Engineering Mathematics I

(1)

Bong-Kee Lee

School of Mechanical Systems Engineering Chonnam National University

Engineering Mathematics I

2. Second-Order Linear ODEs

2.1 Homogeneous Linear ODEs of 2 ^nd Order

 2계 선형상미분방정식

– 표준형(standard form)

 

x y q

 

xy r

 

x p

y'' '  nonhomogeneous

 

'

 

0 '

'px yqx y

y homogeneous

 

0 ' ''

0 1 ' ''

cos 25

'' example

2









 ^

y y y

y xy y

x e y

y ^x 2nd order nonhomogeneous linear ODE 2nd order homogeneous linear ODE 2nd order homogeneous nonlinear ODE

(2)

School of Mechanical Systems Engineering Engineering Mathematics I

2.1 Homogeneous Linear ODEs of 2 ^nd Order

 중첩의 원리(superposition principle) 또는 선형성의 원리(linearity principle)

– 주어진 해에 어떤 상수를 더하거나 곱함으로써 추가적인 해를 얻을 수 있음

– (정리) 제차 선형상미분방정식에 대하여, 어떤 열린 구간 I 에서 두 개 해의 일차결합은 다시 구간 I에서 주어진 미분 방정식의 해가 된다. 특히 그러한 방정식에 대해서는 해들 의 합과 상수곱도 다시 해가 된다.

2 2 1 1

2 1&

0 ' ''

y c y c y

y y y y

qy py y















2.1 Homogeneous Linear ODEs of 2 ^nd Order

 중첩의 원리(superposition principle) 또는 선형성의 원리(linearly principle)

– 비제차 선형상미분방정식 및 비선형 상미분방정식에는 적 용되지 않음

 

  

   

0 sin 2 cos 7 . 4 sin 2 cos 7 . 4

sin 2 cos 7 . 4 '' sin 2 cos 7 . 4

sin 2 cos 7 . 4

0 sin sin sin '' sin 2

0 cos cos cos '' cos 1

sin

&

cos 0

'' example

















































x x x

x

x x x

x

x x y

x x x x

x y x y y

y

 

  

 



1 cos

 

'' 21 cos



2cos 2 2cos 2 2

cos 1 2

1 sin 1 sin sin 1 '' sin 1 2

1 cos 1 cos cos 1 '' cos 1 1

sin 1

&

cos 1 1 '' example















































x x

x y

x x

x y

y y

 

     

    

     

² ² ² ²

2

2 2 2 2 2

2

4 ' ''

0 ' 1 1 '' 1 2

0 2 2 ' ''

1

&

0 ' '' example

x x x x x x y

x

x x x x x x

y x y xy y y

































(3)

2.1 Homogeneous Linear ODEs of 2 ^nd Order

 초기값 문제(initial value problem, IVP)

– 2계 제차 상미분방정식의 일반해(general solution)

– 2계 제차 상미분방정식에는 두 개의 초기조건이 요구됨

– 2계 제차 상미분방정식의 초기값 문제

2 2 1

1y C y

C

y 

 

x0 K0 & y'

 

x0 K1

y  

   

 

0 0& '

 

0 1

with

0 '

' '

K x y K x y

y x q y x p y





2.1 Homogeneous Linear ODEs of 2 ^nd Order

 초기값 문제(initial value problem, IVP)

     

 

   

 

x x

y

C y x C x C y

x C x C y x y x y

y y

sin 5 . 0 cos 0 . 3

5 . 0 0

' cos sin

'

0 . 3 0 sin cos

step 2nd

sin cos

sin

&

cos step 1st

5 . 0 0 ' , 0 . 3 0 , 0 '' example

2 2

1

1 2

1

2 1







































general solution

particular solution

(4)

2.1 Homogeneous Linear ODEs of 2 ^nd Order

 기저(basis) 또는 기본시스템(fundamental system)

– 일반해를 구성하는 해(y

₁

, y

₂

)는 구간 I에서 1차 독립 (linearly independent)이어야 함

– 비례(proportional)

• 주어진 두 초기조건을 만족시키는 해를 정의할 수 없음

– 1차 독립

– 1차 종속(linearly dependent)

0 const

2

1ky k 

y

0

0 ₁ ₂

2 2 1

1y k y  k k 

k

2.1 Homogeneous Linear ODEs of 2 ^nd Order

 기저(basis) 또는 기본시스템(fundamental system)

– 기저: 1차 독립인 해의 쌍(pair)

     

   

x x

x x x x x

x x x x

x x

e e y

C C y

e C e C y C y C y

e e e y y

e e e e y y

e y e y

y y y y





































































4 2

2 0

' 2

6 0

1

const

0 ''

'' 2

0 ''

'' 1

?

&

2 0 ' , 6 0 , 0 '' example

2 1

2 1 2 2 1 1

2 2

1 2 2

1 1

2 1

general solution

particular solution

(5)

2.1 Homogeneous Linear ODEs of 2 ^nd Order

 차수 축소(reduction of order)

– 하나의 해를 알고 있을 때, 두 번째 독립해를 1계 상미분 방정식을 이용하여 구할 수 있음

   

     

   

 











 



 



 







 



 



 





















































 y uy y Udx

y e U

pdx y U

dx y p

y U U dU y p

U y

U u U u py

y u y u

qy py y u py y u y u

uy q uy y u p uy y u y u

y x q y x p y

uy y u y u uy y u y u y u y y

uy y u y y uy y y

y y

x q y x p y

pdx

1 1 2 2

1

1 1

1

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 2

1 1 2 1

2

1

&

1

ln 2 ' ln

0 2 '

' 2

' '' , ' 0 '

2 ' ''

0 ' '' '

2 ' ''

0 '

' '' ' ' 2 ''

0 '

''

'' ' ' 2 '' '' ' ' ' ' '' '' ''

' ' ' '

solution, known e with th 0 '

''

2.1 Homogeneous Linear ODEs of 2 ^nd Order

 차수 축소(reduction of order)

   

         

   

1 1 ln

ln

1 1 1 1

ln ln 2 1 ln ln

2 1 1 0 2

2 ' : '

0 ' 2 '' 0

' ' 2 ''

' 2 '' ' ' '' '' '

'

? then , intuition, by

0 ' '' example

2

2 2

2

2 2

1 2

2 1

2















 



 











 



 

 



 

































































x x ux x y

x u

x x x x dx v du x x x x

v

x dx dx x

x x

x v v dv x v x x u v

u x u x x ux u x u x u x u x x

u x u u u x u y u x u y

ux uy y y

y x y

y xy y x x

separating variables

(6)

2.2 Homogeneous Linear ODEs: Const. Coffs.

 상수계수를 갖는 2계 제차 선형상미분방정식

– 특성방정식(characteristic equation), 보조방정식(auxiliary equation)

     

0 ' ''

' ''











by ay y

x r y x q y x p y

 

⁰

' '' :

''

&

' assuming

by

2 2

2



















x x

x

e b a be

e a e by ay y

e y e y e y



2ab0

 ₁&₂y₁e^¹^x&y₂e^²^x

2.2 Homogeneous Linear ODEs: Const. Coffs.

 특성방정식의 근에 따른 세 경우

– (a)>0: 두 개의 서로 다른 실근(two real roots) – (a)=0: 실 이중근(real double root)

– (a)<0: 공액 복소근(complex conjugate roots)

2 4 0

2 2

, 1 2

b a b b a















 _(a)

(7)

2.2 Homogeneous Linear ODEs: Const. Coffs.

 특성방정식의 근에 따른 세 경우(I)

– 두 개의 서로 다른 실근(two real roots)

x

x Ce

e C

y ₁ ¹ ₂ ²

2

1& ^ ^

    general solution

     

 

   

x x

e e y

C C C

C y

C C y

e C e C y

y y y y y

2

2 1 2

1 2 1

2 2 1

2

3

3 , 5 1

2 0 '

4 0

solution particular

solution general

2 , 1 0 2 equation

stic characteri

5 0 ' , 4 0 , 0 2 ' '' example





















































2.2 Homogeneous Linear ODEs: Const. Coffs.

 특성방정식의 근에 따른 세 경우(II)

– 실 이중근(real double root)

x

x Cxe

e C

a y  



₁ ₂ ₁ ₂

2  





 general solution

     

 

   

 

   

 

^x

x x

x

e x y

C C C

C y

e xC C e

C x y

C y

e xC C y

y y y y y

5 . 0

2 1 1

2

5 . 0 2 1 5 . 0 2 1

5 . 0 2 1

2

2 3

2 , 3 5

. 3 5 . 0 0 '

5 . 0 '

3 0

solution particular

solution general

5 . 0 0

25 . 0 equation

stic characteri

5 . 3 0 ' , 3 0 , 0 25 . 0 ' '' example























































(8)

2.2 Homogeneous Linear ODEs: Const. Coffs.

 특성방정식의 근에 따른 세 경우(III)

– 공액 복소근(complex conjugate roots)

x e

C x e

C y a i

a i  _ax  _ax 

 cos sin

, 2 2

2 / 2 2

/ 1 2

1



 















general solution

     

 

   

x e

y

C C C

y

x e

C x e

C x y

C y

x e

C x e

C y i

y y y y y

x

x x

3 sin

1 , 0 3

3 0 '

3 cos 3

3 sin 2

'

0 0

solution particular

3 sin 3

cos solution

general 3 2 . 0

0 04 . 9 4 . 0 equation stic characteri

3 0 ' , 0 0 , 0 04 . 9 ' 4 . 0 '' example

2 . 0

2 1 2

2 . 0 2 2

. 0 2 1

2 . 0 2 2

. 0 1

2















































2.2 Homogeneous Linear ODEs: Const. Coffs.

 특성방정식의 근에 따른 세 경우(III)

– 공액 복소근(complex conjugate roots)

x e

C x e

C y a i

a i  ax  ax 

 cos sin

, 2 2

2 / 2 2

/ 1 2

1



 















 



x i x



e e e e

e y

x i x e

e e e

e y

a i i

a a

a b b a b

a

b a b a

a

ax x x i x a a i x

ax x x i x a ai x



 

 





 



 



sin cos

2 2

4

4 4 4

0 4

2 0 4

2 2 2

2

2 2 2

1

2 2 2

, 1

2 2

, 1 2

2 1









 

 







































 

 



 



 



 



 



 



1 2



2



1 2



1 2

, 1 2

1 y y

Y i y y

Y    



 

sin

cos i

eⁱ  

Euler formula

(9)

2.3 Differential Operators

 연산자(operator)

– 함수를 다른 함수로 바꾸는 변환을 의미 – 미분연산자(differential operator)

– 항등연산자(identity operator)

– 선형연산자(linear operator)

' y dxy y d dx

d   

 D

D

y y I



^a ^b



^y ^y ^a ^y ^b^y ^y ^ay ^by

y

b a



















'

2 ''

2 2

I D D I D D

I D D L L

2.4 Modeling: Free Oscillations

 자유진동(free oscillation): 질량-용수철 시스템 (mass-spring system)

2 ''

2

dt my y md ma

F  



Newton’s second law

ky

F Hooke’s law

0 0

0  





^F^W ^ks ^mg ^ks static equilibrium

0 ''

''













 ky my

my ky F

undamped system

(10)

2.4 Modeling: Free Oscillations

– 비감쇠 시스템(undamped system)

• 조화진동(harmonic oscillation)

 

   

A B B

A C t C t y

m t k

B t A t y ky my

1 2

2 0

0 0 0

tan ,

, cos

, sin cos

0 ''

 



























amplitude

(진폭) phase angle (위상각)



 2

0

natural frequency (고유주파수, Hz) (a)

(b) (c)

1 ) c (

0 ) b (

1 ) a (

1 ,

0 1





B B B

 A

2.4 Modeling: Free Oscillations

– 감쇠 시스템(damped system)

' cy

F damping force

0 ' ''

'' '















ky cy my

my cy ky F

damped system

homogeneous 2nd order linear ODE

(case I) overdamping (case II) critical damping (case III) underdamping

m mk c k c

c

m 2

0 4

2

2   









  



(11)

2.4 Modeling: Free Oscillations

– 감쇠 시스템(damped system): 과감쇠(overdamping)

 

^ ^ ^ ^

m mk c m

e c C e

C t y

mk c ky cy my

t t

2

& 4 2

, 0 4 0 ' ''

2 2

1

2

 





















^ ^ ^ ^  

2.4 Modeling: Free Oscillations

– 감쇠 시스템(damped system): 임계감쇠(critical damping)

   

m e c

t C C t y

mk c ky cy my

t

2 ,

0 4 0 ' ''

2 1

2



















^ 

(12)

2.4 Modeling: Free Oscillations

– 감쇠 시스템(damped system): 저감쇠(underdamping)

     

m c mk m

t c Ce

t B t A e t y

mk c ky cy my

t t

2

* 4

&

2 ,

* cos

* sin

* cos

0 4 0 ' ''

2 2

 

























^   ^    

frequency





2 1 2 4 2

* ²

m c mk



as c→0









2 1 2

2

* ₀

m

 k



2.4 Modeling: Free Oscillations

– 감쇠 시스템(damped system)

c↓

(13)

2.4 Modeling: Free Oscillations

– 감쇠 시스템(damped system)

c=10 c=5 c=1 c=0

2.5 Euler-Cauchy Equations

 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy equation)

– 2계 제차 상미분방정식의 한 형태

0 ' '

2y'axyby x

 

   

 



1



0

0 1

1 ''

'

, assuming

by

2

1 2

2 2 1











































b m a m

b am m m

bx mx ax x m m x x m m y

mx y

x x y

m m m

m m

m

characteristic equation

(14)

2.5 Euler-Cauchy Equations

– (case I) 서로 다른 두 실근

– (case II) 이중근

– (case III) 공액복소근

 

2 1

2 1 0 ,

m

m Cx

x C y

m m b m a m

















 

^m

m

m C x x C C xx

x C y

m b m a m

ln ln

0 1

2 1 2

1 2





















 

   



A x B x



x y

i m b m a m

ln sin ln

cos 0

2 1





 



















2.5 Euler-Cauchy Equations

       

     

     

       

   

 

x x y x u x u U xU

U u U

xu u xu u x xu m mxu u x

y xu m y

mx u y u x

u y m xy m y

x y xu m y

u y u x

y m uy y u x m uy

y u y u uy x

y u y u y y

uy y u y y

uy y y mx mx y x y

a m b m a a m

b a

b a m a

b m a m x y by axy y x

m m

m

ln ln

1 ' 1 0

' : '

0 1 ' '' 0 ' '' 0 ' 2 1 ' 2 ''

0 ' 2 1 '

2 ''

0 '

2 1 '' '

2 1 ' ' 2 ''

0 '

' 2 1 '' ' ' 2 '' ''

' ' 2 '' '' ''

' ' ' '

' ,

4

& 1 2 1 21

then 1 , 0 4 1 if

2 4 1 0 1

1 0

' '' example

2 2

2

1 1

2

1 2 1 1

2 1 1

1 2

2 2 1 1 1

1 1 2 1 1 1 2

1 1 2

1 2 1 1 1 1 1

2 2 2

2 2

2

























































































 

















 























(15)

2.5 Euler-Cauchy Equations

       

 

       

   



A x B x



x y

Y C Y C y x x

y i y Y

x x

y y Y

x i x x

e x e

x x x x y

x i x x

e x e x x x x y

x y x y i m b

a

b a m a

b m a m x y by axy y x

x i i

x i

i

x i i

x i

i

i i

m

ln sin ln

cos

ln 2 sin

1

ln 2 cos

1

ln sin ln cos

&

then , 0 4 1 if

2 4 1 0 1

1 0

' '' example

2 2 1 1 2

1 2

2 1 1

ln ln

2

ln ln

1

2 1

2

2 2

2







 













 











































































 





















 









2.6 Existence and Uniqueness of Solutions

 해의 존재성과 유일성

– 연속적인 가변변수를 가지는 제차 선형미분방정식의 해

   

 

0 0, '

 

0 1

with

0 '

' '

K x y K x y

y x q y x p y





2 2 1

1y c y

c y 

solution ?

Theorem 1

Theorem 4

(16)

2.6 Existence and Uniqueness of Solutions

   

 

. interval on the

solution unique a has problem value initial ing correspond then the

, in is and interval open some on functions continuous

are and If

1.

Theorem

0

I

x y

I x I x

q x p

   

       

constants.

suitable are , and on ODE the of solutions of

basis any is , where

form the of is on solution

every then ,

interval open some on and ts coefficien continuous

has ODE given the If

4.

Theorem

2 1 2

1

2 2 1 1

C C I y

y

x y C x y C x Y

I x Y y I

x q x p





2.6 Existence and Uniqueness of Solutions

– Wronski 행렬식(determinant) 또는 Wronskian

 

^' ^'

'

, ' ₁ ₂ ₂ ₁

2 1

2 1 2

1 yy y y

y y

y y y

y

W   



y₁,y₂



0 y₁,y₂:linearly dependent

W  

 



















x x

y y

y W y

x y

y y

2 2

2 1

2

sin cos

' '

sin , cos

0 ''

example

 

 

^x ^x ^x

x x

e xe e x

y y

y W y

xe y e y

y y y

2 2 2

2 1

1

' ' ,

0 ' 2 '' example





















(17)

2.7 Nonhomogeneous ODEs

 2계 비제차 상미분방정식

– 일반해

• 제차 상미분방정식의 일반해 + 비제차방정식의 어떤 해

– 제차 방정식의 해와 비제차 방정식의 해 사이의 관계

• 비제차 방정식의 두 해의 차는 제차 방정식의 해

• 비제차 방정식의 해와 제차 방정식의 해의 합은 비제차 방정식의 해

 

^'

   

⁰

'

'px yqxyrx  y

     

       

























x r y x q y x p y x y

y x q y x p y y C y C x y

x y x y x y

p p p

p

h h h

h

p h

' ''

0 '

1 ''

2 1 1

2.7 Nonhomogeneous ODEs

 미정계수법(method of undetermined coefficients)

– 비제차 방정식의 어떤 해를 구하기 위한 방법

– 일반적인 방법(매개변수 변환법, method of variation of parameter; Chap. 2.10)보다 간단하게 적용이 가능

– 상수계수를 가지는 선형상미분방정식에 적합

ke^x Ce^^x

 

^x

r y_p

 

x



0,1,



n

kxⁿ K_nxⁿK_n_₁xⁿ^¹K₁xK₀ x

k x

kcos or sin KcosxMsinx x

ke x

ke^^xcos or ^^xsin e^^x



KcosxMsinx



(18)

2.7 Nonhomogeneous ODEs

– 선택 규칙(I): 기본 규칙(basic rule)

• 비제차 상미분방정식의 r(x)가 표의 함수 중 하나라면, 같은 줄의 y_p를 선택하고, y_p와 그 도함수를 비제차 상미분방정식에 도입하 여 미정계수를 결정함

     

 

   

002 . 0 001 . 0 002

. 0 , 0 , 001 . 0

2 2

001 . 0 '' 2

'' 2 '

~ 001 . 0 solution particular :

step 2nd

sin cos 0

'' solution s homogeneou :

step 1st

5 . 1 0 ' , 0 0 with 001 . 0 '' example

2 0

1 2

0 2 1 2 2 0 1 2 2 2

2

2 1 2

0 1 2 2

2 2





























































x y

K K K

K K x K x K K x K x K K

x y

y K

y

K x K y

K x K x K y

kx x x

r

x B x A y y y

y y x y y

p p p p

p p

n h

2.7 Nonhomogeneous ODEs

 

002 . 0 001 . 0 sin 5 . 1 cos 002 . 0

5 . 1 0 '

002 . 0 cos sin '

002 . 0 0 002 . 0 0

conditions initial

: step 3rd

002 . 0 001 . 0 sin cos

002 . 0 001 . 0

&

sin cos

2 2 2















































x x x

y B y

x x B x A y

A A

y

x x B x A y y y

x y

x B x A y

p h

 

x y

 

x y_h

 

x y_p

(19)

2.7 Nonhomogeneous ODEs

– 선택 규칙(II): 변형 규칙(modification rule)

• 만약 y_p로 선택된 항이 비제차 상미분방정식에 대응하는 제차 상 미분방정식의 해가 된다면, 선택된 y_p에 x(또는 x²)를 곱함

     

   

 

   

x p

p p x p

x p

x x p

x x

x h

x

e x y

C Cx

x x C x x C

e y y y e

x x C y

e x x C y

Ce e Cx y

ke e x r

e x C C y y y y

y y e

y y y

5 . 1 2

2 2

2

5 . 1 5

. 1 2 5 . 1 2

5 . 1 5 . 1 2

5 . 1

5 . 1 2 1 5

. 1

5

5 10

25 . 2 5 . 1 2 3 25 . 2 6 2

10 25 . 2 ' 3 '' 25

. 2 6 2 ''

5 . 1 2 '

~ 10 solution

particular :

step 2nd

0 25 . 2 ' 3 '' solution s homogeneou :

step 1st

0 0 ' , 1 0 with 10

25 . 2 ' 3 '' example

















































































2.7 Nonhomogeneous ODEs

 

   

^x

x x

x p

h

x p

x h

e x x y

C C

y

e x x C C e

x C y

C y

e x x C C y y y

e x y e x C C y

5 . 1 2

2 2

5 . 1 2 2 1 5 . 1 2

1

5 . 1 2 2 1

5 . 1 2 5

. 1 2 1

5 5 . 1 1

5 . 1 0

5 . 1 0 '

5 5

. 1 10

'

1 0

conditions initial

: step 3rd

5 5

&

















































 

^x

y

 

x y_h

 

^x

y_p

(20)

2.7 Nonhomogeneous ODEs

– 선택 규칙(III): 합 규칙(sum rule)

• 만약 r(x)가 표의 함수들의 합이라면, 이에 대응하는 함수들의 합 으로 y_p를 선택함

     

   

x e

y

K M C

x x

e y y y x M x K Ce y

x M x K y Ce y

x x

y e y y y y

x M x K ke x x

e x r

x B x A e y y y y

y y

x x

e y y y

x p

x p p p x

p

p x p

p x p p p p

x x

x h x

10 sin 2 16 . 0

0 , 2 , 16 . 0

10 sin 190 10 cos 40 5

' 2 '' 10 sin 10 cos

10 sin 10 cos

&

10 sin 190 10 cos 40

~

&

~

sin cos

~ 10 sin 190 10 cos 40 solution

particular :

step 2nd

2 sin 2 cos 0

5 ' 2 '' solution s homogeneou :

step 1st

08 . 40 0 ' , 16 . 0 0 with 10 sin 190 10 cos 40 5

' 2 '' example

5 . 0

5 . 0 5

. 0

2 5 . 0 1

1 5 . 0 1 2 1

5 . 0 5

. 0









































































2.7 Nonhomogeneous ODEs

 

x y

 

x y_h

 

x y_p

 

x e

x e y

B B

y

x e

x B e x B e y

A A

y

x e

x B x A e y y y

x e

y x B x A e y

x x

x

x x

p h

x p

x h

10 sin 2 16 . 0 2 sin 10

10 08

. 40 20 08 . 0 2 0 '

cos 20 08 . 0 2 cos 2 2 sin '

0 16 . 0 16 . 0 0

conditions initial

: step 3rd

10 sin 2 16 . 0 2 sin 2 cos

10 sin 2 16 . 0

&

2 sin 2 cos

5 . 0

5 . 0 5 . 0





















































Engineering Mathematics I

Bong-Kee Lee