01 집합

(1)

01 집합

유제 본문 7~11쪽

1 ③ 2 ② 3 ④ 4 15 5 ③ 6 6

수학Ⅱ

A={a, a+1}이므로 B={2a, 2a+1, 2a+2}

집합 B의 모든 원소의 합이 12이므로 2a+(2a+1)+(2a+2)=12, a=;2#;

따라서 A=[;2#;, ;2%;]이므로 집합 A의 모든 원소의 합은

;2#;+;2%;=4  ③

1

A=B이려면 이차부등식 xÛ`+bx+b+3É0의 해가 x=a 뿐이어야 하므로

xÛ`+bx+b+3 =(x-a)Û`=xÛ`-2ax+aÛ`

따라서 b=-2a, b+3=aÛ`

이 두 식을 연립하여 풀면 -2a+3=aÛ`, aÛ`+2a-3=0 (a+3)(a-1)=0

a=-3 또는 a=1 a>0이므로 a=1, b=-2

따라서 a+b=1+(-2)=-1  ②

2

A` ={2, 6}이므로 A=U-A` ={1, 3, 4, 5}

따라서 A-B=A-(A;B)={3, 4}

이므로 집합 A-B의 모든 원소의 합은

3+4=7  ④

3

U={1, 2, 3, y, 10}, A={1, 2, 4, 8}이고, A'B=U 이므로 집합 B는 3, 5, 6, 7, 9, 10을 모두 원소로 갖는다.

A-B+∅에서 AøB이므로 집합 B는 1, 2, 4, 8 중 어 느 것도 원소로 갖지 않거나 일부를 원소로 가질 수는 있지 만 모두를 원소로 가지면 안된다.

따라서 집합 B는 원소 3, 5, 6, 7, 9, 10을 모두 원소로 가 지면서 전체집합 U의 진부분집합이어야 하므로 그 개수는

2^10-6-1=15  15

4

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B)

=5+6-8

=3

n(U)=10, A` 'B` =(A;B)` 에서 n(A` 'B` ) =n((A;B)` )

=n(U)-n(A;B)

=10-3

=7  ③

5

조건 (나)에서

(A'B) ' B` =(A ' B` )'(B ' B` ) =(A ' B` )'∅=A;B`

이때 (A'B);B` =A이므로 A;B` =A

A ' B` =A-(A ' B)=A이므로 A ' B=∅

즉, 집합 B는 집합 A의 원소 3, 6을 모두 원소로 갖지 않는다.

또 조건 (가)에서 집합 B의 원소의 개수는 2이므로 집합 B 는 1, 2, 4, 5 중 서로 다른 두 수를 원소로 갖는다.

따라서 조건을 만족시키는 집합 B는 집합 {1, 2}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 4}, {2, 5}, {4, 5}의 6개이다.  6

6

1 ② 2 ④ 3 ② 4 7 5 8

Level

1

^{기초 연습} ^{본문 12쪽}

A ' B={4, 8}이므로

n(A;B)=2  ②

1

두 집합 A, B는 자연수 전체의 집합의 부분집합이므로 a, b는 자연수이다.

Ú a=b이고 a+2=2이면 a=0, b=0이 되어 a, b가 자 연수라는 조건을 만족시키지 않는다.

Û a=2이고 a+2=b이면 b=4 Ú, Û에서 a=2, b=4

따라서 ab=2_4=8  ④

2

(2)

전체집합 U의 모든 원소의 합은

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 조건 (가)에서 집합 A'B의 모든 원소의 합은 27+30-12=45

그러므로 집합 (A'B)` 의 모든 원소의 합은 55-45=10

조건 (나)에서

n((A'B)` )=n(U)-n(A'B)=10-6=4

전체집합 U의 원소 중 합이 10이 되는 4개의 수는 1, 2, 3, 4뿐이므로

(A'B)` ={1, 2, 3, 4}

따라서 A'B={5, 6, 7, 8, 9, 10}이고 5, 6, 7, 8, 9, 10 중에서 합이 12가 되는 수는 5, 7뿐이므로

4

X;B =(A'C) ' B

=(A;B)'(C ' B)

={2, 3}'(C ' B)

n(X;B)=3이려면 집합 C ' B는 2가 아니고 3도 아닌 원소 1개를 반드시 가져야 한다. 따라서 a, a+2 중 하나는 5 또는 7이고, 나머지 하나는 전체집합 U의 원소 중 5, 7이 아닌 원소인 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 중 하나이다.

따라서 집합 C가 될 수 있는 집합은 집합 {3, 5}, {7, 9}이 므로 모든 a의 값의 합은

3+7=10  10

3

A={1, 3, 5}, B={1, 2, 3, 6}이므로 A-B` =A ' (B` )` =A;B

={1, 3}

따라서 집합 A-B` 의 모든 원소의 합은

1+3=4  ②

3

A'B` =(A` ;B)` =(B-A)`

n(B-A)=n(A'B)-n(A)=8-5=3이므로 n(A'B` ) =n((B-A)` )=n(U)-n(B-A)

=10-3=7  7

4

xÛ`-3x+2=(x-1)(x-2)=0에서 x=1 또는 x=2

A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1, 2}이므로 A-B={3, 4, 5}

X-(A-B)=∅에서 X,(A-B) 따라서 집합 X의 개수는

2Ü`=8  8

5

1 ⑤ 2 ④ 3 10 4 54

Level

2

^{기본 연습} ^{본문 13쪽}

T =(A'B)-(A;B)

=(A'B) ' (A;B)`

={2, 5}

"#

" # 6

"#aP.

" # 6

두 집합 A'B, (A;B)` 을 벤 다이어그램에 각각 나타내 면 위와 같으므로

(A'B)'(A;B)` =U 즉, U={1, 2, 3, 4, 5, 6}

따라서 T` =U-T={1, 3, 4, 6}

이므로 집합 T` 의 모든 원소의 합은

1+3+4+6=14  ⑤

1

ㄱ. 집합 (A;B)'(A-C)를 벤 ⁶

"

# $

다이어그램으로 나타내면 오른 쪽과 같다.

ㄴ. A;(B'C)` =A-(B'C) ⁶

# $

"

이므로 이 집합을 벤 다이어그 램으로 나타내면 오른쪽과 같 다.

ㄷ. 집합 A-(C-B)를 벤 다이어 6

"

# $

그램으로 나타내면 오른쪽과 같 다.

이상에서 문제에 주어진 벤 다이어그램의 색칠된 부분을 나 타내는 집합과 항상 같은 것은 ㄱ, ㄷ이다.  ④

2

(3)

1 ⑤ 2 ③ 3 ② 4 ④

Level

3

^{실력 완성} ^{본문 14쪽}

20 이하의 자연수 x에 대하여 xÛ`+x=x(x+1)을 3으로 나눈 나머지는 다음과 같이 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

Ú x 또는 x+1이 3의 배수일 때,

즉, x=3k`(k=1, 2, 3, y, 6) 또는 x=3k-1`(k=1, 2, 3, y, 7)의 꼴일 때, xÛ`+x=x(x+1)을 3으로 나 눈 나머지는 0이다.

Û x와 x+1이 모두 3의 배수가 아닐 때,

즉, x=3k-2`(k=1, 2, 3, y, 7)의 꼴일 때, x, x+1을 3으로 나눈 나머지가 각각 1, 2이므로 xÛ`+x=x(x+1)을 3으로 나눈 나머지는 2이다.

Ú, Û에서 집합 B의 원소가 될 수 있는 수는 0 또는 2이 다.

따라서 n(B)=1인 경우는 B={0} 또는 B={2}이다.

이때 B={0}이려면 집합 A의 모든 원소가

3k`(k=1, 2, 3, y, 6) 또는 3k-1`(k=1, 2, 3, y, 7) 의 꼴이어야 하고, B={2}이려면 집합 A의 모든 원소가 3k-2`(k=1, 2, 3, y, 7)의 꼴이어야 한다.

집합 A 중에서 원소의 개수가 가장 큰 집합 X는 3k`(k=1, 2, 3, y, 6)의 꼴의 모든 자연수와

3k-1`(k=1, 2, 3, y, 7)의 꼴의 모든 자연수를 모두 원 소를 가질 때이고, 이때 B={0}이다.

따라서 n(X)=13  ③

2

72=2Ü`_3Û`이므로

n(B)=(3+1)_(2+1)=12

n(A` ' B)=n(B-A)=n(B)-n(A;B)이므로 n(A ' B)=n(B)-n(A` ;B)=12-8=4

그러므로 72의 약수 중 k의 배수인 수의 개수가 4가 되도록 하는 k의 값을 구하면 된다.

이때 k는 72의 약수이므로

k=2^m_3ⁿ`(m=0, 1, 2, 3, n=0, 1, 2) 라 하면

3

A;B={5, 7}

이고, 두 집합 A-B, B-A의 모든 원소의 합이 각각 27-12=15, 30-12=18이 되려면

A-B={6, 9}, B-A={8, 10}

따라서 집합 A-B의 모든 원소의 곱은

6_9=54  54

두 집합 A-B, B-A의 모든 원소의 합이 각각 27-12=15, 30-12=18이다.

세 집합 A-B, B-A, A;B의 모든 원소의 합이 모두 10보다 크고, n(A'B)=6이므로

n(A-B)=n(B-A)=n(A;B)=2

세 집합 A-B, B-A, A;B의 모든 원소의 합이 각각 15, 18, 12를 만족하는 경우는

A-B={6, 9}, B-A={8, 10}, A;B={5, 7}

이므로 집합 A-B의 모든 원소의 곱은 6_9=54

전체집합을 U라 하면 n(U)=20

파란색 공의 집합은 A` , 짝수가 적혀 있는 공의 집합은 B`

이므로

n(A` )=7, n(A` ;B` )=3 ㄱ. A'B=(A` ;B` )` 이므로

n(A'B) =n(U)-n(A` ;B` )

=20-3=17 (거짓)

ㄴ. n(A)=n(U)-n(A` )=20-7=13이므로 n(A)=n(B)이면 n(B)=13

홀수가 적혀 있는 파란색 공의 개수는 7-3=4이므로 n(B-A)=4

이때 n(B-A)=n(B)-n(A;B)이므로 4=13-n(A;B), 즉 n(A ' B)=9 (참) ㄷ. n(A;B)=x로 놓으면

n(B)=n(A ' B)+n(B-A)=x+4 n(B` )=n(U)-n(B)=20-(x+4)=16-x n(B)¾n(B` )이려면 x+4¾16-x, x¾6 또 n(A;B)Én(A)이므로 xÉ13

1

따라서 6Én(A;B)É13이므로 n(A ' B)의 최솟 값과 최댓값의 합은 6+13=19 (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.  ⑤

구분 파란색(A` ) 빨간색(A)

홀수(B) 4 x

짝수(B` ) 3 13-x

계 7 13

(4)

02 명제

1 ④ 2 ③ 3 ⑤ 4 ④ 5 ② 6 ④

4<P;Q` 이므로 x=4는 조건 p를 만족시키지만 조건 q 를 만족시키지 않는다.

x=4는 조건 p를 만족시키므로 -3<4<k-1, 즉 k>5

x=4는 조건 q를 만족시키지 않으므로

|2_4-2|¾k, 즉 kÉ6

따라서 5<kÉ6인 자연수 k의 값은 6이다.  ④

1

세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하면 P={(x, y)|y¾xÛ`, x, y는 실수}

Q={(x, y)|yÉx-1, x, y는 실수}

R={(x, y)|xÛ`+yÛ`É1, x, y는 실수}

이다. 이때 세 조건의 진리집합

Y Z ZY

ZY

0

1

2

3 이 나타내는 영역을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

① PøQ이므로 명제 p 2Ú q 는 거짓이다.

② QøP이므로 명제 q 2Ú p는 거짓이다.

③ P,Q` 이므로 명제 p 2Ú ~q는 참이다.

④ PøR이므로 명제 p 2Ú r는 거짓이다.

⑤ R` øQ이므로 명제 ~r 2Ú q는 거짓이다.  ③

2

ㄱ. 명제 p 2Ú q가 참이더라도 이 명제의 역 q 2Ú p는 참 이 아닐 수 있다. [반례] p`:`x¾2, q`:`x¾0

ㄴ. 명제 r 2Ú ~q가 참이므로 이 명제의 대우 q 2Ú ~r도 참이다.

ㄷ. 두 명제 p 2Ú q, q 2Ú ~r가 참이면 명제 p 2Ú ~r가 참이고, 이 명제의 대우 r 2Ú ~p도 참이다.

이상에서 항상 참인 명제는 ㄴ, ㄷ이다.  ⑤

3

f(x)=xÛ`+2x-k+8로 놓으면 f(x)=(x+1)Û`+7-k

4

X'A` =X ' B에서

X,(X'A` )이고 (X;B),X이므로 X'A` =X ' B=X

X'A` =X에서 A` ,X, X;B=X에서 X,B 이므로 A` ,X,B

# 9

"a 6 이때 B-A=B;A` =A` 이고

n(B-A)=1이므로 n(A` )=1

X={1, 3, 5, 7}이고 A` ,X이므

로 집합 A` 은 집합 {1} 또는 {3} 또는 {5} 또는 {7}이다.

집합 A` 의 개수가 4이므로 집합 A의 개수는 4이다.

이때 두 집합 A, B의 순서쌍 (A, B)의 개수가 128이므로 집합 B의 개수를 m이라 하면

4_m=128에서 m=32

한편, X,B에서 집합 B는 집합 X의 원소 1, 3, 5, 7을 모두 원소로 가지므로 이러한 집합 B의 개수 m=2^n(U)-4 이다.

따라서 2^n(U)-4=32에서

n(U)-4=5, 즉 n(U)=9  ④

4

72 =2Ü`_3Û`=(2^m_3ⁿ)_(2^3-m_3^2-n)

이때 72의 약수 중 k의 배수인 수의 개수는 2^3-m_3^2-n의 약수의 개수와 같으므로

{(3-m)+1}_{(2-n)+1}=4 (4-m)(3-n)=4

Ú 4-m=4이고 3-n=1일 때, m=0이고 n=2이므로 k=3Û`=9

Û 4-m=2이고 3-n=2일 때, m=2이고 n=1이므로 k=2Û`_3=12

Ú, Û에서 모든 k의 값의 합은

9+12=21  ②

(5)

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={a}이 고, p가 q이기 위한 충분조건이 되려면 P,Q이어야 하므 로 a<Q이다.

따라서 aÛ`+aÛ`-8=0, 즉 aÛ`=4

a>0이므로 a=2  ②

5

¾¨ x+k2 >0, 'x+2

2 >0이므로 모든 양수 x에 대하여 부등식 ¾¨ x+k2 ¾'x+2

2 가 성립할 필요충분조건은 {¾¨ x+k2 }Û`-{ 'x+22 }Û`¾0

이다.

{¾¨ x+k2 }Û`-{ 'x+22 }Û`= x+k2 -x+4'x+4 4

=x-4'x+2k-4 4

={('x)Û`-4'x+4}+2k-8 4

=('x-2)Û`+2k-8

4 ¾0

이때 ('x-2)Û`+2k-8

4 은 'x=2, 즉 x=4일 때 최솟값 2k-84 을 가지므로 모든 양수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립하려면

2k-84 ¾0, 즉 k¾4

따라서 양수 k의 최솟값은 4이다.  ④

6

1 ① 2 ④ 3 ⑤ 4 ③ 5 ⑤

Level

1

^{기초 연습} ^{본문 22쪽}

조건 p에 대하여 ~p`:`x¾-3이고 xÉ2 즉, ~p`:`-3ÉxÉ2

따라서 조건 ~p의 진리집합이 {-3, -2, -1, 0, 1, 2}이 므로 모든 원소의 합은

1

모든 실수 x에 대하여 xÛ`¾0이므로 xÛ`=5-a를 만족시키 는 실수 x가 적어도 하나 존재하려면

xÛ`=5-a¾0, aÉ5

따라서 실수 a의 최댓값은 5이다.  ④

2

세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하면 P={3}, Q={-3, 3}, R={x|0ÉxÉ3}

① QøP이므로 명제 p 2Ú q의 역 q 2Ú p는 거짓이다.

② RøP이므로 명제 p 2Ú r의 역 r 2Ú p는 거짓이다.

③ R` øQ이므로 명제 q 2Ú ~r의 역 ~r 2Ú q는 거짓이다.

④ QøR` 이므로 명제 ~r 2Ú q의 역 q 2Ú ~r는 거짓이다.

⑤ Q` ,P` 이므로 명제 ~p 2Ú ~q의 역 ~q 2Ú ~p는 참

이다.  ⑤

3

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하자.

p가 q이기 위한 필요조건이 되려면 Q,P이어야 한다.

따라서 a<4이므로 자연수 a의 최댓값은 3이다.  ③

4

xÛ`+axy+yÛ`¾0에서 {x+;2A;y}Û`+{1- aÛ`4 }yÛ`¾0 yy`㉠

x=-;2A;y일 때도 부등식 ㉠이 성립해야 하므로

{1- aÛ`4 }yÛ`¾0 yy`㉡

모든 실수 y에 대하여 부등식 ㉡이 성립하려면 1- aÛ`4¾0, aÛ`-4É0, (a+2)(a-2)É0 -2ÉaÉ2

따라서 정수 a는 -2, -1, 0, 1, 2이므로 그 개수는 5이다.

 ⑤

5

그러므로 x>0일 때, f(x)>f(0)이다.

따라서 주어진 명제가 참이 되려면 f(0)=-k+8¾0, 즉 kÉ8

이므로 자연수 k의 개수는 8이다.  ④

1 ④ 2 ③ 3 ④ 4 ③

Level

2

^{기본 연습} ^{본문 23쪽}

세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하자.

P={x|xÉ-1}

xÛ`>0에서 x+0이므로 Q={x|x<0 또는 x>0}

|x|<2에서 -2<x<2이므로 R={x|-2<x<2}

1

-3+(-2)+(-1)+0+1+2=-3  ①

(6)

두 조건 p`:`kÉxÉkÛ`+1, q`:`0<x<7의 진리집합을 각 각 P, Q라 할 때, 주어진 명제가 참이 되려면

P;Q+∅이어야 한다.

Ú kÉ0일 때,

kÛ`+1¾1이므로 항상 P;Q+∅을 만족시킨다.

L L  Y 1 2

L L Y 12

그러므로 kÉ0

4

1 ③ 2 ⑤ 3 ⑤ 4 7

Level

3

^{실력 완성} ^{본문 24쪽}

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 조건 ‘~p 또 는 q’의 진리집합은 P` 'Q이다.

조건 p가 조건 ‘~p 또는 q’이기 위한 충분조건이 되려면 P,(P` 'Q)이어야 한다.

이때 P;P` =∅이므로 조건을 만족시키려면 P,Q이어 야 한다.

P={1, 2, 3, 6}이고 자연수 k는 1, 2, 3, 6과 각각 서로소 이어야 하므로, k는 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 수 이다.

두 자리의 자연수의 개수는 90이다. 두 자리의 자연수 중 2 의 배수, 3의 배수, 6의 배수인 수의 개수는 각각 45, 30, 15이므로 2의 배수 또는 3의 배수인 수의 개수는

45+30-15=60

따라서 두 자리의 자연수 k의 개수는 90-60=30  ③

1

부등식 xÛ`-7x+6<0에서 (x-1)(x-6)<0, 1<x<6

그러므로 (가)의 명제가 참이려면 집합 X는 집합 {2, 3, 4, 5}의 부분집합이어야 한다.

부등식 xÛ`-4x¾0에서 x(x-4)¾0, xÉ0 또는 x¾4

그러므로 (나)의 명제가 참이려면 집합 X의 원소 중 적어도 하나는 0 이하의 정수이거나 4 이상의 정수이어야 한다.

따라서 집합 X가 될 수 있는 집합은 집합 {2, 3, 4, 5}의 부분집합 중 원소의 개수가 2이면서 4 또는 5를 원소로 갖 는 집합이므로 집합 {2, 4}, {3, 4}, {2, 5}, {3, 5}, {4, 5}

의 5개이다.  ⑤

2

p`:`xÛ`-2x>0에서 ~p`:`xÛ`-2xÉ0

x(x-2)É0에서 0ÉxÉ2이고 x는 자연수이므로 x=1 또는 x=2

~p가 q이기 위한 필요충분조건이 되려면 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 두 근은 x=1과 x=2이어야 한다.

따라서 근과 계수의 관계에 의하여 -a=1+2에서 a=-3 b=1_2=2

이므로 ab=-6  ③

2

ㄱ. P;Q=P에서 P,Q이므로 q는 p이기 위한 필요조건 이다. (참)

ㄴ. Q` 'R=Q` 에서 R,Q` , 즉 Q,R` 이므로 q는 ~r이 기 위한 충분조건이다. (거짓)

ㄷ. ㄱ, ㄴ에서 p jjK q, q jjK ~r이므로 p jjK ~r 명제가 참이면 그 대우도 참이므로 r jjK ~p 그러므로 r는 ~p이기 위한 충분조건이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.  ④

2

1 3

6

3

① QøP이므로 명제 q 2Ú p는 거짓이다.

② PøR이므로 명제 p 2Ú r는 거짓이다.

③ Q` ={0}이고 Q` øP이므로 명제 ~q 2Ú p는 거짓이 다.

④ R` ={x|xÉ-2 또는 x¾2}이고 R` ,Q이므로 명제

~r 2Ú q는 참이다.

⑤ R` øP이므로 명제 ~r 2Ú p는 거짓이다.  ④

Û k>0일 때,

P;Q+∅이려면 k<7이어야 한다.

L L  Y

12

L L Y

2 1

그러므로 0<k<7

Ú, Û에서 k<7  ③

(7)

P(x, xÛ`+x+4), H(x, 0)`(x¾0)이라 하면 A(-1, 0) 이므로

PHÓ

AHÓ= xÛ`+x+4x+1 =

x(x+1)+4 x+1

=x+ 4

x+1 =x+1+ 4 x+1 -1

x+1>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 x+1+ 4

x+1¾2¾¨(x+1)_ 4x+1 =4 따라서 PHÓ

AHÓ=x+1+ 4

x+1 -1¾4-1=3 여기서 등호는 x+1= 4

x+1 , (x+1)Û`=4, 즉 x=1일 때 성립한다.

따라서 mÉ3이므로 실수 m의 최댓값은 3이다.  ⑤

PHÓ

AHÓ 는 두 점 A, P를 지나는 직선의 기울기이다.

PHÓ

AHÓ=a라 하면 a>0이고, 직선 AP가 함수 y=f(x)의 그 래프에 접할 때의 a의 값이 최소이다.

직선 AP의 방정식은 y=a(x+1)이고, 직선 AP가 이차 함수 y=xÛ`+x+4의 그래프에 접할 때의 a의 값을 구하면 xÛ`+x+4=a(x+1)

xÛ`+(1-a)x+4-a=0

Y Z

0 1

)

"

ZG Y

ZB Y 이 이차방정식의 판별식을 D

라 하면

D=(1-a)Û`-4(4-a)=0 aÛ`+2a-15=0

(a+5)(a-3)=0 a>0이므로 a=3 그러므로 PHÓ

AHÓ¾3

따라서 mÉ3이므로 실수 m 의 최댓값은 3이다.

3

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하자.

명제 p 2Ú q가 참이 되려면 P,Q이어야 한다. yy`㉠

조건 p에서 f(x)=xÜ`-(a-3)xÛ`+ax-4로 놓으면 f(1)=0이므로 인수정리에 의하여

(x-1){xÛ`-(a-4)x+4}=0 x=1 또는 xÛ`-(a-4)x+4=0 이므로 1<P이다.

4

이때 ㉠에서 1<Q이므로 b=|2_1-3|=1 따라서 조건 q에서

|2x-3|=1

2x-3=1 또는 2x-3=-1 x=2 또는 x=1

이므로 Q={1, 2}이다.

그러므로 ㉠을 만족시키려면 이차방정식 xÛ`-(a-4)x+4=0 yy`㉡

의 실근의 집합은 집합 {1, 2}의 부분집합이어야 한다.

Ú ㉡이 x=1과 x=2를 근으로 가질 때,

근과 계수의 관계에 의하여 4+1_2이므로 이러한 경 우는 없다.

Û ㉡이 x=1을 중근으로 가질 때,

근과 계수의 관계에 의하여 4+1_1이므로 이러한 경 우는 없다.

Ü ㉡이 x=2를 중근으로 가질 때,

근과 계수의 관계에 의하여 a-4=2+2, 4=2_2이므 로 a=8

Ý ㉡이 실근을 가지지 않을 때,

㉡의 판별식을 D라 하면

D=(a-4)Û`-16=aÛ`-8a=a(a-8)<0 0<a<8

Ú ~ Ý에서 0<aÉ8

따라서 정수 a의 최댓값 M=8, 최솟값 m=1이므로

M-m=8-1=7  7

(8)

f(4)=g(1)+h(1)에서 4=1+h(1), h(1)=3

함수 h가 상수함수이고, h(1)=3이므로 h(x)=3 따라서

( f½h)(4)+g(2) =f(h(4))+g(2)

=f(3)+2=1+2=3  ①

( f ÑÚ`½g)(-1)=3에서 f ÑÚ`(g(-1))=3 g(-1)=(-1)Ü`=-1이므로 f ÑÚ`(-1)=3 따라서 f(3)=-1이므로

f(3)=6+a=-1

a=-7  ④

5

1 ① 2 ① 3 12 4 ③ 5 ⑤

Level

1

^{기초 연습} ^{본문 32쪽}

f(3)=1, f(1)=2이므로 ( f½f)(3)=f( f(3))=f(1)=2

따라서 f(3)+( f½f)(3)=1+2=3  ①

1

함수 f 의 역함수가 존재하므로 f 는 일대일 대응이다.

치역이 X이므로 f(5)-f(3)=4이려면 f(5)=5, f(3)=1 yy`㉠

( f ÑÚ`½f ÑÚ`)(3)=2에서

( f½f) ÑÚ`(3)=2, ( f½f)(2)=3, f( f(2))=3 f(2)=a라 하면 f(a)=3이다. yy`㉡

f 는 일대일 대응이므로 ㉠에서 f(2)+5, f(2)+1이다.

즉, a+5, a+1

한편 f(2)=2이면 ㉡에서 f(2)=3이 되어 f 가 함수라는 조건에 모순이므로

a+2

f(2)=3이면 ㉡에서 f(3)=3이 되어 ㉠에 모순이므로 a+3

그러므로 f(2)=4, 즉 a=4이고, ㉡에서 f(4)=3 이상에서 f(2)=4, f(3)=1, f(4)=3, f(5)=5이므로

f(1)=2  ②

6

03 함수

1 ③ 2 ② 3 ⑤ 4 ① 5 ④ 6 ②

함수 f(x)=x+b에서 -1ÉxÉa이면

-1+bÉx+bÉa+b, 즉 -1+bÉf(x)Éa+b 치역이 {y|2ÉyÉ5}이므로

-1+b=2, a+b=5 b=3, a=2

따라서 ab=6  ③

1

두 함수 f, g가 서로 같으려면 f(0)=g(0), f(2)=g(2) 이어야 한다.

f(0)=g(0)에서 1=aÛ`

a=-1 또는 a=1 yy`㉠

f(2)=g(2)에서 4a+1=-4+aÛ`

aÛ`-4a-5=0, (a+1)(a-5)=0 a=-1 또는 a=5 yy`㉡

따라서 ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 a의 값은 a=-1  ②

2

(h½f)(x)=g(x)에서 h( f(x))=g(x) h(-3x+5)=4x+2 h(-1)의 값은

-3x+5=-1, 즉 x=2 일 때이므로

h(-1)=4_2+2=10  ⑤

h(-3x+5)=4x+2에서 -3x+5=t로 놓으면 x= 5-t3 이므로

h(t)=4_ 5-t3 +2=-;3$;t+26 3 따라서 h(x)=-;3$;x+ 263

3

함수 g가 항등함수이므로 g(x)=x f(4)=4, g(1)=1이므로

4

(9)

두 함수 f, g가 서로 같으려면 f(2)=g(2), f(a)=g(a) 이어야 한다.

f(2)=g(2)에서 4=2+b, b=2 f(a)=g(a)에서 aÛ`=a+2 aÛ`-a-2=0, (a+1)(a-2)=0 a+2이므로 a=-1

따라서 a+b=-1+2=1  ①

2

함수 g가 항등함수이므로 g(2)=2, g(4)=4, g(6)=6 f(2)=g(2)=h(2)이고 g(2)=2이므로

f(2)=2, h(2)=2

함수 h가 상수함수이고 h(2)=2이므로 h(4)=2, h(6)=2

그러므로 f(4)=g(4)+h(4)=4+2=6

함수 f 가 일대일 대응이고 f(2)=2, f(4)=6이므로 f(6)=4

따라서 f(6)+g(6)+h(6)=4+6+2=12  12

3

f(-1)=-a+b=5 yy`㉠

f ÑÚ`(1)=3에서 f(3)=1 f(3)=3a+b=1 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=4

따라서 a+b=-1+4=3  ③

4

( f½g) ÑÚ`=g ÑÚ`½f ÑÚ`이고, g½g ÑÚ`는 항등함수이므로 g½( f½g) ÑÚ`½g=g½g ÑÚ`½f ÑÚ`½g=f ÑÚ`½g 그러므로

(g½( f½g) ÑÚ`½g)(2) =(f ÑÚ`½g)(2)

=f ÑÚ`(g(2))=f ÑÚ`(8) f ÑÚ`(8)=k로 놓으면 f(k)=8이므로 3k-1=8, k=3

따라서 (g½( f½g) ÑÚ`½g)(2)=3  ⑤

5

1 ④ 2 ② 3 ⑤ 4 ⑤ 5 ④

Level

2

^{기본 연습} ^{본문 33쪽}

함수 f½g가 상수함수가 되려면 함수 g가 상수함수이거나 함수 g의 치역이 {1, 3}이어야 한다.

Ú 함수 g가 상수함수일 때,

g(x)=1 또는 g(x)=2 또는 g(x)=3의 3개이다.

Û 함수 g의 치역이 {1, 3}일 때, 함수 g는 다음 표와 같이 6개이다.

g(1) g(2) g(3)

1 1 3

1 3 1

3 1 1

1 3 3

3 1 3

3 3 1

Ú, Û에서 구하는 함수 g의 개수는 9이다.  ④

함수 g의 개수는

Ú 함수 g의 치역이 {2}일 때：1

Û 함수 g의 치역이 집합 {1, 3}의 공집합이 아닌 부분집합 일 때：2Ü`=8

Ú, Û에서 구하는 함수 g의 개수는 9이다.

1

(g ÑÚ`½( f½g))(2) =((g ÑÚ`½f)½g)(2)

=(g ÑÚ`½f)(g(2))=(g ÑÚ`½f)(3)

=( f ÑÚ`½g) ÑÚ`(3)

( f ÑÚ`½g) ÑÚ`(3)=a로 놓으면 ( f ÑÚ`½g)(a)=3이므로 4a+11=3, a=-2

따라서 (g ÑÚ`½( f½g))(2)=( f ÑÚ`½g) ÑÚ`(3)=-2  ②

2

방정식 f(x)=0의 두 근이 x=-1 또는 x=3이므로 방정 식 ( f½f)(x)=f( f(x))=0에서

f(x)=-1 또는 f(x)=3 yy`㉠

방정식 ( f½f)(x)=0을 만족시키는 서로 다른 실수 x의 개수가 3이고, f(x)=3을 만족시키는 서로 다른 실수 x의 개수가 2이므로 f(x)=-1을 만족시키는 서로 다른 실수 x의 개수는 1이어야 한다.

Y Z

Z

ZG Y

0

3

(10)

함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래

ZG Y B Y

Z

0

  ZG Y ZY 프는 함수 y=f(x)의 그

래프와 직선 y=x에 대하 여 대칭이므로 오른쪽 그 림과 같이 점 (5, 0), (2, 1), (1, 4), (0, 5) 를 지난다.

이때 두 함수 y=f(x), y=f ÑÚ`(x)의 그래프는 세 점에서 만난다. 이 세 교점 중 x좌표가 0, 5가 아닌 점의 x좌표를 a 라 하면

f(0)-f ÑÚ`(0)=0, f(1)-f ÑÚ`(1)=-2, f(a)-f ÑÚ`(a)=0, f(5)-f ÑÚ`(5)=0

0Éx<1, 1Éx<2, 2Éx<4, 4ÉxÉ5에서 함수 f(x), f ÑÚ`(x)는 각각 일차함수이다.

0Éx<1, 1Éx<2, 4ÉxÉ5에서 두 직선 y=f(x), y=f ÑÚ`(x)의 기울기가 다르므로 함수 f(x)-f ÑÚ`(x)는 각 범위에서 일차함수이다. 2Éx<4에서 두 직선 y=f(x), y=f ÑÚ`(x)의 기울기가 같으므로 함수 f(x)-f ÑÚ`(x)는 이 범위에서 상수함수이고, 1<f(2)<2, f ÑÚ`(2)=1이므로 0<f(2)-f ÑÚ`(2)<1이다.

따라서 함수

B Y Z

0

 

y=f(x)-f ÑÚ`(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 f(x)-f ÑÚ`(x)의 값 중 정수인 것은 0, -1, -2이고 이때의 x의 개수는

각각 3, 2, 1이므로 구하는 실수 x의 개수는 3+2+1=6이

다.  ④

-2x (0Éx<1)

f(x)-f ÑÚ`(x)=

8x-14

3 (1Éx<2)

;3@; (2Éx<4) -2x+10

3 (4ÉxÉ5) (

| {

| 9

5

1 ③ 2 21 3 ②

Level

3

^{실력 완성} ^{본문 34쪽}

이차함수 y=f(x)의 그래프가 직선 x=1에 대하여 대칭이 고 직선 y=-1과 접하므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, -1)이다.

f(x)=a(x-1)Û`-1`(a>0)으로 놓으면 f(-1)=0이므로 4a-1=0, a=;4!;

즉, f(x)=;4!;(x-1)Û`-1이다.

㉠에서

f(x)=-1일 때, x=1

f(x)=3일 때, ;4!;(x-1)Û`-1=3 xÛ`-2x-15=0, (x+3)(x-5)=0 x=-3 또는 x=5

따라서 방정식 ( f½f)(x)=0을 만족시키는 서로 다른 세 실근은 1, -3, 5이므로 그 곱은

1_(-3)_5=-15  ⑤

정의역이 {x|x<0}인 함수 y=-x의 치역은 {y|y>0}

이므로 이 함수의 역함수는

x=-y에서 x와 y를 바꾸면 y=-x (x>0)

정의역이 {x|x¾0}인 함수 y=-;2!;x의 치역은 {y|yÉ0}

이므로 이 함수의 역함수는

x=-2y에서 x와 y를 바꾸면 y=-2x (xÉ0) 그러므로 함수 f(x)의 역함

Y Z

0

ZY

ZG Y ZG Y 수 f ÑÚ`(x)는

f ÑÚ`(x)=[ -2x (xÉ0) -x (x>0) 방정식 f(x)_f ÑÚ`(x)=8에 서

Ú x<0일 때,

f(x)_f ÑÚ`(x)=(-x)_(-2x)=2xÛ`=8 xÛ`=4이고 x<0이므로 x=-2

Û x=0일 때,

f(x)_f ÑÚ`(x)=0_0=0이므로 조건을 만족시키지 않 는다.

Ü x>0일 때,

f(x)_f ÑÚ`(x)={-;2!;x}_(-x)=;2!;xÛ`=8 xÛ`=16이고 x>0이므로 x=4

Ú, Û, Ü에서 x=-2 또는 x=4

따라서 방정식 f(x)_f ÑÚ`(x)=8의 서로 다른 모든 실근의

합은 -2+4=2  ⑤

4

(11)

함수 y=f(x)의 그래프는 오

Y

Z ZG Y

0

Å

른쪽 그림과 같고, xÉ-1 또는 x¾;2!;일 때, f(x)¾0이다.

그러므로 모든 실수 x에 대하 여 ( f½g)(x)¾0, 즉

f(g(x))¾0이 되려면 모든 실수 x에 대하여 g(x)É-1 또는 g(x)¾;2!;이어야 한다.

그런데 g(0)=-2이므로 모든 실수 x에 대하여 g(x)¾;2!;

이 되도록 하는 정수 a는 존재하지 않는다.

따라서 모든 실수 x에 대하여 g(x)É-1이 되도록 하는 정수 a를 구하면 된다.

Ú a=0일 때,

g(x)=-2É-1이므로 조건을 만족시킨다.

Û a+0일 때,

모든 실수 x에 대하여 g(x)É-1이려면 axÛ`+ax-2É-1, 즉 axÛ`+ax-1É0

이므로 a<0이고, 이차방정식 axÛ`+ax-1=0의 판별 식을 D라 하면 DÉ0이어야 한다.

D=aÛ`+4aÉ0, a(a+4)É0 -4ÉaÉ0

따라서 -4Éa<0이므로 조건을 만족시키는 정수 a는 -4, -3, -2, -1이다.

Ú, Û에서 조건을 만족시키는 정수 a는 -4, -3, -2,

-1, 0이므로 그 개수는 5이다.  ③

1

방정식 f(x)+( f½f)(x)=5에서 f( f(x))=5-f(x)

f(x)=t로 놓으면

f(t)=5-t _ZG U

ZU

Um U U

Z

0

[그림 1]

이고, 이 방정식의 실근 은 두 함수 y=f(t), y=5-t의 그래프의 교 점의 t좌표와 같다.

두 함수 y=f(t), y=5-t의 그래프의 교 점은 [그림 1]과 같이 4 개이다.

이 네 교점의 t좌표를 tÁ, tª, 3, 5`(0<tÁ<1, 1<tª<2)라 하자.

2

Ú t=tÁ 또는 t=tª일 때, [그림 2]에서

ZG Y

ZU

ZUm

Y Bm

Bs Bf Be

B Bg Z

0

Bi Bh [그림 2]

f(x)=tÁ을 만족시 키는 실수 x의 개수 는 4이다. 이 x의 값 을 작은 수부터 차례 로 aÁ, aª, a£, a¢라 하자.

0ÉxÉ2에서 함수 y=f(x)의 그래프 는 직선 x=1에 대 하여 대칭이므로

aÁ+aª

2 =1, 즉 aÁ+aª=2

2ÉxÉ5에서 함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=;2&;에 대하여 대칭이므로

a£+a¢

2 =;2&;, 즉 a£+a¢=7

같은 방법으로 f(x)=tª를 만족시키는 실수 x의 개수 는 4이고 이 x의 값을 작은 수부터 차례로 a°, a¤, a¦, a¥

이라 하면

a°+a¤=2, a¦+a¥=7 Û t=3일 때,

[그림 3]에서

ZG Y Z

Z

B~ B Y Z

0

[그림 3]

f(x)=3을 만족시키

는 실수 x의 개수는 2 이다. 이 x의 값을 작 은 수부터 차례로 a», aÁ¼이라 하자.

0ÉxÉ2에서 함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=1에 대하여 대칭이므로

a»+aÁ¼

2 =1, 즉 a»+aÁ¼=2 Ü t=5일 때,

[그림 3]에서 f(x)=5를 만족시키는 실수 x는 x=1이다.

Ú, Û, Ü에서 방정식 f(x)+( f½f)(x)=5의 실근은 aÁ, aª, y, aÁ¼, 1이고 이들의 합은

(aÁ+aª)+(a£+a¢)+(a°+a¤)

+(a¦+a¥)+(a»+aÁ¼)+1

=2+7+2+7+2+1

=21  21

(12)

유리함수와 무리함수

04

1 3 2 ④ 3 ② 4 ④ 5 ④ 6 ③

함수 y= kÛ`-3k+4x 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 곡선은 함수 y=- kÛ`-3k+4x 의 그래프이다.

이 함수의 그래프가 함수 y=-;[@;의 그래프와 일치하려면 kÛ`-3k+4=2, kÛ`-3k+2=0

(k-1)(k-2)=0, k=1 또는 k=2

따라서 조건을 만족시키는 모든 실수 k의 값의 합은

1+2=3  3

1

함수 y= 4x-11x-3 에서

xy-3y=4x-11, (y-4)x=3y-11 x= 3y-11y-4

이 식에서 x와 y를 서로 바꾸면 y= 3x-11x-4

즉, 함수 y= 4x-11x-3 의 역함수는 y=3x-11 x-4 이다.

이때 3x-11 x-4 =

3(x-4)+1

x-4 = 1x-4 +3이므로

3

두 함수 y=;[#;, y=-;[#;의 그래프와 두 직선 x=1, y=1 은 오른쪽 그림과 같고, 네 점 A, B, C, D의 좌표는 각각 (1, 3), (3, 1), (1, -3), (-3, 1)이다.

사각형 ADCB의 두 대각선의

교점을 E, 사각형 ADCB의 넓이를 S라 하면 ACÓ⊥DBÓ이 므로

S=;2!;_DBÓ_AEÓ+;2!;_DBÓ_ECÓ

=;2!;_6_2+;2!;_6_4=18  ④

2

Z:Ä

Y Z

Y

Z

0

"

#

$&

%

점 A의 좌표를 (a, a)라 하자.

일차함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점이 A이므 로 함수 y=f(x)의 역함수인 y=g(x)의 그래프도 점 A를 지난다.

직선 y=g(x-3)+3은 직선 y=g(x)를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 직선이다. 이때 직선 y=g(x) 위의 점 A(a, a)를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동시키면 점 (a+3, a+3)은 직선 y=g(x-3)+3 위의 점이면서 직선 y=x 위의 점이 다.

그러므로 점 B의 좌표는 (a+3, a+3)이다.

두 점 A(a, a), B(a+3, a+3)에서 ABÓ="Ã3Û`+3Û`=3'2

두 직선 y=f(x), y=x가 이루는 예각의 크기가 30ù이므 로 두 직선 y=g(x), y=x가 이루는 예각의 크기도 30ù이 다.

또 두 직선 y=g(x), y=g(x-3)+3이 서로 평행하므로 두 직선 y=g(x-3)+3, y=x가 이루는 예각의 크기도 30ù이다.

그러므로 삼각형 APB는 ∠BAP=∠ABP=30ù, ABÓ=3'2인 이등변삼각형이다.

ZG Y ZH Y

ZY ZH Y

Y Z

0

"

#

1 )

점 P에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면 PHÓ=AHÓ_tan`30ù=3'2

2 _'3 3 ='6

2 따라서 구하는 삼각형 APB의 넓이는

;2!;_ABÓ_PHÓ=;2!;_3'2_ '6 2 =

3'3

2  ②

3

(13)

함수 y= axx+b 의 그래프의 두 점근선이 x=-2, y=c이 므로 함수 y= axx+b 의 그래프는 점 (-2, c)에 대하여 대 칭이다.

이때 함수 y= axx+b 의 그래프가 직선 y=x+3에 대하여 대칭이므로 직선 y=x+3은 점 (-2, c)를 지난다.

즉, c=-2+3=1

따라서 함수 y= axx+b 의 그래프의 두 점근선은 x=-2, y=1 yy`㉠

한편 함수 y= axx+b 에서 x+b =ax

a(x+b)-ab

x+b = -abx+b +a

이므로 함수 y= axx+b 의 그래프의 두 점근선은 x=-b, y=a yy`㉡

㉠, ㉡에서 a=1, b=2

따라서 a+b+c=1+2+1=4  ④

4

f(x)=5-'Ä3x-6=-"Ã3(x-2)+5 이므로 함수 f(x)의 정의역은 {x|x¾2}, 치역은 {y|yÉ5}이다.

즉, a=2, b=5

g(x)=3-'Ä6-x=-"Ã-(x-6)+3이므로 함수 y=g(x)의 그래프는 함수

Y Z

ZH Y

0

 

y=-'¶-x의 그래프를

x축의 방향으로 6만큼, y축의 방향으로 3만큼 평 행이동한 것이므로 오른쪽

5

y='Ä4-2x+2="Ã-2(x-2)+2

이므로 함수 y='Ä4-2x+2는 정의역 {x|xÉ2}에서 공역 {y|y¾2}로의 일대일 대응이다.

따라서 역함수가 존재한다.

함수 y='Ä4-2x+2를 x에 대하여 풀면 'Ä4-2x=y-2, 4-2x=(y-2)Û` (y¾2) x=-;2!;(y-2)Û`+2 (y¾2)

x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=-;2!;(x-2)Û`+2=-;2!;xÛ`+2x (x¾2) Ú 함수 y=-;2!;xÛ`+2x`(x¾2)의 그래프와 직선

y=-2x+k가 접하면 오직 한 점에서 만난다.

이때 이차방정식 -;2!;xÛ`+2x=-2x+k, 즉 xÛ`-8x+2k=0은 중근을 갖는다.

이차방정식 xÛ`-8x+2k=0의 판별식을 D라 하면 D4 =(-4)Û`-1_2k=0, k=8

Û 직선 y=-2x+k가 함수 y=-;2!;xÛ`+2x의 그래프의 꼭짓점 (2, 2)를 지나면

2=-2_2+k, k=6

k<6일 때, 함수 y=-;2!;xÛ`+2x`(x¾2)의 그래프와 직선 y=-2x+k는 오직 한 점에서 만난다.

Y Z

ZY

ZÅY Y Yy

ZY

0 

Ú, Û에서 구하는 k의 값의 범위는 k<6 또는 k=8

따라서 조건을 만족시키는 자연수 k는 1, 2, 3, 4, 5, 8이

고, 그 개수는 6이다.  ③

6

함수 y= 3x-11x-4 의 그래프의 두 점근선은 x=4, y=3 yy`㉠

한편 함수 y= ax+3x+b 에서 ax+3x+b =

a(x+b)+3-ab

x+b = 3-abx+b +a 이므로 함수 y= ax+3x+b 의 그래프의 두 점근선은 x=-b, y=a yy`㉡

두 함수 y= 3x-11x-4 , y=ax+3

x+b 의 그래프의 두 점근선이 서로 일치하므로 ㉠, ㉡에서

a=3, b=-4

따라서 a+b=3+(-4)=-1  ②

그림과 같다.

따라서 2ÉxÉ5에서 함수 g(x)의 최댓값은

g(5)=3-'Ä6-5=2  ④

(14)

ㄱ. 함수 y= -2x+3x-1 에서 -2x+3

x-1 =

-2(x-1)+1

x-1 = 1x-1 -2

이므로 함수 y= -2x+3x-1 의 그래프는 함수 y=;[!;의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2 만큼 평행이동한 것이다.

따라서 함수 y= -2x+3x-1 의 그래프는 함수 y=;[!;의 그래프를 평행이동하여 일치시킬 수 있다.

ㄴ. 함수 y= 2x2x-3 에서

2

함수 y= bx-a +c의 그래프의 두 점근선이 x=a, y=c이 므로

a=2, c=-1

이 함수의 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로 -2= b0-2 -1, b=2

따라서

a+b+c=2+2+(-1)=3  ③

3

무리함수 y=-'2x의 정의역은 {x|x¾0}이고,

치역은 {y|yÉ0}이므로 함수 y=-'2x의 그래프는 원점 과 제4사분면을 지난다.

한편 함수 y=-'2x는 정의역 {x|x¾0}에서

공역 {y|yÉ0}으로의 일대일 대응이므로 역함수가 존재하 고, 그 역함수의 그래프는 함수 y=-'2x의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 것이다. 따라서 함수 y=-'2x 의 역함수의 그래프는 원점과 제2사분면을 지난다.

따라서 m=4, n=2이므로

10m+n=10_4+2=42  ④

4

1 ⑤ 2 ④ 3 ③ 4 ④ 5 ①

Level

1

^{기초 연습} ^{본문 42쪽}

함수 y=;[*;의 그래프와 직선 y=x가 만나는 점의 x좌표는

;[*;=x에서 xÛ`=8 x=-2'2 또는 x=2'2 점 A의 x좌표는 양수이므로 A(2'2, 2'2), C(-2'2,-2'2)

ACÓ ="Ã(-2'2-2'2)Û`+(-2'2-2'2)Û`

="Ã(4'2)Û`+(4'2)Û`=8

함수 y=-;[$;의 그래프와 직선 y=-x가 만나는 점의 x좌표는

-;[$;=-x에서 xÛ`=4 x=-2 또는 x=2 점 D의 x좌표는 양수이므로 B(-2, 2), D(2, -2)

BDÓ="Ã{2-(-2)}Û`+(-2-2)Û`="Ã4Û`+4Û`=4'2 따라서 사각형

Y

Z ZY

ZY 0

$ %

"

Z: #

Z:  ABCD를 오른쪽 그

림과 같이 나타낼 수 있다.

두 직선 AC, BD는 서로 수직이므로 사 각형 ABCD의 넓이는

;2!;_ACÓ_BDÓ=;2!;_8_4'2=16'2  ⑤

1

2x-3 =2x

(2x-3)+3 2x-3 = 3

2x-3 +1

= 3

2{x-;2#;}+1

이므로 함수 y= 2x2x-3 의 그래프는 함수 y= 3 2x 의 그래프를 x축의 방향으로 ;2#;만큼, y축의 방향으로 1만 큼 평행이동한 것이다.

따라서 함수 y= 2x2x-3 의 그래프는 함수 y=;[!;의 그 래프를 평행이동하여 일치시킬 수 없다.

ㄷ. 함수 y= 2x+3x+1 에서 2x+3x+1 =2(x+1)+1

x+1 = 1x+1 +2

이므로 함수 y= 2x+3x+1 의 그래프는 함수 y=;[!;의 그 래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만 큼 평행이동한 것이다.

따라서 함수 y= 2x+3x+1 의 그래프는 함수 y=;[!;의 그 래프를 평행이동하여 일치시킬 수 있다.

이상에서 함수 y=;[!;의 그래프를 평행이동하여 일치시킬 수 있는 그래프를 나타내는 함수는 ㄱ, ㄷ이다.  ④

(15)

y=1-a'Ä2-2x=-a"Ã-2(x-1)+1

이므로 함수 y=1-a'Ä2-2x`(a>0)의 그래프는 원점과 제3사분면을 지나는 함수 y=-a'Ä-2x`(a>0)의 그래프 를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동 한 것이다.

함수 y=1-a'Ä2-2x의

Y Z

0

ZBY 그래프가 네 개의 사분면

중 두 개의 사분면만을 지 나기 위해서는 오른쪽 그 림과 같이 함수

y=1-a'Ä2-2x의 그래

프가 원점을 지나야 하고, 이때 함수 y=1-a'Ä2-2x의 그 래프는 제1사분면, 제3사분면을 지난다.

따라서 구하는 양수 a의 값은 0=1-a'2, a= '2

2  ①

5

1 ③ 2 ⑤ 3 ⑤ 4 ② 5 ③

Level

2

^{기본 연습} ^{본문 43쪽}

Y Z

0

!

Z

$

" #

% Z: Z 

Y

두 함수 y=;[@;, y= 2x-2 의 그래프가 직선 y=2와 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 직선 y=;5@;와 만나는 점을 각각 C, D라 하면 함수 y= 2x-2 의 그래프는 함수 y=;[@;의 그래 프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 사각형 ACDB는 평행사변형이고 ABÓ=CDÓ=2이다.

이때 위의 그림에서 빗금친 두 부분의 넓이는 서로 같으므 로 구하고자 하는 색칠된 도형의 넓이는 평행사변형 ACDB 의 넓이와 같다.

1

함수 y= 3x-1x-1 에서 3x-1x-1 =3(x-1)+2

x-1 = 2x-1 +3

이므로 함수 y= 3x-1x-1 의 그래프는 함수 y=;[@;의 그래프 를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동 한 것이다.

이때 함수 y= 3x-1x-1 의 그래프는 점 (1, 3)에 대하여 대칭 이므로 두 직선 y=x+a, y=-x+b는 모두 점 (1, 3)을 지난다. 따라서

3=1+a에서 a=2 3=-1+b에서 b=4

이므로 a+b=2+4=6  ⑤

2

함수 y= -3x+5x-2 에서 -3x+5

x-2 =-3(x-2)-1

x-2 =- 1x-2 -3

이므로 함수 y= -3x+5x-2 의 그래프는 함수 y=-;[!;의 그 래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평 행이동한 것이고, 이 함수의 그래프의 두 점근선은 x=2, y=-3이다.

따라서 a=-1, b=2, c=-3이고, 함수 f(x)는 f(x)='Ä-x+2-3="Ã-(x-2)-3

ㄱ. 함수 y=f(x)의 그래프는 함수 y='¶-x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행 이동한 것이다. (참)

ㄴ. f(0)='2-3<0이므

Y

Z

ZY

0 ZG Y

ZG Y 로 ㄱ에 의하여 함수

y=f(x)의 그래프는 오 른쪽 그림과 같이 제3사 분면을 지난다. (참) ㄷ. 함수 f(x)는 정의역

{x|xÉ2}에서 공역

{y|y¾-3}으로의 일대일 대응이므로 역함수 f ÑÚ`(x) 가 존재한다. 함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 것이므로 위의 그림과 같다. 따라서 함수 y=f(x)의 그

3

따라서 구하고자 하는 도형의 넓이는

ABÓ_{2-;5@;}=2_;5*;=:Á5¤:  ③

(16)

1 ④ 2 ③ 3 ③ 4 11

Level

3

^{실력 완성} ^{본문 44쪽}

y= -4x+kÛ`+k-6x+1 =-4(x+1)+kÛ`+k-2 x+1

= kÛ`+k-2x+1 -4 yy`㉠

이므로 실수 k의 값에 따라 함수 ㉠의 그래프가 지나는 사 분면은 다음과 같다.

Ú kÛ`+k-2=0인 경우

(k+2)(k-1)=0에서 k=-2 또는 k=1

1

함수 y=3-'Äx+2의 그래프는 함수 y=-'x의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동 한 것이다.

함수 y=3-'Äx+2의 그

Y L

ZYL Z

ZY

0

래프와 직선 y=-x+k 가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 실수 k의 값이 최대인 경우는 오른쪽 그 림과 같이 직선

y=-x+k가 점 (-2, 3)을 지나는 경우이다.

따라서 구하는 실수 k의 최댓값은

3=-(-2)+k, k=1  ③

5

즉, k=-2 또는 k=1일 때, 주어진 함수는 ㉠에서 y= 0x+1 -4=-4 (x+-1)

이므로 이 함수의 그래프는 제3사분면, 제4사분면만을 지난다.

Û kÛ`+k-2+0인 경우

(k+2)(k-1)+0에서 k+-2이고 k+1 즉, k+-2이고 k+1일 때, 주어진 함수는 ㉠에서 y= kÛ`+k-2x+1 -4

이므로 유리함수이고 그 그래프의 점근선이 x=-1, y=-4이므로 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면만을 항상 지난다.

ⓐ kÛ`+k-2<0일 때,

(k+2)(k-1)<0에서 -2<k<1

즉, -2<k<1일 때, 함수 y= kÛ`+k-2x 의 그래프 는 제2사분면, 제4사분면을 지나므로 이를 x축의 방 향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -4만큼 평행이동 한 함수 y= -4x+kÛ`+k-6x+1 의 그래프는 [그림 1]

과 같이 제1사분면을 지나지 않는다.

Y Z

 L L

Z

Y

0

ZL L

Y

Y Z

Z

Y

0 ZL L

Y

[그림 1]

ⓑ kÛ`+k-2>0일 때, (k+2)(k-1)>0에서 k<-2 또는 k>1 yy`㉡

즉, k<-2 또는 k>1일 때, 함수 y= kÛ`+k-2x 의 그래프는 제1사분면, 제3사분면을 지나므로 이를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 함수 y= -4x+kÛ`+k-6x+1 의 그래프는 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면은 반드시 지난다.

이때 함수 y= -4x+kÛ`+k-6x+1 의 그래프가 제1사 분면을 지나기 위해서는 이 함수의 그래프와 y축의 교점 (0, kÛ`+k-6)이 [그림 2]와 같이 x축보다 윗 부분에 있어야 한다.

즉, kÛ`+k-6>0, (k+3)(k-2)>0 함수 y=;4!;(x+1)Û`-1`(x¾-1)은 정의역 {x|x¾-1}

에서 공역 {y|y¾-1}로의 일대일 대응이므로 역함수가 존재한다.

함수 y=;4!;(x+1)Û`-1을 x에 대하여 풀면

x='Ä4y+4-1`(y¾-1)이고, x와 y를 서로 바꾸면 y='Ä4x+4-1=2'Äx+1-1 (x¾-1)

즉, f ÑÚ`(x)=2'Äx+1-1 (x¾-1) 이므로 a=2, b=-1이다.

따라서 f ÑÚ`(2a+b)=f ÑÚ`(3)=2'4-1=3  ②

4

래프는 함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래프와 오직 한 점에서 만 난다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.  ⑤

(17)

함수 y= 3x-4x 에서 3x-4

x =-;[$;+3

이므로 함수 y= 3x-4x 의 그래프는 함수 y=-;[$;의 그래 프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

함수 y='Ä2a-x+a에서

3

k<-3 또는 k>2 yy`㉢

㉡, ㉢을 동시에 만족시키는 k의 값의 범위는 k<-3 또는 k>2

따라서 k+-2이고 k+1일 때 함수

y= -4x+kÛ`+k-6x+1 의 그래프가 모든 사분면을 지나 도록 하는 실수 k의 값의 범위는 k<-3 또는 k>2이다.

Y Z

 L L

Z

Y

0

ZL L

Y

Y Z

Z

Y

0 ZL L

Y

[그림 2]

Ú, Û에서 실수 k의 값의 범위는 k<-3 또는 k>2이다.

따라서 10 이하의 자연수 k는 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10이므

로 그 개수는 8이다.  ④

ㄴ. 함수 y=;[$;의 그래프는 두 직선 y=x, y=-x에 대하 여 대칭이고, 함수 y=g(x)의 그래프는 함수 y=;[$;의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 함수 y=g(x)의 그래프 는 두 직선 y+1=x+2, y+1=-(x+2)에 대하여 대칭이다. 즉, 함수 y=g(x)의 그래프는 위의 그림과 같이 두 직선 y=x+1, y=-x-3에 대하여 대칭이 다. (참)

ㄷ. 점 (-2, -1)은 함수 y=g(x)의 그래프의 두 점근선 의 교점이다. 따라서 점 (-2, -1)에서 함수 y=g(x) 의 그래프와 한 점에서 만나는 직선을 그을 수 없다.

(거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.  ③

함수 y=;[K;`(k+0)의 그래프의 두 점근선(x축, y축)의 교 점인 원점에서는 이 함수의 그래프와 한 점에서 만나는 직 선을 그을 수 없다.

Ú x축, y축은 점근선이므로 함수 y=;[K;의 그래프와 한 점 에서 만나지 않는다.

Û 원점에서 함수 y=;[K;의 그래프와 한 점에서 만나는 직 선 y=mx`(m+0)을 그을 수 있다고 가정하면 방정식

;[K;=mx는 중근을 가져야 한다. 하지만 k+0, m+0인 모든 실수 k, m에 대하여 방정식 xÛ`= km 는 중근을 가 질 수 없으므로 모순이다.

이와 같이 함수 y=;[K;`(k+0)의 그래프의 두 점근선의 교 점인 원점에서는 이 함수의 그래프와 한 점에서 만나는 직 선을 그을 수 없고, 같은 이유로 함수 y= kx-p +q (k+0, p, q는 상수)의 그래프의 두 점근선의 교점 (p, q) 에서는 이 함수의 그래프와 한 점에서 만나는 직선을 그을 수 없다.

함수 y=f(x)의 그래프가 점 (2, 0)을 지나므로 a'Ä2-b+c=0 yy`㉠

한편 함수 y=f(x)의 그래프가 두 점 (b, c), (2, 0)을 지 나므로 함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래프는 두 점 (c, b), (0, 2) 를 지난다. 따라서

;4!;(c-2)Û`+b=b이므로 c=2

;4!;(0-2)Û`+b=2이므로 b=1 b=1, c=2를 ㉠에 대입하면 a'Ä2-1+2=0, a=-2

따라서 a=-2, b=1, c=2이므로 함수 g(x)는 g(x)=- x-2x+2 =-(x+2)-4

x+2 = 4x+2 -1

ㄱ. 함수 y=g(x)의 그래프는 함수 y=;[$;의 그래프를 x축 의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이 동한 것이고, g(0)=1이므로 함수 y=g(x)의 그래프 는 다음 그림과 같이 모든 사분면을 지난다. (참)

Y Y

ZY

ZY Z

Z

0

Z

Y

2

(18)

'Ä2a-x+a="Ã-(x-2a)+a

이므로 함수 y='Ä2a-x+a의 그래프는 함수 y='Ä-x의 그래프를 x축의 방향으로 2a만큼, y축의 방향으로 a만큼 평행이동한 것이다.

한편 점 (2a, a)는 직선 y=;2!;x 위의 점이므로 실수 a의 값 이 변할 때 함수 y='Ä2a-x+a의 그래프는 다음과 같다.

Y B Z

B Z

ZÆY

0

" #

B >

= B ZYY

함수 y= 3x-4x 의 그래프와 직선 y=;2!;x의 두 교점을 A, B라 하면 함수 y= 3x-4x 의 그래프와 함수

y='Ä2a-x+a의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나는 경 우는 점 (2a, a)가 선분 AB 위의 점인 경우이다.

두 점 A, B의 x좌표를 각각 a, b`(a<b)라 하면 방정식 3x-4x =;2!;x의 서로 다른 두 실근이 a, b이다. 따라서 6x-8=xÛ`, xÛ`-6x+8=0

(x-2)(x-4)=0, x=2 또는 x=4 즉, a=2, b=4이므로 2É2aÉ4, 1ÉaÉ2 따라서 M=2, m=1이므로

M+m=2+1=3  ③

점 (2a, a)`(a>0)이 함수 y= 3x-4x 의 그래프의 아래쪽 에 위치하거나 그래프 위의 점이므로

aÉ 3_2a-42a , 2(a-1)(a-2)É0

에서 a의 값의 범위 1ÉaÉ2를 구할 수도 있다.

두 직선 lÁ, lª의 기울기를 각각 m, k라 하면 조건을 만족시 키는 두 직선 lÁ, lª의 방정식은 다음과 같다.

lÁ`:`y=m(x-2)+2 (m>1) lª`:`y=k(x-2)+2 (k>1)

함수 y=xÛ`+1의 그래프와 직선 lÁ이 접하므로 이차방정식 xÛ`+1=m(x-2)+2가 중근을 갖는다. 즉, 이차방정식 xÛ`-mx+2m-1=0의 판별식을 DÁ이라 하면

DÁ =(-m)Û`-4_(2m-1)

=mÛ`-8m+4=0

4

m=4Ñ"Ã4Û`-4=4Ñ2'3

m>1이므로 m=4+2'3 yy`㉠

한편 직선 y=(4-2'3)(x-2)+2를 l£이라 하면 함수 y=xÛ`+1`(x¾0)의 그래프와 접하고 점 (2, 2)를 지나는 직선은 lÁ과 l£뿐이다. 두 함수 y='Äx-1, y=xÛ`+1`(x¾0) 은 서로 역함수 관계이므로 두 함수의 그래프는 직선 y=x 에 대하여 대칭이다. 따라서 함수 y='Äx-1의 그래프와 접 하고 점 (2, 2)를 지나는 직선을 직선 y=x에 대하여 대칭 이동한 직선은 lÁ 또는 l£이고 그 기울기는 ;k!;이다.

이때 k>1에서 0<;k!;<1이므로 직선 lª를 직선 y=x에 대 하여 대칭이동한 직선은 l£이다.

Y

Z M Mm ZY

Mf ZY Yy

ZY

0

Y ZY Z M

Mm

Mf ZY Yy

ZY

0 확대

따라서 ;k!;=4-2'3이므로 k= 1

4-2'3=4+2'3

4 =2+'3

2 yy`㉡

㉠, ㉡에서

m_k=(4+2'3)_2+'3 2

=(2+'3)Û`=7+4'3

즉, a=7, b=4이므로 a+b=7+4=11  11

(19)

등차수열과 등비수열

05

1 ② 2 7 3 ④ 4 297 5 ④ 6 92 7 43 8 ①

등차수열 {an}의 공차를 d라 하면 a¢-aª=2d=4에서 d=2 또 aÁ+a£+a°=27에서 aÁ+(aÁ+2d)+(aÁ+4d)=27 3aÁ+6d=27, 3aÁ+6_2=27 aÁ=5

따라서

a¥=aÁ+7d=5+7_2=19  ②

등차수열 {an}의 공차를 d라 하면 a¢-aª=2d=4에서 d=2 또 aÁ+a£+a°=3a£=27에서 a£=9이므로

a£=aÁ+2_2=9에서 aÁ=5

따라서 a¥=aÁ+7d=5+7_2=19

1

an=nÛ`+n`(n=1, 2, 3, y)에서 aÁ=1Û`+1=2

ak=kÛ`+k aÁ¼=10Û`+10=110

세 수 aÁ, ak, aÁ¼이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2ak=aÁ+aÁ¼에서

2(kÛ`+k)=2+110

kÛ`+k-56=0, (k+8)(k-7)=0

이때 k는 자연수이므로 k=7  7

2

등차수열 {an}의 공차를 d라 하자.

aª=aÁ+d=5 yy`㉠

S°=5(2aÁ+4_d)

2 =45에서

5aÁ+10d=45, 즉 aÁ+2d=9 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 aÁ=1, d=4

3

등차수열 {an}의 공차를 d라 하자.

a£+a»=54에서

(aÁ+2d)+(aÁ+8d)=54 aÁ+5d=27

이때 aÁ+aÁÁ=aÁ+(aÁ+10d)=2(aÁ+5d)=54 이므로

SÁÁ=11_(aÁ+aÁÁ)

2 = 11_542 =297  297

등차수열 {an}에서

aÁ+aÁÁ=a£+a»=54이므로 SÁÁ=11_(aÁ+aÁÁ)

2 = 11_542 =297

4

등비수열 {an}의 공비를 r`(r>0)이라 하자.

aªa£=a¤에서

(2r)_(2rÛ`)=2rÞ`, 즉 rÜ`(rÛ`-2)=0 이때 r>0이므로

rÛ`=2, r='2 따라서

a¥=2_('2)à`=16'2  ④

5

이차방정식 xÛ`-2kx+k-1=0의 두 실근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=2k

ab=k-1 yy`㉠

한편 세 수 a, 2, b가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 ab=4 yy`㉡

㉠, ㉡에서

k-1=4이므로 k=5

따라서 a+b=2k=2_5=10이므로

aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab=10Û`-2_4=92  92

6

S¢-Sª =(aÁ+aª+a£+a¢)-(aÁ+aª)

=a£+a¢

이므로

S¢-Sª=aªÛ`에서 a£+a¢=aªÛ`

등비수열 {an}의 공비를 r`(r+0)이라 하면

7

따라서

SÁ¼=10(2_1+9_4)

2 =190  ④

(20)

2와 20 사이에 n개의 수를 넣어 만든 등차수열의 합을 S라 하면

S=(n+2)(2+20)

2 =11(n+2)=165 n+2=15, n=13

한편 주어진 등차수열의 공차를 d라 하면 20=2+14_d이므로 d=;7(;

따라서 a¦=2+7_;7(;=11  ③

2

등비수열 {an}의 공비를 r라 하면

aÁ+a£=aÁ+aÁrÛ`=aÁ(1+rÛ`)=7 yy`㉠

a¢+a¤=aÁrÜ`+aÁrÞ`=aÁrÜ`(1+rÛ`)=35 yy`㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 7_rÜ`=35, rÜ`=5 따라서 a¥

aª =aÁrà`

aÁr =rß`=(rÜ`)Û`=5Û`=25  ④

3

세 수 2, a, bÛ`이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2a=2+bÛ`, 즉 bÛ`=2a-2 yy`㉠

세 수 b, 12, ab가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 12Û`=b_ab, 즉 abÛ`=144 yy`㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 a(2a-2)=144

aÛ`-a-72=0, (a+8)(a-9)=0 a>0이므로 a=9

a=9를 ㉠에 대입하면 bÛ`=2_9-2=16 b>0이므로 b=4

따라서 a+b=9+4=13  ①

4

S¢

Sª =aÁ+aÁr+aÁrÛ`+aÁrÜ`

aÁ+aÁr

=aÁ(1+r)+aÁrÛ`(1+r) aÁ(1+r)

=1+rÛ`

5a¢

aª =5aÁrÜ`

aÁr =5rÛ`

이때 S¢

Sª =5a¢

aª 에서

5

aÁ+aª=24에서

aÁ+aÁr=24 yy`㉠

a£+a¢=6에서 aÁrÛ`+aÁrÜ`=6

rÛ`(aÁ+aÁr)=6 yy`㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 rÛ`_24=6, rÛ`=;4!;

이때 r>0이므로 r=;2!;

r=;2!; 을 ㉠에 대입하면 aÁ+aÁ_;2!;=24, aÁ=16 따라서

S¦=16[1-{;2!;}à`]

1-;2!; =32-;4!;= 1274  ①

8

등차수열 {an}의 공차를 d라 하면 a°=1+4d=29이므로

4d=28, d=7

따라서 a¥=1+7_7=50  ④

등차수열 {an}의 공차를 d라 하면 a°=1+4d=29이므로

1

1 ④ 2 ③ 3 ④ 4 ① 5 16

Level

1

^{기초 연습} ^{본문 54쪽}

;2!;rÛ`+;2!;rÜ`={;2!;r}Û`, rÜ`=-;2!;rÛ`

이때 r+0이므로 양변을 rÛ`으로 나누면 r=-;2!;

이때

S°=;2!;[1-{-;2!;}Þ`]

1-{-;2!;} =;3!;{1+;3Á2;}=;3!2!;

따라서 p=32, q=11이므로

p+q=32+11=43  43

4d=28, d=7

따라서 a¥=a°+3d=29+3_7=50

(21)

1 ② 2 ③ 3 ② 4 4

Level

2

^{기본 연습} ^{본문 55쪽}

등차수열 {an}의 공차를 d라 하면 aÁ=aª+3에서 aª-aÁ=-3이므로 d=-3

a¢+2aÁÁ=0에서 a¢=-2aÁÁ이므로 aÁ+3d=-2(aÁ+10d)

aÁ+3_(-3)=-2aÁ-20_(-3) 3aÁ=69, aÁ=23

이때 등차수열 {an}의 일반항 an은 an=23+(n-1)_(-3)=-3n+26 ak=-3k+26>0에서

k<:ª3¤:=8.6y

따라서 구하는 자연수 k의 최댓값은 8이다.  ②

1

등비수열 {an}의 공비를 r`(r>0)이라 하면 aÁa°=16에서

aÁ_(aÁrÝ`)=16,(aÁrÛ`)Û`=16 이때 aÁ>0, r>0에서 aÁrÛ`>0이므로

aÁrÛ`=4 yy`㉠

또 a£+a°=12에서

aÁrÛ`+aÁrÝ`=12 yy`㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 4+4rÛ`=12 rÛ`=2

이때 r>0이므로 r='2 r='2를 ㉠에 대입하면 aÁ_('2)Û`=4, aÁ=2

따라서 a»=2_('2)¡`=32  ③

aÁa°=a£Û`=16

2

Sn=n{2_1+(n-1)_4}

2 =2nÛ`-n

Tn=aÁ-aª+a£-a¢+y+(-1)ⁿ⁺¹an+y+aªn-1-a2n

=(aÁ-aª)+(a£-a¢)+y+(a2n-1-a2n)

=(-4)+(-4)+y+(-4)

=(-4)_n

=-4n Sk+Tk=63에서 (2kÛ`-k)-4k=63

2kÛ`-5k-63=0, (2k+9)(k-7)=0

이때 k는 자연수이므로 k=7  ②

( | | n개{ | | 9

3

세 점 A, B, C의 좌표는

A(k, 0), B(k, 3'k), C(k, k+5) 이므로

OAÓ=k, ABÓ=3'k, ACÓ=k+5

세 수 k, 3'k, k+5가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 k(k+5)=(3'k)Û`, 즉 kÛ`+5k=9k

k(k-4)=0 이때 k>0이므로

k=4  4

4

1 ① 2 ③ 3 7

Level

3

^{실력 완성} ^{본문 56쪽}

등차수열 {an}의 공차를 d`(d>0), 등비수열 {bn}의 공비 를 r`(r>0)이라 하자.

조건 (가)에서 a£=1+bª이므로

1+2d=1+r, 즉 2d=r yy`㉠

조건 (나)에서 b£=2+a°이므로

1

1+rÛ`=5rÛ`, rÛ`=;4!;

이때 r>0이므로 r=;2!;

따라서 aÁ a° = aÁ

aÁrÝ`=1

rÝ`={;r!;}Ý`=2Ý`=16  16

등비수열 {an}의 모든 항이 양수이므로 a£=4

a£+a°=12에서 4+a°=12, a°=8

이때 a°=a£_rÛ`=4rÛ`=8에서 rÛ`=2

따라서 a»=a°_rÝ`=8_2Û`=32