답 2 '¶10`

001

⑴ sin`A= BCÓ ACÓ =;5$;

⑵ cos`A= ABÓ ACÓ =;5#;

⑶ tan`A= BCÓ

ABÓ =;3$; ^답 ⑴ ;5$; ⑵ ;5#; ⑶ ;3$;

002

① sin`A= BCÓ ACÓ ② sin`C= ABÓ ACÓ ④ cos`C= BCÓ ACÓ ⑤ tan`A= BCÓ ABÓ

따라서 옳은 것은 ③이다. ^답 ③

003

sinÀ_cosÀÖtanÀ=;cA;_;cB;Ö;bA;

=;cA;_;cB;_;aB;= bÛ` cÛ` 답 ④

004

① sin`A= BCÓ ABÓ =;5$;

② tan`B= ACÓ BCÓ =;4#;

③ tan`A= BCÓ ACÓ =;3$;

④ cos`A= ACÓ ABÓ =;5#;

⑤ sin`B= ACÓ

ABÓ =;5#; ^답 ③

005

^ACÓ="Ã4Û`-2Û`=2'3이므로 tan`B= ACÓ

BCÓ = 2'32 ='3, sin`B= ACÓ

ABÓ = 2'34 ='3`

2 ∴ tan`B_sin`B='3_ '32 =;2#; 답 ;2#;

포인트 피타고라스 정리

직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a, b라 하 고 빗변의 길이를 c라 하면

aÛ`+bÛ`=cÛ`

006

^BCÓ="ÃABÓÛ`-ACÓÛ` ="Ã13Û`-5Û`=12 ∴ cos`B-cos`A= BCÓ

ABÓ - ACÓ ABÓ

=;1!3@;-;1°3;=;1¦3; ^답 ②

5 ^삼각비

본문 084~100쪽

021

^AEÓ="Ã8Û`-6Û` =2'7이고, △ABC»△AED이므로 sin`B=sin∠DEA= ADÓ

DEÓ =;8^;=;4#;

sin`C=sin∠ADE= AEÓ

DEÓ = 2'78 ='7`

4 ∴ sin`B+sin`C=;4#;+ '7`4 =3+'7

4 답③

022

⑴ sin`30ù=;2!;

⑵ cos`30ù= '3`2 ⑶ tan`30ù= '3`3 ⑷ cos`45ù= '2`2 ⑸ tan`60ù='3

답⑴ ;2!; ⑵ '3`2 ⑶ '3`

3 ⑷ '2`

2 ⑸ '3

023

tan`45ù-sin`30ù=1-;2!;=;2!; ^답;2!;

024

① sin`30ù_cos`60ù=;2!;_;2!;=;4!;

② cos`30ù_tan`60ù= '3`2 _'3=;2#;

③ sin`60ù+cos`30ù= '3`2 +'3`

2 ='3 ④ tan`45ùÖsin`45ù=1Ö '2`2 ='2

⑤ tan`60ù-cos`45ù='3- '2`2 =2'3-'2`

답③

025

sin`60ù+cos`60ù tan`60ù+tan`45ù =

'3`2 +;2!;`

'3+1 = '3+1`

2 ` '3+1

= '3+1`

2('3+1) =;2!; ^답①

026

세 내각의 크기의 비가 3`:`4`:`5이고 삼각형의 내각의 크 기의 합은 180ù이므로

∠A=180ù_ 3`

3+4+5 =45ù ∴ sinÀ`:`cosÀ`:`tanÀ =sin`45ù`:`cos`45ù`:`tan`45ù = '2`2 `:`'2`

2 `:`1=1`:`1`:`'2 답④

027

sin`60ù=cos`30ù= '3`2 이므로

2x=30ù ∴ x=15ù ^답②

014

피타고라스 정리에 의하여

# ABÓ='Ä16-9='7

sin`C= '7`4 , cos`C=;4#;, tan`C= '7`3 ∴ sin`C_cos`C_tan`C

= '7`4 _;4#;_'7`

3 =;1¦6; 답 ②

015

^tan(90ù-A)=tan`B=;4#; ^"

# $

이므로

ABÓ="Ã4Û`+3Û`=5

∴ sin`A+cos`A=;5$;+;5#;

=;5&; ^답 ③

포인트 삼각형 ABC에서 ∠A+∠B+∠C=180ù

∠C=90ù이므로 ∠B=90ù-∠A

016

^BCÓ="ÃACÓÛ`-ABÓÛ` ="Ã5Û`-3Û`=4

# ∴ tan`A_tan`C=;3$;_;4#;

답 1

017

x=∠CAD이고 △ABC»△CBD»△ACD ∴ cos`x= ACÓ

ABÓ = CDÓ BCÓ = ADÓ

ACÓ

따라서 cos`x와 같은 값을 갖는 것은 ㄱ, ㄷ, ㅂ이다.

답 ㄱ, ㄷ, ㅂ

018

△DBA»△DAC»△ABC이므로 x=∠C, y=∠B

BCÓ="Ã6Û`+8Û` =10이므로 sin`x=sin`C=;1¤0;=;5#;

sin`y=sin`B=;1¥0;=;5$;

∴ sin`x+sin`y=;5#;+;5$;=;5&; ^답 ⑤

019

△DBA»△ABC이므로

tan`a=tan`C= ABÓ 4 =3 ∴ ABÓ=12

∴ BCÓ="Ã12Û`+4Û`=4'¶10 ^답 ④

020

ACÓ=8, BCÓ="Ã6Û`+8Û` =10 △DEC»△ABC이므로 x=∠B ∴ sin`x=sin`B= ACÓ

BCÓ =;1¥0;=;5$; ^답 ;5$;

028

^cos`60ù=;6{;=;2!;

∴ x=3

sin`60ù=;6};= '3`2 ∴ y=3'3

∴ xy=9'3 ^답 ⑤

029

cos`60ù= ABÓ BCÓ = ABÓ 8 ∴ ABÓ=8 cos`60ù=8_;2!;=4 sin`60ù= ACÓ

BCÓ = ACÓ 8

∴ ACÓ=8 sin`60ù=8_ '3`2 =4'3

∴ △ABC=;2!;_4_4'3=8'3 ^답 8'3

030

삼각형 ABC에서 ABÓ=6이므로 tan`30ù= BCÓ

ABÓ = BCÓ 6 ='3`

3 ∴ BCÓ=2'3

sin`45ù= BCÓ BDÓ = 2'3

BDÓ = '2`2

∴ BDÓ=2'6 ^답 ②

031

삼각형 ABC에서 sin`45ù= 3'2 ACÓ ∴ ACÓ= 3'2 sin`45ù =3'2`

'2`2 =6

삼각형 ACD에서 sin`60ù= ACÓ ADÓ ∴ ADÓ= ACÓ sin`60ù = 6

'3`2

= 12`

'3` = 12'3`3 =4'3 답 4'3

032

^∠ADC=∠ABD+∠BAD

=30ù+15ù=45ù

따라서 삼각형 ACD는 직각이등변삼각형이다.

∴ ACÓ=CDÓ tan`30ù= ACÓ

BCÓ = ACÓ BDÓ+CDÓ

= ACÓ

50+ACÓ = 1 '3`

'3 ACÓ=50+ACÓ, ('3-1)ACÓ=50 ∴ ACÓ= 50

'3-1` =25('3+1) ^답 25('3+1)

033

^{주어진 직선};2{;+ y'2` =1과 x축,

Y Z

A

y축의 교점을 각각 A, B라 하면

A(2, 0), B(0, '2 )이므로 ABÓ="Ã2Û`+('2 )Û`='6 ∴ sin`a= OBÓ

ABÓ = '2`

'6` = '3`3

^답 ②

034

일차방정식 3x-4y=12의 그래 _"

프에서 x절편은 4, y절편은 -3 B

이므로 오른쪽 그림의 삼각형 AOB에서 ABÓ=5이다.

∴ sinà-cosà+tanà =;5#;-;5$;+;4#;

=;2!0!; ^답;2!0!;

035

주어진 일차함수의 그래프가 x축

Z ZY

B 과 만나는 점을 A, y축과 만나는 B

점을 B라 하면

OAÓ=2, OBÓ=6이므로 ABÓ="Ã2Û`+6Û` =2'¶10 ∴ cos`a= OAÓ

ABÓ = 2 2'¶10`

= 1

'¶10`= '¶10`10 답 ②

포인트 일차함수 y=ax+b의 그래프에서

⑴ x절편: y=0일 때의 x의 값  -;aB;

⑵ y절편: x=0일 때의 y의 값  b

036

직선의 기울기는 tan`60ù='3

A

Y Z

±0 y절편을 k라 하면

tan`60ù=;2K;='3 ∴ k=2'3 ∴ y='3x+2'3

답 ②

037

(기울기)=a=tan`45ù=1

직선 y=x+b가 점 (6, 0)을 지나므로 0=6+b

∴ b=-6

∴ ab=-6 ^답-6

038

^답 ⑴ ABÓ ⑵ OBÓ ⑶ CDÓ

039

BCÓDEÓ이므로 ∠C=∠E sin`E=sin`C= ABÓ 1

∴ sin`E=ABÓ ^답 ④

040

cos`x= OBÓ OCÓ = 1

OCÓ

∴ OCÓ= 1cos`x ^답 ①

041

sin`32ù= ABÓ

OAÓ =ABÓ=0.53 cos`32ù= OBÓ

OAÓ =OBÓ=0.85 tan`32ù= CDÓ

ODÓ =CDÓ=0.62 답 ⑤

042

∠OAB=38ù이므로 ① cos`38ù= ABÓ

OAÓ =0.79 ② sin`38ù= OBÓ

OAÓ =0.62 ③ sin`52ù= ABÓ

OAÓ =0.79 ④ tan`52ù= CDÓ

ODÓ =1.28

⑤ BDÓ=1-OBÓ=1-sin`38ù ^답 ③

043

sin`0ù=cos`90ù=tan`0ù=0 cos`0ù=sin`90ù=tan`45ù=1 ⑴ ㄱ, ㄷ, ㄹ

⑵ ㄴ, ㅁ, ㅂ 답 ⑴ ㄱ, ㄷ, ㄹ ⑵ ㄴ, ㅁ, ㅂ

044

① tan`0ù-sin`90ù=0-1=-1 ② tan`45ù_sin`0ù+sin`60ùÖcos`30ù =1_0+ '3`2 Ö '3`2 =1

③ cos`90ù-tan`30ù_tan`60ù

 =0- 1

'3` _'3=-1

④ sin`90ù_cos`30ù-cos`0ù_sin`60ù =1_ '3`2 -1_'3`

2 =0

⑤ 2sin`30ù_cos`60ù-sin`45ù_cos`45ù

 =2_;2!;_;2!;- '2`2 _'2`

2 =0 답①, ⑤

045

① 0<sin`80ù<1 ② tan`60ù='3 >1 ③ 0<cos`20ù<1 ④ sin`0ù=0

⑤ cos`90ù=0 ^답 ②

046

x가 0ù에서 90ù까지 증가할 때 sin`x의 값은 0에서 1까지 증가하고, 0ù<x<45ù일 때 sin`x<cos`x이므로

sin`35ù<sin`45ù<cos`35ù

또 1<tan`55ù<tan`75ù, cos`0ù=1이므로 삼각비의 값이 작은 것부터 차례대로 나열하면

ㄱ－ㄴ－ㄹ－ㄷ－ㅁ－ㅂ이다. 답③

포인트 삼각비의 값의 대소 관계

⑴ 0ùÉx<45ù이면 sin`x<cos`x, tan`x<1

⑵ x=45ù이면 sin`x=cos`x, tan`x=1

⑶ 45ù<x<90ù이면 sin`x>cos`x, tan`x>1

047

45ù<A<90ù일 때 1<tanÀ이므로 1-tanÀ<0, 1+tanÀ>0 ∴ "Ã(1-tanÀ)Û`-"Ã(1+tanÀ)Û`

=-(1-tan`A)-(1+tan`A)

=-1+tan`A-1-tan`A

=-2 ^답-2

048

⑴ sin`22ù=0.3746 ⑵ cos`23ù=0.9205 ⑶ tan`21ù=0.3839

⑷ cos`22ù-tan`22ù=0.9272-0.4040=0.5232

^답 ⑴ 0.3746 ⑵ 0.9205 ⑶ 0.3839 ⑷ 0.5232

049

cos`15ù+tan`14ù-sin`16ù=0.9659+0.2493-0.2756

=0.9396 ^답④

050

sin`47ù=0.7314이므로 x=47 tan`49ù=1.1504이므로 y=49 cos`48ù=0.6691이므로 z=48

∴ x+y-z=47+49-48=48 ^답①

051

cos`A= ACÓ

ABÓ = 71.93100 =0.7193

주어진 삼각비의 표에서 cos`44ù=0.7193이므로

∠A=44ù ^답44ù

052

삼각형 OCD에서 ∠DOC=a라 하면

cos`a=OCÓ=1-0.4122=0.5878이므로 a=54ù CDÓ=sin`54ù=0.8090

∴ x=0.8090

ABÓ=tan`54ù=1.3764 ∴ y=1.3764

∴ x+y =0.8090+1.3764

=2.1854 ^답2.1854

053

ACÓ="ÃABÓÛ`-BCÓÛ` ='Ä36-16=2'5 yy ^가 ∴ (tan`B-1)(sin`B+cos`B)

={ 2'5`4 -1}{2'5`

6 +;6$;}

={ '5-2`2 }{ '5+2`3 }=;6!; yy ^나

답 ;6!;

단계 채점 요소 배점

가 ACÓ=2'5 구하기 1점

나 답 구하기 3점

054

tan`B= 8

ABÓ =;3@;이므로 ABÓ=12 yy ^가 ∴ BCÓ="Ã8Û`+12Û`='¶208=4'¶13 yy ^나 따라서 삼각형 ABC의 둘레의 길이는 20+4'¶13이다.

yy ^다

답20+4'¶13

단계 채점 요소 배점

가 ABÓ=12 구하기 2점

나 BCÓ=4'¶13 구하기 1점

다 답 구하기 1점

055

tan`A=3이므로 오른쪽 그림과 같은

" 

A 직각삼각형 ABC에서

ACÓ='¶10 yy ^가

sin`A= 3

'¶10` = 3'¶10`10 cos`A= 1

'¶10` = '¶10`10 yy ^나 ∴ 3 sin`A+2 cos`A

2 sin`A-3 cos`A

=3_3'¶10`

10 +2_'¶10`

10 2_3'¶10`

10 -3_'¶10`

= 11'¶10`

10 3'¶10`

=:Á3Á: yy ^다

답 :Á3Á:

단계 채점 요소 배점

가 ACÓ='¶10 구하기 2점

나 sin`A, cos`A의 값 구하기 2점

다 답 구하기 2점

056

ACÓ="Ã(2'3 )Û`+(2'6 )Û` =6 yy ^가 x=∠ACB이므로

cos`x+sin`x= 2'6`6 +2'3`

= '6+'3`3 yy ^나

답 '6+'3`

단계 채점 요소 배점

가 ACÓ=6 구하기 2점

나 답 구하기 4점

057

∠B=∠C=90ù이고, ∠AEB=∠DEC이므로 △ABE»△DCE (AA닮음)

∴ ∠EAB=∠EDC=x yy ^가

cos`x= ABÓ AEÓ = CDÓ

DEÓ

CDÓ="Ã6Û`-(3'3 )Û`='Ä36-27=3이므로 yy ^나

cos`x=;6#;=;2!; yy ^다

답;2!;

단계 채점 요소 배점

가 ∠EAB=∠EDC 구하기 2점

나 CDÓ=3 구하기 2점

다 답 구하기 2점

058

^tan`60ù_{cos`30ù_(}sin`60ù+sin`30ù)

=tan`60ùÖcos`30ù_(sin`60ù+sin`30ù) ='3 Ö '3`2 _{'3`

2 +;2!;} yy ^가

='3_ 2'3` _{ '3+1`2 }

='3+1 yy ^나

답'3+1

단계 채점 요소 배점

가 각각의 삼각비의 값 구하기 2점

나 답 구하기 2점

059

삼각형 ABD에서 ^"

# % $

±

sin`60ù= ADÓ ABÓ

∴ ADÓ=ABÓ_sin`60ù

=8_ '3`2 =4'3 yy ^가

∠ABD=∠DAE=60ù이므로 삼각형 ADE에서 cos`60ù= AEÓ

ADÓ ∴ AEÓ=ADÓ_cos`60ù

=4'3_;2!;=2'3 yy ^나

삼각형 ABC에서 tan`60ù= ACÓ ABÓ

∴ ACÓ=ABÓ_tan`60ù=8'3 yy ^다 ∴ ECÓ=ACÓ-AEÓ

=8'3-2'3=6'3 yy ^라

답6'3

단계 채점 요소 배점

가 ADÓ=4'3 구하기 2점

나 AEÓ=2'3 구하기 2점

다 ACÓ=8'3 구하기 2점

라 답 구하기 2점

060

^3y='3x+1에서 y= '3`3 x+;3!;

tan`a= '3`3 이므로 a=30ù yy ^가 ∴ sin`a=sin`30ù=;2!; yy ^나

^답 ;2!;

단계 채점 요소 배점

가 a=30ù 구하기 3점

나 답 구하기 3점

061

⑴ ax-y+6=0에서 y=ax+6

∴ a=tan`a='3 yy ^가

⑵ tan`a='3이므로 a=60ù yy ^나 m=sin`60ù= '3`2 `, n=cos`60ù=;2!;

∴ mÛ`+nÛ`=;4#;+;4!;=1 yy ^다

^답 ⑴ '3 ⑵ 1

단계 채점 요소 배점

가 a='3 구하기 2점

나 a=60ù 구하기 3점

다 mÛ`+nÛ`=1 구하기 3점

062

점 A의 x좌표를 a라 하면 삼각형 AOB에서 aÛ`+{ '3`2 }

2=1, aÛ`=;4!;

a>0이므로 a=;2!; yy ^가

∠AOB=h라 하면

tan`h= ABÓ OBÓ =

'3`2

;2!; ='3 yy ^나 ∠AOB=∠COD=h이므로

tan`h= CDÓ ODÓ ='3

∴ CDÓ='3_ODÓ='3 yy ^다

답'3

단계 채점 요소 배점

가 a=;2!; 구하기 2점

나 tan`h='3 구하기 2점

다 답 구하기 2점

063

45ù<A<90ù일 때

sinÀ+cosÀ>0, cosÀ-sinÀ<0이므로 주어진 식은

(sinÀ+cosÀ)+(cosÀ-sinÀ)='3이다. yy ^가 따라서 cosÀ= '3`2 이므로 A=30ù yy ^나 ∴ sin (90ù-A)=sin`60ù= '3`2 yy ^다

답 '3`

단계 채점 요소 배점

가 주어진 식 풀기 2점

나 A=30ù 구하기 2점

다 답 구하기 2점

포인트 삼각비의 값이 근호 안에 있는 경우, 제곱근의 성 질을 이용하여 근호 안의 식의 부호를 정한 후 주어진 식 을 정리한다.

 "aÛ`=[ a (a¾0) -a (a<0)

064

^∠ACD=∠ABC+∠BAC

=37ù+14ù=51ù yy ^가

∴ tan`51ù= ADÓ

CDÓ = ADÓ 20 =1.2349 yy ^나 ∴ ADÓ=20_1.2349=24.698 yy ^다

답24.698

단계 채점 요소 배점

가 ∠ACD=51ù 구하기 2점

나 tan`51ù의 값 구하기 2점

다 답 구하기 2점

065

ABÓ=k, BCÓ=2k`(k>0)로 놓으면 ACÓ="Ã(2k)Û`-kÛ`='3k

sin`B= '3k`2k ='3`

2 , tan`C= k '3k` = '3`3 ∴ sin`B+tan`C= '3`2 +'3`

3 =5'3`

문서에서 수학 기출문제집 3 (페이지 40-45)

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003

004

005

006

5 삼각비

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065

5 ^삼각비