수학 기출문제집 3

(1)

3

P r a c t i c e M a k e

s P e r

f e c t

수학 기출문제집

학 교

시 험 대

비

필

독 서

1 학 기 기 말 고 사

정 답 과 해 설

(2)

001

전개하여 좌변으로 이항했을 때, (이차식)=0 꼴이면 이차 방정식이다.

④ 5xÛ`=4x-1

∴ 5xÛ`-4x+1=0 (이차방정식) ^답 ④

002

전개하여 좌변으로 이항했을 때, (이차식)=0 꼴이면 이차 방정식이다.

② xÛ`-2x=xÛ`-4

∴ -2x+4=0`(일차방정식) ^답 ②

003

주어진 등식을 정리하면 3(xÛ`+2x+1)=2x-2 3xÛ`+6x+3=2x-2 3xÛ`+4x+5=0

따라서 a=3, b=4, c=5이므로

∴ a+b+c=3+4+5=12 ^답 12

004

(이차항의 계수)+0이어야 하므로 a+0이다. ^답 ②

005

2(x-3)Û`+7=axÛ`-6x+24에서 2xÛ`-12x+18+7=axÛ`-6x+24 (2-a)xÛ`-6x+1=0

이 식이 이차방정식이 되려면

2-a+0 ∴ a+2 ^답 ④

006

[ ] 안의 수를 대입하여 참이 되면 그 수는 주어진 이차방 정식의 해이다.

① x=1이면 1-2+1=0 (참) ② x=-3이면 9-3-6=0 (참) ③ x=3이면 9-21+10=-2+0 (거짓) ④ x=4이면 16+20+4=40+0 (거짓) ⑤ x=5이면 25-25-6=-6+0 (거짓)

따라서 참인 것은 ①, ②이다. 답①, ②

007

x=-1을 대입하여 참이 되는 것을 찾는다.

① (-1)Û`=1+2 (거짓)

② (-1-1)(-1+2)=-2+0 (거짓) ③ (-1)Û`+3_(-1)-4=-6+0 (거짓) ④ (-1)Û`+(-1)=0 (참)

⑤ (-1+1)Û`=0 (참) ^답④, ⑤

008

x=-2를 xÛ`+ax-10=0에 대입하면 (-2)Û`+a_(-2)-10=0, -2a=6

∴ a=-3 ^답 -3

1 이차방정식의 풀이

본문 008~024쪽

009

x=-2일 때, (-2)Û`+(-2)-2=0 (참) x=-1일 때, (-1)Û`+(-1)-2=-2+0 (거짓) x=0일 때, 0Û`+0-2=-2+0 (거짓)

x=1일 때, 1Û`+1-2=0 (참) x=2일 때, 2Û`+2-2=4+0 (거짓)

즉, 이차방정식 xÛ`+x-2=0의 해는 x=-2 또는 x=1 이다.

따라서 구하는 해의 합은 -2+1=-1 ^답 ②

010

xÛ`-4x+a=0 yy ㉠ (x+3)(x+b)=0 yy ㉡

x=-2는 ㉠과 ㉡을 동시에 만족시킨다.

x=-2를 ㉠에 대입하면

(-2)Û`-4_(-2)+a=0 ∴ a=-12 x=-2를 ㉡에 대입하면

(-2+3)(-2+b)=0 ∴ b=2

∴ a+b=-12+2=-10 ^답-10

011

주어진 이차방정식에 x=-2를 대입하면 4a-2b-10=0

즉, 2a-b-5=0 yy ㉠ 또 x=5를 대입하면 25a+5b-10=0 즉, 5a+b-2=0 yy ㉡㉠+㉡을 하면 7a-7=0에서 a=1 a=1을 ㉠에 대입하면 2-b-5=0 ∴ b=-3

∴ a+b=1+(-3)=-2 ^답 ②

012

x=a가 xÛ`+5x-1=0의 한 근이므로 aÛ`+5a-1=0

a+0이므로 양변을 a로 나누면

a+5-;a!;=0 ∴ a-;a!;=-5 ^답 ⑤

포인트 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 한 근이 x=p일 때, pÛ`+ap+b=0

⑴ pÛ`+ap=-b

⑵ p+;pB;=-a (단, p+0)

013

xÛ`+3x-1=0의 한 근이 x=p이므로 pÛ`+3p-1=0, pÛ`+3p=1

xÛ`-5x-2=0의 한 근이 x=q이므로 qÛ`-5q-2=0, qÛ`-5q=2

∴ (pÛ`+3p+1)(qÛ`-5q+2)=(1+1)(2+2)=8

^답 8

014

⑴ 2x(x-2)=0에서 x(x-2)=0 x=0 또는 x-2=0

(3)

∴ x=0 또는 x=2 ⑵ (x+1)(x-4)=0에서 x+1=0 또는 x-4=0 ∴ x=-1 또는 x=4

⑶ xÛ`-9=0에서 (x+3)(x-3)=0 ∴ x=-3 또는 x=3

⑷ xÛ`+7x+10=0에서 (x+5)(x+2)=0 ∴ x=-5 또는 x=-2

답 ⑴ x=0 또는 x=2 ⑵ x=-1 또는 x=4

답 ⑶ x=-3 또는 x=3 ⑷ x=-5 또는 x=-2

015

주어진 이차방정식의 해는 x-2=0 또는 x+3=0이므로

x=2 또는 x=-3 ^답 ①

016

(x-2)(x-3)=2xÛ`에서 xÛ`-5x+6=2xÛ`, xÛ`+5x-6=0 (x+6)(x-1)=0

따라서 a=6, b=-1 또는 a=-1, b=6이므로

a+b=5 ^답 ④

017

xÛ`-x-12=0에서 (x+3)(x-4)=0 ∴ x=-3 또는 x=4 따라서 m=4, n=-3이므로

m-n=4-(-3)=7 ^답 7

018

xÛ`+4x-12=4x-8, xÛ`-4=0 (x+2)(x-2)=0

∴ x=-2 또는 x=2 ^답 ①

019

(x+2)(x-3)=0의 해는 x=-2 또는 x=3 xÛ`-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0

∴ x=1 또는 x=3

따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=3이다. ^답 ⑤

020

이차방정식 xÛ`+2x-3=0을 풀면

(x-1)(x+3)=0 ∴ x=1 또는 x=-3 x=1을 xÛ`-4x+3=0에 대입하면

1-4+3=0으로 만족시킨다.

x=-3을 xÛ`-4x+3=0에 대입하면

(-3)Û`-4_(-3)+3+0으로 만족시키지 않으므로 구하

는 x의 값은 -3이다. ^답 ①

021

x=-2를 주어진 이차방정식에 대입하면 (-2)Û`+a_(-2)-6=0 ∴ a=-1 a=-1을 xÛ`+ax-6=0에 대입하면

xÛ`-x-6=0, (x-3)(x+2)=0 ∴ x=3 또는 x=-2

따라서 다른 한 근은 x=3이므로 b=3

∴ a+b=-1+3=2 ^답2

포인트 한 근이 주어졌을 때, 다른 한 근을 구하는 방법 미지수 a를 포함한 이차방정식의 한 근이 x=p일 때

① 주어진 방정식에 x=p를 대입하여 a의 값을 구한다.

② 주어진 방정식에 다시 a의 값을 대입하여 방정식을 푼다.

③ 두 근 중 x=p를 제외한 나머지 한 근을 구한다.

022

xÛ`+8=-6x에서 xÛ`+6x+8=0 (x+2)(x+4)=0

∴ x=-2 또는 x=-4

x=-2가 xÛ`+ax+4a=0의 한 근이므로 4-2a+4a=0, 4+2a=0

∴ a=-2 ^답-2

023

(x+1)(x-2)=-2x+4에서 xÛ`-x-2=-2x+4

xÛ`+x-6=0 (x-2)(x+3)=0 ∴ x=2 또는 x=-3 ∴ a=2, b=-3 (∵ a>b) 이것을 xÛ`+ax+b=0에 대입하면 xÛ`+2x-3=0

(x+3)(x-1)=0

∴ x=-3 또는 x=1 ^답③

024

x=2를 주어진 이차방정식에 대입하면 4(a-1)-2(aÛ`+1)+2(a+1)=0 aÛ`-3a+2=0

(a-1)(a-2)=0 ∴ a=1 또는 a=2

그런데 a=1이면 (이차항의 계수)=0이므로 a=2 a=2를 다시 주어진 이차방정식에 대입하면 xÛ`-5x+6=0, (x-2)(x-3)=0

∴ x=2 또는 x=3

따라서 다른 한 근은 x=3이다. ^답⑤

025

이차방정식이 (완전제곱식)=0 꼴로 인수분해되면 중근 을 가진다.

⑴ xÛ`-4x+=0에서 (x-2)Û`+-4=0 -4=0이어야 하므로 =4

⑵ xÛ`+6x+=0에서 (x+3)Û`+-9=0 -9=0이어야 하므로 =9

⑶ xÛ`- x+16=0에서 {x- 2}Û`+16- Û`4 =0

(4)

030

⑴ xÛ`=5에서 x=Ñ'5

⑵ xÛ`=8이므로 x=Ñ'8=Ñ2'2 ⑶ (x-1)Û`=2에서 x-1=Ñ'2 ∴ x=1Ñ'2

⑷ (x-2)Û`-8=0에서 (x-2)Û`=8, x-2=Ñ2'2 ∴ x=2Ñ2'2

답⑴ x=Ñ'5 ``⑵ x=Ñ2'2

⑶ x=1Ñ'2 ⑷ x=2Ñ2'2

031

xÛ`-4x=4의 양변에 4를 더하면 xÛ`-4x+4=4+4

(x-2)Û`=8이므로 p=-2, q=8

∴ p+q=(-2)+8=6 ^답 ④

032

xÛ`-6x=1+2xÛ`을 이항하여 정리하면 xÛ`+6x+1=0이므로 xÛ`+6x=-1 xÛ`+6x+9=-1+9

(x+3)Û`=8이므로 p=-3, q=8

∴ p-q=-3-8=-11 ^답-11

033

^xÛ`-4x=-2

xÛ`-4x+ 4 =-2+ 4 (x- 2 )Û`= 2

x- 2 =Ñ¿¹ 2 x= 2 Ñ¿¹ 2

따라서 A=4, B=2, C=2이므로

A+B+C=8 답 ③

034

2(x+1)Û`=12에서 (x+1)Û`=6 x+1=Ñ'6 ∴ x=-1Ñ'6 따라서 A=-1, B=6이므로

B-A=6-(-1)=7 ^답 ②

035

(x+3)Û`=16에서 x+3=Ñ4 ∴ x=-3Ñ4

x=-3+4 또는 x=-3-4이므로 구하는 근은 x=1 또는 x=-7이다.

따라서 두 근의 합은 1+(-7)=-6 답 ①

036

3(x-2)Û`=a의 양변을 3으로 나누면 (x-2)Û`=;3A;, x-2=Ñ®;3A;

∴ x=2Ñ®;3A;

주어진 이차방정식의 해가 x=bÑ'2이므로 2Ñ®;3A;=bÑ'2

16- Û`4 =0이어야 하므로 =8 (∵ >0) ⑷ xÛ`+ x+25=0에서

{x+ 2}Û`+25- Û`4 =0

25- Û`4 =0이어야 하므로 =10 (∵ >0)

답⑴ 4 ⑵ 9 ⑶ 8 ⑷ 10

026

① xÛ`-6x+8=0, (x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4

② xÛ`+2x-8=0, (x+4)(x-2)=0 ∴ x=-4 또는 x=2

③ 2xÛ`+8x+8=0, 2(x+2)Û`=0 ∴ x=-2

④ xÛ`-7x+12=0, (x-3)(x-4)=0 ∴ x=3 또는 x=4

⑤ 4xÛ`-9=0, (2x+3)(2x-3)=0 ∴ x=-;2#; 또는 x=;2#;

^답 ③

027

xÛ`+7x-a=3x-6에서 xÛ`+4x+6-a=0이고 중근을 가지므로

6-a={;2$;}Û`, 6-a=4

∴ a=2 ^답 ②

포인트 이차방정식 xÛ`+ax+b=0이 중근을 가질 조건은 b={;2A;}2`이다. 이때 xÛ`의 계수가 1이 아닌 경우에는 xÛ`의 계수로 양변을 나눈 후 위의 조건을 이용한다.

028

xÛ`+6x+11-k=0이 중근을 가지므로 11-k={;2^;}Û`, 11-k=9

∴ k=2

이차방정식 xÛ`-kx+k-10=0은 xÛ`-2x-8=0

(x-4)(x+2)=0 ∴ x=-2 또는 x=4 따라서 두 근의 합은

4+(-2)=2 ^답 ⑤

029

xÛ`+4x+m-1=0이 중근을 가지므로 m-1={;2$;}Û`, m-1=4

∴ m=5

m=5를 주어진 식에 대입하면 xÛ`+4x+4=0, (x+2)Û`=0 ∴ a=-2

∴ m+a=5+(-2)=3 ^답 3

(5)

즉, 2=b, ;3A;=2이므로 a=6, b=2

∴ a+b=6+2=8 답 8

037

(x+a)Û`=b에서 x+a=Ñ'b ∴ x=-aÑ'b=3Ñ'§11

따라서 a=-3, b=11이므로 a+b=8 ^답 ③

038

근의 공식을 이용하여 풀면

x= -(-3)Ñ"Ã(-3)Û`-4_1_(-2)2_1 = 3Ñ'§172

따라서 A=3, B=17이므로

A+B=3+17=20 ^답20

039

근의 공식을 이용하여 풀면 x= -1Ñ"Ã1Û`-1_(-1)1 =-1Ñ'2

따라서 A의 값은 2이다. ^답 ②

040

x= -(-4)Ñ"Ã(-4)Û`-3_23 = 4Ñ'§103 따라서 a=4, b=10이므로

a+b=4+10=14 ^답 ①

041

2xÛ`=xÛ`+8x+15, xÛ`-8x-15=0을 근의 공식을 이용하여 풀면

x= -(-4)Ñ"Ã(-4)Û`-1_(-15)1 =4Ñ'§31 따라서 A=4, B=31이므로

A+B=4+31=35 ^답35

042

이차방정식 axÛ`+bx+c=0에서 xÛ`+;aB;x+;aC;=0

xÛ`+;aB;x+{ b2a }Û`=-;aC;+{ b2a }Û`

{x+ b2a }Û`= bÛ`-4ac

4aÛ` , x+ b2a =Ñ ¾ÐbÛ`-4ac 4aÛ`

∴ x= -bÑ"ÃbÛ`-4ac2a

답 b

2a, b2a, b2a, bÛ`-4ac 4aÛ` , b2a,

¾Ð bÛ`-4ac4aÛ` , -bÑ"ÃbÛ`-4ac 2a

043

x= -(-3)Ñ"Ã(-3)Û`-4_2_A2_2 = 3Ñ'¶9-8A4

B=3이고, 9-8A=17 ∴ A=-1

∴ A+B=(-1)+3=2 ^답2

044

x= -(-2)Ñ"Ã(-2)Û`-1_(-2)1 =2Ñ'6 따라서 x=2+'6 또는 x=2-'6이므로

두 근의 합은 (2+'6)+(2-'6)=4 ^답③

045

2xÛ`+ax+b=0에서 x= -aÑ"ÃaÛ`-4_2_b2_2 = -aÑ"ÃaÛ`-8b4 = 5Ñ'§414

따라서 -a=5, aÛ`-8b=41이므로 a=-5, b=-2

4xÛ`+bx+a=0에서 4xÛ`-2x-5=0 ∴ x= -(-1)Ñ"Ã(-1)Û`-4_(-5)4

= 1Ñ'§214 답②

046

;2!;xÛ`-;5!;x=;1£0;의 양변에 10을 곱하여 정리하면 5xÛ`-2x-3=0

(x-1)(5x+3)=0 ∴ x=1 또는 x=-;5#;

따라서 a=1, b=-;5#; (∵ a>b)이므로 a+b-ab=1+{-;5#;}-1_{-;5#;}

=1-;5#;+;5#;

=1 ^답③

047

이차방정식 0.1xÛ`+0.4x-2=0의 양변에 10을 곱하면 xÛ`+4x-20=0

근의 공식을 이용하면

x= -2Ñ'¶4+201 =-2Ñ2'6=-2Ñ2'k

∴ k=6 ^답③

048

주어진 식의 양변에 6을 곱하면 2(xÛ`-2)-3(xÛ`-1)+12=0 2xÛ`-4-3xÛ`+3+12=0

xÛ`=11 ∴ x=Ñ'§11 ^답②

049

A=(x-6)(x+3), B=(x-5)(x+3)이므로 3A=2B에서

(6)

3(x-6)(x+3)=2(x-5)(x+3) (x+3){3(x-6)-2(x-5)}=0 (x+3)(3x-18-2x+10)=0 (x+3)(x-8)=0

∴ x=-3 또는 x=8

그런데 A+0에서 xÛ`-3x-18+0 (x+3)(x-6)+0

즉, x+-3, x+6이므로 주어진 식을 만족시키는 x의 값

은 8이다. ^답 8

포인트 주어진 식에 공통인수가 있으면 공통인수로 묶어 내어 인수분해한다.

3(x-6)(x+3)-2(x-5)(x+3)에서 공통인수는 (x+3) 이므로 (x+3)으로 묶어 내어 인수분해하면 된다.

050

(x+1)Û`-2(x+1)-8=0에서 좌변을 전개하면 xÛ`+2x+1-2x-2-8=0, xÛ`-9=0

(x+3)(x-3)=0

∴ x=-3 또는 x=3 ^답 ③

051

³{x-;3@;}Û`+5=10{x-;3@;}에서 x-;3@;=X로 놓으면

3XÛ`+5=10X 3XÛ`-10X+5=0 근의 공식을 이용하면 X= 5Ñ'Ä25-153 = 5Ñ'§103

∴ x-;3@;= 5Ñ'§103 {∵ X=x-;3@;}

∴ x= 7Ñ'§103 답 ⑤

052

(x-y)(x-y-2)=15에서 x-y=X로 놓으면 X(X-2)=15, XÛ`-2X-15=0

(X-5)(X+3)=0 ∴ X=5 또는 X=-3

∴ x-y=-3 또는 x-y=5 ^답 ③

053

xÛ`-5x=A로 놓으면 주어진 방정식은 AÛ`+10A+24=0, (A+4)(A+6)=0 (xÛ`-5x+4)(xÛ`-5x+6)=0

xÛ`-5x+4=0 또는 xÛ`-5x+6=0 (x-1)(x-4)=0 또는 (x-2)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=4 또는 x=2 또는 x=3

따라서 모든 x의 값의 합은 1+4+2+3=10 ^답 10

054

x=3을 xÛ`+ax-(a+1)=0에 대입하면

9+3a-(a+1)=0, 2a+8=0 ∴ a=-4 yy ^가 x=-2를 2xÛ`+bx-14=0에 대입하면

8-2b-14=0, -2b-6=0 ∴ b=-3 yy ^나

∴ a+b=(-4)+(-3)=-7 yy ^다

답-7

단계 채점 요소 배점

가 a=-4 구하기 1점

나 b=-3 구하기 1점

다 답 구하기 2점

055

(x+1)(x-1)=2xÛ`-10에서 xÛ`-1=2xÛ`-10

xÛ`-9=0, (x+3)(x-3)=0 yy ^가

∴ x=-3 또는 x=3 yy ^나

^답 x=-3 또는 x=3

가 주어진 식을 인수분해하기 3점

나 답 구하기 3점

056

xÛ`-5x+4=0에서 (x-4)(x-1)=0

∴ x=1 또는 x=4 yy ^가

3xÛ`-x-2=0에서 (3x+2)(x-1)=0

∴ x=-;3@; 또는 x=1  yy ^나

따라서 두 이차방정식을 동시에 만족시키는 x의 값은 1이

다. yy ^다

답 1

가 xÛ`-5x+4=0의 해 구하기 2점

나 3xÛ`-x-2=0의 해 구하기 2점

057

xÛ`-ax-24=0의 한 근이 x=-4이므로 x=-4를 대입 하면

16+4a-24=0 ∴ a=2 yy ^가 xÛ`-ax-24=0에 a=2를 대입하면

xÛ`-2x-24=0, (x+4)(x-6)=0 ∴ x=-4 또는 x=6

따라서 다른 한 근이 x=6이므로 b=6 yy ^나

∴ b-a=6-2=4 yy ^다

답 4

가 a=2 구하기 2점

나 b=6 구하기 3점

058

⑴ 주어진 방정식이 이차방정식이므로

a-1+0 ∴ a+1 yy ^가

x=-1을 주어진 이차방정식에 대입하여 정리하면 aÛ`-3a+2=0

(7)

(a-1)(a-2)=0 ∴ a=2 (∵ a+1) yy ^나 ⑵ ⑴에서 xÛ`+4x+3=0이므로

(x+1)(x+3)=0

∴ x=-1 또는 x=-3 yy ^다

x=-3은 이차방정식 xÛ`+5x+b=0의 근이므로 9-15+b=0

∴ b=6 yy ^라

⑶ a+b=2+6=8 yy ^마

답 ⑴ 2 ⑵ 6 ⑶ 8

가 a+1 구하기 1점

나 a=2 구하기 2점

다 xÛ`+4x+3=0의 해 구하기 1점

라 b=6 구하기 2점

마 a+b=8 구하기 2점

059

3(x-2)Û`=-k가 중근을 가지려면 k=0 yy ^가 따라서 이차방정식은 3(x-2)Û`=0, (x-2)Û`=0

∴ x=2 yy ^나

답k=0, x=2

가 k=0 구하기 2점

나 중근 구하기 2점

포인트 중근을 갖는 이차방정식은 a(x-m)Û`=0`(a+0) 꼴이고, 이때의 중근은 x=m이다.

060

xÛ`-2x-a=0에서 xÛ`-2x=a

xÛ`-2x+1=a+1

(x-1)Û`=a+1이므로 yy ^가

x-1=Ñ'¶a+1

∴ x=1Ñ'¶a+1=1Ñ'7 yy ^나

따라서 a+1=7이므로 a=6 yy ^다

^답 6

가 주어진 식을 완전제곱식으로 나타내기 2점

나 주어진 식의 해 구하기 2점

061

2xÛ`-12x+8=0에서 xÛ`-6x+4=0

xÛ`-6x=-4 yy ^가

xÛ`-6x+9=5

(x-3)Û`=5이므로 yy ^나

x-3=Ñ'5

∴ x=3Ñ'5 yy ^다

^답x=3Ñ'5

가 2xÛ`-12x+8=0의 양변을 2로 나누고 정리하기 2점

나 주어진 식을 완전제곱식으로 나타내기 2점

062

이차방정식 axÛ`+2b'x+c=0의 근의 공식에

a=1, b'=3, c=3을 대입하면 yy ^가 x= -3Ñ"Ã3Û`-1_31 =-3Ñ'6 yy ^나

답 x=-3Ñ'6

가 axÛ`+2b'x+c=0의 근의 공식 이용하기 1점

063

근의 공식에 a=2, b=-5, c=A를 대입하면 x= -(-5)Ñ"Ã(-5)Û`-4_2_A2_2

= 5Ñ'Ä25-8A4 yy ^가

5Ñ'Ä25-8A

4 = BÑ'§174 이므로 B=5, 25-8A=17

∴ A=1 yy ^나

∴ A+B=6 yy ^다

답6

가 근의 공식을 이용하여 해 구하기 3점

나 A=1, B=5 구하기 2점

064

주어진 식의 양변을 전개하여 정리하면 4xÛ`+5x+1=xÛ`-3x

3xÛ`+8x+1=0 yy ^가

x= -4Ñ"Ã4Û`-3_13 = -4Ñ'§133 yy ^나 -4Ñ'§13

3 = AÑ'§B3 이므로 A=-4, B=13

∴ A+B=9 yy ^다

^답9

가 주어진 식을 전개하여 정리하기 1점

나 근의 공식을 이용하여 해 구하기 3점

065

주어진 식의 양변에 12를 곱하면

9xÛ`-6x-10=0 yy ^가

(8)

∴ x= -(-3)Ñ"Ã(-3)Û`-9_(-10)9

= 3Ñ'§999 = 1Ñ'§113 yy ^나 1Ñ'§11

3 = 1Ñ'ab 이므로

a=11, b=3 yy ^다

답 a=11, b=3

가 주어진 식의 양변에 12 곱하기 3점

나 주어진 식의 해 구하기 3점

066

xÛ`-4x+1=0에 x=a를 대입하면 aÛ`-4a+1=0 그런데 a+0이므로 양변을 a로 나누면

a-4+;a!;=0, a+;a!;=4 yy ㉠ ㉠의 양변을 제곱하면

{a+;a!;}Û`=4Û`, aÛ`+2_a_;a!;+{;a!;}Û`=16 aÛ`+2+ 1

aÛ`=16 ∴ aÛ`+ 1

aÛ`=14 ^답 14

067

a(x-2)(x-3)+b=0에 x=-2를 대입하면 a(-2-2)(-2-3)+b=0, 20a+b=0 ∴ b=-20a

주어진 이차방정식은 a(x-2)(x-3)-20a=0이다.

그리고 a+0이므로 양변을 a로 나누면 (x-2)(x-3)-20=0

xÛ`-5x-14=0, (x-7)(x+2)=0 ∴ x=7 또는 x=-2

따라서 다른 한 근은 x=7이다. 답 ⑤

068

x=2k를 xÛ`-kx-k=0에 대입하면 (2k)Û`-k_2k-k=0

2kÛ`-k=0, k(2k-1)=0 ∴ k=0 또는 k=;2!;

따라서 k의 값의 합은

0+;2!;=;2!; ^답 ④

069

x=2는 두 이차방정식의 공통인 근이므로 두 이차방정식 을 모두 만족시킨다.

xÛ`+ax-4=0에 x=2를 대입하면 2Û`+a_2-4=0

∴ a=0

a=0을 xÛ`+ax-4=0에 대입하면

xÛ`-4=0, (x+2)(x-2)=0 ∴ x=-2 또는 x=2 ∴ a=-2

a+b=-3에서 b=-1이므로 두 근이 x=-1 또는 x=2이고 이차항의 계수가 1인 이차방정식은

(x+1)(x-2)=0에서 xÛ`-x-2=0 이 식이 xÛ`+bx+c=0과 일치하므로 ∴ b=-1, c=-2

∴ a+b+c=0+(-1)+(-2)=-3 ^답 ③

070

xÛ`-3x+2=0에서 (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2 …… ㉠ q+r=7, qr=10인 경우는 q=2, r=5 또는 q=5, r=2

㉠에서

p=1, q=2, r=5

이차방정식 xÛ`+ax+b=0에 x=1, x=5를 대입하면 1+a+b=0, 25+5a+b=0

두 식을 연립하면 a=-6, b=5

∴ a-b=-11 ^답 ①

071

치호의 식은 x=3 또는 x=-3이 근인 이차방정식이므로 (x-3)(x+3)=0, xÛ`-9=0

치호가 본 상수항은 바른 것이다.

∴ b=-9

영진이의 식은 x=1 또는 x=9가 근인 이차방정식이므로 (x-1)(x-9)=0, xÛ`-10x+9=0

영진이가 본 x의 계수는 바른 것이다.

∴ a=-10

∴ a+b=-19 ^답-19

072

주어진 이차방정식이 중근 x=3을 가지므로 xÛ`+ax+b=0은 (x-3)Û`=0으로 인수분해된다.

(x-3)Û`=xÛ`-6x+9이므로 a=-6, b=9

∴ a+b=-6+9=3 ^답 ⑤

073

(x-2)Û`=k에서 x-2=Ñ'k, x=2Ñ'k ∴ x=2+'k 또는 x=2-'k (2+'k)(2-'k)=-4 4-k=-4

∴ k=8 ^답 8

074

a(x-p)Û`=q에서 a+0이므로 (x-p)Û`=;aQ;

Ú ;aQ;>0, 즉 aq>0일 때, 서로 다른 두 근

(9)

Û ;aQ;=0, 즉 q=0일 때, 중근

Ü ;aQ;<0, 즉 aq<0일 때, 근이 없다. ^답 ④

포인트 이차방정식 (x+p)Û`=q가

⑴ 서로 다른 두 근을 가질 조건은 q>0

⑵ 중근을 가질 조건은 q=0

⑶ 해를 갖지 않을 조건은 q<0

075

x= -(-1)Ñ"Ã(-1)Û`-p_(-3)

p = 1Ñ'Ä1+3p

p 1Ñ'Ä1+3p

p = 1Ñ'q 3 이므로 p=3, 1+3p=q에서 q=10

∴ p+q=3+10=13 ^답13

076

P+Q =(xÛ`-3x-4)+(xÛ`-x-12)

=2xÛ`-4x-16 =2(x-4)(x+2)=0

∴ x=4 또는 x=-2 yy ㉠ PQ =(xÛ`-3x-4)(xÛ`-x-12)

=(x-4)(x+1)(x-4)(x+3)

=(x-4)Û`(x+1)(x+3)+0 ∴ x+4, x+-1, x+-3 yy ㉡

따라서 ㉠과 ㉡을 동시에 만족시키는 x의 값은 -2이다.

답 ②

077

(x+4) : x=x : 2 xÛ`=2(x+4), xÛ`=2x+8 xÛ`-2x-8=0

(x+2)(x-4)=0

∴ x=-2 또는 x=4 ^답 ②

078

(ax+2)(3x-1)=6xÛ`+5x에서 3axÛ`+(-a+6)x-2=6xÛ`+5x (3a-6)xÛ`+(-a+1)x-2=0

이차방정식이 되려면 3a-6+0이어야 하므로

a+2 ^답 ④

포인트 x에 대한 이차방정식은 주어진 방정식의 모든 항 을 좌변으로 이항하여 정리했을 때,

(x에 대한 이차식)=0 꼴로 나타나야 한다.

079

주어진 이차방정식에 x=2를 대입하면 4-4a+aÛ`=0

(a-2)Û`=0

∴ a=2 ^답 ④

080

x=-3이 두 이차방정식의 공통인 근이므로 이차방정식 에 각각 대입하면

2xÛ`+mx-6=0에서

2_(-3)Û`+m_(-3)-6=0, 12-3m=0

∴ m=4 yy ^가

xÛ`-3x-n=0에서

(-3)Û`-3_(-3)-n=0, 18-n=0

∴ n=18 yy ^나

∴ m-n=4-18=-14 yy ^다

답-14

가 m=4 구하기 2점

나 n=18 구하기 2점

081

xÛ`-x-20=0, (x+4)(x-5)=0

∴ x=-4 또는 x=5 yy ㉠ yy ^가 또 2(x-1)+3¾9, 2x-2+3¾9

2x¾8 ∴ x¾4 yy ㉡ yy ^나 따라서 ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 것은 x=5 yy ^다

^답x=5

가 xÛ`-x-20=0의 해 구하기 2점

나 2(x-1)+3¾9의 해 구하기 1점

082

주어진 이차방정식에 x=2를 대입하면 4-2m-2mÛ`+8=0, 2mÛ`+2m-12=0 mÛ`+m-6=0

(m-2)(m+3)=0 ∴ m=2 또는 m=-3

∴ m=-3 (∵ m<0) ^답③

083

x=2를 주어진 이차방정식에 대입하면 4-2(2a+1)+aÛ`+2=0

4-4a-2+aÛ`+2=0, aÛ`-4a+4=0 (a-2)Û`=0

∴ a=2

따라서 a=2를 주어진 이차방정식에 대입하면 xÛ`-5x+6=0, (x-2)(x-3)=0

∴ x=2 또는 x=3

따라서 다른 한 근은 x=3이다. 답③

084

x=3을 xÛ`+ax-3=0에 대입하면 9+3a-3=0

∴ a=-2 yy ^가

주어진 이차방정식은 xÛ`-2x-3=0이므로

(10)

(x-3)(x+1)=0 ∴ x=3 또는 x=-1

따라서 다른 한 근은 x=-1이다. yy ^나 x=-1을 3xÛ`-6x+b=0에 대입하면

3+6+b=0 ∴ b=-9 yy ^다

∴ a+b=(-2)+(-9)=-11 yy ^라

답-11

가 a=-2 구하기 1점

나 다른 한 근 구하기 2점

다 b=-9 구하기 2점

라 답 구하기 1점

085

xÛ`-2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3

3xÛ`-7x-6=0에서 (3x+2)(x-3)=0 ∴ x=-;3@; 또는 x=3

따라서 a=3, b=-1, c=-;3@;이므로

abc=2 ^답 ④

086

xÛ`+3x-4=0에서 (x+4)(x-1)=0 ∴ x=-4 또는 x=1

xÛ`+x-12=0에서 (x+4)(x-3)=0 ∴ x=-4 또는 x=3

따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-4이므로 이차방정식 xÛ`+ax-20=0에 대입하면

16-4a-20=0

∴ a=-1 ^답 -1

087

(완전제곱식)=0이면 중근을 갖는다.

ㄴ. xÛ`=;3@;x-;9!;에서 xÛ`-;3@;x+;9!;=0 ∴ {x-;3!;}Û`=0

ㄷ. xÛ`+8x+16=0

∴ (x+4)Û`=0 ㅁ. ;4!;xÛ`+;5!;x+;2Á5;=0 ㅁ. ∴ {;2!;x+;5!;}Û`=0

따라서 중근을 갖는 것은 모두 3개이다. ^답 3개

088

(x-1)(x-5)=4에서 좌변을 전개하면 xÛ`-6x+5=4, xÛ`-6x=-1

xÛ`-6x+9=-1+9 yy ^가

(x-3)Û`=8이므로 a=-3, b=8

∴ a+b=-3+8=5 yy ^나

답 5

가 주어진 식을 정리하여 양변에 9를 더하기 2점

089

2xÛ`+3x-1=0에서 xÛ`+;2#;x=;2!;

xÛ`+;2#;x+ ;1»6; =;2!;+ ;1»6;

{x+ ;4#; }Û`= ;1!6&;

x+ ;4#; =Ñ '§17 4 ∴ x=-;4#;Ñ '§17

4 ^답 ②

090

;3!;(x+a)Û`=2에서 (x+a)Û`=6 x+a=Ñ'6

∴ x=-aÑ'6

따라서 a=-5, b=6이므로

b-a=6-(-5)=11 ^답11

포인트 이차방정식 (x+a)Û`=k`(k¾0)의 해는 x=-aÑ'k

091

xÛ`-2x-1=0을 근의 공식을 이용하여 풀면 x= -(-1)Ñ"Ã(-1)Û`-1_(-1)1 =1Ñ'2 ∴ (두 근의 합)=(1+'2)+(1-'2)=2

두 근의 합이 이차방정식 xÛ`-4x+k=0의 한 근이므로 x=2를 대입하면

4-8+k=0 ∴ k=4 ^답 ④

092

⑴ 3xÛ`+3x-1=0에서

x= -3Ñ"Ã3Û`-4_3_(-1)2_3 = -3Ñ'§216 yy ^가

∴ a= -3+'§216 yy ^나

⑵ '§21은 4<'§21<5이므로

1<-3+'§21<2, ;6!;< -3+'§216 <;3!; yy ^다 즉, 0<a<1이므로

n<a<n+1을 만족시키는 정수 n은 0이다. yy ^라

답⑴ -3+'§216 ⑵ 0

가 3xÛ`+3x-1=0의 해 구하기 2점

나 a의 값 구하기 1점

다 ;6!;<a<;3!; 구하기 3점

라 n의 값 구하기 2점

(11)

093

주어진 식의 양변에 10을 곱하여 정리하면 3xÛ`-5x-2=0

(x-2)(3x+1)=0 ∴ x=2 또는 x=-;3!;

∴ a+b=2+{-;3!;}=;3%; ^답 ;3%;

094

주어진 식의 양변에 6을 곱하면 -2(x-1)Û`=3(1-x)(3x+2) -2(xÛ`-2x+1)=3(3x+2-3xÛ`-2x) -2xÛ`+4x-2=3x+6-9xÛ`

7xÛ`+x-8=0 (x-1)(7x+8)=0

∴ x=1 또는 x=-;7*; ^답 ③

095

(x-y)Û`-2(x-y)-8=0에서 x-y=X로 놓으면

XÛ`-2X-8=0, (X+2)(X-4)=0 ∴ X=-2 또는 X=4

∴ x-y=-2 또는 x-y=4 여기서 x<y이므로 x-y<0

∴ x-y=-2 ^답 ②

001

⑴ 4Û`-4_1_(-14)=72>0 ∴ 중근을 갖지 않는다.

⑵ (-8)Û`-4_1_16=0 ∴ 중근을 갖는다.

⑶ (-4)Û`-4_2_2=0 ∴ 중근을 갖는다.

⑷ 3Û`-4_1_;4(;=0 ∴ 중근을 갖는다.

답⑴

_

⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ◯

002

(-5)Û`-4_1_k=0이므로 25-4k=0, 4k=25

∴ k=:ª4°: ^답③

003

{-2(k+1)}Û`-4_1_(k+1)=0이어야 하므로 4kÛ`+8k+4-4k-4=0

4kÛ`+4k=0, kÛ`+k=0 k(k+1)=0

∴ k=-1 또는 k=0

따라서 모든 상수 k의 값의 합은 -1이다. ^답①

004

xÛ`+8x+16=a-1, xÛ`+8x+17-a=0

이차방정식 xÛ`+8x+17-a=0이 중근을 가지므로 8Û`-4_1_(17-a)=0

4a=4 ∴ a=1

(x+4)Û`=a-1에 a=1을 대입하면 (x+4)Û`=0이므로 x=-4 ∴ b=-4

∴ a+b=1+(-4)=-3 ^답①

005

이차방정식 4xÛ`+ax+9=0이 중근을 가지므로 aÛ`-4_4_9=0, aÛ`=144

∴ a=-12 또는 a=12 Ú a=-12일 때

4xÛ`-12x+9=0, (2x-3)Û`=0 따라서 x=;2#;, 즉 m=;2#;이므로 am=(-12)_;2#;=-18 Û a=12일 때

4xÛ`+12x+9=0, (2x+3)Û`=0 따라서 x=-;2#;, 즉 m=-;2#; 이므로 am=12_{-;2#;}=-18

Ú, Û에서 am=-18 ^답①

2 이차방정식의 성질과 활용

본문 026~044쪽

(12)

006

이차방정식 xÛ`+ax+b=0이 중근 x=3을 가지므로 (x-3)Û`=0으로 인수분해된다.

(x-3)Û`=xÛ`-6x+9이므로 a=-6, b=9

∴ a+b=-6+9=3 ^답 ⑤

007

이차방정식 xÛ`-2x+a=0이 중근을 가지므로 (-2)Û`-4_1_a=0 ∴ a=1

a=1을 xÛ`-2(a+1)x+b=0에 대입하면 xÛ`-4x+b=0

이 이차방정식이 중근을 가지므로 (-4)Û`-4_1_b=0 ∴ b=4

∴ a+b=1+4=5 ^답 ⑤

008

이차방정식 xÛ`-4x+k=0이 중근을 가지므로 (-4)Û`-4_1_k=0 ∴ k=4

k=4를 (k-7)xÛ`+4x-1=0에 대입하면 -3xÛ`+4x-1=0

-(3x-1)(x-1)=0

∴ x=;3!; 또는 x=1 ^답 ④

009

⑴ (-1)Û`-4_1_4=-15 ⑵ 0

⑶ 4Û`-4_2_1=8 ⑷ 2

⑸ (-4)Û`-4_1_4=0 ⑹ 1

^답 ⑴ -15 ⑵ 0 ⑶ 8 ⑷ 2 ⑸ 0 ⑹ 1

010

이차방정식 axÛ`+bx+c=0에서 bÛ`-4ac<0이면 근이 없 다.

bÛ`-4ac의 값을 구하면 ③ (-3)Û`-4_1_3=-3<0 ∴ 근이 없다.

⑤ 주어진 이차방정식의 양변에 6을 곱하면 2xÛ`+3x+6=0

3Û`-4_2_6=-39<0

∴ 근이 없다. ^답③, ⑤

011

① (-6)Û`-4_4_9=-108<0  0개 ② 4Û`-4_4_1=0  1개

③ (-2)Û`-4_1_1=0  1개 ④ x(x-6)+9=xÛ`-6x+9이므로

(-6)Û`-4_1_9=0  1개

⑤ 3x(x-4)+12=0에서 xÛ`-4x+4=0이므로 (-4)Û`-4_1_4=0  1개 ^답 ①

012

2xÛ`-5x-1=0에서

(-5)Û`-4_2_(-1)=33>0이므로 a=2 ;3!;xÛ`-2x+3=0에서

(-2)Û`-4_;3!;_3=0이므로 b=1 -2(x-1)Û`=6에서 xÛ`-2x+4=0이므로 (-2)Û`-4_1_4=-12<0 ∴ c=0

∴ a+b+c=2+1+0=3 ^답 ④

013

(-4)Û`-4_2_(k+1)>0 -8k+8>0 ∴ k<1

따라서 상수 k의 값 중에서 가장 큰 정수는 0이다. ^답 0

014

(-3)Û`-4_1_(4-k)<0, 4k-7<0 ∴ k<;4&;

따라서 이를 만족시키는 자연수 k의 개수는 1의 1이다.

답 ②

015

{-2(m+1)}Û`-4_(mÛ`+3)<0 4mÛ`+8m+4-4mÛ`-12<0 8m-8<0

∴ m<1

따라서 상수 m의 값 중 가장 큰 정수는 0이다. ^답 ③

016

이차방정식 3xÛ`-4x+k-1=0에서 서로 다른 두 근을 가 지므로

(-4)Û`-4_3_(k-1)>0

3k-7<0 ∴ k<;3&; yy`㉠

이차방정식 xÛ`+kx+3=0에서 중근을 가지므로 kÛ`-4_1_3=0, kÛ`-12=0

kÛ`=12 ∴ k=Ñ2'3 yy`㉡

㉠, ㉡에서 k=-2'3 ^답-2'3

017

^답⑴ xÛ`-7x+10=0 ⑵ 2xÛ`-8x+6=0

018

두 근이 3, 4이고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x-3)(x-4)=0

∴ a+b=7 ^답 ④

포인트 두 근이 a, b이고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식

 (x-a)(x-b)=0

019

2(x-1)(x+3)=0 2xÛ`+4x-6=0

따라서 a=4, b=-6이므로

ab=-24 ^답 ①

(13)

020

xÛ`의 계수가 1이고 두 근이 a, b인 이차방정식은 xÛ`-(a+b)x+ab=0이므로

a+b=-5, ab=-9

따라서 xÛ`의 계수가 1이고 a+b, ab를 두 근으로 하는 이 차방정식은

(x+5)(x+9)=0

∴ xÛ`+14x+45=0 ^답 xÛ`+14x+45=0

021

xÛ`의 계수가 1이고 두 근이 a, b인 이차방정식은 xÛ`-(a+b)x+ab=0이므로

a+b=4, ab=-7

xÛ`의 계수가 1이고 두 근이 a+2, b+2인 이차방정식은 {x-(a+2)}{x-(b+2)}

=xÛ`-(a+b+4)x+(a+2)(b+2) =xÛ`-(a+b+4)x+{ab+2(a+b)+4}

=xÛ`-8x+5

따라서 a=-8, b=5이므로 a+b=-3 ^답 ②

022

³{x-;3!;}²=0, 3 {xÛ`-;3@;x+;9!;}=0

3xÛ`-2x+;3!;=0 ∴ a=-2, b=;3!;

∴ a+b=(-2)+;3!;=-;3%; ^답 ①

포인트 중근이 a이고 xÛ`의 계수가 a인 이차방정식

 a(x-a)Û`=0

023

xÛ`의 계수가 a이고 두 근이 x=2 또는 x=-3인 이차방 정식은

a(x-2)(x+3)=0, axÛ`+ax-6a=0 이 식이 axÛ`+bx-c=0과 일치하므로 b=a, c=6a

∴ a`:`c=a`:`6a=1`:`6 ^답 ⑤

024

한 근이 x=-2+'¶11이므로 다른 한 근은 x=-2-'¶11

∴ a=-2-'¶11

k=(-2-'¶11 )(-2+'¶11 )=-7

∴ a+k=(-2-'¶11 )+(-7)=-9-'¶11

답 -9-'¶11

025

^2<'5 <3이므로 '5 의 정수 부분은 2이고, 소수 부분은 '5-2이다.

2와 '5-2를 두 근으로 하는 이차방정식 xÛ`+px+q=0 에서

-p=2+('5 -2)='5 ∴ p=-'5

q=2_('5 -2)=2'5 -4

∴ 2p+q=2_(-'5 )+(2'5 -4)=-4 ^답 ④

026

-3과 3을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x-3)(x+3)=0, xÛ`-9=0

즉, 이차방정식의 상수항은 -9이다.

∴ b=-9

1과 9를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x-1)(x-9)=0, xÛ`-10x+9=0

즉, 이차방정식의 x의 계수는 -10이다.

∴ a=-10

따라서 처음 이차방정식은 xÛ`-10x-9=0 ∴ x= -(-5)Ñ'Ä25+9` 1 =5Ñ'¶34

∴ (두 근의 합)=(5+'¶34 )+(5-'¶34 )=10 ^답⑤

027

-1과 -5를 근으로 가지고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x+1)(x+5)=0 ∴ xÛ`+6x+5=0

즉, 이차방정식의 상수항은 5이다.

2와 4를 근으로 가지고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x-2)(x-4)=0 ∴ xÛ`-6x+8=0

즉, 이차방정식의 x의 계수는 -6이다.

따라서 처음 이차방정식은 xÛ`-6x+5=0 (x-1)(x-5)=0

∴ x=1 또는 x=5 ^답 x=1 또는 x=5

028

xÛ`의 계수가 3이고 a, b를 근으로 갖는 이차방정식은 3(x-a)(x-b)=0에서 3xÛ`-3(a+b)x+3ab=0 a+b=3, ab=;3!;이므로

;a!;+;b!;= a+b ab =3Ö;3!;=9 답⑤

029

xÛ`의 계수가 1이고 a, b를 근으로 갖는 이차방정식은 (x-a)(x-b)=0에서 xÛ`-(a+b)x+ab=0

a+b=2, ab=k+1이므로

aÛ`+bÛ` =(a+b)Û`-2ab=2Û`-2(k+1)=8

-2k=6 ∴ k=-3 답③

030

작은 근을 a라 하면 큰 근은 a+3이므로 xÛ`의 계수가 1이 고 a, a+3을 두 근으로 갖는 이차방정식은

(x-a){x-(a+3)}=0에서 xÛ`-(2a+3)x+a(a+3)=0

2a+3=5 yy`㉠

a(a+3)=-2k+5 yy`㉡

㉠에서 2a=2 ∴ a=1

a=1을 ㉡에 대입하면 4=-2k+5

2k=1 ∴ k=;2!; ^답⑤

031

한 근을 m이라 하면 다른 한 근이 2m이므로 xÛ`의 계수가 1이고 m, 2m을 두 근으로 갖는 이차방정식은

(14)

(x-m)(x-2m)=0에서 xÛ`-3mx+2mÛ`=0 a=-3m yy`㉠

2mÛ`=8 yy`㉡

㉡에서 mÛ`=4 ∴ m=-2 또는 m=2 이것을 ㉠에 대입하면 a=6 또는 a=-6

a>0이므로 a=6 ^답 6

032

한 근을 2a (a+0)라 하면 다른 근은 5a이므로 xÛ`의 계수 가 1이고 2a, 5a를 두 근으로 갖는 이차방정식은

(x-2a)(x-5a)=0에서 xÛ`-7ax+10aÛ`=0 -7a=7k yy`㉠

10aÛ`=4k+6 yy`㉡

㉠에서 a=-k ㉡에서 5aÛ`=2k+3 a=-k이므로 5kÛ`=2k+3

5kÛ`-2k-3=0, (5k+3)(k-1)=0 ∴ k=-;5#; 또는 k=1

k는 정수이므로 k=1 ^답 ①

033

ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ =105, n(n+1)=210 nÛ`+n-210=0, (n+15)(n-14)=0

n은 자연수이므로 n=14 ^답 ④

포인트 이차방정식의 모든 해가 문제의 답이 되는 것은 아 니므로 문제의 조건에 맞는지 확인하는 것이 중요하다.

034

^n(n-3)₂ ⁼⁷⁷

nÛ`-3n-154=0, (n-14)(n+11)=0 n>0이므로 n=14

따라서 대각선의 총 개수가 77인 다각형은 십사각형이다.

^답 ④

035

⑴ 두 자연수의 합이 11이므로 작은 수를 x라 하면 큰 수 는 11-x이다.

⑵ 두 자연수의 곱이 28이므로 x(11-x)=28, -xÛ`+11x=28 xÛ`-11x+28=0

∴ a=-11, b=28

⑶ xÛ`-11x+28=0, (x-7)(x-4)=0 ∴ x=4 또는 x=7

따라서 두 수 중 작은 수가 x이므로 x=4

^답⑴ 11-x ⑵ a=-11, b=28 ⑶ 4

036

어떤 자연수를 x라 하면 3x+1=(x-1)Û`

xÛ`-5x=0, x(x-5)=0

x는 자연수이므로 x=5 ^답 5

037

어떤 수를 x라 하면 그 수의 제곱은 xÛ`이므로 x+xÛ`=30, xÛ`+x-30=0

(x+6)(x-5)=0 ∴ x=-6 또는 x=5

따라서 두 수의 합은 -6+5=-1 ^답 ③

038

연속하는 두 자연수를 x, x+1이라 하면 x(x+1)=240, xÛ`+x-240=0 (x+16)(x-15)=0

x는 자연수이므로 x=15

따라서 두 자연수는 15, 16이므로 구하는 합은

15+16=31 ^답31

039

연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면 두 수의 곱이 168이므로 x(x+2)=168, xÛ`+2x-168=0

(x+14)(x-12)=0 x>0이므로 x=12

따라서 두 짝수는 12와 14이므로 구하는 큰 수는 14이다.

답 ③

040

^a+b=5 ^yy`㉠

ab=-36 yy`㉡

㉠에서 a+b=5이므로 b=5-a b=5-a를 ㉡에 대입하면 a(5-a)=-36, 5a-aÛ`=-36 aÛ`-5a-36=0, (a-9)(a+4)=0 a>0이므로 a=9

a=9를 ㉡에 대입하면 b=-4

따라서 두 수 a, b 중 작은 수는 -4이다. ^답 ①

041

큰 자연수를 x라 하면, 작은 자연수는 x-2이고, 두 수의 제곱의 합이 202이므로

xÛ`+(x-2)Û`=202, 2xÛ`-4x-198=0 xÛ`-2x-99=0, (x-11)(x+9)=0 x는 자연수이므로 x=11

따라서 두 자연수는 9, 11이므로 두 수의 합은 20이다.

^답 ⑤

042

연속하는 두 홀수를 x, x+2라 하면 x(x+2)=255

xÛ`+2x-255=0 (x-15)(x+17)=0 x>0이므로 x=15

따라서 구하는 두 홀수의 합은

15+17=32 ^답 ②

(15)

043

연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2로 놓으면 (x-2)Û`+xÛ`+(x+2)Û`=155, 3xÛ`+8=155 3xÛ`=147, xÛ`=49

x>0이므로 x=7

따라서 세 홀수는 5, 7, 9이므로 가장 큰 수는 9이다.

답 ③

044

가장 작은 자연수를 x라 하면

연속하는 4개의 자연수는 x, x+1, x+2, x+3이다.

(x+3)Û`-xÛ`=(x+1)(x+2)-33 xÛ`-3x-40=0, (x-8)(x+5)=0 x는 자연수이므로 x=8

따라서 가장 작은 자연수는 8이다. ^답 ⑤

045

어떤 자연수를 x라 하면 2x=xÛ`-80, xÛ`-2x-80=0 (x-10)(x+8)=0

x는 자연수이므로 x=10 ^답 ③

046

학생 수를 x라 하면 한 사람에게 돌아가는 자두의 개수는 (x-5)이므로

x(x-5)=84, xÛ`-5x-84=0 (x-12)(x+7)=0 x>0이므로 x=12

따라서 학생 한 명이 가지는 자두의 개수는

12-5=7 ^답 ①

047

형의 나이를 x세라 하면 동생의 나이는 (x-7)세이다.

xÛ`=3(x-7)Û`+13, 2xÛ`-42x+160=0 xÛ`-21x+80=0, (x-16)(x-5)=0 ∴ x=5 또는 x=16

형의 나이가 5세이면 동생의 나이가 음수가 되므로

형의 나이는 16세이다. ^답16세

048

온천 여행을 한 3일의 날짜를 (x-1)일, x일, (x+1)일 이라 하면

(x-1)Û`+xÛ`+(x+1)Û`=110 3xÛ`=108, xÛ`=36

x>0이므로 x=6

따라서 출발 날짜는 2월 5일이다. ^답 ②

049

가로, 세로의 줄의 합이 11줄이므로 가로의 줄의 수를 x라 하면 세로의 줄의 수는 11-x이다. 즉,

x(11-x)=30, xÛ`-11x+30=0

(x-6)(x-5)=0 ∴ x=5 또는 x=6

세로의 줄의 수가 가로의 줄의 수보다 많다고 하였으므로

가로의 줄의 수는 5이다. ^답 5

050

t초 후의 좌표가 64t-16tÛ`이므로 좌표가 48이 되는 것은 64t-16tÛ`=48, tÛ`-4t+3=0

(t-1)(t-3)=0 t>1이므로 t=3

따라서 원점을 출발한 지 3초 후에 점 P가 48의 위치를 지

난다. 답②

051

-7tÛ`+42t=63, 7tÛ`-42t+63=0 tÛ`-6t+9=0, (t-3)Û`=0 ∴ t=3

따라서 불꽃을 쏘아 올린 지 3초 후에 높이가 63`m가 된다.

^답②

052

-5tÛ`+35t+25=75 5tÛ`-35t+50=0 tÛ`-7t+10=0 (t-2)(t-5)=0 ∴ t=2 또는 t=5

따라서 이 물체가 처음으로 75`m의 높이에 도달하는 것은

쏘아 올린 지 2초 후이다. ^답2초

포인트 시간 t에 따른 물체의 높이가 (atÛ`+bt+c) m로 주어졌을 때, 높이가 p`m일 때의 시간을 구하려면 이차방 정식

p=atÛ`+bt+c

의 해를 구한다. 이때 t¾0임에 주의한다.

053

80t-5tÛ`=320, tÛ`-16t+64=0 (t-8)Û`=0 ∴ t=8

즉, 8초 후에 높이 320`m인 지점을 지나게 된다.

또 땅에 떨어질 때는 높이가 0이므로 80t-5tÛ`=0, tÛ`-16t=0, t(t-16)=0 ∴ t=0 또는 t=16

그런데 t=0일 때는 처음 던졌을 때이므로 땅에 떨어질 때 는 t=16, 즉 16초 후이다.

따라서 320`m 지점을 지난 후 땅에 떨어질 때까지 걸리는 시간은

16-8=8(초) ^답④

054

큰 원의 반지름의 길이를 x`cm라 하면 작은 원의 반지름의 길이는 (6-x) cm이므로 p_xÛ`=4_p_(6-x)Û`

xÛ`=4(36-12x+xÛ`) 3xÛ`-48x+144=0 xÛ`-16x+48=0 (x-4)(x-12)=0 0<x<6이므로 x=4 (cm)

따라서 큰 원의 반지름의 길이는 4`cm이다. ^답 4`cm

(16)

055

큰 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 작은 정사각형의 한 변의 길이는 (9-x) cm이다.

xÛ`+(9-x)Û`=45, 2xÛ`-18x+36=0 xÛ`-9x+18=0, (x-6)(x-3)=0 ∴ x=3 또는 x=6

따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 6`cm이다.

^답6`cm

056

" $ #

YDN

ADN YADN

가장 작은 반원의 지름의 길이를 x`cm라 하면 두 번째로 큰 반원의 지름의 길이는 (12-x) cm이므로

;2!;_p_6Û`-;2!;_p_{;2{;}²-;2!;_p_{ 12-x 2 }²=5p xÛ`-12x+20=0, (x-2)(x-10)=0

∴ x=2 또는 x=10

따라서 가장 작은 반원의 지름의 길이는 2`cm이다.

답2`cm

057

도로의 폭을 x`m라 하면 도로를 제외한 부분의 넓이는 (30-x)(24-x)=520

xÛ`-54x+200=0, (x-50)(x-4)=0

0<x<24이므로 x=4 (m) ^답 ①

058

주어진 직선의 방정식은 y=-4x+16

점 P(a, b)는 y=-4x+16의 그래프 위의 점이므로 b=-4a+16

즉, 점 P의 좌표는 (a, -4a+16) ∴ OAPB=OAÓ_OBÓ=a_b

=a(-4a+16)=16 -4aÛ`+16a=16, aÛ`-4a+4=0 (a-2)Û`=0 ∴ a=2

따라서 a=2, b=8이므로 구하는 점 P의 좌표는 (2, 8)이

다. ^답(2, 8)

059

PQÓ=x`cm, ARÓ=(12-x)`cm라 하면 △PQR=;2!;_x_PRÓ=12

∴ PRÓ= 24 x (cm)

△ABC»△APR(AA`닮음)이므로 12`:`9=(12-x)`:` 24 x

xÛ`-12x+32=0 (x-4)(x-8)=0 ∴ x=4 또는 x=8

따라서 PQÓ의 길이는 4`cm 또는 8`cm이다. ^답 ③

060

처음 원의 반지름의 길이를 x`cm라 하면 늘어난 원의 반지름의 길이는 (x+2) cm이다.

p(x+2)Û`=3pxÛ`

2xÛ`-4x-4=0 xÛ`-2x-2=0

x>0이므로 x=1+'3 (cm)

따라서 처음 원의 반지름의 길이는 (1+'3) cm이다.

답 ①

포인트 원의 반지름의 길이를 r라 할 때

⑴ (원의 둘레의 길이)=2pr

⑵ (원의 넓이)=prÛ`

061

처음 직각이등변삼각형의 밑변의 길이를 x`cm라 하면 ;2!;(x+2)(x+4)=2_;2!;xÛ`

xÛ`-6x-8=0

x>0이므로 x=3+'¶17 (cm)

따라서 처음 직각이등변삼각형의 밑변의 길이는

(3+'¶17 ) cm이다. ^답 (3+'¶17 ) cm

062

(x+2)(x-3)=50 xÛ`-x-56=0 (x-8)(x+7)=0 x>0이므로 x=8 (m)

따라서 처음 정사각형 모양의 꽃밭의 한 변의 길이는 8`m

이다. ^답 ④

063

물받이의 높이를 x`cm라 하면 x(12-2x)=16

xÛ`-6x+8=0 (x-2)(x-4)=0

∴ x=2 (cm) 또는 x=4 (cm)

따라서 물받이의 높이는 2`cm 또는 4`cm이다.

답②, ④

064

넓이가 처음 직사각형의 넓이와 같아지는 데 걸리는 시간 을 x초라 하면

직사각형의 가로의 길이는 (20-x) cm이고 세로의 길이는 (16+2x) cm이므로 (20-x)(16+2x)=20_16, xÛ`-12x=0 x(x-12)=0

x>0이므로 x=12(초)

따라서 넓이가 처음 직사각형의 넓이와 같아지는 데 걸리

는 시간은 12초이다. ^답 ⑤

(17)

065

이차방정식 xÛ`+ax+a=0이 중근을 가지므로 aÛ`-4a=0, a(a-4)=0

a+0이므로 a=4 yy ^가

∴ xÛ`+4x+4=0

(x+2)Û`=0 ∴ x=-2

x=-2를 bxÛ`+4x-b+2=0에 대입하면 4b-8-b+2=0, 3b=6

∴ b=2 yy ^나

∴ a+b=6 yy ^다

답 6

나 b=2 구하기 1점

다른 풀이

이차방정식 xÛ`+ax+a=0이 중근을 가지므로 a={;2A;}², aÛ`-4a=0

a(a-4)=0 ∴ a=4 ∴ xÛ`+4x+4=0

(x+2)Û`=0 ∴ x=-2

x=-2를 bxÛ`+4x-b+2=0에 대입하면 4b-8-b+2=0, 3b=6

∴ b=2

∴ a+b=4+2=6

066

⑴ (-2)Û`-4_3_(-k)>0이므로

4+12k>0 ∴ k>-;3!; yy ^가 ⑵ (-2)Û`-4_3_(-k)<0이므로

4+12k<0 ∴ k<-;3!; yy ^나 ^답⑴ k>-;3!; ⑵ k<-;3!;

가 k>-;3!; 구하기 2점

나 k<-;3!; 구하기 2점

067

(-4)Û`-4_1_(m-1)¾0이므로 16-4m+4¾0

∴ mÉ5 yy ^가

5Û`-4_(m+1)_10<0이므로 25-40m-40<0

∴ m>-;8#; yy ^나

∴ -;8#;<mÉ5 yy ^다

답 -;8#;<mÉ5

가 mÉ5 구하기 1점

나 m>-;8#; 구하기 1점

068

이차방정식 9xÛ`-12x+k=0이 중근을 가지므로

(-12)Û`-4_9_k=0 ∴ k=4 yy ^가 따라서 k=4를 k-9, 2k-4에 각각 대입하면 -5, 4이므 로 -5, 4를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 2인 이차방정식은

2(x-4)(x+5)=0 yy ^나

∴ 2xÛ`+2x-40=0 yy ^다

답2xÛ`+2x-40=0

가 k=4 구하기 2점

나 주어진 조건에 맞는 이차방정식 세우기 2점

069

^{한 근이 2-}'3이므로 다른 한 근은 2+'3이다. yy ^가 (두 근의 합)=(2-'3 )+(2+'3 )=4

(두 근의 곱)=(2-'3 )(2+'3 )=1 yy ^나 따라서 이차방정식은 xÛ`-4x+1=0이므로

a=-4, b=1 ∴ a+b=-3 yy ^다

^답-3

가 다른 한 근 구하기 1점

나 두 근의 합과 두 근의 곱 구하기 3점

070

xÛ`-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2

∴ a=2 yy ^가

4xÛ`-5x+1=0, (4x-1)(x-1)=0 ∴ x=;4!; 또는 x=1

∴ b=;4!; yy ^나

따라서 ;4!;, 2를 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 4인 이차방정 식은

4(x-2){x-;4!;}=0, 4{xÛ`-;4(;x+;2!;}=0

∴ 4xÛ`-9x+2=0 yy ^다

^답 4xÛ`-9x+2=0

나 b=;4!; 구하기 3점

(18)

071

xÛ`의 계수가 1이고 a, b를 두 근으로 갖는 이차방정식은 (x-a)(x-b)=0에서 xÛ`-(a+b)x+ab=0이므로

a+b=5, ab=3 yy ^가

∴ aÛ`+3ab+bÛ`=(a+b)Û`+ab=5Û`+3=28 yy ^나

^답 28

가 a+b=5, ab=3 구하기 3점

072

연속하는 두 자연수를 x, x+1이라 하면

xÛ`+(x+1)Û`=265 yy ^가

2xÛ`+2x-264=0 xÛ`+x-132=0 (x+12)(x-11)=0

x는 자연수이므로 x=11 yy ^나

따라서 두 자연수는 11, 12이다. yy ^다

답11, 12

가 주어진 조건에 맞는 이차방정식 세우기 2점

나 x=11 구하기 2점

073

연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면

(x+1)Û`=2x(x-1)-20 yy ^가

xÛ`-4x-21=0, (x+3)(x-7)=0

x는 자연수이므로 x=7 yy ^나

따라서 구하는 세 수는 차례대로 8, 7, 6이다. yy ^다

답 8, 7, 6

나 x=7 구하기 2점

074

xÛ`+px+q=0의 두 근을 m, m+1 (m>0)로 놓으면 두 근의 제곱의 차가 9이므로

(m+1)Û`-mÛ`=9, mÛ`+2m+1-mÛ`=9

∴ m=4 yy ^가

따라서 두 근은 4, 5이므로 구하는 이차방정식은 (x-4)(x-5)=0, xÛ`-9x+20=0

∴ p=-9, q=20 yy ^나

∴ p+q=-9+20=11 yy ^다

답 11

가 m=4 구하기 3점

나 p=-9, q=20 구하기 3점

075

물체가 땅에 떨어질 때의 높이는 0이므로

-5tÛ`+15t+20=0 yy ^가

tÛ`-3t-4=0, (t+1)(t-4)=0 t>0이므로 t=4

따라서 물체가 땅에 떨어질 때까지 걸린 시간은 4초이다.

yy ^나

^답4초

포인트 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 0이다.

076

처음 직사각형의 세로의 길이를 x`cm라 하면 가로의 길이는 (x+6) cm이다.

직육면체의 가로의 길이는 (x+6)-8=x-2 (cm), 세로의 길이는 (x-8) cm이므로 yy ^가

(x-2)(x-8)_4=288 yy ^나

xÛ`-10x-56=0 (x-14)(x+4)=0 x>0이므로 x=14

따라서 처음 직사각형의 세로의 길이는 14`cm이다.

yy ^다

답 14`cm

가 직육면체의 가로, 세로의 길이 구하기 2점

나 주어진 조건에 맞는 이차방정식 세우기 2점

포인트 이차방정식의 활용 － 상자를 만드는 경우 구하는 길이를 x로 놓고

(직육면체의 부피)

=(밑면의 가로의 길이)_(밑면의 세로의 길이)_(높이) 임을 이용하여 이차방정식을 세운다.

077

4xÛ`-a(2x+1)+3=0, 4xÛ`-2ax-a+3=0 이차방정식 4xÛ`-2ax-a+3=0이 중근을 가지므로 (-2a)Û`-4_4(-a+3)=0

4aÛ`+16a-48=0 aÛ`+4a-12=0 (a+6)(a-2)=0 ∴ a=-6 또는 a=2

Ú a=-6이면 4xÛ`+12x+9=0이므로 (2x+3)Û`=0 ∴ x=-;2#;

Û a=2이면 4xÛ`-4x+1=0이므로 (2x-1)Û`=0 ∴ x=;2!;

Ú, Û에서 a<0이므로 a=-6 ^답 ①