2019학년도 수시모집
재외국민 필기고사 – 수학(자연)
1. 일반정보
유형 □ 논술고사 □ 면접 및 구술고사 ☑ 선택형 및 단답형 문항
전형명 재외국민특별전형
해당 대학의 계열(과목) / 문항번호 자연계열(수학) / 문제 21-30
출제 범위 수학과 교육과정
과목명 수학Ⅱ, 확률과 통계, 미적분Ⅰ
예상 소요 시간 30분 / 전체 60분
2. 문항 및 제시문
수 학 (21-30)
21. 자연수 전체의 집합
의 세 부분집합
에 대하여 집합
∩
∪
의 원소의 개수를 구하시오.
는 이상 이하의 자연수
는 의 배수
는 의 배수 ① ② ③ ④
22. 다음의 함수 중 일대일 대응인 함수의 개수를 구하시오. 단,
는 각각 자연수 전체의 집합, 양의 유리수 전체의 집합, 실수 전체의 집합이다.
→
→
→
① ② ③ ④
23. 수열
이 이고, 모든 자연수 에 대하여
을 만족한다. 일 때,
가 최대가 되는 의 값을 구하시오.
① ② ③ ④
24. 일 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 실수이다.)
① ② ③ ④
25. 실수 전체에서 연속인 함수 가 에서
이다. 이 함수 가 에서 미분가능할 때, 미분계수 ′ 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.)
① ② ③ ④
26. 방정식 을 만족하는 실수 가 하나뿐인 자연수 의 값 중 최솟값을 구하시오.
① ② ③ ④
27. 에서 미분가능한 함수 에 대해 다음이 성립한다.
이 때, ′ 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.)
① ② ③ ④
28. 두 다항함수 와 가 다음 조건을 만족한다.
lim
→ ∞
일 때, 의 값의 범위는 ≤ ≤ 이다. 이 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이 다.)
①
②
③
④
29. 네 자리 자연수 중 2477과 같이 (천의 자릿수) ≤ (백의 자릿수) ≤ (십의 자릿수) ≤ (일의 자릿수)인 수의 개 수를 구하시오.
① ② ③ ④
30. 상자 A에는 검은 공, 흰 공, 파란 공이 각각 3개, 2개, 5개 있고, 상자 B에는 검은 공, 노란 공, 파란 공이 각각 4개, 8개, 3개 있다. 두 상자 중 하나를 임의로 선택하여 하나의 공을 임의로 꺼내었을 때 파란 공이 나왔다면 이 공 이 상자 A에서 나왔을 확률을 구하시오.
①
②
③
④
3. 출제 의도
본 필기고사의 출제 의도는 고등학교 교육과정의 교과 중 <수학 II>, <미적분 I>, <확률과 통계>에서 학습하는 다양한 개념과 원리를 이해하고 이를 응용하는 능력을 평가하고자 함이다. 특히, 기본 원리들을 이용하여 수학적 문제 상황을 논리적으로 해결하는 응용력을 갖추었는지를 평가한다. 교육부에서 제시한 교육과정의 성취기준에 초점을 두고, 각종 교과서에서 다루고 있는 문제의 유형에 맞추어 다양한 수준의 문제들을 출제하였다.
(가) 모든 양수 에 대하여
≤ ≤ 이다.
(나)
lim
→ ∞
,
lim
→ ∞
4. 출제 근거
가) 교육과정 및 관련 성취 기준 적용
교육과정
교육과학기술부 고시 제2011-361호 [별책 8] “수학과 교육과정”의 <일반과목>
- 과목명: 수학Ⅱ, 확률과 통계, 미적분Ⅰ 문항
번호 과목 유형 세부유형 성취기준/성취수준
21 수학 II 집합과 명제 집합 수학2113. 집합의 연산을 할 수 있다./주어진 집합에 대하여 교 집합, 합집합, 여집합과 차집합의 연산을 할 수 있다.
22 수학 II 함수 함수
수학2213. 역함수의 뜻을 알고 주어진 함수의 역함수를 구할 수 있다./역함수의 존재 조건을 설명하고 주어진 함수의 역함수를 구할 수 있다.
23 수학 II 수열
등차수열 과 등비수열
수학2312-2. 등차수열의 첫째항부터 제항까지의 합을 구할 수 있다./등차수열의 첫째항부터 제항까지의 합을 구하고, 일반항 과 합의 관계를 설명할 수 있다.
24 수학 II 지수와 로그 로그 수학2421-2. 로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 할 수 있다./
로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 할 수 있다.
25
미적분 I 함수의 극한과 연속
함수의 연속
미적1221. 함수의 연속의 뜻을 안다./주어진 구간에서 함수의 연 속성을 판별할 수 있다.
미적분 I 다항함수의
미분법 도함수 미적1322. 다항함수의 도함수를 구할 수 있다./함수의 실수배, 합, 차의 미분법을 이용하여 다항함수의 도함수를 구할 수 있다.
26 미적분 I 도함수 도함수의
활용
미적1335. 방정식과 부등식에 활용할 수 있다./도함수를 활용하 여 방정식의 실근의 개수를 구할 수 있다.
27 미적분 I 다항함수의
적분법 정적분
미적1322. 다항함수의 도함수를 구할 수 있다./함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법을 이용하여 다항함수의 도함수를 구할 수 있 다.
미적1423. 부정적분과 정적분의 관계를 이해하고, 이를 이용하 여 정적분을 구할 수 있다./부정적분과 정적분의 관계를 이용하 여 다항함수의 정적분을 구할 수 있다.
28 미적분 I 함수의 극한 함수의 극한
미적1212. 함수의 극한에 대한 성질을 이해하고, 여러 가지 함수 의 극한값을 구할 수 있다./함수의 극한에 대한 성질을 이용하여 여러 가지 함수의 극한값을 구할 수 있다.
29 확률과
통계 순열과 조합 순열과
조합
확통1124. 중복조합을 이해하고, 그 조합의 수를 구할 수 있다./
중복조합의 뜻을 이해하고, 그 조합의 수를 구할 수 있다.
30 확률과
통계 확률 조건부확
률
확통1221. 조건부확률의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다./조건부 확률을 구하고, 그 과정을 설명할 수 있다.
나) 자료 출처
문항번호 도서명 저자 발행처 발행 연도 쪽수 관련 자료 재구성
여부
21 수학 II 우정호 외 동아출판 2014 31-33 본문내용 및 문제 O
수학 II 정상권 외 금성출판사 2014 23-33 본문내용 및 문제 O
22 수학 II 우정호 외 동아출판 2014 80-82 본문내용 및 문제 O
수학 II 정상권 외 금성출판사 2014 75-77 본문내용 및 문제 O 23
수학 II 신향균 외 지학사 2014 142-167 본문내용 및 문제 O EBS수능특강
수학II & 미적분I EBS 2018 68-77 본문내용 및 문제 O 24
수학 II 이강섭 외 미래엔 2014 168-184 본문내용 및 문제 O EBS수능특강
수학II & 미적분I EBS 2018 88-97 본문내용 및 문제 O
25
미적분 I 우정호 외 동아출판 2014 82-85,
120-122 본문내용 및 문제 O 미적분 I 정상권 외 금성출판사 2014 67-68,
105-107 본문내용 및 문제 O 26 미적분 I 우정호 외 동아출판 2014 156-157 본문내용 및 문제 O 미적분 I 정상권 외 금성출판사 2014 133-137 본문내용 및 문제 O
27
미적분 I 우정호 외 동아출판 2014 123-124,
200-204 본문내용 및 문제 O 미적분 I 정상권 외 금성출판사 2014 106-107,
173-174 본문내용 및 문제 O 28
미적분 I 김창동 외 교학사 2014 52-82 본문내용 및 문제 O
EBS수능특강
수학II & 미적분I EBS 2018 122-133 본문내용 및 문제 O 29 확률과 통계 우정호 외 동아출판 2014 58-61 본문내용 및 문제 O 확률과 통계 정상권 외 금성출판사 2014 41-44 본문내용 및 문제 O
30
확률과 통계 우정호 외 동아출판 2014
107-108.
120-123, 137
본문내용 및 문제 O
확률과 통계 정상권 외 금성출판사 2014 85-86,
95-97, 109 본문내용 및 문제 O
5. 문항 해설 문항
번호 문항 해설
21
드 모르간의 법칙과 차집합의 정의에 의해
∩
∪
∩
∩
∩
이다.
∩
는 2와 3의 공배수, 즉 6의 배수들의 집합이며
의 원소 중 6의 배수는 10개 있으므로
∩
의 원소의 개수는 이다.22
주어진 함수 중 와 의 경우, 치역과 공역이 일치하지 않는다.
함수 의 치역은 짝수의 집합이며, 함수 의 경우 가령 공역의 원소 는 치역에 속하지 않는다.
(
는 무리수이다.)23
에서 이므로, 수열
는 인 등차수열이다.이 등차수열의 공차를 라고 할 때, 이므로, 이다.
따라서
일 때,
이 최댓값을 가지며, 이때, 가장 가까운 자연수는 4이므로, 정답은 ⓵번이다.
24
에서 log log, log log
를 인수분해하면, 이고 위에서 구한
를 대입하면,
log × log 이다. 따라서 정답은 ③번이다.
25
함수 가 연속이므로 극한값
lim
→
lim
→
이 존재한다.
이로부터
lim
→
, 즉, 을 얻는다.
따라서
이고, ′ 이다.
26
함수 의 그래프와 직선 의 교점이 하나뿐인 자연수 의 범위를 구한다. 위 함수는
에서 극댓값
를 가지므로 삼차함수의 그래프의 개형으로부터 구하는 범 위는
이다.
, 즉,
이므로
인 최소의 자연수는 이다.27
주어진 식
에 을 대입하면
, 즉,
를 얻는다. 위 식을 미분하면 미적분학의
기본정리에 의해
를 얻고, 다시 한번 미분하면 함수의 곱의
미분공식에 의해 ′ 를 얻는다.
28
≤ ≤ 에서
→ ∞
lim
≤
lim
→ ∞
≤
lim
→ ∞
가 되고,
가 되어, 이다. 즉,
≤ ≤ 이고,
≤
≤
이며,
≤ ≤
가 되
어,
,
이므로,
가 되어 정답은 ①번이다.
29
구하는 개수는 … 중 중복을 허용하여 4개를 선택하는 경우의 수와 같다. (네 자리 자 연수의 천의 자리는 일 수 없고 주어진 조건에 의해 나머지 자릿수도 0일 수 없다. 위와 같이 중복을 허용하여 네 개의 숫자를 선택하여 크기순으로 배열하면 구하는 자연수를 얻는다.) 중복조 합의 식에 의해 구하는 개수는
이다.6. 채점 기준
4지 선다형 문제로 모든 문항 동일 배점함
7. 답안 30
상자 A를 선택하였다는 조건 아래 파란 공을 꺼낼 조건부확률은
파란공상자
이고, 마찬가지로
파란공상자
이다.
구하는 확률은 조건부확률
상자
파란공 이다. 파란 공을 선택할 확률은
파란공
파란공상자
상자
파란공상자
상자
×
×
파란공 ∩ 상자
파란공상자
상자
이므로
상자
파란공
파란공
파란공 ∩ 상자
이다.
문제 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
정답 3 2 1 3 4 4 1 1 3 2
