58P
32
답 48이차방정식 xÛ`+(a-2)x+4=0이 중근을 가지려면 주어진 식의 좌변이 완전제곱식이어야 한다.
{ a-22 }2`=4, a-2
2 =Ñ2, a=2Ñ4
∴ a=-2 또는 a=6
이 값을 두 근 a=-2, b=6으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방 정식은
(x-a)(x-b)=0, (x+2)(x-6)=0 xÛ`-4x-12=0 HjK xÛ`+bx+c=0
∴ b=-4, c=-12
∴ bc=(-4)_(-12)=48 [다른 풀이]
이차방정식 xÛ`+(a-2)x+4=0이 중근을 가지려면 (a-2)Û`-16=0, aÛ`-4a-12=0
(a+2)(a-6)=0 ∴ a=-2 또는 a=6 (이하 동일)
34
답 10이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대하여 두 근의 합은 - ba , 두 근의 곱은 c
a 이다.
이때, xÛ`-ax+b=0의 두 근을 a, b라 하면 a+b=a, ab=b
문제의 조건에서 a+1, b+1이 이차방정식 xÛ`-bx+a=0의 두 근 이므로
b=(a+1)+(b+1)=a+b+2=a+2 (∵ a+b=a )
∴ b=a+2 y ㉠
a=(a+1)(b+1) =ab+a+b+1
=b+a+1 (∵ ab=b, a+b=a)
∴ b=-1 y ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 a=-3
∴ aÛ`+bÛ`=(-3)Û`+(-1)Û`=10
33
답 -2이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대하여 두 근의 합과 곱은 각각 - ba , c
a 이다.
이때, 이차방정식 xÛ`-3x+1=0의 두 근의 합과 곱이 각각 3, 1이 므로 이차방정식 2xÛ`+ax+b=0의 해는 3, 1이다.
또한, 이차방정식에서 두 근의 합과 곱을 각각 이용하면 3+1=- a2 , a
2 =-4 ∴ a=-8 3_1= b2 ∴ b=6
∴ a+b=-2
35
답 17b, c가 유리수이고 한 근이 -1-'22 이므로 다른 한 근은 -1+'22 이다.
한편, 이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대하여 두 근의 합은 - ba , 두 근의 곱은 c
a 이므로 4xÛ`+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면 a+b=- b4 , ab=c
4
(두 근의 합)= -1-'22 + -1+'22 =-1=- b4
∴ b=4
(두 근의 곱)={ -1-'22 }_{ -1+'22 }=- 14 =c 4
∴ c=-1
∴ bÛ`+cÛ`=4Û`+(-1)Û`=17
수정
[다른 풀이]
한 근이 x= -1-'22 이므로 2x=-1-'2, 2x+1=-'2 양변을 제곱하면
(2x+1)Û`=2, 4xÛ`+4x-1=0
이 식이 4xÛ`+bx+c=0과 같으므로 b=4, c=-1
∴ bÛ`+cÛ`=4Û`+(-1)Û`=17
36
답 a=2, b=1이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대하여 두 근의 합과 곱은 각각 - ba , c
a 이다.
xÛ`+ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 두 근의 합과 곱은 각각 a+b=-a, ab=b y ㉠
한편, 2xÛ`-4x+a=0의 두 근이 ba , a b 이므로 ba +a
b =4
2 =2 y ㉡, b a _a
b =a 2 y ㉢
㉢에서 b a _a
b =1이므로 a=2
㉠, ㉡에서 ba +a
b =aÛ`+bÛ`
ab =(a+b)Û`-2ab
ab = aÛ`-2bb = 4-2bb =2 4-2b=2b ∴ b=1
37
답 2이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대하여 두 근의 합과 곱은 각각 - ba , c
a 이다.
xÛ`-2x-5=0의 두 근이 a, b이므로 두 근의 합은 a+b=2 한편, g(x)=f(x)+x-2라 하면
g(a)=f(a)+a-2=b+a-2=2-2=0 g(b)=f(b)+b-2=a+b-2=2-2=0 따라서 a, b는 방정식 g(x)=0의 두 근이므로 두 근의 합은 a+b=2
38
답 ;4#;이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대하여 두 근의 합과 곱은 각각 - ba , c
a 이다.
주어진 방정식의 한 근을 a라 하면 다른 한 근은 a+1이므로 a+(a+1)=2 ∴ a=;2!; y ㉠
a(a+1)=k y ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 k=;2!;{;2!;+1}=;4#;
39
답 x=4 또는 x=-2이차항의 계수가 a이고 두 근이 -2, 3인 이차방정식은 a(x+2)(x-3)=0, a(xÛ`-x-6)=0
axÛ`-ax-6a=0
위 식이 axÛ`+bx-12=0과 같으므로 -a=b, -6a=-12 ∴ a=2, b=-2 따라서 주어진 이차방정식은 xÛ`-2x-8=0에서 (x-4)(x+2)=0이므로 x=4 또는 x=-2
40
답 xÛ`-8x-1=0이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대하여 두 근의 합과 곱은 각각 - ba , c
a 이다.
방정식 xÛ`-3x-2=0의 두 근이 a, b이므로 a+b=3, ab=-2 이때, 2a+1, 2b+1을 두 근으로 하고 이차항의 계수가 1인 이차방 정식을 xÛ`+px+q=0이라 두면 이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대 하여 두 근의 합은 - ba , 두 근의 곱은 c
a 이므로
-p =(2a+1)+(2b+1)=2(a+b)+2=2_3+2=8
∴ p=-8
q =(2a+1)(2b+1)=4ab+2(a+b)+1
=4_(-2)+2_3+1=-1
∴ xÛ`-8x-1=0
41
답 -4xÛ`+(m+2)x+12=0의 두 근의 차가 1이므로 두 근을 a, a+1이라 하면
(x-a){x-(a+1)}=0에서 xÛ`-(2a+1)x+a(a+1)=0 두 방정식의 상수항을 비교하면
a(a+1)=12, aÛ`+a-12=0
(a-3)(a+4)=0 ∴ a=3 또는 a=-4 Ú a=3일 때, 3Û`+3(m+2)+12=0
3m=-27 ∴ m=-9
Û a=-4일 때, (-4)Û`-4(m+2)+12=0 4m=20 ∴ m=5
Ú, Û에 의하여 m의 값의 합은 -9+5=-4 [다른 풀이]
xÛ`+(m+2)x+12=0에 근의 공식을 적용하면 x= -(m+2)Ñ"Ã(m+2)Û`-482
두 근의 차가 1이므로 -(m+2)+"Ã(m+2)Û`-48
2 - -(m+2)-"Ã(m+2)Û`-482 =1
"Ã(m+2)Û`-48=1, (m+2)Û`=49, m+2=Ñ7
∴ m=-9 또는 m=5
따라서 m의 값의 합은 -9+5=-4
이차 방정식의
활용
Ⅲ 06
42
답 m=1 또는 m=4xÛ`-(m+2)x+2m=0, (x-2)(x-m)=0 에서 두 근은 x=2 또는 x=m이므로
Ú m`:`2=1`:`2일 때, m=1 Û 2`:`m=1`:`2일 때, m=4 Ú, Û에 의하여 m=1 또는 m=4 [다른 풀이]
xÛ`-(m+2)x+2m=0의 두 근을 a, 2a로 놓으면 이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대하여 두 근의 합은 - ba , 두 근의 곱은 c
a 이므로
a+2a=m+2, a= m+23 y ㉠ a_2a=2m, aÛ`=m y ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 a를 소거하면 { m+23 }2`=m, mÛ`-5m+4=0 (m-1)(m-4)=0
∴ m=1 또는 m=4
43
답⑤
이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대하여 두 근의 합과 곱은 각각 - ba , c
a 이다.
xÛ`+x+2=0의 두 근이 a, b이므로 두 근의 합과 곱은 각각 a+b=-1, ab=2 y ㉠
한편, 1 a , 1
b 을 두 근으로 하는 이차항의 계수가 1인 이차방정식은 {x- 1a }{x-1
b }=0, xÛ`-{1 a +1
b }x+1 a _1
b =0 xÛ`- a+bab x+ 1
ab =0, xÛ`+;2!;x+;2!;=0 (∵ ㉠)
∴ 2xÛ`+x+1=0
44
답 x=;2!; 또는 x=;3!;이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 해가 x=2 또는 x=3이므로 axÛ`+bx+c=0, a(x-2)(x-3)=0
axÛ`-5ax+6a=0 ∴ b=-5a, c=6a 이를 cxÛ`+bx+a=0에 대입하면 6axÛ`-5ax+a=0 a(6xÛ`-5x+1)=0, a(2x-1)(3x-1)=0
∴ x=;2!; 또는 x=;3!;
45
답 19주어진 식의 작은 근을 a라 하면 큰 근은 a+1이다.
이때, 두 근의 제곱의 차가 11이므로 (a+1)Û`-aÛ`=11, 2a+1=11 ∴ a=5
즉, 이차방정식 xÛ`+px+q=0의 두 근은 x=5 또는 x=6이다.
46
답 x=;2#; 또는 x=2이차항의 계수가 2이고 두 근이 6과 ;2!;인 이차방정식은 2(x-6){x-;2!;}=0, 2xÛ`-13x+6=0
이 식은 원래의 이차방정식과 일차항의 계수만 다르므로 원래의 이 차방정식의 상수항은 6이다.
또한, 이차항의 계수가 2이고 두 근이 4와 -;2!;인 이차방정식은 2(x-4){x+;2!;}=0, 2xÛ`-7x-4=0
이 식은 원래의 이차방정식과 상수항만 다르므로 원래의 이차방정식 의 일차항의 계수는 -7이다.
따라서 처음 이차방정식은 2xÛ`-7x+6=0이므로 2xÛ`-7x+6=0, (2x-3)(x-2)=0
∴ x=;2#; 또는 x=2
따라서 이차항의 계수가 1이고 두 근이 5와 6인 이차방정식은 (x-5)(x-6)=0, xÛ`-11x+30=0
∴ p=-11, q=30
∴ p+q=19 [다른 풀이]
이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대하여 두 근의 합은 - ba , 두 근의 곱은 c
a 이므로 -p=5+6 ∴ p=-11
∴ q=5_6=30 ∴ p+q=19
47
답 6초 후x초 후에 APÓ=x(cm), BQÓ=2x(cm)이므로 PBÓ=(12-x)`cm
△PBQ=;2!;_2x_(12-x)=36
xÛ`-12x+36=0, (x-6)Û`=0 ∴ x=6(초) 따라서 6초 후에 삼각형 PBQ의 넓이가 36`cmÛ`가 된다.
48
답 1+2'§5삼각형 ADC와 삼각형 BCD는 이등변삼각형이므로 BCÓ=CDÓ=ADÓ=1
ABÓ=x라 하면 DBÓ=x-1이고,
삼각형 ABC와 삼각형 CBD는 닮음 ( AA 닮음)이므로 ABÓ`:`CBÓ=BCÓ`:`BDÓ에서
x`:`1=1`:`(x-1), xÛ`-x-1=0
∴ x= 1+'52 (∵ x>0 )
49
답 5초 후xÛ`+8x-180=0, (x-10)(x+18)=0
∴ x=10 (∵ x>0 )
또한, △ABC»△QPC이고, BCÓ`:`PCÓ=10`:`(10-x)이므로
△ABC`:`△QPC=10Û``:`(10-x)Û`
∴ △QPC= (10-x)Û`10Û` _△ABC=;2!;(10-x)Û` y ㉡ 이때, △ABC=△RBP+△QPC+ARPQ이므로 ㉠, ㉡에서 50=;2!;xÛ`+;2!;(10-x)Û`+16
(100-2x+3x)_;10$0;=(100-2x)_ pÁ 100 (100+x)_;10$0;=(100-2x)_ 100-x1000
40(100+x)=(100-x)(100-2x), 2xÛ`-340x+6000=0 xÛ`-170x+3000=0, (x-20)(x-150)=0
∴ x=20 (∵ x<100 )
53
답 4개<x>Û`+2<x>-15=0, (<x>-3)(<x>+5)=0
∴ <x>=3 또는 <x>=-5 ⓐ
65 =(1+5t)(1-2t), 6=5(1+5t)(1-2t)
50tÛ`-15t+1=0, (5t-1)(10t-1)=0 { x100 -1}{ x
50 -1}=0, (x-100)(x-50)=0 ∴ x=50 (∵ 0<x<100)
55
답 95이차방정식 axÛ`+bx+c=0에 대하여 두 근의 합과 곱은 각각 - ba , c
a 이다.
xÛ`-ax+b=0의 작은 근을 n이라 하면 큰 근은 n+4이고, xÛ`-ax+b=0에서 두 근의 합은 a, 두 근의 곱은 b이므로 n+(n+4)=a, 2n+4=a
n(n+4)=b
한편, a=2n+4는 두 근의 합이고 20 이하인 3의 배수이므로 n=1, 4, 7이 가능하고, b=n(n+4)가 7의 배수이므로 n=7만이 가능하다.
따라서 a=2n+4=2_7+4=18, b=n(n+4)=7_11=77
∴ a+b=18+77=95
56
답 P(6, 9)일차함수 y=x+3의 그래프 위의 한 점 P의 x좌표를 a라 하면 y좌 표는 a+3이므로 P(a, a+3)이다.
이때, OQÓ=a, PQÓ=a+3이므로 △POQ=;2!;a(a+3) y ㉠ 또, 점 P에서 y축에 내린 수선의 발을
H라 하면 PHÓ=OQÓ=a이고, 직선 y=x+3의 y절편은 3이므로 ORÓ=3이다.
∴ △PRO=;2!;_3_a=;2#;a y ㉡ 이때, △POQ`:`△PRO=3`:`1이므로
;2!;a(a+3)=3_;2#;a (∵ ㉠, ㉡)
aÛ`-6a=0, a(a-6)=0 ∴ a=6 (∵ a>0 ) 따라서 점 P의 좌표는 P(6, 9)이다.
R
H P(a,`a+3)
O Q x
y y=x+3
01
답 2xÛ`-5x+3=0에 x=a를 대입하면 aÛ`-5a+3=0에서 aÛ`-5a=-3 2xÛ`+4x-1=0에 x=b를 대입하면 2bÛ`+4b-1=0에서 2bÛ`+4b=1
∴ 2aÛ`+2bÛ`-10a+4b+7 =2(aÛ`-5a)+(2bÛ`+4b)+7
=2_(-3)+1+7=2