01 702, 702, 27, 26, 26, 26, 27, 53 0212명 032 cm 04 12초 후
02. 이차방정식의 활용
#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지029 DK
146~149쪽 5-10x(x+2)=2x¤ , 5-10x¤ -20x=2x¤
12x¤ +20x-5=0
125319-1716 -3-'∂17
개념BOOK
∴ x= =1—'5
따라서 두 근의 곱은
(1+'5)_(1-'5)=1-5=-4 -(-1)—"√(-1)¤ -1_(-4) 12531451111123131121
유형03
(x-3)=A로 치환하면 A¤ -2A-24=0 (A+4)(A-6)=0 ∴ A=-4 또는 A=6 즉, x-3=-4 또는 x-3=6이므로
x=-1 또는 x=9
따라서 두 근의 합은 (-1)+9=8
3-1 x-;3!;=A로 치환하면
3A¤ =-7A+6`, 3A¤ +7A-6=0``
(A+3)(3A-2)=0
∴ A=-3 또는 A=;3@;
즉, x-;3!;=-3 또는 x-;3!;=;3@;이므로 x=-;3*; 또는 x=1
따라서 구하는 큰 근은 x=1이다.
3-2 a-b=A로 치환하면
A(A-2)-15=0, A¤ -2A-15=0 (A-5)(A+3)=0
∴ A=5 또는 A=-3 그런데 a>b이므로 A>0
∴ a-b=5
3-3 x-y=A로 치환하면
A¤ +A-20=0, (A+5)(A-4)=0
∴ A=-5 또는 A=4
그런데 x>y이므로 A>0 ∴ x-y=4
∴ x¤ +y¤ =(x-y)¤ +2xy=16+24=40
유형04
x¤ +4x-(4-2n)=0이 서로 다른 두 근을 가지므로 4¤ -4_{-(4-2n)}=32-8n>0 ∴ n<4 그런데 n은 자연수이므로 가능한 n의 값은 1, 2, 3의 3개 이다.
4-1 ① 2x¤ -x-2=0이므로
①(-1)¤ -4_2_(-2)=17>0 즉, 근이 2개이다.
② (-4)¤ -4_3_4=-32<0이므로 근이 없다.
③ 8¤ -4_2_8=0이므로 근이 1개이다.
④ 0¤ -4_(-5)=20>0이므로 근이 2개이다.
⑤ 4x¤ +2x-1=0이므로 2¤ -4_4_(-1)=20>0 즉, 근이 2개이다.
따라서 근이 없는 것은 ②이다.
4-2 4x¤ -12x+3+m=0이 중근을 가지므로 12¤ -4_4_(3+m)=96-16m=0 ∴ m=6
4-3 (x+2)(x-4)=k-1에서 x¤ -2x-7-k=0 yy`㉠
이 이차방정식이 중근을 가지므로 (-2)¤ -4(-7-k)=0 ∴ k=-8 k=-8을 ㉠에 대입하여 정리하면 (x-1)¤ =0 ∴ x=1 (중근) 따라서 a=1이므로
a+k=1+(-8)=-7
유형05
근과 계수의 관계에 의하여
m=-;3^;=-2, n= =-;3@;이므로 mn=;3$;
5-1 2(x-3)¤ =11에서 2(x¤ -6x+9)=11 2x¤ -12x+18=11 ∴ 2x¤ -12x+7=0 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=- =6, ab=;2&;이므로 a+b-2ab=6-2_;2&;=-1
5-2 근과 계수의 관계에 의하여 (두 근의 합)=m=3
(두 근의 곱)=2k-1=-7 ∴ k=-3
∴ m+k=3+(-3)=0
5-3 근과 계수의 관계에 의하여 114-122
124-23
#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지031 DK
유형06
근과 계수의 관계에 의하여 a+b=3, ab=1
∴ a¤ +b¤ -ab=(a+b)¤ -3ab
=3¤ -3=9-3=6
6-1 (x-2)¤ =-2(x-3)에서 x¤ -2x-2=0 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2, ab=-2이므로
+ = = =-1
6-2 근과 계수의 관계에 의하여 -;2P;=2+3=5이므로 p=-10
;2Q;=2_3=6이므로 q=12
∴ p-q=-10-12=-22
6-3 이차방정식의 계수가 모두 유리수이고 한 근이 -2+'5이므로 다른 한 근은 -2-'5이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 a=(-2-'5)(-2+'5)
=(-2)¤ -('5)¤ =4-5=-1 124-22 1414a+bab 14b1
14a1
7-2 x¤ +5x-3=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-5, ab=-3
따라서 x¤ 의 계수가 1이고 -5, -3을 두 근으로 갖 는 이차방정식은
(x+5)(x+3)=0 ∴ x¤ +8x+15=0
7-3 2x¤ +3x-2=0에서 (x+2)(2x-1)=0이므로 x=-2 또는 x=;2!;
이때, -2+1=-1, ;2!;+1=;2#;이므로
x¤ +ax+b=0의 근은 x=-1 또는 x=;2#;이다.
두 근이 -1, ;2#;이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은 (x+1){x-;2#;}=0 ∴ x¤ -;2!;x-;2#;=0 따라서 a=-;2!;, b=-;2#;이므로
a+b=-;2!;+{-;2#;}=-2
유형07
두 근이 -;3%;, 2이고, x¤ 의 계수가 6인 이차방정식은 6 {x+;3%;}(x-2)=0, 6{x¤ -;3!;x-:¡3º:}=0
∴ 6x¤ -2x-20=0
따라서 a=-2, b=-20이므로 a-b=-2-(-20)=18
7-1 x¤ 의 계수가 3이고 중근 -3을 갖는 이차방정식은 3(x+3)¤ =0, 3(x¤ +6x+9)=0
∴ 3x¤ +18x+27=0
따라서 a=18, b=27이므로 ;aB;=;1@8&;=;2#;
유형08
철사의 길이가 48 cm이므로 직사각형의 가로의 길이를 x cm라고 하면 직사각형의 세로의 길이는
=24-x (cm)이다.
이때, 직사각형의 넓이가 119 cm¤ 이므로 x(24-x)=119, x¤ -24x+119=0 (x-7)(x-17)=0 ∴ x=7 또는 x=17
따라서 직사각형의 가로의 길이는 7 cm 또는 17 cm이다.
8-1 연속하는 두 홀수를 x, x+2라고 하면 x¤ +(x+2)¤ =290
2x¤ +4x-286=0, x¤ +2x-143=0, (x+13)(x-11)=0 ∴ x=11 (∵ x>0) 따라서 구하는 두 홀수는 11, 13이므로 11+13=24
■ 다른 풀이 ■
연속하는 두 홀수를 2x+1, 2x-1이라고 하면 (2x+1)¤ +(2x-1)¤ =290
(4x¤ +4x+1)+(4x¤ -4x+1)=290, 8x¤ =288 x¤ =36 ∴ x=6 (∵ x>0)
따라서 구하는 두 홀수는 11, 13이므로 11+13=24 48-2x
1442122 (두 근의 합)=-k+8, (두 근의 곱)=k¤ -3k
두 근의 합과 곱이 같으므로 -k+8=k¤ -3k, k¤ -2k-8=0 (k+2)(k-4)=0 ∴ k=4`(∵ k>0)
#해(001~052)유형 2014.10.14 9:14 AM 페이지032 DK
개념BOOK 2(x¤ -2x-15)-(x¤ +3x)-14=0 x¤ -7x-44=0, (x-11)(x+4)=0
∴ x=11 (∵ x>5)
¤3x-9>6에서 3x>15 ∴ x>5
⁄, ¤에서 이차방정식과 부등식의 공통인 해는
06 (0.5x-1)(4x+2)+;4!;x¤ =2(x-1)¤ 에서 2x¤ -3x-2+;4!;x¤ =2x¤ -4x+2
;4!;x¤ +x-4=0, x¤ +4x-16=0
∴ x=-2—"√2¤ -1_(-16)=-2—2'5
07 (x+2y)¤ -2x-4y=3에서 (x+2y)¤ -2(x+2y)-3=0
x+2y=A로 치환하면 A¤ -2A-3=0 (A+1)(A-3)=0, A=-1 또는 A=3
∴ x+2y=-1 또는 x+2y=3 그런데 x>0, y>0이므로 x+2y>0
∴ x+2y=3
#해(001~052)유형 2016.10.11 12:20 PM 페이지033
(-6)¤ -4_2_(m-1)=0, 36-8m+8=0 8m=44 ∴ m=:¡2¡:
09 x¤ -2(k+1)x+k¤ +3=0이 근이 없으므로 4(k+1)¤ -4(k¤ +3)<0
4k¤ +8k+4-4k¤ -12<0 8k-8<0 ∴ k<1
따라서 k의 값으로 적당하지 않은 것은 ⑤ 1이다.
10 x¤ -4x+1-k=0이 서로 다른 두 근을 가지므로 (-4)¤ -4_1_(1-k)>0, 16-4+4k>0 12+4k>0 ∴ k>-3
따라서 가장 작은 정수 k의 값은 -2이다.
11 5x¤ -6x+k=0의 두 근을 a, b라고 하면 ab=;5K;=-2이므로 k=-10
즉, 5x¤ -6x-10=0이므로 x=
x=
따라서 A=3, B=59이므로 A+B=3+59=62
12 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=7, ab=8
∴ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
=7¤ -4_8=17
이때, a>b에서 a-b>0이므로 a-b='∂17
13 -a=;2!;+;3!;=;6%;이므로 a=-;6%;
b=;2!;_;3!;=;6!;
따라서 bx¤ +ax+1=0은
;6!;x¤ -;6%;x+1=0이므로
x¤ -5x+6=0, (x-2)(x-3)=0
∴ x=2 또는 x=3
따라서 두 근의 차는 3-2=1 3—'∂59
125314525
-(-3)—"√(-3)¤ -5_(-10) 12531451111311111325
14 (두 근의 합)= +
(두 근의 합)= = =-2
(두 근의 곱)= _ = =-1
따라서 구하는 이차방정식은 x¤ +2x-1=0이다.
15 두 근이 -3, 2이고, x¤ 의 계수가 a인 이차방정식은 a(x+3)(x-2)=0, a(x¤ +x-6)=0 ax¤ +ax-6a=0
따라서 c=6a이므로 a : c=a : 6a=1 : 6
16 x¤ 의 계수가 1이고, 해가 x=1 또는 x=8인 이차방정 식은 (x-1)(x-8)=0
즉, x¤ -9x+8=0이므로 b=8
x¤ 의 계수가 1이고, 해가 x=-1 또는 x=7인 이차방 정식은 (x+1)(x-7)=0
즉, x¤ -6x-7=0이므로 a=-6
따라서 처음 이차방정식은 x¤ -6x+8=0이므로 (x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4
17 어떤 두 수 중에서 큰 수를 x로 놓으면 작은 수는 x-2이므로 두 수의 곱은
x(x-2)=24, x¤ -2x-24=0
(x+4)(x-6)=0 ∴ x=-4 또는 x=6 따라서 구하는 두 수는 -6, -4 또는 4, 6이므로 두 수의 합은 -10 또는 10이다.
18 1부터 n까지의 합이 120이므로
=120, n¤ +n-240=0
(n+16)(n-15)=0 ∴ n=15 (∵ n>0) 따라서 1부터 15까지의 자연수를 더해야 한다.
19 물체가 지면에 떨어질 때는 높이가 0 m일 때이므로 -5x¤ +25x+30=0, x¤ -5x-6=0
(x+1)(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ x>0) 따라서 쏘아 올린 지 6초 후에 지면에 떨어진다.
20 일차함수의 그래프의 식이 y=-2x+8이므로 P(a, -2a+8)이다.
n(n+1) 125314522
1131-21 1253131
1-'2 1253131
1+'2
124-12 (1-'2 )+(1+'2 ) 125313111112
(1+'2 )(1-'2 ) 1253131
1-'2 1253131
1+'2
#해(001~052)유형 2016.10.11 12:20 PM 페이지034
개념BOOK
이때, `BOAP=8이므로 OA”_PA”=8, a(-2a+8)=8 a¤ -4a+4=0, (a-2)¤ =0
∴ a=2
따라서 점 P의 좌표는 P(2, 4)이다.
21 접은 높이를 x cm라고 하면
(16-2x)_x=30, -2x¤ +16x=30 x¤ -8x+15=0, (x-3)(x-5)=0
∴ x=3 또는 x=5
따라서 양쪽 높이를 3 cm 또는 5 cm씩 접어야 한다.
154~157쪽