z 내용 : 행렬과 벡터를 이용한 선형연립방정식의 해법

(1)

Ch. 4 연립상미분방정식. 상평면 및 정성법

Ch. 4 연립상미분방정식.

상평면 및 정성법

( Systems of ODEs. Phase Plane.

Qualitative Methods)

z 내용 : 행렬과 벡터를 이용한 선형연립방정식의 해법

(2)

Ch. 4 연립상미분방정식. 상평면 및 정성법 4.0 행렬과 벡터

z 연립미분방정식(Systems of Differential Equations)

: 두 개 이상의 미지함수를 갖는 두 개 이상의 상미분방정식 Ex.

z 미분

: 요소(또는 성분)가 변수인 행렬(또는 벡터)의 도함수는 각각의 요소를 미분함.

Ex.

4.0 행렬과 벡터( Basics of Matrices and Vectors)

, '

2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

y a y a y

+

=

+

=

, '

2 2 1 1

2 2

22 1 21 2

1 2

12 1 11 1

n nn n

n n

y a y

a y a y

y a y

a y a y

y a y

a y a y

+ + +

=

+ + +

=

+ + +

=

L M

L L

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ^⎥ _⎦ ^⎤

⎢ ⎣

= ⎡

⎥ ⇒

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

t y

t t y

t y

t t y

' ' '

2 1 2

1

y

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎥ ⎡

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ + ⇒

=

+

=

2 1 22 21

12 11 2

1 2

22 1 21 2

2 12 1 11 1

' ' '

, '

y y a a

a a y

y y

a y a y

y a y a

y y Ay

(3)

4.0 행렬과 벡터

z ^고유값

(

Eigenvalue

), 고유벡터(

Eigenvector

)

[ ]

함.

라 대응하는

에 를 벡터 때의 이 하며, 이라

의 를 스칼라 하는

성립하게 가

식 대하여 에

벡터 어떤 하고, 행렬이라

주어진 을

or) (Eigenvect

x e)

(Eigenvalu

x Ax 0

x A

고유벡터

고유값 λ

λ

=

≠

×

= a

_jk

n n

해이다.

의 방정식

은 영벡터

대하여

임의의 λ 에 x = 0 Ax = λ x

( )

연립방정식 1차

대수적인 관한

성분)에 의

벡터 미지수

개의

x

0 x A

0 x Ax x

Ax

( , , n

1

x

n

x

I

⇒ L

=

−

⇒

=

−

⇒

= λ λ λ

( ) 0

det

⇔ − =

−

≠

=

I A

I A 0

x x Ax

λ

λ λ

않는다.

하지

존재 역행렬이 의

계수행렬 위해서는

갖기 해를 인 이

방정식

(4)

Ch. 4 연립상미분방정식. 상평면 및 정성법 4.0 행렬과 벡터

Ex. 이면

z 특성방정식(Characteristic Equation) :

• 행렬 의 고유값 : 특성방정식의 해

• 가 행렬 의 고유벡터이면 임의의 스칼라 에 대하여 도 고유벡터임

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

22 21

12 11

a a

a

A

a

( ) (

₁₁

)(

₂₂

)

₁₂ ₂₁ ²

(

₁₁ ₂₂

)

₁₁ ₂₂ ₁₂ ₂₁

22 21

12

det

11

a a a a a a a a a a

a a

a

a = − − − = − + + −

−

= −

− λ λ λ λ

λ λ

I

λ

A

(

₁₁ ₂₂

)

₁₁ ₂₂ ₁₂ ₂₁

0

2

− a + a λ + a a − a a =

λ

A

x A

k ≠ 0 k

x

(5)

Ch. 4 연립상미분방정식. 상평면 및 정성법 4.1 연립상미분방정식 모델

4.1 연립상미분방정식 모델( Systems of ODEs as Models)

Ex. 1

2개의 탱크에 관련된 혼합문제(두 개의 1계 미분방정식)

: 탱크 의 비료의 양, : 탱크 의 비료의 양

탱크 의 비료의 양이 적어도 탱크 에 남아 있는 비료의 양의 반이 되기 위해서는 얼마 동안 액체를 순 환시켜야 하는가?

Step 1 모델설정

•

^탱크 : 순수한 물 100갤론

•탱크 : 순수한 물 100갤론 + 150파운드의 비료

•액체는 분당 2갤론의 일정한 속도로 두 탱크를 순환하여 골고루 섞여 균질하게 된다.

T1

T2

T1 T₂

y1 T₁ y2 T₂

( )

(

₂

)

₂ ₁ ₂

2 1

2

2 1

1 1

1 2

1

02 . 0 02 . 0 '

100 2 100

2 - '

02 . 0 02 . 0 '

100 2 100

2 - '

y y

y T

y y

y

y y

y T

y y

y

−

=

⇒

−

=

+

−

=

⇒

−

=

탱크 유출량

분당 유입량

분당

탱크 유출량

분당 유입량

분당

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

=

∴ 0.02 0.02 02 . 0 02 . 0

, '

y Ay A

(6)

Step 2 일반해

Idea : 에 대한 지수함수로 시도

중첩의 원리 적용

Step 3 초기조건 이용 초기조건 :

Step 4 답

탱크 이 50파운드의 비료를 포함하면, 탱크 이 포함한 비료의 양이 탱크 가 포함한 비료 양의 반 t

⇒

=

⇒

=

⇒

=x y' x Ax Ax x

y e^λ^t λ e^λ^t e^λ^t λ 행렬 A 의 고유값과 고유벡터 계산 특성방정식 :

( ) (

⁰^.⁰²

)

⁰^.⁰²

(

⁰^.⁰⁴

)

⁰

02 . 0 02

. 0

02 . 0 02

.

det 0 = − − ²− ² = + =

−

= −

− λ λ λ

λ λI λ

A

( ) ( )

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

−

=

⇒ 1

1 1 , 1

04 . 0

, 0

_{고유값 :} λ₁ λ₂ _{고유벡터 :}x¹ x²

( ) ( )

(

^과 ^는^임의의^상수

)

1 1 1

1

1 1 04 . 0 2

1 2

2 1

1 e ¹ c e ² c c e c c

c ^t ^t ⎥ ⁻ ^t

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ +

= x ^λ x ^λ y

( )

0 0, ₂

( )

0 150

1 = y =

y

( )

c c e ^t

c c

c c c

c ₁ ₂ ⁰^.⁰⁴

2 1

2 1 2

1 1

75 1 1 75 1 75

, 75 150

0 1

1 1

0 1 ⎥ ⁻

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⇒

−

=

⎥ ⇒

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ y

y

T1 T₁ T₂

5 . 04 27 . 30 ln 3 1

50 75

75 ⁰^.⁰⁴ ⁰^.⁰⁴

1= − e⁻ = ⇒ e⁻ = ⇒ t= =

y ^t ^t

(7)

주어진 전기회로망에서 전류 와 를 구

하라. 스위치가 닫힌 순간인 에 전류와 전하 가 모두 0이라 가정한다.

Ex. 2

^{전기회로망}

Step 1 모델설정: Kirchhoff의 전압법칙 적용

왼쪽 루프 : 오른쪽 루프 :

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ +

=

∴ 4.8

0 . 12

2 , . 1 6 . 1

0 . 4 0 . 4

,

, '

2

1 A g

J g J

J I

A I

( )

t

I₁ I₂

( )

t

=0 t

12 4 4

' ₁ ₂

1=− I + I + I

( )

4 0 ' 0.4 ' 0.4 0 ' 1.6 1.2 4.8 4

6Î₂+ Î₂−Î₁ +

∫

Î₂^dt= ⇒ Î₂− Î₁+ Î₂ = ⇒ Î₂ =− Î₁+ Î₂+

(8)

Step 2 일반해

제차 연립방정식 에 를 대입하면 이므로 의 고유값과 고유벡터 계산

고유값 일 때, 고유벡터 ;고유값 일 때, 고유벡터

제차 연립미분방정식의 일반해 :

비제차 연립미분방정식의 특수해 구하기 라 하면, 이므로

일반해 :

J

J'= A J=xe^λ^t Ax=λx A

1=−2

λ ^{( )} _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 1

1 2

x λ₁₌₋₀_.₈ ^{( )} _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 8 . 0

2 1 x

t

h c₁ e ²t c₂ e ⁰^.⁸

8 . 0

1 1

2 ₋ ₋

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ J

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

2 1

a a

Jp ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 0 ' 0

Jp ⎥+g=0

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

2 1

a A a

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

∴

⇒

=

= ⇒ + +

−

= + +

⇒ −

0 3

0 , 3 0 8 . 4 2 . 1 6 . 1

0 0 . 12 0 . 4 0 .

4 ₁ ₂

2 1

a p

a a a

a

a J

t t

t t t

t

e c e

c I

e c e c e I

c e

c ₀_.₈

2 2

1 2

8 . 0 2 2 1 8 1

. 0 2

2

1 0.8

3 2

0 3 8

. 0

1 1

2

−

− −

−

+

=

+ +

⇒ =

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ +⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ J

4.1 연립상미분방정식 모델

(9)

초기조건 적용

( ) ( )

^t ^t

t t

e e

I

e e

c I c c

c I

c c I

8 . 0 2

2

8 . 0 2

1 2

2 1 1

4 4

3 5

8 5 , 4 0 8 . 0 0

0 3 2

0

−

+

−

=

+ +

−

∴ =

⇒

=

−

=

= ⇒ +

=

= + +

=

•

^{그림 79a는} ^과 의 곡선을 개별적으로 나타낸 것

• 그림 79b는 평면에서 하나의 곡선 을 그린 것

⇒ 를 매개변수(parameter)로 하는 매개변수표현식

• 평면을 방정식 의 상평면(phase plane) 이라 함

• 상편면에서의 곡선을 궤적(Trajectory)이라 한다.

• 상평면의 궤적이 전체 해집합의 일반적인 양상을 잘 표현할 수 있음

( )

t

I₁ I₂

( )

t

2 −

1I

I

[

I₁

( ) ( )

t ,I₂ t

]

t

2−

1I

I

(

A−λI

)

x=0

(10)

z n계 미분방정식의 1계 연립상미분방정식으로의 변환

• n계 상미분방정식 :

•

1계 연립상미분방정식으로의 변환

( )ⁿ

⁼ ^F ( ^t ^, ^y ^, ^y ^' ^, ^, ^y

( )ⁿ⁻¹

)

y L

( )

(

_n

)

n

n n n

n

y y y t F y

y y

y y y

y y y y y y y

, , , , '

' ' '

,

, ''

, ' ,

2 1 1

3 2

2 1

1 3

2 1

L M L

=

⇒

=

−

Ex. 3

^용수철에 ^매달린 ^물체

앞에서 다룬 용수철에 달린 물체의 자유진동을 모델화하는 문제에 변환방법을 적용

0 '

''+cy+ky= my

2 1

2

2 1

' '

m y y c m y k

y y

−

= ' =

, ₂

1 y y y

y = = ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

2 1

y y y

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

= −

=

2

1 1

0

' y

y m

c m Ay k

y

( )

− − − = + + = ⇒

= −

− 0

1

det ²

m k m

c m

k λ λ λ

λI λ

A 2.4 절의 특성방정식과 일치

(11)

Ch. 4 연립상미분방정식. 상평면 및 정성법 4.2 연립상미분방정식에 대한 기본 이론

4.2 연립상미분방정식에 대한 기본 이론

(Basic Theory of Systems of ODEs)

z ^{연립상미분방정식}

z 벡터해(Solution Vector)

: 어떤 구간 에서 연립상미분방정식을 만족하는 미분가능한 n개의 함수들 의 집합.

z 초기조건

( )

(

_n

)

n n

y y

t f y

y y

t f y

y y

t f y

, , , '

1 1 2 2

1 1 1

L M

L L

=

= ⎥ ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

=

n

f

y y

M M

1 1

y

, f

( ) ^y

f y ' = t ,

b t a< <

( ) t y h ( ) t h

y

₁

=

₁

, L ,

_n

=

_n

( ) t K y ( ) t K y

_n

( ) t K

_n

y

₁ ₀

=

₁

,

₂ ₀

=

₂

, L ,

₀

= ( )

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

=

K

n

K

t M

1

0

K

y

(12)

z 존재성과 유일성 정리

연립상미분방정식의 이 점 을 포함하는 공간 내의 어떤 영역

에서 연속인 함수이고, 이 영역에서 연속인 편도함수

를 갖는다고 하자. 그러면 연립상미분방정식은 어떤 구간 에서 초기 조건을 만족하는 해를 가지며 이 해는 유일하다.

f

n

f

₁

, L , ( t

₀

, K

₁

, L , K

_n

)

R

_n

f y

_n

f y f y

∂ ∂

∂ ∂ , ,

¹

, ,

_n

1

L L

α α < < +

−

₀

0

t t

t

(13)

z 선형연립상미분방정식 (Linear System)

z 제차 : z 비제차 :

z 선형인 경우의 존재성과 유일성 정리

선형연립미분방정식의 와 가 점 를 포함하는 열린 구간 내에서

의 연속함수라 하자. 그러면 선형연립미분방정식은 이 구간에서 초기조건을 만족 하는 해를 가지며 이 해는 유일하다.

z 중첩의 원리 즉 선형성 원리

과 가 어떤 주어진 구간에서 제차선형연립방정식의 해이면 , 그들의 일차 결합 또한 제차선형연립방정식의 해이다 .

( ) ( ) ( )

( ) ^t ^y ^a ( ) ^t ^y ^g ( ) ^t

a y

t g y t a y

t a y

n n nn n

n

n n

+ +

+

=

+ +

+

=

L M L

1 1

1 11 1

' '

g Ay y ' = +

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

=

2 1 1

1

1 11

,

g g

y y

a a

n nn

n

M M

L M O M

L

g y

A

0 g g Ay

y ' = + , ≠ Ay

y ' =

a

jk

g

_j

t = t

₀

α < t < β

t

( )1

y y

^{( )}²

( ) ( )2

2 1

1

y y

y = c + c

4.2 연립상미분방정식에 대한 기본 이론

(14)

z ^기저( Basic ⁾ ^{또는 기본계(} Fundamental System ⁾ : 어떤 구간 에서 일차 독립인 n ^개의 ^해 z 일반해( General Solution )

: 기저들의 일차결합

• 방정식 에서 모든 가 구간 에서 연속이면, 방정식 는 에서 해의 기 저를 갖는다는 사실을 보일 수 있음.

• 이 경우에 방정식 는 에서 일반해를 가지고, 일반해는 모든 해를 포함.

z 기본행렬( Fundamental Matrix ^{) :} n ^{개의 해} ^{를 열로 가지는} ^행렬 z Wronskian : ^{기본행렬 의 행렬식}

J y

^{( )}¹

, L , y

^{( )}ⁿ

( )¹ ( )

(

₁

, , )

1

c

n

c c

n

c y L y

ⁿ

L

y = + + 은 임의의 상수

Ay

y ' = ^a

_jk

( ) ^t _J ^y ^' ⁼ ^Ay

Ay y ' = J

( )

y

( )n

y

¹

, L , ⁿ ^× ⁿ

(15)

Ch. 4 연립상미분방정식. 상평면 및 정성법 4.3 상수계수를 갖는 연립방정식. 상평면법

4.3 상수계수를 갖는 연립방정식. 상평면법

(Constant-Coefficient Systems. Phase Plane Method)

z 상수계수를 갖는 선형연립방정식의 해법

상수계수를 갖는 선형연립방정식 : 는 상수

Idea ^으로 ^시도

(고유값 문제)로 변환 z 일반해

연립미분방정식의 상수행렬이 n ^개의 ^일차 ^독립인 ^{고유벡터를} ^갖는다면 ^이에 ^대응하

는 식 의 해 는 연립방정식의 해의 기저를 형

성하고, 이에 대응되는 일반해는 이다.

[ ] a

jk

, a

jk

, ' = Ay A = y

e

^λt

x y =

x Ax Ax

Ay x

y = λ

^λ

= =

^λ

⇒ = λ

⇒ ' e

^t

e

^t

( )

x

( )

e

^λt

y

( )n

x

( )n

e

^λn^t

y

¹

=

¹ ¹

, L , = y

^{( )}¹

, L , y

^{( )}ⁿ

( ) ( )n ^t

n

t

c e

_n

e

c x

^λ

x

^λ

y =

1 ¹ ¹

+ L +

(16)

z 상평면에서의 해의 그래프를 그리는 방법 의 일반해

• 성분 와 를 축 위에 두 개의 곡선으로 나타냄.

• 매개변수 를 사용한 매개변수표현법(또는, 매개변수방정식) : 평면에 하나의 곡선으로 나타낼 수 있음.

z 용어정리

• 궤적( Trajectory ^{, 때로는} ^궤도( Orbit ^{), 경로(} Path ) : 평면의 곡선

• 상평면( Phase Plane ) : 평면

• 상투영( Phase Portrait ) : 상평면을 방정식 의 궤적들로 채워서 얻는다

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

=

+

⇔ =

=

2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

' '

' y a y a y

y a y a Ay y

y ( )

( ) ^⎥ _⎦ ^⎤

⎢ ⎣

= ⎡ t y

t y

2

y

1

( ) t

y

₁

y

₁

( ) t t − t

2 −

1y y

2 −

1y y

2 −

1y y

Ay

y ' =

(17)

Ex. 1 상평면에서의 궤적(상투영)

특성방정식

고유값 일 때, 고유벡터 ;

고유값 일 때, 고유벡터

일반해 :

• 두 개의 직선궤적은 각각 과 에 대응하는 것

• 나머지 궤적들은 다르게 선택된 의 값에 대응하는 것

• 상투영은 일반적으로 해 전체를 정성적으로 파악하는데 유용 y

Ay

y ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

=

− ⇔

= +

−

=

3 1

1 ' 3

3

' 3 '

2 1 2

2 1 1

y y y

( )

6 8 0

3 1

1

det 3 = ²+ + =

−

= −

− λ λ

λ λI λ

A

1=−2

λ ^{( )} _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 1

1 1 x

2 =−4

λ ^{( )} _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= − 1

2 1 x

( ) c ( ) c e t c e t

y c

y ₄

2 2 1 2 2 1 1 2 1

1 1 1

1 ₋ ₋

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ +

⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ y y

y

1=0

c c₂ =0

2 1, c c

(18)

z 연립미분방정식의 임계점 (Critical Point) : 이 정의되지 않는 점 Ex.

• 점 을 제외한 임의의 점 을 지나는 궤적은 이 점에서 유일 한 접선 방향 을 갖게 됨 .

• ^원점 ^에서 ^은 이 되어 정의되지 않음 . z 임계점의 다섯 가지 유형

: 임계점은 근방에서 궤적의 모양에 따라 5가지 유형으로 구분.

• 비고유마디점( Improper Node )

• 고유마디점( Proper Node ⁾

• 안장점( Saddle Point ⁾

• 중심점( Center )

• 나선점( Spiral Point ⁾

1 2

dy dy

2 12 1 11

2 22 1 21 1

2 1

2

1 2

' '

y a y a

y a y a y y dy dt dt dy dy

dy

+

= +

=

( ) 0 , 0

0

: P

P = P : ( y

₁

, y

₂

)

1 2

dy dy

P

0

1 2

dy dy

0 0

(19)

Ex. 1 비고유마디점

: 두 개의 궤적을 제외한 모든 궤적이 주어진 점에서 같은 접선방향의 극한을 갖는 경우.

• 예외적인 두 개의 궤적도 주어진 점에서 접선방향의 극한을 갖게 됨

• 극한값은 앞의 극한값과 다르다.

• 공통인 접선방향이 극한은 고유벡터 임.

( 가 증가할 때 가 보다 훨씬 더 빨리 0에 접근)

• 예외적인 궤적의 접선방향극한은 임.

y Ay

y ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

= 1 3

1 ' 3

( ) ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 1

1 1 x

t e⁻⁴^t e⁻²^t

( ) ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= − 1

2 1 x

(20)

Ex. 2 고유마디점

: 모든 궤적이 명확한 접선방향의 극한을 가지고, 또한 임의의 상수가 접선방향의 극한인 궤적이 존재하는 경우.

일반해 :

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

2 2

1 1

' ' 1 ,

0 0 ' 1

y y

y 즉 y

y y

1 2 2 1

2 2

1 1 2

1

0 0

1

y c y c

e c y

e c e y

c e

c _t

t t t

=

⇒

=

⇒ =

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ y

(21)

Ex. 3 안장점

: 두 개의 들어오는 궤적과 두 개의 나아가는 궤적이 존재하고, 나머지 궤적은 주어진 점 을 지나지 않고 우회하는 경우.

일반해 :

• 두 좌표축과 쌍곡선족(族)이다

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

2 2

1 1

' ' 1 ,

0 0 ' 1

y y

y 즉 y

y y

=상수

⇒

=

⇒ =

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ ⁻ ₋

2 1

2 2

1 1 2

1

0 0

1

y y

e c y

e c e y

c e

c _t

t t

y t

(22)

Ex. 4 중심점

: 무수히 많은 폐곡선으로 이루어진 궤적으로 둘러싸인 임계점을 말함.

특성방정식 :

일반해 :

궤적그리기

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

1 2

2 1

4 ' ' 0 ,

4 1 ' 0

y y

y 즉 y

y y

it it

it it it

it

e ic e

ic y

e c e c e y

c i i e

c ₂

2 2

1 2

2 2 2 1 2 1

2 2

1 2 2

2 1 2

1

−

− −

−

=

+

⇒ =

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ y

i

1=2

λ ^{( )} _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ x i

2

1 1

i

1=−2

λ ^{( )} _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= − x i

2

2 1

=상수 +

⇒

−

=

⇒

−

=

= ₂ ₂ ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₁² ₂²

1 2

2 1 ' '

4 4 ' ,

' y y y y y y y y y

y

( )

4 0 2i

4

det 1 = ²+ = ⇒ =±

−

= −

− λ λ

λ λI λ

A

(23)

Ex. 5 나선점

: 를 취할 때, 임계점 근방에서 나선형의 궤적이 임계점으로 향하여 접근하는(혹은 임계점로부터 벗어나 멀어지는) 경우.

특성방정식 :

일반해 :

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= +

−

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

2 1 2

2 1 1

' ' 1 , 1

1 ' 1

y y y

y y 즉 y

y y

( i)t e( i)t

c i i e

c ⁻⁺ ⎥ ⁻⁻

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ₁⎡1 ¹ ₂ 1 ¹ y

+i

−

1= 1

λ ^{( )} _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ x₁ 1i

−i

−

1= 1

λ ^{( )} _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= − x₂ 1i

( )

= + + = ⇒ =− ±i

−

= −

− 2 2 0 1

1 1

1

det 1 λ² λ λ

λ λI λ

A

∞

→ t

(24)

궤적그리기

(

2²

)

2 1 2 2 1 1

' '

'

, '

y y y

y y y y y y

+

−

= +

⇒

−

= +

−

=

2 2 2 1

2 y y

r = +

극좌표 이용

( )

² ^' ²

2

1 r =−r

( )

^r² ^'⁼²^rr^'

' r2

rr =−

ce t

r c

t

r=− +~ ⇒ = ⁻ ln

변수분리형 해법에 의하여 적분하면

(25)

z

고유벡터가 기저를 형성하지 않는 경우. 퇴화마디점 (Degenerate Node)

• 대칭행렬( )이거나 반대칭행렬( )이면 고유벡터들로 이루 어진 기저가 존재한다.

• 행렬 가 중복고유값 (즉, 가 의 중복근)를 가지고,

에 대응하는 고유벡터(의 상수배는 같은 것으로 취급하여)가 오직 하나 뿐이라고 가정

⇒ 우선 하나의 해 를 얻음.

과 일차독립인 두 번째 해 :

.

jk

kj

a

a = a

_kj

= − a

_jk

, a

_jj

= 0

n

n × A λ λ det ( A − λ I ) = 0

λ

( )

x e

^λt

y

¹

=

( )1

y y

^{( )}²

= x _te

^λ^t

+ u _e

^λ^t

( ) y

( )²

' = x e

^λ^t

+ λ x te

^λ^t

+ λ u e

^λ^t

= Ax te

^λ^t

+ Au e

^λ^t

⇒ x + λ u = Au ⇒ ( A − λ I ) u = x

(26)

Ex. 6 퇴화마디점

z 해 구하기 특성방정식 :

z 그래프 관찰

• 의 그래프는 굵게 표시된 직선

• 제4사분면의 반직선은 인 경우

• 제2사분면의 반직선은 인 경우

• 굵은 곡선의 오른쪽은 를 왼쪽부분은 y

y ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

2 1

1 ' 4

t

t c t e

e

c₁ ³ ₂ ³

1 0 1 1 1

1 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣ +⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= − y

( ) e t

y

x ¹ ³

1 1

1

1 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

⎥ ⇒

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

( )

⁶ ⁹ ⁰ ³^,

2 1

1

det 4 = ²− + = ⇒ =

−

= −

− λ λ λ

λ λI λ

A

( )

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥ ⇒

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

− 1

0

1 1 1

1 1

3I u 1 u u

Α

( )1 1y c

1>0 c

1<0 c ( )2

y −y^{( )}²

일반해 :

(27)

Ch. 4 연립상미분방정식. 상평면 및 정성법 4.4 임계점에 대한 판별기준. 안정성

4.4 임계점에 대한 판별기준. 안정성

(Criteria for Critical Points. Stability)

z 임계점 유형의 판별기준(Criteria for Types of Critical Points)

행렬 의 고유값

특성방정식 :

• 마디점 :

• 안장점 :

• 중심점 :

• 나선점 :

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

22 21

12 11

a a

a

A a λ

₁

, λ

₂

( ) ( ) det 0

det

² ₁₁ ₂₂

22 21

12

11

= − + + =

−

= −

− I A

A λ λ

λ

λ λ a a

a a

( ) , det

₁₁ ₂₂ ₁₂ ₂₁

( ) ,

²

4 ( )

22

11

a q a a a a p q

a

p = + ^{고유값의 합} = A = − ^{고유값의 곱} Δ = − 판별식 0

, 0 Δ ≥

>

q

< 0 q

0 , 0 >

= q p

0 , 0 Δ <

≠

p

(28)

z 안정성(Stability)

• 임계점의 또 다른 분류방식은 안정성에 의한 것

• 안정성은 물리학에서 처음 생각한 개념으로, 공학이나 응용 등 여러 분야에서 기 본적인 개념

• 안정성은 어떤 순간에 물리적 계에 가해진 작은 변화(작은 충격)가 이후의 모든 시간 에서 계의 움직임에 단지 작은 영향을 미치는 것을 의미한다.

z 안정적 임계점(Stable Critical point)

: 어떤 순간 에서 임계점에 아주 가깝게 접근한 모든 궤적이 이후의 시간 에서도 임계점에 아주 가까이 접근한 상태로 남아 있는 경우.

z 불안정적 임계점(Unstable Critical point) : 안정적이 아닌 임계점 z 안정적 흡인 임계점(Stable and Attractive Critical point)

: 안정적 임계점이고 임계점 근처 원판 내부의 한 점을 지나는 모든 궤적이 를 취할 때 임계점에 가까이 접근하는 경우

t

0

t =

∞

→ t

4.4 임계점에 대한 판별기준. 안정성

(29)

Ch. 4 연립상미분방정식. 상평면 및 정성법 4.4 임계점에 대한 판별기준. 안정성

z 임계점에 대한 안정성 판별기준

• 안정적 흡인 임계점 :

• 안정적 임계점 :

• 불안정적 임계점 : 또는 0 ,

0 >

< q p

> 0 p

0 ,

0 >

≤ q p

< 0

q

(30)

Ch. 4 연립상미분방정식. 상평면 및 정성법 4.5 비선형연립방정식에 대한 정성법

z 정성법(Qualitative Method)

• 방정식의 해를 실제로 구하지 않으면서 해에 대한 정석적인 정보를 얻는 방법

• 연립방정식의 해를 해석적으로 구하기 어렵거나 불가능한 경우에 매우 유용한 방법

• 상평면법을 선형연립방정식으로부터 비선형연립방정식으로 확장

4.5 비선형연립방정식에 대한 정성법

(Qualitative Methods for Nonlinear Systems)

(31)

( )

(

₁ ₂

)

2 2

2 1 1 1

, '

,

y y f y

y y f y '

=

= 따라서

연립방정식 비선형

y f

y ( )

( )

(

₁ ₂

)

2 2 22 1 21 2

2 1 1 2 12 1 11 1

, '

,

y y h y a y a y

+ +

=

+ +

= +

= 따라서

y h Ay 비선형연립방정식의 선형화 y'

z ^선형화

같다.

안정성과 및

유형 의

따라서

선형연립방정식 얻어진

통해

선형화를 안정성은

유형및 대한

임계점에 비선형연립방정식의

이면, 가지며,

도함수를 연속인

또한 연속이고 근방에서

임계점 가

과 연립방정식의 비선형

2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

0 2

1

' '

,

0 det

y a y a y

P f

f

+

=

+

= =

≠

Ay y'

A

(32)

Ex. 1 자유비감쇠진자. 선형화

질량 m인 물체(추)와 길이 L인 막대로 구성된 진자를 보여준다. 임계점들의 위치와 유형 을 결정하라. 막대의 질량과 공기의 저항은 무시할 수 있다고 가정한다.

Step 1 수학적 모델 설정. θ :평형위치로부터반시계방향으로측정된변위각

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ =

= +

→

= +

∴

→

L k g k

θ'' mg

mLθ

mLθ Newton

mg mg

0 sin

''

' ' 2

sin

θ θ

θ 평형

과 가속력

복원력은 :

적용 법칙 제 의

: 복원력 접선방향으로

운동곡선의 추의

: 무게 추의

(33)

Step 2 임계점 , 선형화.

Step 3 임계점 , 선형화.

( ) (

0,0, ±2π,0

) (

, ±4π,0

)

, _L

0 sin = +k θ

θ'' y₁=θ, y₂ =θ' 로치환

1 2

2 1

sin '

' y k y

y y

−

=

1 3

1 1

1 6

siny y 1 y y

Maclaurin급수 = − +−L≈

1 2

2 1

' '

0 , 1 0

ky y

y y ' k

−

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

=Ay y 따라서

y

중심 안정한 :

유형 임계점

4 4

, det

,

0 ²

22

11+ = = = = Δ= − =− ⇒

= p q k

L k g q

a a

p A

(

±π,0

) (

, ±3π,0

) (

, ±5π,0

)

, _L

(

⁰

)

^, ⁰^, ¹^, ²^,_L

0 sin ,

0 ₁

2 = y = → nπ, n= ± ±

y 임계점:

( )

^을^고려

임계점 0,0

0 sin = +k θ

θ'' y₁=θ −π, y₂ =

(

θ −π

)

'=θ' ^로 ^치환

(

₁

)

₁ ₁ ₁³ ₁

6 sin 1

sin

sinθ = y +π =− y =−y + y −+L≈−y ^y ^Ay ^⎥^⎦^y

⎢ ⎤

⎣

=⎡

= 0

1 0 ' k

( )

^을 ^고려

임계점 π ,0

( )

0, 4 4 ^임계점^유형^:^안장점

(

^불안정한

)

,

0 =− < Δ= ²− = ⇒

= q k p q k

p

(34)

z ^{상평면에서} 1 계방정식으로의 변환

( y , y ' , y '' ) = 0 F

치환

2

로

1

, y ' y y

y = =

2 1 2 1

1 2 2

2

'

'' y

dy dy dt

dy dy dy dt

y dy

y = = = =

0 ,

,

₂

1 2 2

1

⎟⎟ ⎠ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ y

dy

y dy

y

F

z 내용 : 행렬과 벡터를 이용한 선형연립방정식의 해법

Ch. 4 연립상미분방정식.

상평면 및 정성법

( Systems of ODEs. Phase Plane.

Qualitative Methods)