수학사, 수학자, 수학서적들 수학의 역사

수학사, 수학자, 수학서적들

수학의 역사

• 수학사에 나타난 유명한 서적들을 중심으

로 수학사를 개관하고 유명한 수학자들과

그들의 업적들을 간략하게 소개한다.

탈레스의 업적

실용기하 => 이론기하, 논증기하로의 첫발

개개의 구체적인 도형을 벗어 나서 추상적, 일반적인 도형에 대한 성질을 연구

탈레스는 피라밋의 높이를 측정하기도 하

고 해안에서 배까지의 거리를 측정하기도 하

였다.

탈레스의 업적

“맞꼭지각은 같다”,

“이등변 삼각형의 양 밑각은 같다”,

“두 각과 그 사이의 변이 각각 같은 두 삼각형 은 합동이다 ”,

“닮은 삼각형의 대응하는 변의 길이의 비는 같

다.” ...

피타고라스

(Pythagoras; B.C.

582? ~ 497?)

- 피타고라스학파를 만들고 수학과 종교 에 대한 연구

‘만물은 수 이다’

- 기하와 수론과

의 연관을 연구

피타고라스 학파의 업적

피타고라스의 정리 - 직각 삼각형의 변의 길이를 나타내 는 정수(피타고라스의 수)를 찾아 냄 𝑥

+ 𝑦

= 𝑧

- 수론에서의 단위 1 과

기하에서의 점을 대응시키는 방법을 제시 -> 수직선 - 정사각형의 대각선에 대한 연구로 부터

무리수 𝑎 발견

- 5개의 정다면체의 발견

- 정4면체, 정6면체, 정8면체, 정12면체, 정20면체

그리이스의 수학

소피스트(Sophsist)들을 중심으로 3대 작도문제 가 연구되다.

1. (눈금없는 자와 컴퍼스를 가지고) 임의의 각을 3 등분하는 것,

2. 주어진 정육면체의 두 배의 체적을 갖는 정 6면 체를 만드는 것,

3. 원과 면적이 같은 정사각형을 만드는 것.

철학자 플라톤(Platon; B.C.

427?~347)이나

논리학자 아리스토텔레스 (Aristoteles; B.C.384~322) 에 의하여

추론의 형식, 정의, 공리에 대한 연구가 추진되고

그 연역적 전개 방법이 확

립되어 갔다.

유클리드

B. C. 300년 경

알렉산드리아(Alexandria) 에서 활약한 대 수학자

톨레미(Ptolemy)왕이 유클리드 에게 유클리

드 원론 보다 더 가까운 방법으로 기하학을 할 수 없겠느냐고 물었을 때, 유클리드는 ‘기하학 에는 왕도가 없읍니다.”

라고 대답하였다.

유크리드의 업적

• 프로클러스(Proclus; A.D. 410~485)의 저서에 다음의 기록이 남아 있다

• “유클리드는 유독소스(Eudoxus)의 많은 정리

를 편집하였고 테아테토스(Theaetetus)의 많

은 정리를 완전하게 만들었다. 또 그 이전 사

람들이 엄밀하게 증명할 수 없었던 것에 반대

의 여지가 없는 완전한 증명을 주었다.

수학자의 필독서 - 원론

원론의 규모의 크기, 연역적 체계의 엄밀성 등은 그 이후의 수 학에 큰 영향을 주었다. 즉 수학이라는 학문의 방법론(정의, 공리 에서 올바른 추론을 되풀이해서 정리를 증명해 나가는 방법론)은 이 원론에 의하여 확정 되었다고 해도 과언이 아니다.

그것은 직관적 진리, 경험적 진리, 수학적 진리 사이의 차이를

결정적으로 확정해 나아갔다. 곧 직관적으로 옳은 것으로 판정되

었다 하더라도 그 증명이 이루어지지 않는다면 아직 수학적 진리

라고 말할 수 없다는 수학의 성격이 여기에서 확정 되었다고 볼

수 있다. 원론은 말하자면 과학으로서의 수학으로 알려진 처음의

서적이라 할 수 있다.

유크리드 원론의 내용

• 제 1 권에는 처음에 23 개의 정의(defination)가 나와 있고 이어서 5 개의 공준(postulate)과 5 개의 공통 개념

(common notion)이 실려 있다. 공준은 기하학적인 내용을 가진 것이고 공통개념은 일반적으로 통용하는 내용을 가진 것이다. 이들은 모두 명제를 증명할 때 근거가 되는 것으로 오늘날 말하는 공리(Axiom)에 해당한다.

• 유클리드는 이와 같은 정의, 공준, 공통 개념에만 근거를 두

고 기하학의 모든 명제를 연역적 추론에 의하여 유도해 나아

갔다. 제 1 권에서는 48개의 명제가 증명되어 있고 13권을

모두 합치면 그 명제의 수는 무려 465개에 달한다.

유크리드 원론은 모두 13 권으로 되어 있다.

제 1 권은 직선, 평행선, 평면도형,

제 2 권은 직 4 각형, 정 4 각형의 면적, 제 3 권은 원,

제 4 권은 원에 내접, 외접하는 다각형, 제 5 권은 비교론,

제 6 권은 상사도형,

제 7, 8, 9 권은 정수론, 제 10 권은 무리수론,

제 11, 12, 13 권은 입체 기하를 취급하고 있다.

뉴톤(Newton;

1642 ~ 1727) 의 프린키피아

(Philosophiae Naturalis

Principia

Mathematica)

미분 적분학이론의 정립

미분적분학의 응용

자연현상 => 함수로 표현 복소함수 실함수 유리함수 정함수 무리함수

초월함수

(삼각함수 역삼각함수

쌍곡선함수 역쌍곡선함수

대수함수 로그함수…)

미분적분학의 응용

미분 - 최대, 최소- 그래프 – 모양( Shape) 근사값

수열과 급수를 이용한 테일러, 매클로린의 정리

적분 – 길이, 면적, 체적 – 양(volume)

평행선의 문제

중세에서 근세에 이르는 동안 수학사의 흐 름에서 가장 긴 기간 동안 수학자를 괴롭힌 것은 ‘평행선의 문제’라고 볼 수 있다.

유클리드 원론의 ‘제 5 공준’ 을 살펴보자.

평행선 문제란 ?

• 제 5 공준을 나머지 공준을 사용하여 증명 하려고 하는 문제이다.

• 오랫동안 제 5 공준의 증명에 성공했다는

수학자가 많았으나 증명을 자세히 검토해

보면 거의가 제 5 공준과 동치인 명제를

암암리에 사용하는 잘못을 저지르고 있었

다.

삭케리(Saccheri; 1667 ~ 1733)는

이탈리아신부로 ‘제 5 공준’의 증명에 열심 히 몰두한 사람이다. 그는 귀류법 을 써서 이 것을 증명하려고 했다. 곧 제 5 공준 을 부정 하고 거기에서 모순을 유도하려고 하였다.

결과적으로는 이러한 시도가 실패로 그쳤

으나 그 과정에서 그는 비 유클리드기하학 의

기초적인 부분을 이루는 일련의 명제를 얻는

데 성공한 셈이다.

러시아의 로바체프스키 (Lobachevskii; 1793 ~ 1856)도 귀류법 으로 제 5 공준 을 증명하려고 시 도한 사람이다.

그도 삭케리 처럼 성공하지는 못하였으나 공준 1 ~ 4 에 공준 5의 부정

“ 직선 밖의 한 점을 지나고 이 직선에 평행한 직선은 2 개 이상 존재한다 ”

를 첨가한 공리계 에서 다음과 같은 기묘한 명제

가 증명되었다.

삭케리의 방법이나 로바체프스키 의 방법에 수학적 모순이 일어나

지 않았다

“... 지금까지의 많은 수학자가 제 5 공준 을 증명하려고

노력한 끝에 제 5 공준 의 부정에서 여러 가지 명제를 유

도해 내었다. 그러나 이와 같은 명제에서는 구하고자 했

던 모순도 끝내 나타나지 못했다. 따라서 일련의 명제 가

운데서 모순이 나타나지 않는다면 여기서 생각을 바꾸어

이것을 유클리드기하학 과는 다른 내용을 가진 새로운 기

하학이라고 생각해도 무방하지 않을까? ... ”

비 유클리드 기하학의 탄생

로바체프스키는 이상과 같은 내용을 1826 년에 발표하였으나 당시의 사람들은 이것을 수용하지 않았다.

그러나 이후의 자신의 계속된 연구와 더불어 볼리야이(Bolyai; 1802 ~ 1900)등의 연구로

평행선의 문제는 부정적인 형태로 완전히 해 결되고 여기에서

비유클리드기하학의 탄생 을 보게 되었다.

리만의 구면기하학

그 후 리이만(Riemann; 1826 ~ 1866)은 직선의 길이가 유한이고 평행선이 하나도 존재하지 않 는다는 내용을 갖는 기하학을 발표하였다.

그 후에 클라인(Kliein; 1849 ~ 1935)은 유클리

드, 로바체프스키, 리이만의 세 종류의 기하학

을 각각 포물선적, 쌍곡적, 타원적 기하학이라

고 명명하였다. 이들 세 종류의 기하학의 몇 가

지 성질을 비교해 보면 다음과 같다.

평행선 공리에 따른 기하학의 분류

“수학은 현상 세계에서의 진리를 추 구하는 과학인가?.”

• 힐버트는 이 문제에 대하여 다음과 같은 결론을 내리게 되었다.

• “수학은 본질적으로 현상세계와는 아

무런 관계도 갖지 않는 학문이고, 수학의

과제는 현상세계에서의 진리를 추구하는

것이 아니고 다만 가정으로 설정한 공리계

에서 연역적으로 명제를 설명해나가는 것

뿐이다“

힐버트의 공리주의

• 힐버트는 수학을 현상세계에 대한 학문과 는 별개의 것으로 규정하도록 주장하였다.

이 같은 수학관을 일반적으로 공리주의라 고 부르고 있다.

• 이 공리주의 수학관은 그 후 서서히 수

학자사이에서 찬동을 얻었고 오늘날에는

대다수 수학자가 이를 지지하기에 이르렀

다.

수학 기초론 힐버트

(Grundlagen der Geometrie; 1899)

이 책은 괴팅겐대학에 서의 그의 강의 내용을 토대로 하여 1899년에 그 초판이 발간되었다.

이 책은 공리주의적 입

장에 선 수학을 유크리

드기하학의 재구성이라

는 형태로 실현시켜 낸

반면 그렇게 함으로써

유클리드원론의 논리적

결함을 완전히 보완시

킨 것으로 그 후의 수

학에 큰 영향을 주고

높은 평가를 받았다.

힐버트의 업적

힐버트는 무정의 용어(공리)로서

‘점’, ‘직선’, ‘위에 있다’, ‘사이에 있다’, ‘합동 이다’를 선택하여

이들에 대한 공리를

결합, 순서, 합동, 평행, 연결

의 5 군으로 나누어 제시해 나갔다.

기하학의 분류 ?

19C 전반에 탄생한 비유크리드기하학에 이어 퐁스레 (Poncelet,J. V.; 1788 ~ 1867), 뫼비우스, 슈타이너, 케일 리 등의 수학자에 의해 선분의 길이, 각의 크기를 다루는 유클리드기하학과는 다른 입장에 선 사영기하학이 탄생 하였다.

그 밖에 다른 이름으로 불리는 기하학도 생겨나게 되

어 이들 여러 가지 기하학을 통일하거나 또 분류할 수 있

는 어떤 좋은 원리가 없을까?하고 생각하게 되었다.

클라인(Klein, F.;

1849 ~ 1925)

‘엘랑겐 프로그램

(Erlangen program; 1872)

엘랑겐대학 교수 취임에서 발표한 그의 논문제목

’새로운 기하학적 연구에 대한 비교 고찰‘

그 내용은 ’한 변환군에 대하여

불변인 성질을 연구하는 것이 기하

학이다. 여러 가지 변환군 을 줌으

로써 대응하는 여러 가지 기하학이

생긴다‘와 같이 생각하는 방법이

다. 이로서 사영변환, 아핀변환, 상

사변환, 합동변환등에 의하여 기하

학이 분류되었다

변환에 의한 기하학의 분류

합동변환 닮음변환 아핀변환 사영변환 위상변환

합동변환

길이와 면적이 보존 된다.

닮음변환

대응변의 길이의 비가 일정하다.

아핀변환

같은 변상의 길이의 비와 점의 순서, 연속성이 보존된다.

사영변환

같은 변상의 점의 순서와 연속성이 보존된다.

위상변환

점의 연속성이 보존된다.

각 변환들의 비교

각 변환들의 관계

여성 수학자들

히파티아(Hypatia)

4세기 후반 알렉산드리아대학의 수학교수였던 테온의 딸로 태어나 뮤지엄에서 문학과 철학, 과학, 예술등의 지식을 습득하 며 성장하였고 여러나라를 여행하며 지식을 쌓아 대학에서 수 학과 철학을 가르쳤다. 소크라테스에 의해 412년 알렉산드리아 주교 키릴로스의 오해를 받아 대학으로 강의하러 가다가 기독 교 광신자들인 폭도들에 의해 무참히 살해되었다고 전해진다.

수학에 관한 몇 권의 책을 저술하였으나 다 없어지고 “디오 판토스의 천문학적 계산에 관하여”라는 책의 일부가 15C 경 바 티칸 도서관에서 발견되었다.

355-415 년 고대 이집트 알렉산드리아에

서 활동한 지적재능과 미모를 갖춘 그리스

계 최초의 여성 수학자. “나는 진리와 결혼

하였다”고 하면서 독신으로 학문에만 정진

하였던 신플라톤주의 학자로 학문의 여신

인 “뮤즈”라는 별명을 갖기도 했다.

아말리 에미 뇌터

(Amalie Emmy Noether 1882.3.-1935.4.)

뉴욕 타임지에 아인슈타인이 현제 살아 있는 최

고의 여성 수학자로 칭송했던 독일 출신의 수학자로

서 그녀는 독일 에르랑겐 대학의 유명한 수학자 막

스 뇌터의 딸로 태어나 추상대수학분야 발전에 크게

기여했다. 그녀와 친했던 힐베르트는 “여기는 대학교

이지 목욕탕이 아니다“라고 하며 그녀를 괴팅겐대학

의 강사로 강력히 추천하였고 그의 이름으로 개설된

강좌를 그녀에게 주고 강의를 홍보하기까지 하였다.

소냐 코발레브스카야

(Sofia Vasilyevna Kovalevskaya 1850.1. ~1892.2.)

스톡홀름 대학에 재직했던 러시아 여류

수학자로 해석학, 미적분에 대해 연구하였

고 과학회로부터 Bordin 상도 받았다. 독

일로 유학을 가기 위해 위장결혼까지 하

였던 그녀는 베를린 대학에서 수학하면서

근대 해석학의 아버지라고 불리는 바이에

르슈트라스의 수제자가 되었고, 괴팅겐 대

학에서 편미분방정식의 연구로 여성으로

선 처음 박사 학위를 받았다. 코발레프스

키는 평생을 독신으로 지낸 바이에르슈트

라스와 사제 관계이자 학문적 동지이면서

정신적 연인으로 알려져 있어 이 두 사람

의 관계는 호사가들의 관심을 끌기도 한

다.

마리아 가에타나 아그네시

(Maria Gaetana Agnesi, 1718,5, ~ 1799.1.)

“마녀의 방정식(Witch of Agnesi)”라는 별명을 가진 1748년 아그네시 곡선을 발표한 이탈리아의 언어학자 이자 수학자이자 철학자였다. 볼료냐대학의 명예교수 였던 그녀를 Dirk Jan Struik 는 히파티아 이래로 가장 뛰어난 여성 수학자“ 라고 불렀다. ”이탈리아 청년들 을 위한 미분적분학“이란 저서로 유명하였다.

아그네시 탄생 296주년 기념 google 기념일 로고

메리 페어팩스 소머빌

(Mary Fairfax Sommerville, 1780.12.~1872.11)

스코틀랜드에서 태어나 이탈리아 나

폴리에서 죽은 그녀는 라플라스의 역

학 을 다 루 는 “ Mechanism od the

Heavens”, “Connection of the

Physical Sciences”, “Physical

Geography”,...등의 책을 저술 하였다.

프랑스의 소피 제르멩

(Marie Sophie Germain 1776∼1831)

히파티아 이후의 주목할 만한 프랑스 여성 수학자로는 당시 프랑스 최고의 학교인 에꼴 폴리테크닉에는 여학생 의 입학이 허용되지 않았기 때문에, 제르멩은 그 학교의 수학자 라그랑주의 강의 노트를 입수해 공부했다.

자신이 여성이라는 것을 드러내면 불리하다고 판단한 제 르멩은 르 블랑(M. LeBlanc)이라는 가명으로 훌륭한 리포 트를 제출하여 라그랑주의 관심을 받게 되었으며, 동시대 의 수학자 가우스와도 가명으로 서신 교류를 했다.

‘19세기의 히파티아’로 불린 제르멩은 가우스의 추천으로

사후 괴팅겐 대학교에서 명예박사 학위를 받았으며, 오늘

날 프랑스의 파리에는 그녀를 기리는 ‘소피 제르멩 거리

(rue Sophie Germain)’가 있다.

마리암 미르자카니( ?)

이란 출신의 수학자 마리암 미르자카니 미국 스탠퍼드대학 교수가 3명의 다른 수학자들과 함 께 2014년 서울 ICM에서 여성으로는 처음으로 필즈상 수상자로 선정되었다.

올 해 37세의 미르자카니 교수는 세계 기하학의 권위자로 이란에서 태어나 하버드대에서 박사 학위를 받았다. 이번 행사에 이슬람권 여성으로는 최초로 ICM의 기조강연까지 맡았다. 그녀는 불가사의한 기하학적 물체들을 표현하는 새로운 방법을 찾아냈다. 곡선들로 이뤄진 모듈라이 공간의 부피를 계산하는 새로운 방법을 발견해 우주의 정확한 모양과 부피를 정의할 수 있는 단초를 제공했다는 평가를 받았고 쌍곡기하학 등 통합이 어렵던 수학의 여러 세부 분야의 통 합 연구를 가능하게 한 점을 인정받아 올해 37살에 수학계 최고 영예를 안았다.

필즈상은 캐나다 출신의 수학자 존 찰스 필즈가 수학 교육 진흥을 위해 1932년 사재를 털어서 만들었는데 젊은 수학자의 연구를 장려하기 위해 마흔 살까지만 상을 준다.

사진은 최근 말기암 판정에도 불구하고

2014 ICM에 참석하여 수상하는 모습

2014 Seoul ICM

2014 Field 상 수상자들

세계수학자대회는 국제수학연맹(IMU)이 주최하는 117년 전통의 기초과 학분야 최대 학술대회로 수학의 노벨상이라 불리는 필즈상(Fields Medal) 시 상과 수상강연, 기조·초청 강연, 논문발표, 패널토론, 대중강연 등이 열린다.

아시아에서는 1990년 일본, 2002년 중국, 2010년 인도에 이어 4번째로 우

리나라에서 개최됐다.

수학의 노벨상이라 불리는 '필즈상'의 영예는 아르투르 아빌라(35, 프랑스), 만줄 바르가바(40, 미국), 마틴 헤어러(38, 영국), 마리암 미르자카니(37, 미국)에 게 돌아갔다.

수학자들을 괴롭혀 온 '페르마의 마지막 정리'를 해결한 영국의 수학자 와일즈 는 이걸 검증받다가 나이 마흔을 넘기는 바람에 이 상을 받지 못했고, 또 다른 난제인 '푸앵카레의 문제'를 해결한 천재 수학자 페렐만은 2006년 필즈상을 거 부하고 잠적해 화제가 되기도 했습니다.

필즈상은 수학분야 최고 권위의 상으로 수상연도 기준 40세 미만의 뛰어난 업적을 낸 수학자에게 4명 이내로 수여된다. 1936년부터 2010년까지 총 52명 에게 필즈상이 수여됐다.

와일즈

이번 대회는 세계수학자대회 역사상 '최초'라는 수식어가 많이 붙는 시상식이 연출돼 전 세계의 관심을 받았다.

특히 아르투르 아빌라는 브라질 태생으로 미주와 유럽 이외의 나 라에서 박사학위를 받은 최초의 필즈상 수상자가 됐다. 현재는 프랑스 국립과학연구소 (CNRS) 소장이다.

아빌라의 주된 연구 분야는 동력학계(dynamical system)로서

동력학계의 다양한 클래스 안에서 무작위로 하나를 선택하면 정

칙적 이거나 랜덤하게 움직인다는 것을 증명했다.

마리암 미르자카니 ^{가 최초의 여성 필}

즈상 수상자로 이름을 올렸다. 1977년에 이 란의 테헤란에서 태어난 마리암 미르자카니 는 2004년에 미국 하버드 대학교에서 박사 학위를 받았고 현재 스탠포드 대학 교수이 다.

마리암 미르자카니는 기하학과 동력학계 분

야에서 리만곡면과 그 모듈라이 공간에 관

한 연구를 통해 수학의 여러 분야들 사이에

다리를 놓아줬다.

마틴 헤어러 는 확률편미분방정

식 연구에 있어서 지금까지 해결

불가능해 보였던 문제들을 도전

할 새로운 이론을 창안하여 큰 돌

파구를 만들었다.

이와 더불어 네반리나 상 은 수브하시 코트

(인도)가 수상했다. 네반리나상 은 정보과학

등의 수학 관련 학문분야에 업적이 있는 40

세 미만의 수학자에게 수여되는 상 이다.

가우스 상과 천 상은 각각 스탠리 오셔(미국)와 필립 그리피스(미 국)가 받았다. 가우스상은 공학·비즈니스·실생활 등 수학 이외의 분야에서 큰 공헌을 한 수학자에게 수여되는 상 이다.

천 상은 나이와 직업에 상관없이 수학 분야에 뛰어난 업적이 있 는 사람에게 수여된다.

수학의 대중화에 크게 공헌한 수학자에게 수여하는 릴라바티 상

은 아드리안 파엔자가 수상의 주인공이 됐으며 유일하게 폐막식

에서 시상식이 열린다.

수학의 난제들 ???

• 임의각의 삼등분 (작도불능 문제)

• 피타고라스와 무리수의 발견

• 유크리드와 평행선의 공리

• 페르마의 마지막 정리

• 푸앵카레의 추측

• 방정식의 해법- 카르다노, 페라리, 아벨

페르마의 마지막 정리

이 정리는 1637년 피에르 드 페르마에 의해 처음으로 추측된 뒤 수많은 수학자들이 노력하였으나 증명에 실패하였다. 페르마가 자신의 추측을 “나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, 책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다. “라고 기록한지 358년이 지난 1995년에 이르러 앤드루 와일스에 의해 증명이 이루어졌다.

이 정리를 증명하기 위한 노력의 결과 19세기의 대수적 수론 의 발전과 20세기 모듈러성 정리 증명이 촉진되었다.

페르마의 마지막 정리에 대한 앤드루 와일스의 증명은 기네스 북에 가장 어려운 수학문제로 등재되었다.

사실 이 문제는 '피타고라스의 정리가 세제곱, 네제곱 등에서도 성립할지'에서 시작하였다.

정수론에서, 페르마의 마지막 정리( Fermat’s last theorem)는 3 이상의 지수의 거듭제곱수는 같은 지수의 두 거듭제곱수의 합으로 나타낼 수 없다는 정리이다.

즉, a, b, c가 양의 정수이고, n이 3 이상의 정수일 때

항상 𝑎

+ 𝑏

≠ 𝑐

이다.

프랑스 과학 아카데미는 1816년과 1850년에 페르마의 마지막 정리 에 대한 일반적 증명에 대해 포상을 내걸었다. 1857년 프랑스 과학 아 카데미는 쿠머의 아이디얼 이론에 대하여 금메달과 함께 3,000 프랑을 수여하였다

브뤼셀의 아카데미도 1883년 페르마의 마지막 정리를 증 명하는 사람에게 포상할 것이라고 발표하였다.

1908년 독일의 기업가이자 아마추어 수학자였던 파울 볼프스켈은 100,000 마르크를 괴팅겐 과학 아카데미에 기탁하여 페르마의 마지막 정리를 증명하는 사람에게 수여하도록 하였다. 1908년 6월 27일 괴팅 겐 아카데미는 증명의 검증과 상금의 수여에 대한 아홉 가지 기준을 발 표하였다. 중요 기준은 학술지에 발표된 논문만을 심사의 대상으로 한 다는 것과 상금 지급 대상은 2007년 9월 13일까지로 한다는 것 등이었 다. 1997년 6월 27일 엔드루 와일스는 볼프스켈 상을 수상하고

50,000 달러를 받았다.

볼프스켈상 심사 위원회에는 와일스 이전에 이미 수천건의 잘못된 증

명이 접수되어 있었는데, 이렇게 모인 증명의 양은 높이가 약 3미터에

달했다. 볼프스켈상이 시작된 1908년에 접수된 것만 621 건이었고,

1970년대에도 매 달 3-4 건의 증명이 접수되었다. 수학사 연구자인 하

워드 이브스는 “페르마의 마지막 정리는 가장 많은 잘못된 증명이 발표

된 정리이기도 하다”고 언급하였다.

'푸앵카레의 추측’과 페렐만

출생:1966년 6월 13일 소비에트 연방 레닌그라드 약력:

레닌그라드 239번 중등학교 졸업

중등학교 시절, 1982년에 국제 수학 올림피아드에 소련 국가대표로 출전하여 만점으로 금메달을 수상

1990년 레닌그라드 대학교 에서 수학 및 역학 학부에서 박사 학위

소비에트 연방 레닌그라드의 스테클로프 연구소에서 연구 활동을 시작 80년대 후반에서 90년대 초: 미국의 여러 대학을 방문하며 연구하다

1995년 스탠퍼드 대학과 프린스턴 대학을 포함한 미국 유수 대학들의 교수 영입 요청을 거절하고, 자기가 처음 연구를 시작한 스테클로프 연구소로 돌아감.

1991년 상트페테르부르크 수학회에서 수여하는 상을 수상

페렐만은 1994년에 리만 다양체에 대한 영혼 추측( soul conjecture)을 증명

이 공로로 1996년 유럽 수학회에서 수여하는 상을 수상하였지만 수상식에 참석을 거 부하였다.

2002년 11월 페렐만은 수학, 물리학, 천문학, 전산 과학, 계량 생물학, 통계학분야의 출 판 전(preprint) 논문을 수집하는 웹사이트 arXiv(archive)에 3차원 다양체의 기하화 추 측 및 푸앵카레 추측을 증명하는 일련의 논문을 발표하였다.

푸앵카레 추측은 1904년 프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레에 의해 제기된 추측이며, 기하화 추측 으로 함의된다.

페렐만은 기하화 추측을 리처드 스트라이트 해밀턴이 발표한 리치 흐름(Ricci flow)을 사용하 여 증명하였다. 리치 흐름은 3차원 리만 다양체를 더 대칭적으로 만드는 변환인데, 이 경우 유한 한 시간 뒤에 다양체에 특이점이 발생하게 된다. 페렐만은 이러한 특이점의 성질과 구조를 분석 하는 새로운 이론을 발표하였고, 이 기법을 사용하여 기하화 추측의 증명을 완성하였다.

영예와 은둔

2000년에 클레이 수학연구소는 푸앵카레 추측을 7개의 밀레니엄 문제 중 하나로 채택하고, 상 금 100만 미국 달러를 걸었다. 페렐만의 논문의 발표 이후, 2010년 3월 20일클레이 수학연구소 는 페렐만에게 푸앵카레 추측을 증명한 공로로 100만 미국 달러를 수여하겠다고 발표하였으나, 페렐만은 이를 거부하였다. 2006년에 페렐만은 필즈상을 수상하였으나, 페렐만은 수상식에 참석 을 거부하였다. 2011년에는 러시아 과학 아카데미 정회원 추대를 거부하였다. 제임스 칼슨 클레 이 수학연구소장은 “페렐만이 적절한 시기에 참석 여부를 알려올 것”이라고 말했다.

현재 페렐만은 상트페테르부르크의 아파트에서 어머니와 동거하며, 어머니의 연금을 통해 어 려운 생활을 하고 있다고 전해지고 있다.

포앙카레 추측

푸앵카레 추측은 1904년 프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레에 의해 제기된 추측이다.

3차원 공간에서 닫힌 곡선(폐곡선)이 하나 의 점으로 모일 수 있다면 그 공간은 구

(sphere)로 변형될 수 있다.

http://youtu.be/LENldizo6IA

쥘 앙리 푸앵카레

(Jules-Henri Poincaré)

(Jules-Henri Poincaré, 1854~ 1912)는 프랑스의 수학자, 물리학자, 천 문학자로, 수학과 수리물리학, 천체역학등의 분야에서 중요한 기본원리 를 확립한 업적을 남겼다. 한국어로 포앙카레,뽀앙까레 등으로 표기하 기도 한다.

생애:

1854년 4월 29일 낭시에서 태어났다. 에콜 폴리테크니크에서 샤를 에 르미트의 가르침을 받았고, 1897년 파리 대학에서 이학박사 학위를 받 았다. 1879년에 캉 대학교의 교수가 되었다. 1881년에 파리 소르본 대학교의 천문학 교수로 이전하였다. 1887년 32세의 나이로 프랑스 과학 아카데 미의 회원이 되고, 1906년부터는 그 회장을 맡았다. 1909년에는 아카데 미 프랑세즈의 회원이 되었다.

1912년 7월 17일 파리에서 사망하였다.

업적: 대수적 위상수학에서 호몰로지의 개념을 정의하였고, 이를 기반

으로 푸앵카레 추측을 제기하였다. 삼체 문제에 대한 연구로 결정론적

복잡계를 발견하여 현대적인 혼돈 이론의 기초를 마련하였다.

아벨의 5차방정식

에바리스트 갈루아와 노르웨이의 닐스 헨리크 아벨(1802∼1829)은 동시대를 살면서 서로 만난 적은 없지만 충분히 능력을 발휘하지 못한 채 20대에 요절하는 등 비슷한 점이 많았다.

16세기 말 4차 방정식의 해법을 발견한 이래 300년가량 풀지 못했던 ‘5차 방정식’ 문제에 대해 두 사람은 ‘해를 구할 수 없음’을 증명했다. 아벨이 연구 결과를 발표한 이후 갈루아도 독자적으 로 증명했다. 갈루아는 5차 이상의 방정식을 대수적으로 풀 수 있는 경우와 없는 경우에 대한 필요충분조건을 찾아내 아벨보다 한발 더 나아갔다

아벨과 갈루아가 증명한 것은 스위스의 천재 수학자 에른하르트 오일러도 해결하지 못했던 난 제였다. 당대 최고의 수학자였던 카를 가우스는 아벨의 풀이를 거들떠보지도 않았고, 그의 사 후 유품 자료에서 처박혀 있던 아벨의 논문이 발견됐다. 가우스는 ‘페르마의 마지막 정리’를 풀 수 없는 문제로 치부했지만 20세기 후반에 풀이가 나온 데 이어, 아벨의 천재성을 알아보지 못 했다는 옥에 티를 남겼다.

아벨은 타원 함수에 대한 연구 결과를 프랑스 한림원의 오귀스탱 루이 코시에게 제출했으나 코 시는 이를 펼쳐 보지도 않았다. 코시는 갈루아의 중요 논문을 심사도 하지 않고 있다가 분실했 던 인물이다.

자신의 능력을 제때에 인정받지 못해 안정적인 일자리를 구하지 못했던 아벨은 프랑스 독일 등 지를 떠돌며 가난과 과로에 시달리다 결핵으로 세상을 떠났다. 그가 죽고 이틀 후 그를 베를린 대 교수로 채용한다는 초청장이 배달됐다.(책 ‘수학은 아름다워’)

카르다노의 3차방정식 해법

고대 바빌로니아에서는, 수표를 이용해 3차 방정식의 근을 어느 정도의 근사 치로서 구할 수 있었다.

또한 고대 그리스에서는 3대 작도 문제중 1개인 입방 배적 문제로 알려지고 있 었다. 키오스의 히포크라테스에 의해서 , 로부터

:

=

:

=

:

되는

수

,

을 요구한다고 하는 비의 문제인 입방 배적 문제로 알려져 있다.

메나이크모스는 히포크라테스의 아이디어로 부터 원추 곡선을 생각해 내어 입 방 배적 문제를 원추곡선에 의한 작도에 의해서 풀어내었다. 메나이크모스는 이 업적으로 인하여 원추 곡선의 발견자라고 알려져 있다. 입방 배적 문제

는

= 2

(

> 0) 의 형태의 3차 방정식을 푸는 것과 같고 메나이크모스에 의한 방법은, 3차 방정식의 기하학적 해법 중 1개로 생각 할 수 있어서 원추 곡 선의 표를 계산해 두면 3차 방정식의 근의 근사치도 알 수 있게 된다. 그러나 일반적으로 원추 곡선은 플라톤의 작도 아래에서도 작도할 수 있다. 곡선은 아 니기 때문에 원추 곡선에 의한 기하학적 해법은 입방 배적 문제의 해법으로 보 이지는 않는다.

이러한 원추 곡선의 연구는 아르키메데스나 이븐 알 하이탐 등을 거쳐, 셀주크 제국 시대 페르시아의 오마르 하이얌에 의해 확장되어 여러가지 형태를 취한 3 차방정식의 근이 원추 곡선 끼리의 교점으로서

삼차방정식의 대수적 해법은 16세기 무렵에 볼로냐 대학의 시피오 델 페로가

발견한 것으로 여겨지고 있다.(출처 확인 필요)

𝑥³ + 𝑎₁x = 𝑎₀ (𝑎₁ 및 𝑎₀ 은 음수)이런 형태의 공식이다.

당시에는 음수는 인정되지 않았기 때문에 계수는 아주 한정되어 있었다.

이 방정식 자체는 특수한 형태이지만, 일반적인 3차 방정식은 이 형태로 변형할 수 있기 때문 에, 본질적으로는 3차 방정식은 델 페로가 풀었다고 해도 과언은 아니다. 또한 이 방정식의 경 우는 계수의 부호의 제약으로부터 환원 불능이 되지 않는다.

델 페로는 이 해법을 공개하지 않고, 제자 몇 명에게만 알려준 뒤 1526년에 죽었다. 그리고 그 제자 중의 한 명인 안토니아 마리아 피올(Antonio Maria Fior)은 이 방법을 이용하여 당시에 성 행했던 금전을 건 계산 승부에서 계속 이겼다.

3차 방정식의 해답이 있다고 하는 소문을 바탕으로 타르탈리아(Tartaglia)는 독자적인 힘인지는 몰라도

𝑥³ + 𝑎₁x = 𝑎₀ (𝑎₁ 및 𝑎₀ 은 정수) 의 형태의 3차 방정식을 푸는 것에 성공한 뒤 델·페로의 3 차 방정식의 해법도 알아냈다. 타르탈리아가 3차 방정식을 풀었다는 소문을 들은 피올은 소문 을 믿지 않고 타르탈리아에게 계산 승부에서 패배시켜 자신의 명성을 올리려고 하였지만, 델·

페로의 3차 방정식의 해법 밖에 몰랐기 때문에 피올은 타르탈리아와의 승부에서 지게 된다.

타르탈리아가 3차 방정식의 대수적 해법을 알고 있다고 듣게된 카르다노는 타르탈리아에게 간 절히 부탁을 하여 3차 방정식의 해법을 알아냈다. 카르다노는 제자인 로도비코 페라리와 얻은, 일반적인 사차 방정식의 대수적 해법과 아울러, 3차 방정식의 대수적 해법을 출판하고 싶다고 생각했지만, 타르탈리아에게 해법을 비밀에 붙인다고 맹세했기 때문에 출판할 수는 없었다.

거기서, 일찍이 델 페로가 3차방정식의 대수적 해법을 얻었다고 하는 소문을 믿고 페라리와 볼 로냐에 가서, 델 페로의 양자인 안니바레 델라 나베를 만나 델 페로의 유고를 보고 그것을 읽은 카르다노는 타르탈리아가 3차방정식을 푼 최초의 사람이 아닌 것을 알았으므로, 타르탈리아와 의 약속을 무효화 시켜 1545년에 《아르스 마그나》(Ars Magna)를 출판해, 여러가지 형태의 3차 방정식의 해법을 공표했다.

이에, 3차 방정식의 해법은 “카르다노의 방법”으로도 불리게 되었다. 이 일은 타르탈리아를 격 노시켜 논쟁으로 발전했지만, 카르다노는 《아르스 마그나》에서 델 페로와 타르탈리아의 공적 에 대해 칭찬하고 있어, 3차 방정식의 해법이 카르다노 자신의 독자적인 방법이라고 속인 것은 아니다. 또한 타르탈리아로부터 해의 도출 방법까지는 묻지 않고 다양한 형태의 3차 방정식에 대한 해를 나타낸 일은 카르다노 자신의 업적이다. (출처: 위키 백과)

𝑥³ + 𝑎₁x = 𝑎₀ (𝑎₁ 및 𝑎₀ 은 음수)이런 형태의 공식이다.

당시에는 음수는 인정되지 않았기 때문에 계수는 아주 한정되어 있었다.

이 방정식 자체는 특수한 형태이지만, 일반적인 3차 방정식은 이 형태로 변형할 수 있기 때문 에, 본질적으로는 3차 방정식은 델 페로가 풀었다고 해도 과언은 아니다. 또한 이 방정식의 경 우는 계수의 부호의 제약으로부터 환원 불능이 되지 않는다.

델 페로는 이 해법을 공개하지 않고, 제자 몇 명에게만 알려준 뒤 1526년에 죽었다. 그리고 그 제자 중의 한 명인 안토니아 마리아 피올(Antonio Maria Fior)은 이 방법을 이용하여 당시에 성 행했던 금전을 건 계산 승부에서 계속 이겼다.

3차 방정식의 해답이 있다고 하는 소문을 바탕으로 타르탈리아(Tartaglia)는 독자적인 힘인지는 몰라도

𝑥³ + 𝑎₁x = 𝑎₀ (𝑎₁ 및 𝑎₀ 은 정수) 의 형태의 3차 방정식을 푸는 것에 성공한 뒤 델·페로의 3 차 방정식의 해법도 알아냈다. 타르탈리아가 3차 방정식을 풀었다는 소문을 들은 피올은 소문 을 믿지 않고 타르탈리아에게 계산 승부에서 패배시켜 자신의 명성을 올리려고 하였지만, 델·

페로의 3차 방정식의 해법 밖에 몰랐기 때문에 피올은 타르탈리아와의 승부에서 지게 된다.

타르탈리아가 3차 방정식의 대수적 해법을 알고 있다고 듣게된 카르다노는 타르탈리아에게 간 절히 부탁을 하여 3차 방정식의 해법을 알아냈다. 카르다노는 제자인 로도비코 페라리와 얻은, 일반적인 사차 방정식의 대수적 해법과 아울러, 3차 방정식의 대수적 해법을 출판하고 싶다고 생각했지만, 타르탈리아에게 해법을 비밀에 붙인다고 맹세했기 때문에 출판할 수는 없었다.

거기서, 일찍이 델 페로가 3차방정식의 대수적 해법을 얻었다고 하는 소문을 믿고 페라리와 볼 로냐에 가서, 델 페로의 양자인 안니바레 델라 나베를 만나 델 페로의 유고를 보고 그것을 읽은 카르다노는 타르탈리아가 3차방정식을 푼 최초의 사람이 아닌 것을 알았으므로, 타르탈리아와 의 약속을 무효화 시켜 1545년에 《아르스 마그나》(Ars Magna)를 출판해, 여러가지 형태의 3차 방정식의 해법을 공표했다.

이에, 3차 방정식의 해법은 “카르다노의 방법”으로도 불리게 되었다. 이 일은 타르탈리아를 격 노시켜 논쟁으로 발전했지만, 카르다노는 《아르스 마그나》에서 델 페로와 타르탈리아의 공적 에 대해 칭찬하고 있어, 3차 방정식의 해법이 카르다노 자신의 독자적인 방법이라고 속인 것은 아니다. 또한 타르탈리아로부터 해의 도출 방법까지는 묻지 않고 다양한 형태의 3차 방정식에 대한 해를 나타낸 일은 카르다노 자신의 업적이다. (출처: 위키 백과)

3차방정식의 해법

루도비코 페라리의 4차방정식 해법

Ferrari, Ludovico 1522 ~ 1565 Italy (Cardano 의 하인)

http://youtu.be/3lYTBIEgyaM Quartic Equation, Polynominal of 4

degree

루도비코 페라리의 4차방정식 해법

Ferrari, Ludovico 1522 ~ 1565 Italy (Cardano 의 하인)

http://youtu.be/3lYTBIEgyaM Quartic Equation, Polynominal of 4

degree

수학자와 그의 업적들

천사이먼스 정리

• 천싱선은 미분기하학의 거의 모든 분야를

연구하였다. 그 가운데 제임스 해리스 사

가장 널리 연구되는 주제 중 하나이다.

천사이먼스 정리

• 천싱선은 미분기하학의 거의 모든 분야를

연구하였다. 그 가운데 제임스 해리스 사

가장 널리 연구되는 주제 중 하나이다.