답 제 4사분면

y=axÛ`+bx에서 a>0, b<0, y절편은 0 이므로 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다.

따라서 꼭짓점은 제 4사분면 위에 있다.

O x

y y=axÛ`+bx

14

^답

^④

주어진 이차함수의 그래프가 x축에 접하므로 꼭짓점의 좌표를 (a, 0) (a<0)이라 하면 y=(x-a)Û`이고, y절편이 4이므로 이 식에 (0, 4)를 대입하면 4=aÛ` ∴ a=-2 (∵ a<0) 따라서 주어진 이차함수는 y=xÛ`+bx+c=(x+2)Û`=xÛ`+4x+4 이므로 계수를 각각 비교하면 b=4, c=4 ∴ b+c=8

15

^{답 ac<0}

Ú a>0일 때, y=axÛ`+bx+c의 그래프는 아래로 볼록하므로 그 래프가 모든 사분면을 지나려면 ( y절편)=c<0이어야 한다.

Û a<0일 때, y=axÛ`+bx+c의 그래프는 위로 볼록하므로 그래 프가 모든 사분면을 지나려면 ( y절편)=c>0이어야 한다.

Ú, Û에 의하여 구하는 조건은 ac<0 Ú

O x

y Û

O x

y

16

^답

^①

주어진 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0이고, 그래프의 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 - -b2a >0에서 b>0이다. 또한, y절편이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<0이다.

따라서 ab>0이므로 아래로 볼록하고, bc<0에서 - bc2ab >0이므 로 그래프의 축이 y축의 오른쪽에 있다. 또한, ac<0이므로 ( y절편)<0이다.

따라서 y=abxÛ`+bcx+ac의 그래프의 개형이 될 수 있는 것은

①이다.

17

^답 y=-2(x-4)Û`+3 y=-2xÛ`+3의 그래프를 직 선 x=2에 대하여 대칭이동하 면 그래프의 모양은 그대로이 고, 꼭짓점 (0, 3)은 점 (4, 3) 으로 옮겨진다.

∴ y=-2(x-4)Û`+3

O x

y=-2xÛ`+3 y=-2(x-4)Û`+3 y

(0, 3) 2 2 (4, 3)

18

^답

^⑤

y=(x-3)Û`의 그래프는 y=xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이므로 ABÓ=CDÓ=3

∴ ABÓ+CDÓ=3+3=6

19

^답

^③

y=xÛ`+bx+c={x+ b2 }2`+c-bÛ`

4 의 꼭짓점 {-b 2 , c-bÛ`

4 }을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면 (-1, 1)이 되므로 - b2 +3=-1 y ㉠, c-bÛ`

4 -2=1 y ㉡

㉠에서 - b2 =-4 ∴ b=8

이것을 ㉡에 대입하면 c- 8Û`4 -2=1 ∴ c=19

∴ b+c=27 [다른 풀이]

이차함수의 그래프를 평행이동하면 모양은 변하지 않고, 꼭짓점은 평행이동하므로 이동된 꼭짓점 (-1, 1)에 대하여 반대로 x축의 방 향으로 -3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동하면 이차함수 y=xÛ`+bx+c의 그래프의 꼭짓점의 x좌표는 -1-3=-4, y좌표는 1+2=3이므로 꼭짓점은 (-4, 3)이다.

따라서 y=xÛ`+bx+c=(x+4)Û`+3=xÛ`+8x+19에서 b=8, c=19이므로 b+c=27이다.

20

^{답 -1}

x축에 접해 있는 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 y좌표는 0이므로 이차함수의 식을 y=k(x-a)Û`이라 하자.

이를 y축에 대하여 대칭이동하면 그래프의 모양은 그대로이고, 꼭짓 점만 y축에 대하여 대칭이동되므로 y=k(x+a)Û`

한편, y=k(x+a)Û`의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향 으로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식이 y=k(x-2+a)Û`-2이고, y=-xÛ`+6x-11=-(x-3)Û`-2이므로 두 이차함수의 식을 비 교하면 k=-1

-2+a=-3 ∴ a=-1

21

^{답 -2}

y=xÛ`-4x의 그래프를 평행이동한 이차함수의 식을

y=xÛ`+ax+b라 하면 이 그래프가 두 점 (3, 2), (1, -2)를 각각 지나므로

2=9+3a+b에서 3a+b=-7 y ㉠ -2=1+a+b에서 a+b=-3 y ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 a=-2, b=-1

즉, y=xÛ`-4x의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 이차함수의 식은 y=xÛ`-2x-1이다.

이때, y=xÛ`-4x=(x-2)Û`-4의 그래프의 꼭짓점은 (2, -4)이 고, y=xÛ`-2x-1=(x-1)Û`-2의 그래프의 꼭짓점은 (1, -2) 이다.

2+p=1 ∴ p=-1 -4+q=-2 ∴ q=2

∴ pq=-1_2=-2

이차 함수와 그 그래프

Ⅳ ⁰⁷

수정

[다른 풀이]

y=xÛ`-4x=(x-2)Û`-4의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동하면

y=(x-2-p)Û`-4+q

이 그래프가 두 점 (3, 2), (1, -2)를 각각 지나므로 [2=(1-p)Û`-4+q y ㉠

-2=(-1-p)Û`-4+q y ㉡

㉠-㉡을 하면 4=(1-2p+pÛ`)-(1+2p+pÛ`), 4=-4p

∴ p=-1

이것을 ㉡에 대입하면 -2=-4+q

∴ q=2

∴ pq=-1_2=-2

22

^{답 16}

y=f(x)=xÛ`+ax+b의 그래프는 함수 y=xÛ`+cx+d의 그래프 와 y축에 대하여 서로 대칭이므로 y=xÛ`+cx+d의 그래프 위의 점 (-2, 7)을 y축에 대하여 대칭이동한 점 (2, 7)이 이차함수 y=f(x)의 그래프를 지난다.

즉, y=xÛ`+ax+b의 그래프는 두 점 (3, -1), (2, 7)을 각각 지 나므로 이를 대입하여 정리하면

[3a+b=-10 y ㉠ 2a+b=3 y ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 a=-13, b=29

∴ a+b=-13+29=16

23

^{답 9}

xÛ`-2x=x(x-2)=0에서 x=0 또는 x=2이므로

y=xÛ`-2x의 그래프가 x축과 만나는 점은 (0, 0), (2, 0)이다.

또한, xÛ`-2x-3=(x+1)(x-3)=0에서 x=-1 또는 x=3이므 로 y=xÛ`-2x-3의 그래프가 x축과 만나는 점은 (-1, 0), (3, 0) 이다.

한편, 이차함수 y=xÛ`-2x-3의 그래프는 y=xÛ`-2x의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이므로 색칠한 부분 중 x축 아 래 부분을 위로 옮기면 색칠한 부분의 넓이는 다음 그림의 정사각형의 넓이와 같다.

2

3 2 3

3

-1 -1

-3 O y

O x

x y=xÛ`-2x y

y=xÛ`-2x-3

y=xÛ`-2x

y=xÛ`-2x-3

따라서 색칠한 부분의 넓이는 3_3=9이다.

25

^{답 ;2!;}

x의 값이 증가함에 따라 y의 값이 증가하는 x의 값의 범위가 x>1이 므로 y=;2!;xÛ`+ax+a의 그래프의 꼭짓점의 x좌표는 1이다. ⓐ 즉, y=;2!;xÛ`+ax+a=;2!;(x+a)Û`-;2!;aÛ`+a에서 a=-1 ⓑ

∴ y=;2!;xÛ`-x-1=;2!;(x-1)Û`-;2#;

따라서 이 이차함수의 그래프와 y축과의 교점의 좌표는 A(0, -1) 이고, 꼭짓점의 좌표는 B{1, -;2#;}이다. ⓒ

O 1

x A(0, -1)

B{1, -;2#;}

y y=;2!;(x-1)Û`-;2#;

-;2#;

∴ △ABO=;2!;_1_1=;2!; ⓓ

| 채점기준 |

ⓐ 주어진 이차함수의 꼭짓점의 x좌표(축의 방정식)를 구한다. [20%]

ⓑ 꼭짓점의 x좌표를 이용하여 a의 값을 구한다. [30%]

ⓒ y절편과 꼭짓점의 좌표를 각각 구한다. [30%]

ⓓ 삼각형 ABO의 넓이를 구한다. [20%]

24

^답

^①

주어진 그래프는 아래로 볼록한 그래프이므로 a>0이고,

그래프의 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 - b2a >0에서 b<0이다.

또한, y축의 음의 방향과 만나므로 c<0이다.

26

^{답 5}

y=axÛ`의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면 y=-axÛ` ⓐ 이 이차함수의 그래프를 x축의 방향으로 b만큼, y축의 방향으로 4 만큼 평행이동하면 y=-a(x-b)Û`+4 ⓑ 이 식이 y=-3xÛ`+6x+c=-3(x-1)Û`+c+3과 같으므로 따라서 a=3, b=1, c=1이므로 a+b+c=5 ⓒ

| 채점기준 |

ⓐ y=axÛ`의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 식을 구한다. [30%]

ⓑ ⓐ에서 구한 그래프의 식을 x축의 방향으로 b만큼, y축의 방향으로 4만큼

평행이동한 그래프의 식을 구한다. [30%]

ⓒ a+b+c의 값을 구한다. [40%]

27

^{답 ;5!;}

y=a(xÛ`-4x-5)의 그래프의 x절편을 구하면

a(xÛ`-4x-5)=0에서 (x+1)(x-5)=0

∴ x=-1 또는 x=5

O B(5, 0)

A(-1, 0) C(0, -5a)

y y=a(xÛ`-4x-5)

x 수정

∴ A(-1, 0), B(5, 0)

또한, y축과 만나는 점은 C(0, -5a)이다.

이때, 삼각형 ACB는 직각삼각형이므로 △AOC»△COB이다.

AOÓ`:`COÓ=COÓ`:`BOÓ, 1`:`|5a|=|5a|`:`5 25aÛ`=1_5 ∴ aÛ`=;5!;

28

^{답 10101}

 f(x)=xÛ`+x+1={x+;2!;}2`+;4#;이고,

g(x)=xÛ`-x+1={x-;2!;}2`+;4#;이므로

y=g(x)의 그래프는 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것임을 알 수 있다.

∴ g(1)=f(0), g(2)=f(1), g(3)=f(2), y, g(100)=f(99)

∴ f(1)_f(2)_y_f(100)

 g(1)_g(2)_y_g(100)= f(1)_f(2)_y_f(100)  f(0)_f(1)_y_f(99)

= f(100)

f(0) = 100Û`+100+11

      =10101

문제편

08 ^{이차함수의 활용}

78P

29

^{답 y=};4!;(x+2)Û`

x축에 접하고 축의 방정식이 x=-2인 이차함수의 그래프의 식은 y=a(x+2)Û` ( a는 상수)

이 이차함수의 그래프가 점 (2, 4)를 지나므로 4=16a ∴ a=;4!;

∴ y=;4!;(x+2)Û`

30

^답

^③

y=-(x-p)Û`+q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, q)이므로 p=a, q=7

또한, 점 (0, 3)을 지나므로 3=-(0-p)Û`+q, 3=-pÛ`+7 pÛ`=4 ∴ p=2 (∵ p>0)

∴ a+p+q=2+2+7=11

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