답 y=3xÛ`-12x

축의 방정식이 x=2이고 x축과 만나는 한 점이 (4, 0)이므로 x축 과 만나는 또 다른 한 점은 (0, 0)이다.

즉, y=axÛ`+bx+c에서 axÛ`+bx+c=0의 해가 x=0 또는 x=4 이다.

따라서 이차함수를 y=ax(x-4)로 놓으면 이 이차함수의 그래프 가 점 (5, 15)를 지나므로

15=a_5_1 ∴ a=3 y=3x(x-4)=3xÛ`-12x [다른 풀이]

축의 방정식이 x=2이므로

y=a(x-2)Û`+q (q는 상수)로 놓고 두 점 (4, 0), (5, 15)를 각각 대입하면 4a+q=0, 9a+q=15 ∴ a=3, q=-12

∴ y=3(x-2)Û`-12=3xÛ`-12x

33

^{답 30}

이차함수의 그래프의 대칭축이 x=1이고 x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 8이므로 x축과는 x=1에서 좌우로 거리가 4인 두 점 (5, 0), (-3, 0)에서 만난다.

따라서 이차함수 y=(x-5)(x+3)=xÛ`-2x-15=xÛ`+ax+b 이므로

a=-2, b=-15

∴ ab=30

34

^답 y=-;2!;xÛ`+;2#;x+5

이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프의 두 x절편이 -2, 5이므로 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 해는 x=-2 또는 x=5이다.

∴ y=axÛ`+bx+c=a(x+2)(x-5) 위 식의 그래프가 점 (0, 5)를 지나므로 5=a_2_(-5), 5=-10a ∴ a=-;2!;

∴ y=-;2!;(x+2)(x-5)=-;2!;xÛ`+;2#;x+5

이차 함수의

활용

Ⅳ ⁰⁸

[다른 풀이]

y=axÛ`+bx+c가 점 (0, 5)를 지나므로 c=5

∴ y=axÛ`+bx+5

y=axÛ`+bx+5에 두 점 (-2, 0), (5, 0)을 각각 대입하면 0=4a-2b+5 y ㉠

0=25a+5b+5 y ㉡

[

㉠, ㉡을 연립하면 a=-;2!;, b=;2#;

∴ y=-;2!;xÛ`+;2#;x+5

35

^답

^④

이차함수의 그래프가 x축과 두 점 (-6, 0), (4, 0)에서 각각 만나 므로

y =a(x+6)(x-4)

=a(xÛ`+2x)-24a

=a(x+1)Û`-25a

따라서 꼭짓점의 좌표는 (-1, -25a)이다.

이차함수의 그래프의 꼭짓점의 y좌표가 5이므로 -25a=5에서 a=-;5!;

∴ y=-;5!;(x+6)(x-4)

=-;5!;xÛ`-;5@;x+:ª5¢:

∴ a=-;5!;, b=-;5@;, c=:ª5¢:

∴ (2a+b+c)Û`=[{-;5@;}+{-;5@;}+:ª5¢:]2`

=4Û`=16

36

^답

^④

꼭짓점의 좌표를 (p, 9)라 하면 y=-(x-p)Û`+9 또한, 점 A(-1, 0)을 지나므로 대입하면 0=-(-1-p)Û`+9, p=-1Ñ3

∴ p=2 (∵ p>0)

∴ y=-(x-2)Û`+9=-xÛ`+4x+5 y ㉠ 점 B의 x좌표를 구하기 위하여 ㉠에 y=0을 대입하면 -xÛ`+4x+5=0, (x+1)(x-5)=0

∴ x=-1 또는 x=5 따라서 B(5, 0)이므로 ABÓ=6

37

^{답 -5}

이차함수 y=a(x-p)Û`+q의 그래프와 x축이 두 점 (-4, 0), (0, 0) 에서 각각 만나므로 축의 방정식은 x=-2이고, 이차함수의 그래프 가 직선 y=-4에 접하므로 꼭짓점의 좌표가 (-2, -4)이다.

∴ y=a(x+2)Û`-4

∴ p=-2, q=-4

한편, 이차함수 y=a(x+2)Û`-4의 그래프가 점 (0, 0)을 지나므로 4a-4=0 ∴ a=1

∴ y=(x+2)Û`-4

∴ a+p+q=1+(-2)+(-4)=-5

38

^답

^④

이차함수 y=xÛ`-2ax+b=(x-a)Û`-aÛ`+b이므로 꼭짓점의 좌표는 (a, -aÛ`+b)이다.

이차함수 y=xÛ`-2ax+b의 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로 4=1-2a+b ∴ b=2a+3 y ㉠

이때, 꼭짓점 (a, -aÛ`+b)가 직선 y=-2x+7 위에 있으므로 -aÛ`+b=-2a+7

이 식에 ㉠을 대입하면 -aÛ`+2a+3=-2a+7 aÛ`-4a+4=0, (a-2)Û`=0 ∴ a=2 따라서 a의 값을 ㉠에 대입하면 b=7

∴ a+b=9

39

^답

^③

이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프와 x축이 두 점에서 만나려면 bÛ`-4ac>0 또는 b'Û`-ac>0 (단, b=2b' )

① y=-xÛ`-2x-3 jK (-1)Û`-(-1)_(-3)=-2<0

② y=-xÛ`+2x-3 jK 1Û`-(-1)_(-3)=-2<0

③ y=-xÛ`+2x+3 jK 1Û`-(-1)_3=4>0

④ y=xÛ`-2x+3 jK (-1)Û`-1_3=-2<0

⑤ y=xÛ`+2x+3 jK 1Û`-1_3=-2<0

따라서 x축과 두 점에서 만나는 이차함수의 그래프의 식은 ③이다.

[다른 풀이]

이차함수의 그래프가 x축과 두 점에서 만나려면

Ú 아래로 볼록한 함수인 경우：꼭짓점의 y좌표가 음수이어야 한다.

Û 위로 볼록한 함수인 경우：꼭짓점의 y좌표가 양수이어야 한다.

① y=-xÛ`-2x-3=-(x+1)Û`-2이므로 꼭짓점은 (-1, -2)

② y=-xÛ`+2x-3=-(x-1)Û`-2이므로 꼭짓점은 (1, -2)

③ y=-xÛ`+2x+3=-(x-1)Û`+4이므로 꼭짓점은 (1, 4)

④ y=xÛ`-2x+3=(x-1)Û`+2이므로 꼭짓점은 (1, 2)

⑤ y=xÛ`+2x+3=(x+1)Û`+2이므로 꼭짓점은 (-1, 2) 따라서 x축과 두 점에서 만나는 이차함수의 그래프의 식은 ③이다.

40

^답

^②

두 점 (p, 1), (q, 1)은 각각 이차함수 y=xÛ`+2x-k와 직선 y=1의 교점 이므로 p, q는 방정식 xÛ`+2x-k=1 즉, xÛ`+2x-k-1=0의 두 근이다.

(x-p)(x-q)=0, 즉

xÛ`-(p+q)x+pq=0과 같으므로 p와 q 사이의 관계식은 p+q=-2

O 1 -1

q x p y=xÛ`+2x-k y

y=1

[다른 풀이 ➊]

두 점 (p, 1), (q, 1)의 y좌표가 모두 1이므로 이차함수의 대칭성에 의하여 p와 q의 중점이 y=xÛ`+2x-k의 대칭축이 된다.

y=xÛ`+2x-k=(x+1)Û`-k-1에서 대칭축은 x=-1이므로 p+q2 =-1 ∴ p+q=-2

46

^{답 15}

두 점 A, B의 x좌표를 각각 구하려면

xÛ`=x+6, xÛ`-x-6=0, (x+2)(x-3)=0

∴ x=-2 또는 x=3 ∴ A(-2, 4), B(3, 9)

또한, 점 C는 y=x+6의 그래프의 y절편이므로 C(0, 6) ⓐ

∴ △AOB=△AOC+△BCO=;2!;_6_2+;2!;_6_3

=6+9=15 ⓑ

| 채점기준 |

ⓐ 점 A, B, C의 좌표를 각각 구한다. [60%]

ⓑ 삼각형 AOB의 넓이를 구한다. [40%]

47

^{답 9`m}

점 M을 원점으로 하고, 점 A, B, M을 지나는 직선을 x축, 이와 수 직이면서 점 M을 지나는 직선을 y축이라 하자.

운하의 폭이 30`m이므로 두 점 A, B를 지나는 이차함수의 그래프 에서 점 A의 좌표는 A(-15, 0), 점 B의 좌표는 B(15, 0)이다.

또한, 점 M에서 10`m 떨어진 곳의 깊이가 5`m가 되어야 하므로 이 차함수의 그래프는 점 (10, -5)를 지난다.

이차함수 y=a(x+15)(x-15)(a+0)의 그래프가 점 (10, -5) 를 지나므로

-5=a_(10+15)_(10-15)

∴ a=;2Á5;

∴ y=;2Á5;(x+15)(x-15)=;2Á5;xÛ`-9 따라서 운하의 중심의 수심은 9`m이다.

48

^{답 ;3*;}

DEÓ=2ADÓ=a이므로 두 점 B, E의 x좌표는 각각 - a2 , a이다.

즉, B{- a2 , aÛ`

4 }, C{0, aÛ`

4 }, E(a, aÛ`), D(0, aÛ`)이므로 CDÓ=aÛ`- aÛ`4 =3aÛ`

4

따라서 사각형 ABCD와 사각형 DEFG의 넓이를 각각 구하면

ABCD=BCÓ_CDÓ= a2 _3aÛ`

4 =3aÜ`

8

DEFG=aÛ`

이때, ABCD=DEFG이므로 3aÜ`8 =aÛ`, aÛ`{3a

8 -1}=0 ∴ a=;3*; (∵ a+0)

문제편 84P

문서에서 2019 일등급 수학 중3 상 답지 정답 (페이지 33-36)