수학적
수학적 추론 추론 수학적
수학적 추론 추론
1. 연역 2. 귀 납 3. 유 추
4. 수학의 은유적 특성에 대한 Lakoff와 Nunez의
견해
• 이미 알고 있는 판단으로부터 새로운 판단을 이끌어 내는 사유 작용
• 필연적 추론: 전제가 참이면 결론도 반드시 참
• 개연적 추론: 전제가 참이더라도 결론은 개연적
– 귀납, 유추, 은유
추론 추론
– 귀납, 유추, 은유
• 수학은 귀납을 통해 새로운 지식을 창안, 발견하고 이를
연역하여 발전해 왔다.
• p 1 , p 2 , …, p n 으로부터 q를 ‘필연적으로’
유도할 때, p 1 , p 2 , …, p n 이 q를 연역
• 전제가 결론을 함의하기 때문에 지식을 확 장하지 않음
1.
1. 연역 연역
장하지 않음
• 수학적 귀납법: 연역 논리의 하나
• Polya(1986) :
완성된 수학- 연역과학
발생 과정의 수학- 실험적 , 귀납적인 과학 수학적 사고 과정 : 귀납, 유추, 추측 → 증명
• 발견/발명되는 방식대로 수학을 지도할 것을 강조
귀납과 유추에 의한 수학의 발견과정을 중시
실제적인 지도 방법론 제시
시범, 모방과 실행, 질문과 권고로 이루어진 언어의 미묘한 구사, 즉 대화법의 도움으로 습득될 수 있다.
2.
2. 귀납 귀납
• 연역적 추론은 근본적으로 새로운 지식으로 내용을 확장 할 수 없으며 지식의 범위를 확장하는 것은 귀납 추론
•• 귀납 귀납 추론 추론
– 관찰된 사례의 공통성에 주목하여 그러한 사례로부터 일반 – 관찰된 사례의 공통성에 주목하여 그러한 사례로부터 일반
적인 법칙을 이끌어 내는 추론
– 수학적 발견에 중요한 도구, 개연성이 높은 추론 방식 – 귀납 추론을 통해 발견된 추측은 항상 참인 것은 아님
– 귀납 추론의 오류 가능성에도 불구하고 인간은 본능적으로
귀납적 추론을 하므로 귀납은 탐구와 발견을 위한 유용한
방법이면서 자연스러운 수학 학습지도 방법
관찰과 귀납의 의미
• 수학은 경험, 곧 관찰과 실험을 통한 추측으로 시작되는 귀납적 인 과학
2.
2. 귀납 귀납
• 학교수학에서 귀납 추론
• 귀납적 추측
• 귀납적 정당화
• 포괄적 확장의 원리(generic extension principle)
- 제한된 환경에서의 추론이 반례를 보지 못한 경우 주어진 관찰 자 료로부터 얻은 결론을 다른 상황에서도 유의미할 것이라고 판단 하는 인지적 타당성 (Tall, 1986)
- 경험의 인지적 확장에서 자연스러울 뿐 문제가 발생할 수도
귀납 추론의 학습
2.
2. 귀납 귀납
• 귀납 추론의 학습
• 규칙성 찾기 - 관찰자료로부터 규칙성 찾기
• 가설 수립 – 규칙으로부터 가설 설정
• 가설 검증 – 가설을 수학적 귀납법으로 증명
3.
3. 유추 유추((유비추론 유비추론))
유추: 유사성을 바탕으로 어떤 대상에 대하여 성립하는 성질 로 부터 그와 유사한 대상의 성질을 추측하는 것
– A라는 대상과 B라는 대상이 서로 유사할 때, A에서 성립하는 성질 P(A)와 유사한 성질 P(B)가 대상 B에서 성립할 것이라고 주 장
– 사다리꼴 넓이 각뿔대의 부피
문제해결의 경우 제시된 문제와 유사한 좀 더 간단하고 쉬운 경우를 해결해 봄으로써, 본 문제와의 관련성을 조사해서 풀어보는 것
유추의 강도- 두 종류의 대상 사이의 관련된 점에서 유사 성에 좌우된다 .
유추의 예
- 비례식
2.
2. 유추 유추
- 평면기하와 입체기하의 유추 - 유한과 무한의 유추
- 가법군과 승법군(덧셈, 곱셈에 대해 각각 가환인 군) - 동형 사상(동형인 두 체계의 구조는 같다)
유추는 관계적 성질에 주목하므로 패턴이나 법칙을 다루는 수학학습에
있어서 강력한 사고 도구가 된다.
2.
2. 유추 유추
P R
Q
유추 유추 일반화
직각삼각형에 서 빗변에 세
운 정사각형 의 넓이는 다 른 두 변에 세
운 정사각형 의 넓이의 합
과 같다.
직각삼각형에 서 빗변에 세
운 정삼각형 의 넓이는 다 른 두 변에 세
운 정삼각형 의 넓이의 합
과 같다.
직각삼각형에 서 빗변에 세 운 반원의 넓 이는 다른 두 변에 세운 반 원의 넓이의
합과 같다.
직각삼각형의 각 변에 세운 도형이 서로 닮
은 도형이면, 빗변에 세운 도 형의 넓이는 다 른 두 변에 세 운 도형의 넓이
의 합과 같다.
일반화
1) 유추적 모델
유추적 모델은 간결하고 내적으로 일관된 심상을 제공하여 추론 과정 의 생산력 있는 요소를 제공한다.
(1) 유추적 모델의 종류
2.
2. 유추 유추
a. 수치적 – 대수적 기호만을 사용하는 유추적 모델 - 복소수의 연산은 실수의 연산과의 유추로 정의 - 초한수의 연산은 유한기수와의 유추로 정의
b. 직관적인 기하학적인 표현과 기호적인 표현의 유추적 모델
- 수와 도형 사이의 기본적인 동형대응에 근거한 함수의 기하학적 인 표현
c. 수학적 개념을 수학 외적으로 물질적인 것으로 표현한 유추적 모델 - Dienes 자료나 Cuisenaire 막대와 같은 구조화된 자료
- 수나 도형의 그림 표현
- 연속 함수의 개념은 연속인 곡선의 관념과 결부
- 등호의 해석에 대해 입력-출력 과정이라는 행동적 의미로 사용되는 경향
2.
2. 유추 유추((유비추론 유비추론))
(2) 유추로 인한 오개념
– 모든 점에서 미분 가능하지 않은 연속인 함수: Koch의 눈송이 곡선 – 길이가 다른 두 선분 위의 점들의 일대일 대응
– 일차원 연속체와 p차원 연속체의 점들의 일대일 대응 (순수한 수학 적 표상과 영상적 표현의 혼합에 기인한 모순)
• 이러한 오개념은 모델화되는 체계의 형식적인 성질과 모델의
직관적 성질 사이의 양립불가능 때문에 일어난다.
2) 문제해결과 유추
문제 해결 시 좀 더 단순하거나 유사한 다른 문제의 해결 방법이나 결 과를 이용하는 것이 종종 도움이 된다.
2.
2. 유추 유추((유비추론 유비추론))
– 직육면체의 대각선의 길이와 직사각형의 대각선의 길이 – 사면체의 무게중심과 삼각형의 무게중심
– 평면에 의한 공간의 분할 개수 문제와 직선에 의한 평면의 분할 개수
3.
3. 수학의 수학의 은유적 은유적 특성에 특성에 대한 대한 Lakoff Lakoff와 와 Nunez Nunez 의
의 견해 견해
• 은유 :
어떤 경험을 다른 경험과 연결하여 그 관계로부터 의미를 창 안하는 것으로 ‘전이’나 ‘이전’을 의미하는 그리스어에서 유래• 환유
: 어떤 범주의 원소나 그 현저한 속성을 사용하여 다른 원소나 전체 범주를 나타내는 것– 예: 변수는 변역의 모든 수를 나타냄)
• 은유란 사고영역 사이의 개념적 사상으로, 일상경험에 의해 동 기화되어 바탕영역의 구조를 목표영역으로 사영한다.
• 은유의 두 가지 형태
– 기초은유 : 일상의 이미지 양식과 일상적인 세계에 대한 추론을 수학 영역 으로 사영
– 연결은유 : 한 분야의 수학을 다른 분야와 관련 짓게 한다.
• 수를 직선 위의 점으로 은유적으로 이해할 때 기하의 지식을 은유를 통해 산술로 사영하게 된다.
1) 산술의 은유
• 산술연산은 대상의 집합을 구성하는 행위로 간주(은유)된다
(덧셈은 합쳐서 더 큰 집합을 만들고, 곱셈은 같은 대상을 거듭 더한다)
• 산술연산에는 또한 ‘이동’이라는 은유가 사용된다.
(산술연산은 0을 기준으로 수직선을 따라 움직이는 행위)
• 그러나 이러한 은유는 자연수와 그 기본적인 연산에 한정되며 음
3.
3. 수학의 수학의 은유적 은유적 특성에 특성에 대한 대한 Lakoff Lakoff와 와 Nunez Nunez 의
의 견해 견해
• 그러나 이러한 은유는 자연수와 그 기본적인 연산에 한정되며 음 수, 유리수, 실수로 확장되지는 못함.
2) 집합론의 은유
수학에서 집합은 용기 스키마로 집합의 원소는 그 안에 있는 대상으 로, 부분집합은 용기 내의 용기로 개념화 된다.
=> 합집합, 교집합, 여집합의 은유적 정의로 확장.
용기 스키마로서의 집합을 개념화하는 데 사용될 때, “자신이 자신 의 원소인 집합” 이라는 표현은 무의미하다.
=> Russell의 패러독스 생기지 않음
3) 함수의 은유
• 기계로서의 함수 은유 : 정의역은 투입물의 집합이고, 치역은 산출물 집합이며, 함수의 조작은 각 투입물에서 유일한 산출물 을 만드는 것.
• 집합 사이의 대응으로서의 함수 은유 : 함수는 나르고 보내고 사영하는 행동을 수행하는 대리자로 간주된다.
• 순서쌍의 집합으로서의 함수 은유
3.
3. 수학의 수학의 은유적 은유적 특성에 특성에 대한 대한 Lakoff Lakoff와 와 Nunez Nunez 의
의 견해 견해
• 순서쌍의 집합으로서의 함수 은유
4) 데카르트 평면의 은유적 구조
• 기하와 산술을 연결하는 은유
ㄱ. 수: 직선 위의 점 ㄴ. 수의크기 : 거리
ㄷ. 0 : 원점 ㄹ. ‘보다 크다’: 위에 있거나 오른쪽에 있다.
• 이러한 은유는 유클리드 기하를 산술로 사상
• 은유의 바탕영역(기하)과 목표영역(산술)의 합성, 즉 수와 수직 선 위의 점의 합성에 사용된다.
더 복잡한 은유적 개념인 좌표평면을 구성 점의 순서쌍 (x , y)로 개념화
• 산술의 연산은 은유적으로 수에서 함수로 확장할 수 있다.
5) 연속함수의 은유
• Euler – 연속함수를 좌표평면에서 ‘손을 자유롭게 움직여 그려 지는 하나의 곡선’으로 규정
ㄱ. 독립변수X : X축을 따라 움직이는 여행자
ㄴ. 종속변수Y : Y축을 따라 움직이는 여행자 (Y =f(x)) ㄷ. 점(x , y) : 여행자 F (여행자 X,Y의 이동에 의해 결정)
3.
3. 수학의 수학의 은유적 은유적 특성에 특성에 대한 대한 Lakoff Lakoff와 와 Nunez Nunez 의
의 견해 견해
ㄷ. 점(x , y) : 여행자 F (여행자 X,Y의 이동에 의해 결정)
• 극한에서 무한대를 하나의 점(∞)으로 은유
예) f(x)= 1/x인 경우 x∞일 때 lim 1/x= 0과 같이 기술
x가 점점 커질 때 1/x이 0에 점점 더 다가가지만, 실제로 도 달하지 않는다.
즉, 1/x이 0이 되는 수직선상의 실제 수는 없다.
6) 점의 집합으로서의 직선 은유와 연속성의 엄밀한 개 념화
• 곡선이나 평면을 개념화하는 두 가지 중요한 방법
a. 곡선이나 평면을 자연적인 연속체, 곧 이산적이지 않고 절대적으 로 연속 이며, 점은 곡선이나 평면 위에서의 위치(무한히 정밀한 위치)로 보는 것.
3.
3. 수학의 수학의 은유적 은유적 특성에 특성에 대한 대한 Lakoff Lakoff와 와 Nunez Nunez 의
의 견해 견해
• 양떼의 무리가 하나의 덩어리로, 소금은 개개의 결정체이지만 유동적 인 양으로서 연속적인 것으로 파악됨
b. 은유적인 것으로 곡선이나 평면을 점의 집합이라고 보는 것
• 이 은유에 따르면 점은 곡선이나 평면을 구성하는 실체이다.
• ‘다수의 양’이라는 은유의 수학적 번역
• 결국 연속인 곡선은, 정적이고 연속이고 나누어질 수 없는 양과 같은 관념, 점의 집합으로 개념화되는 관념, 운동에 의해 그려 지는 연속적인 자취라는 세 가지로 개념화된다.
• 19세기 말의 수학자들은 직선, 평면, 공간을 점의 집합으로 개념 화할 것을 요구하였다.
수학에서 논의 되는 ‘연속’
ㄱ. 자연적인 연속
ㄴ. 점의 집합으로 틈이 없음
ㄷ. 근접성의 보존(함수에 대하여)
※ 자연적 연속체인 선분이 점의 집합으로 개념화될 때 그 점의 집합은 틈이 없지만 점의 집합으로 개념화된 직선은 자연적인 연속체가 아니다.
3.
3. 수학의 수학의 은유적 은유적 특성에 특성에 대한 대한 Lakoff Lakoff와 와 Nunez Nunez 의
의 견해 견해
■ Weierstrass
- 자연적인 연속체로서의 직선의 관념을 거부하고 대신에 점의 집합으로서 의 직선의 개념을 받아들임.
- 극한 정의
ㄱ. 여행자가 움직여 극한에 ‘접근하는’ 아이디어가 없는 정의를 제시.
ㄴ. ‘실수의 근방에서의 근접성의 보존’ 개념을 사용하여 순수하게 정적이 고 비기하학적이며, 형식적인 논리를 사용하고 이산적인 용어로 극한에 접 근하는 관념을 재개념화 함.
- 연속성 정의
ㄱ. 극한에서와 같이 ‘근접성의 보존’ 이라는 아이디어 사용
ㄴ. ’연속 개념’은 실수의 집합에만 적용되고 자연적인 기하학적 연속체에 적용되는 것은 아니다.
• 곡선
ㄱ.전형적인 곡선
: 점의 움직임에 의하여 생성될 수 있고, 연속 이고, 접선을 가지며, 길이를 가지고 있고, 닫혀 있을 때 그것은 영역의 완전한 경계를 형성하며, 그 영역은 넓이를 가지고 있고, 곡선은 곡면이 아니며, 두 개의 곡면이 만나 형성 된다.ㄴ.병적인 괴물 함수
3.
3. 수학의 수학의 은유적 은유적 특성에 특성에 대한 대한 Lakoff Lakoff와 와 Nunez Nunez 의
의 견해 견해
ㄴ.병적인 괴물 함수
: 전형적인 곡선의 성질을 만족하지 않는 함수• f(x)=xsin(1/x) (x≠0) ,0 (x=0)
• Weierstrass 의 근접성의 보존에 대한 정의가 ‘연속성의 정의’ 이 라고 널리 인식된 이유?
☞ Weierstrass의 은유가 우리의 정상적인 직관과 일치하는 것이 기 때문
7) 수학적 아이디어의 교육
- 기본적인 수학적 개념은 일상적인 경험에 은유적으로 기초하고 있으며 일상적인 개념체계를 사용한다.
- 수학은 수학적 아이디어로 가르쳐야 하며 학생들은 수학을 그 아 이디어로 이해할 권리가 있다.
3.
3. 수학의 수학의 은유적 은유적 특성에 특성에 대한 대한 Lakoff Lakoff와 와 Nunez Nunez 의
의 견해 견해
이디어로 이해할 권리가 있다.
수학교육은 필연적으로 수학의 은유적인 구조를 가르쳐야 한 다.
