정답과 풀이

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정답과 풀이

EBS 중학 뉴런 수학 1 (하)

개념책

정답 ^과 풀이 ^개념책

`Ⅴ ^{. 기본 도형}

1. 기본 도형

점, 선, 면의 성질

01

1 꼭짓점, 8, 모서리, 12 2 ^{풀이 참조} 3 ⑴ 2 ⑵ ;2!; ⑶ ;4!; ⑷ 8

개념 확인 문제

2 ^⑴ " # $ %

⑵ _{" # $ %}

⑶ _{" # $ %}

⑷ _{" # $ %}

유제 1

직사각형에서 교점의 개수는 4개이므로 a=4 삼각뿔에서 교선의 개수는 6개이므로 b=6

∴ a+b=10

 10

유제 2

a=5, b=8이므로 b-a=8-5=3

 3

유제 3

⑴ QPÓ

⑵ PR³

⑶ QPê, PRê

 풀이 참조

유제 4

ㄴ. 반직선은 시작하는 점과 방향이 같아야 같은 반직선이다.

BA³와 BC³는 시작하는 점은 같지만 방향이 다르므로 BA³+BC³

 ^④

유제 5

반직선은 AB³, BA³, AC³, CA³, AD³, DÕA³, BC³, CB³, BD³, DB³, CD³, DC³로 모두 12개이다.

 12개

유제 6

직선은 점 A, B, C를 지나는 ABê, 점 E, D를 지나는 EDê, 점 E, D와 점 A, B, C를 각각 연결한 EAê, EBê, ECê, DAê, DBê, DCê 로 모두 8개가 있다.

 ⑤

유제 7

ㄴ. ABÓ=;2#; MBÓ ㄹ. MNÓ=;2!; MBÓ 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

 ㄱ, ㄷ

유제 8

AMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_16=8(cm) MNÓ=;2!; MBÓ=;2!;_8=4`(cm)이므로 ANÓ=AMÓ+MNÓ=8+4=12`(cm)

 ⑤

형성평가

01 ^③ 02 ⑴ 점 D ⑵ 모서리 DF 03 ²⁵ 04 ^6개 05 ^② 06 ^③ 07 ⑴ 2`cm ⑵ 6`cm 08 ^④

본문 12쪽

01

③ 오른쪽 그림과 같이 면과 면이 만나서 생 기는 교선은 곡선이 될 수도 있다.

 ③

02

⑴ 모서리 AD와 모서리 DE의 교점은 점 D이다.

⑵ 면 ADFC와 면 DEF의 교선은 모서리 DF이다.

 ⑴ 점 D ⑵ 모서리 DF

03

교점의 개수는 꼭짓점의 개수와 같으므로 a=10 교선의 개수는 모서리의 개수와 같으므로 b=15

∴ a+b=10+15=25

 25

04

ABê, BCê, CDê, DAê, ACê, BDê로 모두 6개이다.

 6개

05

② 반직선은 시작하는 점과 방향이 같아야 같은 반직선이다.

AB³와 BA³는 시작하는 점과 방향이 모두 다르므로 AB³+BA³

 ②

06

두 점 A와 C 사이의 거리는 8`cm이므로 a=8 두 점 B와 C 사이의 거리는 6`cm이므로 b=6

∴ a-b=8-6=2

 ③

07

⑴ AMÓ=;2!; ABÓ=4`cm이므로 ANÓ=;2!; AMÓ=2`cm

⑵ NBÓ=NMÓ+MBÓ=2+4=6`(cm)

 ⑴ 2`cm ⑵ 6`cm

08

" . # $

ADN

/

MNÓ=3 NCÓ=36`cm에서 NCÓ=12`cm

 ④

각의 뜻과 성질

02

1 ∠ABC (또는 ∠CBA), ∠ACB (또는 ∠BCA) 2 180ù, 180ù, ∠c 3 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 2, 1, 3 4 ⑴ ⊥ ⑵ 5 ⑶ 10 ⑷ 40

개념 확인 문제

3 ^⑴

#

"

" $

#

$

M

4 ⑷ ∠AMP=90ù이므로

∠APM=180ù-(90ù+50ù)=40ù

유제 1

∠a=∠BAC (또는 ∠CAB), ∠b=∠ABC (또는 ∠CBA),

∠c=∠ACD (또는 ∠DCA)

 풀이 참조

유제 2

∠a=∠DAB (또는 ∠BAD), ∠b=∠DCE (또는 ∠ECD)

 풀이 참조

유제 3

(∠x+20ù)+90ù+(2∠x+10ù)=180ù에서 3∠x=60ù이므로

∠x=20ù

 ^④

유제 4

∠AOD=180ù-90ù=90ù

∠COD=;5@;∠AOD=;5@;_90ù=36ù이므로

∠BOC=90ù-36ù-40ù=14ù

 14ù

유제 5

∠BOC =∠AOD (맞꼭지각)

=180ù-∠AOC

=180ù-60ù=120ù

 ③

유제 6

맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로

∠x+20ù=2∠x-60ù에서 ∠x=80ù

 80ù

유제 7

⑴ PBÓ

⑵ 점 B

⑶ PBÓ

 풀이 참조

유제 8

점 D와 변 BC 사이의 거리는 점 A와 변 BC 사이의 거리와 같 으므로 4`cm이다.

 ⑤

형성평가

01 ^{풀이 참조} 02 ⑴ 64ù ⑵ 26ù 03 ^④ 04 ^④ 05 ^③ 06 ⑴ 점 B ⑵ 2`cm 07 ^70ù 08 ^②

본문 17쪽

01

∠a=∠BOC (또는 ∠COB)

 ^{풀이 참조}

02

⑴ 76ù+(∠x+40ù)=180ù에서

∠x=64ù

⑵ (4∠x-10ù)+(∠x+20ù)+40ù=180ù에서 5∠x=130ù ∴ ∠x=26ù

 ⑴ 64ù ⑵ 26ù

03

∠DBC=∠a라고 하면 ∠CBE=4∠a

∠DBE=180ù-30ù=150ù에서

∠DBE =∠DBC+∠CBE

=∠a+4∠a=5∠a 5∠a=150ù이므로 ∠a=30ù

 ④

04

∠x+2∠x+3∠x+4∠x=180ù에서 10∠x=180ù이므로 ∠x=18ù

∴ ∠DOE=3∠x=3×18ù=54ù

 ④

05

맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 c=130 a=180-130=50, b=a=50

∴ c-(a+b)=130-(50+50)=30

 ③

06

⑴ 점 C에서 ABê에 내린 수선의 발은 점 B이다.

⑵ 점 D와 BCê 사이의 거리는 점 D 에서 BCê에 내린 수선의 발을 H 라고 할 때 DHÓ의 길이와 같다.

∴ DHÓ=ABÓ=2`cm

 ⑴ 점 B ⑵ 2`cm

07

맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로

∠x+30ù=2∠x-40ù에서

∠x=70ù

 70ù

08

맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 ∠AOC=∠EOF

∠x+(2∠x-12ù)=78ù에서 3∠x=90ù

∴ ∠x=30ù

∠DOC=3∠x-20ù=3×30ù-20ù=70ù

∴ ∠DOE=180ù-(78ù+70ù)=32ù

 ②

ADN

ADN

# ) $

" %

위치 관계

03

1~6 ^{풀이 참조} 개념 확인 문제

1 ⑴ 점 P는 직선 AB 위에 있지 않다.

⑵ 점 Q는 직선 AB 위에 있다.

2 ⑴ 점 A에서 만나는 변은 변 AD, 점 B에서 만나는 변은 변 BC

⑵ 변 AD

3 ⑴ 점 A에서 만나는 모서리는 모서리 AC, 모서리 AD이고 점 B에서 만나는 모서리는 모서리 BC, 모서리 BE ⑵ 모서리 DE

⑶ 평행하지도 않고 만나지도 않는 모서리는 모서리 DF, 모서리 EF, 모서리 CF

4 ⑴ 모서리 AB, 모서리 BC, 모서리 CD, 모서리 DA ⑵ 면 ABCD, 면 EFGH

⑶ 모서리 EF, 모서리 FG, 모서리 GH, 모서리 HE

5 ^{⑴ 점 E}

⑵ 면 ABC, 면 DEF

6 ^{⑴ 면 EFGH}

⑵ 면 ABFE, 면 BFGC, 면 CGHD, 면 AEHD ⑶ 면 ABCD와 면 BFGC

유제 1

직선 l 위에 있는 점은 점 C와 점 D이다.

 점 C, 점 D

유제 2

② 점 A는 모서리 CD 위에 있지 않다.

 ②

유제 3

⑴ 변 AD, 변 BC

⑵ 변 BC

 풀이 참조

유제 4

④ ABê와 FDê는 한 점 A에서 만난다.

 ④

유제 5

⑴ 직선 l과 평행한 직선은 직선 m이다.

⑵ 직선 l과 꼬인 위치에 있는 직선은 직선 n이다.

 ⑴ 직선 m ⑵ 직선 n

유제 6

모서리 BH와 꼬인 위치에 있는 것은 모서리 AD, 모서리 CD, 모서리 AE, 모서리 CG, 모서리 FG, 모서리 EF로 모두 6개 이다.

 ⑤

유제 7

직선 BC와 한 점에서 만나는 면은 면 ABFE, 면 CGHD로 모 두 2개이므로 a=2

직선 BC와 평행한 면은 면 AEHD, 면 EFGH로 모두 2개이므 로 b=2

∴ a+b=2+2=4

 4

유제 8

③ 면과 모서리는 꼬인 위치가 될 수 없다. 면 DEF와 모서리 AB는 평행하다.

 ③

유제 9

면 ABCD와 수직인 모서리는 모서리 AE, 모서리 BF, 모서리 CG, 모서리 DH로 모두 4개이므로 a=4

모서리 BC와 수직인 면은 면 ABFE, 면 CGHD로 모두 2개이 므로 b=2

∴ a+b=4+2=6

 6

유제 10

면 ABMD와 수직인 모서리는 모서리 AE, 모서리 BF, 모서리 MN, 모서리 DH로 모두 4개이므로 a=4

모서리 FN과 수직인 면은 면 ABFE의 1개이므로 b=1

∴ a+b=4+1=5

 5

유제 11

면 ABC와 만나는 면은 면 ADEB, 면 BEFC, 면 ADFC로 모두 3개이므로 a=3

면 ABC와 평행한 면은 면 DEF로 1개이므로 b=1

∴ a+b=3+1=4

 4

유제 12

면 ABHJC와 수직인 면은 면 ABED, 면 BEFIH, 면 JIFGC, 면 ADGC로 모두 4개이므로 a=4 면 ABED와 평행한 면은 면 JIFGC로 1개이므로 b=1

∴ a-b=4-1=3

 3

형성평가

01 ⑴ ○ ⑵ × ⑶ ○ ⑷ ○ 02 ^{풀이 참조} 03 ^⑤ 04 ^{풀이 참조} 05 ^④ 06 ^{풀이 참조} 07 ³

본문 24쪽

01

⑵ 한 직선에 수직인 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나거나 꼬 인 위치에 있을 수도 있다.

 ⑴ ○ ⑵ × ⑶ ○ ⑷ ○

02

⑴ ab, bc, ac, ln

⑵ 직선 l, 직선 m, 직선 n

 ^{풀이 참조}

03

⑤ 점 A는 직선 l 위에 있지 않다.

 ⑤

04

⑴ 평행하다.

⑵ 꼬인 위치에 있다.

⑶ 평행하다.

⑷ 한 점에서 만난다.

 ^{풀이 참조}

05

④ 점 A와 면 CGHD 사이의 거리는 점 A에서 면 CGHD에 내 린 수선의 발 D까지의 거리와 같으므로 3`cm이다.

 ④

06

⑴ 면 EFGHI

⑵ 면 EFGHI, 면 EFBA, 면 ABCDJ, 면 HGCD

 풀이 참조

07

모서리 AC와 만나는 모서리는 모서리 AD, 모서리 AE, 모서 리 AB, 모서리 CD, 모서리 CB로 모두 5개이므로 a=5 모서리 AC와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 BE, 모서리 DE로 모두 2개이므로 b=2

∴ a-b=5-2=3

 3

평행선의 성질

04

1 ⑴ ∠e ⑵ ∠d ⑶ ∠e ⑷ ∠d

2 ⑴ ∠a=40ù, ∠b=140ù ⑵ ∠a=70ù, ∠b=120ù 3 lm 4 35ù, 65ù, ∠c, 100ù

개념 확인 문제

2 ^⑴ lm이므로 동위각의 크기는 서로 같다.

∴ ∠a=40ù, ∠b=180ù-40ù=140ù

⑵ ∠a의 맞꼭지각에 대한 엇각이 180ù-110ù=70ù이므로

∠a=70ù lm이므로

∠b =∠a+50ù (동위각)

=70ù+50ù=120ù

3 엇각의 크기가 같으므로 lm

유제 1

⑴ ∠f, ∠i

⑵ ∠e, ∠l

 풀이 참조

유제 2

∠a의 동위각의 크기는 180ù-80ù=100ù,

∠b의 엇각의 크기는 180ù-120ù=60ù이므로 100ù+60ù=160ù

 160ù

유제 3

∠a=180ù-50ù=130ù

∠b=50ù (맞꼭지각), ∠c=50ù (동위각)

∠d=∠c=50ù (맞꼭지각)

 ∠a=130ù, ∠b=50ù, ∠c=50ù, ∠d=50ù

유제 4

lm이므로 동위각의 크기가 같다.

즉, 80ù+60ù+∠x=180ù에서

∠x=40ù

 40ù

유제 5

동위각의 크기가 같으므로 mp

 mp

유제 6

엇각의 크기가 같으므로 pq가 되어 ∠b=60ù 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 ∠a=80ù가 되어

∠a+∠b=80ù+60ù=140ù

 140ù

유제 7

M

N Y

B O C

L E

D

±

±

꺽인 점을 지나고 직선 l에 평행한 직선 n, k를 그으면 ln이므로 ∠a=30ù (동위각)

∠b=90ù-∠a=90ù-30ù=60ù nk이므로 ∠c=∠b=60ù (엇각) km이므로 ∠d=65ù (동위각)

∴ ∠x=∠c+∠d=60ù+65ù=125ù

 125ù

유제 8

오른쪽 그림과 같이 직선 l에 평행 한 직선을 그으면

∠b =180ù-145ù

=35ù (엇각)

N M

Y

±

±

±

B D M C

N

±

±

∠c =180ù-57ù

=123ù (엇각)

∠a =180ù-(∠b+57ù)

=180ù-(35ù+57ù)=88ù

∴ ∠a+∠b+∠c=88ù+35ù+123ù=246ù

 246ù

형성평가

01 ⑴ 120ù ⑵ 70ù 02 ^③ 03 ^③

04 ⑴ ∠x=75ù, ∠y=60ù ⑵ ∠x=45ù, ∠y=75ù

05 ⑴ 60ù ⑵ 65ù ⑶ 80ù ⑷ 140ù 06 ⑴ 평행하다. ⑵ 95ù

07 ^⑤ 08 ^④

본문 29쪽

01

⑴ (∠a의 동위각의 크기)=180ù-60ù=120ù

⑵ (∠b의 엇각의 크기)=70ù

 ⑴ 120ù ⑵ 70ù

02

③ ∠a=∠e이지만 두 각의 크기의 합은 180ù가 아닐 수도 있다.

 ^③

03

엇각의 크기가 115ù로 같으므로 lm

∴ ∠x=45ù (엇각)

 ③

04

⑴ ∠x=75ù (엇각), ∠y=60ù (동위각)

⑵ ∠x=45ù (엇각), ∠y=75ù (동위각)

 ⑴ ∠x=75ù, ∠y=60ù ⑵ ∠x=45ù, ∠y=75ù

05

⑴ 오른쪽 그림과 같이 직선 l에 평행 한 직선 n을 그으면 ln이므로

∠a=25ù (엇각) mn이므로 ∠b=35ù

∴ ∠x =∠a+∠b

=25ù+35ù=60ù

±

±

B Y C

N M

O

⑵ 오른쪽 그림과 같이 직선 l에 평행

B D

C

±

±

Y

N O M

한 직선 n을 그으면 ln이므로

∠a =∠c

=180ù-(90ù+45ù)

=45ù nm이므로

∠b=20ù

∴ ∠x =∠a+∠b

=45ù+20ù=65ù

⑶ 오른쪽 그림과 같이 직선 l에 평행 한 직선 n, k를 그으면 ln이므로 ∠a=70ù

∠b=105ù-70ù=35ù nk이므로 ∠c=35ù km이므로 ∠d=45ù

∴ ∠x =∠c+∠d

=35ù+45ù=80ù

⑷ 오른쪽 그림과 같이 직선 l에 평행 한 직선 n, k를 그으면 ln이므로

∠a=25ù

∠b=100ù-25ù=75ù nk이므로

∠c=180ù-75ù=105ù km이므로

∠d=35ù

∴ ∠x =∠c+∠d

=105ù+35ù=140ù

 ⑴ 60ù ⑵ 65ù ⑶ 80ù ⑷ 140ù

06

⑴ 동위각의 크기가 75ù로 같으므로 lm

⑵ 오른쪽 그림과 같이 직선 l에 평행 한 직선 n을 그으면 ln이므로

∠a=80ù (동위각) nm이므로

∠b=15ù (엇각)

∴ ∠x =∠a+∠b

=80ù+15ù=95ù

 ⑴ 평행하다. ⑵ 95ù Y

± ±

± N

L B O

DC E

M

Y

±

±

±

B

D C

E N

L O M

B C

Y

±

±

NO M

07

점 A를 지나 BCê에 평행한 직선 n, CEê에 평행한 직선 m을 각각 그으면

∠a=30ù (동위각)

∠x=∠d=∠b (동위각)

∠c=35ù (동위각)이고,

40ù+∠a+∠b+∠c=180ù에서 40ù+30ù+∠x+35ù=180ù

∴ ∠x=75ù

 ⑤

08

ADÓBCÓ이므로

∠AEF=∠x (엇각)

∠FEC =∠AEF

=∠x (접은 각)

△EFC에서

∠x+∠x+38ù=180ù

∴ ∠x=71ù

 ④

중단원 마무리

01 ^② 02 ^⑤ 03 ^② 04 ^④ 05 ^① 06 ^⑤ 07 ^{ㄱ, ㄷ} 08 ^④ 09 ^② 10 ² 11 ^② 12 ^② 13 ^④ 14 ^40ù 15 ^④ 16 ^② 17 ^① 18 ^④ 19 ^② 20 ^20ù 21 ^⑤ 22 ^40ù 23 ^④ 24 ^⑤ 25 ^③ 26 ^③ 27 ^③ 28 ^⑤ 29 ⁷ 30 ^④ 31 ^① 32 ^④

본문 30~33쪽

01

교점의 개수는 꼭짓점의 개수와 같으므로 a=7 교선의 개수는 모서리의 개수와 같으므로 b=12

∴ a+b=7+12=19

 ②

02

점 M이 ACÓ의 중점이고 점 N이 CBÓ의 중점이므로 ACÓ=2 MCÓ, BCÓ=2 CNÓ

∴ ABÓ=2(MCÓ+CNÓ)=2 MNÓ=24`(cm)

 ⑤

"

#

$

%

&

Y

±

±

±

N

E B C D

O

"

#

& %

' Y $

Y Y

±

03

② 반직선은 시작하는 점과 방향이 모두 같아야 같은 반직선이 다. ∴ BA³+BD³

 ②

04

평각의 크기는 180ù이므로

50ù+∠x+(4∠x-30ù)=180ù에서 5∠x=160ù

∴ ∠x=32ù

 ④

05

맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 xù+10ù=2xù-20ù에서 xù=30ù

∴ x=30

 ①

06

점과 직선 사이의 거리는 점에서 직선에 수선의 발을 내려 그 길 이를 구한다.

따라서 점 B와 직선 AD 사이의 거리는 점 C와 직선 AD 사이 의 거리와 같으므로 4`cm이다.

 ⑤

07

ㄴ. 면 BEFC와 면 ABC는 만나고 그 교선은 모서리 BC이다.

ㄹ. 모서리 AD와 만나는 모서리는 모서리 AB, 모서리 AC, 모 서리 DE, 모서리 DF로 모두 4개이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

 ㄱ, ㄷ

08

평각의 크기가 180ù이므로

∠x=180ù-110ù=70ù

∠b=∠x (엇각)이므로

∠b=∠x=70ù

∠a=∠b (맞꼭지각)이므로

∠a=70ù

∴ ∠a+∠b=140ù

 ④ M

N

B C

± Y

09

꺾인 점을 지나고 직선 l에 평행 한 직선 n을 그으면

ln이므로 ∠a=45ù (엇각) nm이므로 ∠b=30ù (엇각)

∴ ∠x =∠a+∠b

=45ù+30ù

=75ù

 ②

10

교점의 개수는 꼭짓점의 개수와 같으므로 a=10, 교선의 개수는 모서리의 개수와 같으므로 b=15, 면의 개수는 7개이므로 c=7

∴ a-b+c=10-15+7=2

 2

11

점과 직선 사이의 거리는 점에서 직선에 수선의 발을 내려 그 길 이를 구하면 되므로

점 A와 직선 CD 사이의 거리는 4`cm에서 x=4 점 A와 직선 BC 사이의 거리는 8`cm에서 y=8

∴ x+y=4+8=12

 ②

12

점 B에서 직선 l까지의 거리는 수선의 발인 점 M까지의 거리인 BMÓ과 같다.

∴ BMÓ=;2!;_ABÓ=;2!;_10=5`(cm)

 ②

13

∠CED=∠C'ED (접은 각)이므로

∠CED=;2!;_(180ù-26ù)=77ù 직각삼각형 DEC에서

∠CDE =180ù-(90ù+∠CED)

=180ù-(90ù+77ù)=13ù

∴ ∠x=90ù-2_13ù=64ù

 ④

14

평각의 크기는 180ù이므로

∠x=180ù_ 2

2+4+3 =40ù

 40ù M

N

O B

C Y

±

±

15

① 서로 다른 두 직선은 평행하거나 한 점에서 만날 뿐 아니라 꼬 인 위치도 가능하다.

② 만나지 않는 두 직선은 평행할 수도 있다.

③ 평행한 두 직선은 만나지 않지만 한 평면 위에 있다.

⑤ 한 직선에 수직인 두 직선은 만나거나 꼬인 위치에도 있을 수 도 있다.

 ④

16

② 모서리 AB와 평행한 모서리는 모서리 DE로 1개이다.

 ^②

17

모서리 AC와 점 A에서 만나는 모서리는 모서리 AE, 모서리 AB, 모서리 AD로 3개, 모서리 AC와 점 C에서 만나는 모서리 는 모서리 BC, 모서리 CD로 2개이므로 a=5

모서리 AC와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 BE, 모서리 DE로 2개이므로 b=2

∴ a+b=5+2=7

 ①

18

BDÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AE, 모서리 CG, 모 서리 EF, 모서리 FG, 모서리 GH, 모서리 HE로 모두 6개이다.

 ^④

19

면 ABCDEF와 수직인 모서리는 모서리 AG, 모서리 BH, 모 서리 CI, 모서리 DJ, 모서리 EK, 모서리 FL로 모두 6개이므로 a=6

면 BHGA와 평행한 모서리는 모서리 CI, 모서리 DJ, 모서리 EK, 모서리 FL, 모서리 DE, 모서리 JK로 6개이므로 b=6

∴ a+b=6+6=12

 ②

20

꺾인 점을 지나고 직선 l에 평행 한 직선 k, n을 그으면

∠a=180ù-135ù=45ù

lk이므로 ∠b=∠a=45ù (엇각)

∠c=75ù-∠b=30ù

kn이므로 ∠d=∠c=30ù (엇각)

∠e=50ù-∠d=20ù

nm이므로 ∠x=∠e=20ù (엇각)

 20ù M

N O L

Y

± ±

B CD

FE

±

21

⑤ ∠a=180ù-120ù=60ù

동위각의 크기가 같지 않으므로 두 직 선 l과 m은 평행하지 않다.

 ⑤

22

lm이므로 ∠y=40ù (동위각)

엇각의 크기가 같으므로 60ù+∠x+40ù=180ù에서

∠x=80ù

∴ ∠x-∠y=80ù-40ù=40ù

 40ù

23

lm이므로

∠a=120ù (동위각)

∠b=180ù-∠a=60ù

∠c=180ù-100ù=80ù

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù 이므로

∠x+60ù+80ù=180ù에서

∠x=40ù

 ④

24

꺾인 점을 지나고 직선 l에 평행한 직 선 n, k를 그으면

ln이므로 ∠a=30ù (엇각) km이므로 ∠b=20ù (엇각)

∠c=120ù-∠b=100ù nk이므로

∠d=∠c=100ù (엇각)

∠e=180ù-∠d=80ù

∴ ∠x=∠a+∠e=30ù+80ù=110ù

 ⑤

25

ABê에 평행하고 점 C와

" #

$ %

& '

±

± B C

D E

±

NM

점 D를 지나는 직선 l, m

을 각각 그으면 mEFÓ이므로

∠a=110ù (엇각)에서 ∠d=120ù-110ù=10ù mABÓ이므로 ∠b=150ù (동위각)이고

N B

M ±

±

N M

Y C B D

±

±

N M

L

O Y

B

D C E F

±

±

±

∠c=180ù-∠b=30ù

∴ ∠BCD =180ù-(∠c+∠d)

=180ù-(10ù+30ù)=140ù

 ^③

26

BCÓ=x`cm라고 하면 ABÓ=3 BCÓ=3x`cm

ACÓ=2 CDÓ에서 4x=2 CDÓ이므로 CDÓ=2x`cm

ADÓ=ABÓ+BCÓ+CDÓ이므로

3x+x+2x=48에서 6x=48 ∴ x=8 따라서 BCÓ의 길이는 8`cm이다.

 ③

27

∠AOC=∠a라고 하면

∠AOG=4∠AOC=4∠a

∠DOF=∠b라고 하면

∠GOF=4∠b

4∠a+4∠b+∠b+∠a=180ù에서 5(∠a+∠b)=180ù, ∠a+∠b=36ù

한편 ∠AOC=∠BOD (맞꼭지각)이므로 ∠BOD=∠a

∠COE=∠DOF (맞꼭지각)이므로 ∠COE=∠b

∠COE+∠BOD=∠b+∠a=36ù

 ^③

28

전개도를 접어 만든 입체도형은 다음 그림과 같다.

+

$ &

)

% # '

* " (

① 모서리 CD와 면 JCEH는 한 점에서 만나지만 수직은 아니다.

② 모서리 AB와 모서리 GF는 일치한다.

③ 면 HEFG와 평행한 모서리는 모서리 JC이다.

④ 모서리 HE와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 JI, 모서리 CD로 2개이다.

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

 ⑤

29

모서리 MN과 평행한 모서리는 모서리 AD, 모서리 EH, 모서 리 FG로 모두 3개이므로 a=3

$ %

&

0

#

" '

(

B B C CB

모서리 MN과 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AE, 모서리 DH, 모서리 EF, 모서리 HG로 모두 4개이므로 b=4

∴ a+b=3+4=7

 7

30

④ 면 BGD를 포함하는 평면은 AEê와 한 점에서 만난다.

 ④

31

엇각의 크기는 같으므로 3º+3×=180ù에서 º+×=60ù

따라서 2(º+×)=2_60ù=120ù가 되어

∠ACB=180ù-120ù=60ù

 ①

32

꺾인 점을 지나고 직선 l과 평행 한 직선 n, k를 그으면

ln이므로

∠a=10ù (동위각) nk이므로

∠b=∠a+20ù=30ù (동위각) km이므로

∠x=∠b+30ù=60ù (엇각)

 ④

서술형으로 중단원 마무리

서술형 예제 70ù, 70ù, 70ù, 140ù, 40ù 서술형 유제 155ù

1 ^18`cm 2 ⁶ 3 ^25ù 4 ^65ù

본문 34~35쪽

서술형 예제

∠DGF=110ù이므로

∠EGF=180ù-∠DGF= 70ù

ADÓBCÓ이므로 엇각의 크기는 서로 같게 되어

∠x=∠EGF= 70ù … ^1단계

한편, 접은 각의 크기는 서로 같으므로

∠EFG=∠GFC= 70ù

OM L

N Y

±

±

±

B C

삼각형 EFG에서 ∠y+ 140ù =180ù이므로

∠y= 40ù … ^2단계

단계 채점 기준 비율

1단계 ∠x의 크기를 구한 경우 60 %

2단계 ∠y의 크기를 구한 경우 40 %

 풀이 참조

서술형 유제

∠GFB=68ù (동위각) 접은 각의 크기는 서로 같으므로

∠x=∠GFE=;2!;∠GFB=34ù … ^1단계 접은 각의 크기는 같으므로 ∠DHI=∠y이고 평각의 크기는 180ù이므로 54ù+2∠y=180ù에서 ∠y=63ù … ^2단계 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 ∠FGH=68ù에서

∠z=180ù-(54ù+68ù)=58ù … ^3단계

∴ ∠x+∠y+∠z=34ù+63ù+58ù=155ù … ^4단계

단계 채점 기준 비율

1단계 ∠x의 크기를 구한 경우 30 %

2단계 ∠y의 크기를 구한 경우 30 %

3단계 ∠z의 크기를 구한 경우 30 %

4단계 ∠x+∠y+∠z의 크기를 구한 경우 10 %

 155ù

1

ABÓ=3 BCÓ이고 점 M, N이 각각 ABÓ, BCÓ의 중점이므로 MBÓ=3 BNÓ, MBÓ+BNÓ=12`cm이므로

4 BNÓ=12`cm에서 BNÓ=3`cm … ^1단계

∴ MBÓ=3 BNÓ=3_3=9`(cm) … ^2단계

∴ ABÓ=2 MBÓ=2_9=18`(cm) … ^3단계

단계 채점 기준 비율

1단계 BNÓ의 길이를 구한 경우 50 %

2단계 MBÓ의 길이를 구한 경우 20 %

3단계 ABÓ의 길이를 구한 경우 30 %

 18`cm

2

모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 DF, 모서리 EF, 모서리 CF로 3개이므로 a=3 … ^1단계 모서리 BE와 수직인 면은 면 ABC와 면 DEF로 2개이므로

b=2 … ^2단계

∴ ab=3_2=6 … ^3단계

단계 채점 기준 비율

1단계 a의 값을 구한 경우 40 %

2단계 b의 값을 구한 경우 40 %

3단계 ab의 값을 구한 경우 20 %

 6

3

&

"

' $

%

# M

N Y±

Y±

Y±

) (

직선 l 위에 점 G를 잡으면

∠GAF와 ∠CFA는 엇각이므로

∠CFA=4∠x-10ù

ABCD가 정사각형이므로 ∠ABC=90ù에서

∠FBC=90ù

△BFC에서

(4∠x-10ù)+90ù+(2∠x-20ù)=180ù

6∠x=120ù이므로 ∠x=20ù … ^1단계

∠GAB=4_20ù-10ù=70ù이므로

∠BAE=110ù

한편, ∠ABD=45ù이므로 △ABE에서

∠AEB =180ù-(∠BAE+∠ABD)

=180ù-(110ù+45ù)=25ù … ^2단계

단계 채점 기준 비율

1단계 엇각을 이용하여 ∠x의 크기를 구한 경우 50 %

2단계 ∠AEB의 크기를 구한 경우 50 %

 25ù

4

∠a=60ù (맞꼭지각)이고 동위각의 크 기가 같으므로

mn … ^1단계

mn이므로 동위각의 크기는 같게 되 어 ∠b=115ù

∴ ∠x =180ù-∠b

=180ù-115ù

=65ù … ^2단계

단계 채점 기준 비율

1단계 동위각의 크기가 같음을 이용하여 mn임을 보인

경우 50 %

2단계 ∠x의 크기를 구한 경우 50 %

 65ù M

N O

C

B L

±Y

±

±

2. 작도와 합동

간단한 도형의 작도

01

1 작도, 눈금 없는 자, 컴퍼스 2 ㉠, ㉢, ㉣, ㉥ 개념 확인 문제

유제 1

선분 AB와 길이가 같은 선분 CD를 작도할 때 눈금 없는 자는 1번, 컴퍼스는 2번 사용하므로 a=1, b=2

∴ a+b=1+2=3

 3

유제 2

"

# $

자를 이용하여 선분 AB를 점 B쪽으로 연장하여 직선을 그린 후, 컴퍼스로 선분 AB의 길이를 재서 그 길이만큼 원을 2번 그 려서 2번째 원과 직선과의 교점에 점 C를 잡는다.

선분 AC가 선분 AB의 길이의 3배가 되는 선분이다.

 풀이 참조

유제 3

한 원에서 중심으로부터 원 위의 두 점까지의 거리는 같으므로 OCÓ=ODÓ=AEÓ=AFÓ이고 CDÓ=EFÓ이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.

 ㄱ, ㄹ

유제 4

점 C를 각의 꼭짓점으로 하고, ∠ABC와 크기가 같은 각을 다 음과 같이 작도하면 동위각의 크기가 같으므로 평행한 직선 CD 가 작도된다.

# 2

1 $ 3

"

%

①

③

⑤

④

②

 풀이 참조

형성평가

01 ⑴ × ⑵ ○ ⑶ ○ ⑷ × 02 ⑴ ㉠, ㉢ ⑵ ㉡, ㉣

03 ^② 04 ^④ 05 ^⑤ 06 ^{③, ⑤}

본문 38쪽

01

⑴ 선분의 길이를 잴 때 컴퍼스를 사용한다.

⑷ 작도에 각도기를 사용할 수 없다. 눈금 없는 자와 컴퍼스 만으 로 크기가 같은 각을 작도한다.

 ⑴ × ⑵ ○ ⑶ ○ ⑷ ×

02

⑴ 눈금 없는 자는 두 점을 잇거나 선분의 연장선을 그을 때 사용 하므로 ㉠, ㉢

⑵ 컴퍼스는 선분의 길이를 재거나 선분을 옮기는 데 사용하므로

㉡, ㉣

 ⑴ ㉠, ㉢ ⑵ ㉡, ㉣

03

작도 순서는 ㉡ → ㉠ → ㉢

 ②

04

④ 점 D를 중심으로 반지름의 길이가 ABÓ인 원을 그려 점 C를 잡는다.

 ^④

05

⑤ ABÓ=CDÓ이지만 ABÓ와 PDÓ는 길이가 같지 않을 수도 있다.

 ⑤

06

점 O와 점 P를 중심으로 각각 반지름의 길이가 같은 원을 그렸 으므로

OAÓ=OBÓ=PCÓ=PDÓ

따라서 길이가 같은 선분이 아닌 것은 ③ CDÓ, ⑤ ABÓ이다.

 ③, ⑤

삼각형의 작도

02

1 ⑴ 7`cm ⑵ 6`cm ⑶ 48ù 2 ^{4, 6} 3 ㉢, ㉣, ㉠, ㉥ 4 ^{풀이 참조}

개념 확인 문제

2 세 변의 길이가 주어질 때, 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변 의 길이보다 커야 삼각형이 하나로 작도된다.

a=4일 때 2+4>5이고 a=6일 때 2+5>6이므로 삼각형 이 하나로 작도된다.

따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 4와 6이다.

4 작도 순서는 ㉢ → ㉡ → ㉠ → ㉣ 또는 ㉢ → ㉠ → ㉡ → ㉣

유제 1

⑴ ∠D의 대변은 EFÓ이므로 EFÓ=6`cm

⑵ 변 DF의 대각은 ∠E이므로

∠E=60ù

⑶ 변 EF의 대각은 ∠D이므로

∠D=180ù-(60ù+59ù)=61ù

 ⑴ 6`cm ⑵ 60ù ⑶ 61ù

유제 2

두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 커야 삼각형이 하 나로 정해진다.

따라서 가능한 길이는 3`cm, 5`cm이다.

 3`cm, 5`cm

유제 3

③ 세 각의 크기가 주어진 경우는 삼각형이 하나로 정해지지 않 는다.

⑤ ∠C는 ABÓ와 BCÓ의 끼인각이 아니므로 하나로 정해지지 않 는다.

 ③, ⑤

유제 4

⑴ ∠C=180ù-(60ù+40ù)=80ù

⑵ 5`cm가 될 수 있는 변은 ABÓ, BCÓ, CAÓ이므로 작도할 수 있 는 삼각형은 모두 3개이다.

 ⑴ 80ù ⑵ 3개

형성평가

01 ⑴ 8`cm ⑵ 90ù 02 ^{③, ④} 03 ^② 04 ^x>10 05 ^② 06 ^② 07 ^④ 08 ^④

본문 43쪽

01

⑴ ∠B의 대변은 ACÓ이므로 ACÓ=8`cm

⑵ BCÓ의 대각은 ∠A이므로

∠A=90ù

 ⑴ 8`cm ⑵ 90ù

02

① 3+3=6이므로 삼각형을 작도할 수 없다.

② 4+3=7이므로 삼각형을 작도할 수 없다.

③ 6+8>12이므로 삼각형을 작도할 수 있다.

④ 5+6>8이므로 삼각형을 작도할 수 있다.

⑤ 12+1=13이므로 삼각형을 작도할 수 없다.

따라서 삼각형을 작도할 수 있는 것은 ③, ④이다.

 ③, ④

03

세 변의 길이가 2`cm, a`cm, 4`cm인 삼각형이 작도되기 위해 가장 긴 변의 길이가 4`cm이면

a+2>4에서 a>2 yy ㉠ 가장 긴 변의 길이가 a`cm이면 2+4>a에서 a<6 yy ㉡

㉠, ㉡에서 2<a<6이므로 a의 값이 될 수 있는 것은 ② 4이다.

 ②

04

변의 길이는 양수이므로 x-7>0에서 x>7 `` yy ㉠

삼각형에서 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 하므로

x+8<(x-7)+(x+5) x>10 yy ㉡

㉠, ㉡에서 x>10

 x>10

05

작도가 가능한 삼각형은 세 변의 길이가 다음과 같을 때이다.

(4`cm, 5`cm, 6`cm), (5`cm, 6`cm, 10`cm) 따라서 삼각형은 모두 2개 만들 수 있다.

 ②

06

① 크기가 다른 여러 개의 삼각형이 만들어진다.

② 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어져 있으므로 삼각형 이 하나로 정해진다.

③ ∠A는 ABÓ와 BCÓ의 끼인각이 아니므로 삼각형이 하나로 결 정되지 않는다.

④ 7+5<13이므로 삼각형이 만들어지지 않는다.

⑤ ∠B는 BCÓ와 ACÓ의 끼인각이 아니므로 삼각형이 하나로 결 정되지 않는다.

 ②

07

④ ∠A가 작도된 뒤 점 B의 위치를 알아야 ∠B를 작도할 수 있 다. 따라서 두 각을 먼저 작도할 수는 없다.

 ④

08

ㄱ. ∠B의 크기가 주어지면 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기 가 주어지므로 삼각형이 하나로 정해진다.

ㄴ. ACÓ의 길이가 주어지면 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어지므로 삼각형이 하나로 정해진다.

ㄷ. ∠C의 크기가 주어지면 두 각 ∠A, ∠C의 크기를 알게 되 어 나머지 ∠B의 크기도 알게 되므로 한 변의 길이와 양 끝 각의 크기가 주어지게 되어 삼각형이 하나로 정해진다.

따라서 필요한 한 가지 조건이 될 수 있는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

 ④

삼각형의 합동 조건

03

1 ⑴ DEÓ ⑵ ∠B ⑶ ∠D, 40ù 2 CDÓ, CBÓ, ACÓ 개념 확인 문제

유제 1

ㄱ. 넓이가 같다고 해도 합동이 아닌 이등변삼각형이 있다.

ADN ADN

ADN

ADN

ㄴ. 둘레의 길이가 같다고 해도 합동이 아닌 두 직사각형이 있다.

ADN ADN

ADN ADN

따라서 항상 합동인 도형은 ㄷ, ㄹ이다.

 ㄷ, ㄹ

유제 2

⑴ EFÓ=ABÓ=4`cm

⑵ BCÓ=FGÓ=5`cm

⑶ ∠D=∠H=75ù

⑷ ∠G

 풀이 참조

유제 3

⑹에서 나머지 한 각의 크기는 180ù-(65ù+75ù)=40ù이므로

⑴과 ⑹은 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 같으므로 ASA 합동

⑶과 ⑸는 세 변의 길이가 각각 같으므로 SSS 합동

 ^{풀이 참조}

유제 4

△ABD와 △ACD에서

ABÓ=ACÓ, ADÓ는 공통, ∠BAD=∠CAD이므로

△ABDª△ACD (SAS 합동)

 풀이 참조

유제 5

△ABPª△ADP (SAS 합동)

△BCPª△DCP (SAS 합동)

△ABCª△ADC (SAS 합동 또는 SSS 합동 또는 ASA 합동)

 풀이 참조

유제 6

∠B=∠E이면 SAS 합동 ACÓ=DFÓ이면 SSS 합동

 풀이 참조

유제 7

한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작은 세 변이 주어 지거나, 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어지거나, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어지면 삼각형이 하나로 작도되 어 하나로 정해진다. 따라서 하나로 정해지기 위해서 필요한 조 건은 ②, ④이다.

 ^{②, ④}

형성평가

01 ^⑤ 02 ^④ 03 ¹⁵⁵ 04 ^① 05 ^⑤ 06 ^14`cmÛ`

07 ^③

본문 47쪽

01

⑤

그림과 같이 길이가 같은 마름모는 합동이 아닐 수 있다.

 ⑤

02

ADÓ=EHÓ=7`cm

∠B=∠F=122ù이므로

∠H =∠D

=360ù-(68ù+90ù+122ù)=80ù

 ④

03

DEÓ=ABÓ=5`cm에서 a=5

∠B=65ù에서 b=65

∠F=85ù에서 c=85

∴ a+b+c=5+65+85=155

 155

04

① BCÓ의 길이는 주어져 있지 않으므로 합동이 아니다.

 ①

05

△ADF, △BED, △CFE에서 ADÓ=BEÓ=CFÓ이고 ∠A=∠B=∠C

AFÓ=BDÓ=CEÓ이므로 세 삼각형은 모두 합동이다.

따라서 DEÓ=EFÓ=DFÓ가 되어 △DEF는 정삼각형이다.

 ⑤

06

△AFD와 △EFC에서

AFÓ=EFÓ, ∠DAF=∠CEF (엇각)

∠DFA=∠CFE (맞꼭지각)이므로

△AFDª△EFC (ASA 합동)

∴ (사다리꼴 ABCD의 넓이)=(△ABE의 넓이)

=;2!;×7×4

=14`(cmÛ`)

 14`cmÛ`

07

△ABP와 △CBQ에서 APÓ=CQÓ

∠A=∠C=90ù, ABÓ=CBÓ이므로

△ABPª△CBQ (SAS 합동)

이때 PBÓ=QBÓ가 되어 ∠PQB=∠QPB=80ù

∴ ∠PBQ=180ù-2×80ù=20ù

 ③

중단원 마무리

01 ^② 02 ^③ 03 ^① 04 ^{풀이 참조} 05 ^{①, ③} 06 ^② 07 ^① 08 ^④ 09 ^{②, ④} 10 ^③ 11 ^① 12 ^④ 13 ^④ 14 ^③ 15 ^③ 16 ^⑤ 17 ^② 18 ^① 19 ^④ 20 ^③ 21 ^② 22 ^① 23 ^⑤ 24 ^④ 25 ^9`cmÛ`

26 ^90ù 27 ^{풀이 참조} 28 ^15`cm

본문 48~51쪽

01

② 길이를 잴 때 사용하는 도구는 컴퍼스이다.

 ②

02

나머지 한 변의 길이를 a`cm라고 하면

가장 긴 변의 길이가 7`cm일 때 4+a>7이므로 a>3 가장 긴 변의 길이가 a`cm일 때 4+7>a이므로 a<11

∴ 3<a<11

따라서 나머지 한 변의 길이가 될 수 있는 것은 5`cm, 8`cm, 10`cm로 모두 3개이다.

 ③

03

한 변의 길이보다 나머지 두 변의 길이의 합이 커야 삼각형을 작 도할 수 있는데 ① 1+1=2이므로 삼각형을 작도할 수 없다.

 ^①

04

㉡ → ㉢ → ㉠ → ㉤ → ㉣

 풀이 참조

05

삼각형을 하나로 작도할 수 있는 것은

① 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우

③ 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작은 세 변의 길이가 주어진 경우

 ^{①, ③}

06

∠A=∠D=180ù-(55ù+40ù)=85ù

 ② [다른 풀이]

∠B=∠E=40ù이므로

∠A=180ù-(55ù+40ù)=85ù

07

① 두 내각의 크기의 합이 120ù이므로 나머지 한 내각의 크기가 60ù가 되어 ASA 합동이 된다.

 ^①

08

④ ∠XOY는 각을 나타내므로 OXÓ=OYÓ가 항상 성립하는 것 은 아니다.

 ④

09

② 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어져 있으므로

△ABC가 하나로 정해진다.

④ ABÓ+BCÓ>ACÓ인 세 변의 길이가 주어져 있으므로 △ABC 가 하나로 정해진다.

 ②, ④

10

가능한 삼각형의 세 변의 길이는

(3`cm, 4`cm, 5`cm), (3`cm, 8`cm, 10`cm), (4`cm, 5`cm, 8`cm), (4`cm, 8`cm, 10`cm),

(5`cm, 8`cm, 10`cm)로 만들 수 있는 삼각형은 5개이다.

 ③

ADN

± ±

±

11

ㄱ. 세 변의 길이를 알게 되므로 하나로 정해진다.

ㄴ. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알게 되므로 하나로 정해 진다.

ㄷ. 끼인각이 아니므로 하나로 정해지지 않는다.

ㄹ. 두 변의 길이의 합이 나머지 한 변의 길이와 같으므로 삼각형 이 만들어지지 않는다.

따라서 필요한 조건은 ㄱ 또는 ㄴ이다.

 ①

12

QRÓ=BCÓ=5`cm이므로 a=5

∠P=∠A=70ù이므로 c=70

∠R =180ù-(∠P+∠Q)

=180ù-(70ù+60ù)

=50ù 이므로 b=50

∴ a-b+c=5-50+70=25

 ④

13

두 사각형이 합동이므로 대응하는 변의 길이와 대응하는 각의 크 기는 같다.

④ dù=360ù-(60ù+60ù+90ù)=150ù에서 d=150

 ④

14

∠A=180ù-(40ù+60ù)=80ù이므로 ∠A=∠E ABÓ=EFÓ=6`cm

∠B=∠F=40ù

∴ △ABCª△EFD (ASA 합동)

즉, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 같으므로 합동이다.

 ③

15

△AEB와 △CDB에서

EBÓ=DBÓ (∵ △EBD가 정삼각형)

∠ABE=∠CBD=60ù

ABÓ=CBÓ (∵ △ABC가 정삼각형)이므로

△AEBª△CDB (SAS 합동)

∴ △CDB =△AEB

=△AED+△EBD

=4+6=10`(cmÛ`)

 ^③

16

△OBA와 △ODC에서

OAÓ=OCÓ, ∠BAO=∠DCO=40ù (엇각),

∠BOA=∠DOC=80ù (맞꼭지각)이므로

△OBAª△ODC (ASA 합동)

∠OBA =180ù-(∠BOA+∠OAB)

=180ù-(80ù+40ù)=60ù 이므로 a=60

BOÓ=DOÓ이므로

DOÓ=;2!; BDÓ=;2!;_8=4`(cm)에서 b=4

∴ a+b=60+4=64

 ⑤

17

△ABE와 △ACD에서

AEÓ=ADÓ, ABÓ=ACÓ, ∠A는 공통이므로

△ABEª△ACD (SAS 합동)

∴ ∠AEB=∠ADC=180ù-(60ù+15ù)=105ù

 ②

18

∠APB+∠CPQ=90ù,

∠APB+∠PAB=90ù이므로

∠PAB=∠CPQ

△ABP와 △PCQ에서

∠PAB=∠QPC,

∠APB=∠PQC, APÓ=PQÓ이므로

△ABPª△PCQ (ASA 합동)

따라서 PCÓ=ABÓ=8`cm이고 CQÓ=8-5=3`(cm)이므로

△PCQ=;2!;_PCÓ_CQÓ=;2!;_8_3=12`(cmÛ`)

 ①

19

△ABM과 △DCM에서

AMÓ=DMÓ, ∠MAB=∠MDC이고 ABÓ=DCÓ이므로

ADN ADN

" %

# 1 $

2

△ABMª△DCM (SAS 합동)

∴ MBÓ=MCÓ

△MBC에서 ∠BMC=60ù이고 MBÓ=MCÓ이므로

△MBC는 정삼각형이다.

∴ (△MBC의 둘레의 길이)=3 BCÓ=3_6=18`(cm)

 ^④

20

△OAB와 △ODC에서

OAÓ=ODÓ=0.6`km, OBÓ=OCÓ=1.3`km

∠AOB=∠DOC (맞꼭지각)이므로

△OABª△ODC (SAS 합동)

∴ ABÓ=CDÓ=1.2`km

 ③

21

각 변의 길이가 모두 5`cm보다 큰 자연수이므로 세 변의 길이가 모두 6`cm이면 20-6_3=2`(cm)가 남는다.

Ú 2`cm를 한 변에 더해 주면 8`cm, 6`cm, 6`cm Û 2`cm를 1`cm, 1`cm로 나누어 더해 주면

7`cm, 7`cm, 6`cm

따라서 모두 2개를 만들 수 있다.

 ②

22

△GBC와 △EDC에서 BCÓ=DCÓ, GCÓ=ECÓ

∠GCB=90ù-∠DCG=∠ECD=35ù이므로

△GBCª△EDC (SAS 합동)

∴ ∠DEC=∠BGC=180ù-(30ù+35ù)=115ù

∴ ∠DEF=∠DEC-90ù=115ù-90ù=25ù

 ①

23

△ADC와 △ABG에서

ADÓ=ABÓ, ACÓ=AGÓ, ∠DAC=∠BAG=90ù+60ù=150ù

∴ △ADCª△ABG (SAS 합동)

한편 △ADC에서 ∠DAC=150ù이고 ADÓ=ACÓ이므로

∠ACD=;2!;_(180ù-150ù)=15ù

∠DCB=∠GBC=60ù-15ù=45ù

∴ ∠x =180ù-(∠DCB+∠GBC)

=180ù-(45ù+45ù)=90ù

 ⑤

24

△GBC와 △EDC에서

BCÓ=DCÓ, GCÓ=ECÓ, ∠GCB=∠ECD=90ù이므로

△GBCª△EDC (SAS 합동)

∴ BGÓ=DEÓ=10`cm

 ④

25

△OBP와 △OCQ에서

OBÓ=OCÓ, ∠OBP=∠OCQ=45ù,

∠BOP=90ù-∠POC=∠COQ이므로

△OBPª△OCQ (ASA 합동)

∴ (색칠한 부분의 넓이)=△OPC+△OCQ

=△OPC+△OBP

=△OBC

=;4!;_6_6

=9`(cmÛ`)

 9`cmÛ`

26

△ABE와 △BCF에서

ABÓ=BCÓ, ∠ABE=∠BCF, BEÓ=CFÓ이므로

△ABEª△BCF (SAS 합동) 대응하는 각의 크기가 같으므로

∠BAE=∠CBF, ∠AEB=∠BFC이다.

한편 ∠BAE+∠BEA=90ù이므로

∠PBE+∠BEP=90ù가 되어

∠APF =∠BPE (맞꼭지각)

=180ù-(∠PBE+∠BEP)

=180ù-90ù

=90ù

 90ù

27

△ABP와 △AER에서

∠B=∠E=60ù ABÓ=AEÓ (정삼각형)

∠BAP=60ù-∠PAR=∠EAR이므로

△ABPª△AER (ASA 합동)

 풀이 참조

28

△AEB와 △ADC에서 AEÓ=ADÓ

∠EAB =60ù+∠DAB=∠DAC ABÓ=ACÓ이므로

△AEBª△ADC (SAS 합동)

∴ EBÓ=DCÓ

=DBÓ+BCÓ

=9+6=15`(cm)

 15`cm

서술형으로 중단원 마무리

서술형 예제 BCÓ, ∠BCE, CEÓ, △BCE, 60ù, 120ù 서술형 유제 ⑴ ASA합동 ⑵ 100`cmÛ`

1 ⑴ ㉥ → ㉠ → ㉢ → ㉣ → ㉡ → ㉤

⑵ 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 서로 평행하다.

2 3<x<13 3 ^40ù 4 ^98`cmÛ`

본문 52~53쪽

서술형 예제

두 삼각형 ACD와 BCE에서

ACÓ= BCÓ , ∠ACD= ∠BCE , CDÓ= CEÓ 이므로

△ACDª △BCE (SAS 합동) … ^1단계 한편, ∠BCE=180ù-60ù=120ù이므로

∠EBC+∠BEC=60ù

∠BEC=∠ADC이므로

∠EBC+∠ADC= 60ù 삼각형 FBD에서

∠x=180ù-(∠EBC+∠ADC)= 120ù … ^2단계

단계 채점 기준 비율

1단계 두 삼각형이 합동인 이유를 밝힌 경우 50 %

2단계 ∠x의 크기를 구한 경우 50 %

 풀이 참조

서술형 유제

⑴ △OBM과 △OCN에서

OBÓ=OCÓ, ∠OBM=∠OCN

∠BOM=90ù-∠MOC=∠CON이므로

즉, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 같으므로

△OBMª△OCN (ASA 합동) … ^1단계

⑵ (사각형 OMCN

의 넓이)

=△OMC+△OCN

=△OMC+△OBM

=△OBC … ^2단계

한편 △OBC=;4!;_(사각형 ABCD의 넓이)이므로 25=;4!;_(사각형 ABCD의 넓이)에서

(사각형 ABCD의 넓이)=100`cmÛ` … ^3단계

단계 채점 기준 비율

1단계 두 삼각형이 합동임을 보인 경우 50 %

2단계 사각형 OMCN과 삼각형 OBC의 넓이가 같음을

보인 경우 30 %

3단계 사각형 ABCD의 넓이를 구한 경우 20 %

 ⑴ ASA 합동 ⑵ 100`cmÛ`

1

⑴ 작도 순서는 ㉥ → ㉠ → ㉢ → ㉣ → ㉡ → ㉤ … ^1단계

⑵ 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 서로 평행하다. … ^2단계

단계 채점 기준 비율

1단계 작도의 순서를 바르게 나열한 경우 50 %

2단계 평행선의 성질을 말한 경우 50 %

 풀이 참조

2

8`cm가 가장 긴 변의 길이이면

x+5>8에서 x>3 yy ㉠ … ^1단계 x`cm가 가장 긴 변의 길이이면

5+8>x에서 x<13 yy ㉡ … ^2단계

㉠, ㉡에서 3<x<13 … ^3단계

단계 채점 기준 비율

1단계 8`cm가 가장 긴 변의 길이일 때 x의 값의 범위를

구한 경우 40 %

2단계 x`cm가 가장 긴 변의 길이일 때 x의 값의 범위를

구한 경우 40 %

3단계 x의 값의 범위를 구한 경우 20 %

 3<x<13

3

ABÓ=ACÓ이므로 △ABC는 이등변삼각형이고

∠B=∠C=70ù … ^1단계

∴ ∠A =180ù-(∠B+∠C)

=180ù-(70ù+70ù)

=40ù … ^2단계

△ABCª△DEF이므로 대응하는 각의 크기는 같게 되어

∠D=∠A=40ù … ^3단계

단계 채점 기준 비율

1단계 ∠B의 크기를 구한 경우 40 %

2단계 ∠A의 크기를 구한 경우 30 %

3단계 ∠D의 크기를 구한 경우 30 %

 40ù

4

△ACE와 △BAD에서

∠EAC+∠BAD=90ù이고

∠EAC+∠ACE=90ù이므로

∠ACE=∠BAD yy ㉠ ACÓ=BAÓ yy ㉡

∠CAE =90ù-∠ACE

=90ù-∠BAD

=∠ABD yy ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서

△ACEª△BAD (ASA 합동) … ^1단계

∴ EAÓ=DBÓ=8`cm, ADÓ=CEÓ=6`cm에서

EDÓ=EAÓ+ADÓ=8+6=14`(cm) … ^2단계

∴ (사각형 EDBC의 넓이)

=;2!;_(6+8)_14=98`(cmÛ`) … ^3단계

단계 채점 기준 비율

1단계 △ACE와 △BAD가 합동임을 보인 경우 50 %

2단계 EDÓ의 길이를 구한 경우 30 %

3단계 사각형 EDBC의 넓이를 구한 경우 20 %

 98`cmÛ`

Ⅵ ^{. 평면도형}

1. 다각형의 성질

다각형의 대각선의 개수

01

1 내각, 외각, 100ù 2 8, 5, 20 개념 확인 문제

2 팔각형의 꼭짓점의 개수는 8개

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 8-3=5(개)

따라서 팔각형의 대각선의 총 개수는 8_5 2 =20(개)

유제 1

내각:`∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA 외각:`∠EAB, ∠FBC, ∠GCD, ∠HDA

 풀이 참조

유제 2

⑵ (∠A의 외각의 크기)=180ù-140ù=40ù

 ⑴ 6개 ⑵ 40ù

유제 3

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n-3)개이므로 n-3=8에서 n=11

따라서 십일각형이므로 대각선의 총 개수는 11_(11-3)

2 =44(개)

 44개

유제 4

이웃하지 않는 두 컴퓨터를 연결하면 되므로 케이블의 개수는 육 각형의 대각선의 개수와 같다.

육각형의 대각선의 개수는 6_(6-3) 2 =9(개) 따라서 9개의 케이블을 연결하면 된다.

 9개

형성평가

01 ⑴ ○ ⑵ × ⑶ × 02 ^③ 03 ⑴ 14개 ⑵ 170개

04 ^② 05 ^정칠각형 06 ^② 07 ^② 08 ^16개 09 ^15`cm

본문 58쪽

01

⑵ 육각형의 내각은 6개이다.

⑶ 변의 길이가 모두 같고 각의 크기도 모두 같아야 정다각형이 다.

 ⑴ ○ ⑵ × ⑶ ×

02

① 정육각형의 대각선의 길이는 서로 다른 2종류가 있다.

② 다각형의 외각의 크기가 항상 같은 것은 아니다.

③ 오각형의 대각선의 총 개수는 5_(5-3)

2 =5(개)이다.

④ n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n-3)개이다.

⑤ n각형의 대각선의 개수는 n(n-3) 2 개이다.

 ^③

03

⑴ 7_(7-3) 2 =14(개)

⑵ 20_(20-3)

2 =170(개)

 ⑴ 14개 ⑵ 170개

04

② 6개의 내각이 있으므로 육각형이다.

따라서 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 6-3=3(개)

 ^②

05

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 n(n-3)

2 =14에서 n(n-3)=7×4

∴ n=7

①②

❶❷

칠각형이고 내각의 크기와 변의 길이가 모두 같으므로 정다각형 이다.

따라서 구하는 다각형은 정칠각형이다.

 ^정칠각형

06

n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n-3)개이므로 a=n-3

삼각형의 개수는 (n-2)개이므로 b=n-2

∴ b-a=(n-2)-(n-3)=1

 ^②

07

n각형이라고 하면 n-3=6에서 n=9

∴ (구각형의 대각선의 총 개수)=9_(9-3) 2

=27(개)

 ②

08

점 B, 점 C를 한 끝 점으로 하는 대각선의 개수는 각각

8-3=5(개)씩이고, ADÓ가 아닌 점 A, 점 D를 한 끝 점으로 하 는 대각선의 개수는 각각 4개씩이다.

그런데 이 중 ACÓ와 BDÓ는 2번 세어졌으므로 구하는 대각선의 개수는

(5+5)+(4+4)-2=16(개)

 16개 [다른 풀이]

정팔각형의 대각선의 총 개수는 8_(8-3) 2 =20(개) 정팔각형의 대각선 중 ADÓ와 한 점에서 만나지 않는 대각선은 ADÓ, EGÓ, EHÓ, FHÓ의 4개이므로 ADÓ와 한 점에서 만나는 대각 선의 개수는

20-4=16(개)

09

정오각형의 대각선의 개수는 5_(5-3)

2 =5(개)이고 그 길이가 모두 같다. 따라서 정오각형의 모든 대각선의 길이의 합은 5×3=15`(cm)

 15`cm

삼각형의 내각과 외각

02

1 180ù, 180ù, 70ù 2 ^{∠C, 40ù} 개념 확인 문제

유제 1

∠BAC=180ù-(30ù+62ù)=88ù이므로

∠BAD=;2!;∠BAC=;2!;_88ù=44ù

∴ ∠x=180ù-(30ù+44ù)=106ù

 106ù

유제 2

∠A`:`∠B`:`∠C=3`:`2`:`1이므로

∠A=3a, ∠B=2a, ∠C=a라고 하면 삼각형의 세 내각의 크기의 합이 180ù이므로 3a+2a+a=180ù에서 6a=180ù, a=30ù

∴ ∠A=3a=3_30ù=90ù

 90ù [다른 풀이]

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로

∠A=180ù_ 3

3+2+1 =90ù 유제 3

삼각형의 외각의 성질에 의해

∠x+62ù=114ù에서

∠x=114ù-62ù=52ù

 52ù

유제 4

삼각형의 외각의 성질에 의해

∠x+(2∠x-15ù)=69ù 3∠x=84ù이므로 ∠x=28ù

 28ù

형성평가

01 ⑴ 140ù ⑵ 60ù 02 ⑴ 60ù ⑵ 122ù 03 ^60ù 04 ^135ù 05 ^③ 06 ^② 07 ^① 08 ^④

본문 61쪽

01

⑴ (∠C의 외각의 크기)=180ù-40ù=140ù

⑵ ∠ADC=180ù-120ù=60ù

 ⑴ 140ù ⑵ 60ù

02

⑴ ∠x+70ù+50ù=180ù에서 ∠x=60ù

⑵ ∠x=72ù+50ù=122ù

 ⑴ 60ù ⑵ 122ù

03

90ù+30ù=∠x+60ù에서

∠x=60ù

 60ù

04

삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃 하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같 으므로

∠a=45ù+35ù=80ù

∴ ∠x =∠a+55ù

=80ù+55ù

=135ù

 135ù

05

△DBC에서

∠a+∠b=180ù-120ù=60ù

△ABC에서

∠A+∠B+∠C=180ù이므로 70ù+(20ù+∠a)+(∠x+∠b)

=180ù

90ù+(∠a+∠b)+∠x=180ù 이때 ∠a+∠b=60ù이므로 90ù+60ù+∠x=180ù

∴ ∠x=30ù

 ③

06

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 (가장 큰 내각의 크기)=180ù× 4

2+3+4

=80ù

 ②

± Y

± B ±

"

# $

%

±

±

±

B CY

07

삼각형의 외각의 성질에 의해

∠a=30ù+34ù=64ù

∠b=29ù+42ù=71ù

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로

∠x+∠a+∠b=180ù에서

∠x+64ù+71ù=180ù

∴ ∠x=45ù

 ①

08

삼각형의 외각의 성질에 의해

∠y+∠z=120ù

∠x=180ù-120ù=60ù

∴ ∠y+∠z-∠x=120ù-60ù=60ù

 ^④

다각형의 내각의 크기의 합

03

1 ^{풀이 참조} 2 8, 8, 10, 144ù 개념 확인 문제

1 _{다각형 사각형 오각형 육각형 칠각형}

한 꼭짓점에서 그은 대각선에 의해 나뉘는 삼각형의 개수 (개)

2 3 4 5

내각의 크기의 합 180ù_2 180ù_3 180ù_4 180ù_5

유제 1

사각형의 내각의 크기의 합은 360ù이므로 110ù+85ù+80ù+∠x=360ù에서

∠x=85ù

 85ù Y

B

C ±

±

±

±

유제 2

오각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(5-2)=540ù이므로

110ù+100ù+90ù+120ù+(180ù-∠x)=540ù에서

∠x=60ù

 60ù

유제 3

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 180ù_(n-2)=1080ù에서 n-2=6이므로 n=8

따라서 구하는 다각형은 팔각형이므로 꼭짓점의 개수는 8개이 다.

 ③

유제 4

육각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(6-2)=720ù 따라서 2_90ù+4∠a=720ù에서

∠a=135ù

 135ù

유제 5

한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 4개의 삼각형으로 나누어지므로 다각형의 내각의 크기의 합은 4개의 삼각형의 내각의 크기의 합 과 같다.

따라서 다각형의 내각의 크기의 합은 180ù_4=720ù

 720ù

유제 6

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 n-3=7에서 n=10

∴ (십각형의 내각의 크기의 합)=180ù_(10-2)=1440ù

 1440ù

유제 7

정다각형의 한 내각의 크기를 3a라고 하면 이웃하는 외각의 크 기는 2a이고 두 각의 크기의 합이 180ù이므로

2a+3a=180ù에서 a=36ù

따라서 한 내각의 크기는 36ù_3=108ù

 108ù

유제 8

n각형이라고 하면 한 내각의 크기가 144ù이므로 180ù_(n-2)

n =144ù에서

180(n-2)=144n 5(n-2)=4n에서 n=10

따라서 십각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(10-2)=1440ù

 ⑤

다각형의 외각의 크기의 합

04

1 180ù, 3, 360ù 2 360ù, 8, 8, 45ù 개념 확인 문제

유제 1

다각형의 외각의 크기의 합은 360ù이므로 72ù+78ù+100ù+30ù+∠x=360ù

∴ ∠x=80ù

 ^④

유제 2

다각형의 외각의 크기의 합은 360ù이므로

∠x+(180ù-90ù)+70ù+80ù+(180ù-110ù)=360ù

∴ ∠x=50ù

 ^②

유제 3

정n각형이라고 하면 360ù

n =36ù에서 n=10

∴ (정십각형의 대각선의 총 개수)=10_(10-3) 2

=35(개)

 35개

유제 4

모든 외각의 크기가 같으므로 모든 내각의 크기도 같다.

내각의 크기가 모두 같고 모든 변의 길이가 같으므로 정다각형이 다.

정n각형이라고 하면 360ù

n =40ù에서 n=9

따라서 조건을 만족하는 다각형은 정구각형이다.

 ^정구각형

형성평가

01 4, 4, 720ù 02 ⑴ 칠각형 ⑵ 구각형 ⑶ 십사각형 03 ^④ 04 ^② 05 ^⑤ 06 ^1440ù 07 ^② 08 ^126ù 09 ^65ù

본문 67쪽

01

4개의 삼각형으로 나누어지므로 (내각의 크기의 합)=180ù×4=720ù

 4, 4, 720ù

02

구하는 다각형을 n각형이라고 하면

⑴ 180ù×(n-2)=900ù에서 n-2=5이므로 n=7

따라서 칠각형이다.

⑵ 180ù×(n-2)=1260ù에서 n-2=7이므로 n=9

따라서 구각형이다.

⑶ 180ù×(n-2)=2160ù에서 n-2=12이므로 n=14

따라서 십사각형이다.

 ⑴ 칠각형 ⑵ 구각형 ⑶ 십사각형

03

n각형이라고 하면 n-3=9에서 n=12

(십이각형의 내각의 크기의 합) =180ù×(12-2)

=1800ù

 ④

04

각의 크기를 각각 구하면

① 360ù

② 180ù×(5-2)=540ù

③ 180ù

④ 180ù_(12-2) 12 =150ù

⑤ 360ù 15 =24ù

따라서 그 값이 가장 큰 것은 ②이다.

 ^②

05

사각형의 내각의 크기의 합이 360ù이므로

∠x+90ù+90ù+(180ù-110ù)=360ù에서

∠x=110ù

 ⑤

06

n각형이라고 하면 360ù

n =36ù에서 n=10

따라서 정십각형이므로 내각의 크기의 합은 180ù×(10-2)=1440ù

 1440ù

07

정n각형이라고 하면 180ù×(n-2)=720ù에서 n-2=4 ∴ n=6

따라서 정육각형의 한 외각의 크기는 360ù

6 =60ù이다.

 ②

08

정삼각형의 한 내각의 크기는 60ù, 정사각형의 한 내각의 크기는 90ù,

정오각형의 한 내각의 크기는 180ù_(5-2)

5 =108ù이므로

∠x=360ù-(108ù+90ù)=162ù

∠y=360ù-(108ù+90ù+60ù)=102ù

∠z=360ù-(∠y+72ù+120ù)=66ù

∴ ∠x-∠y+∠z=162ù-102ù+66ù=126ù

 126ù

09

사각형 ABCD의 외각의 크기의 합은 360ù이므로 (180ù-120ù)+(180ù-110ù)+2ç+2^×=360ù

∴ ç+×=115ù

△BPC의 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ç+×+∠x=180ù

115ù+∠x=180ù

∴ ∠x=65ù

 65ù