단계 채점 요소 배점
가 ADÓ=4'3 구하기 2점
나 AEÓ=2'3 구하기 2점
다 ACÓ=8'3 구하기 2점
라 답 구하기 2점
060
3y='3x+1에서 y= '3`3 x+;3!;tan`a= '3`3 이므로 a=30ù yy 가 ∴ sin`a=sin`30ù=;2!; yy 나
답 ;2!;
단계 채점 요소 배점
가 a=30ù 구하기 3점
나 답 구하기 3점
061
⑴ ax-y+6=0에서 y=ax+6∴ a=tan`a='3 yy 가
⑵ tan`a='3이므로 a=60ù yy 나 m=sin`60ù= '3`2 `, n=cos`60ù=;2!;
∴ mÛ`+nÛ`=;4#;+;4!;=1 yy 다
답 ⑴ '3 ⑵ 1
단계 채점 요소 배점
가 a='3 구하기 2점
나 a=60ù 구하기 3점
다 mÛ`+nÛ`=1 구하기 3점
062
점 A의 x좌표를 a라 하면 삼각형 AOB에서 aÛ`+{ '3`2 }2=1, aÛ`=;4!;
a>0이므로 a=;2!; yy 가
∠AOB=h라 하면
tan`h= ABÓ OBÓ =
'3`2
;2!; ='3 yy 나 ∠AOB=∠COD=h이므로
tan`h= CDÓ ODÓ ='3
∴ CDÓ='3_ODÓ='3 yy 다
답'3
단계 채점 요소 배점
가 a=;2!; 구하기 2점
나 tan`h='3 구하기 2점
다 답 구하기 2점
063
45ù<A<90ù일 때sin`A+cos`A>0, cos`A-sin`A<0이므로 주어진 식은
(sin`A+cos`A)+(cos`A-sin`A)='3이다. yy 가 따라서 cos`A= '3`2 이므로 A=30ù yy 나 ∴ sin (90ù-A)=sin`60ù= '3`2 yy 다
답 '3`
2
단계 채점 요소 배점
가 주어진 식 풀기 2점
나 A=30ù 구하기 2점
다 답 구하기 2점
포인트 삼각비의 값이 근호 안에 있는 경우, 제곱근의 성 질을 이용하여 근호 안의 식의 부호를 정한 후 주어진 식 을 정리한다.
"aÛ`=[ a (a¾0) -a (a<0)
064
∠ACD=∠ABC+∠BAC=37ù+14ù=51ù yy 가
∴ tan`51ù= ADÓ
CDÓ = ADÓ 20 =1.2349 yy 나 ∴ ADÓ=20_1.2349=24.698 yy 다
답24.698
단계 채점 요소 배점
가 ∠ACD=51ù 구하기 2점
나 tan`51ù의 값 구하기 2점
다 답 구하기 2점
065
ABÓ=k, BCÓ=2k`(k>0)로 놓으면 ACÓ="Ã(2k)Û`-kÛ`='3ksin`B= '3k`2k ='3`
2 , tan`C= k '3k` = '3`3 ∴ sin`B+tan`C= '3`2 +'3`
3 =5'3`
067
BDÓ="Ã10Û`+10Û`=10'2 BHÓ="Ã(10'2 )Û`+10Û`=10'3 DHÓ=10또한, x=∠NDH=∠DBH이므로 sin`x= 10
10'3` = '3`3 , cos`x= 10'2`
10'3` = '6`3 , tan`x= 10
10'2` = '2`2
∴ sin`xÖcos`xÖtan`x= '3`3 _ 3 '6` _ 2
'2` =1
답 ⑤
068
x=∠C, y=∠B이므로 ① c sin`x=c_ BDÓ c =BDÓ ② b cos`y=b_ ADÓ b =ADÓ ③ b sin`y=b_ CDÓ b =CDÓ④ a sin`y=a sin`B=a_ ACÓ a =ACÓ
⑤ c tan`y=c tan`B=c_ ACÓ c =ACÓ 답 ④
069
x+y=90ù, x+∠C=90ù "# % $
Y
Y Z
Z
∴ ∠C=y
x+y=90ù, ∠B+y=90ù ∴ ∠B=x
ABÓ="Ã13Û`-5Û`=12이므로
sin`x=sin`B=;1°3;, sin`y=sin`C=;1!3@;
∴ sin`xÖsin`y=;1°3;Ö;1!3@;=;1°3;_;1!2#;=;1°2;
답 ⑤
070
BDÓ="ÃABÓÛ`-ADÓÛ` ="Ã10Û`-6Û`=8 ∠BAD=∠C이므로sin`C= BDÓ
ABÓ =;1¥0;=;5$; 답 ;5$;
071
DC'Ó=1이라 하면 C'EÓ=1, DEÓ='2 이므로 BEÓ=DEÓ='2삼각형 EBD는 이등변삼각형이고 ∠BED=135ù이므로 ∠EBD=∠EDB=22.5ù이다.
∴ ∠BDC'=22.5ù+45ù=67.5ù ∴ tan`67.5ù=tan (∠BDC')
= BC'Ó
DC'Ó = BEÓ+C'EÓ DC'Ó
= 1+'2`1 =1+'2 답1+'2
072
sin`A=;2!;일 때, ∠A=30ù이므로 2x+10ù=30ù∴ x=10ù
∴ cos`3x+tan`3x=cos`30ù+tan`30ù
= '3`2 +'3`
3 =5'3`
6 답 ④
073
오른쪽 그림과 같이 "# Y $
∠B=x라 하면
∠A=2x, ∠C=3x이므로 x+2x+3x=180ù ∴ x=30ù
∴ ∠A=60ù, ∠B=30ù, ∠C=90ù sin`B=sin`30ù=;2!;이고
cos`B=cos`30ù= '3`2 이므로
세 변의 길이의 비는 1`:`'3 `:`2 답 ⑤
포인트 삼각형의 세 내각의 합은 180ù이다.
074
오른쪽 그림에서 직선"
#
Y Z
Y Z
B B
0
4x+3y-12=0이 x축, y축과
만나는 점을 각각 A, B라 하면 ABÓ="Ã3Û`+4Û` =5
a=∠OBA이므로
cos`a=;5$; 답 ⑤
075
BCÓ=sin`60ù= '3`2 , DEÓ=tan`60ù='3BDÓ=ADÓ-ABÓ=1-cos`60ù=;2!;이므로 사다리꼴 BDEC의 넓이는
;2!;_{ '3`2 +'3 }_;2!;= 3'3`8 답 3'3`
8
076
⑤ tan`A의 최솟값은 0이고 최댓값은 없다. 답 ⑤077
피타고라스 정리에 의하여 BCÓ="Ã13Û`-12Û`=5sin`A=;1°3;, cos`A=;1!3@;, tan`A=;1°2;
sin`C=;1!3@;, cos`C=;1°3;, tan`C=:Á5ª: 답 ②
078
BDÓ="Ã4Û`+3Û`=5이므로 yy 가 삼각형 ABD에서sin`x= ADÓ
BDÓ =;5$;, cos`x= ABÓ BDÓ =;5#; yy 나
∴ sin`x-cos`x=;5$;-;5#;=;5!; yy 다
답 ;5!;
단계 채점 요소 배점
가 BDÓ=5 구하기 1점
나 sin`x=;5$;, cos`x=;5#; 구하기 2점
다 답 구하기 1점
079
AMÓ=DMÓ= '3`2 _12=6'3 DHÓ=;3@; DMÓ이므로 DHÓ=4'3 AHÓ="Ã12Û`-(4'3 )Û`=4'6이므로 tan`x= 4'6`4'3` ='2 답 ①
포인트 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이 h는 h= '3`2 a
080
5 cos`A-3=0"
$
# ∴ cos`A=;5#;
BCÓ="ÃACÓÛ`-ABÓÛ` ="Ã5Û`-3Û`=4 ∴ sin`A= BCÓ
ACÓ =;5$;, tan`A= BCÓ
ABÓ =;3$;
∴ 1
sin`A + 1
tan`A =;4%;+;4#;=2 답 ②
081
sin (90ù-A)=sin C=;7%;인 직각삼" #
$
각형을 그리면 오른쪽 그림과 같다.
BCÓ="Ã7Û`-5Û` =2'6
sin`A= 2'6`7 , tan`A= 2'6`5 이므로
sin`A_tan`A=;3@5$; 답 ①
082
BCÓ="ÃABÓÛ`+ACÓÛ` ="Ã12Û`+5Û`=13 yy 가 ∠B+∠C=90ù이고, x+∠B=90ù이므로x=∠C yy 나
∴ sin`x=sin`C= ABÓ
BCÓ =;1!3@; yy 다
답;1!3@;
단계 채점 요소 배점
가 BCÓ=13 구하기 1점
나 x=∠C 구하기 2점
다 답 구하기 1점
083
ACÓ="ÃBCÓÛ`-ABÓÛ` ="Ã10Û`-6Û`=8 x+∠C=90ù이고,∠B+∠C=90ù이므로 x=∠B
∴ tan`x=tan`B= ACÓ
ABÓ =;6*;=;3$; 답④
084
ㄱ. sin`30ù=;2!;, cos`30ù_tan`30ù= '3`2 _ 1'3` =;2!; (참) ㄴ. sin`30ù+sin`60ù=;2!;+ '3`2 =1+'3`
2 , sin`90ù=1
(거짓)
ㄷ. tan`30ù= 1
'3` , 1 tan`60ù = 1
'3` (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답③
085
cos`30ù-sin`30ù= '3`2 -;2!;='3-1`2 이므로 yy 가 '3-1`
2 을 주어진 식의 x에 대입하면
2{ '3-1`2 }2-a{ '3-1`2 }+1=0 yy 나 { '3-1`2 }a=3-'3
∴ a= 2(3-'3 )`
'3-1 =2'3 yy 다
답2'3
단계 채점 요소 배점
가 cos`30ù-sin`30ù의 값 구하기 2점 나 '3-1`
2 을 대입하기 2점
다 답 구하기 2점
086
⑴ ADÓ=DEÓ이고, ∠ADE=90ù이므로 ∠EAD=∠AED=45ù,∠AGC=∠BGE=∠EBG=45ù
∴ BGÓ='2_BEÓ=4'2 yy 가 삼각형 ABE에서 AEÓ='3_BEÓ=4'3,
AGÓ=AEÓ-GEÓ=4'3-4 GCÓ=AGÓ sin`45ù= 4'3-4`
'2 =2'6-2'2 ∴ BCÓ=BGÓ+GCÓ=4'2+(2'6-2'2 )
=2'2+2'6 yy 나 ACÓ=GCÓ=2'6-2'2
ABÓ=2 BEÓ=8 yy 다
⑵ ∠BAC=75ù이므로 cos`75ù= ACÓ
ABÓ = 2'6-2'2`8 = '6-'2`4 tan`75ù= BCÓ
ACÓ = 2'6+2'2`
2'6-2'2`=2+'3 yy 라
∴ cos`75ù_tan`75ù= '6-'2`4 _(2+'3 )
= '2+'6`4 yy 마
답⑴ ABÓ=8, ACÓ=2'6-2'2, BCÓ=2'2+2'6 ⑵ '2+'6`
4
단계 채점 요소 배점
가 BGÓ=4'2 구하기 2점
나 BCÓ=2'2+2'6 구하기 2점
다 ACÓ, ABÓ의 길이 구하기 1점
라 cos`75ù, tan`75ù의 값 구하기 2점
마 cos`75ù_tan`75ù 구하기 1점
087
Y Z
0
#( )
"( )= >
직선 2x-5y+10=0이 x축, y축과 만나는 점을 각각 A, B라 하면 A(-5, 0), B(0, 2)이다.
삼각형 AOB는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의 하여
ABÓ="ÃAOÓÛ`+BOÓÛ` ="Ã5Û`+2Û`='¶29 cos`a= AOÓ
ABÓ = 5
'¶29` , cos`b= BOÓ ABÓ = 2
'¶29` 이므로 cos`a+cos`b= 5
'¶29` + 2 '¶29`
= 7
'¶29` = 7'¶29`29 답 7'¶29`
29
088
직선의 기울기는 tan`45ù이므로 1이다.∴ a=1 yy 가
직선이 x축과 만나는 점은 (-3, 0)이므로 y=x+b에 x=-3, y=0을 대입하면 -3+b=0
∴ b=3 yy 나
∴ a-b=1-3=-2 yy 다
답 -2
단계 채점 요소 배점
가 a=1 구하기 2점
나 b=3 구하기 2점
다 답 구하기 2점
089
① sin`x= BCÓACÓ = BCÓ 1 =BCÓ ② sin`y= ABÓ
ACÓ = ABÓ 1 =ABÓ
③ cos`x= ABÓ
ACÓ = ABÓ 1 =ABÓ ④ cos`z=cos`y= BCÓ
ACÓ = BCÓ 1 =BCÓ ⑤ tan`x= DEÓ
ADÓ = DEÓ 1 =DEÓ 답 ③
090
∠OAB=35ù이므로 cos`35ù= ABÓOAÓ =0.8192 tan`55ù= CDÓ
ODÓ =1.4281
∴ cos`35ù+tan`55ù=2.2473 답 ⑤
091
㈀_㈁Ö㈂＋㈃_㈄=1_;2!;Ö1+;2!;_1
=1 답 1
092
0ùÉxÉ90ù에서 cos`x의 값은 x의 값이 클수록 작아지므로 cos`86ù<cos`54ù<cos`27ù답 ①
포인트 0ù<x<90ù일 때, x의 값이 증가하면
⑴ sin`x의 값은 0에서 1까지 증가한다.
⑵ cos`x의 값은 1에서 0까지 감소한다.
⑶ tan`x의 값은 0에서 무한히 증가한다.
093
ㄱ. 0ù<x<45ù이면 sin`x<cos`x이고 45ù<x<90ù이면 sin`x>cos`x이므로 sin`x-cos`x의 부호는 알 수 없다. (거짓) ㄴ. 45ù<x<90ù일 때, sin`x<tan`x∴ tan`x-sin`x>0 (참)
ㄷ. 45ù<x<90ù일 때, tan`x>1이므로 tan`x-1>0 (참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ④
094
cos`48ù= ACÓ 50 =0.6691∴ ACÓ=33.455 cm 답 33.455`cm
006
3xÛ`-6x+2=0에서 양변을 3으로 나누면 xÛ`-2x+;3@;=0xÛ`-2x=-;3@;
xÛ`-2x+1=-;3@;+1 (x-1)Û`=;3!;
∴ a=-1, b=;3!;
∴ a+b=-;3@; 답④
007
근의 공식을 이용하여 풀면 x= -(-4)Ñ"Ã(-4)Û`-2_A2 = 4Ñ"Ã16-2A24+"Ã16-2A
2 =B+'2이므로 4+"Ã16-2A
2 = 2B+2'22 B=2, 16-2A=8 ∴ A=4
∴ A+B=6 답①
포인트 이차방정식 axÛ`+2b'x+c=0의 근은 x= -b'Ñ"Ãb'Û`-ac` a (단, b'Û`-ac¾0)
008
주어진 식의 양변에 10을 곱하면 2xÛ`-5x+1=0근의 공식을 이용하여 풀면
x= -(-5)Ñ"Ã(-5)Û`-4_2_12_2 = 5Ñ'¶174
답 x= 5Ñ'¶174
009
xÛ`+4x+m=2x+9를 정리하면 xÛ`+2x+m-9=0이차방정식 axÛ`+bx+c=0에서 bÛ`-4ac=0일 때 중근을 가지므로
4-4(m-9)=40-4m=0
∴ m=10 답⑤
010
x=p 하나만을 근으로 가지므로 9xÛ`+bx+4=0은 중근 을 갖는다.이차방정식 axÛ`+bx+c=0에서 bÛ`-4ac=0일 때 중근을 가지므로
bÛ`-4_9_4=0, bÛ`=144 ∴ b=-12 또는 b=12
시험에 꼭 나오는 문제
본문 102~110쪽[부록 PARTⅠ]
001
전개하여 좌변으로 이항했을 때 (이차식)=0 꼴이면 이차방정식이다.① 이차방정식
② xÛ`+x-2=-2 ∴ xÛ`+x=0 (이차방정식) ④ xÜ`+3x=xÜ`+3xÛ`-2
∴ -3xÛ`+3x+2=0 (이차방정식) 따라서 이차방정식이 아닌 것은 ③, ⑤이다.
답③, ⑤
002
한 근이 m이므로 x=m을 주어진 이차방정식에 대입하면 mÛ`-5m+1=0m+0이므로 양변을 m으로 나누면 m-5+ 1m =0
∴ m+ 1m =5 답 5
003
주어진 이차방정식에 x=2를 대입하면 4+2a-a-6=0∴ a=2
a=2를 xÛ`+ax-a-6=0에 대입하면 xÛ`+2x-8=0
(x+4)(x-2)=0 ∴ x=-4 또는 x=2
따라서 다른 한 근은 x=-4이다. 답 ①
004
xÛ`-3x-4=0을 풀면 (x+1)(x-4)=0 ∴ x=-1 또는 x=4이 중 작은 근 x=-1이 2xÛ`-3ax+4=0의 한 근이므로 x=-1을 대입하면
2_(-1)Û`-3a_(-1)+4=0, 2+3a+4=0
3a=-6 ∴ a=-2 답 ①
005
xÛ`+3x-10=0에서 (x+5)(x-2)=0 ∴ x=-5 또는 x=2 2xÛ`+7x-15=0에서 (x+5)(2x-3)=0 ∴ x=-5 또는 x=;2#;따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-5이므로 이차방정식 xÛ`+ax-10=0에 대입하면
25-5a-10=0
∴ a=3 답 3
Ú b=-12일 때, 9xÛ`-12x+4=0 (3x-2)Û`=0이므로 x=;3@;
즉, p=;3@;이므로 bp=(-12)_;3@;=-8 Û b=12일 때, 9xÛ`+12x+4=0
(3x+2)Û`=0이므로 x=-;3@;
즉, p=-;3@;이므로 bp=12_{-;3@;}=-8
Ú, Û에서 bp=-8 답 -8
011
이차방정식 axÛ`+bx+c=0에서bÛ`-4ac>0일 때 서로 다른 두 근을 가지므로 36-4(-m+1)=4m+32>0 ∴ m>-8
따라서 m의 값 중 가장 작은 정수는 -7이다. 답 ①
포인트 이차방정식 axÛ`+bx+c=0에서 bÛ`-4ac>0이면 서로 다른 두 근을 갖는다.
012
xÛ`-4x+3=0에서(x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3 ∴ a=1, b=3
즉, 2 또는 4를 두 근으로 갖는 이차방정식은
⑤ xÛ`-6x+8=0이다. 답 ⑤
013
2xÛ`-4x-30=0에서 2(xÛ`-2x-15)=0 2(x+3)(x-5)=0 ∴ x=-3 또는 x=5 ∴ 1a +1b =a+b
ab =-;1ª5; 답 ②
014
두 근을 a, a+5로 하는 이차항의 계수가 2인 이차방정식은 2(x-a)(x-a-5)=02xÛ`-2(2a+5)x+2a(a+5)=0이 이차방정식 2xÛ`-2x+k=0과 일치하므로 2a+5=1, 2a(a+5)=k
2a+5=1에서 a=-2
k=2a(a+5)에 a=-2를 대입하면
k=2_(-2)_(-2+5)=-12 답-12
015
작은 홀수가 x이면 큰 홀수는 x+2이고, 두 홀수의 곱이 143이므로x(x+2)=143 xÛ`+2x-143=0 (x+13)(x-11)=0 ∴ x=-13 또는 x=11
x>0이므로 x=11 답 ①
016
세 자연수를 x-1, x, x+1로 놓으면 2(x-1)Û`=x(x+1)+262xÛ`-4x+2=xÛ`+x+26, xÛ`-5x-24=0 (x+3)(x-8)=0 ∴ x=-3 또는 x=8 x는 자연수이므로 x=8
따라서 가장 큰 수는 9이다. 답 ①
017
동생의 나이를 x세라 하면 형의 나이는 (x+5)세이므로 주어진 문제의 조건에서2(x+5)=xÛ`-5
xÛ`-2x-15=0, (x+3)(x-5)=0 ∴ x=-3 또는 x=5
x>0이므로 x=5
따라서 동생의 나이는 5세이다. 답 ②
018
길의 폭을 x`m라 하면 (11-x)(15-x)=140 165-26x+xÛ`=140 xÛ`-26x+25=0 (x-25)(x-1)=0 0<x<11이므로 x=1`따라서 길의 폭은 1`m이다. 답1`m
019
길의 폭을 x`m라 하면 NN YN
YN
YN YN
YN (15_10)-(10-2x)(15-x)
=72
2xÛ`-40x+72=0 xÛ`-20x+36=0 (x-2)(x-18)=0 ∴ x=2 또는 x=18 0<x<5이므로 x=2
따라서 길의 폭은 2`m이다. 답2`m
020
① y=10x (일차함수) ② y=4x (일차함수) ③ y=20-x (일차함수) ④ y=2xÛ`+12x (이차함수)⑤ y=5x (일차함수) 답 ④
021
f(a)=;2!;aÛ`+a-1=-;2#;, aÛ`+2a-2=-3 aÛ`+2a+1=0, (a+1)Û`=0∴ a=-1 답 ①
022
② 축의 방정식은 x=0 ③ 아래로 볼록한 포물선이다.④ 두 점 (1, 1), (-1, 1)을 지난다.
⑤ x>0일 때, x가 증가하면 y도 증가한다. 답 ①
023
이차함수 y=axÛ`에서 a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아지므로 ④ y=-5xÛ`의 그래프의 폭이 가장 좁다.답 ④
포인트 이차함수 y=axÛ`에서 a의 부호는 그래프의 볼록한 방향을 결정하고 a의 절댓값은 그래프의 폭을 결정한다.
024
y=axÛ`-5의 그래프가 점 (2, 3)을 지나므로3=a_2Û`-5, 3=4a-5 ∴ a=2 답 2
025
두 점 (1, -1), (2, -7)을 대입하면 [ -1=a_1Û`+q-7=a_2Û`+q 이므로
[ a+q=-1 4a+q=-7
연립방정식을 풀면 a=-2, q=1
∴ aq=(-2)_1=-2 답 ①
026
평행이동한 그래프의 식은 y=-;2!;xÛ`-2 이 그래프가 점 (-4, k)를 지나므로k=-;2!;_(-4)Û`-2=-10 답 ②
027
y=-3xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-3(x-a)Û`이고점 (1, -12)를 지나므로 -12=-3(1-a)Û`
(1-a)Û`=4 ∴ a=-1 또는 a=3 a>0이므로 a=3
따라서 평행이동한 그래프의 식은 y=-3(x-3)Û`이므로 꼭짓점의 좌표는 (3, 0)이다. 답 (3, 0)
028
y=-3(x-1)Û`의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼 평행 이동하면 y=-3(x-1-m)Û`이고 이 식이y=-3(x+4)Û`이므로 m=-5 답-5
029
① 아래로 볼록한 포물선이다.③ 꼭짓점의 좌표는 (-1, 1)이다.
④ 점 (1, 5)를 지난다.
⑤ 축은 x=-1이므로 점 (-1, 0)을 지나며 y축에 평행
하다. 답 ②
030
① y축의 방향으로 -2만큼 평행이동 ② x축의 방향으로 -2만큼 평행이동③ x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행 이동
④ y=;3$;xÛ`의 그래프를 평행이동
⑤ y=-;3$;xÛ`+;3$;이므로 y축의 방향으로 ;3$;만큼 평행이동
답 ④
031
그래프가 아래로 볼록이고, 꼭짓점x y
O 2
1 의 좌표가 (2, 1)이므로 오른쪽 그 9 림과 같다.
따라서 x>2인 범위에서 x의 값이 증가할 때, y의 값도 증가한다.
답x>2
032
꼭짓점의 좌표가 (3, 1)이므로 p=3, q=1y=a(x-3)Û`+1의 그래프가 점 (0, 4)를 지나므로 4=a(0-3)Û`+1 ∴ a=;3!;
∴ apq=;3!;_3_1=1 답1
033
그래프가 아래로 볼록하므로 -a>0 ∴ a<0꼭짓점의 좌표가 원점보다 아래에 있으므로 -q<0 ∴ q>0
⑤ a-q<0 답⑤
034
y =-3(xÛ`-4x+4-4)-2=-3(x-2)Û`+10 ∴ a=-3, p=2, q=10
∴ a+p+q=9 답①
035
이차항의 계수가 -2이고 꼭짓점의 좌표가 (-2, q)인 포 물선을 그래프로 하는 이차함수의 식은y=-2(x+2)Û`+q=-2xÛ`-8x-8+q 이 식이 y=-2xÛ`+px-3과 같으므로 p=-8, -3=-8+q ∴ q=5
∴ p+q=(-8)+5=-3 답③
036
y=-xÛ`+3x-;4!;=-(xÛ`-3x)-;4!;
=-{xÛ`-3x+;4(;-;4(;}-;4!;
=-{x-;2#;}2+;4(;-;4!;
=-{x-;2#;}2+2
따라서 꼭짓점의 좌표는 {;2#;, 2}이고,
y=-(x-1)Û`의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, 0)이므로 p=;2!;, q=2
∴ pq=;2!;_2=1 답1
037
y=-3xÛ`+6x+4=-3(x-1)Û`+7x y
O 7 4
1 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x>1인 범위에서 x의 값이 증 가할 때 y의 값이 감소한다.
답 ⑤
038
y=xÛ`+6x+1+a=(x+3)Û`-8+ax축과 만나려면 (꼭짓점의 y좌표)É0이어야 하므로 -8+aÉ0
∴ aÉ8 답aÉ8
039
이차항의 계수가 a이고 꼭짓점의 좌표가 (2, 1)인 이차함 수 식은 y=a(x-2)Û`+1이고 점 (0, 3)을 지나므로 3=a(0-2)Û`+1 ∴ a=;2!;∴ y=;2!;(x-2)Û`+1=;2!;xÛ`-2x+3
∴ abc=;2!;_(-2)_3=-3 답 ①
040
y=-;2!;xÛ`-ax+b에서 두 점 (0, 2), (4, 0)을 지나므로 2=b, 0=-8-4a+b ∴ a=-;2#;∴ y=-;2!;xÛ`+;2#;x+2=-;2!;{x-;2#;}2+:ª8°:
따라서 꼭짓점의 좌표는 {;2#;, :ª8°:} 답 {;2#;, :ª8°:}
041
y=xÛ`+bx+c가 점 (-1, 0), (3, 0)을 지나므로 0=1-b+c, -b+c=-1 yy`㉠0=9+3b+c, 3b+c=-9 yy`㉡
㉡-㉠을 하면 4b=-8 ∴ b=-2, c=-3 따라서 이차함수 y=xÛ`-2x-3은 점 (5, k)를 지나므로
k=25-10-3=12 답 ④
다른 풀이
이차항의 계수가 1인 이차함수 y=xÛ`+bx+c가 x축 위의 두 점 (-1, 0), (3, 0)을 지나므로
y=(x+1)(x-3)=xÛ`-2x-3
이 이차함수의 그래프가 점 (5, k)를 지나므로 k=5Û`-2_5-3=12
포인트 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 좌표 가 (m, 0), (n, 0)이면 이차함수의 식을
y=a(x-m)(x-n)(a+0)으로 놓는다.
042
y=-xÛ`+4x+5=-(x-2)Û`+9 꼭짓점의 좌표는 A(2, 9)y=0일 때, 0=-xÛ`+4x+5, xÛ`-4x-5=0 (x+1)(x-5)=0 ∴ x=-1 또는 x=5
따라서 두 점 B, C의 좌표는 B(-1, 0), C(5, 0)이므로
△ABC=;2!;_6_9=27 답 ④
043
y=-;4!;xÛ`+ax+3의 그래프가 점 B(6, 0)을 지나므로 0=-9+6a+3 ∴ a=1y=-;4!;xÛ`+x+3=-;4!;(x-2)Û`+4 즉, 꼭짓점의 좌표는 A(2, 4)
∴ △AOB=;2!;_6_4=12 답 ③
044
주어진 직선의 기울기는 -;2!;, y절편은 -1이므로 직선의 방정식은 y=-;2!;x-1 ∴ a=-;2!;, b=-1 주어진 이차함수의 식은y=xÛ`+;2!;x+1={x+;4!;}2+;1!6%;
즉, 꼭짓점의 좌표는 {-;4!;, ;1!6%;}이므로 제2사분면에 있다.
답제2사분면
045
cos`A= ABÓ ACÓ= 4ACÓ=;3!;이므로 ACÓ=3_4=12
∴ BCÓ="ÃACÓÛ`-ABÓÛ`="Ã12Û`-4Û` =8'2` 답8'2
046
오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù,"
#
$ ACÓ=7, ABÓ=5인 삼각형 ABC를
생각할 수 있다.
BCÓ="ÃACÓÛ`-ABÓÛ`
="Ã7Û`-5Û`=2'6 sin`A= BCÓ
ACÓ= 2'67 tan`A= BCÓ
ABÓ= 2'65
∴ sin`A_tan`A= 2'67 _2'6
5 =;3@5$; 답 ④
047
BCÓ="ÃABÓÛ`+ACÓÛ`="Ã3Û`+4Û`=5 x+∠B=90ùy+∠C=90ù ∠B+∠C=90ù ∴ x=∠C, y=∠B sin`x=sin`C= ABÓ
BCÓ=;5#;
cos`y=cos`B= ABÓ BCÓ=;5#;
∴ sin`x+cos`y=;5#;+;5#;=;5^; 답 ②
048
∠A=30ù이고 sin`A= BCÓ ACÓ이므로 sin`30ù=;4{;=;2!;∴ x=2 cos`A= ABÓ
ACÓ이므로 cos`30ù= y4 ='3
2 ∴ y=2'3
∴ x+y=2+2'3 답 ②
049
sin`x= CDÓOCÓ= CDÓ1 =CDÓ 답 ④
050
0ù<x<45ù일 때, cos`x>sin`x이므로 sin`x-cos`x<0 0<sin`x< '22 이므로 1-sin`x>0∴ "Ã(sin`x-cos`x)Û` -"Ã(1-sin`x)Û`
=-(sin`x-cos`x)-(1-sin`x)
=cos`x-1 답cos`x-1
포인트 삼각비의 값이 근호 안에 있는 경우, 제곱근의 성 질을 이용하여 근호 안의 식의 부호를 정한 후 주어진 식 을 정리한다.
"aÛ`=[ a (a¾0) -a (a<0)
001
한 근이 m-'§n이므로 주어진 이차방정식에 대입하면 (m-'§n)Û`-m(m-'§n)+n=0mÛ`-2m'§n+n-mÛ`+m'§n+n=0 -m'§n+2n=0, 2n=m'§n
양변을 제곱하면 4nÛ`=mÛ`n, n(4n-mÛ`)=0
n+0이므로 4n-mÛ`=0을 만족시키는 10보다 작은 두 자 연수 m, n의 순서쌍을 찾으면
(2, 1), (4, 4), (6, 9)이다.
따라서 순서쌍 (m, n)의 개수는 3이다. 답②
002
(3+1)_(7+1)_(15+1)_(31+1) =2Û`_2Ü`_2Ý`_2Þ`=2Ú`Ý`2Ú`Ý`xÛ`-2Ú`Û`x-2Ú`Ú`=0, 2Ú`Ú`(8xÛ`-2x-1)=0 2Ú`Ú`으로 양변을 나누고 인수분해하면 (4x+1)(2x-1)=0
∴ x=-;4!; 또는 x=;2!; 답②
003
Ú x¾0일 때, xÛ`-4x+3=0 (x-3)(x-1)=0 ∴ x=3 또는 x=1 Û x<0일 때, xÛ`+4x+3=0 (x+3)(x+1)=0 ∴ x=-3 또는 x=-1 Ú, Û에서 x=Ñ3 또는 x=Ñ1답x=Ñ3 또는 x=Ñ1
다른 풀이
xÛ`=|x|Û`이므로 주어진 방정식은 |x|Û`-4|x|+3=0
(|x|-3)(|x|-1)=0 |x|=3 또는 |x|=1 ∴ x=Ñ3 또는 x=Ñ1
004
nÝ`+nÛ`+1 =(nÝ`+2nÛ`+1)-nÛ`=(nÛ`+1)Û`-nÛ`
=(nÛ`+n+1)(nÛ`-n+1) 따라서 nÝ`+nÛ`+1이 소수가 되려면 nÛ`+n+1=1 또는 nÛ`-n+1=1
Ú nÛ`+n+1=1에서 nÛ`+n=0, n(n+1)=0`
n=0 또는 n=-1이므로 조건을 만족시키는 n의 값은 없다.
Û nÛ`-n+1=1에서 nÛ`-n=0, n(n-1)=0`
n=0 또는 n=1이므로 n=1이다.
Ú, Û에서 n=1이므로 p=3
∴ n+p=1+3=4 답4
고 난도 문제
본문 112~119쪽[부록 PARTⅡ]