⑵ x¤ +6x-1=0의 근을 구하면 x=-3—'ƒ9+1=-3—'∂10
따라서 x¤ +6x-1을 다음과 같이 인수분해할 수 있다.
x¤ +6x-1
={x-(-3+'∂10)}{x-(-3-'∂10)}
=(x+3-'∂10)(x+3+'∂10)
03
⑴ x¤ -6x+8=0의 두 근을 a, b라고 하면a+b=6>0, ab=8>0이므로 a>0, b>0이다.
⑵ x¤ +6x+5=0의 두 근을 a, b라고 하면 a+b=-6<0, ab=5>0이므로 a<0, b<0이다.
⑶ x¤ +3x-4=0의 두 근을 a, b라고 하면 ab=-4<0이므로 a, b의 부호가 서로 다르다.
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개념BOOK
01
O 2 4 6 2
4 6 8
-2 -2 -4
-4 -6
y
x
⑴ ⑵
⑶
185~188쪽
유형 EXERCISES
유형01 ①, ③ 1-1 ② 1-2 ④
유형02 -4 2-1 4 2-2 2 2-3 -2 유형03 ③ 3-1 ⑤ 3-2 4 3-3 ⑤
3-4 2개 3-5 ① 3-6 12 3-7 y=;2#;x¤
유형04 y=3x¤ -5 4-1 ② 4-2 3 4-3 a=1, q=-1
유형05 x=-2, (-2, 0) 5-1 ⑤ 5-2 2 5-3 -4
유형06 ④ 6-1 ④ 6-2 3 6-3 -5 6-4 5 6-5 ①
6-6 제`1, 2사분면
유형01y=(x에 대한 이차식) 꼴인 것을 찾는다.
② y=x(x+1)-x¤ =x (일차함수)
⑤ x¤ 이 분모에 있으므로 이차함수가 아니다.
1-1 ① y=16x (일차함수)
② y=x¤ +;2%;x (이차함수)
③ y=x‹ (삼차함수)
④ y=;3!;px‹ (삼차함수)
⑤ y=300x (일차함수)
1-2 y=2(x+3)¤ -ax¤ +2=(2-a)x¤ +12x+20
유형03
① 아래로 볼록한 포물선이다.
② 축의 방정식은 x=0이다.
④ x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
⑤ 제1, 2사분면을 지나는 포물선이다.
3-1 ⑤ x=4를 y=-;2!;x¤ 에 대입하면
⑤y=-;2!;_4¤ =-8이므로 점 (4, -8)을 지난다.
3-2 y=-2x¤ 의 그래프가 점 (p, -8)을 지나므로 -8=-2p¤ , p¤ =4
∴ p=-2 (∵ p<0) 유형02
f(2)=2¤ -2-2=0
f(-2)=(-2)¤ -(-2)-2=4
∴ f(2)-f(-2)=0-4=-4
2-1 f(a)=a¤ -3a-2=2이므로 a¤ -3a-4=0 (a+1)(a-4)=0
∴ a=4 (∵ a>0)
2-2 f(-3)=a_(-3)¤ +5_(-3)-1=2이므로 9a=18 ∴```a=2
2-3 f(1)=0이므로 3+a+b=0 a+b=-3 yy`㉠
f(-2)=6이므로 12-2a+b=6 -2a+b=-6 yy`㉡
㉠-㉡을 하면 3a=3 ∴```a=1 a=1을 ㉠에 대입하면
1+b=-3 ∴```b=-4 따라서 `f(x)=3x¤ +x-4이므로
f(-1)=3_(-1)¤ +(-1)-4=-2 에서 y가 x에 대한 이차함수가 되려면 2-a+0이어야 하므로 a+2
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y=-2x¤ 의 그래프가 점 (1, q)를 지나므로 q=-2_1¤ =-2
∴ pq=(-2)_(-2)=4
3-3 위로 볼록한 그래프의 식은 y=-;2!;x¤ , y=-4x¤ , y=-;3!;x¤ 이고 이 중에서 그래프의 폭이 가장 넓은 것은 ⑤ y=-;3!;x¤ 이다.
3-4 위로 볼록하므로 a<0 yy`㉠
a의 절댓값은 -3의 절댓값보다 작고 -;2!;의 절댓 값보다 크므로 |-;2!;|<|a|<|-3| yy`㉡
㉠, ㉡`에서 -3<a<-;2!;
따라서 정수 a의 값은 -2, -1의 2개이다.
3-5 y=2x¤ 의 그래프는 y=-2x¤ 의 그래프와 x축에 대 칭이다.
3-6 y=-;3!;x¤ 의 그래프와 x축에 대칭인 그래프의 식 은 y=;3!;x¤ 이므로 y=;3!;x¤ 에 x=-6, y=a를 대 입하면 a=;3!;_(-6)¤ =12
3-7 이차함수의 식을 y=ax¤ 으로 놓으면 이 그래프가 점 (-2, 6)을 지나므로
6=a_(-2)¤ ∴ a=;2#;
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=;2#;x¤ 이다.
4-2 y=-;2!;x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평행 이동한 그래프의 식은 y=-;2!; x¤ +a
이 그래프가 점 (2, 1)을 지나므로 1=-;2!;_2¤ +a ∴```a=3
4-3 주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (0, -1)이므로 q=-1
즉, y=ax¤ -1의 그래프가 점 (-2, 3)을 지나므로 3=a_(-2)¤ -1, 4a=4 ∴ a=1
유형04 y=3x¤ -5
4-1 y=4x¤ +2의 그래프는
① 꼭짓점의 좌표는 (0, 2)이다.
③ x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
④ x=-1을 대입하면 y=4_(-1)¤ +2=6
⑤ y=4x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행 이동한 것이다.
유형05
축의 방정식：x=-2, 꼭짓점의 좌표：(-2, 0)
5-1 ⑤ x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가하는 x의 값의 범위는 x<-1이다.
5-2 y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행이동 한 그래프의 식은 y=3(x-p)¤
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, 0)이므로 p=2
5-3 y=-4x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행 이동한 그래프의 식은 `y=-4(x-2)¤
이 그래프가 점 (1, k)를 지나므로
`k=-4(1-2)¤ =-4
유형06
④ 점 (2, 6)을 지난다.
6-1 y=-2x¤ +5의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 -7만큼 평행이동하면
④ y=-2(x+1)¤ -2의 그래프와 완전히 포개어 진다.
6-2 y=3(x-p)¤ +1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, 1)이므로 p=-2, q=1
y=3(x+2)¤ +1의그래프가점(-3, r)를지나므로 r=3(-3+2)¤ +1=4
∴ p+q+r=-2+1+4=3
6-3 y=3(x-1-m)¤ +4+n의 그래프가 y=3x¤ 의 그
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개념BOOK
01 ① y=3x (일차함수)
② y=x¤ (이차함수)
③ y=2x (일차함수)
④ y=;4!;px¤ (이차함수)
⑤ y=2px‹ (삼차함수)
02 y=a¤ x¤ +3a(1+x)¤ =(a¤ +3a)x¤ +6ax+3a가 x 에 대한 이차함수가 되려면 a¤ +3a+0이어야 하므로 a(a+3)+0 ∴ a+-3이고 a+0
189~191쪽
실력 EXERCISES
01②, ④ 02⑤ 03;2!;, 3 04②, ④ 053 06① 07(0, -4) 08-4
09①, ② 10⑤ 11 ③ 12⑤
131 14① 15 2 16⑤
17-16 18-3 19제`1, 2사분면 2016
래프와 일치하므로 -1-m=0, 4+n=0 따라서 m=-1, n=-4이므로 m+n=-1+(-4)=-5
6-4 y=-2(x+1)¤ -4의 그래프를 x축에 대하여 대칭 이동한 그래프의 식은 y=2(x+1)¤ +4이므로 a=2, `p=-1, q=4
∴ a+p+q=2+(-1)+4=5
6-5 a>0이므로 아래로 볼록하다. 또한, 꼭짓점의 좌표 가 (p, q)이고, x좌표는 양수, y좌표는 음수이므로 꼭짓점의 좌표는 제`4사분면에 있다.
6-6 y=-;2!; (x-1)¤ -4의 그래프는 위로 볼록하고 꼭 짓점의 좌표가 (1, -4)이므로 이 그래프가 지나지 않는 사분면은 제`1, 2사분면이다.
03 f(a)=2a¤ -6a+3=a, 2a¤ -7a+3=0 (2a-1)(a-3)=0 ∴ a=;2!; 또는 a=3
04 ② 제`3, 4사분면을 지나는 포물선이다.
④ x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
05 y=-3x¤ 의 그래프와 x축에 대칭인 그래프의 식은 y=3x¤ 이고 이 그래프가 점 (-1, k)를 지나므로 k=3_(-1)¤ =3
06 y=ax¤ 에서 그래프의 모양은 a>0이면 아래로 볼록 하고, a<0이면 위로 볼록하다. 또한, |a|의 값이 클 수록 그래프의 폭이 좁아지므로 a의 값이 가장 큰 것은
㉠, a의 값이 가장 작은 것은 ㉣이다.
07 y=2x¤ -4이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, -4)이다.
08 y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행이동 한 그래프의 식은 y=3(x-p)¤ 이고, 이 그래프가 점 (-2, 3)을 지나므로
3=3(-2-p)¤ , p¤ +4p+3=0
(p+3)(p+1)=0 ∴ p=-3 또는 p=-1 따라서 모든 p의 값의 합은 -3+(-1)=-4
09 ③ 제1, 2사분면을 지난다.
④ x>;2!;일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
⑤ y={x-;2!;}2 의 그래프와 x축에 대칭인 그래프의
⑤식은 y=-{x-;2!;}2 이다.
10 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (1, 3)이므로 y=-2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프이다.
∴ y=-2(x-1)¤ +3
11 꼭짓점의 좌표가 (-1, 1)이고 위로 볼록한 포물선은
③이다.
12 아래로 볼록한 이차함수의 그래프는 ①, ③, ⑤이므로
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꼭짓점의 좌표를 구해 보면
① (-3, 5)˙k 제`2사분면
③ (2, 1)˙k 제`1사분면
⑤ (1, -4)˙k 제`4사분면
13 꼭짓점의 좌표가 (-4, 3)이므로 `p=-4, q=3 y=a(x+4)¤ +3의 그래프가 점 (-3, 5)를 지나므로 5=a+3 ∴ a=2
∴` a+p+q=2+(-4)+3=1
14 x<-1이면 x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가한다.
15 y=;5@;(x-p)¤ +3p의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, 3p)이고, 이 점이 y=-;2!;x+7의 그래프 위에 있으므로 3p=-;2!;p+7, ;2&;p=7 ∴ p=2
16 y=-3x¤ +12의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 12) y=a(x-p)¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, 0)이고, y=-3x¤ +12의 그래프가 점 (p, 0)을 지나므로 0=-3p¤ +12, p¤ =4 ∴ p=2 (∵ p>0) 또한, y=a(x-2)¤ 의 그래프가 점 (0, 12)를 지나므로 12=a(0-2)¤ , 4a=12 ∴ a=3
∴ a+p=3+2=5
17 y=-(x-2)¤ +1의 그래프를 x축의 방향으로 m만 큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-(x-2-m)¤ +1+n
이 그래프가 y=-(x-6)¤ -3의 그래프와 일치하 므로 -2-m=-6, 1+n=-3
따라서 m=4, n=-4이므로 mn=4_(-4)=-16
18 y=-2(x-1)¤ +5의 그래프를 x축에 대하여 대칭이 동한 그래프의 식은 y=2(x-1)¤ -5
이 그래프가 점 (2, k)를 지나므로 k=2(2-1)¤ -5=-3
19 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0, 꼭짓점이 제`4사분 면에 있으므로 p>0, q<0
이때, y=q(x-a)¤ +pq의 그래프의 꼭짓점의 좌 표는 (a, pq)이고 a>0, pq<0이므로 제`4사분면에 있다.
또한, q<0이므로 위로 볼록하다.
따라서 y=q(x-a)¤ +pq의 그래프 는 제1, 2사분면을 지나지 않는다.
20 y=2(x-1)¤ +2에서 y=10이면 2(x-1)¤ +2=10 x¤ -2x-3=0, (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
따라서 A(3, 10), B(-1, 10)이고, 꼭짓점은 C(1, 2)이므로 △ABC=;2!;_4_8=16
O y
x
02 ⑴ y=0을 대입하면 x¤ -2x-3=0
⑴(x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3
⑴x=0을 대입하면 y=-3
⑴따라서 x절편은 -1, 3이고, y절편은 -3이다.
⑵ y=0을 대입하면 x¤ -8x+16=0
⑴(x-4)¤ =0 ∴ x=4(중근)
⑴x=0을 대입하면 y=16
⑴따라서 x절편은 4이고, y절편은 16이다.
⑶ y=0을 대입하면 -x¤ +4x+21=0