수학

2019

고2 적용

수학필독서 4000 만 부

돌파!

다양한 유형의 문제를 통해 수학의 문제해결력을 높일 수 있는 [알피엠]

수학

이홍섭 지음

문제기본서

수학

개념원리 인강

www.imath.tv

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006

^Ⅰ. 지수함수와 로그함수

개념 플러스

교과서 문제 ^{정 / 복 / 하 / 기}

거듭제곱근의 성질

01 . 2

a>0, b>0이고, m, n이 2 이상의 자연수일 때

⑴ (Ç 'a)Ç`=a ⑵ Ç 'a Ç 'b=Ç '¶ab

⑶ Ç  'a

Ç  'b =Ç ®;bA; ⑷ (Ç 'a)µ` =Ç "aµ`

⑸ µ` "Ç 'a=

^mn

'a=Ç`"µ` 'a ⑹ Ç` ¹ "aµ``¹`=Ç "aµ`` (단, p는 자연수)

거듭제곱근의 대소 관계

Ú 각 수의 지수를 통일하여 밑을 변 형한다.

Û 밑을 비교하여 대소를 결정한다.

지수의 확장

01 . 3

1 지수가 정수일 때의 지수법칙

⑴ 0 또는 음의 정수인 지수의 정의 a+0이고, n이 양의 정수일 때

① aâ`=1 ② aÑÇ`= 1 aÇ`

⑵ 지수가 정수일 때의 지수법칙 a+0, b+0이고, m, n이 정수일 때

① aµ``aÇ`=a

^m+n

② a

^m

ÖaÇ`=a

^m-n

③ (a

^m

)

ⁿ

=a

^mn

④ (ab)Ç`=aÇ`bÇ`

2 지수가 유리수일 때의 지수법칙 ⑴ 유리수인 지수의 정의

a>0이고, m, n`(n¾2)이 정수일 때

① a

^;;nM;

=Ç "Åa

^m

② a

^;n!;

=Ç '§a ⑵ 지수가 유리수일 때의 지수법칙

a>0, b>0이고, m, n이 유리수일 때

① a

^m

aÇ`=a

^m+n

② a

^m

ÖaÇ`=a

^m-n

③ (a

^m

)Ç`=a

^mn

④ (ab)Ç`=aÇ`bÇ`

3 지수가 실수일 때의 지수법칙

지수가 유리수인 경우와 마찬가지로 지수가 무리수인 경우에도 a

^m

`(a>0, m은 무리수)과 같 이 정의할 수 있다. 따라서 a¨``(a>0, r는 실수)과 같이 지수를 실수까지 확장하여 정의할 수 있다.

지수가 실수일 때의 지수법칙 a>0, b>0이고, x, y가 실수일 때

① aÅ`a´`=a^x+y

② aÅ`Öa´`=a^x-y

③ (aÅ`)´`=a^xy

④ (ab)Å`=aÅ`bÅ`

거듭제곱근

01 . 1

1 거듭제곱근 ：n이 2 이상의 자연수일 때, n제곱하여 실수 a가 되는 수, 즉 방정식 xÇ`=a의 근 x를 a의 n 제곱근 이라 하고, a의 제곱근, a의 세제곱근, a의 네제곱근, y을 통틀어 a의 거듭제곱근 이라 한다.

2 실수 a의 n제곱근 중 실수인 것은 다음과 같다.

a>0 a=0 a<0

n이 짝수 Ç 'a, -Ç 'a 0 없다.

n이 홀수 Ç 'a 0 Ç 'a

거듭제곱

실수 a와 자연수 n에 대하여 a를 n번 곱한 것을 aÇ` 으로 나타내고, a의 n제 곱이라 한다.

aÇ`

^지수

밑

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

01 지수

xÇ`=a

a의 n제곱근 x의 n제곱

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01. 지수

007

01

지수

교과서 문제 ^{정 / 복 / 하 / 기}

_{정답과 풀이 2쪽}

지수의 확장

01 . 3

[0016 ~ 0021] 다음 값을 구하시오.

16

00 3â` 00 17 <sub>{-;2!;}â`</sub>

18

00 4ÑÛ` 00 19 (-5)ÑÛ`

20

00 {;3!;}ÑÛ` 00 21 {;9!;}ÑÛ`

1 1

;1Á6; ;2Á5;

9 81

[0022 ~ 0025] 다음  안에 알맞은 수를 써넣으시오.

22

00 Ý '2=2

^

00 23 Þ "Å3Ý`=3

^

24

00 _Ü ¹

"Å2Û` =2

^

00 25 ¹ ß "Å3ÑÛ` =3

^

;4!; ;5$;

-;3@; ;3!;

[0026 ~ 0029] 다음 식을 간단히 하시오. (단, a>0, b>0 )

26

00 (a

^;4#;

)Û`_a

^;4!;

27

00 (aÜ`bÛ`)

^;1Á2;

_(a

^;3!;

b

^;4!;

)Ý`

28

00 ( "ÅaÜ`_Þ'a_a

^-;2!;

)

^;3!;

29

00 (a

^-;4#;

)Û`_ 'aÖa

^;4#;

a^;4&;

a^;1!2(;b^;6&;

a^;5@;

a^-;4&;

[0030 ~ 0033] 다음 식을 간단히 하시오.

30

00 (3

^'4

)

^'2Œ5

31

00 8Ñ 

^'36

_2

^'32

32

00 4

^'2

_4

^'1Œ8

Ö4

^'8

33

00 (4

^'61

_3

^®;3@;

)

^'3

3Ú`â`

1 2^4'2

6^'2

[0034 ~ 0035] 다음 식을 간단히 하시오. (단, x>0, y>0 )

34

00 (x

^;2!;

+y

^;2!;

)(x

^;2!;

-y

^;2!;

)

35

00 (x

^;3!;

+y

^;3!;

)(x

^;3@;

-x

^;3!;

y

^;3!;

+y

^;3@;

)

x-y

x+y

거듭제곱근

01 . 1

[ 0001 ~ 0005] 다음 거듭제곱근 중 실수인 것을 구하시오.

1

000 -8의 세제곱근 2

000 81의 네제곱근 3

000 0.027의 세제곱근 4

000 (-2)Ý`의 네제곱근 5

000 -16의 네제곱근

-2 -3, 3

0.3 -2, 2 없다.

10

00 n이 2 이상의 자연수일 때, 다음 보기 중 옳은 것만 을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. n이 짝수일 때, 양수 a의 n제곱근 중 실수는 Ç '§a, -Ç '§a 이다.

ㄴ. n이 홀수일 때, 실수 a의 n제곱근 중 실수는 Ç '§a 뿐이다.

ㄷ. n이 홀수일 때, 음수 a의 n제곱근 중 실수는 -Ç '§a 뿐이다.

ㄹ. n의 값에 관계없이 실수 a의 n제곱근 중 실수는 Ç '§a 뿐이다.

보기

ㄱ, ㄴ

[000 6 ~ 0009] 다음 값을 구하시오.

6

000 Ü 'Ä0.008 000 7 Þ "Ã(-3)Þ`

8

000 ß "Ã(-1)ß` 000 9 Ü ®É-;2¥7;

0.2 -3

1 -;3@;

거듭제곱근의 성질

01 . 2

[0011 ~ 0015] 다음 식을 간단히 하시오.

11

00 {Ü "Ã(-2)Ý` }Ü` 00 12 (¡ '1Œ6)Û`

13

00 Ü '4_Ü'1Œ6 00 14 ^{Ý '8Œ0} _{Ý '5} 15

00 Ü "Ã'¶729_"Ã'¶256

16 2

4 2

12

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008

^Ⅰ. 지수함수와 로그함수

유형 ^{익 / 히 / 기}

_{정답과 풀이 3쪽}

41 00

^중

다음 물음에 답하시오.

⑴ a='3Œ2ÖÝ'4, b=Ü"'6Œ4일 때, ;bA;의 값을 구하시오.

⑵ a>0, b>0일 때, Ú`Û "Ã2aÞ`bÝ`_Ý"Ã2abÛ`Öß"Ã4aÜ`b 를 간단히 하 시오.

2

ß"abÝ`

⑴ a='3Œ2ÖÝ"Å2Û`='3Œ2Ö'2='1Œ6=4 b=ß'6Œ4=ß"Å2ß`=2 ∴ ;bA;=;2$;=2

⑵ Ú`Û"Ã2aÞ`bÝ`_Ý"Ã2abÛ`Öß"Ã4aÜ`b = Ú`Û"Ã2aÞ`bÝ`_Ú`Û"Ã2Ü`aÜ`bß`

Ú`Û"Ã4Û`aß`bÛ` =Ú`Û¾¨ 16a¡`bÚ`â`

16aß`bÛ`=Ú`Û"aÛ`b¡`=ß"abÝ`

42 00

^중

Ý7 9"Å 2Þ`

Ü '3 _ß7 9' 3`

Ç  "2á` =¡ '4 가 성립할 때, 자연수 n의 값을 구하시오.

4 Ý7 9"Å2Þ`

Ü'3_ß7 9 '3 Ç "Å2á` =Ý""Å2Þ`

Ý"Ü'3_ ß"'3 ß"Ç "Å2á` = ¡"Å2Þ`

Ú`Û'3_ Ú`Û'3`

ß`Ç "Å2á` = ¡"Å2Þ`

ß`Ç "Å2á`

¡"Å2Þ`

ß`Ç "Å2á` =¡'4=¡"Å2Û` 에서 ß`Ç "Å2á`= ¡"Å2Þ`

¡"Å2Û` =¡"Å2Ü`=Û`Ý"Å2á`

따라서 6n=24이므로 n=4

43 00

^중

a>0일 때, Ü7 9 Ý 'a

Þ 'a ÖÝ7 9 Ü 'a Þ 'a _Þ7 9 Ü 'a

Ý 'a 를 간단히 하시오.

¹

ܾ¨ Ý'a Þ'aÖݾ¨ Ü'a

Þ'a_Þ¾¨ Ü'a Ý'a = Ü"Ý'a

Ü"ÃÞ'a_ Ý"Þ'a Ý"ÃÜ'a_ Þ"Ü'a

Þ"ÃÝ'a= Ú`Û'a Ú`Þ'a_ Û`â'a

Ú`Û'a_ Ú`Þ'a Û`â'a=1

a>0, b>0이고, m, n이 2 이상의 자연수일 때

⑴ Ç 'a Ç 'b=Ç '¶ab ⑵ Ç  'a Ç  'b =Ç ®;bA;

⑶ (Ç 'a)

^m

=Ç "a

^m

⑷

^m

"Ç 'a=

^mn

'a=Ç "

^m

'a

⑸ Ç` ¹  "a

^mp

=ÇÇ "a

^m

 (단, p는 자연수) 거듭제곱근의 계산

유형 중요

02

| 개념원리 수학 Ⅰ 15쪽, 16쪽 |

40

00

^대표문제

다음 중 옳지 않은 것은?

① Ü '2_Ü'4=2 ② Ü "Ã2_Ü'6Œ4=2

③ Ü 'Ä-27

Ü '8 =- ;2#; ④ {Ü'5_ 1 '5 }6`=5

⑤ "Ã2_Ü'4ÖÜ"Ã4'2=1

✔

④ {Ü'5_ 1'5 }6`=(Ü'5 )ß`_{ 1'5 }6`=5Û`_ 1 5Ü`=;5!;

37 00

^하

-64의 세제곱근 중 실수인 것의 개수를 a, 5의 네제곱근 중 실수인 것의 개수를 b라 할 때, ab의 값을 구하시오.

²

-64의 세제곱근 중 실수인 것은 Ü'Ä-64=Ü"Ã(-4)Ü`=-4의 1개이므로 a=1 5의 네제곱근 중 실수인 것은 -Ý'5, Ý'5의 2개이므로 b=2

∴ ab=2

38 00

^{중 하}

다음 중 옳은 것은?

① 25의 제곱근은 5이다.

② 81의 네제곱근 중 실수인 것은 3이다.

③ 제곱근 9는 Ñ3이다.

④ -1의 제곱근은 -1이다.

⑤ -27의 세제곱근 중 실수인 것은 -3이다.

✔

① 25의 제곱근은 Ñ5이다.

② 81의 네제곱근 중 실수인 것은 Ñ3이다.

③ 제곱근 9는 '9=3이다.

④ -1의 제곱근은 Ñi이다.

39 00

^중

다음 중 옳은 것은?

① a<0일 때, (Ü 'Ä-a)Ü`=a이다.

② (-2)Û`의 제곱근은 2이다.

③ '¶256의 네제곱근은 Ñ2이다.

④ n이 짝수이고 a>0일 때, xÇ`=a를 만족시키는 실수 x의 값은 n개이다.

⑤ n이 홀수일 때, -3의 n제곱근 중 실수인 것은 -Ç '3이다.

✔

① a<0일 때, (Ü'Ä-a )Ü`=-a이다.

② (-2)Û`=4의 제곱근은 Ñ2이다.

③ '¶256=2Ý`의 네제곱근은 Ñ2i, Ñ2이다.

④ n이 짝수이고 a>0일 때, xÇ`=a를 만족시키는 실수 x의 값은 Ç 'a, -Ç 'a의 2개이다.

실수 a의 n제곱근 중 실수인 것을 x라 하면

⑴ n이 짝수일 때 ⇨ x=ÑÇ '§a (a>0)

⑵ n이 홀수일 때 ⇨ x=Ç '§a 거듭제곱근

유형

01

| 개념원리 수학 Ⅰ 14쪽 |

36

00

^대표문제

다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. 27의 세제곱근 중 실수인 것은 Ñ3이다.

ㄴ. '4의 세제곱근 중 실수인 것은 없다.

ㄷ. 16의 네제곱근 중 실수인 것은 Ñ2이다.

ㄹ. '8Œ1의 네제곱근은 4개이다.

보기

ㄷ, ㄹ

ㄱ. 27의 세제곱근 중 실수인 것은 Ü'2Œ7=Ü"Å3Ü`=3이다. (거짓) ㄴ. '4=2의 세제곱근 중 실수인 것은 Ü'2이다. (거짓)

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01. 지수

009

01

지수

유형 ^{익 / 히 / 기}

49 00

^{중 하}

aÑ¡`_(aÑÜ`)ÑÛ`ÖaÑÞ`=aû`이 성립할 때, 정수 k의 값을 구하시 오. (단, a+0, a+1 )

³

aÑ¡`_(aÑÜ`)ÑÛ`ÖaÑÞ` =aÑ¡`_aß`ÖaÑÞ`=aÑ¡`±ß`Ñ<sup>(</sup>ÑÞ`⁾=aÜ`

∴ k=3

50 00

^{중 하}

다음 식의 값을 구하시오.

⑴ 27â`+ {;3!;}- 3

⑵ 3ÑÚ`â`+3Ú`Û`

3Ú`â`+3ÑÚ`Û`

28

9

⑴ 27â`+{;3!;}- 3`=1+3Ü`=1+27=28

⑵ 3ÑÚ`â`+3Ú`Û`

3Ú`â`+3ÑÚ`Û` = 1 3Ú`â`+3Ú`Û`

3Ú`â`+1 3Ú`Û`

= 3Û`Û`+1

3Ú`â`

3Û`Û`+1 3Ú`Û`

=3Ú`Û`(3Û`Û`+1) 3Ú`â`(3Û`Û`+1) = 3Ú`Û`

3Ú`â` =3Û`=9

51 00

^중

다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. 2

^;3!;

_2

^;6!;

= '2 ㄴ. (9ÑÛ`)

^;4!;

= 1 3 ㄷ. {(-3)Û`}

^;2#;

=-27 ㄹ. ( '2)

^2'2

=(2 '2 )

^'2

보기

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄹ

④ ㄴ, ㄹ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

✔

ㄱ. 2^;3!;_2^;6!;=2^;3!;±^;6!;=2^;2!;='2 (참) ㄴ. (9ÑÛ`)<sup>;4!;</sup>=(3ÑÝ`)^;4!;=3ÑÚ`=;3!; (참) ㄷ. {(-3)Û`}^;2#;=(3Û`)<sup>;2#;</sup>=3Ü`=27 (거짓) ㄹ. ('2)^2'2={('2)Û`}^'2=2^'2 (거짓)

⑴ a+0이고, n이 양의 정수일 때

① aâ`=1 ② aÑÇ` = 1 aÇ`

⑵ a>0, b>0이고, m, n이 실수일 때

① a

^m

aÇ`=a

^m+n

② a

^m

ÖaÇ`=a

^m-n

③ (a

^m

)Ç`=a

^mn

④ (ab)Ç`=aÇ`bÇ`

지수의 확장

유형

04

| 개념원리 수학 Ⅰ 21쪽 |

48

00

^대표문제

{:ª5¦:}

^;2!;

_ [{;1ª2¦5;}

^-;3!;

]

^;2#;

의 값을 구하시오.

⁵

{:ª5¦:}^;2!;_[{;1ª2¦5;}^-;3!;]^;2#; ={ 275 }

;2!;_{;1ª2¦5;}^-;2!;={ 275 }

;2!;_{:Á2ª7°:}^;2!;

={ 275 _:Á2ª7°:}

1

2 =25¹²=5

45 00

^{중 하}

세 수 A=Ü ®;4!;, B=Ý®;6!;, C=ܾ¨®É 1

17 의 대소 관계를 바르 게 나타낸 것은?

① A<B<C ② A<C<B ③ B<A<C

④ B<C<A

^✔

⑤ C<A<B

A=Ü®;4!;, B=Ý®;6!;, C=ܾ¨®É;1Á7;=ß®É;1Á7; 에서 3, 4, 6의 최소공배수가 12이므로 A=Ü®;4!;=Ú`Û¾¨{;4!;}4`=Ú`Û®É;25!6;, B=Ý®;6!;=Ú`Û¾¨{;6!;}3`=Ú`Û®É;21!6;,

C=ß®É;1Á7;=Ú`Û¾¨{;1Á7;}2`=Ú`Û®É;28!9;

따라서 Ú`Û®É;28!9;<Ú`Û®É;25!6;<Ú`Û®É;21!6;이므로 C<A<B

46

00

^중

^서술형

네 수 '2, Ü'3, Ý'5, Ü"'7 중 가장 큰 수를 a, 가장 작은 수를 b 라 할 때, aÚ`Û`+bÚ`Û`의 값을 구하시오.

¹⁷⁴

'2, Ü'3, Ý'5, Ü"'7=ß'7에서 2, 3, 4, 6의 최소공배수가 12이므로 '2=Ú`Û"Å2ß`=Ú`Û'6Œ4, Ü'3=Ú`Û"Å3Ý`=Ú`Û'8Œ1, Ý'5=Ú`Û"Å5Ü`=Ú`Û'¶125

ß'7=Ú`Û"Å7Û`=Ú`Û'4Œ9 ◀50 %

∴ Ú`Û'4Œ9<Ú`Û'6Œ4<Ú`Û'8Œ1<Ú`Û'¶125

따라서 가장 큰 수는 Ú`Û'¶125, 가장 작은 수는 Ú`Û'4Œ9이므로 a=Ú`Û'Ä125, b=Ú`Û'4Œ9 ◀30 %

∴ aÚ`Û`+bÚ`Û`=125+49=174 ◀20 %

47 00

^중

세 수 A= "Ã2_Ü'3 , B=Ü"Ã3'2, C=Ü"2'3의 대소 관계를 바 르게 나타낸 것은?

① A<B<C ② B<A<C ③ B<C<A

④ C<A<B

^✔

⑤ C<B<A

A="Ã2_Ü'3=Á°Ü"2Ü`_Ü'3="ÃÜ'2Œ4=ß'2Œ4 B=Ü"Ã3'2=ÜÁ°"3Û`_'2=Ü"Ã'1Œ8=ß'1Œ8 C=Ü"Ã2'3=ÜÁ°"2Û`_'3=Ü"Ã'1Œ2=ß'1Œ2 따라서 ß'1Œ2<ß'1Œ8<ß'2Œ4이므로 C<B<A

A>0, B>0이고, n이 2 이상의 자연수일 때 A<B HjK Ç '§A<Ç '§B

거듭제곱근의 대소 비교

유형 중요

03

| 개념원리 수학 Ⅰ 16쪽 |

44

00

^대표문제

세 수 A= "'5, B=Ü'3, C="Ü'1Œ0의 대소 관계를 바르게 나 타낸 것은?

① A<B<C ② A<C<B ③ B<A<C

④ B<C<A ⑤ C<B<A

✔

A="'5=Ý'5, B=Ü'3, C="ÃÜ'1Œ0=ß'1Œ0에서 4, 3, 6의 최소공배수가 12이므로

A=Ý'5=Ú`Û"Å5Ü`=Ú`Û'¶125, B=Ü'3=Ú`Û"Å3Ý`=Ú`Û'8Œ1, C=ß'1Œ0=Ú`Û"10Û`=Ú`Û'¶100 따라서 Ú`Û'8Œ1<Ú`Û'¶100<Ú`Û'¶125이므로

B<C<A

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012

^Ⅰ. 지수함수와 로그함수

유형 ^익

^/

^히

^/

^기

^{정답과 풀이 6쪽}

유형

73 00

^{중 하}

a>0이고 aÅ`+aÑÅ`

aÅ`-aÑÅ` =3일 때, aÛ`Å`의 값을 구하시오.

²

aÅ`+aÑÅ``

aÅ`-aÑÅ`= aÅ`(aÅ`+aÑÅ`) aÅ`(aÅ`-aÑÅ`)= aÛ`Å`+1

aÛ`Å`-1=3 aÛ`Å`+1=3(aÛ`Å`-1)

2aÛ`Å`=4 ∴ aÛ`Å`=2

aÑÅ`, aÑÛ`Å``(a>0) 등을 포함한 분수식의 계산

⇨ 분모, 분자에 각각 aÅ`, aÛ`Å` 등을 곱하여 식을 간단히 한다.

aÅ`-aÑÅ`

aÅ`+aÑÅ` 꼴의 식의 값 구하기

유형 중요

09

| 개념원리 수학 Ⅰ 24쪽 |

72

00

^대표문제

aÛ`Å`=10일 때, aÅ`-aÑÅ`

aÅ`+aÑÅ` 의 값을 구하시오. (단, a>0 )

^;1»1;

aÛ`Å`=10이므로 aÅ`-aÑÅ`

aÅ`+aÑÅ`의 분모, 분자에 각각 aÅ` 을 곱하면 aÅ`-aÑÅ`

aÅ`+aÑÅ`=aÅ`(aÅ`-aÑÅ`) aÅ`(aÅ`+aÑÅ`)=aÛ`Å`-1

aÛ`Å`+1= 10-110+1 =;1»1;

69 00

^{중 하}

5Å`+5

^1-x

=8일 때, 25Å`+25

^1-x

의 값을 구하시오.

⁵⁴

5Å`+5Ú`ÑÅ`=8의 양변을 제곱하면 5Û`Å`+2´5Å`´5Ú`ÑÅ`+5^2(1-x)=64 (5Û`)Å`+2´5^x+(1-x)+(5Û`)Ú`ÑÅ`=64 25Å`+10+25Ú`ÑÅ`=64

∴ 25Å`+25Ú`ÑÅ`=54

70

00

^중

^서술형

x>0이고 'x+ 1 'x =3일 때, xÛ`+xÑÛ`+7

x+xÑÚ`+2 의 값을 구하시오.

6 {'x+ 1'x}Û`=x+;[!;+2에서 9=x+;[!;+2 ∴ x+;[!;=7 ◀40 % 또 {x+;[!;}Û`=xÛ`+ 1xÛ`+2에서 49=xÛ`+ 1

xÛ`+2 ∴ xÛ`+ 1

xÛ`=47 ◀40 %

∴ xÛ`+xÑÛ`+7 x+xÑÚ`+2=47+7

7+2 =6 ◀20 %

71 00

^중

다음 물음에 답하시오.

⑴ 5

^;2A;

+5

^-;2A;

='1Œ0일 때, 5Ü`Œ`-5Û`Œ`+5Œ`

5

^2a

의 값을 구하시오.

⑵ x=3

^;3!;

-3

^-;3!;

일 때, 3xÝ`+3xÜ`+9xÛ`+x의 값을 구하시오.

7

⑴ 5^;2A;+5^-;2A;='1Œ0의 양변을 제곱하면 8

5Œ`+2+5ь`=10 ∴ 5Œ`+5ь`=8 ∴ 5Ü`Œ`-5Û`Œ`+5Œ`

5^2a =5Œ`-1+ 1

5^a=5Œ`+5ь`-1=8-1=7

⑵ x=3^;3!;-3^-;3!;의 양변을 세제곱하면

xÜ`=3-;3!;-3(3<sup>;3!;</sup>-3<sup>-;3!;</sup>), xÜ`=;3*;-3x, 3xÜ`=8-9x ∴ 3xÜ`+9x-8=0

∴ 3xÝ`+3xÜ`+9xÛ`+x =x(3xÜ`+9x-8)+3xÜ`+9x=8

양수 a에 대하여

⑴ (a

^;2!;

Ña

^-;2!;

)Û`=aÑ2+aÑÚ` (복부호동순)

⑵ (a

^;3!;

Ña

^-;3!;

)Ü`=aÑ3(a

^;3!;

Ña

^-;3!;

)ÑaÑÚ` (복부호동순) 지수법칙과 곱셈공식을 이용하여 식의 값 구하기

유형 중요

08

| 개념원리 수학 Ⅰ 23쪽 |

68

00

^대표문제

a

^;3!;

+a

^-;3!;

= '5일 때, a+aÑÚ`의 값은? (단, a>0 )

① ' 5

5 ② 2 '5

5 ③ 3 '5 5

④ '5

^✔

⑤ 2 '5

a^;3!;+a^-;3!;='5의 양변을 세제곱하면 a+aÑÚ`+3(a<sup>;3!;</sup>+a<sup>-;3!;</sup>)=('5 )Ü`

∴ a+aÑÚ` =('5)Ü`-3'5=2'5

74 00

^중

3Å`-3ÑÅ`

3Å`+3ÑÅ` =;3!; 일 때, 9Å`-9ÑÅ`의 값은?

① ;3!; ② ;2!; ③ 1

④ ;2#; ⑤ 2

✔ 3Å`-3ÑÅ`

3Å`+3ÑÅ`= 3Å`(3Å`-3ÑÅ`) 3Å`(3Å`+3ÑÅ`)= 3Û`Å`-1

3Û`Å`+1= 9Å`-1 9Å`+1 =;3!;

3´9Å`-3=9Å`+1 2´9Å`=4 ∴ 9Å`=2

∴ 9Å`-9ÑÅ`=9Å`-(9Å`)ÑÚ`=2-2ÑÚ`=2-;2!;=;2#;

75 00

^중

2Ý`Å`=3일 때, 2ß`Å`-2Ñß`Å` 2Û`Å`+2ÑÛ`Å` 의 값을 구하시오.

:Á6£:

2ß`Å`-2Ñß`Å`

2Û`Å`+2ÑÛ`Å` = 2Û`Å`(2ß`Å`-2Ñß`Å`) 2Û`Å`(2Û`Å`+2ÑÛ`Å`)

= 2¡`Å`-2ÑÝ`Å`

2Ý`Å`+1 =(2Ý`Å`)Û`-(2Ý`Å`)ÑÚ`

2Ý`Å`+1

=9-;3!;

3+1 =:Á6£:

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01. 지수

013

01

지수

유형

_{정답과 풀이 7쪽}

81 00

^{상 중}

어느 도시의 인구는 1995년 말에 약 4만 명이었고, 매년 일정 한 비율로 증가하여 2015년 말에는 약 676만 명이었다. 2005 년 말의 이 도시의 인구는 약 몇 명인지 구하시오.

^{52만 명}

1년마다 인구 수가 r배가 된다고 하면 1995년 말부터 2015년 말까지 20년 동안 인구는 r ²⁰=6760000Ö40000=169(배)

1995년 말부터 2005년 말까지 10년 동안 인구는 r ¹⁰=(r ²⁰)^;2!;=169^;2!;=13(배) 따라서 2005년 말의 인구는

40000_13=520000(명)=52`(만 명)

82 00

^{상 중}

어떤 방사능 물질이 시간이 지남에 따라 일정한 비율로 붕괴 되어 a년 후에는 처음 양의 1

2 이 된다고 할 때, a년을 이 물질 의 반감기라 한다. 반감기가 a년인 방사능 물질의 처음의 양 을 m¼이라 할 때, t년 후 이 방사능 물질의 양 m(t)는 m(t)=m¼´ { 1

2 }

;aT;

인 관계가 성립한다. 반감기가 300년인 방사능 물질의 양이 현재 m이라 할 때, 이 물질의 양이 m

16 이 되는 것은 지금으로 부터 약 몇 년 후인지 구하시오.

^{1200년 후}

t년 후에 반감기가 300년인 방사능 물질의 양 m이 m

16이 된다고 하면 m

16 =m´{;2!;}^;30T0;, ;1Á6;={;2!;}^;30T0;, {;2!;}Ý`={;2!;}^;30T0;

4=;30T0; ∴ t=1200 따라서 1200년 후이다.

⑴ 식이 주어진 경우 ⇨ 주어진 식에 알맞은 값을 대입한다.

⑵ 식을 구하는 경우 ⇨ 조건에 맞도록 식을 세운 후 지수법칙을 이용한다.

지수법칙의 실생활에의 응용

유형

11

80

00

^대표문제

글자

A

를 어떤 비율로 확대 복사하여 큰 글자 A 를 만들고, 확대한 A 를 같은 비율로 확대 복사하여 더 큰 글자 A 를 만 들었다. 이와 같은 작업을 계속하였더니 5회째의 복사본의 글 자 크기가 처음 원본의 글자 크기의 2배가 되었다. 8회째의 복 사본의 글자 크기가 4회째의 복사본의 글자 크기의 2

^m n

배일 때, m+n의 값을 구하시오.

(단, m과 n은 서로소인 자연수이다.)

9

1회 확대 복사할 때마다 글자 크기가 r배 커진다고 하면 5회째의 복사본의 글자 크기는 처 음 원본의 글자 크기의 2배이므로

rÞ`=2 ∴ r=2^;5!;

8회째의 복사본의 글자 크기는 4회째의 복사본의 글자 크기의 rÝ`배이므로 rÝ`=(2^;5!;)Ý`=2^;5$;

따라서 m=5, n=4이므로 m+n=9

77 00

^중

2Å`=3´`=5½`=a, ;[!;+;]!;+;z!;=2일 때, 상수 a의 값을 구하시 오. (단, xyz+0 )

^'3Œ0

2Å`=a에서 2=a<sup>;[!;</sup> yy ㉠ 3´`=a에서 3=a^;]!; yy ㉡ 5½`=a에서 5=a^;z!; yy ㉢

㉠_㉡_㉢을 하면 30=a;[!;+;]!;+;z!;

그런데 ;[!;+;]!;+;z!;=2이므로 aÛ`=30 ∴ a='3Œ0 (∵ a>0)

78 00

^{상 중}

다음 물음에 답하시오.

⑴ 8Å`=9´`=12½`일 때, ;[A;+ 1y =;z@; 를 만족시키는 실수 a의 값을 구하시오. (단, xyz+0 )

⑵ 4Å`=5´`=10½`일 때, 1 2x + 1

y -;z!; 의 값을 구하시오.

(단, xyz+0 )

;3$;

0

⑴ 8Å`=9´`=12½`=k`(k>0)라 하면 2Ü`=k<sup>;[!;</sup>, 3Û`=k^;]!;, 2Û`´3=k^;z!;

이때 ;[A;+;]!;=;z@;이므로 (k^;[!;)Œ`´k<sup>;]!;</sup>=(k<sup>;z!;</sup>)Û`에서 2Ü`Œ`´3Û`=2Ý`´3Û` ∴ a=;3$;

⑵ 4Å` =5´`=10½`=k`(k>0)라 하면 2=k^2x1, 5=k^;]!;, 10=k^;z!;

k2x +;]!;-;z!;¹ =2_5Ö10=1 ∴ 12x +;]!;-;z!;=0 (∵ k+1)

79 00

^상

두 실수 x, y에 대하여 2Û`Å`=3Û`´`=k이고 x+y-2xy=0일 때, 상수 k의 값을 구하시오. (단, xy+0 )

⁶

x+y-2xy=0의 양변을 xy로 나누면

;]!;+;[!;-2=0 ∴ ;[!;+;]!;=2 yy ㉠ 2^2x=4Å`=k에서 4=k<sup>;[!;</sup> yy ㉡ 3<sup>2y</sup>=9´`=k에서 9=k^;]!; yy ㉢

㉡_㉢을 하면 36=k^;[!;+;]!;

㉠에서 ;[!;+;]!;=2이므로 kÛ`=36 ∴ k=6 (∵ k>0)

aÅ`=k, b´`=k (a>0, b>0, xy+0)일 때

⇨ a=k

^;[!;

, b=k

^;]!;

밑을 같게 하여 식의 값 구하기

유형

10

| 개념원리 수학 Ⅰ 24쪽 |

76

00

^대표문제

두 양수 a, b에 대하여 ab=8, aÅ`=b´`=16일 때, ;[!;+ 1y 의 값을 구하시오. (단, xy+0 )

^;4#;

aÅ`=16=2Ý`에서 a=2^;[$;

b´`=16=2Ý`에서 b=2^;]$;

∴ ab=2^;[$;´2^;]$;=2^;[$;+;]$;=2Ý`{;[!;+;]!;}=2Ü`

따라서 4{;[!;+;]!;}=3이므로 ;[!;+;]!;=;4#;

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014

^Ⅰ. 지수함수와 로그함수

꼭

시험에 나오는 문제

정답과 풀이 8쪽

84 00

다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, n은 2 이상의 자연수이다.)

ㄱ. n이 홀수이면 xÇ`=a`(a<0)를 만족시키는 실수 x는 1개이다.

ㄴ. n이 짝수이면 3의 n제곱근 중 실수인 것은 n의 값에 관계없이 항상 2개이다.

ㄷ. n이 짝수이면 Ç '¶-a=-Ç 'a이다.

ㄹ. 81의 네제곱근은 -3, 3, -3i, 3i이다.

보기

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ ⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

✔

ㄱ. n이 홀수이면 xÇ`=a (a<0)를 만족시키는 실수 x는 Ç 'a의 1개이다. (참) ㄴ. n이 짝수이면 3의 n제곱근 중 실수인 것은 Ç '3, -Ç '3의 2개이다. (참) ㄷ. (반례) n=2, a=2일 때, '¶-2='2i이므로 '¶-2+-'2이다. (거짓) ㄹ. 81의 네제곱근을 x라 하면 xÝ`=81이므로 xÝ`-81=0, (xÛ`+9)(xÛ`-9)=0

∴ x=Ñ3i 또는 x=Ñ3 (참)

83 00

-27의 세제곱근 중 실수인 것의 개수를 a, 10의 네제곱근 중 실수인 것의 개수를 b라 할 때, a+b의 값은?

① 2 ② 3 ③ 4

④ 5 ⑤ 6

✔

-27의 세제곱근 중 실수인 것은 Ü'Ä-27=-3의 1개이므로 a=1 10의 네제곱근 중 실수인 것은 -Ý'1Œ0, Ý'1Œ0의 2개이므로 b=2

∴ a+b=3

85 00

Ü 'Ä-27+ Ý'4Œ8 Ý '3 +Ü "'6Œ4 를 간단히 하면?

① -2 ② -1 ③ 1

④ 2 ⑤ 5

✔

Ü'Ä-27+ Ý'4Œ8

Ý'3 +Ü"Ã'6Œ4 =Ü"Ã(-3)Ü`+Ý®É 483 +ß'6Œ4

=Ü"Ã(-3)Ü`+Ý"2Ý`+ßß"2ß`

=-3+2+2

=1

86 00

(ß '9-Ü'2Œ4-2_á"Ã-27)ß`을 간단히 하면?

① 3 ② 9 ③ 9 Ü '3

④ 9 '3 ⑤ 27

✔

(ß'9-Ü'2Œ4-2_á'Ä-27 )ß` =(ß"3Û`-Ü"Ã2Ü`_3-2_á"Ã(-3)Ü`)ß`

=(Ü'3-2 Ü'3+2 Ü'3 )ß`=(Ü'3 )ß`

=3Û`=9

87 00

a>0, b>0일 때, ß "Ã8aÜ`bÜ`_Ú`ß"Ã256aß`bÝ`Ö'¶4ab 를 간단히 하면?

① Ý "ÃaÜ`bÛ` ② ß "ÃaÜ`bÛ` ③ ¡ "ÃaÜ`bÛ`

④ ß "ÃaÛ`bÜ` ⑤ ¡ "ÃaÛ`bÜ`

✔

ß"Ã8aÜ`bÜ`_Ú`ß"Ã256aß`bÝ`Ö'¶4ab =ß"Ã2Ü`aÜ`bÜ`_Ú`ß"Ã2¡`aß`bÝ`Ö"Ã2Û`ab

="Ã2ab_¡"Ã2Ý`aÜ`bÛ`Ö"Ã2Û`ab

= ¡"Ã2Ý`aÝ`bÝ`_¡"Ã2Ý`aÜ`bÛ`

¡"Ã2¡`aÝ`bÝ`

=¡¾¨ 2¡`aà`bß`

2¡`aÝ`bÝ`

=¡"aÜ`bÛ`

88 00

2 이상의 자연수 x, y에 대하여 xy=18일 때, Å  '2_´'4의 최 솟값은?

① '2 ② '5 ③ Ü '4

④ Ü '5 ⑤ Ü '6

✔

Å '2_´'4=^x´"Å2´`_<sup>x</sup>´"Å4Å`=^x´"2´`´4Å`=Ú`¡"Ã2^2x+y (∵ xy=18 ) x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 2x+y¾2'Ä2xy=2'3Œ6=12 (단, 등호는 2x=y일 때 성립)

∴ Å '2_´'4=Ú`¡"Ã2<sup>2x+y</sup>¾Ú`¡"2Ú`Û`=Ü"Å2Û`=Ü'4

89 00

^중요

세 수 A=Ü "2'4, B="Ã2_Ü'4, C=Ü"3'3 의 대소 관계를 바 르게 나타낸 것은?

① A<B<C ② A<C<B ③ B<A<C

④ B<C<A ⑤ C<A<B

✔

A=Ü"Ã2'4=Ü"Ã'4_'4=Ü"Ã'1Œ6=ß'¶16 B="Ã2_Ü'4="ÃÜ'8_Ü'4="ÃÜ'3Œ2=ß'¶32 C=Ü"Ã3'3=Ü"Ã'9_'3=Ü"Ã'2Œ7=ß'¶27 따라서 ß'1Œ6<ß'2Œ7<ß'3Œ2이므로 A<C<B

90 00

다음 중 가장 큰 수는?

① "ÃÜ'Ä5_6 ② "Ã6_Ü'5 ③ "Ã5_Ü'6

④ Ü "Ã5'6 ⑤ Ü "Ã6'5

✔

① "ÃÜ'¶5_6=ß'3Œ0

② "Ã6_Ü'5=Á°Ü"6Ü`_Ü'5=Á°Ü'Ä1080=ß'Ä1080

③ "Ã5_Ü'6=Á°Ü"5Ü`_Ü'6="Ü'Ä750=ß'Ä750

④ Ü"Ã5'6=ÜÁ°"5Û`_'6=Ü"'Ä150=ß'Ä150

⑤ Ü"Ã6'5=ÜÁ°"6Û`_'5=Ü"'Ä180=ß'Ä180

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01. 지수

015

01

지수

91 00 { 1 27 }

;n$;

과 16

^-;n!;

이 모두 자연수가 되도록 하는 모든 정수 n의

값의 합을 구하시오.

^-7

{;2Á7;}^;n$;=(3ÑÜ`)<sup>;n$;</sup>=3<sup>- 12n </sup>, 16<sup>-;n!;</sup>=(2Ý`)^-;n!;=2^-;n$;

{ 127 }

;n$;과 16^-;n!; 이 모두 자연수가 되려면 n<0이고 |n|이 12와 4의 공약수이어야 하므

로 n의 값은 -1, -2, -4 따라서 구하는 합은 -1-2-4=-7

92 00

두 자리 자연수 n에 대하여 (Ü "5Þ` )

^;4!;

이 어떤 자연수의 n제곱근 이 되도록 하는 n의 개수를 구하시오.

⁸

(Ü"Å5Þ` )^;4!;=(5^;3%;)^;4!;=5^;1°2;

따라서 (Ü"Å5Þ` )^;4!;, 즉 5^;1°2;이 어떤 자연수 x의 n제곱근이면

x=(5^;1°2;)ⁿ=5^;1°2;n이므로 5^;1°2;n은 자연수이다.

즉 자연수 n`(n¾2)은 `12의 배수이므로 두 자리 자연수 n은 12, 24, 36, y, 96의 8개이다.

93 00

다음 물음에 답하시오.

⑴ Ü "ÅaÞ`=ÝÁ°a_Ü"Åaû` 일 때, 상수 k의 값을 구하시오.

(단, a>0, a+1 )

⑵ Á°2_Ü"Ã2_Ý'2=2

^;2÷4;

일 때, 자연수 n의 값을 구하시오.

17

17

⑴ Ü"ÅaÞ`=ÝÁ°a_Ü"Åaû` 에서 a^;3%;=a^;4!;a^;1ð2;=a^;4!;+;1ð2;이므로 ;3%;=;4!;+;1ð2;, 20=3+k ∴ k=17

⑵ Á°2_Ü"Ã2_Ý'2 ='2_"Ü'2_Á°Ü"Ý'2='2_ß'2_Û`Ý'2=2^{;2!;+;6!;+241}=2¹⁷²⁴ ∴ n=17

94 00

a= '2, b=Ü'3일 때, Ú`Û'1Œ2 를 a, b로 나타낸 것은?

① a

^;3!;

b

^;4!;

② a

^;2!;

b

^;4!;

③ a

^;4!;

b

^;3!;

④ a

^;4!;

b

^;2!;

⑤ a

^;3!;

b

^;3!;

✔

`a='2, b=Ü'3에서 aÛ`=2, bÜ`=3이므로 Ú`Û'1Œ2 =Ú`Û"Ã2Û`´3=Ú`Û"ÃaÝ`bÜ`=(aÝ`bÜ`)^;1Á2;=a¹³b^;4!;

95 00

2Œ`=c, 2º`=d일 때, {;2!;}

^a-2b

을 c, d로 나타낸 것은?

① dÜ`

cÛ` ② dÛ`

c ③ cÛ`

d

④ dÛ`

cÜ` ⑤ d

c

✔

2Œ`=c에서 (2Œ` )ÑÚ`=cÑÚ`이므로 {;2!;}Œ`=;c!;

2º`=d에서 (2ÑÚ`)Ѻ`=d이므로 {;2!;}<sup>-b</sup>=d, {;2!;}<sup>-2b</sup>=dÛ`

∴ {;2!;}^a-2b={;2!;}^a_{;2!;}^-2b=;c!;´dÛ`= dÛ`c

96 00

^중요

(1+3Û`)(1+3)(1+3

^;2!;

)(1+3

^;4!;

)(1+3

^;8!;

)(1-3

^;8!;

)을 간단 히 하시오.

^-80

(1+3Û`)(1+3)(1+3^;2!;)(1+3^;4!;)(1+3^;8!;)(1-3^;8!;)

=(1+3Û`)(1+3)(1+3^;2!;)(1+3^;4!;)(1-3^;4!;)

=(1+3Û`)(1+3)(1+3^;2!;)(1-3^;2!;)

=(1+3Û`)(1+3)(1-3)

=(1+3Û`)(1-3Û`)

=1-3Ý`=1-81=-80

97 00

^중요

양수 x에 대하여 Ü 'x+ 1

Ü'x =4일 때, Ü "ÅxÝ`+ 1

Ü "ÅxÝ` 의 값을 구하 시오.

¹⁹⁴

Ü'x+ 1Ü'x=4에서 x^;3!;+xÑ^;3!;=4 위의 식의 양변을 제곱하면

x^;3@;+2+xÑ^;3@;=16 ∴ x^;3@;+xÑ^;3@;=14 위의 식의 양변을 제곱하면

x^;3$;+2+xÑ^;3$;=196 ∴ x^;3$;+xÑ^;3$;=194

∴ Ü"ÅxÝ`+ 1

Ü"xÝ`=x^;3$;+xÑ^;3$;=194

98 00

x=3

^;3!;

+3

^-;3!;

일 때, 3xÜ`-9x-8의 값을 구하시오.

²

x=3^;3!;+3^-;3!;의 양변을 세제곱하면

xÜ`=3+3ÑÚ`+3(3^;3!;+3^-;3!;) xÜ`=3+;3!;+3x, 3xÜ`=9+1+9x

∴ 3xÜ`-9x-10=0

∴ 3xÜ`-9x-8=(3xÜ`-9x-10)+2=0+2=2

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016

^Ⅰ. 지수함수와 로그함수

꼭 ^{나오는 문제}

시험에 99 00

^중요

2Å` +2ÑÅ` =4일 때, 8Å`+8ÑÅ`

4Å`+4ÑÅ` = n m 이다. m+n의 값을 구하시 오. (단, m과 n은 서로소인 자연수이다.)

³³

2Å`+2ÑÅ`=4의 양변을 제곱하면 4Å`+2+4ÑÅ`=16 ∴ 4Å`+4ÑÅ`=14 2Å`+2ÑÅ`=4의 양변을 세제곱하면 8Å`+8ÑÅ`+3(2Å`+2ÑÅ` )=64 8Å`+8ÑÅ`+3´4=64

∴ 8Å`+8ÑÅ`=52

∴ 8Å`+8ÑÅ`

4Å`+4ÑÅ`=;1%4@;=:ª7¤:

따라서 m=7, n=26이므로 m+n=33

100 0

양수 a에 대하여 aÞ`=7일 때, aÞ`+aÝ`+aÜ`+aÛ`+a

aÑá`+aÑ¡`+aÑà`+aÑß`+aÑÞ`

의 값을 구하시오.

⁴⁹

주어진 식의 분모, 분자에 각각 aÚ`â`을 곱하면 (주어진 식) = aÚ`â`(aÞ`+aÝ`+aÜ`+aÛ`+a)

aÚ`â`(aÑá`+aÑ¡`+aÑà`+aÑß`+aÑÞ`) =aÚ`â`(aÞ`+aÝ`+aÜ`+aÛ`+a) a+aÛ`+aÜ`+aÝ`+aÞ` =aÚ`â`

이때 aÞ`=7이므로 aÚ`â`=(aÞ`)Û`=7Û`=49

101 0

3Å`-3ÑÅ`

3Å`+3ÑÅ` =k 일 때, 9Å`+9ÑÅ` 을 k로 나타낸 것은? ( 단, x+0 )

① 1-kÛ`

1+kÛ` ② kÛ`

1+kÛ` ③ 2k 1+2kÛ`

④ 2k

1-2kÛ` ⑤ 2(1+kÛ`) 1-kÛ`

✔ 3Å`-3ÑÅ`

3Å`+3ÑÅ`의 분모, 분자에 각각 3Å` 을 곱하면 3Å`-3ÑÅ`

3Å`+3ÑÅ`= 3Û`Å`-1 3Û`Å`+1= 9Å`-1

9Å`+1=k이므로 9Å`-1=k(9Å`+1), 9Å`(1-k)=k+1

∴ 9Å`= 1+k1-k

∴ 9Å`+9ÑÅ` = 1+k1-k +1-k 1+k =

(1+k)Û`+(1-k)Û

(1-k)(1+k) =2(1+kÛ`) 1-kÛ`

102 0

aÛ`Å`= '2일 때, aÞ`Å`-aÑÞ`Å` aÅ`-aÑÅ` 의 값을 구하시오. (단, a>0)

^7+3'2₂

aÞ`Å`-aÑÞ`Å`

aÅ`-aÑÅ` 의 분모, 분자에 각각 aÅ` 을 곱하면 aÞ`Å`-aÑÞ`Å`

aÅ`-aÑÅ` = aß`Å`-aÑÝ`Å`

aÛ`Å`-1 = (aÛ`Å`)Ü`-(aÛ`Å`)ÑÛ`

aÛ`Å`-1 =('2)Ü`-('2)ÑÛ`

'2-1

=2'2-;2!;

'2-1 = 7+3'2 2

103 0

5Å`=27, 45´`=81일 때, 3x - 4

y 의 값을 구하시오.

^-2

5Å`=27에서 5Å`=3Ü`이므로 5=3<sup>;[#;</sup> yy ㉠ 45´`=81에서 45´`=3Ý`이므로 45=3^;]$; yy ㉡

㉠Ö㉡을 하면 ;4°5;=3^;[#;

3^;]$;, ;9!;=3^;[#;-;]$;

이때 ;9!;=3ÑÛ`이므로 ;[#;-;]$;=-2

104

0

^중요

세 양수 a, b, c가 abc=9, aÅ`=b´`=c½`=27을 만족시킬 때, x + 1 1

y + 1

z 의 값을 구하시오.

^;3@;

aÅ`=b´`=c½`=27에서 a=27 ^;[!;, b=27 ^;]!;, c=27 ^;z!;

∴ abc=27 ;[!;+;]!;+;z!;=3Ü` {;[!;+;]!;+;z!;}=9 이때 9=3Û`이므로

3{;[!;+;]!;+;z!;}=2 ∴ ;[!;+;]!;+;z!;=;3@;

105 0

;[!;+ 1y =3, 8Å`=27´`을 만족시키는 두 실수 x, y에 대하여 (2Å`+3´`)Ü`의 값을 구하시오. (단, xy+0 )

⁴⁸

8Å`=27´`=k`(k>0)라 하면 8=k^;[!;, 27=k^;]!;

8=k^;[!;, 27=k^;]!; 을 변끼리 곱하면 8_27=k^;[!;_k^;]!;, 216=k^;[!;+;]!;

6Ü`=kÜ` {∵ ;[!;+;]!;=3} ∴ k=6 8Å`=6이므로 (2Ü`)Å`=6, (2Å`)Ü`=6 ∴ 2Å`=Ü'6 27´`=6이므로 (3Ü`)´`=6, (3´`)Ü`=6 ∴ 3´`=Ü'6

∴ (2Å`+3´`)Ü`  =(Ü'6+Ü'6)Ü`=(2_Ü'6)Ü`=2Ü`_6=48

106 0

어떤 바이러스는 한 시간마다 일정한 비율로 그 개체수가 늘 어난다고 한다. 이 바이러스 한 마리가 8시간 후에 8마리로 늘 어난다고 할 때, 이 바이러스 한 마리가 16시간 후에는 몇 마 리로 늘어나는지 구하시오.

^64마리

바이러스의 개체수가 한 시간 후 r배가 된다고 하면 한 마리의 바이러스가 8시간 후에 8마 리로 늘어나므로 r¡`=8

∴ rÚ`ß`=(r¡`)Û`=8Û`=64

따라서 한 마리의 바이러스가 16시간 후에 64마리로 늘어난다.

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01. 지수

017

01

지수

꼭 ^{나오는 문제}

시험에

^{정답과 풀이 9쪽}

113

0

^{창의.융합}

실수 a의 n제곱근 중 실수인 것의 개수를 f(a, n)이라 할 때, 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, n은 2 이상의 자연수이다.)

ㄱ. f(10, 2018)=f(10, 2017)+f(-10, 2017) ㄴ. f(a, 2n+1)+f(aÛ`, 2n)=3

ㄷ. 4 f( '3, 4)+3 f(Ü'¶-6, 7)+2 f(-Ý'8, 6)=11

보기

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

✔

ㄱ.  f(10, 2018)=2,  f(10, 2017)=1, f(-10, 2017)=1이므로 f(10, 2018)=f(10, 2017)+f(-10, 2017) (참)

ㄴ. (반례) a=0, n=2이면  f(0, 5)=1,  f(0, 4)=1이므로 f(0, 5)+f(0, 4)=2+3 (거짓)

ㄷ. f('3, 4)=2,  f(Ü'¶-6, 7)=1,  f(-Ý'8, 6)=0이므로

4 f('3, 4)+3 f(Ü'¶-6, 7)+2 f(-Ý'8, 6)=4´2+3´1+2´0=11 (참)

111 0

이차방정식 xÛ`+2kx+6=0의 두 근 a, b가 aÑÚ`-bÑÚ`

aÑÛ`-bÑÛ` = 4 25

를 만족시킬 때, 상수 k의 값을 구하시오. (단, a>0, b>0)

-:¦4°:

이차방정식 xÛ`+2kx+6=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-2k, ab=6

∴ aÑÚ`-bÑÚ`

aÑÛ`-bÑÛ` = aÑÚ`-bÑÚ`

(aÑÚ`+bÑÚ`)(aÑÚ`-bÑÚ`)= 1

aÑÚ`+bÑÚ`= 1

;Œ!;+;º!;

= aba+b =-;k#;

따라서 -;k#;=;2¢5;이므로 k=-:¦4°:

실력 up

108 0

세 양수 a, b, c에 대하여 aÜ`=5, bÝ`=11, cß`=13일 때, (abc)Ç` 이 자연수가 되도록 하는 자연수 n의 최솟값을 구하시 오.

¹²

aÜ`=5, bÝ`=11, cß`=13에서

a=5^;3!;, b=11^;4!;, c=13^;6!; ◀30 %

이므로 (abc)Ç`=(5^;3!;_11^;4!;_13¹⁶)ⁿ이 자연수가 되도록 하는 자연수 n은 3, 4, 6의 공배

수, 즉 12의 배수이다. ◀50 %

따라서 자연수 n의 최솟값은 12이다. ◀20 %

109 0

x

^;2!;

+x

^-;2!;

=2 '2 를 만족시키는 양수 x에 대하여

x

^;2#;

+x

^-;2#;

x+xÑÚ`+14 의 값을 구하시오.

^'2₂

x^;2!;+xÑ^;2!;=2'2의 양변을 제곱하면

x+2+xÑÚ`=8 ∴ x+xÑÚ`=6 ◀40 %

x^;2!;+xÑ^;2!;=2'2의 양변을 세제곱하면 x^;2#;+xÑ^;2#;+3(x^;2!;+xÑ^;2!;)=16'2

x^;2#;+xÑ^;2#;+6'2=16'2 ∴ x^;2#;+xÑ^;2#;=10'2 ◀40 %

∴ x^;2#;+xÑ^;2#;

x+xÑÚ`+14= 10'26+14 ='2

2 ◀20 %

110

0

^중요

양수 a와 실수 x에 대하여 aÑÜ`Å`+aÜ`Å`

aÑÅ`+aÅ` =3 일 때, aÑÛ`Å`의 값을 구하시오.

^2Ñ'3

aÑÜ`Å`+aÜ`Å`

aÑÅ`+aÅ`=3의 좌변의 분모, 분자에 각각 aÑÅ`을 곱하면 aÑÝ`Å`+aÛ`Å`

aÑÛ`Å`+1 =3 ◀30 %

이때 aÑÛ`Å`=t (t>0)라 하면 tÛ`+;t!;

t+1 =3에서 tÛ`+;t!;=3t+3 양변에 t를 곱하여 정리하면

tÜ`-3tÛ`-3t+1=0, (t+1)(tÛ`-4t+1)=0

∴ t=2Ñ'3 (∵ t>0) ◀50 %

∴ aÑÛ`Å`=2Ñ'3 ◀20 %

112 0

a+b+c=-1, 2Œ`+2º`+2`= 13 4 , 2ь`+2Ѻ`+2э`=:Á2Á:‌을 모두 만족시키는 세 실수 a, b, c에 대하여 4Œ`+4º`+4`의 값을 구하시오.

^;1*6!;

2Œ`=x, 2º`=y, 2`=z라 하면 xyz=2Œ`2º`2`=2^a+b+c=2ÑÚ`=;2!;

x+y+z=2Œ`+2º`+2`=:Á4£:

또한 ;[!;+;]!;+;z!;=2ь`+2Ѻ`+2э`=:Á2Á:이므로

;[!;+;]!;+;z!; = xy+yz+zxxyz =2(xy+yz+zx)= 112

∴ xy+yz+zx=:Á4Á:

∴ 4Œ`+4º`+4` =xÛ`+yÛ`+zÛ`=(x+y+z)Û`-2(xy+yz+zx)

={ 134 }2`-2´ 114 = 8116

107

0

^중요

¾¨'a_ a Ü 'a Ö "Ã'a_Ü'a`

Ý Á°Ü"ÅaÛ` =a

^m

일 때, m의 값을 구하시오.

(단, a>0)

;3!;

¾¨'a_ aÜ'a =(a^;2!;_a_a^-;3!;)^;2!;=(a;2!;+1-;3!;)^;2!;=(a^;6&;)¹²=a^;1¦2; ◀40 %

"Ã'a_Ü'a`

ÝÁ°Ü"ÅaÛ`  =(a^;2!;_a^;3!;)^;2!;

(a^;3@;)^;4!; =a^;1°2;

a^;6!;=a^;4!; ◀40 %

∴ ¾¨'a_ aÜ'aÖ "Ã'a_Ü'a`

ÝÁ°Ü"ÅaÛ` =a^;1¦2;Öa^;4!;=a^;1¦2;-;4!;=a^;3!;

∴ m=;3!; ◀20 %

서술형 주관식

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002

^{정답과 풀이}

10

00

답

ㄱ, ㄴ

11

00 {Ü "Ã(-2)Ý`}Ü``=(Ü"Å2Ý`)Ü`=2Ý`=16

답

16

12

00 (¡ '1Œ6)Û`=¡"16Û`=¡"(2Ý`)Û`=¡"2¡`=2

답

2

13

00 Ü '4_Ü'1Œ6=Ü'Ä4_16=Ü'6Œ4=Ü"Å4Ü`=4

답

4

14 00 ^{Ý '8Œ0}

Ý '5 =Ý ®É:¥5¼:=Ý'1Œ6=Ý"Å2Ý`=2

답

2

15

00 Ü "Ã'¶729_"Ã'¶256‌‌=ß'¶729_Ý'¶256=ß"Å3ß`_Ý"Å4Ý`‌ ‌

=3_4=12

답

12

16

00

답

1 00 17

답

1

18

00

답

;1Á6; 00 19

답

;2Á5;

20

00

답

9 00 21

답

81

22

00

답

;4!; 00 23

답

;5$;

24

00

답

- ;3@; 00 25

답

;3!;

26

00 (a

^;4#;

)Û`_a

^;4!;

=a

^;2#;

_a

^;4!;

=a

^;2#;+;4!;

=a

^;4&;

답

a

^;4&;

27

00 (aÜ`bÛ`)

^;1Á2;

_(a

¹³

b

^;4!;

)Ý`‌‌=a

^;4!;

b

^;6!;

_a

^;3$;

b‌ ‌

=a

^{14 +;3$;}

b

^;6!;+1

=a

^;1!2(;

b

^;6&;

답

a

¹⁹¹²

b

^;6&;

28

00 ( "ÅaÜ`_Þ'a_a

^-;2!;

)

^;3!;‌‌

=(a

^;2#;

_a

^;5!;

_a

^-;2!;

)

¹³

‌‌

=(a

;2#;+;5!;-;2!;

)

¹³

=(a

^{;5^;}

)

^;3!;

=a

^;5@;

답

a

^;5@;

29

00 (a

^-;4#;

)Û`_ 'aÖa

^;4#;

=a

^-;2#;

_a

^;2!;

Öa

^;4#;

=a

-;2#;+;2!;-;4#;

=a

^-;4&;

답

a

^-;4&;

01 지수 ^Ⅰ.

^{지수함수와 로그함수}

본문 7쪽

교과서 문제 ^정

^/

^복

^/

^하

^/

^기

1

000 -8의‌세제곱근을‌x라‌하면‌xÜ`=-8이므로 xÜ`+8=0,‌(x+2)(xÛ`-2x+4)=0

∴‌x=-2‌또는‌x=1Ñ '3‌i

따라서‌-8의‌세제곱근‌중‌실수인‌것은‌-2이다.

답

-2

2

000 81의‌네제곱근을‌x라‌하면‌xÝ`=81이므로 xÝ`-81=0,‌(xÛ`+9)(xÛ`-9)=0

(xÛ`+9)(x+3)(x-3)=0

∴‌x=Ñ3i‌또는‌x=Ñ3

따라서‌81의‌네제곱근‌중‌실수인‌것은‌-3,‌3이다.

답

-3, 3

3

000 ‌‌ 0.027의‌세제곱근을‌x라‌하면‌xÜ`=0.027이므로 xÜ`-0.027=0,‌(x-0.3)(xÛ`+0.3x+0.09)=0 이때‌xÛ`+0.3x+0.09=0은‌실근을‌갖지‌않으므로 0.027의‌세제곱근‌중‌실수인‌것은‌0.3이다.

답

0.3

4

000 ‌‌ (-2)Ý`=16의‌네제곱근을‌x라‌하면‌xÝ`=16이므로 xÝ`-16=0,‌(xÛ`+4)(xÛ`-4)=0

(xÛ`+4)(x+2)(x-2)=0

∴‌x=Ñ2i‌또는‌x=Ñ2

따라서‌(-2)Ý`의‌네제곱근‌중‌실수인‌것은‌-2,‌2이다.

답

-2, 2

5

000 -16의‌네제곱근을‌x라‌하면‌xÝ`=-16이므로‌x의‌값‌

중‌실수인‌것은‌없다.

답

없다 .

6

000  Ü 'Ä0.008=Ü"Ã0.2Ü`=0.2

답

0.2

7

000  Þ "Ã(-3)Þ`=-3‌

^답

-3

8

000  ß "Ã(-1)ß`=ß"Å1ß`=1‌

^답

1 9

000  Ü ®É-;2¥7;=ܾ¨{-;3@;}3`=-;3@;

답

- ;3@;

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