수학
수학 과학 과학 학습과 학습과 직 직 관
관
관
관
목차
1. 직관적 교수법 및 직관의 의미와 역할 2. 직관과 수학적 추론
3. 직관의 특징 4. 직관의 분류 5. 직관과 경험 5. 직관과 경험
6. 직관적 의미의 실제성 7. 즉각성의 요인
8. 직관적 모델
9. 갈등과 타협
10. 교수학적 방안
6. 직관적 의미의 실제성
음수의 예
음수 : 없는 것보다 작은 실제적인 현상을 확인할 수 없기 때문에 실제로 존재한다는 관념과 부합하지 않는 반직관적인 개념
수학자들은 계산에서는 음수를 자주 사용하였지만 단지 “일시적인 방 편”으로만 사용 하였으며, 음수를 개념적으로 의미 있는 실체로 받아들 편”으로만 사용 하였으며, 음수를 개념적으로 의미 있는 실체로 받아들 이지 않았다.
음수를 의미 있는 수학적 실체로서 수용하기 어려운 이유?
음수의 모든 대수적인 성질을 일관되게 만족하는 직관적이고 친근 하며 훌륭한 모델을 확인하기 어렵다.
본질적인 직관적 장애가 있다. 즉 수의 개념은 실제적인 양과 관련 되지만 없는 것보다 작은 양은 존재하지 않으므로.
• Herman Hankel (19C)
– 음수를 정당화하기 위한 구체적인 모델을 더 이상 찾으려고 하지 않았고 그에게 음수는 주어진 실제의 기호가 아니라 형식적인 구 성물이었다.
– 양의 실수에서의 곱셈을 ‘형식불역의 원리’를 따르도록 확장
6. 직관적 의미의 실 제성
– 양의 실수에서의 곱셈을 ‘형식불역의 원리’를 따르도록 확장 할 것을 제안
• Freudenthal (1983)
– 음수는 처음부터 형식적으로 취급되어야 한다고 주장.
– 수직선 모델조차도 포기하고 ‘귀납적 외삽법’을 사용하도록 제안
7. 즉각성의 요인
시각화 시각화
시각적 표상 자체가 직관적인 지식이 되지는 않으나
직관적 인지의 중요한 특성은 즉각성이고 시각화는 즉각성을 생산하는 주요 인자이므로 흔히 직관적 지식은 그 시각적 표상과 동일시된다.
(시각화 → 즉각성 → 직관적 인지)
시각적 표상은 정보의 객관적 표상에 도움을 주며 전체성 인식의 중요 한 요인이 된다.
풍부하고 구체적이며 세부적인 내용을 갖는 시각적인 표상은 개념이나 형식적인 기술보다 내적 동일시를 통한 인지에 더 효과적이다.
이용가능성 이용가능성
• 문자 r이 첫째 자리에서 잘 나타날까? 셋째 자리에서 더 잘 나타날까?
• 첫째 자리에서 잘 나타난다고 응답 but 실제는 셋째 자리에서 잘 나 타남
7. 즉각성의 요인
타남
• 첫째 자리에서 나타나는 단어의 사례를 찾는 것이 더 쉽기 때문에
• 이용가능성에 의한 왜곡
• 사람들은 이러한 추정을 당연하게 생각함
정박하기 정박하기
• 값을 추정하기
– 8*7*6*5*4*3*2*1 – 1*2*3*4*5*6*7*8
7. 즉각성의 요인
– 1*2*3*4*5*6*7*8
• 수가 감소하는 경우에 높은 값을 추정
• 앞의 수 몇 개가 추정에 영향을 미친다- 정보의 중요한 부분을 무시 한다는 것이 문제
대표성 대표성
• 직관적인 전체적 추정이 자료의 특정한 요소의 두드러진 측면에 의 해서 치우쳐지는데, 즉각적인 판단을 위해 관련된 정보의 중요한 부 분을 소홀히 하는 경향
7. 즉각성의 요인
분을 소홀히 하는 경향
• 대체로 사건 A가 사건 B보다 겉보기에 더 대표성이 있어 보일 때보 다 더 일어날 가능성이 많은 것으로 잘못 판단하는 경향이 있다.
• 예를 들면, 동전 던지기에서 HTHTT와 HHHHH의 경우와 매일 각각 45 명과 15명의 아이가 태어나는 두 병원에 대해서 60% 이상이 남아가 출생할 날의 빈도수 등.
8. 직관적인 모델
직관적인
직관적인 모델 모델
•동형 대응을 근거로, 체계 A에 의한 기술이나 해가 일관되게 체계B로 반영되거나 그 역이 성립할 때 체계 B는 체계A의 모델이라고 하며 이는 직관형성을 위한 기본적인 도구가 된다.
•어떤 관념이나 개념에 대한 접근이 어려울 때, 보다 더 직관적으로 접 근 가능한 동형의 대체물을 이용하는 경향이 있는 데 그러한 대체물을 직관적 모델이라 한다.
•직관적인 모델의 본질적인 역할은 지적으로 접근 불가능한 것을 지적 으로 접근 가능하고 조작할 수 있게 하고 원래의 자료(성질, 과정, 관계) 를 직관적으로 수용 가능한 요소로 번역하는 것이다.
• 실제적으로 유용한 모델이 되기 위해서는,
– 모델과 원형이 자연스럽고 일관성 있는 대응관계가 존재하여야 하며,
– 모델에서 얻어진 해와 원형의 대응하는 항목에서 얻어진 해는 대 등해야 하며,
8. 직관적인 모델
등해야 하며,
– 모델은 원형에 대해서 상대적으로 자율성이 있어야 한다.
– 자율적인 실체이어야 하고 원래의 상황과 해결자의 지적 활동 사 이의 신용할 수 있는 중개자 이어야 한다.
( 자율성 : 잘 구조화되고 내적으로 모순이 없고 그 자체의 법칙과 일관성으로 인해 매 단계를 조종하는 데 있어 원형에 의뢰할 필 요가 없는 것)
전형적인
전형적인 예 예
• 적절한 직관적인 판단은 대표성을 갖는 전형적인 예에 의해서 생성 되며, 이는 개념을 정의하고 이해하고 학습하는 데, 그리고 모든 지적 인 활동에 기본적인 역할을 한다.
• 전형적인 예가 개념구조에 미치는 중요한 영향은 위계의 붕괴라고
8. 직관적인 모델
• 전형적인 예가 개념구조에 미치는 중요한 영향은 위계의 붕괴라고 부를 수 있는 현상이다.
– x+iy가 복소수의 일반형이고 2와 3은 복소수라는 데 동의하기 싫어한다.
– 많은 경우 평행사변형, 직사각형, 정사각형의 관념은 위계적으로 조직되 지 않으며, 이는 이들 사각형 관념에 통상적으로 부여된 이미지가 특별 한 경우의 예로서 인식되어야 함에도 불구하고 일반적인 모델로서 작용 하였기 때문이다.
– 원의 접선이라는 특정한 예는 많은 학생들에게, 접선이란 곡선과 한 점 에서만 만나는 직선이라는 암묵적인 직관적 이론을 형성한다. (접선이란 단지 어떤 점에서의 곡선의 기울기를 나타내는 성질만을 포함한다.)
• 전형적인 예의 영향에 의해 발생될 수 있는 어려움을 극복할 수 있기 위해
– 아동은 정의가 의미하는 것을 충분히 일찍 배워야 한다. 개념이 라는 관점에서 예를 분석하고 개념에 대응되는 바른 예와 예가
8. 직관적인 모델
라는 관점에서 예를 분석하고 개념에 대응되는 바른 예와 예가 아닌 것을 찾을 수 있게 됨으로써 본보기와 관련된 개념을 바르 게 파악하는 단계에 이를 수 있다.
– 특수화를 고려해야 한다. 전형적인 예에 의해서 개념에 부과된 개인적인 표상을, 정의에 의해서 언급된 성질과 대비시킴으로써 그 타당성을 점검하는 것을 배워야 한다. (평행사변형의 예)
현상이나 현상 사이의 관계에 대한 그림 표현 (예 : Venn 다이어그램, 수형도, 히스토그램 등..)
8. 직관적인 모델 – 도해 모델
• 도해 모델의 특징
– 원형을 모델화하기 위하여 의도적으로 창안된 인공적인 구성 물
– 추상적인 관계를 직관적인 표현으로 번역하는 데 기본적인 중요성이 있다.
– 어떤 구조나 과정에 대한 개관적인 전체적 표상을 제공하며 즉각적인 이해에 기여한다.
– 상징적인 표현과 영상적인 표현이라는, 겉보기에 대립되는 두 가 지 형태의 표현의 종합이다.
– 도해는 원형과의 동형대응 때문에 그리고 원형에 대한 자율성 때 문에 발견적 모델로서, 즉 문제해결을 위한 장치로 작용 가능하 문에 발견적 모델로서, 즉 문제해결을 위한 장치로 작용 가능하 다.
– 도해는 어떤 실제에 대한 직접적인 이미지가 아니며 개재되는 규 약적 구조에 대한 분명한 이해가 있어야만 의미가 있다. (예; 그래 프 모델은 엄격하게 정의된 규약에 의해서 원형의 성질을 도형 표현으로 번역한 구성물이므로 규약체계가 내면화 된 후에야 유 용한 직관적 장치가 될 수 있다.)
• 도해 모델의 교수학적 역할
– 자료를 종합하고 추상적인 관계를 표현하며, 여러 가지 형태의 문제를 해결하는 시각적 수단을 학생들에게 제공
– 도해 모델을 통해 학습함으로써 시각적이며 개념적으로 조종된 – 도해 모델을 통해 학습함으로써 시각적이며 개념적으로 조종된
표현이 가진 거대한 발견적 능력을 이용하는 능력 개발
– 도해를 구성하고 해석하는 것을 배움으로써 학생들은 자신의 정 신적인 과정을 보다 잘 조종하고 개념적 뒷받침이 된 고도의 직 관적인 사고능력을 개발
9. 갈등과 타협
•직관은 개인의 경험에 깊이 뿌리를 내리고 있으며 그 나름의 자기 설명 능력을 갖고 있어 외적인 정당화와 타당화를 요하는 체계로 대 체될 수 없다.
•직관 형성에의 가장 중요한 요인은 경험적인 암묵적 모델이며, 그
•직관 형성에의 가장 중요한 요인은 경험적인 암묵적 모델이며, 그 결과 형성된 직관에 의해 야기되는 인지적 장애는 수학의 발달과 학 습에 지대한 영향을 미쳐왔다.(예: 음수, 극한, 순환소수, ...)
•직관 형성에 있어 주요한 메커니즘의 하나는, 모순된 자료를 대할 때 정신은 자동적으로 타협적인 장치(모델)를 생산하는 것이다. 역동 적 무한의 개념은 우리의 정신적 양식의 유한성과 수학자들의 실무 한 사이의 타협을 나타낸 것이다.
• 하나의 대상을 전체적으로 다룰 수 있는 친근한 이미지를 얻기 위하 여 지각된 도형에 틈이 있으면 직관적으로 틈을 메우고 도형을 닫아 불확실성을 줄이려는 자동적인 경향 또한 직관의 고착화의 한 요인 이다. 초기 직관의 고착성은 주어진 주제에 관한 어떤 지식을 가지려 는 욕구 때문에 이미 도달된 균형을 유지하기 위하여 다른 대안에 직 면하는 상황을 피하려고 하는데 기인한다.
9. 갈등과 타협
면하는 상황을 피하려고 하는데 기인한다.
• 초기 표상의 고착은 그것이 첫 번째라는 사실에 의해서가 아니라, 그 것이 직관적인 인식의 기본적인 요구에 맞기 때문이기도 하다.
(곱셈의 원시적인 암묵적인 모델은 동수누가)
• 초기직관이나 모델은 개념의 일반적이고 추상적인 해석으로의 이행 을 방해하는 면이 있지만, 이러한 초기의 직관적인 수단을 수학 지도 에서 피해야 하는 것이 아니라 교사가 가능한 일찍 그의 지도가 근거 하고 있는 모델을 정련하고 점차적으로 그리고 체계적으로 일반화하 기를 시작하여야 한다는 것이다.
9. 갈등과 타협
10. 교수학적 방안
•직관은 중요한 생산적인 아이디어의 원천이지만 수학적 사고를 왜곡하 거나 방해할 수도
•직관의 교육적인 문제는 직관적인 표상이나 해석을 제거하는 것이 아 니라 학생의 직관적 개념을 계속 조종하고 형식적인 수학적 요구와 일 니라 학생의 직관적 개념을 계속 조종하고 형식적인 수학적 요구와 일 치하는 새로운 직관을 구성하는 능력을 개발하는 것
•수학적 실체의 존재와 그 전체 성질은 형식적으로 부과된 것에 따르므 로 수학적 개념의 정확한 형식적인 의미와 함의, 그리고 다른 한편으로 는 그 바탕에 있는 생각을 직관하도록 학습해야
• 메타 인지적 방법을 통해
– 학생은 사용된 수학적 개념의 형식적인 정의를 분명히
‘보고’ 그 오개념의 직관적인 근원을 이해하도록 학습 해야 함
– 학생은 자신의 일차적인 직관을 분석하고 형식화 하는 것 을 배워야 함
10. 교수학적 방안
• 학생들이 개념과 연산의 형식적 해석과 직관적인 해석 사이의 가능한 갈등을 의식하도록 도와줄 수 있는 교수학적인 상황을 창안하는 것.
(예 : 길이가 다른 두 선분의 점의 집합을 비교, 곱셈의 동수누가)
• 새로운 수학적인 개념을 처음 도입할 때 직관적인 수단을 피 하는 것은 불가능하지만 가능한 한 일찍 아동이 지도되는 개 념의 형식적인 의미와 형식적인 구조를 이해할 준비를 시키도 록 해야
• 수학교육의 기본적인 과제의 하나는 직관적인 느낌, 직관적인 신념 과 형식적으로 뒷받침된 확신을 구분하는 능력을 학생들이 개발하게 하는 것
• 학생의 풀이 능력 개발은 바른 직관적인 해석 능력의 개발과 그의 직 관을 개념적으로 조종하는 능력에 의해서 이루어진다.
10. 교수학적 방안
• 직관적인 해석과 풀이는 모든 생산적인 추론 활동의 “필수요소”이 고 교육적인 문제는 수학의 형식적인 구조를 개발함과 동시에 가능 한 한 직관적인 해석을 개발하는 것. But, 수학에서 모든 것에 대한 직관적 해석이 가능한 것은 아님을 학생들에게 분명히 이해시켜야 함.
• 새로운 바른 직관(이차적인 수학적 직관)은 원시적이고 부정확한 일 차적 직관을 단지 대체하는 것은 아니며 일차직관은 이차직관과 공 존할 수도 있으며 흔히 모순을 생성하기도 한다.
• 수학교육에서 두 가지 반대되는 교수학적 전략(둘 다 잘못임)
– 아동의 직관적인 표상의 필요성에 응하기 위해 직관적인 색 이미
10. 교수학적 방안
– 아동의 직관적인 표상의 필요성에 응하기 위해 직관적인 색 이미 지와 도해로 가득 찬 교과서 사용.
– 한편 공리적, 형식적으로만 제시된 교과서 사용
• 수학 교육의 교수학적 전략
– 개념의 본질과 그 역사발생과 개체발생에 대한 심오한 지식을 바탕으로 구성되어야 함(특히 심리학적, 교수학적 연구 없이 학교수학에 새로운 개념을 도입하는 것은 안 된다.)
10. 교수학적 방안
학교수학에 새로운 개념을 도입하는 것은 안 된다.)
– 관련된 개념에 대한 심리적 측면을 먼저 이해해야만, 교육문 제를 성공적으로 극복할 수 있다.
– 수학적 개념의 직관적인 측면과 그 형식적인 구조 사이의 복 잡한 관계에 여러 가지 교수학적인 수단이 미치는 영향을 평 가해야 한다.
