II
#해(053~096)부록 2017.2.8 9:41 AM 페이지063
⑤ 2x¤ -16x+32=2(x-4)¤
07 (x+3)(x-5)+k=x¤ -2x-15+k에서 -15+k={ }2 ∴ k=16
08 x¤ +axy+49y¤ =x¤ +2bxy+b¤ y¤ 이므로 b¤ =49에서 b=-7 (∵ b<0)
a=2b=2_(-7)=-14
∴ a-b=-14-(-7)=-7
09 a<b<0에서 a-b<0, a+b<0이므로
"√a¤ -2ab+b¤ -"√a¤ +2ab+b¤
="√(a-b)¤ -"√(a+b)¤
=-(a-b)-{-(a+b)}=2b
10 ab¤ -a=a(b¤ -1)
=a(b+1)(b-1)
11 64x¤ -25=(8x)¤ -5¤ =(8x+5)(8x-5)
∴ (8x+5)+(8x-5)=16x
12 9x¤ - =(3x)¤ -{ }2 9x¤ - ={3x+ } {3x- }
13 x¤ +ax-12=x¤ +(b-4)x-4b이므로 -4b=-12 ∴ b=3
a=b-4=3-4=-1
∴ a+b=-1+3=2
14 x¤ 의 계수가 1이므로 x¤ -8x+a의 다른 인수를 x+b 로 놓으면
x¤ -8x+a=(x+4)(x+b)=x¤ +(4+b)x+4b 이므로
4+b=-8 ∴ b=-12
∴ a=4b=4_(-12)=-48
15 (x-1)(x-4)+2=x¤ -5x+4+2
=x¤ -5x+6
=(x-2)(x-3) 132y1 132y1
132y1 1344y¤1
-21342
16 더하여 8이 되는 두 자연수는 1, 7 또는 2, 6 또는 3, 5 또는 4, 4이므로
k=7, 12, 15, 16
17 지윤이의 풀이：(x-6)(x+3)=x¤ -3x-18에서 바르게 본 것은 상수항이므로 상수항은 -18이다.
동준이의 풀이：(x+2)(x+5)=x¤ +7x+10에서 바르게 본 것은 x의 계수이므로 x의 계수는 7이다.
따라서 처음의 이차식은 x¤ +7x-18이므로 인수분해 하면 (x-2)(x+9)이다.
18 3x¤ +10x+8=(x+2)(3x+4)이므로 a=1, b=2, c=3, d=4 또는
a=3, b=4, c=1, d=2
∴ ab+cd=14
19 3x¤ +ax-18=cx¤ +(9+bc)x+9b이므로 3=c, a=9+bc, -18=9b
∴ a=3, b=-2, c=3
∴ a+b+c=3+(-2)+3=4
20 주어진 두 다항식을 인수분해하면 2x¤ -9xy+9y¤ =(x-3y)(2x-3y) 3x¤ -8xy-3y¤ =(x-3y)(3x+y) 이므로 공통인수는 x-3y이다.
21 (넓이)=4x¤ +4x+1=(2x+1)¤
따라서 직사각형의 둘레의 길이는 4(2x+1)=8x+4
22 9x¤ +27x+14=(3x+2)(3x+7)이므로 이 평행사 변형의 높이는 3x+7이다.
23 -3a¤ b+6ab¤ +9abc=3ab(-a+2b+3c) 3b_a_(높이)=3ab(-a+2b+3c)
∴ (높이)=-a+2b+3c
∴ (모서리의 길이의 합)
=4_{3b+a+(-a+2b+3c)}
=4(5b+3c)=20b+12c
24 x-y=A로 치환하면
#해(053~096)부록 2014.10.14 9:15 AM 페이지064 DK
테스트BOOK
(x-y-2)(x-y+5)-18
=(A-2)(A+5)-18
=A¤ +3A-28
=(A+7)(A-4)
=(x-y+7)(x-y-4)
25 a+b=A로 치환하면 3(a+b)¤ -(a+b)-4
=3A¤ -A-4
=(A+1)(3A-4)
=(a+b+1)(3a+3b-4)
26 x+2y=A, 2x-y=B로 치환하면 (x+2y)¤ -(2x-y)¤
=A¤ -B¤
=(A+B)(A-B)
=(x+2y+2x-y)(x+2y-2x+y)
=(3x+y)(-x+3y)
27 x(x+1)(x+2)(x+3)+1
={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}+1
=(x¤ +3x)(x¤ +3x+2)+1
=A(A+2)+1
=A¤ +2A+1=(A+1)¤
=(x¤ +3x+1)¤
따라서 a=3, b=1이므로 a+b=3+1=4
28 x¤ +xy+x-y-2=xy-y+x¤ +x-2
=y(x-1)+(x+2)(x-1)
=(x-1)(x+y+2) x¤ +4x+4-y¤ =(x¤ +4x+4)-y¤
=(x+2)¤ -y¤
=(x+y+2)(x-y+2) 따라서 두 다항식의 공통인수는 x+y+2이다.
29 x¤ -y¤ +8y-16
=x¤ -(y¤ -8y+16)
=x¤ -(y-4)¤
=x¤ -A¤
=(x+A)(x-A)
=(x+y-4)(x-y+4)
30 차수가 낮은 y에 대하여 내림차순으로 정리하면 2x¤ +3xy-5x-9y-3
=3y(x-3)+2x¤ -5x-3
=3y(x-3)+(2x+1)(x-3)
=(x-3)(2x+3y+1)
31 x¤ +2xy+y¤ -x-y-2
=x¤ +(2y-1)x+y¤ -y-2
=x¤ +(2y-1)x+(y-2)(y+1)
=(x+y-2)(x+y+1) 따라서 두 일차식의 합은
(x+y-2)+(x+y+1)=2x+2y-1
■ 다른 풀이 ■ x¤ +2xy+y¤ -x-y-2
=(x+y)¤ -(x+y)-2
=A¤ -A-2
=(A-2)(A+1)=(x+y-2)(x+y+1)
32 A=9_153+9_47
=9_(153+47)=9_200=1800 B=103¤ -97¤ =(103+97)(103-97)
=200_6=1200
∴ A-B=1800-1200=600
33 0.75¤ -0.75_0.5+0.25¤
=0.75¤ -2_0.75_0.25+0.25¤
=(0.75-0.25)¤ =0.5¤ =0.25
34 = =1
35 12¤ -10¤ +8¤ -6¤ +4¤ -2¤
=(12¤ -10¤ )+(8¤ -6¤ )+(4¤ -2¤ )
=(12+10)(12-10)+(8+6)(8-6)
+(4+2)(4-2)
=2_(12+10+8+6+4+2)
=2_42=84
36 x‹ y-xy‹
=xy(x¤ -y¤ )=xy(x+y)(x-y)
=(2+'2)(2-'2)(2+'2+2-'2)(2+'2-2+'2)
=2_4_2'2=16'2
2016_(2015-1) 111312551111(2015+1)(2015-1) 2015_2016-2016
1113125511142015¤ -1
x¤ +3x=A로 치환
y-4=A로 치환
x+y=A로 치환
#해(053~096)부록 2014.10.14 9:15 AM 페이지065 DK
㉡에서 a=10, ```b=-1이어야 한다.
㉠에 a=10, b=-1을 대입하면 c=-9 ……❷
∴ a-b-c=10-(-1)-(-9)=20 ……❸
04 (주어진 식)
=(a+b)¤ +(c+d)¤ -2(ac+ad+bc+bd)
=(a+b)¤ +(c+d)¤ -2(a+b)(c+d)
=A¤ +B¤ -2AB
=(A-B)¤ =(a+b-c-d)¤
05 연속하는 두 홀수를 각각 2n-1, 2n+1(n은 자연수) 이라고 하면
(2n+1)¤ -(2n-1)¤
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=4n_2=8n
따라서 연속하는 두 홀수의 제곱의 차는 8의 배수이다.
06 2015=a라고 하면
"√2015_2017+1
="√a(a+2)+1="√a¤ +2a+1
="√(a+1)¤ =a+1=2015+1=2016
07 2› ‚ -1=(2¤ ‚ +1)(2¤ ‚ -1)
=(2¤ ‚ +1)(2⁄ ‚ +1)(2⁄ ‚ -1)
=(2¤ ‚ +1)(2⁄ ‚ +1)(2fi +1)(2fi -1) 즉, 2fi +1=33, 2fi -1=31이므로 합은 33+31=64
08 2<'5<3이므로1<4-'5<2
∴x=1, y=3-'5 ……❶
∴ (주어진 식)
=x¤ -2xy+y¤ +4x-4y+4
=(x-y)¤ +4(x-y)+4
=A¤ +4A+4
=(A+2)¤ =(x-y+2)¤ ……❷
={1-(3-'5)+2}¤
=('5)¤ =5 ……❸
01 0<a<1이므로 -a<0, a-;a!;<0, a+;a!;>0
∴ (주어진 식)
=5"√(-a)¤ +2æ≠{a-;a!;}2 -2æ≠{a+;a!;}2 =-5(-a)-2{a-;a!;}-2{a+;a!;}=a
02 x¤ +x-n=(x+a)(x-b) (a, b는 자연수, a>b) 라고 하면
a-b=1이므로 n=ab=a(a-1)
그런데 n은 1과 40 사이의 수이므로 2_1, 3_2, 4_3, 5_4, 6_5의 5개이다.
03 x¤ +cx-10=x¤ -(a+b)x+ab이므로 c=-(a+b) …… ㉠
-10=ab …… ㉡ ……❶
㉠에서 a＋b가 최대일 때, c는 최소가 되므로
027~029쪽
실력 TEST
01a 025개 0320
04(a+b-c-d)¤ 05④ 062016 0764 085 097, 17 10900p cm‹
37 x= ='2-1, y= ='2+1이므로 x¤ -2xy+y¤ =(x-y)¤ ={('2-1)-('2+1)}¤
=(-2)¤ =4
38 a¤ -2ab+b¤ -2a+2b+1
=a¤ -2(b+1)a+(b¤ +2b+1)
=a¤ -2(b+1)a+(b+1)¤
={a-(b+1)}¤ =(a-b-1)¤
=(-1-1)¤ =4
39 3<'∂12<4이므로 x=3, y='∂12-3
∴ =
∴= =xy(x+y)=3('∂12-3)_'∂12
∴=36-9'∂12=36-18'3 xy(x+y)¤
111312x+y
xy(x¤ +2xy+y¤ ) 1113125511x+y x‹ y+2x¤ y¤ +xy‹
1113125511x+y
1111 '2-1 1111
'2+1
❶인수분해 공식을 이용하여 a, b, c의 관계식 구하기
❷a, b, c의 값 구하기
❸a-b-c의 값 구하기
40 % 40 % 20 %
채점 기준 배점
a+b=A, c+d=B로 치환
x-y=A로 치환
#해(053~096)부록 2017.2.8 9:41 AM 페이지066
테스트BOOK
09 주어진 식의 양변을 제곱하면 n¤ +33=m¤
m¤ -n¤ =33, (m+n)(m-n)=33 이때, m, n은 자연수이므로
또는
∴ m=17, n=16 또는 m=7, n=4
10 (부피)=p_8.75¤ _12 -p_1.25¤ _12
=12p(8.75¤ -1.25¤ )
=12p(8.75+1.25)(8.75-1.25)
=12p_10_7.5=900p`(cm‹ ) m+n=11 m-n=3 [
m+n=33 m-n=1 [
030~032쪽
대단원 TEST
01ㄱ, ㄷ 02④ 03x+3 04④ 050 062(x-1)(x+2) 074
08① 09③ 108x+20
11③ 12②, ④ 13 ⑤ 14(a+b)(a-2b+c) 1516
166x¤ -4xy-2 17③, ⑤ 18960
19⑤ 20② 21④
01
ㄴ. (x-2)(x-6)=x¤ -8x+12 ㄹ. x¤ y, -3x¤ y¤ 의 공통인수는 x¤ y이다.02
① 25 ② 28 ③ 12 ④ 36 ⑤ 1603
(x+2)(x-5)-8=x¤ -3x-18=(x-6)(x+3) (x-1)¤ -3x-25=x¤ -5x-24=(x-8)(x+3) 따라서 두 식의 공통인수는 x+3이다.04
① (x-3)¤ ② (x+11)(x-11)③ {x-;2!;}2 ⑤ (x-1)¤
따라서 유리수 범위 내에서 인수분해할 수 없는 것은
④이다.
05
x¤ +kx+6=x¤ +(a+b)x+ab이므로a+b=k, ab=6
ab=6을 만족하는 정수 a, b를 순서쌍 (a, b)로 나타 내면 (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1),
(-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1) 따라서 k의 최댓값은 1+6=7이고, 최솟값은 -1-6=-7이므로 두 수의 합은 7+(-7)=0
06
경찬이는 상수항을 제대로 보았으므로 상수항은(-1)_4=-4 ……❶
윤정이는 x의 계수를 제대로 보았으므로 x의 계수는
2_(-2+3)=2 ……❷
따라서 처음에 주어진 이차식은 2x¤ +2x-4이므로
……❸ 이 식을 인수분해하면 2(x-1)(x+2)이다. ……❹
07
a=-6, b=7, c=3이므로 a+b+c=-6+7+3=408
ax¤ +7x-6=(x+3)(ax+m)으로 놓으면 3m=-6 ∴ m=-23a-2=7 ∴ a=3
2x¤ +bx-3=(x+3)(2x+n)으로 놓으면 3n=-3 ∴ n=-1
b=6-1=5
∴ a-b=3-5=-2
09
ㄷ. x¤ +xy-30y¤ =(x-5y)(x+6y) ㅁ. (x-y)(x-y-12)+32=A(A-12)+32
=A¤ -12A+32
=(A-4)(A-8)
=(x-y-4)(x-y-8)
10
(넓이)=4x¤ +20x+25=(2x+5)¤따라서 꽃밭의 한 변의 길이는 2x+5이므로 (둘레의 길이)=4_(2x+5)=8x+20
❶상수항 구하기
❷x의 계수 구하기
❸처음 주어진 이차식 구하기
❹주어진 식 인수분해하기
30 % 30 % 20 % 20 %
채점 기준 배점
x-y=A로 치환
❶x, y의 값 구하기
❷치환하여 인수분해하기
❸식의 값 구하기
40 % 40 % 20 %
채점 기준 배점
#해(053~096)부록 2016.10.11 12:21 PM 페이지067
11
x¤ +2x-24=(x-4)(x+6)이므로 a=4(∵ a>0)12
a¤ -2ab+4b-2a=a(a-2b)-2(a-2b)=(a-2)(a-2b)
a¤ -ab+ac-2b¤ +bc
=ac+bc+a¤ -ab-2b¤
=(x¤ +8x+7)(x¤ ＋8x+15)+a
=(A+7)(A+15)+a
17
11_501¤ -11_499¤=11(501¤ -499¤ ) ¤ ⑤ 사용
=11(501+499)(501-499) ¤ ③ 사용
18
A=12_70-12_65=12_(70-65)=60 B=54¤ -46¤ =(54+46)(54-46)=800 C="√102¤ -408+2¤="√102¤ -2_2_102+≈2¤
="√(102-2)¤ =102-2=100 ……❶
∴ A+B+C=60+800+100=960 ……❷
19
a=2012라고 하면11253113x¤ +xy-2y¤
(a+1)‹
1125324(a+1)¤
(a+1){(a+2)¤ -2(a+2)+1}
11253111111111513(a+1)¤
(a+1)(a+2)¤ -2(a+2)(a+1)+a+1 11253111111111111211a¤ +2a+1 2013_2014¤ -4028_2013+3_671 1125311111111111122012¤ +2_2012+1
❶A, B, C의 값 구하기
테스트BOOK
01
A, B, C가 가지고 있는 구슬의 개수를 각각 x개, y개, z개라고 하면㈎에서 x=y+z+6 …… ㉠
㈏에서 x¤ =(y+z)¤ +144 …… ㉡
㉡에서 x¤ －(y+z)¤ =144 (x+y+z)(x－y－z)=144 그런데 ㉠에서 x－y－z=6이므로 (x+y+z)_6=144
∴ x+y+z=24
02
(원기둥의 겉넓이)=(한 밑면의 넓이)_2+(옆면의 넓이)이므로 (㈎의 겉넓이)=pa¤ _2+2pa_b
=2pa¤ +2pab (㈏의 겉넓이)=pb¤ _2+2pb_a
=2pb¤ +2pab
㈎의 겉넓이는 ㈏의 겉넓이의 4배이므로 2pa¤ +2pab=4(2pb¤ +2pab) a¤ +ab=4b¤ +4ab
∴ a(a+b)=4b(a+b)
그런데 a>0, b>0이므로 등식의 양변을 a+b로 나 누면 a=4b
이때,(원기둥의부피)=(한밑면의넓이)_(높이)이므로 (㈎의 부피)=pa¤ _b
=p(4b)¤ _b
=16b‹ p (㈏의 부피)=pb¤ _a
=pb¤ _4b
=4b‹ p
따라서 ㈎의 부피는 ㈏의 부피의 4배이다.