xÛ`+6x= 3
xÛ`+6x+ 9 =3+ 9 (x+ 3 )Û`=12 ∴ x= -3Ñ2'3
02
xÛ`+3x-10=0의 한 근이 m이므로 mÛ`+3m-10=0, mÛ`+3m=10 또 3xÛ`+23x-36=0의 한 근이 n이므로 3nÛ`+23n-36=0, 3nÛ`+23n=36∴ (mÛ`+3m+1)(3nÛ`+23n-1) =(10+1)(36-1)
=11_35=385
03
① xÛ`-3x=0, x(x-3)=0 ∴ x=0 또는 x=3② xÛ`+3x+2=0, (x+1)(x+2)=0 ∴ x=-1 또는 x=-2
③ 2(x-3)(x+1)=0 ∴ x=3 또는 x=-1 ④ (x+6)(x-5)=0 ∴ x=-6 또는 x=5 ⑤ 25xÛ`-10x+1=0, (5x-1)Û`=0
∴ x=;5!;
04
주어진 식의 양변에 10을 곱하면 2(xÛ`+x)-5(3xÛ`+2)=10(-xÛ`-1) 2xÛ`+2x-15xÛ`-10=-10xÛ`-10 3xÛ`-2x=0, x(3x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=;3@;따라서 두 근 중에서 작은 근은 x=0이다.
05
① (-2)Û`-4_1=0 ∴ 중근 ② 4Û`-4_1_(-12)=64>0∴ 서로 다른 두 근
③ (-1)Û`-4_1_(-30)=121>0
∴ 서로 다른 두 근
④ 1Û`-4_2_(-1)=9>0
∴ 서로 다른 두 근
⑤ (-4)Û`-4_1_1=12>0
∴ 서로 다른 두 근
06
규상이의 식은 x=-3 또는 x=5가 근인 이차방정식이므로 (x+3)(x-5)=0, xÛ`-2x-15=0규상이가 본 일차항의 계수는 바른 것이다.
∴ b=-2
봉진이의 식은 x=3 또는 x=-8이 근인 이차방정식이므로 (x-3)(x+8)=0, xÛ`+5x-24=0
봉진이가 본 상수항은 바른 것이다.
∴ c=-24 ∴ b+c=-26
07
전체 학급 수를 x라 하면 한 학급에 돌아가는 축구공의 수 는 x-2이므로x(x-2)=80 xÛ`-2x-80=0 (x-10)(x+8)=0 ∴ x=10 또는 x=-8 x는 자연수이므로 x=10 따라서 총 학급 수는 10이다.
08
길의 폭을 x`m라 하면5m xm xm
8m (8+2x)m
(5+2x)m (8+2x)(5+2x)-8_5
=30
4xÛ`+26x-30=0 2xÛ`+13x-15=0 (2x+15)(x-1)=0 ∴ x=-:Á2°: 또는 x=1 x>0이므로 x=1
따라서 길의 폭은 1`m로 해야 한다.
09
y =4xÛ`+1-2axÛ`-2x=(4-2a)xÛ`-2x+1
이차함수가 되려면 4-2a+0이어야 하므로 a+2
10
y=axÛ`에서 -;2!;<a<2이어야 두 그래프 사이에 있게 된 다.따라서 두 그래프 사이에 있지 않은 것은 ⑤ y=-;3@;xÛ`의 그래프이다.
11
y=2xÛ`+;2!;의 그래프는 오른쪽 그림x y
O 12 과 같다.
① 제1, 2사분면을 지난다.
② 꼭짓점은 {0, ;2!;}
③ y=2xÛ`의 그래프를 y축으로 ;2!;만큼 평행이동한 것이다.
⑤ 아래로 볼록한 그래프이다.
12
이차함수 y=;3!;xÛ`의 그래프와 모양이 같으므로 a=;3!;꼭짓점의 좌표가 (-5, 3)이므로 구하는 이차함수의 식은 y=;3!;(x+5)Û`+3
따라서 p=5, q=3이므로 apq=;3!;_5_3=5
13
꼭짓점의 좌표가 (3, -5)이므로 그래프의 식은 y=a(x-3)Û`-5이 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로 -2=a(0-3)Û`-5 ∴ a=;3!;
따라서 a=;3!;, p=3, q=-5이므로 apq=;3!;_3_(-5)=-5
14
축은 x=2이므로 p=2, 꼭짓점의 좌표는 (2, q)이므로 q=-5∴ p+q=2+(-5)=-3
15
y =-2xÛ`+4x+c=-2(xÛ`-2x)+c
=-2(xÛ`-2x+1-1)+c
=-2(x-1)Û`+2+c
꼭짓점의 좌표가 (p, 1)이어야 하므로 1=p, 2+c=1 ∴ p=1, c=-1 ∴ cp=(-1)_1=-1
16
y =xÛ`-6x+2=xÛ`-6x+9-9+2
=(x-3)Û`-7
x축의 방향으로 1만큼 평행이동하면 y=(x-3-1)Û`-7=(x-4)Û`-7 점 (2, k)를 지나므로
k=(2-4)Û`-7=-3
17
그래프 모양이 아래로 볼록하므로 a>0이고, 폭이 가장 넓으려면 a의 절댓값이 제일 작아야 한다.
따라서 조건을 만족시키는 것은 ⑤이다.
18
y=-xÛ`+2x+5=-(x-1)Û`+6 yy`㉠y=-xÛ`+8x-10=-(x-4)Û`+6 yy`㉡
에서 두 점 A, B의 좌표는 A(1, 6), B(4, 6)이 된다.
㉡은 ㉠을 x축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이므로 CDÓ=ABÓ=3
∴ ACDB=3_6=18
19
⑴ xÛ`-6x+a=0`xÛ`-6x=-a
xÛ`-6x+9=-a+9`
(x-3)Û`=-a+9 yy 가
⑵ -a+9=0이어야 하므로
a=9 yy 나
⑶ a=2이면
(x-3)Û`=-a+9에서 (x-3)Û`=7, x-3=Ñ'7`
∴ x=3Ñ'7 yy 다
단계 채점 요소 배점
가 (x-3)Û`=-a+9 구하기 2점
나 a=9 구하기 1점
다 x=3Ñ'7 구하기 2점
20
작은 자연수를 x라 하면 큰 자연수는 x+1이므로 주어진 조건에서 x(x+1)=132 yy 가 xÛ`+x-132=0, (x+12)(x-11)=0∴ x=-12 또는 x=11 yy 나
그런데 x는 자연수이므로 x=11
따라서 두 자연수는 11과 12이고 여기서 작은 자연수는
11이다. yy 다
단계 채점 요소 배점
가 조건에 맞게 방정식 세우기 1점
나 x=-12 또는 x=11 구하기 2점
다 답 구하기 1점
21
y=axÛ`의 그래프가 점 (3, 3)을 지나므로3=a_3Û` ∴ a=;3!; yy 가 또한, 점 (-6, b)를 지나므로
b=;3!;_(-6)Û`=12
∴ ab=;3!;_12=4 yy 나
단계 채점 요소 배점
가 a=;3!; 구하기 2점
나 답 구하기 2점
22
축의 방정식이 x=0이므로 y=axÛ`+q 두 점 (-1, 2), (2, -4)를 지나므로2=a+q yy`㉠
-4=4a+q yy`㉡ yy 가
㉡-㉠을 하면
3a=-6 ∴ a=-2 yy`㉢
㉢을 ㉠에 대입하면 q=4
∴ y=-2xÛ`+4 yy 나
점 (1, k)를 지나므로
k=(-2)_1Û`+4=2 yy 다
단계 채점 요소 배점
가 ㉠, ㉡의 식 구하기 1점
나 y=-2xÛ`+4 구하기 2점
다 답 구하기 2점
23
두 점 (-3, 0), (-1, 0)을 지나는 그래프의 이차함수의 식을 y=a(x+1)(x+3)이라 하면 이 그래프가점 (0, -6)을 지나므로
-6=a(0+1)(0+3) ∴ a=-2 yy 가 y =-2(x+1)(x+3)=-2xÛ`-8x-6
=-2(x+2)Û`+2
따라서 꼭짓점의 좌표는 (-2, 2)이다. yy 나
단계 채점 요소 배점
가 a=-2 구하기 3점
나 답 구하기 2점
24
⑴ -5tÛ`+60t에 t=5를 대입하면-5_5Û`+60_5=175 (m) yy 가 ⑵ -5tÛ`+60t=100에서
5tÛ`-60t+100=0, tÛ`-12t+20=0 (t-2)(t-10)=0 ∴ t=10
공이 내려올 때의 높이가 100`m가 될 때까지 걸린 시
간은 10초이다. yy 나
⑶ 지면에 떨어질 때의 높이가 0`m이므로 -5tÛ`+60t=0, -5t(t-12)=0 ∴ t=12
즉, 공이 다시 지면에 떨어지는 것은 쏘아 올린 지 12초
후이다. yy 다
단계 채점 요소 배점
가 5초 후의 공의 높이 구하기 2점
나 높이가 100`m가 될 때까지 걸린 시간 구하기 3점 다 공이 지면에 다시 떨어지는 시간 구하기 2점
빠른 정답
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1. 이차방정식의 풀이
001 ④ 002 ② 003 12 004 ② 005 ④ 006 ①, ② 007 ④, ⑤ 008 -3 009 ② 010 -10 011 ② 012 ⑤ 013 8 014 ⑴ x=0 또는 x=2 ⑵ x=-1 또는 x=4
⑶ x=-3 또는 x=3 ⑷ x=-5 또는 x=-2 015 ① 016 ④ 017 7 018 ① 019 ⑤ 020 ① 021 2 022 -2 023 ③ 024 ⑤ 025 ⑴ 4 ⑵ 9 ⑶ 8 ⑷ 10 026 ③ 027 ② 028 ⑤ 029 3 030 ⑴ x=Ñ'5 ⑵ x=Ñ2'2 ⑶ x=1Ñ'2 ⑷ x=2Ñ2'2 031 ④ 032 -11 033 ③ 034 ② 035 ① 036 8 037 ③ 038 20 039 ② 040 ① 041 35 042 b
2a, b 2a, b
2a, bÛ`-4ac 4aÛ` , b
2a, ¾Ð bÛ`-4ac4aÛ` , -bÑ"ÃbÛ`-4ac
2a 043 2 044 ③ 045 ② 046 ③ 047 ③ 048 ② 049 8 050 ③ 051 ⑤ 052 ③ 053 10 054 -7
055 x=-3 또는 x=3 056 1 057 4 058 ⑴ 2 ⑵ 6 ⑶ 8 059 k=0, x=2 060 6 061 x=3Ñ'5 062 x=-3Ñ'6 063 6 064 9 065 a=11, b=3 066 14 067 ⑤ 068 ④ 069 ③ 070 ① 071 -19 072 ⑤ 073 8 074 ④ 075 13 076 ② 077 ② 078 ④ 079 ④ 080 -14 081 x=5 082 ③ 083 ③ 084 -11 085 ④ 086 -1 087 3개 088 5 089 ② 090 11 091 ④ 092 ⑴ -3+'§216 ⑵ 0 093 ;3%; 094 ③ 095 ②
2. 이차방정식의 성질과 활용
001 ⑴ _ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ◯ 002 ③ 003 ① 004 ① 005 ① 006 ⑤ 007 ⑤ 008 ④ 009 ⑴ -15 ⑵ 0 ⑶ 8 ⑷ 2 ⑸ 0 ⑹ 1 010 ③, ⑤ 011 ① 012 ④ 013 0 014 ② 015 ③ 016 -2'3 017 ⑴ xÛ`-7x+10=0 ⑵ 2xÛ`-8x+6=0 018 ④ 019 ① 020 xÛ`+14x+45=0 021 ② 022 ① 023 ⑤ 024 -9-'¶11 025 ④ 026 ⑤ 027 x=1 또는 x=5 028 ⑤ 029 ③ 030 ⑤ 031 6 032 ① 033 ④ 034 ④
035 ⑴ 11-x ⑵ a=-11, b=28 ⑶ 4 036 5 037 ③ 038 31 039 ③ 040 ① 041 ⑤ 042 ② 043 ③ 044 ⑤ 045 ③ 046 ① 047 16세 048 ② 049 5 050 ② 051 ② 052 2초 053 ④
054 4 cm 055 6 cm 056 2 cm 057 ① 058 (2, 8) 059 ③ 060 ① 061 (3+'¶17 ) cm 062 ④ 063 ②, ④ 064 ⑤ 065 6
066 ⑴ k>-;3!; ⑵ k<-;3!; 067 -;8#;<mÉ5
068 2xÛ`+2x-40=0 069 -3 070 4xÛ`-9x+2=0 071 28 072 11, 12 073 8, 7, 6 074 11 075 4초 076 14 cm
077 ① 078 ③ 079 ⑤ 080 ① 081 ① 082 ③ 083 26 084 -2, 4 085 ⑤ 086 ③ 087 (-3+'¶21) cm 088 5-'2 089 ③ 090 ④ 091 ④ 092 m>3 093 ② 094 3xÛ`+18x+27=0 095 ③ 096 ④ 097 ② 098 13명 099 ④ 100 ① 101 ① 102 ④ 103 ⑴ 1초 ⑵ 2초 104 ③ 105 28 cmÛ` 106 ②
3. 이차함수와 그 그래프
001 ④ 002 ③ 003 ③, ④ 004 ② 005 ⑤ 006 ⑤ 007 ① 008 42 009 ⑴ ㄱ, ㄹ ⑵ ㄱ ⑶ ㄴ과 ㄹ 010 ㄱ － ⓑ, ㄴ － ⓓ, ㄷ － ⓒ, ㄹ － ⓔ, ㅁ － ⓐ 011 ⑤ 012 ③ 013 ③ 014 ② 015 ③ 016 ② 017 y=;9$;xÛ` 018 ⑤ 019 ⑤ 020 ② 021 y=xÛ`
022 ④ 023 ⑴ y=xÛ`+5, (0, 5) ⑵ y=-2xÛ`-9, (0, -9)
⑶ y=;2!;xÛ`-7, (0, -7) ⑷ y=-;4!;xÛ`+5, (0, 5) 024 ④ 025 ② 026 ④ 027 (0, 2) 028 ② 029 5 030 ② 031 ③ 032 ① 033 ① 034 ⑴ y=(x+2)Û`, (-2, 0) ⑵ y=-2(x-7)Û`, (7, 0)
⑶ y=;5@;{x+;2!;}2, {-;2!;, 0} 035 ② 036 ③ 037 ② 038 ⑤ 039 -3 040 ③ 041 ② 042 ① 043 ④ 044 :Á2°:
045 ⑴ y=;2&;(x+1)Û`+1, (-1, 1) ⑵ y=3(x-3)Û`+4, (3, 4)
⑶ y=-(x+5)Û`-2, (-5, -2) 046 ⑴ (-5, -1), x=-5
⑵ {;4#;, -3}, x=;4#; 047 ④ 048 ④ 049 -3 050 ① 051 ③ 052 ③ 053 x<3 054 ② 055 ③ 056 ① 057 ④ 058 ⑤ 059 ⑴ a>0 ⑵ p<0 ⑶ q<0 060 ① 061 ⑤ 062 ⑤ 063 ⑤ 064 제3, 4사분면 065 a>0, p>0, q<0 066 ④
067 ⑴ y=xÛ`+5x+6 ⑵ 20 cmÛ` 068 -2 069 4 070 6 071 (0, 8) 072 6 073 y=-2(x+3)Û`, (-3, 0), x=-3 074 25 075 y=7(x-1)Û`-2 076 -36 077 -3 078 (4, 3) 079 ③ 080 ;4!; 081 ⑤ 082 ④ 083 ④ 084 -2<a<0 085 ① 086 ④ 087 제3사분면 088 ③ 089 ①, ④ 090 ⑤ 091 -7 092 ④ 093 -12 094 ②, ④ 095 20 096 ②
097 y=-;2!;xÛ`+;3@; 098 ⑴ 4 ⑵ (0, -4) 099 ② 100 ④ 101 ④ 102 ② 103 12 104 ② 105 2 106 a>0, p<0, q<0 107 ⑤
4. 이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프
001 ⑴ y=(x+2)Û`-1 ⑵ y=2{x-;2#;}2+;2!; ⑶ y=-(x-1)Û`+8
⑷ y=-2{x-;4#;}2+;8!; 002 ⑴ (3, -7), x=3
⑵ {-;2#;, :ª4»:}, x=-;2#; ⑶ {-;2#;, -:¢4¦:}, x=-;2#; 003 ④ 004 1 005 ② 006 ⑤ 007 ⑤ 008 ⑤ 009 ① 010 ② 011 18 012 ⑴ m=-2, n=-10 ⑵ m=;2#;, n=-;4%; 013 ④ 014 10 015 ③ 016 ④ 017 ⑴ (-1, 0), (-2, 0) ⑵ (-2, 0), (4, 0)
⑶ (3, 0) 018 ④ 019 ② 020 ⑤ 021 ④ 022 제4사분면 023 ④ 024 17 025 ⑤ 026 ⑤ 027 6 028 ⑴ y=(x-2)Û`+5
⑵ y=-(x+1)Û`+3 ⑶ y=3(x+3)Û`-4 029 ① 030 ③ 031 ③ 032 -;2#; 033 ① 034 ① 035 ① 036 ④ 037 -7 038 ③ 039 9 040 ③ 041 ③ 042 ⑤ 043 ③ 044 :ª8¦: 045 ③ 046 ① 047 ② 048 95 049 ② 050 제1사분면 051 ④ 052 ① 053 ③
054 x=-2, (-2, 1) 055 8 056 3 057 -4 058 10 059 ;1!2!;
060 1 061 16 062 y=5xÛ`-10x+4 063 y=2(x+1)Û`+7