Æ¬:¡3§:= ……❷

27

a=2-'2, b=3+'2이므로 ……❶ = = =-(5-4'2)=4'2-5 ……❷ (3-'2)(1-'2) 122151111_1-2 3-'2 12215 1+'2 a+1 121_b-2 4'3 122₃ 8¤ 12₁₂ (a+b)¤ 113224_ab (a+b)¤ -2ab+2ab 1111111133_ab a¤ +b¤ 1132_ab '∂21 1252₁₀ '3+1 1132₂ 1 1132 '3-1 2 1112155 2'3-3+1 a 112_b+1 52'2 14322₃ 2'2 1432₃ 2'2 1432₃ 4'2='∂32이고 '∂25<'∂32<'∂36이므로 5-5<4'2-5<6-5 ∴ 0<4'2-5<1 즉, 의 값이 대응하는 구간은 A이다. ……❸

28

넓이의 비가 2 : 3이므로 한 변의 길이의 비는 '2 : '3 이다. 따라서 두 정사각형의 한 변의 길이를 각각 '2a, '3a라고 하면 둘레의 길이는 2'2a+4'3a=20이다. ∴ a= = _=2'3-'2 따라서 두 정사각형의 한 변의 길이는 각각 AC”='2(2'3-'2)=2'6-2 BC”='3(2'3-'2)=6-'6 ……❶ ∴ AB”=(2'6-2)+(6-'6)='6+4 ……❷ 10(2'3-'2) 11321112 (2'3)¤ -('2)¤ 10 113214 2'3+'2 a+1 1222_b-2 ❶a, b의 값 구하기 ❷식의 값 구하기 ❸수직선에서 식의 값에 대응하는 구간 말하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 ❶AC”, BC”의 길이 각각 구하기 ❷AB”의 길이 구하기 70 % 30 % 채점 기준 배점 ❶{Æ;aB;+Æ;bA; }2 의 값 구하기 60 % ❷Æ;aB;+Æ;bA; 의 값 구하기 40 % 채점 기준 배점

01

'3이 유리수라고 가정해 보자. 그러면 서로소인 두 정수 a, b(a+0)에 대하여 '3= yy`㉠ 와 같이 분수로 나타낼 수 있을 것이다. 이때 ㉠의 양변을 제곱하면 3= Δ 3a¤ =b¤ yy`㉡` 좌변인 3a¤ 이 3의 배수이므로 우변인 b¤ 도 3의 배수이 다. 이로부터 b도 3의 배수임을 알 수 있다. 이제 b=3k라 하고, ㉡에 대입하면 3a¤ =(3k)¤ Δ a¤ =3k¤ 즉, a¤ 이 3의 배수이므로 a도 3의 배수임을 알 수 있 다. 그런데 a, b가 모두 3의 배수이면 a, b가 서로소여 야 한다는 것에 모순이다. 결국 '3이 유리수라는 가정 은 잘못된 것이다. 따라서 '3는 무리수이다. b¤ 12_a¤ b 1_a 070~071쪽

Advanced Lecture

[유제] 01풀이 참조

#해(001~052)유형 2014.10.14 8:8 PM 페이지014 DK

(15)

개념 BOOK

인수분해

II

0

4

⑴ =—2_;2!;=—1 ⑵ ={ }2 =36 ⑶ ={ }2 =3¤ =9 ⑷ =—2_5_2=20

0

5

⑶ -49+9x¤ =9x¤ -49=(3x+7)(3x-7) ⑷ 48a¤ -75=3(16a¤ -25)=3(4a+5)(4a-5)

12 113_{2_2} -12 113₂ 088쪽

개념

CHECK

01ㄱ, ㄷ, ㄹ 02⑴ x(x+1) ⑵ 2b(ab+2)

00⑶ 3x¤ y(y-2) ⑷ x¤ (y¤ +2x-y) 03⑴ (x+4)¤ ⑵ (y-7)¤ 00⑶ {a-;3@;}2 ⑷ (3x+5y)¤ 04⑴ —1 ⑵ 36 ⑶ 9 ⑷ —20 05_{⑴ (2x+1)(2x-1) ⑵ {;6!;a+b}{;6!;a-b}} 00⑶ (3x+7)(3x-7) ⑷ 3(4a+5)(4a-5) 06⑴ (x+1)(x+4) ⑵ (x-4)(x+6) 00⑶ (a+2)(2a+1) ⑷ (x-3y)(3x+2y)

1. 인수분해

01. 다항식의 인수분해

0

1

⑴ x+2=A로 치환하면 094쪽

개념

CHECK

01⑴ (x-1)¤ ⑵ (x+2y-3)(x+2y+5) ⑶ x(x-6) ⑷ (x+y)(x-y-6) ⑸ (x+y+1)¤ ⑹ (x¤ +5x+5)¤ 02⑴ (x-y)(x+y-2) ⑵ (x+2y-1)(x-2y-1) ⑶ (x-2)(x+y+3) ⑷ (3x-y)(3x-y-1) 03⑴ 800 ⑵ 89991 ⑶ 4900 ⑷ 1600 04⑴ 250000 ⑵ 1000000 02. 복잡한 식의 인수분해와 인수분해 공식의 활용 (주어진 식)=A¤ -6A+9=(A-3)¤ =(x+2-3)¤ =(x-1)¤ ⑵ x+2y=A로 치환하면 (주어진 식)=A¤ +2A-15=(A-3)(A+5) =(x+2y-3)(x+2y+5) ⑶ x-3=A로 치환하면 (주어진 식)=A¤ -9=(A+3)(A-3) =(x-3+3)(x-3-3)=x(x-6) ⑷ x-3=A, y+3=B로 치환하면 (주어진 식)=A¤ -B¤ =(A+B)(A-B) =(x-3+y+3)(x-3-y-3) =(x+y)(x-y-6) ⑸ x+y=A로 치환하면 (주어진 식)=A(A+2)+1=A¤ +2A+1 =(A+1)¤ =(x+y+1)¤ ⑹ (주어진 식) ={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}+1 =(x¤ +5x+4)(x¤ +5x+6)+1 =(A+4)(A+6)+1 ⑹=A¤ +10A+24+1 =A¤ +10A+25=(A+25)¤ =(x¤ +5x+5)¤

0

2

⑴ (주어진 식)=x¤ -y¤ -2x+2y =(x+y)(x-y)-2(x-y) =(x-y)(x+y-2) ⑵ (주어진 식)=(x-1)¤ -(2y)¤ =(x+2y-1)(x-2y-1) ⑶ 주어진 식을 y에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식)=xy-2y+x¤ +x-6 =y(x-2)+(x+3)(x-2) =(x-2)(x+y+3) ⑷ (주어진 식)=(3x-y)¤ -(3x-y) =(3x-y)(3x-y-1)

0

3

⑴ 102¤ -98¤ =(102+98)(102-98) =200_4=800 ⑵ 303_297=(300+3)(300-3) =90000-9=89991 ⑶ 63¤ +14_63+7¤ =(63+7)¤ =70¤ =4900 ⑷ 43¤ -6_43+3¤ =(43-3)¤ =40¤ =1600 x¤ +5x=A로 치환

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지015 DK

(16)

유형

0

2

⑤ ;4(;x¤ -12x+16={;2#;x-4}2

2

-1 B¤ =9에서 B=—3 ∴ B=3 (∵ B>0) A=2_1_3=6 ∴ A-B=6-3=3

2

-2 _4a+8={ }2 =36 ∴ a=7

2

-3 -3<x<1이므로 x-1<0, x+3>0 ∴ (주어진 식)="√(x-1)¤ +"√(x+3)¤ =-(x-1)+x+3=4 -12 113₂ 유형

0

3

25x¤ -16=(5x+4)(5x-4)이므로 A=5, B=4 ∴ A-B=5-4=1

3

-1 _{③ ;2¡5;x¤ -;1¡6;y¤ ={;5!;x+;4!;y} {;5!;x-;4!;y}}

3

-2 a¤ (x-2)+b¤ (2-x)=a¤ (x-2)-b¤ (x-2) =(a¤ -b¤ )(x-2) =(a+b)(a-b)(x-2)

3

-3 x› -16=(x¤ )¤ -4¤ =(x¤ +4)(x¤ -4) =(x¤ +4)(x+2)(x-2) 따라서 x› -16의 인수가 아닌 것은 ③이다. 095~099쪽

유형

EXERCISES

유형01④ 1-1 ⑤ 1-2 ⑤ 유형02⑤ 2-1 3 2-2 7 2-3 4 유형031 3-1 ③ 3-2 (a+b)(a-b)(x-2) 3-3 ③ 유형04A=4, B=7 4-1 ①, ⑤ 4-2 2x+10 4-3 ④ 유형0520 5-1 (2x+y)(2x-5y) 5-2 1 5-3 8 유형064x+10 6-1 2x+9 6-2 x+3 6-3 2x-1 유형07(a+b-2)(a+b-1) 7-1 (2a+3)(3a+1) 7-2 -2 7-3 -2(x-7)(5x+9) 7-4 (x¤ +x-10)(x¤ +x+2) 유형08(a+b)(a-2b+c) 8-1 ⑴ (x+2)(x+4y) ⑵ (x+1)(x-1)(x-2) 8-2 -4 8-3 (x-y+6)(x-y-2) 유형09875 9-1 2016 9-2 -36 9-3 6개 유형10 3 10-12 10-22'3 10-335 유형

0

1

-4xy‹ +6y¤ =-2y¤ (2xy-3)

1

-1 ⑤ 3x¤ y-2xy+6xy¤ =xy(3x-2+6y)

1

-2 ⑤ a(2-b)는 ab(2a-b)의 인수가 아니다.

유형

0

4

(x-3)(x-A)=x¤ -(3+A)x+3A=x¤ -Bx+12 이므로 3+A=B, 3A=12 `∴ A=4, B=7

4

-1 x¤ +5xy-6y¤ =(x-y)(x+6y)

4

-2 x¤ +10x-24=(x+12)(x-2)에서 두 일차식은 x+12, x-2이므로 (x+12)+(x-2)=2x+10

4

-3 곱하여 16이 되는 두 정수는 -1, -16 또는 -2, -8 또는 -4, -4 또는 4, 4 또는 2, 8 또는 1, 16 이므로 A의 값이 될 수 있는 것은 -17, -10, -8, 8, 10, 17이다. 유형

0

5

ax¤ -bx+7=(x-1)(3x-c)=3x¤ -(3+c)x+c

0

4

⑴ x¤ +20x+100=(x+10)¤ =(490+10)¤ =500¤ =250000 ⑵ x¤ -2xy+y¤ =(x-y)¤ =(1111-111)¤ =1000¤ =1000000

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지016 DK

(17)

개념 BOOK 즉, a=3, b=3+c, 7=c이므로 b=10 ∴ a+b+c=3+10+7=20

5

-1 4x¤ -8xy-5y¤ =(2x+y)(2x-5y)

5

-2 4x¤ -5x-6=(x-2)(4x+3) 따라서 a=-2, b=3이므로 a+b=-2+3=1

5

-3 6x¤ +7x+2=(2x+1)(3x+2)이므로 a=2, b=1, c=3, d=2 또는 a=3, b=2, c=2, d=1 ∴ a+b+c+d=2+1+3+2=8

7

-1 a+2=A로 치환하면 6(a+2)¤ -13(a+2)+5 =6A¤ -13A+5 =(2A-1)(3A-5) =(2a+4-1)(3a+6-5) =(2a+3)(3a+1)

7

-2 2x-1=A로 치환하면 (2x-1)¤ -4=A¤ -2¤ =(A+2)(A-2) =(2x-1+2)(2x-1-2) =(2x+1)(2x-3) 즉, a=1, b=-3 또는 a=-3, b=1이므로 a+b=-2

7

-3 x+5=A, x-3=B로 치환하면 3(x+5)¤ -7(x+5)(x-3)-6(x-3)¤ =3A¤ -7AB-6B¤ =(A-3B)(3A+2B) =(x+5-3x+9)(3x+15+2x-6) =(-2x+14)(5x+9) =-2(x-7)(5x+9)

7

-4 (x-2)(x-1)(x+2)(x+3)-32 =(x-2)(x+3)(x-1)(x+2)-32 =(x¤ +x-6)(x¤ +x-2)-32 =(A-6)(A-2)-32 =(A¤ -8A+12)-32 =A¤ -8A-20 =(A-10)(A+2) =(x¤ +x-10)(x¤ +x+2) 유형

0

7

a+b=A로 치환하면 (a+b)(a+b-3)+2=A(A-3)+2 =A¤ -3A+2 =(A-2)(A-1) =(a+b-2)(a+b-1) 유형

0

6

(넓이)=x¤ +5x+4=(x+1)(x+4) 따라서 직사각형의 둘레의 길이는 2{(x+1)+(x+4)}=4x+10

6

-1 정사각형의 한 변의 길이를 A라고 하면 정사각형의 넓이는 A¤ =4x¤ +36x+81=(2x+9)¤ ∴ A=2x+9 (∵ A>0)

6

-2 주어진 사다리꼴의 넓이는 3x¤ +7x-6이므로 ;2!;_{(2x-3)+(4x-1)}_(높이) =3x¤ +7x-6 (3x-2)_(높이)=(x+3)(3x-2) ∴ (높이)=x+3

6

-3 (도형 A의 넓이)=(2x)¤ -1¤ =(2x+1)(2x-1) (도형 B의 넓이)=(2x+1)_(세로의 길이) 두 도형의 넓이가 서로 같으므로 도형 B의 세로의 길이는 2x-1이다. 유형

0

8

a¤ -ab+ac-2b¤ +bc는 a에 대한 2차식, b에 대한 2차 식, c에 대한 1차식이므로 가장 낮은 차수를 가지고 있는 문자 c에 대하여 내림차순으로 정리하면 a¤ -ab+ac-2b¤ +bc =ac+bc+a¤ -ab-2b¤ =c(a+b)+(a¤ -ab-2b¤ ) =c(a+b)+(a-2b)(a+b) =(a+b)(c+a-2b) =(a+b)(a-2b+c) x¤ +x=A로 치환

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지017 DK

(18)

8

-1 ⑴ x¤ +4xy+2x+8y =x(x+4y)+2(x+4y) =(x+2)(x+4y) ⑵ x‹ -2x¤ -x+2 =x¤ (x-2)-(x-2) =(x¤ -1)(x-2) =(x+1)(x-1)(x-2)

8

-2 x¤ +4y¤ -4xy-16 =(x¤ -4xy+4y¤ )-16 =(x-2y)¤ -4¤ =(x-2y+4)(x-2y-4) 따라서 a=-2, b=4, c=-2, d=-4 또는 a=-2, b=-4, c=-2, d=4이므로 a+b+c+d=-4

8

-3 x¤ -2xy+4x+y¤ -4y-12 =x¤ -(2y-4)x+(y-6)(y+2) ={x-(y-6)}{x-(y+2)} =(x-y+6)(x-y-2) ■ 다른 풀이 ■ x¤ -2xy+4x+y¤ -4y-12 =x¤ -2xy+y¤ +4x-4y-12 =(x-y)¤ +4(x-y)-12 =A¤ +4A-12 =(A+6)(A-2) =(x-y+6)(x-y-2)

9

-2 1¤ -2¤ +3¤ -4¤ +5¤ -6¤ +7¤ -8¤ =(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4) +(5+6)(5-6)+(7+8)(7-8) =-3-7-11-15=-36

9

-3 3⁄ fl -1=(3° +1)(3° -1)=(3° +1)(3› +1)(3› -1) 3⁄ fl -1=(3° +1)(3› +1)(3¤ +1)(3¤ -1) 3⁄ fl -1=(3° +1)(3› +1)(3¤ +1)(3+1)(3-1) 3⁄ fl -1=(3° +1)_82_10_4_2 따라서 3⁄ fl -1의 약수 중 10 이하인 것은 1, 2, 4, 5, 8, 10의 6개이다. 유형

0

9

22.5¤ _1.75-2.5¤ _1.75 =1.75_(22.5¤ -2.5¤ ) =1.75_(22.5+2.5)_(22.5-2.5) =1.75_25_20 =1.75_500 =875

9

-1 = = =2016 2016¤ 1143₂₀₁₆ (2015+1)¤ 11135513₂₀₁₆ 2015¤ +2_2015+1 111312551113₂₀₁₆ 유형

10

(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=3¤ -8=1이므로 a¤ (a-b)+b¤ (b-a)=a¤ (a-b)-b¤ (a-b)

=(a¤ -b¤ )(a-b) =(a+b)(a-b)(a-b) =(a+b)(a-b)¤ =3_1=3

10

-1x= ='3-1이므로 (x-1)¤ +4(x-1)+3 =A¤ +4A+3 =(A+1)(A+3) =(x-1+1)(x-1+3) =x(x+2) =('3-1)('3-1+2) =('3-1)('3+1) =3-1=2

10

-2_{x+y=2, x-y='3이므로} x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)=2'3

10

-3x¤ -y¤ +4x-4y =(x+y)(x-y)+4(x-y) =(x-y)(x+y+4) =5_7=35 2 111 '3+1 x-y=A로 치환 x-1=A로 치환 x='3-1을 대입

#해(001~052)유형 2014.10.14 8:9 PM 페이지018 DK

(19)

개념 BOOK

0

1

x¤ y-y=y(x¤ -1)=y(x+1)(x-1)

0

2

다항식을 인수분해할 때에는 공통인수를 모두 묶어 낸다. ① ax-ay=a(x-y) ② 3x¤ -6xy=3x(x-2y) ④ am+bm-cm=m(a+b-c) ⑤ 6xy¤ +4xy-8y¤ =2y(3xy+2x-4y)

0

3

① a¤ +8a+16=(a+4)¤ ② ;4!;x¤ +x+1={;2!;x+1}2 ③ 1+2y+y¤ =(y+1)¤ ⑤ 3x¤ -12xy+12y¤ =3(x-2y)¤

0

4

Ax¤ =(3x)¤ =9x¤ ∵ A=9 Bx=-2_3x_2=-12x (∵ B<0) ∴ B=-12 C= = =-2 ∴ A+B+C=9+(-12)+(-2)=-5

0

5

0<x<5이므로 x-5<0 ∴ (주어진 식)="≈x¤ +"√(x-5)¤ =x-(x-5)=5

0

6

x¤ +Ax-18=(x-6)(x+B) =x¤ +(-6+B)x-6B 즉, -18=-6B, A=-6+B이므로 A=-3, B=3 ∴ A+B=-3+3=0

0

7

x¤ -ax+20=(x-5)(x+b)로 놓으면 -12 113₆ B 113_{2_3} 100~102쪽

실력

EXERCISES

01① 02③ 03④ 04⑤ 055 06② 07⑤ 08① 09① 10⑤ 11 ② 12⑴ x¤ +4x-12 ⑵ (x-2)(x+6) 13(x+7)¤ 14② 15 (x¤ -3)(x¤ -2) 16③ 17② 18 (x+y-1)(x-3y+1) 1930 20_;2!0!; 21 18 22 -2'3+3 x¤ -ax+20=x¤ -(5-b)x-5b에서 a=5-b, 20=-5b이므로 b=-4 ∴ `a=5-(-4)=9

0

8

3x¤ +7x-6 =(x+3)(3x-2)

0

9

x¤ -4x+3=(x-1)(x-3) 2x¤ -3x-9=(x-3)(2x+3) 즉, 두 식의 공통인수는 x-3이다.

10

⑤ 2x¤ +5x-3=(x+3)(2x-1)

11

_{① x¤ -;9!;={x+;3!;}{x-;3!;}} ③ 9x¤ -6x+1=(3x-1)¤ ④ 2x¤ -2x-12=2(x¤ -x-6) =2(x-3)(x+2) ⑤ 5x¤ -29x-6=(5x+1)(x-6)

12

⑴ (x-4)(x+3)=x¤ -x-12에서 지호는 상수항을 제대로 보았으므로 상수항은 -12이다. (x-3)(x+7)= x¤ +4x-21에서 태희는 x의 계수를 제대로 보았으므로 x의 계수는 4이다. 따라서 처음의 이차식은 x¤ +4x-12`이다. ⑵ x¤ +4x-12 =(x-2)(x+6)

13

직사각형의 넓이를 x¤ +14x+a=(x+8)(x+b)로 놓으면 x¤ +14x+a=x¤ +(8+b)x+8b에서 8+b=14 ∴ b=6 즉, 직사각형의 세로의 길이는 x+6이 된다. 따라서 직사각형의 둘레의 길이는 2{(x+8)+(x+6)}=4x+28이므로 정사각형의 한 변의 길이는 ;4!;_(4x+28)=x+7 따라서 정사각형의 넓이는 (x+7)¤ 이다.

14

(구하는 넓이)=p_{;2A;}2 -p_{;2B;}2 (구하는 넓이)= _a¤ - _b¤ = _(a¤ -b¤ ) (구하는 넓이)=1p(a+b)(a-b) 4 p 1₄ p 1₄ p 1₄

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지019 DK

(20)

104~107쪽

대단원

EXERCISES

01④ 02② 03③, ④ 04-22 05④ 06③ 07 5, 7 088 09④ 10③ 11-3 12② 13② 14-8 15 ③ 16 2(x-2)(5x-6) ₁₇③, ⑤ 18(6a+4)p 19 ① 20 ④ 21 ① 22 4 ₂₃(x+y+2)(x+y+3) 24 ③ 25 ③ 26 4'3 27 ⑤ 28 2x 29 15 30 24 cm

0

1

④ x¤ 은 x¤ -6x+5의 인수가 아니다.

0

2

x¤ -4x+3=(x-1)(x-3), x¤ y-3xy=xy(x-3) 따라서 두 식의 공통인수는 x-3이다.

0

3

③ 9x¤ -12xy+4y¤ =(3x-2y)¤ ④ ;2¡5;x¤ +;5@;x+1={;5!;x+1}2

0

4

a¤ =;2ª5;에서 a=;5#; (∵ a>0)

-6=2_a_(-b)에서 b=6_;2!;_;3%;=5

15

(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)+2 =(x¤ -1)(x¤ -4)+2

=(A-1)(A-4)+2

=A¤ -5A+4+2=A¤ -5A+6 =(A-3)(A-2)=(x¤ -3)(x¤ -2)

16

x¤ =A로 치환하면 x› -13x¤ +36=A¤ -13A+36 =(A-4)(A-9) =(x¤ -4)(x¤ -9) =(x+2)(x-2)(x+3)(x-3) ∴ (x+2)+(x-2)+(x+3)+(x-3)=4x

17

x¤ -y¤ +6x-6y=(x+y)(x-y)+6(x-y) =(x-y)(x+y+6) 따라서 두 일차식은 x-y, x+y+6이므로 두 일차식 의 합은 x-y+x+y+6=2x+6

18

x에 대하여 내림차순으로 정리하면 x¤ -3y¤ -2xy+4y-1 =x¤ -2yx-3y¤ +4y-1 =x¤ -2yx-(y-1)(3y-1) =(x+y-1)(x-3y+1)

19

101¤ -99¤ =(101+99)_(101-99) =200_2=400=100A ∴ A=4 37¤ -2_3_37+3¤ =(37-3)¤ =34¤ =B¤ ∴ B=34 ∴ B-A=34-4=30

20

f(2)_f(3)_f(4)_y_f(10) ={1- }{1- }{1- }_y_{1- } ={1-;2!;}{1+;2!;}{1-;3!;}{1+;3!;}{1-;4!;}{1+;4!;} _y_{1-;9!;}{1+;9!;}{1-;1¡0;}{1+;1¡0;} =;2!;_;2#;_;3@;_;3$;_y_;9*;_:¡9º:_;1ª0;_;1!0!; =;2!;_;1!0!;=;2!0!; 1 12_10¤ 1 14_4¤ 1 14_3¤ 1 14_2¤

21

x¤ -y¤ +2y-1 =x¤ -(y¤ -2y+1) =x¤ -(y-1)¤ =(x+y-1)(x-y+1) =(4-1)_(5+1)=3_6=18

22

2<4-'3<3이므로 x=(4-'3)-2=2-'3 0<'3-1<1이므로 y='3-1 즉, x+y=1, x-y=-2'3+3이므로 x‹ -y‹ +x¤ y-xy¤ =x¤ (x+y)-y¤ (x+y)

=(x+y)(x¤ -y¤ ) =(x+y)¤ (x-y)

=1_(-2'3+3)=-2'3+3

x¤ =A로 치환

(21)

개념 BOOK c=(-b)¤ =25 ∴ ab-c=;5#;_5-25=-22

0

5

-6<x<6이므로 x-6<0, x+6>0 ∴ (주어진 식)="√(x-6)¤ -"√(x+6)¤ =-(x-6)-(x+6)=-2x

0

6

① x¤ -9=(x+3)(x-3) ② xy-x+3y-3=x(y-1)+3(y-1) =(x+3)(y-1) ③ x¤ -x-6=(x+2)(x-3) ④ x¤ -6x-27=(x+3)(x-9) ⑤ x¤ +6x+9=(x+3)¤

0

7

n¤ -2n-8=(n+2)(n-4)가 소수가 되려면 n-4는 1이고 n+2는 소수이어야 한다. n-4=1일 때, n=5이므로 이 소수는 5¤ -2_5-8=7

0

8

(x-4)¤ -1=(x-4+1)(x-4-1) =(x-3)(x-5) 따라서 a=3, b=5 또는 a=5, b=3이므로 a+b=8

0

9

k=ab이므로 자연수 a, b의 합이 6인 경우는 다음과 같다.

⁄a=1, b=5 또는 a=5, b=1일 때, k=ab=5 ¤a=2, b=4 또는 a=4, b=2일 때, k=ab=8 ‹a=3, b=3일 때, k=ab=9

10

x¤ +ax+b=(x+m)(x+n)=x¤ +(m+n)x+mn 이므로 합이 a, 곱이 b인 두 정수가 존재하는 경우를 찾는다. ① 합이 2, 곱이 1인 두 정수 : 1, 1 ② 합이 3, 곱이 2인 두 정수 : 1, 2 ③ 합이 8, 곱이 -12가 되는 두 정수는 없다. ④ 합이 -3, 곱이 -10인 두 정수 : -5, 2 ⑤ 합이 -3, 곱이 -18인 두 정수 : -6, 3

11

나머지 인수를 x+a라고 하면 2x¤ +kx-2=(2x+1)(x+a) =2x¤ +(2a+1)x+a 따라서 a=-2이므로 k=2a+1=-3

12

ax¤ -4ax+4a=a(x¤ -4x+4)=a(x-2)¤ 따라서 인수가 아닌 것은 ② x+2이다.

13

2x¤ -15x-8=(x-8)(2x+1)이므로 두 다항식은 x-8, 2x+1이다.

14

6x¤ -5x-6=(2x-3)(3x+2) 3x¤ -19x-14=(x-7)(3x+2)이므로 두 식의 공 통인수는 3x+2이다. 즉, 3x¤ -10x+a의 공통인수도 3x+2이므로 3x¤ -10x+a=(3x+2)(x+b)로 놓으면 3x¤ -10x+a=3x¤ +(2+3b)x+2b에서 2+3b=-10이므로 b=-4 ∴ a=2b=-8

15

① a¤ +4a+4=(a+2)¤ ② 4x¤ -9y¤ =(2x+3y)(2x-3y) ④ 4x¤ +xy-3y¤ =(4x-3y)(x+y) ⑤ 18x¤ y+12xy+2y=2y(3x+1)¤

16

(주어진 식)=9x¤ -30x+25+x¤ -2x-24+23 =10x¤ -32x+24 =2(5x¤ -16x+12) =2(x-2)(5x-6)

17

3x¤ +4x+1=(x+1)(3x+1)이므로 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이가 될 수 있는 것은 ③, ⑤ 이다.

18

(원의 넓이)=(9a¤ +12a+4)p=(3a+2)¤ p 따라서 원의 반지름의 길이가 3a+2이므로 원의 둘레 의 길이는 2p(3a+2)=(6a+4)p

19

새로운 직사각형의 가로의 길이는 x+a, 세로의 길이 x-b이므로

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지021 DK

(22)

x¤ +4x-12=(x+6)(x-2)=(x+a)(x-b) 이므로 a=6, b=2 (∵ a, b는 자연수)

따라서 직사각형의 가로의 길이는 x+6이다.

20

x› -y› =(x¤ -y¤ )(x¤ +y¤ ) =(x-y)(x+y)(x¤ +y¤ )

21

x-2=A로 치환하면 8(x-2)¤ +6(x-2)-9 =8A¤ +6A-9=(2A+3)(4A-3) =(2x-4+3)(4x-8-3)=(2x-1)(4x-11) 따라서 두 일차식의 합은 (2x-1)+(4x-11)=6x-12

22

3xy-x-3y+1=5에서 x(3y-1)-(3y-1)=5 ∴ (x-1)(3y-1)=5 x-1, 3y-1은 자연수이고, 5는 소수이므로 ⁄x-1=1, 3y-1=5인 경우：x=2, y=2 ¤_{x-1=5, 3y-1=1인 경우：x=6, y=;3@;} 따라서 주어진 식을 만족하는 자연수 x, y의 값은 x=2, y=2뿐이다. ∴ xy=4

23

x¤ +2xy+5x+y¤ +5y+6 =x¤ +(2y+5)x+(y+2)(y+3) =(x+y+2)(x+y+3)

24

0.65¤ -0.35¤ =(0.65+0.35)(0.65-0.35) =1_0.3=0.3 즉, 가장 알맞은 인수분해 공식은 ③ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)

25

2⁄ ﬂ -1=(2° +1)(2° -1) =(2° +1)(2› +1)(2› -1) 2› +1=17, 2› -1=15이므로 2⁄ ﬂ -1은 17과 15로 나 누어 떨어진다. 따라서 그 합은 17+15=32이다.

26

x-y=2'3, xy=2 ∴ x¤ y-xy¤ =xy(x-y)=2_2'3=4'3

27

2<'5<3이므로 a='5-2 ∴ a¤ +5a+6=(a+2)(a+3) ='5('5+1)=5+'5

28

0<x<1이므로 x+ >0, x- <0 ……❶ ∴ æ≠x¤ + +2 -æ≠x¤ + -2 ∴=æ≠{x+ }2 -æ≠{x- }2 ∴=x+ _-[-{x- }] ∴=2x ……❷

29

6x¤ +ax-3=(2x+3)(Ax+B)라고 하면 6x¤ +ax-3=2Ax¤ +(3A+2B)x+3B이므로 2A=6에서 A=3 3B=-3에서 B=-1 ∴ a=3A+2B=7 ……❶ 이때, x¤ +6x-7=(x+7)(x-1)이므로 b=7, c=1 ……❷ ∴ a+b+c=7+7+1=15 ……❸

30

4(a+b)=120이므로 a+b=30 ……❶ a¤ -b¤ =180이므로 (a+b)(a-b)=180 ∴ a-b=6 ……❷ 따라서 두 카드의 둘레의 길이의 차는 4(a-b)=4_6=24 (cm) ……❸ 1 1_x 1 1_x 1 1_x 1 1_x 1 14_x¤ 1 14_x¤ 1 1_x 1 1_x ❶a의 값 구하기 ❷b, c의 값 구하기 ❸a+b+c의 값 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 ❶x+11_x, x-11_x의 부호 알기 ❷주어진 식 간단히 하기 50 % 50 % 채점 기준 배점 ❶a+b의 값 구하기 ❷a-b의 값 구하기 ❸두 카드의 둘레의 길이의 차 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지022 DK

(23)

개념

BOOK

01

⑴ a¤ +b¤ +c¤ +2ab-2bc-2ca

=a¤ +b¤ +(-c)¤ +2ab+2b(-c)+2(-c)a =(a+b-c)¤

⑵ a‹ -3a¤ b+3ab¤ -b‹

=a‹ -2a¤ b+ab¤ -a¤ b+2ab¤ -b‹ =a(a¤ -2ab+b¤ )-b(a¤ -2ab+b¤ ) =a(a-b)¤ -b(a-b)¤ =aX¤ -bX¤ =X¤ (a-b)=(a-b)‹

02

⑴ 파스칼의 삼각형에서 6행을 구하면 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ⑴로 주어진 식의 계수와 같다. ⑴따라서 주어진 식을 인수분해하면 (a+b)fl 이 된다. ⑵ xfl -6xfi +15x› -20x‹ +15x¤ -6x+1 ⑴=1(-x)fl +6(-x)fi +15(-x)› ⑴ = +20(-x)‹ +15(-x)¤ +6(-x)+1 ⑴=(-x+1)fl =(x-1)fl 108~109쪽

Advanced Lecture

[유제] 01(a+b-c)¤ ⑵ (a-b)‹ 02⑴ (a+b)ﬂ ⑵ (x-1)ﬂ

0

1

등식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정 리하였을 때, (x에 대한 이차식)=0 꼴로 나타내어지 는 방정식을 찾는다. ㄱ. 2x¤ -x=0 (이차방정식) ㄴ. 6x¤ +7x-20=0 (이차방정식) ㄷ. -x‹ +x¤ -8=0 (삼차방정식) ㄹ. x¤ -4x+1=0 (이차방정식) ㅁ. 4x+2=0 (일차방정식) ㅂ. x¤ +2x+1=0 (이차방정식) 따라서 이차방정식인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅂ이다.

0

2

ax¤ +3x+1=2x¤ 에서 (a-2)x¤ +3x+1=0 이때, 이차방정식이 되려면 이차항의 계수가 0이 아니 어야 하므로 a-2+0, 즉 a+2이어야 한다.

0

3

[ ] 안의 수를 주어진 이차방정식에 대입하였을 때, 등식이 성립하면 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해이다. ① 3¤ +3_3+2=20+0 ② (1+1)(1-2)=-2+0 ③ (-1)¤ -5_(-1)-6=0 ④ 4_(-4)¤ +5_(-4)+1=45+0 ⑤ 0_(0-2)=0+1

0

4

⑴ 따라서 이차방정식 x¤ -1=0의 해는 x=1이다. 119쪽

개념

CHECK

01ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅂ 02③ 03③ 04⑴ x=1 ⑵ x=0 05 -1

이차방정식

1. 이차방정식의 뜻과 풀이

III

01. 이차방정식의 뜻과 해 x의 값 좌변 우변 0 0¤ -1=-1 0 1 1¤ -1=0 0 2 2¤ -1=3 0 3 3¤ -1=8 0 a-b=X로 치환

#해(001~052)유형 2014.10.14 8:9 PM 페이지023 DK

(24)

⑵ 따라서 이차방정식 x(x-5)=0의 해는 x=0이다.

0

5

(-3)¤ +a_(-3)-12=0 ∴ a=-1 126쪽

개념

CHECK

01⑴ x=-4 또는 x=1 ⑵ x=-5 또는 x=-1 01_{⑶ x=-;2#; 또는 x=;3!; ⑷ x=-;2!; 또는 x=3} 02ㄷ 03⑴ x=—3 ⑵ x=— ⑶ x=4—'3 ⑷ x= 04_{⑴ x=-2—'6} _{⑵ x=-1—'7} ⑶ x=1—₁₂'2 ⑷ x=2—'5 2 2—'2 111₃ 4 1₃ 02. 이차방정식의 풀이

0

1

⑴ (x+4)(x-1)=0이므로 x+4=0 또는 x-1=0 ⑴∴ x=-4 또는 x=1 ⑵ (x+5)(x+1)=0이므로 ⑴x+5=0 또는 x+1=0 ⑴∴ x=-5 또는 x=-1 ⑶ (2x+3)(3x-1)=0이므로 2x+3=0 또는 3x-1=0 ⑴∴ x=-;2#; 또는 x=;3!; ⑷ (2x+1)(x-3)=0이므로 ⑴2x+1=0 또는 x-3=0 ⑴∴ x=-;2!; 또는 x=3

0

2

ㄱ. x¤ -4=0, (x+2)(x-2)=0 ∴ x=-2 또는 x=2 ㄴ. x=-3 또는 x=3 ㄷ. (x-3)¤ =0 ∴ x=3(중근) ㄹ. x¤ +4x-5=0이므로 (x+5)(x-1)=0 ∴ x=-5 또는 x=1 따라서 중근을 갖는 것은 ㄷ이다. x의 값 좌변 우변 0 0_(0-5)=0 0 1 1_(1-5)=-4 0 2 2_(2-5)=-6 0 3 3_(3-5)=-6 0 127~129쪽

유형

EXERCISES

유형01 ④ 1-1 2개 1-2 5 1-3 ② 유형02 4 2-1 ④ 2-2 -3 2-3 4 유형03 3 3-1 ①, ③ 3-2 x=-1 또는 x=;2#; 3-3 -13 유형04 15 4-1 x=2(중근) 4-2 ⑤ 4-3 18 유형05 3 5-1 5 5-2 1 5-3 bæ0 유형06 x= 6-1 8 6-2 4 6-3 116 -7—'∂29 11113₂

0

3

⑴ 3x¤ =27의 양변을 3으로 나누면 x¤ =9 ∴ x=—3 ⑵ 9x¤ -16=0의 좌변의 -16을 우변으로 이항하면 9x¤ =16 ⑷양변을 9로 나누면 x¤ =:¡9§: ∴ x=—;3$; ⑶ x-4=—'3 ∴ x=4—'3 ⑷ 3x-2=—'2, 3x=2—'2 ∴ x=

0

4

⑴ x¤ +4x-2=0에서 x¤ +4x=2, x¤ +4x+4=2+4 (x+2)¤ =6, x+2=—'6 ∴ x=-2—'6 ⑵ x¤ +2x-6=0에서 x¤ +2x=6, x¤ +2x+1=6+1 (x+1)¤ =7, x+1=—'7 ∴ x=-1—'7 ⑶ 2x¤ -4x+1=0에서 ⑷x¤ -2x+;2!;=0, x¤ -2x=-;2!; ⑷x¤ -2x+1=-;2!;+1, (x-1)¤ =;2!; ⑷x-1=—æ;2!; ∴ x=1— ⑷ 3x¤ -12x-3=0에서 x¤ -4x-1=0, x¤ -4x=1 x¤ -4x+4=1+4, (x-2)¤ =5 x-2=—'5 ∴ x=2—'5 '2 14₂ 2—'2 2551551₃

#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지024 DK

(25)

개념

BOOK

유형

0

2

3x¤ +x-a=0에 x=1을 대입하면 3_1¤ +1-a=0, 4-a=0 ∴ a=4

2

-1 x=-2를 각 이차방정식에 대입하여 등식이 성립하 는 것을 찾는다. ① (-2)¤ +4_(-2)-5=-9+0 ② (-2+3)(-2-2)=-4+4 ③ (-2)¤ -4_(-2)+4=16+0 ④ (-2)¤ +5_(-2)+6=0 ⑤ {(-2)+6}¤ =4¤ =16+25 따라서 x=-2를 근으로 갖는 이차방정식은 ④ 이다. 유형

0

1

등식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하 였을 때, (x에 대한 이차식)=0 꼴로 변형되는 방정식을 찾는다. ① x+1=0 (일차방정식) ② 3x‹ -x¤ +2x=0 (삼차방정식) ③ -6x+2=0 (일차방정식) ④ x¤ -1=0 (이차방정식) ⑤ 12x-12=0 (일차방정식) 따라서 이차방정식인 것은 ④이다.

1

-1 ㄱ. x¤ +x=0 (이차방정식) ㄴ. 3x-1=0 (일차방정식) ㄷ. x¤ +4x+4=0 (이차방정식) ㄹ. 4x-3=0 (일차방정식) 따라서 이차방정식인 것은 ㄱ, ㄷ의 2개이다.

1

-2 2(x-1)(x+1)=2x-x¤ 에서 2x¤ -2=2x-x¤ ∴ 3x¤ -2x-2=0 따라서 a=3, b=-2이므로 a-b=3-(-2)=5

1

-3 3x¤ +ax-4=bx¤ -2x+1에서 3x¤ +ax-4-bx¤ +2x-1=0 (3-b)x¤ +(a+2)x-5=0 이 방정식이 x에 대한 이차방정식이 되려면 3-b+0 ∴ b+3

2

-2 x¤ +ax-(a+1)=0에 x=2를 대입하면 2¤ +2a-(a+1)=0, a+3=0 ∴ a=-3

2

-3 x=p를 x¤ +2x-4=0에 대입하면 p¤ +2p-4=0 ∴ p¤ +2p=4 유형

0

3

18+x=(x-2)¤ 에서 18+x=x¤ -4x+4 x¤ -5x-14=0, (x+2)(x-7)=0 x=-2 또는 x=7 이때, p>q이므로 p=7, q=-2 ∴ p+2q=7+2_(-2)=3

3

-1 _{① x=-;2!; 또는 x=4} ② x=-4 또는 x=;2!; ③ x=-;2!; 또는 x=4 ④ x=-4 또는 x=;2!; ⑤ x=;2!; 또는 x=4

3

-2 2x¤ -x-3=0에서 (x+1)(2x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=;2#;

3

-3 x¤ +ax+6=0에 x=1을 대입하면 1¤ +a+6=0, a+7=0 ∴ a=-7 a=-7을 x¤ +ax+6=0에 대입하면 x¤ -7x+6=0, (x-1)(x-6)=0 ∴ x=1 또는 x=6 즉, b=6이므로 a-b=-7-6=-13 유형

0

4

x¤ -8x+a+1=0이 중근을 가지므로 a+1={ }2 =16 ∴ a=15

4

-1 (x+1)(x-4)=x-8에서 x¤ -3x-4=x-8 x¤ -4x+4=0, (x-2)¤ =0 ∴ x=2(중근) -8 31255₂