2019 일등급 수학 중3 상 답지 정답

T H E F I R S T C L A S S M A T H E M A T I C S

일등급 수학

·

중등

수학

3

(상)

[해설편]

실수와 그 계산

01 제곱근과 실수 5 02 근호를 포함한 식의 계산 8 ❖ 대단원 만점 문제 10

Ⅰ

다항식의 곱셈과 인수분해

03 다항식의 곱셈 11 04 다항식의 인수분해 14 ❖ 대단원 만점 문제 19

Ⅱ

이차방정식

05 이차방정식 20 06 이차방정식의 활용 24 ❖ 대단원 만점 문제 28

Ⅲ

단원별 테스트

(학교시험 대비)

01 제곱근과 실수 38 02 근호를 포함한 식의 계산 39 03 다항식의 곱셈 40 04 다항식의 인수분해 41 05 이차방정식 42 06 이차방정식의 활용 43 07 이차함수와 그 그래프 44 08 이차함수의 활용 46 특별 부록

이차함수

07 이차함수와 그 그래프 29 08 이차함수의 활용 33 ❖ 대단원 만점 문제 36

Ⅳ

수정 수정

실수와 그 계산

Ⅰ

0

1

제곱근과 실수

01

③

02

④

03

⑤

04

6

05

5

06

④

07

0

08

최솟값 : 21, 최댓값 : 525

09

①

10

②

11

③

12

①

13

114

14

54

_'2

15

-2aÜ`

16

(7, 97)

17

0

18

④

19

①, ⑤

20

a=-1-

'¶10, b=-1+'¶10

21

-1+

'2

22

'6-'5

23

⑤

24

①

25

_{- 2x}

26

10

27

14개

28

7개

0

2

근호를 포함한 식의 계산

29

③

30

①

31

6

32

④

33

⑴

;4#; ⑵ '¶10

34

⑤

35

①

36

:¢3»:

37

④

38

6

39

x=

'2

40

15.496

41

③

42

⑤

43

1

44

1

45

10

'2

46

;2!;

47

2

'2`-1

48

③

❖ 대단원 만점 문제

01

①, ②

02

aÛ`-bÛ``-cÛ`

03

2+2

'2

04

41

05

②

06

a=4, A=13

07

④

08

x=

'5 , y= '2

₂

다항식의 곱셈과 인수분해

Ⅱ

0

3

다항식의 곱셈

01

③

02

⑴ 7 ⑵ 3

03

③

04

④

05

⑤

06

5

07

⑤

08

⑤

09

해설 참조

10

⑤

11

⑴

x¡`-2xÝ`+1 ⑵ xÝ`+xÛ`+1

12

②

13

7

14

①

15

②

16

①

17

②

18

④

19

③

20

④

21

①

22

8

23

⑤

24

20`cm

25

②

26

⑤

27

⑤

28

④

0

4

다항식의 인수분해

29

ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ

30

③

31

④

32

⑤

33

②

34

11

35

;;Á;4%;¦;;

36

②

37

13

38

②

39

③

40

24

41

4

'2

42

③

43

③

44

③

45

⑤

46

④

47

a=4x+8

48

xÛ`-3x-18=(x+3)(x-6)

49

⑴ (x+y-1)(2x-y+2) ⑵ (a-3b+2)(2a+b-3)

50

②

51

⑴ (xÛ`+5x-2)(xÛ`+5x+8)

⑵ (x+2)(x+6)(xÛ`+8x+10)

52

64

53

13

54

(xÛ`+9x+6)(xÛ`+3x+6)

55

5

'3

56

3

57

;9%;

58

2

59

;2!0!;

60

1개

61

'¶2a

_a

62

9개

63

⑴`aÛ`+bÛ`+cÛ`+2ab-2bc-2ca ⑵ - 5ab

_{18 ⑶ -24b}

64

⑴ (nÛ`+3n+1)Û` ⑵ 330

65

8

66

2

67

a=2, b=1

68

④

69

14

70

⑤

❖ 대단원 만점 문제

01

③, ⑤

02

②

03

④

04

⑤

05

4

06

(x-3y+1)Û`

07

195

08

60`cm

빠른

정답

찾기

수정

이차방정식

Ⅲ

0

5

이차방정식

01

⑴

x=-

;2#; 또는 x=3 ⑵ x=-;5#; 또는 x=1

⑶

x=17 (중근)

02

x=3

03

②

04

③

05

-4-4

'2

06

;7#;

07

②

08

⑴

-

;3$; ⑵ 9

09

-3

10

8

11

-1

12

①

13

5

14

②

15

-3

16

⑤

17

-4

18

④

19

:Á2°:

20

⑤

21

③

22

6개

23

⑴

x= 5Ñ'¶17

₂

⑵

x= 1Ñ'¶11

₃

24

①

25

13

26

a=1 또는 a=9

27

6

28

x=1 또는 x= c-a

_a-b

0

6

이차방정식의 활용

29

⑤

30

④

31

④

32

48

33

-2

34

10

35

17

36

a=2, b=1

37

2

38

;4#;

39

x=4 또는 x=-2

40

xÛ`-8x-1=0

41

-4

42

m=1 또는 m=4

43

⑤

44

x=

;2!; 또는 x=;3!;

45

19

46

x=

;2#; 또는 x=2

47

6초 후

48

1+

₂

'5

49

5초 후

50

x=10

51

x=2

52

x=20

53

4개

54

⑴

{1+ x

_{100 }a ⑵ {1+}

_{100 }{1-}

x

_{250 }ab}

x

⑶ 50`%

55

95

56

P(6, 9)

❖ 대단원 만점 문제

01

2

02

-4

03

4

04

④

05

⑤

06

①

07

3개

08

550원 또는 650원

이차함수

Ⅳ

0

7

이차함수와 그 그래프

01

③

02

④

03

②

04

②

05

A

{;2#;, ;4(;}

06

3

07

9

08

④

09

B

{;3@;, ;9!;}

10

;9*;

11

④

12

②

13

제

4사분면

14

④

15

ac<0

16

①

17

y=-2(x-4)Û`+3

18

⑤

19

③

20

-1

21

-2

22

16

23

9

24

①

25

;2!;

26

5

27

;5!;

28

10101

0

8

이차함수의 활용

29

y=

;4!;(x+2)Û`

30

③

31

aÉ-

;9@;

32

y=3xÛ`-12x

33

30

34

y=-

;2!;xÛ`+;2#;x+5

35

④

36

④

37

-5

38

④

39

③

40

②

41

①

42

-6

43

4

44

y=2x+3

45

27

46

15

47

9`m

48

;3*;

❖ 대단원 만점 문제

01

1

02

②

03

-6

04

해설 참조

05

⑤

06

-

;9%;<a<0

07

2

08

⑤

수정

특별 부록

단원별 테스트

(학교시험 대비)

0

1

제곱근과 실수

01

⑴

a=81, b=9,`c=3 ⑵ Ñ10

02

ㄴ, ㄹ, ㅁ

03

②

04

④

05

S(2+

'2), T(3-'2)

06

②

07

3개

08

6

09

2

10

x=11

0

2

근호를 포함한 식의 계산

01

15

02

③

03

-1

04

⑤

05

③

06

①

07

①

08

⑴ 4'3

_{15 ⑵ x=-'2-}

'3

₂

09

;1Á8;

10

118

0

3

다항식의 곱셈

01

①

02

;2#;

03

③

04

ㄱ, ㄴ

05

⑤

06

⑤

07

②

08

②

09

①

10

a=22, b=6

0

4

다항식의 인수분해

01

⑤

02

⑴ (a-b-3)(a-b+3)

⑵ (x-y-z)(x+y-z) ⑶ (a-b+c)(a+b-c)

03

⑤

04

8

05

②

06

③

07

⑴ 10 ⑵ 50100

08

②

09

2배

10

⑴ 3xy-xÛ`-2yÛ`

⑵ (8, 7), (7, 5), (8, 5), (13, 7)

0

5

이차방정식

01

a+2

02

④

03

①

04

②

05

③

06

③

07

3

08

③

09

;1Á2;

10

⑴ 2 ⑵ -4 ⑶ x=

_;6&;

0

6

이차방정식의 활용

01

-12

02

⑤

03

4

04

④

05

④

06

36

07

③

08

⑤

09

26 또는 34

10

1`m

0

7

이차함수와 그 그래프

01

③, ⑤

02

2

03

④

04

④

05

-

;4!;

06

-18

07

②

08

28

09

③

10

6

0

8

이차함수의 활용

01

⑴

y=-xÛ`+4x+3 ⑵ y=-2xÛ`+4x+6

02

y=xÛ`-4x-5

03

①

04

;3!;ÉaÉ3

05

36`m`

06

①

07

1

08

;3*;

09

y=x+4

10

80`m 초과

빠른 정답 찾기 수정

제곱근과 실수

Ⅰ

01

실수와 그 계산

Ⅰ

문제편 8P

0

1

제곱근과 실수

01

답

③

① 제곱근 2는 '2 이므로 양수이다. (거짓) ② 제곱근 4는 2이다. (거짓) ③ '¶16=4이므로 '¶16의 제곱근은 Ñ2이다. (참) ④ 4의 제곱근은 Ñ2의 2개이다. (거짓) ⑤ 반례 0의 제곱근은 0 하나뿐이다. (거짓)

02

답

④

'¶16=4의 제곱근은 2, -2의 2개이고, 이 중 음의 제곱근은 -2이 므로 a=-2 또한, "Ã(-3)Û`='9=3의 제곱근은 '3, -'3의 2개이고, 이 중 양의 제곱근은 '3이므로 b='3 ∴ a+b=-2+'3

03

답

⑤

a-b<0, ab<0이므로 a<0, b>0이다.

∴ "ÅaÛ`-"Ã(a-b)Û`+"Ã( b-2a)Û`+"Ã(-3b)Û` =-a+(a-b)+(b-2a)-(-3b) (∵ b-2a>0) =-a+a-b+b-2a+3b=-2a+3b

04

답

6

¾¨ 24a_{5 =¾¨}2Ü`_3_a<sub>5</sub> 이므로 자연수가 되도록 하는 최소의 자연수 a는 a=2_3_5=30 '¶54b="Ã2_3Ü`_b이므로 자연수가 되도록 하는 최소의 자연수 b는 b=2_3=6 ∴ 'Äa+b='Ä30+6='¶36=6

05

답

5

'¶9x+'y=5에서 3'§x+'y=5 y ㉠ '§x-'¶25y=-9에서 '§x-5'§y=-9 y ㉡ ㉠-3_㉡을 하면 3'§x+ 'y=5 ->³3'§x-15'y=-27 16'y=32 'y=2 ∴ y=4 y ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 '§x-5_2=-9이므로 '§x=1 ∴ x=1 ∴ x+y=1+4=5

06

답

④

A="Ã(x-1)Û`+"Ã(x+1)Û`=|x-1|+|x+1| ㄱ. x¾1일 때, x-1¾0, x+1>0이므로 A=(x-1)+(x+1)=2x (참) ㄴ. -1Éx<1일 때, x-1<0, x+1¾0이므로 A=-(x-1)+(x+1)=-x+1+x+1=2 (거짓) ㄷ. x<-1일 때, x-1<0, x+1<0이므로 A=-(x-1)-(x+1)=-x+1-x-1=-2x (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

07

답

0

5p+3>6{p+;2!;}에서 5p+3>6p+3 ∴ p<0 따라서 "Ã(-5p)Û`=-5p, "9pÛ`=-3p, ('Ä-2p)Û`=-2p ∴ (주어진 식) =-5p-(-3p)-(-2p) =-5p+3p+2p=0

08

답

최솟값 : 21, 최댓값 : 525

®É 84_{n =¾¨}2Û`_3_7<sub>n</sub> 이 유리수가 되게 하는 n의 값 중 최솟값은 3_7=21이고, 최댓값은 3_7_kÛ`(단, k는 자연수)이다. 이때, 0<n<600이므로 0<21kÛ`<600 ∴ 0<kÛ`<28.××× 따라서 n의 값 중 최댓값은 3_7_25=525이므로 최솟값은 21, 최댓값은 525

09

답

①

®É 2000_{n =¾¨}2Ý`_5Ü`_n 이 자연수가 되게 하는 자연수 n의 값을 구하면 n=5, 2Û`_5, 2Ý`_5, 5Ü`, 2Û`_5Ü`, 2Ý`_5Ü` 따라서 모든 자연수 n의 값들의 곱은 2Ú`Û`_5Ú`Û`=(2_5)Ú`Û`이므로 a=2, b=5 (∵ a<b), m=12 ∴ a+b-m=-5

10

답

②

'¶12ab ="Ã2Û`_3_a_b이므로 ab=3kÛ`(k는 자연수)에서 가능한 ab의 값은 3, 12이다. 따라서 자연수 a, b에 대하여 가능한 (a, b)의 순서쌍은 (1, 3), (3, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3)으로 6개이다. ∴ (구하는 확률)=;3¤6;=;6!;

11

답

③

x=y-2, z=y+2라 하면

x+y+z=(y-2)+y+(y+2)<200이므로 y< 200_{3 이다.}

또한, 'Äx+y+z='¶3y=k이므로 y=3aÛ`( a는 0이 아닌 정수)으로 놓으면 y=3aÛ`< 200<sub>3 에서 aÛ`<</sub>200<sub>9 이므로</sub> aÛ`=1, 4, 9, 16 따라서 y의 값이 될 수 있는 수는 3, 12, 27, 48이고, 이 중 홀수는 3, 27이므로 구하는 모든 y의 값의 합은 3+27=30

12

답

①

®É1.0H2_ n_{m =0.H3, ®É}92_{90 _m =}n 1₃ 양변을 제곱하면 92_{90 _m =}n 1_{9 이므로} n m =46 ∴ m=46, n=5 (∵ m, n은 서로소인 자연수)5 ∴ m-n=41

13

답

114

조건 (나)에서 '¶3n이 자연수이므로 3n은 제곱수이어야 한다. 따라서 n=3_kÛ`(k는 자연수) 꼴의 수이고, 1ÉnÉ100에서 1É3kÛ`É100 ;3!;ÉkÛ`É 100<sub>3 ∴ kÛ`=1, 4, 9, 16, 25</sub> ∴ n=3_kÛ`=3, 12, 27, 48, 75 한편, 조건 (가)에서 'Än+1 이 무리수이므로 n+1은 제곱수가 아니 어야 한다. n=3, 12, 27, 48, 75일 때, n+1=4, 13, 28, 49, 76이므로 이 중에서 n+1이 제곱수가 아닌 수는 n=12, 27, 75이다. ∴ ( n의 값의 합)=12+27+75=114

14

답

54

'2

¾¨ 81₂₇88-9₊₉1411=¾¨ 3 32_-328 324₊₃22=¾¨ 3 28₍₃4_-1) 322₍₃2₊₁₎ =¾¨ 36_80_{10 ="Ã3}6_{_8="Ã3}6_{_2}3 =33_{_2'2=54'2}

15

답

-2aÜ`

a<0<b이고, |a|>|b|이므로 aÜ`<0, bÜ`>0이고, |aÜ`|>|bÜ`|이다. 따라서 aÜ`-bÜ`<0, aÜ`+bÜ`<0이므로 (주어진 식) =-(aÜ`-bÜ`)-(aÜ`+bÜ`) =-aÜ`+bÜ`-aÜ`-bÜ` =-2aÜ`

16

답

(7, 97)

3.5=_{;2&;ɾ yx <;2(;=4.5의 양변을 제곱하면} ;;¢4»;;É yx <;;¥4Á;;, ;;¢4»;;xÉy<;;¥4Á;;x y ㉠ 또한, y>x _{{∵ ¾ yx >1}이므로} "Ã(x-y)Û`=90에서 x-y=-90 ∴ y=90+x y ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 49_{4 xÉ90+x<}81_{4 x} Ú 49_{4 xÉ90+x,} 45_{4 xÉ90 ∴ xÉ8} Û 90+x< 81_{4 x,} 77_{4 x>90 ∴ x>}360₇₇ Ú, Û에 의하여 360_{77 <xÉ8} 따라서 Ú, Û를 만족시키는 자연수 x의 값은 x=5, 6, 7, 8이므로 순서쌍 (x, y)는 (5, 95), (6, 96), (7, 97), (8, 98)이다. 이때, 자연수 x, y는 서로소이므로 이를 만족시키는 순서쌍 (x, y) 는 (7, 97)이다.

18

답

④

제곱근의 대소 관계에 따라 -'5<1-'5<2-'5이고, '5-1<'5<1+'5이다. 또한, ('5-1)-(2-'5)=2'5-3='¶20-'9>0이므로 '5-1>2-'5 따라서 작은 것부터 차례로 나열하면 -'5, 1-'5, 2-'5, '5-1, '5, 1+'5 따라서 세 번째로 작은 수는 2-'5이다.

17

답

0

조건 (가)에서 a<c이므로 a-c<0 조건 (나)에서 ab-bc=b(a-c)>0 ∴ b<0 ∴ a<b<0 조건 (다)에서 a+b+c=0이므로 c=-(a+b)>0 ∴ "ÅaÛ`+"ÅbÛ`-"ÅcÛ` =(-a)+(-b)-c=-a-b-c =-(a+b+c)=0

19

답

①, ⑤

① 반례 3의 제곱근은 Ñ'3이므로 유리수가 아니다. (거짓) ② 유한소수이므로 유리수이다. (참) ③ 무리수와 무리수 사이에는 무수히 많은 무리수 또는 유리수가 존 재한다. (참) ④ 유리수와 유리수의 합은 항상 유리수이다. (참) ⑤ 반례 '2+(-'2)=0이므로 무리수와 무리수의 합이 항상 무 리수는 아니다. (거짓)

20

답

a=-1-

'¶10, b=-1+'¶10

ABCD=4_4-4_{;2!;_1_3}=10 이므로 ABÓÛ`=BCÓÛ`=10 ∴ ABÓ=BCÓ='¶10 (∵ ABÓ>0, BCÓ>0) 따라서 P(a)=-1-'¶10, Q(b)=-1+'¶10 이므로 a=-1-'¶10, b=-1+'¶10

21

답

-1+

'2

ABCD=4_△EBC=4_{;2!;_1_1}=2 이므로 BCÓ='2 ∴ C(-2+'2) 또한, 사각형 ECFD에서 CEÓ=CFÓ=1이므로 (점 G의 좌표)=(점 C의 좌표)+1 =(-2+'2)+1=-1+'2 ∴ G(-1+'2) 따라서 점 G에 대응하는 수는 -1+'2이다. [다른 풀이] 삼각형 BCE는 직각이등변삼각형이므로 BCÓ='2 ∴ (점 C의 좌표)=-2+'2 CFÓ=1이므로 (점 G의 좌표) =(점 C의 좌표)+1 =(-2+'2)+1=-1+'2

22

답

'6 -'5

Ú (6'5 -5'6)-'5 =5('5 -'6)<0 ∴ 6'5 -5'6 <'5 Û 6'5 +5'6₁₁ -'5 = 6'5 +5'6-11'5₁₁ = 5('6 -'5)₁₁ >0 ∴ '5< 6'5 +5'6₁₁ Ü '6 - 6'5 +5'6₁₁ = 11'6 -6'5-5'6₁₁ = 6('6 -'5)₁₁ >0 ∴ 6'5 +5'6₁₁ <'6 Ú~Ü에 의하여 6'5 -5'6 <'5 < 6'5 +5'6₁₁ <'6 ∴ a=_{'5 , b='6 ∴ b-a='6 -'5}

23

답

⑤

Ú A-B =(5'2-3)-4=5'2-7 ='¶50-'¶49>0 ∴ A>B Û B-C =4-(4'3-3)=7-4'3 ='¶49-'¶48>0 ∴ B>C Ú, Û에 의하여 C<B<A

24

답

①

'5 5 와 '22 사이에 있고 분모가 10인 기약분수를 x라 하면 '5 5 <x<'22 에서 210 <x<'5 510'2 '¶20 10 <x<'¶5010 ∴ 4.×××10 <x< 7.×××10 이 범위를 만족시키고 분모가 10인 분수는 _{10 ,} 5 _{10 ,} 6 _{10 이고,}7 이 중 기약분수는 _{10 하나뿐이다.}7 따라서 분모가 10인 모든 기약분수의 합은 _{10 이다.}7

25

답

-

;[@;

0<x<1에서 -1<-x<0 y ㉠ 0<x<1에서 1x >1 y ㉡, -x <-1 y ㉢이므로1 ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 1_{x -x>0, -x-x <0이다.} 1 ⓐ ∴ "Ã(-x)Û` -"xÛ` -¾¨{-x-_{x }}1 2`-¾¨{ 1<sub>x -x}</sub>2` =-(-x)-x-_{[-{-x- 1x }]-{x -x}}1 =x-x-x- 1x -1x +x=-x 2 ⓑ | 채점기준 | ⓐ -x, -x-;[!;, ;[!;-x의 부호를 각각 결정한다. [50%] ⓑ 주어진 식을 간단히 한다. [50%]

26

답

10

조건 (나)에서 3É'¶nxÉ4의 양변을 제곱하면 9ÉnxÉ16 조건 (가)에서 nx는 자연수이므로 nx=9, 10, 11, y, 16 ∴ _{x= 9n ,} 10_{n ,} 11_{n , y,} 16_n ⓐ 이때, 모든 x의 값의 합은 10이므로 9 n +10n +11n +y+16n =10 100 n =10 ∴ n=10 ⓑ | 채점기준 | ⓐ x를 n에 대한 식으로 나타낸다. [60%] ⓑ 모든 x의 값의 합이 10임을 이용하여 n의 값을 구한다. [40%]

27

답

14개

®É 175-25a_b =®É 25(7-a) _b =n( n은 자연수)이라 하면 25(7-a) b =nÛ`, 25(7-a)=nÛ`_b 제곱근과 실수

Ⅰ

01

28

답

7개

다음 그림과 같이 삼각형 ABD는 합동인 4개의 삼각형으로 분할되 고 정사각형 P의 넓이가 x이므로 △ABD=2x이다. A D B C P Q 또한, 삼각형 BCD는 합동인 9개의 삼각형으로 분할되므로 (정사각형 Q의 넓이)=;9$;△BCD= 8x₉ 정사각형 Q의 한 변의 길이를 y라 하면 정사각형 Q의 넓이는 yÛ`이므로 yÛ`= 8x₉ ∴ y= '¶8x_{3 =}"Ã2Û`_2_x<sub>3</sub> = 2'¶2x<sub>3 (∵ y>0 )</sub> 따라서 y가 자연수가 되기 위해서는 x=2_3Û`_nÛ`(n은 자연수) 꼴이어야 하므로 1ÉxÉ1000에서 1É2_3Û`_nÛ`É1000 1 18 ÉnÛ`É5009 =55.5××× ∴ n=1, 2, 3, y, 7 따라서 가능한 x의 값은 x=2_3Û`, 2_3Û`_2Û`, 2_3Û`_3Û`, y, 2_3Û`_7Û`으로 7개이다.

30

답

①

제곱근의 나눗셈을 이용하면 (주어진 식)= '6 '3(1-'2)-{ '4'2- '2'2- '6'2 } ='2(1-'2)-('2-1-'3) ='2-2-'2+1+'3=-1+'3 [다른 풀이] (주어진 식)= '¶18(1-'2)₃ - '2(2-'2-'6)₂ = 3'2(1-'2)₃ - 2'2-2-2'3₂ ='2(1-'2)-('2-1-'3) ='2-2-'2+1+'3=-1+'3

31

답

6

a>0, b>0이므로 a®É 8b_{a +b®É}2a_{b =a_}'¶8b_'a +b_ '¶2a 'b

=a_ '¶8ab_{a +b_}'¶2ab_b ='¶8ab+'¶2ab

='¶8_2+'¶2_2 (∵ ab=2)

=4+2=6

[다른 풀이]

a®É 8b_{a +b®É}2a_{b =¾¨}8aÛ`b<sub>a +¾¨</sub>2abÛ`_{b ='¶8ab+'¶2ab}

='¶8_2+'¶2_2=4+2=6

29

답

③

Ú '6x='¶2.16에서 x= '¶2.16 '6 =®É 2.166  ='¶0.36=0.6 Û 'Ä0.005y= '2_{2 에서} y=_{® 24 _®É}1000_{5 =®É}2_{4 _}1000_{5 ='¶100=10} ∴ y-10x=10-10_0.6=4 문제편 16P

0

2

근호를 포함한 식의 계산

이때, a, b가 모두 자연수이므로 7-a>0, 즉 1Éa<7 Ú a=1일 때, 25_6=5Û`_6=nÛ`_b에서 n=5이면 b=6, n=1이면 b=5Û`_6이므로 순서쌍 (a, b)는 (1, 6), (1, 5Û`_6) Û a=2일 때, 25_5=5Ü`=nÛ`_b에서 n=5이면 b=5, n=1이면 b=5Ü`이므로 순서쌍 (a, b)는 (2, 5), (2, 5Ü`) Ü a=3일 때, 25_4=5Û`_2Û`=nÛ`_b에서 n=5_2이면 b=1, n=5이면 b=2Û`, n=2이면 b=5Û`, n=1이면 b=5Û`_2Û`이므로 순서쌍 (a, b)는 (3, 1), (3, 2Û`), (3, 5Û`), (3, 5Û`_2Û`) Ý a=4일 때, 25_3=5Û`_3=nÛ`_b에서 n=5이면 b=3, n=1이면 b=5Û`_3이므로 순서쌍 (a, b)는 (4, 3), (4, 5Û`_3) Þ a=5일 때, 25_2=5Û`_2=nÛ`_b에서 n=5이면 b=2, n=1이면 b=5Û`_2이므로 순서쌍 (a, b)는 (5, 2), (5, 5Û`_2) ß a=6일 때, 25_1=5Û`=nÛ`_b에서 n=5이면 b=1, n=1이면 b=5Û`이므로 순서쌍 (a, b)는 (6, 1), (6, 5Û`) 따라서 구하는 순서쌍 (a, b)의 개수는 14개이다.

32

답

④

( B의 넓이)=;2!;( A의 넓이), (C의 넓이)=;3!;( B의 넓이), ( D의 넓이)=;4!;( C의 넓이)이므로 ( D의 넓이)=;2Á4;( A의 넓이) 이다. 즉, A의 넓이가 2`cmÛ`이므로 D의 넓이는 ;1Á2;`cmÛ`이다. 따라서 D의 한 변의 길이는æ ®É;1Á2;= 1_'¶12= 1₂ '3= '36 (cm)

33

답

⑴

;4#;  ⑵ '¶10

⑴ '¶18- '3 '2 {'¶482 -'3_{'8 }}=3'2- '62 {4'32 -'64 } =3_{'2-{'¶18- 68 }} =3_{'2-3'2+ 34 =}3₄ ⑵ 2 '5('2-'5)+{'¶12+ 3'¶605 }Ö'6+'8-2_'2 = 2'5_{5 ('2-'5)+{}'¶12 '6 + 3'¶605'6 }+{ '8'2- 2'2 } = 2'¶10_{5 -2+'2+}3'¶10_{5 +2-'2='¶10}

34

답

⑤

ㄱ. 2ab_{5 =}2'¶15'¶50₅ = 10'¶30₅ =2'¶30='¶120 (참) ㄴ. 20a_{b =}20'¶15 '¶50 = 20'3'¶10 =2'¶30='¶120 (참) ㄷ. 6b_{a =}6'¶50 '¶15 = 6'¶10'3 =2'¶30='¶120 (참) ㄹ. 300_{ab =} 300 '¶15'¶50= 3005_'¶30=2'¶30='¶120 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.

35

답

①

2 '3 {9'2-'¶45- 18'2+ 10'¶20 }= 2'33 (9'2-3'5-9'2+'5) = 2'3_{3 _(-2'5)} =- 4'¶15₃

36

답

;;¢3»;;

{ 1_'3+ 8 '¶12 }2`+{'¶18-®;2!;- '¶102'5 }2` ={ 1_'3+ 4 '3 }2`+{3'2- '22 - '2 }2`2 =_{{ 5} '3 }2`+(2'2)Û`=;;ª3°;;+8=;;¢3»;;

37

답

④

x='2+ 1_'2='2+ '2_{2 =}3'2₂ y=3'2- 1_'2=3'2- '2_{2 =}5'2₂ ∴ _{x -}1 1_{y =3}2 '2- 25_'2= 2'26 -210'2 = '2_{3 -}'2_{5 =}2₁₅'2

39

답

x=

'2

'¶54x- 2'2x-1_'3 = '¶48x+'6 '2 의 양변에 '6을 곱하면 '6_'¶54x-'2(2'2x-1)='3('¶48x+'6) 18x-4x+'2=12x+3'2, 2x=2'2 ∴ x='2

38

답

6

4x-3y=3x+2y, x=5y

∴ ®É 17x-y_{x-3y =®É}85y-y_{5y-3y ='¶42 (∵ y+0 )} 이때, 6Û`=36, 6.5Û`=42.25이므로 '¶36<'¶42<'¶42.25, 6<'¶42<6.5 따라서 가장 가까운 정수는 6이다.

40

답

15.496

4'¶15='Ä16_15='Ä1.6_1.5_100 =10_'¶1.6_'¶1.5 =10_1.265_1.225 =15.49625?15.496

41

답

③

한 변의 길이가 4인 정사각형의 넓이가 16이고, 정사각형 각 변의 중점을 반복적으로 연결한 사각형의 넓이는 각각 8, 4, 2이므로 한 변의 길이는 각각 2'2, 2, '2이다. ∴ (색칠한 부분의 둘레의 길이의 합) =(4_2_{'2)+(4_2)+(4_'2)} =8+12_'2

43

답

1

'¶16<'¶20<'¶25에서 4<'¶20<5이므로 '¶20의 정수 부분은 4이다. ∴ a=4 한편, b='¶20-4이므로 b+4='¶20 ∴ '¶5a_{b+4 =}'¶20 '¶20=1

42

답

⑤

'¶40=2'¶10, '¶20=2'5 이므로 (상자의 겉넓이) =2(2'¶10_2'5+2'¶10_'¶10+2'5_'¶10) =40+60'2 따라서 a=40, b=60이므로 a+b=100 근호를 포함한 식의 계산

Ⅰ

02

45

답

10

'2

넓이가 8, 2인 정사각형의 한 변의 길이를 각각 a, b라 하면 a='8=2'2, b='2 ⓐ 또한, 두 도형이 맞붙어 있는 변은 큰 정사각형의 한 변의 길이에서 작은 정사각형의 한 변의 길이를 뺀 것과 같으므로 맞붙어 있는 변의 길이는 a-b이다. ⓑ 따라서 구하는 도형의 둘레의 길이는 3a+3b+(a-b) =4a+2b =4_2'2+2_'2=10'2 ⓒ | 채점기준 | ⓐ 두 정사각형의 한 변의 길이를 각각 구한다. [30%] ⓑ 두 정사각형이 붙어 있는 부분의 변의 길이를 구한다. [30%] ⓒ 도형의 둘레의 길이를 구한다. [40%]

46

답

;2!;

1

x +1y =_'¶xy2 , x+yxy =_'¶xy2 , '¶xy(x+y)=2xy

양변을 제곱하면

xy(x+y)Û`=4xÛ`yÛ`, (x+y)Û`=4xy (∵ x>0, y>0) ⓐ ∴ (x+y)Û`<sub>8xy =</sub>4xy<sub>8xy =</sub>1<sub>2</sub> ⓑ | 채점기준 | ⓐ 1<sub>x +</sub>1<sub>y =</sub> 2 '¶xy를 간단히 정리한다. [60%] ⓑ (x+y)Û`_{8xy 의 값을 구한다.} [40%]

47

답

2

'2-1

 f('¶121)-g('¶64)_'2=f(11)-g(8)_'2이고, 3<'¶11<4, 2<'8<3이므로  f(11)=3, g(8)='8-2=2'2-2 ∴ _{f(11)-g(8)_'2=3-(2'2-2)_'2} =3-(4-2'2)=2'2-1

48

답

③

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 2`m인 정사각형 2`m 을 한 변의 길이가 1`m인 정사각형 4개로 만들면 반 드시 한 정사각형 안에는 2그루의 나무가 심어져야 한다. 문제편 22P

대단원

만점

문제

Ⅰ. 실수와 그 계산

01

답

①, ②

① 제곱근 9는 '9=3이다. (참) ② ® 94 =¾¨{ 32 }2`=3<sub>2 (참)</sub> ③ "Ã(-4)Û`="Å4Û`=4 (거짓) ④ 제곱하여 10이 되는 수는 10의 제곱근이므로 '¶10, -'¶10의 2개 가 있다. (거짓) ⑤ '¶49=7이므로 '¶49의 제곱근은 Ñ'7이다. (거짓)

02

답

aÛ`-bÛ`-cÛ`

b<c<0에서 b+c<0이고, a<c에서 c-a>0, a-c<0

또한, b<a<c에서 -c<-a<-b, -c<-b-a (∵ a<0)

∴ c-b-a>0 ∴ (주어진 식) =-b(b+c)+b(c-a)-a(c-b-a)+c(a-c) =aÛ`-bÛ`-cÛ`

03

답

2+2

'2

ABÓ=1이므로 ACÓ=GAÓ=ARÓ='2 따라서 점 G, R에 대응하는 수는 각각 2-'2, 2+'2이다. 한편, △GAE»△ABC이고, GAÓ`:`ABÓ='2`:`1이므로 GEÓ`:`ACÓ='2`:`1 ∴ GEÓ='2_ACÓ='2_'2=2 즉, GEÓ=GPÓ=2에서 점 P에 대응하는 수는 (2-'2)-2=-'2 ∴ PRÓ=(2+'2)-(-'2)=2+2'2 따라서 한 변의 길이가 1`m인 정사각형의 대각선의 길이는 '2`m이 므로 두 나무 사이의 거리가 '2`m 이하인 것이 반드시 존재한다. ✽ 사각형 안에서 가장 먼 거리를 구하자. 다음 그림과 같은 정사각형 안에 나무 5그루를 심어 보자. 나무 5그루 중 먼저 나무 2그루를 가장 먼 거리 ①, ②(또는 A, C )에 심으면 나무 사이 의 거리는 2'2 `m이다. 3번째 나무를 ①, ②로부터 가장 먼 거리에 심으 2`m B A C ① ② 려면 A 또는 C에 심으면 되므로 A에 심는다고 하자. 4번째 나무를 ①, ②, A로부터 가장 먼 거 리에 심으려면 점 C에, 마지막 5번째 나무를 점 B에 심으면 5그루의 나무를 각각 제일 먼 거리 에 심을 수 있다. 따라서 5그루의 나무를 심었을 때, 가장 먼 거리가 '2 `m이므로 두 나무 사이의 거리가 '2`m 이하인 것이 반드시 존재한다.

만점

44

답

1

3<'¶15<4에서 0<4-'¶15<1이므로 0<(4-'¶15)3007_<1 ∴ x=(4-'¶15)3007 ∴ xy =(4-'¶15)3007_{_(4+'¶15)}3007 ={(4-'¶15)(4+'¶15)}3007₌₁

04

답

41

'¶500-x -'Ä200+y가 가장 큰 정수가 될 때는 'Ä500-x가 최대, 'Ä200+y가 최소가 될 때이다. 따라서 500-x는 500보다 작은 제곱수 중 가장 큰 제곱수이고, 200+y는 200보다 큰 제곱수 중 가장 작은 제곱수일 때이므로 22Û`=484<500<529=23Û`에서 500-x=22Û`, 500-x=484 ∴ x=16 14Û`=196<200<225=15Û`에서

200+y=15Û`, 200+y=225 ∴ y=25 ∴ x+y=16+25=41

05

답

②

AÛ`=('2+'¶10)Û`=2+2_'2_'¶10+10=12+2'¶20 BÛ`=('5+'7)Û`=5+2_'5_'7+7=12+2'¶35 CÛ`=(3+'3)Û`=9+2_3_'3+3=12+6'3=12+2'¶27 ∴ AÛ`<CÛ`<BÛ` 이때, A, B, C가 모두 양수이므로 A<C<B

06

답

a=4, A=13

A =4(a-2'3)-'3('3-2a) =4a-8'3-3+2a'3 =(4a-3)+(-8+2a)'3 y ㉠ ㉠의 식의 값이 유리수가 되려면 -8+2a=0이 되어야 하므로 a=4 y ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 A=(4_4-3)+(-8+2_4)'3=13 ∴ a=4, A=13

07

답

④

x+ 1x ='3+_'31 ='3+ '3_{3 =}4'3_{3 =}4x₃ 따라서 _{x+ 1x  은 x의} 4_{3 배이다.}

08

답

x=

'5, y= '2

₂

à'5x+'2y=6 y ㉠ -2x+'¶10y=-'5 y ㉡ ㉠__{'5-㉡을 하면} 5x+_'¶10y=6'5 -_{>³-2x+'¶10y=-'5} 7x =7_'5 ∴ x=_{'5 y ㉢} ㉢을 ㉠에 대입하면 '5_'5+'2y=6, '2y=1 ∴ y= 1_'2= '2₂ 다항식의 곱셈

Ⅱ

03

다항식의 곱셈과 인수분해

Ⅱ

0

3

다항식의 곱셈

문제편 26P

01

답

③

(x+2y-3z+1)(2x-y+2z-3) =2xÛ`-xy+2xz-3x+4xy-2yÛ`+4yz-6y -6xz+3yz-6zÛ`+9z+2x-y+2z-3 =2xÛ`-2yÛ`-6zÛ`+3xy+7yz-4xz-x-7y+11z-3 ∴ a=-1, b=11 ∴ b-a=11-(-1)=12

02

답

⑴ 7 ⑵ 3

⑴ (2x-1)(4xÛ`+2x+1) =8xÜ`+4xÛ`+2x-4xÛ`-2x-1=8xÜ`-1 따라서 상수항을 포함한 모든 항의 계수의 총합은 8+(-1)=7 이다. ⑵ (a+2b-c)(2a+1)-3ac =2aÛ`+a+4ab+2b-2ac-c-3ac =2aÛ`+a+4ab+2b-5ac-c 따라서 상수항을 포함한 모든 항의 계수의 총합은 2+1+4+2+(-5)+(-1)=3이다. [다른 풀이] ⑴ 상수항을 포함한 모든 항의 계수의 총합은 전개식에서 문자 x의 값에 1을 대입한 것과 같으므로 (2x-1)(4xÛ`+2x+1)에 x=1을 대입하면 (2-1)(4+2+1)=7 ⑵ (a+2b-c)(2a+1)-3ac의 각각의 문자 a, b, c의 값에 모두 1을 대입하면 (1+2-1)(2+1)-3=6-3=3

03

답

③

(4x+ay-3)(2x-y+b) =8xÛ`+(2a-4)xy+(4b-6)x-ayÛ`+(ab+3)y-3b 이때, 상수항을 포함한 계수의 총합이 1이므로 8+(2a-4)+(4b-6)-a+ab+3-3b=1 ab+a+b+1=1 ∴ ab+a+b=0 [다른 풀이] (4x+ay-3)(2x-y+b)에 x=y=1을 대입한 값이 모든 항의 계수의 총합이 된다. 따라서 상수항을 포함한 계수의 총합이 1이므로 (4+a-3)(2-1+b)=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=1 ∴ ab+a+b=0

04

답

④

AxÛ`+12x+B=9xÛ`+6Cx+CÛ`이므로 계수를 각각 비교하면 A=9 12=6C ∴ C=2 B=CÛ`=2Û`=4 ∴ A+B+C=9+4+2=15

05

답

⑤

(ax-5)(2x+b)=2axÛ`+(ab-10)x-5b=cxÛ`+2x-20 이므로 -5b=-20 ∴ b=4

4a-10=2, 4a=12 ∴ a=3 ∴ c=2a=6

06

답

5

(2x+1)Û`-(x-2)Û` =(4xÛ`+4x+1)-(xÛ`-4x+4) =4xÛ`+4x+1-xÛ`+4x-4 =3xÛ`+8x-3 =3xÛ`+ax+b ∴ a=8, b=-3 jK a+b=8+(-3)=5

07

답

⑤

(ax+1)(bx-5)를 전개할 때 일차항은 ax_(-5)+1_bx=(-5a+b)x이므로 -5a+b=2 ∴ b=5a+2 y ㉠ (x-a)(3x+b)를 전개할 때 일차항은 x_b+(-a)_3x=(-3a+b)x이므로 -3a+b=-2 y ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면

-3a+(5a+2)=-2, 2a=-4 ∴ a=-2 b=5_(-2)+2=-8 ∴ a-b=-2-(-8)=6

08

답

⑤

(3x-ay)(bx+y) =3bxÛ`+(3-ab)xy-ayÛ` =6xÛ`+cxy-2yÛ` xÛ` 항과 yÛ` 항의 계수를 각각 비교하면 3b=6 ∴ b=2 -a=-2 ∴ a=2 xy 항의 계수를 비교하면 c=3-ab=3-2_2=-1 ∴ a+b+c=3

09

답

해설 참조

⑴ (주어진 식) ={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)} ={(xÛ`+5x)+4}{(xÛ`+5x)+6} =(xÛ`+5x)Û`+10(xÛ`+5x)+24 =xÝ`+10xÜ`+25xÛ`+10xÛ`+50x+24 =xÝ`+10xÜ`+35xÛ`+50x+24 ⑵ (주어진 식) ={(a+b)(a-b)}Û`=(aÛ`-bÛ`)Û`=aÝ`-2aÛ`bÛ`+bÝ` ⑶ (주어진 식) ={a+(b-c)}{a-(b-c)} =aÛ`-(b-c)Û`=aÛ`-bÛ`-cÛ`+2bc ⑷ (주어진 식) =(xÛ`-yÛ`)(xÛ`+yÛ`)(xÝ`+yÝ`) =(xÝ`-yÝ`)(xÝ`+yÝ`)=x¡`-y¡` ⑸ (주어진 식) =(xÛ`+7x)Û`-5(xÛ`+7x)+6 =xÝ`+14xÜ`+44xÛ`-35x+6

10

답

⑤

xy의 계수가 A, y의 계수가 B이므로 (2x+3y-1)Û` ={(2x+3y)-1}Û` =(2x+3y)Û`-2(2x+3y)+1 =4xÛ`+12xy+9yÛ`-4x-6y+1 ∴ A=12, B=-6 jK A-B=18

11

답

⑴ x¡`-2xÝ`+1 ⑵ xÝ`+xÛ`+1

⑴ (주어진 식)={(x-1)(x+1)(xÛ`+1)}Û` ={(xÛ`-1)(xÛ`+1)}Û` =(xÝ`-1)Û`=x¡`-2xÝ`+1 ⑵ (주어진 식) ={(xÛ`+1)+x}{(xÛ`+1)-x} =(xÛ`+1)Û`-xÛ` =xÝ`+2xÛ`+1-xÛ`=xÝ`+xÛ`+1

12

답

②

(x+y-1)(x-y+1) ={x+(y-1)}{x-(y-1)} =xÛ`-(y-1)Û` =xÛ`-(yÛ`-2y+1) =xÛ`-yÛ`+2y-1

13

답

7

(x+a)(x-b)=xÛ`+(a-b)x-ab=xÛ`+cx+6이므로 ab=-6 y ㉠, a-b=c y ㉡ a, b, c가 모두 정수이므로 ㉠을 만족시키는 a, b에 대한 순서쌍 (a, b)는 (1, -6), (2, -3), (3, -2), (6, -1), (-1, 6), (-2, 3), (-3, 2), (-6, 1) 따라서 ㉡에서 c=a-b의 값은 7, 5, -7, -5이므로 c가 될 수 있 는 가장 큰 값은 7이다.

14

답

①

(a-1)(a+1)(aÛ`+1)(aÝ`+1)(a¡`+1)+1 =(aÛ`-1)(aÛ`+1)(aÝ`+1)(a¡`+1)+1 =(aÝ`-1)(aÝ`+1)(a¡`+1)+1 =(a¡`-1)(a¡`+1)+1 =(aÚ`ß`-1)+1=aÚ`ß` 이므로 bÝ`=aÚ`ß`=(ÑaÝ`)Ý` ∴ b=aÝ` 또는 b=-aÝ` a, b가 자연수이므로 b=aÝ`, 즉 aÝ`=b이다.

15

답

②

1001_1003+1 1002 = (1002-1)(1002+1)+11002 = 1002Û`-1Û`+1₁₀₀₂ = 1002Û`_{1002 =1002}

16

답

①

a+b=2, aÛ`+bÛ`=5이므로

(a+b)Û`=aÛ`+bÛ`+2ab에서 2Û`=5+2ab ∴ ab=-_;2!; ∴ ab +ba =aÛ`+bÛ`ab =_-5_;2!;=-10

17

답

②

aÛ`+bÛ`=8, a-b=2이므로 (a-b)Û`=aÛ`+bÛ`-2ab에서 2Û`=8-2ab ∴ ab=2 ∴ (a+b)Û`=aÛ`+bÛ`+2ab=8+4=12

18

답

④

x- 1x =6에서 양변에 x (x+0)를 곱하면 xÛ`-1=6x, xÛ`-6x=1 한편, _{x- 1x =6에서 양변을 제곱하면} {x- 1x }2`=6Û`, xÛ`-2+xÛ`1=36 xÛ`+ 1 xÛ`=38 ∴ 2xÛ`+ 1 xÛ`-6x=xÛ`+ 1xÛ`+xÛ`-6x=38+1=39

19

답

③

xÛ`-3x+1=0, xÛ`+1=3x 식의 양변을 _{x (x+0)로 나누면 x+ 1x =3} 이 식의 양변을 제곱하면 {x+ 1x }2`=3Û`, xÛ`+2+1 xÛ`=9 ∴ xÛ`+ 1 xÛ`=7 jK xÛ`-3+ 1xÛ`=7-3=4

20

답

④

aÛ`- ab<sub>2 +bÛ`=10에서 aÛ`+bÛ`=10+</sub>ab_{2 y ㉠} aÛ`+ ab<sub>2 +bÛ`=8에서 aÛ`+bÛ`=8-</sub>ab_{2 y ㉡} ㉠+㉡을 하면 2(aÛ`+bÛ`)=18 ∴ aÛ`+bÛ`=9 ㉠-㉡을 하여 정리하면 ab=-2 ∴ (a-b)Û`=aÛ`+bÛ`-2ab=9+4=13

21

답

①

xÛ`+3x-1=0에서 xÛ`+3x=1 ∴ (x+1)(x-5)(x+2)(x+8) =(x+1)(x+2)(x-5)(x+8) =(xÛ`+3x+2)(xÛ`+3x-40) =(1+2)_(1-40) =-117

22

답

8

주어진 식의 양변에 3을 곱하면 3(2Û`+1)(4Û`+1)(16Û`+1)=4n<sub>-1</sub> (좌변) =(2Û`-1)(2Û`+1)(4Û`+1)(16Û`+1) =(2Ý`-1)(4Û`+1)(16Û`+1) =(4Û`-1)(4Û`+1)(16Û`+1) =(4Ý`-1)(16Û`+1) =(16Û`-1)(16Û`+1) =16Ý`-1=4¡`-1 ∴ n=8

23

답

⑤

(겉넓이) =2{(2x+3)(3x-1)+(3x-1)(3x+1)+(2x+3)(3x+1)} =2(6xÛ`+7x-3+9xÛ`-1+6xÛ`+11x+3) =2(21xÛ`+18x-1) =42xÛ`+36x-2

24

답

20`cm

가로, 세로의 길이가 각각 x`cm, y`cm이므로 직사각형 ABCD의 넓이는 xy=24(cmÛ`) 새로 만든 직사각형의 넓이가 63`cmÛ`이므로 (x+3)(y+3)=63, xy+3(x+y)+9=63 24+3(x+y)+9=63, 3(x+y)=30 ∴ x+y=10 따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이는 2(x+y)=2_10=20(cm) 다항식의 곱셈

Ⅱ

03

25

답

②

6(9+3)(9Û`+3Û`)(9Ý`+3Ý`)-316 =(9-3)(9+3)(9Û`+3Û`)(9Ý`+3Ý`)-316 _ⓐ =(9Û`-3Û`)(9Û`+3Û`)(9Ý`+3Ý`)-316 =(9Ý`-3Ý`)(9Ý`+3Ý`)-316 =(9¡`-3¡`)-316 =(316_{-3¡`)-3</sub>16<sub>=-3¡` ⓑ} | 채점기준 | ⓐ 6을 9-3으로 변형한다. [40%] ⓑ 곱셈 공식을 이용하여 계산한다. [60%]

26

답

⑤

x+y=2, xy=-8이므로 (x-y)Û` =(x+y)Û`-4xy =2Û`-4_(-8) =4+32=36 ⓐ 따라서 x>y이므로 x-y=6 ⓑ | 채점기준 | ⓐ (x-y)Û`의 값을 구한다. [60%] ⓑ 주어진 조건을 이용하여 x-y의 값을 구한다. [40%]

27

답

⑤

(193+n)Û`=A이므로 (173+n)(213+n)=(193-20+n)(193+20+n) ={(193+n)-20}{(193+n)+20} =(193+n)Û`-20Û` =A-400

28

답

④

xÜ`의 계수는 (1+x+xÛ`+xÜ`+xÝ`)Ü`을 계산할 때, 차수가 4 이상인 항에는 영향을 미치지 않으므로 (1+x+xÛ`+xÜ`+xÝ`)Ü`={(1+x+xÛ`+xÜ`)+xÝ`}Ü` =(1+x+xÛ`+xÜ`)Ü`+A (단, A=3(1+x+xÛ`+xÜ`)Û`xÝ`+3(1+x+xÛ`+xÜ`)x¡`+xÚ`Û`) 이때, A에서는 xÜ` 항이 나올 수 없다. 따라서 (1+x+xÛ`+xÜ`+xÝ`)Ü`의 전개식에서 xÜ`의 계수는 (1+x+xÛ`+xÜ`)Ü`의 전개식에서 xÜ`의 계수와 같다. 즉, a=b ∴ a-b=0

30

답

③

ab(x-y)+b(y-x) =ab(x-y)-b(x-y)=(ab-b)(x-y) =b(a-1)(x-y)

31

답

④

ab+b-a-1=b(a+1)-(a+1)=(a+1)(b-1) aÛ`-ab+a-b=a(a-b)+(a-b)=(a+1)(a-b) 따라서 공통인수는 a+1이다.

32

답

⑤

axÛ`-byÛ`+bxÛ`-ayÛ` =axÛ`+bxÛ`-ayÛ`-byÛ`=(a+b)xÛ`-(a+b)yÛ` =(a+b)(xÛ`-yÛ`)=(a+b)(x+y)(x-y) 이므로 공통인수가 아닌 것은 ⑤이다.

33

답

②

xÛ`y+xyÛ`=3에서 xy(x+y)=3 x+y=3이므로 xy=1 ∴ xÜ`y+xyÜ` =xy(xÛ`+yÛ`)=xy{(x+y)Û`-2xy} =1_(3Û`-2_1)=9-2=7

34

답

11

'Ä1.21_111-1.21_11 에서 1.21이 공통인수이므로 분배법칙을 이용하여 묶어 내면 'Ä1.21_111-1.21_11="Ã1.21_(111-11) ='Ä1.21_100='Ä121 ="Ã11Û` =11

35

답

157

₄

(가) 4xÛ`-12x+A=(2x)Û`-2(2x)_3+(-3)Û`=(2x-3)Û` ∴ A=(-3)Û`=9 (나) 9xÛ`+Bx+25=(3x)Û`+Bx+5Û`=(3xÑ5)Û` ∴ B=Ñ2_3_5=Ñ30 (다) <sub>CxÛ`+2x+4=4+2x+CxÛ`=2Û`+2_2_ 12 x+{</sub>1_{2 x}2`</sub> ∴ C=<sub>{ 12 }2`=}1₄ ∴ _{A+|B|+C=9+30+ 14 =}157₄

29

답

ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ

xy(x+3y)의 인수는

1, x, y, x+3y, xy, x(x+3y), y(x+3y), xy(x+3y) 따라서 보기 중 인수에 해당하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅁ이다.

0

4

다항식의 인수분해

문제편 34P

36

답

②

2xÛ`+7x+3 1 3 → 6 2 1 → 1 =(x+3)(2x+1) 4xÛ`+10x-6 2 6 → 12 2 -1 → -2 =(2x+6)(2x-1)=2(x+3)(2x-1) 따라서 두 식의 공통인수는 x+3이다.

37

답

13

3xÛ`+ax+4의 한 인수가 3x+1이므로 3xÛ`+ax+4=(3x+1)(mx+n)(m, n은 상수)으로 인수분해된 다고 하면 3xÛ`+ax+4=(3x+1)(mx+n)=3mxÛ`+(m+3n)x+n 양변의 이차항의 계수와 상수항을 각각 비교하면 m=1, n=4 ∴ a=m+3n=13

40

답

24

x+y=2의 양변을 제곱하면 xÛ`+yÛ`+2xy=4 8+2xy=4 (∵ xÛ`+yÛ`=8) ∴ xy=-2 ∴ xÛ`(x-y)+yÜ`-xyÛ` =xÛ`(x-y)-yÛ`(x-y) =(x-y)(xÛ`-yÛ`) =(x-y)(x-y)(x+y) =(x-y)Û`(x+y) ={(x+y)Û`-4xy}(x+y) =(4+8)_2=24

38

답

②

x+1>0, x-3<0이므로 "ÃxÛ`+2x+1 -"ÃxÛ`-6x+9 ="Ã(x+1)Û` -"Ã(x-3)Û` =(x+1)-{-(x-3)} =x+1+x-3=2x-2

41

답

4

'2

3xÛ`-8xy-3yÛ`=(3x+y)(x-3y) 한편, 2x-y= 1 '2 -1='2 +1 y ㉠

42

답

③

7<3'7 <8이므로 3'7 의 정수 부분은 7, 소수 부분은 x=3'7 -7 이다. 이때, 0<x<1이므로 x+1>0, x-2<0이다. ∴ "ÃxÛ`+2x+1 +"ÃxÛ`-4x+4 ="Ã(x+1)Û` +"Ã(x-2)Û` =(x+1)-(x-2)=3 x+2y= 1 '2 +1='2 -1 y ㉡ ㉠+㉡을 하면 3x+y=(_{'2 +1)+('2 -1)=2'2} ㉠-㉡을 하면 x-3y=(_{'2 +1)-('2 -1)=2} ∴ 3xÛ`-8xy-3yÛ`=(3x+y)(x-3y)=2_{'2 _2=4'2}

44

답

③

axÛ`+8x+1=(Ax+1)(Bx+1)( A, B는 자연수)이라 하면 axÛ`+8x+1=ABxÛ`+(A+B)x+1 A+B=8을 만족시키는 두 자연수 A, B의 순서쌍 (A, B)는 (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)이다. 이때, a=AB이므로 최댓값 M=4_4=16, 최솟값 N=1_7=7 또는 N=7_1=7 ∴ M-N=16-7=9

43

답

③

'x =a-1의 양변을 제곱하면 x=(a-1)Û`=aÛ`-2a+1이므로 (주어진 식)="ÃaÛ`-2a+1+6a+3 +"ÃaÛ`-2a+1-4a+8 ="ÃaÛ`+4a+4 +"ÃaÛ`-6a+9 ="Ã(a+2)Û` +"Ã(a-3)Û`

=a+2-(a-3) (∵ a+2>0, a-3<0) =5

39

답

③

b+c=-a이므로 양변을 제곱하면 bÛ`+2bc+cÛ`=aÛ` ∴ aÛ`-2bc=(bÛ`+2bc+cÛ`)-2bc=bÛ`+cÛ`

45

답

⑤

새로 만든 직사각형의 넓이의 합은 xÛ`+5x+6이다. xÛ`+5x+6=(x+3)(x+2) 따라서 새로 만든 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이의 합은 x+3+x+2=2x+5

46

답

④

3aÛ`+5a-12=(a+3)(3a-4)이므로 세로의 길이는 3a-4이다. 따라서 구하는 정사각형의 넓이는 (3a-4)Û`=9aÛ`-24a+16 다항식의 인수분해

Ⅱ

04

47

답

a=4x+8

(가)의 도형의 넓이를 구하면 (5x+10)Û`-(3x+6)Û` =(5x+10-3x-6)(5x+10+3x+6) =(2x+4)(8x+16) =16(x+2)Û`=(4x+8)Û` (나)의 도형의 넓이가 aÛ`이고 (가)의 넓이와 (나)의 넓이가 같으므로 aÛ`=(4x+8)Û` ∴ a=4x+8 (∵ x>-2 )

48

답

xÛ`-3x-18=(x+3)(x-6)

슬비는 상수항을 바르게 보았고, 소라는 x의 계수를 바르게 보았다. 슬비 : (x+2)(x-9)=xÛ`-7x-18에서 상수항은 -18이다. 소라 : (x-1)(x-2)=xÛ`-3x+2에서 x의 계수는 -3이다. 따라서 처음 이차식은 xÛ`-3x-18이므로 바르게 인수분해하면 xÛ`-3x-18=(x+3)(x-6)

49

답

⑴ (

x+y-1)(2x-y+2)

⑵ (

a-3b+2)(2a+b-3)

⑴ 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 2xÛ`+xy-yÛ`+3y-2 =2xÛ`+yx-(yÛ`-3y+2) =2xÛ`+yx-(y-1)(y-2) 1 (y-1) → 2y-2 2 -(y-2) → -y+2 ={x+(y-1)}{2x-(y-2)} =(x+y-1)(2x-y+2) ⑵ 주어진 식을 a에 대하여 내림차순으로 정리하면 2aÛ`-5ab-3bÛ`+a+11b-6 =2aÛ`+(1-5b)a-(3bÛ`-11b+6) =2aÛ`+(1-5b)a-(b-3)(3b-2) 1 -(3b-2) → -6b+4 2 b-3 → b-3 ={a-(3b-2)}{2a+(b-3)} =(a-3b+2)(2a+b-3)

50

답

②

x에 대하여 내림차순으로 정리하면 xÛ`-4xy+3yÛ`-6x+2y-16 =xÛ`-2(2y+3)x+3yÛ`+2y-16 =xÛ`-2(2y+3)x+(y-2)(3y+8) 1 -(y-2) → -y+2 1 -(3y+8) → -3y-8 =(x-y+2)(x-3y-8) =(x+ay+b)(x+cy+d)

51

답

⑴ (

xÛ`+5x-2)(xÛ`+5x+8)

⑵ (

x+2)(x+6)(xÛ`+8x+10)

⑴ 주어진 식에서 xÛ`+5x=A로 놓으면 (xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+2)-24=(A+4)(A+2)-24 =AÛ`+6A-16=(A-2)(A+8) =(xÛ`+5x-2)(xÛ`+5x+8) ⑵ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 ={(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)}+15 =(xÛ`+8x+7)(xÛ`+8x+15)+15 위 식에서 xÛ`+8x=A로 놓으면 (주어진 식) =(A+7)(A+15)+15=AÛ`+22A+120 =(A+10)(A+12) =(xÛ`+8x+10)(xÛ`+8x+12) =(x+2)(x+6)(xÛ`+8x+10)

52

답

64

(주어진 식)=(x-1)(x+5)(x-3)(x+7)+a =(xÛ`+4x-5)(xÛ`+4x-21)+a 위 식에서 xÛ`+4x=A로 놓으면 (주어진 식)=(A-5)(A-21)+a=AÛ`-26A+105+a 위 식이 완전제곱식이 되려면 {- 26_{2 }2`=105+a가 되어야 하므로} 105+a=169 ∴ a=64

53

답

13

x+1=A, x-3=B로 각각 치환하면 (주어진 식) =5AÛ`+13AB-6BÛ` =(5A-2B)(A+3B) ={5(x+1)-2(x-3)}{x+1+3(x-3)} =(5x+5-2x+6)(x+1+3x-9) =(3x+11)(4x-8) =4(3x+11)(x-2) ∴ a+b+c+d=3+11+1+(-2)=13

54

답

(xÛ`+9x+6)(xÛ`+3x+6)

(주어진 식) =(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)-8xÛ` =(xÛ`+7x+6)(xÛ`+5x+6)-8xÛ` xÛ`+6=A로 치환하면 (A+7x)(A+5x)-8xÛ` =AÛ`+12Ax+27xÛ`=(A+9x)(A+3x) =(xÛ`+9x+6)(xÛ`+3x+6) 따라서 a=-1, b=2, c=-3, d=-8 또는 a=-3, b=-8, c=-1, d=2 ∴ a+b+c+d=-10

55

답

5

'3

주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 xÛ`+3xy+2yÛ`+x+2y =xÛ`+(3y+1)x+2y(y+1) =(x+2y)(x+y+1) 이때, x=3-2'3 , y='3 -4이므로 x+2y=(3-2'3 )+2('3 -4)=-5 x+y+1=(3-2'3 )+('3 -4)+1=-'3 ∴ (주어진 식) =(x+2y)(x+y+1) =(-5)_(-'3 )    =5'3

56

답

3

주어진 식에서 x+1=A로 놓으면 (x+1)Û`-6(x+1)+9 =AÛ`-6A+9=(A-3)Û` =(x+1-3)Û`=(x-2)Û` 위 식에 x='3 +2를 대입하면 (주어진 식)=('3 +2-2)Û`=('3 )Û`=3

57

답

5

₉

 f(x)=1- 1 xÛ`=1Û`-{ 1x }2` =_{{1- 1x }{1+x }=}1 x-1_{x _}x+1_x ∴ f(2)_f(3)_y_f(9) =_{{ 12 _}3_{2 }_{}2_{3 _}4_{3 }_y_{}8_{9 _}10_{9 }} = 12 _109 =59

58

답

2

xÛ`-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)이므로 xÛ`-(a+2)x+a+2는 x-1 또는 x-a로 나누어떨어져야 한다. Ú x-1로 나누어떨어지는 경우 xÛ`-(a+2)x+a+2 =(x-1)(x-b) (b는 상수) =xÛ`-(b+1)x+b a+2=b+1, a+2=b이므로 b+1=b가 되어 성립하지 않는다. Û x-a로 나누어떨어지는 경우 xÛ`-(a+2)x+a+2 =(x-a)(x-c) ( c는 상수) =xÛ`-(a+c)x+ac a+2=a+c ∴ c=2

a+2=ac, a+2=2a ∴ a=2

Ú, Û에 의하여 a=2이다.

59

답

;2!0!;

(주어진 식) ={1-;2!;}{1+;2!;}{1-;3!;}{1+;3!;}_y_{1-;1Á0;}{1+;1Á0;} = 12 _32 _23 _43 _34 _y_10 _9 1110 = 12 _1110 =1120

60

답

1개

"ÃnÛ`+2n+12 =k(k는 정수)라 하면 nÛ`+2n+12=kÛ` (n+1)Û`+11=kÛ` ∴ 11=kÛ`-(n+1)Û`=(k-n-1)(k+n+1) k-n-1과 k+n+1은 모두 정수이므로 11의 약수이어야 한다. 이때, 11은 소수이고, n은 자연수이므로 k-n-1<k+n+1 ∴ k-n-1=1, k+n+1=11 두 식을 연립하여 풀면 k=6, n=4 따라서 자연수 n은 4로 1개이다.

61

답

'¶2a

a

x= 12 {a+1a }=aÛ`+12a 이므로

x+1= aÛ`+1<sub>2a +1=</sub>aÛ`+2a+1_2a = (a+1)Û`<sub>2a</sub> x-1= aÛ`+1_{2a -1=}aÛ`-2a+1<sub>2a</sub> = (a-1)Û`_2a

∴ 'Äx+1 +'Äx-1 =¾¨ (a+1)Û`<sub>2a</sub>  +¾¨ (a-1)Û`_2a = (a+1)-(a-1) '¶2a (∵ 0<a<1) = 2 '¶2a= '¶2aa [다른 풀이]

x+1= 12 {a+1a }+1=12 {a+2+1a }=12 {'a+_{'a }}1 2`

x-1= 12 {a+1a }-1=12 {a-2+1a }=12 {'a -_{'a }}1 2` ∴ 'Äx+1 +'Äx-1 =¾¨ 12 {'a + 1 'a }2` +¾¨ 12 {'a -'a }1 2` 한편, 0<a<1에서 'a - 1_'a<0이므로 (주어진 식)= 1 '2 {'a + 1'a }- 1'2 {'a - 1'a } = 2 '2 'a= '¶2aa

62

답

9개

xÛ`-x-k=(x-a)(x-b)(a, b는 정수)로 인수분해된다고 하면 xÛ`-x-k=(x-a)(x-b)=xÛ`-(a+b)x+ab에서 a+b=1, ab=-k … ㉠ 다항식의 인수분해

Ⅱ

04

64

답

⑴ (nÛ`+3n+1)Û` ⑵ 330

⑴ (주어진 식) =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(nÛ`+3n)(nÛ`+3n+2)+1 위 식에서 nÛ`+3n=A로 놓으면 (주어진 식)=A(A+2)+1=AÛ`+2A+1 =(A+1)Û`=(nÛ`+3n+1)Û` ⓐ ⑵ (주어진 식) =<sub>"Ã(20Û`+3_20+1)Û` -"Ã(10Û`+3_10+1)Û`</sub> =461-131=330 ⓑ | 채점기준 | ⓐ n(n+1)(n+2)(n+3)+1을 인수분해한다. [50%] ⓑ 'Ä20_21_22_23+1 -'Ä10_11_12_13+1 의 값을 구한다. [50%]

66

답

2

p=nÝ`-6nÛ`+25( p는 소수)라 하면 p =nÝ`-6nÛ`+25=nÝ`+10nÛ`+25-16nÛ`=(nÛ`+5)Û`-(4n)Û` =(nÛ`-4n+5)(nÛ`+4n+5) ⓐ 이때, p가 소수이므로 nÛ`-4n+5=1 또는 nÛ`+4n+5=1이어야 한다. ⓑ nÛ`-4n+5=1, nÛ`-4n+4=0, (n-2)Û`=0 ∴ n=2 nÛ`+4n+5=1, nÛ`+4n+4=0, (n+2)Û`=0 ∴ n=-2 따라서 n은 자연수이므로 n=2 ⓒ | 채점기준 | ⓐ 주어진 식을 인수분해한다. [30%] ⓑ 주어진 식이 소수가 될 조건을 이용하여 n에 대한 이차방정식을 얻는다. [40%] ⓒ 자연수 n의 값을 구한다. [30%]

68

답

④

ab-ac-bc+cÛ` =a(b-c)-c(b-c)=(a-c)(b-c) =(c-a)(c-b)<0 즉, c-a와 c-b는 둘 중 하나는 양수이고 다른 하나는 음수이다. 따라서 a<c<b 또는 b<c<a이다. y ㉠ 즉, c는 항상 a와 b 사이의 수이다.

ㄱ. a>b이면 ㉠에 의하여 b<c<a이므로 a>c이다. (참)

ㄴ. a<c<b 또는 b<c<a이므로 가장 큰 수가 a라고 할 수 없다.

(거짓) ㄷ. ab>0이면 a, b는 둘 다 양수이거나 둘 다 음수이다. 따라서 ㉠에 의하여 a, b, c는 같은 부호를 갖는다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 즉, b=1-a이므로 이를 ㉠에 대입하여 정리하면 a(a-1)=k 따라서 k가 연속된 두 정수의 곱으로 표현되면 x의 계수와 상수항이 모두 정수인 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이때, 1ÉkÉ100이고, 9_10<100<10_11이므로 가능한 k의 값은 1_2, 2_3, 3_4, 4_5, y, 9_10이다. 따라서 구하는 다항식의 개수는 9개이다.

63

답

⑴ aÛ`+bÛ`+cÛ`+2ab-2bc-2ca

⑵ -

5ab

_{18 ⑶ -24b}

⑴ (주어진 식)=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2ab-2bc-2ca ⓐ, ⓑ ⑵ (주어진 식) = aÛ`_{6 -}ab_{4 +}ab_{9 -}bÛ`<sub>6 -</sub>aÛ`_{6 -}ab_{4 +}ab_{9 +}bÛ`₆ ⓐ

=- ab_{2 +}2ab_{9 =}-9ab+4ab₁₈ =- 5ab₁₈ ⓑ ⑶ (주어진 식)=aÛ`-(2b+3)Û`-aÛ`+(2b-3)Û` =-4bÛ`-12b-9+4bÛ`-12b+9 ⓐ =-24b ⓑ | 채점기준 | ⓐ 분배법칙을 이용하여 전개한다. [각 50%] ⓑ 같은 항끼리 정리한다. [각 50%]

67

답

a=2, b=1

xÛ`+xy-2yÛ`+4y+1 =(x+ay-1)(x-y+1)+by+2 =xÛ`-xy+x+axy-ayÛ`+ay-x+y-1+by+2 =xÛ`+(a-1)xy-ayÛ`+(a+b+1)y+1 양변의 계수를 각각 비교하면 a=2, a+b+1=4 ∴ a=2, b=1

69

답

14

주어진 (가), (나)의 식의 양변을 변끼리 빼면 aÛ`-bÛ`+bc-ac=0 (a-b)(a+b)-(a-b)c=0 (a-b)(a+b-c)=0

65

답

8

216<sub>-1 =(2¡`)Û`-1Û`</sub> =(2¡`-1)(2¡`+1) =(2Ý`-1)(2Ý`+1)(2¡`+1) =(2Û`-1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1) =(2-1)(2+1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1) =3_5_17_257 ⓐ 따라서 216-1을 나누었을 때 나누어떨어지는 자연수 중 1보다 크고 10보다 작은 자연수는 3과 5이므로 두 수의 합은 8이다. ⓑ | 채점기준 | ⓐ 2Ú`ß`-1을 자연수의 곱 꼴로 나타낸다. [60%] ⓑ 주어진 조건에 맞는 두 자연수를 찾고, 두 수의 합을 구한다. [40%]

70

답

⑤

각 식의 좌변에서 곱하는 두 수의 일의 자리의 수는 서로 합해서 10이 되는 관계이므로 한 수를 a라 하면 다른 한 수는 10-a이다. 이 두 수의 곱이 우변에 더해지고 있다. 또, 좌변의 곱하는 두 수는 십의 자리의 수가 같으므로 십의 자리의 수를 x라 하면 이것이 우변에서 10x_10(x+1) 꼴로 대응되고 있다. 정리하면 (10x+a){10x+(10-a)}=10x_10(x+1)+a(10-a) 라는 등식을 추론해 낼 수 있다.

02

답

②

(x+y-1)(x-y+1) ={x+(y-1)}{x-(y-1)} =xÛ`-(y-1)Û` =xÛ`-(yÛ`-2y+1) =xÛ`-yÛ`+2y-1

03

답

④

xÛ`-4x+1=0에서 xÛ`+1=4x 식의 양변을 x (x+0)로 나누면 x+ 1x =4 이 식의 양변을 제곱하면 {x+ 1x }2`=4Û`, xÛ`+2+xÛ`1=16 ∴ xÛ`+ 1 xÛ`=14 ∴ <sub>xÛ`+x+ 1x +</sub> 1 xÛ`={xÛ`+ 1xÛ` }+{x+ 1x } =14+4=18

01

답

③, ⑤

① (x-2y)Û`=xÛ`-4xy+4yÛ` (거짓) ② (-2x+y)Û`=(2x-y)Û`=4xÛ`-4xy+yÛ` (거짓) ④ (-2a+b)(2a+b) =(b-2a)(b+2a) =bÛ`-4aÛ`=-4aÛ`+bÛ` (거짓) 따라서 옳은 것은 ③, ⑤이다. ✽ (-)로 묶어서 인수분해 간단히 하기 ⑴ (-a+b)Û`={-(a-b)}Û`=(-1)Û`_(a-b)Û`=(a-b)Û` ⑵ (-a-b)Û`={-(a+b)}Û`=(-1)Û`_(a+b)Û`=(a+b)Û`

만점

대단원

만점

문제

문제편 46P Ⅱ. 다항식의 곱셈과 인수분해 문제의 조건에서 a, b, c는 서로 다른 세 실수이므로 a+b이다. 따라서 a-b+0이므로 a+b-c=0 ∴ a+b=c y ㉠ 한편, 주어진 (가), (나)의 식의 양변을 변끼리 더하면 aÛ`+bÛ`+bc+ac=14 aÛ`+bÛ`+(a+b)c=14 위 식에 ㉠을 대입하면 aÛ`+bÛ`+cÛ`=14

04

답

⑤

a+b=_{'6, ab=1이므로} aÜ`+bÜ`-aÛ`b-abÛ` =aÜ`-aÛ`b+bÜ`-abÛ` =(a-b)aÛ`-(a-b)bÛ` =(a-b)(aÛ`-bÛ`) =(a-b)(a+b)(a-b) =(a+b)(a-b)Û` =(a+b){(a+b)Û`-4ab} =_{'6 (6-4)=2'6}

05

답

4

(x-1)(x+1)Û`(x+3)+a =(x+1)Û`(x-1)(x+3)+a =(xÛ`+2x+1)(xÛ`+2x-3)+a 위 식에서 xÛ`+2x=A로 놓으면 (주어진 식) =(A+1)(A-3)+a =AÛ`-2A-3+a =(A-1)Û`-4+a =(xÛ`+2x-1)Û`-4+a 따라서 주어진 식이 완전제곱식이 되려면 -4+a=0 ∴ a=4

06

답

(x-3y+1)Û`

xÛ`+9yÛ`+2x-6y-6xy+1 =xÛ`+2(1-3y)x+(9yÛ`-6y+1) =xÛ`-2(3y-1)x+(3y-1)Û` ={x-(3y-1)}Û` =(x-3y+1)Û` 다항식의 인수분해

Ⅱ

04

08

답

60`cm

모든 사각형의 넓이의 합은 2_5Û`+9_5_3+4_3Û`이므로 5=a, 3=b로 놓으면 2_5Û`+9_5_3+4_3Û` =2aÛ`+9ab+4bÛ` =(a+4b)(2a+b) =(5+12)_(10+3) =17_13 따라서 만들어진 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각 17`cm, 13`cm 또는 13`cm, 17`cm이므로 구하는 직사각형의 둘레의 길이 는 2_(17+13)=60(cm)

이차방정식

Ⅲ

0

5

이차방정식

문제편 50P

01

답

⑴

x=-

;2#; 또는 x=3

⑵

x=-

;5#; 또는 x=1 ⑶ x=17 (중근)

⑴ 2xÛ`-3x-9=0, (2x+3)(x-3)=0 ∴ x=-;2#; 또는 x=3 ⑵ 주어진 식의 양변에 6을 곱하면 2x(x+2)=3(x+1)(3-x)-6 5xÛ`-2x-3=0, (5x+3)(x-1)=0 ∴ x=-_{;5#; 또는 x=1} ⑶ xÛ`-34x+289=0, (x-17)Û`=0 ∴ x=17 (중근)

02

답

x=3

주어진 식에 x=2를 대입하면 4(a-1)-2(aÛ`+1)+2(a+1)=0에서 -2aÛ`+6a-4=0, aÛ`-3a+2=0

(a-1)(a-2)=0 ∴ a=1 또는 a=2

이때, a=1이면 주어진 식은 이차방정식이 되지 않으므로 a=2 따라서 주어진 식에 a=2를 대입하면 xÛ`-5x+6=0, (x-2)(x-3)=0 ∴ x=2 또는 x=3 따라서 나머지 한 근은 x=3이다.

03

답

②

주어진 식에 x=-1을 대입하면 1+a+b=0 ∴ a+b=-1 [다른 풀이] 이차방정식 xÛ`-ax+b=0의 해가 x=-1 또는 x=2이므로 (x+1)(x-2)=0 xÛ`-x-2=0 따라서 a=1, b=-2이므로 a+b=-1

04

답

③

a, b를 각각 주어진 식에 대입하면 aÛ`-5a+2=0, aÛ`-5a=-2 bÛ`-5b+2=0, bÛ`-5b=-2, 2bÛ`-10b=-4 ∴ (aÛ`-5a-1)(2bÛ`-10b+3)=(-2-1)_(-4+3)=3

07

답

195

¾¨{194+ 1_{196 }{198+196 }}1 =¾¨æ{196-2+ 1_{196 }{196+2+196 }}1 æ=_{¾¨{14- 114 }2`{14+14 }2`}1 =æ_{{14- 114 }{14+14 }}1 =14Û`- 1<sub>14Û`</sub>=196- 1₁₉₆ 이때, 0< 1_{196 <1이므로 196-196 의 정수 부분은 195이다.}1 따라서 구하는 정수 부분은 195이다. [다른 풀이] 196=x라 하면 ¾¨{194+ 1_{196 }{198+196 }}1 =¾¨{x-2+ 1x }{x+2+1_{x } =¾¨æ{'§x -} 1 '§x }2`{'§x + 1'§x }2` =_{{'§x - 1} '§x }{'§x + 1'§x }æ {∵ '§x - 1'§x>0} =x- 1x =196-1961 (이하 동일)

이차 방정식

Ⅲ

05

05

답

-4-4

'2

주어진 식에 x=a (0<a<1)를 대입하면 aÛ`-2'2 a+1=0 a+0이므로 양변을 a로 나누면 a+ 1a =2'2

또한, {a- 1a }2`={a+1<sub>a }2`-4=4에서</sub> a- 1a =-2 (∵ 0<a<1 )

∴ aÛ`+2a- 2a -1

aÛ`={aÛ`- 1aÛ` }+2{a-1a }

=_{{a- 1a }{a+}1_{a }+2{a-}1_{a }} =(-2)_2'2 +2_(-2) =-4-4'2

06

답

;7#;

3aÛ`-4ab-4bÛ`=0, (3a+2b)(a-2b)=0 ∴ a=2b (∵ ab>0) ∴ aÛ`-ab+bÛ` aÛ`+ab+bÛ`= (2b)Û`-2b_b+bÛ`(2b)Û`+2b_b+bÛ`= 3bÛ`7bÛ`= 37

07

답

②

xÛ`-3x+yÛ`-3y+2xy-4=0에서 (xÛ`+2xy+yÛ`)-3(x+y)-4=0 (x+y)Û`-3(x+y)-4=0 (x+y-4)(x+y+1)=0 x+y=4 또는 x+y=-1 이때, x, y가 자연수이므로 x+y=4 ∴ x+y-2_{x+y+2 =}4-2_{4+2 =}2_{6 =}1₃

08

답

⑴

-

;3$; ⑵ 9

xÛ`+3x+1=0의 두 근이 a, b이므로 aÛ`+3a+1=0, bÛ`+3b+1=0 y ㉠ ⑴ ㉠에서 aÛ`+1=-3a이므로 2a aÛ`+1= 2a-3a =-23 마찬가지로 2b bÛ`+1= 2b-3b =-23 ∴ 2a aÛ`+1+ 2bbÛ`+1=- 23 -23 =-43 ⑵ ㉠에서 aÛ`+3a+1=0이고, aÜ`+3aÛ`+a=0이므로 aÜ`+4aÛ`+4a+4 =(aÜ`+3aÛ`+a)+(aÛ`+3a+1)+3=3 마찬가지로 bÜ`+4bÛ`+4b+4=(bÜ`+3bÛ`+b)+(bÛ`+3b+1)+3=3 ∴ (aÜ`+4aÛ`+4a+4)(bÜ`+4bÛ`+4b+4)=3_3=9

09

답

-3

m은 이차방정식 xÛ`+2x-2=0의 한 근이므로 mÛ`+2m-2=0, mÛ`+2m=2 또한, n은 이차방정식 xÛ`-2x-5=0의 한 근이므로 nÛ`-2n-5=0, nÛ`-2n=5 ∴ (m+n)(m-n+2) =mÛ`-nÛ`+2m+2n =(mÛ`+2m)-(nÛ`-2n) =2-5=-3

10

답

8

방정식 (x-3)(x+a)=0 y ㉠의 두 근 x=3, x=-a가 방정식 xÛ`-x+b=0 y ㉡의 근이므로 ㉡의 식에 x=3을 대입하면 9-3+b=0 ∴ b=-6 즉, xÛ`-x-6=0에서 (x-3)(x+2)=0이므로 나머지 한 근은 x=-2이고, 이것은 ㉠의 해이므로 -a=-2에서 a=2 ∴ a-b=2-(-6)=8

11

답

-1

공통근을 a라 하면 aÛ`+aa+b=0 y ㉠ aÛ`+ba+a=0 y ㉡ 이차항 aÛ`을 소거하기 위해 ㉠-㉡을 하면

(a-b)a-(a-b)=(a-b)(a-1)=0 ∴ a=1 (∵ a+b) 이를 ㉠에 대입하면 1+a+b=0 ∴ a+b=-1

12

답

①

xÛ`+3x-a(a+3)=0, (x-a)(x+a+3)=0 ∴ x=a 또는 x=-a-3 Ú a=1일 때, 나머지 한 근은 x=-1-3=-4 Û -a-3=1일 때, a=-4이므로 나머지 한 근은 x=-4 Ú, Û에 의하여 나머지 한 근은 x=-4이다. [다른 풀이] (x+1)(x+2)=(a+1)(a+2)에 x=1을 대입하면 aÛ`+3a-4=0, (a+4)(a-1)=0 ∴ a=-4 또는 a=1 또, (x+1)(x+2)=(a+1)(a+2) xÛ`+3x+2=aÛ`+3a+2 y ㉠ Ú a=-4일 때, ㉠에 a=-4를 대입하여 정리하면 xÛ`+3x-4=0의 나머지 한 근은 x=-4 Û a=1일 때, ㉠에 a=1을 대입하여 정리하면 xÛ`+3x-4=0의 나머지 한 근은 x=-4 Ú, Û에 의하여 나머지 한 근은 x=-4이다.

13

답

5

3(a+1)xÛ`+(aÛ`+1)x+(a-1)=0의 한 근이 1이므로 x=1을 대입하면 3(a+1)+(aÛ`+1)+(a-1)=0 aÛ`+4a+3=0, (a+1)(a+3)=0 ∴ a=-1 또는 a=-3 이때, a=-1이면 이차항의 계수가 0이므로 a=-3 a=-3을 주어진 식에 대입하면 -6xÛ`+10x-4=0, 3xÛ`-5x+2=0 (3x-2)(x-1)=0 ∴ x=;3@; 또는 x=1 따라서 나머지 한 근이 x=;3@;이므로 m=;3@; ∴ 3m-a=2-(-3)=5

14

답

②

9(x-1)Û`=aÛ`, (x-1)Û`= aÛ`₉ ∴ _{x=1Ñ a3} Ú 1- a3 =23 , 1+a3 =b일 때, a=1, b= 43 Û 1+ a3 =23 , 1-a3 =b일 때, a=-1이 되어 양수 조건을 만족시키지 않는다. Ú, Û에 의하여 a+b=1+ 43 =73

15

답

-3

이차방정식 axÛ`-2x+b=0 y ㉠의 한 근이 -1이므로 a+2+b=0 ∴ a+b=-2 y ㉡ 이차방정식 bxÛ`-2x+a=0 y ㉢의 한 근이 _{;3!;이므로} b 9 -23 +a=0 ∴ 9a+b=6 y ㉣ ㉡, ㉣을 연립하면 a=1, b=-3 y ㉤ ㉤을 ㉠, ㉢에 각각 대입하면 xÛ`-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0 ∴ m=3 -3xÛ`-2x+1=0, (x+1)(3x-1)=0 ∴ n=-1 ∴ mn=3_(-1)=-3

16

답

⑤

이차항의 계수가 2이고 중근 x=2를 갖는 이차방정식은 2(x-2)Û`=0, 2xÛ`-8x+8=0 ∴ a=8, b=8 ∴ a+b=8+8=16

17

답

-4

2xÛ`+ax+ 12 =0이 중근을 가져야 하므로 좌변이 완전제곱식이 되 어야 한다. 즉, 2<sub>{xÛ`+ a2 x+</sub>1_{4 }=0에서 2{xÑ}1_{2 }2`=0이고,</sub> 2<sub>{xÛ`Ñx+ 14 }=0이므로} a_{2 =Ñ1} ∴ a=-2 또는 a=2 따라서 a의 값의 곱은 -2_2=-4이다.

18

답

④

ㄱ. q=0이면 (x-p)Û`=0 ∴ x=p (중근) (참) ㄴ. q>0이면 (x-p)Û`=q에서 x-p=Ñ'q ∴ x=pÑ'q 따라서 두 근의 합은 (p+'q)+(p-'q)=2p (거짓) ㄷ. p=0, q>0이면 xÛ`=q ∴ x=Ñ'q 따라서 두 근의 절댓값은 같다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

19

답

;;Á2°;;

2xÛ`-12x+3=0에서 근의 공식을 이용하여 해를 구하면 x= 6Ñ'¶30₂ =3Ñ®É 15_{2 ∴ A=}15₂

20

답

⑤

3xÛ`+2x-3=0에 x=a( a는 두 근 중 큰 근)를 대입하면 3aÛ`+2a-3=0 또한, 근의 공식을 이용하여 해를 구하면 x= -1Ñ"Ã1Û`-3_(-3)<sub>3</sub> = -1Ñ'¶10<sub>3</sub> ∴ a= -1+'¶10<sub>3</sub> ∴ 6aÛ`+7a-5 =2(3aÛ`+2a-3)+3a+1 =3a+1 (∵ 3aÛ`+2a-3=0) =3_ -1+'¶10₃ +1='¶10

21

답

③

xÛ`-4x+a=0에서 근의 공식을 이용하여 해를 구하면 x=2Ñ'¶4-a 그런데 한 근이 x=b-'3이므로 2-'¶4-a=b-'3에서 a=1, b=2 ∴ a+b=3