• 검색 결과가 없습니다.

2021 수학의 바이블 개념 중2-2 답지 정답

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "2021 수학의 바이블 개념 중2-2 답지 정답"

Copied!
120
0
0

로드 중.... (전체 텍스트 보기)

전체 글

(1)

정답과 풀이

개념

중학

3

-

1

개념

중학

2

-

2

정답과 풀이

(2)

Ⅰ. 도형의 성질

1.

삼각형의 성질

이등변삼각형의 성질

01

개념

본교재 | 6 쪽 개념 콕콕

1

50ù ⑵ 110ù

2

90 ⑵ 4

1

⑴ ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠B=65ù ∴ ∠x=180ù-(65ù+65ù)=50ù ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB= 12 _(180ù-40ù)=70ù ∴ ∠x=180ù-∠ACB=180ù-70ù=110ù

2

CDÓ=BDÓ= 12  BCÓ=12 _8=4(cm) ∴ x=4 본교재 | 7 쪽

대표

유형

11 -115ù 1 -290ù 2 52 2 -118 2 -212`cm 1 -1 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=65ù △BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠BDC=∠C=65ù ∴ ∠DBC=180ù-(65ù+65ù)=50ù ∴ ∠ABD=∠ABC-∠DBC=65ù-50ù=15ù  15ù 1 -2ABC에서 ABÓÓ=ACÓÓ이므로 ∠B= 12 _(180ù-120ù)=30ù △CDA에서 CAÓ=CDÓÓ이므로 ∠D=∠CAD=180ù-120ù=60ù 따라서 △DBC에서 ∠DCE=∠B+∠D=30ù+60ù=90ù 90ù 2 -1 △ABC에서 ABÓ=ACÓÓ이므로 ∠B=∠ACB=180ù-116ù=64ù △ABD에서 ∠BAD=180ù-(64ù+90ù)=26ù ∴ x=26 한편, 이등변삼각형 ABC에서 ADÓ⊥BCÓ이므로 ADÓ는 BCÓ를 수직 이등분한다. 즉, CDÓ= 12 BCÓ=12 _16=8(cm) ∴ y=8x-y=26-8=18 18 2 -2 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 BDÓ= 12 BCÓ=12 _14=7(cm) 이때 △ABD= 12 _BDÓ_ADÓ=42이므로 1 2 _7_ADÓ=42 ∴ ADÓ=12(cm) 12`cm

이등변삼각형이 되는 조건

02

개념

본교재 | 8 쪽 개념 콕콕

1

6 ⑵ 6

2

12 ⑵ 9

3

∠ACB, ∠ACB, ∠PCB, PCÓ

1

⑴ ∠B=∠C이므로 ACÓ=ABÓ=6(cm) ∴ x=6 ⑵ ∠B=∠C이므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다. 따라서 BDÓ= 12 BCÓ=12 _12=6(cm)이므로 x=6

2

⑴ ∠C=180ù-(70ù+55ù)=55ù 따라서 ∠B=∠C이므로 ABÓ=ACÓ=12(cm) ∴ x=12 ⑵ ∠A=180ù-(50ù+65ù)=65ù 따라서 ∠A=∠C이므로 BCÓ=BAÓ=9(cm) ∴ x=9 본교재 | 9 쪽

대표

유형

3 15`cm 3 -19`cm 3 -24 6`cm 4 -110`cm 4 -2 ②, ④ 3 -1ABC에서 ∠A=115ù-50ù=65ù 또, ∠ACB=180ù-115ù=65ù이므로 ∠A=∠ACB ∴ ABÓ=BCÓ=9(cm) 9`cm

(3)

1. 삼각형의 성질 3 -2 △ABC에서 ∠ACB=80ù-40ù=40ù 즉, ∠B=∠ACB이므로 ACÓ=ABÓ=6(cm) 또, ∠CDA=180ù-100ù=80ù이므로 △ACD에서 ∠CAD=∠CDA ∴ CDÓ=ACÓ=6(cm)  ② 4 -1 ∠ABC=∠DBC (접은 각), ∠ACB=∠DBC (엇각)이므로 ∠ABC=∠ACB 따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ACÓ=ABÓ=10(cm) 10`cm 4 -2 ∠AEF=∠GEF (접은 각), ∠AEF=∠GFE (엇각)이므로 ∠GEF=∠GFE ∴ EGÓ=FGÓ  ②, ④ 본교재 | 10 쪽

0

1

0

2

32ù

0

3

0

4

34ù

0

5

0

6

15`cm

0

7

14`cm

0

8

② 배운대로

해결하기

0

1

△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠B=62ù ∴ ∠BCD= 12 ∠ACB=12 _62ù=31ù 따라서 △DBC에서 ∠ADC=62ù+31ù=93ù  ①

0

2

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB= 12 _(180ù-24ù)=78ùDCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DCE=∠E=70ù ∴ ∠ACD=180ù-(78ù+70ù)=32ù 32ù

0

3

오른쪽 그림의 △ABC에서 ABÓ=ACÓ 이므로 ∠ACB=∠B=∠x ∴ ∠CAD =∠B+∠ACB =∠x+∠x=2∠x △ACD에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠CDA=∠CAD=2∠x 따라서 △DBC에서 102ù=∠x+2∠x이므로 3∠x=102ù ∴ ∠x=34ù  ⑤ 102° x 2x2x x A B C D E

0

4

△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB= 12 _(180ù-68ù)=56ù ∴ ∠DBC= 12 ∠ABC=12 _56ù=28ù 또, ∠ACE=180ù-56ù=124ù이므로 ∠DCE= 12 ∠ACE=12 _124ù=62ù 따라서 △DBC에서 ∠BDC=62ù-28ù=34ù 34ù

0

5

① 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 ∠ADC=90ù ③, ⑤ △PBD와 △PCD에서 BDÓ=CDÓ, ∠PDB=∠PDC=90ù, PDÓ는 공통 따라서 △PBDª△PCD(SAS 합동)이므로 PBÓ=PCÓ ④ △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB 또, △PBC에서 PBÓ=PCÓ이므로 ∠PBC=∠PCB ∴ ∠ABP =∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB=∠ACP  ②

0

6

△ABC에서 ABÓÓ=ACÓÓ이므로 ∠ABC=∠C= 12 _(180ù-36ù)=72ù ∴ ∠ABD=∠DBC= 12 ∠ABC=12 _72ù=36ù 즉, △ABD에서 ∠A=∠ABD이므로 ADÓ=BDÓ 한편, △ABD에서 ∠BDC=∠A+∠ABD=36ù+36ù=72ù 따라서 △BCD에서 ∠BDC=∠C이므로 BDÓÓ=BCÓ=15(cm) ∴ ADÓ=BDÓ=15(cm)  15`cm

0

7

△ABC에서 ∠A=180ù-(30ù+90ù)=60ù △ADC에서 ADÓ=CDÓ이므로 ∠DCA=∠A=60ù 즉, △ADC는 정삼각형이므로 ADÓ=DCÓ=ACÓ=7(cm) 이때 ∠DCB=90ù-60ù=30ù이므로 ∠B=∠DCB 따라서 DBÓ=DCÓ=7(cm)이므로 ABÓ=ADÓ+DBÓ=7+7=14(cm)  14`cm

0

8

∠ABC=∠DBC (접은 각), ∠ACB=∠DBC (엇각)이므로 ∠ABC=∠ACB 따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ACÓ=ABÓ=9(cm) ∴ △ABC= 12 _9_8=36(cmÛ`)  ②

(4)

직각삼각형의 합동 조건

03

개념

본교재 | 11 쪽

개념 콕콕

1

⑴ △ABCª△FED, RHA 합동 ⑵ 3`cm

2

⑴ △ABCª△EFD, RHS 합동 ⑵ 4`cm

1

⑴ △ABC와 △FED에서 ∠B=∠E=90ù, ACÓ=FDÓ, ∠D=180ù-(90ù+30ù)=60ù=∠C ∴ △ABCª△FED(RHA 합동) ⑵ BCÓ=EDÓ=3(cm)

2

⑴ △ABC와 △EFD에서 ∠B=∠F=90ù, ACÓ=EDÓ, BCÓ=FDÓ ∴ △ABCª△EFD(RHS 합동) ⑵ EFÓ=ABÓ=4(cm) 본교재 | 12 쪽

대표

유형

1 58 1 -147 1 -2 ②, ③ 2 x=4, y=24 2 -1x=6, y=72 2 -232ù 1 -1 △AMC와 △BMD에서 ∠ACM=∠BDM=90ù, AÕMÓ=BÕMÓ, ∠AMC=∠BMD(맞꼭지각) 따라서 △AMCª△BMD(RHA 합동)이므로 ACÓ=BDÓ=12(cm) ∴ x=12 또, ∠MBD=∠MAC=180ù-(90ù+55ù)=35ù이므로 y=35x+y=12+35=47 47 1 -2 ① △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C ④, ⑤ △BMD와 △CME에서 ∠BDM=∠CEM=90ù, BÕMÓ=CÕMÓ, ∠B=∠C 따라서 △BMDª△CME(RHA 합동)이므로 DÕMÓ=EÕMÓ  ②, ③ 2 -1 △BED와 △BCD에서 ∠BED=∠BCD=90ù, BDÓ는 공통, BEÓ=BCÓ 따라서 △BEDª△BCD(RHS 합동)이므로 DEÓ=DCÓ=6(cm) ∴ x=6 또, △AED에서 ∠EDA=180ù-(54ù+90ù)=36ù이므로 ∠EDC=180ù-∠EDA=180ù-36ù=144ù 따라서 ∠BDC=∠BDE= 12 ∠EDC=12 _144ù=72ù이므로 y=72 x=6, y=72 2 -2 △BCE와 △CBD에서 ∠BEC=∠CDB=90ù, BCÓ는 공통, BEÓ=CDÓ 따라서 △BCEª△CBD(RHS 합동)이므로 ∠EBC=∠DCB 즉, △ABC에서 ∠EBC= 12 _(180ù-64ù)=58ù 따라서 △BCE에서 ∠BCE=180ù-(90ù+58ù)=32ù  32ù

각의 이등분선의 성질

04

개념

본교재 | 13 쪽 개념 콕콕

1

2 ⑵ 5

2

20ù ⑵ 65ù

1

⑴ △AOPª△BOP(RHA 합동)이므로 PAÓ=PBÓ=2(cm) ∴ x=2 ⑵ △AOPª△BOP(RHA 합동)이므로 OAÓ=OBÓ=5(cm) ∴ x=5

2

⑴ △AOPª△BOP(RHS 합동)이므로x=∠AOP=20ù ⑵ △AOPª△BOP(RHS 합동)이므로 ∠AOP=∠BOP=25ù 따라서 △AOP에서 ∠x=180ù-(90ù+25ù)=65ù 본교재 | 14 쪽

대표

유형

33 -144`cm ⑵ 30`cmÛ` 4 -15`cm ⑵ 45`cmÛ` 4 -258ù 3 -1 ①, ②, ④, ⑤ △AOPª△BOP(RHS 합동)이므로 ∠AOP=∠BOP, ∠APO=∠BPO, OAÓ=OBÓ  ③

(5)

1. 삼각형의 성질 4 -1 ⑴ △ABDª△AED(RHA 합동)이므로 DEÓ=DBÓ=5(cm) ⑵ △ADC= 12_ACÓ_DEÓ=12 _18_5=45(cmÛ`) ⑴5`cm 45`cmÛ` 4 -2 △AOPª△BOP(RHS 합동)이므로 ∠POA=∠POB= 12 ∠AOB=12 _64ù=32ù 따라서 △AOP에서 ∠OPA=180ù-(90ù+32ù)=58ù  58ù 본교재 | 15 쪽

0

1

0

2

0

3

0

4

84ù

0

5

54ù

0

6

0

7

26ù

0

8

6`cm 배운대로

해결하기

0

1

△ABD와 △CBD에서 ∠BAD=∠BCD=90ù, BDÓ는 공통, ∠ABD=∠CBD 따라서 △ABDª△CBD(RHA 합동)이므로 ADÓ=CDÓ 즉, 5x+2=7x-6이므로 -2x=-8 ∴ x=4  ②

0

2

①, ②, ④ △ADB와 △CEA에서 ∠ADB=∠CEA=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠BAD+∠EAC=90ù, ∠EAC+∠ACE=90ù이므로 ∠BAD=∠ACE 따라서 △ADBª△CEA(RHA 합동)이므로 DÕAÓ=ECÓ ⑤ DÕAÓ=ECÓ, AEÓ=BDÓ이므로 (사다리꼴 DBCE의 넓이) = 12 _(BDÓ+CEÓ)_(DAÓ+AEÓ) = 12 (BDÓ+CEÓ)Û`  ③

0

3

①, ② RHS 합동 ③ SAS 합동 ④ RHA 합동  ⑤

0

4

△BMD와 △CME에서 ∠BDM=∠CEM=90ù, BÕMÓ=CÕMÓ, MòDÓ=MòEÓ 따라서 △BMDª△CME(RHS 합동)이므로 ∠C=∠B=48ù 따라서 △ABC에서 ∠A=180ù-(48ù+48ù)=84ù  84ù

0

5

△ABD와 △AED에서 ∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통, ABÓ=AEÓ 따라서 △ABDª△AED(RHS 합동)이므로 ∠EDA=∠BDA=180ù-(27ù+90ù)=63ù ∴ ∠x =180ù-(∠BDA+∠EDA) =180ù-(63ù+63ù)=54ù  54ù

0

6

△AOP와 △BOP에서 ∠PAO=∠PBO=90ù, OPÓ는 공통, ∠AOP=∠BOP 따라서 △AOPª△BOP(RHA 합동)이므로 PAÓ=PBÓ 그러므로 주어진 성질을 설명하는 데 이용되지 않는 것은 ㄷ이다.  ㄷ

0

7

△AEDª△AFD(RHS 합동)이므로 ∠EAD=∠FAD=180ù-(90ù+64ù)=26ù  26ù

0

8

△AEDª△ACD(RHA 합동)이므로 EDÓ=CDÓ, AEÓ=ACÓ=3(cm) ∴ EBÓ=ABÓ-AEÓ=5-3=2(cm) ∴ (△EBD의 둘레의 길이) =EBÓ+BDÓ+DEÓ =EBÓ+BDÓ+DCÓ =EBÓ+BCÓ =2+4=6(cm) 6`cm

삼각형의 외심

05

개념

본교재 | 16 쪽 개념 콕콕

1

ㄱ, ㄷ

2

5 ⑵ 25

1

삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이고, 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.

2

⑴ CDÓ=BDÓ=5(cm) ∴ x=5 ⑵ OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=∠OBC=25ù ∴ x=25 ㄱ ㄷ

(6)

본교재 | 17 쪽

대표

유형

11 -11 -29`cm 2 13p`cm 2 -120p`cm 2 -21 -1 오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ △OAB에서 ∠OBA=∠OAB=40ù △OBC에서 ∠OBC=∠OCB=32ù ∴ ∠B=∠OBA+∠OBC=40ù+32ù=72ù  ② 1 -2 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OCÓ OAÓ+OCÓ+15=33, 2 OAÓ=18 ∴ OAÓ=9(cm) 따라서 △ABC의 외접원의 반지름의 길이는 9`cm이다.  9`cm 2 -1 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 △ABC의 외접원의 반지 름의 길이는 1 2 `BCÓ=12 _20=10(cm) 따라서 △ABC의 외접원의 둘레의 길이는 2p_10=20p(cm) 20p`cm 2 -2 점 M은 △ABC의 외심이므로 MBÓ=MCÓ ∴ ∠MBC=∠C 따라서 △MBC에서 ∠AMB=∠MBC+∠C이므로 72ù=∠MBC+∠C, 2∠C=72ù ∴ ∠C=36ù  ②

삼각형의 외심의 활용

06

개념

본교재 | 18 쪽 개념 콕콕

1

30ù ⑵ 15ù

2

100ù ⑵ 60ù

1

⑴ 20ù+40ù+∠x=90ù ∴ ∠x=30ù ⑵ ∠x+30ù+45ù=90ù ∴ ∠x=15ù 32° 40° A B C O

2

⑴ ∠x=2∠A=2_50ù=100ù ⑵ ∠x= 12 ∠BOC=12 _120ù=60ù 본교재 | 19 쪽

대표

유형

3 30ù 3 -127ù 3 -244 -14 -2160ù 3 -1 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ 즉, △OAB에서 ∠OAB= 12 _(180ù-94ù)=43ù 이때 43ù+20ù+∠x=90ù이므로 ∠x=27ù  27ù 3 -2 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ 즉, △OAB에서 ∠OAB=∠OBA=30ù 이때 30ù+35ù+∠OAC=90ù이므로 ∠OAC=25ù ∴ ∠A=∠OAB+∠OAC=30ù+25ù=55ù  ③ 4 -1 점 O는 △ABC의 외심이므로 OBÓ=OCÓ 즉, △OBC에서 ∠OCB=∠OBC=38ù이므로 ∠BOC=180ù-(38ù+38ù)=104ù ∴ ∠x= 12 ∠BOC=12 _104ù=52ù  ⑤ 4 -2 ∠C=180ù_2+3+4 =80ù4 이때 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠AOB=2∠C=2_80ù=160ù  160ù 보충 설명 △ABC에서 ∠A`:`∠B`:`∠C=a`:`b`:`c일 때, ∠C=180ù_a+b+cc 본교재 | 20 쪽

0

1

③, ④

0

2

0

3

108ù

0

4

8`cm

0

5

0

6

0

7

0

8

188ù 배운대로

해결하기

A B C O 35° 30°

(7)

1. 삼각형의 성질

0

1

①, ② 점 O가 △ABC의 외심이므로 ADÓ=BDÓ, OAÓ=OBÓ=OCÓ ⑤ △OBE와 △OCE에서 BEÓ=CEÓ, ∠OEB=∠OEC=90ù, OEÓ는 공통 ∴ △OBEª△OCE(SAS 합동)  ③, ④

0

2

점 O는 △ABC의 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 BDÓ=ADÓ=5(cm), BEÓ=CEÓ=7(cm), CFÓ=AFÓ=6(cm) ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ =2(ADÓ+CEÓ+AFÓ) =2_(5+7+6) =36(cm)  ④

0

3

∠MAC=90ù_ 23+2 =36ù 점 M은 △ABC의 외심이므로 MAÓ=MBÓ=MCÓ 따라서 △AMC에서 ∠MCA=∠MAC=36ù이므로 ∠AMC=180ù-(36ù+36ù)=108ù  108ù

0

4

△ABC에서 ∠A=180ù-(30ù+90ù)=60ù 오른쪽 그림과 같이 빗변 AB의 중점을 O라고 하면 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ 즉, ∠OCA=∠A=60ù이므로 △AOC는 정삼각형이다. ∴ OAÓ=OCÓ=ACÓ=4(cm) 따라서 OBÓ=OAÓ=4(cm)이므로 ABÓ=2 OAÓ=2_4=8(cm)  8`cm

0

5

점 O는 △ABC의 외심이므로 30ù+∠OBC+42ù=90ù ∴ ∠OBC=18ù 따라서 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠BOC=180ù-2_18ù=144ù  ②

0

6

점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠x+26ù+24ù=90ù ∴ ∠x=40ùOAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠y=26ù ∴ ∠x-∠y=40ù-26ù=14ù  ① O 30° 4`cm A B C

0

7

오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 점 O는 △ABC의 외심이므로 OBÓ=OCÓ 즉, △OBC에서 ∠OBC=∠OCB=42ù이므로 ∠BOC=180ù-(42ù+42ù)=96ù ∴ ∠A= 12 ∠BOC=12 _96ù=48ù  ②

0

8

점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ 즉, △OAB에서 ∠OBA=∠OAB=28ù이므로 ∠AOB=180ù-(28ù+28ù)=124ù ∴ ∠x= 12 ∠AOB=12 _124ù=62ù 또, ∠ABC=∠OBA+∠OBC=28ù+35ù=63ù이므로 ∠y=2∠ABC=2_63ù=126ù ∴ ∠x+∠y=62ù+126ù=188ù  188ù

삼각형의 내심

07

개념

본교재 | 21 쪽 개념 콕콕

1

ㄴ, ㄹ

2

40 ⑵ 3

1

삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이고, 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다.

2

⑴ ∠IAB=∠IAC=40ù ∴ x=40 ⑵ IDÓ=IEÓ=3(cm) ∴ x=3 본교재 | 22 쪽

대표

유형

11 -11 -22 9`cm 2 -114`cm 2 -219`cm 1 -1 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IAB=∠IAC=∠x, ∠IBA=∠IBC=35ù 따라서 △IAB에서 ∠x=180ù-(108ù+35ù)=37ù  ① 42° A B C O ㄹ ㄴ

(8)

1 -2ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC= 12 _(180ù-56ù)=62ù 이때 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBC= 12 ∠ABC=12 _62ù=31ù  ④ 2 -1 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB 이때 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각), ∠EIC=∠ICB(엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DIÓ=DBÓ=8(cm), EIÓ=ECÓ=6(cm) ∴ DEÓ=DIÓ+EIÓ=8+6=14(cm) 14`cm 보충 설명 오른쪽 그림에서 점 I는 △ABC의 내심이고 DEÓBCÓ일 때 ① ∠DBI=∠IBC=∠DIB, ∠ECI=∠ICB=∠EIC ② DBÓ=DIò, ECÓ=EIò 2 -2 오른쪽 그림과 같이 IBÓ, ICÓ를 그으면 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB 이때 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각), ∠EIC=∠ICB(엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ ∴ (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+EAÓ =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+EAÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EAÓ) =ABÓ+ACÓ =11+8=19(cm)  19`cm

삼각형의 내심의 활용

08

개념

본교재 | 23 쪽 개념 콕콕

1

30ù ⑵ 22ù

2

125ù ⑵ 56ù

1

⑴ ∠x+25ù+35ù=90ù ∴ ∠x=30ù ⑵ 44ù+24ù+∠x=90ù ∴ ∠x=22ù A B C D I E A B C D I E 11 cm 8 cm

2

⑴ ∠x=90ù+ 12 ∠A=90ù+12 _70ù=125ù ∠AIC=90ù+ 12 ∠B이므로 118ù=90ù+ 12 ∠x ∴ ∠x=56ù 본교재 | 24 쪽

대표

유형

33 -130ù 3 -280ù 44 -14 -2100ù 3 -1 오른쪽 그림과 같이 ICÓ를 그으면 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠ICB= 12 ∠C=12 _50ù=25ù 이때 35ù+25ù+∠x=90ù이므로x=30ù  30ù 3 -2 오른쪽 그림과 같이 IAÓ를 그으면 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IAB+20ù+30ù=90ù ∴ ∠IAB=40ù 이때 ∠IAC=∠IAB=40ù이므로 ∠A=2∠IAB=2_40ù=80ù  80ù 4 -1 점 I는 △ABC의 내심이므로

108ù=90ù+ 12 ∠ABC, 12 ∠ABC=18ù ∴ ∠ABC=36ù

∴ ∠x= 12 ∠ABC=12 _36ù=18ù  ②

4 -2

∠AIB=360ù_7+6+5 =140ù7

이때 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠AIB=90ù+ 12 ∠ACB

140ù=90ù+ 12 ∠ACB ∴ ∠ACB=100ù  100ù

삼각형의 내접원의 활용

09

개념

본교재 | 25 쪽 개념 콕콕

1

54`cmÛ`

2

15 ⑵ 7 A B C I x 50° 35° A B 30° C 20° I

(9)

1. 삼각형의 성질

1

ABC= 12 _3_(9+15+12)=54(cmÛ`)

2

⑴ BEÓ=BDÓ=10(cm), CEÓ=CFÓ=5(cm)이므로 BCÓ=10+5=15(cm) ∴ x=15 ⑵ BEÓ=BDÓ=6(cm)이므로 CFÓ=CEÓ=13-6=7(cm) ∴ x=7 본교재 | 26 쪽

대표

유형

5 3`cm 5 -14`cm 5 -24p`cmÛ` 6 12`cm 6 -117`cm 6 -25 -1 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 84= 12 _r_(14+15+13) ∴ r=4 따라서 내접원의 반지름의 길이는 4`cm이다.  4`cm 5 -2 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 1 2 _12_5=12 _r_(13+12+5) ∴ r=2 따라서 내접원의 넓이는 p_2Û`=4p(cmÛ`)  4p`cmÛ` 6 -1 BDÓ=BEÓ=7(cm)이므로 AFÓ=ADÓ=ABÓ-BDÓ=15-7=8(cm) CFÓ=CEÓ=BCÓ-BEÓ=16-7=9(cm) ∴ ACÓ=AFÓ+CFÓ=8+9=17(cm)  17`cm 6 -2 BEÓ=x`cm라고 하면 BDÓ=BEÓ=x(cm) AFÓ=ADÓ=ABÓ-BDÓ=16-x(cm) CFÓ=CEÓ=BCÓ-BEÓ=14-x(cm) 이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 12=(16-x)+(14-x) 2x=18 ∴ x=9 ∴ BEÓ=9(cm)  ④ 본교재 | 27 쪽

0

1

②, ③

0

2

0

3

0

4

18ù

0

5

204ù

0

6

0

7

40`cmÛ`

0

8

② 배운대로

해결하기

0

1

①, ⑤ △IBD와 △IBE에서 ∠IDB=∠IEB=90ù, IBÓ는 공통, ∠IBD=∠IBE 따라서 △IBDª△IBE(RHA 합동)이므로 BDÓ=BEÓ ④ 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ICE=∠ICF  ②, ③

0

2

점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠IBA=32ù, ∠ICA=∠ICB=30ù 따라서 △ABC에서 ∠x=180ù-(32ù+32ù+30ù+30ù)=56ù  ④

0

3

오른쪽 그림과 같이 IBÓ, ICÓ를 그으면 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB 이때 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ ∴ (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+EAÓ =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+EÕAÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EÕAÓ) =ABÓ+ACÓ =10+13=23(cm)  ②

0

4

오른쪽 그림과 같이 IBÓ를 그으면 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBA= 12 ∠B=12 _80ù=40ù 이때 32ù+40ù+∠x=90ù이므로x=18ù  18ù

0

5

점 I는 △ABC의 내심이므로 12 ∠x+18ù+34ù=90ù 1 2 ∠x=38ù ∴ ∠x=76ù ∴ ∠y=90ù+ 12 ∠A=90ù+12 _76ù=128ù ∴ ∠x+∠y=76ù+128ù=204ù 204ù

0

6

점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠BIC=90ù+ 12 ∠A

115ù=90ù+ 12 ∠A ∴ ∠A=50ù 이때 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_50ù=100ù  ② A B C D I 13`cmE 10`cm 80° 32° x A B I C

(10)

0

7

내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 1 2 _16_12=12 _r_(12+16+20) ∴ r=4 ∴ △AIC= 12 _20_4=40(cmÛ`)  40`cmÛ`

0

8

ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CFÓ=CEÓ이므로 (ABC의 둘레의 길이) =2(ADÓ+BEÓ+CFÓ)=2(AFÓ+6+CFÓ) =2(ACÓ+6)=28 따라서 ACÓ+6=14이므로 ACÓ=8(cm)  ② 본교재 | 28 ~ 30 쪽

01

02

03

04

55

05

72`cmÛ`

06

07

50`cmÛ`

08

09

27`cmÛ`

10

11

12

①, ⑤

13

9`cm

14

153ù

15

21p`cmÛ`

16

17

24ù

18

6`cm

19

15ù

20

68ù

21

219ù

22

132ù 개념 넓히기로

마무리

01

△ABD에서 ADÓ=BDÓ이므로 ∠A=∠ABD= 12 _(180ù-104ù)=38ù △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC= 12 _(180ù-38ù)=71ù ∴ ∠DBC=∠ABC-∠ABD=71ù-38ù=33ù  ②

02

∠DBE=∠A=∠x (접은 각)이므로 ∠ABC=∠DBE+∠EBC=∠x+21ù 이때 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠ABC=∠x+21ù 따라서 △ABC에서 ∠x+(∠x+21ù)+(∠x+21ù)=180ù이므로 3∠x+42ù=180ù, 3∠x=138ù ∴ ∠x=46ù  ①

03

이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 ADÓ⊥BCÓ, BDÓ=CDÓ

이때 △ABD= 12 _BDÓ_ADÓ=12 _ABÓ_DEÓ이므로

1 2 _BDÓ_20=12 _25_12 ∴ BDÓ=15(cm) 따라서 CDÓ=BDÓ이므로 BCÓ=2BDÓ=2_15=30(cm)  ③

04

이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 ADÓ⊥BCÓ, BDÓ=CDÓ= 12 _20=10(cm)ABD에서 ∠ABD=180ù-(90ù+45ù)=45ù ∴ x=45

이때 ∠ABD=∠BAD이므로 △ABD는 ADÓ=BDÓ인 이등변삼

각형이다. 따라서 ADÓ=BDÓ=10(cm)이므로 y=10x+y=45+10=55 55

05

△ADB와 △CEA에서 ∠ADB=∠CEA=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠BAD+∠EAC=90ù, ∠EAC+∠ACE=90ù이므로 ∠BAD=∠ACE 따라서 △ADBª△CEA(RHA 합동)이므로 DAÓ=ECÓ=7(cm), AEÓ=BDÓ=5(cm) ∴ (사다리꼴 DBCE의 넓이) = 12 _(BDÓ+CEÓ)_DEÓ = 12 _(5+7)_(7+5) =72(cmÛ`)  72`cmÛ`

06

△ADMª△CEM(RHS 합동)이므로 ∠A=∠C=32ù 따라서 △ABC에서 ∠B=180ù-(32ù+32ù)=116ù  ④

07

△AEDª△ACD(RHA 합동)이므로 EDÓ=CDÓ=10(cm) 한편, △ABC는 직각이등변삼각형이므로 ∠B=∠BAC=45ù △EBD에서 ∠EDB=180ù-(90ù+45ù)=45ù이므로 ∠B=∠EDB ∴ EBÓ=EDÓ=10(cm) ∴ △EBD= 12 _10_10=50(cmÛ`)  50`cmÛ`

08

점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ △OAB에서 ∠OAB= 12 _(180ù-40ù)=70ùOCA에서 ∠OAC= 12 _(180ù-80ù)=50ù ∴ ∠BAC=∠OAB+∠OAC=70ù+50ù=120ù  ③

09

점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OCÓ ∴ △OBC = 12ABC= 12 _{12 _12_9} =27(cmÛ`) 27`cmÛ`

(11)

1. 삼각형의 성질

10

점 M이 △ABC의 외심이므로 MAÓ=MBÓ ∴ ∠MAB=∠B=34ù △ABM에서 ∠AMH=∠MAB+∠B=34ù+34ù=68ù 따라서 △AMH에서 ∠x=180ù-(68ù+90ù)=22ù  ④ 다른 풀이 점 M이 △ABC의 외심이므로 MòAÓ=MòBÓ ∴ ∠MAB=∠B=34ù 이때 △ABH에서 ∠BAH=180ù-(90ù+34ù)=56ù이므로x=∠BAH-∠MAB=56ù-34ù=22ù

11

오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ △OAB에서 ∠OBA=∠OAB=28ù이므로 ∠OBC=∠B-∠OBA=52ù-28ù=24ù 즉, △OBC에서 ∠x=∠OBC=24ù 또, 28ù+24ù+∠y=90ù이므로 ∠y=38ù ∴ ∠y-∠x=38ù-24ù=14ù  ③

12

② 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다. ③ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다. ④ 직각삼각형의 내심은 삼각형의 내부에 위치한다.  ①, ⑤

13

오른쪽 그림과 같이 IBÓ, ICÓ를 그으면 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB 이때 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각), ∠EIC=∠ICB(엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ(ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+EAÓ =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+EAÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EAÓ) =ABÓ+ACÓ=18(cm) 이때 ABÓ=ACÓ이므로 2ABÓ=18 ∴ ABÓ=9(cm) 9`cm

14

점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠BIC=90ù+ 12 ∠A=90ù+12 _72ù=126ù 점 I'은 △IBC의 내심이므로 ∠BI'C=90ù+ 12 ∠BIC=90ù+12 _126ù=153ù  153ù 28° 52° xy A B O C A B C D I E

15

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 외접원의 반지름의 길이는 1 2 ABÓ=12 _10=5(cm) 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 1 2 _6_8=12 _r_(10+6+8) ∴ r=2 따라서 색칠한 부분의 넓이는 p_5Û`-p_2Û`=25p-4p=21p(cmÛ`)  21p`cmÛ`

16

오른쪽 그림과 같이 IDÓ를 그으면 사각형 IDBE는 정사각형이므로 BDÓ=BEÓ=IEÓ=2(cm) AFÓ=ADÓ=ABÓ-BDÓ=5-2=3(cm) CFÓ=CEÓ=BCÓ-BEÓ=12-2=10(cm) ∴ ACÓÓ=AFÓ+CFÓ=3+10=13(cm)  ①

17

오른쪽 그림의 △BAC에서 BAÓ=BCÓ이므로 ∠BCA=∠A=∠x ∴ ∠CBD =∠A+∠BCA =∠x+∠x=2∠x yy`30%BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠CDB=∠CBD=2∠x △DAC에서

∠DCE =∠A+∠CDB=∠x+2∠x=3∠x yy`30%

△DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DEC=∠DCE=3∠x yy`10% 따라서 △DAE에서 96ù=∠x+3∠x이므로 4∠x=96ù ∴ ∠x=24ù yy`30%  24ù

18

△ABD와 △CAE에서 ∠BDA=∠AEC=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠ABD+∠BAD=90ù, ∠BAD+∠CAE=90ù이므로 ∠ABD=∠CAE

∴ △ABDª△CAE(RHA 합동) yy`50%

따라서 AEÓ=BDÓ=10(cm), ADÓ=CEÓ=4(cm)이므로 yy`30% DEÓ=AEÓ-ADÓ=10-4=6(cm) yy`20%  6`cm

19

점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_40ù=80ù △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC= 12 _(180ù-80ù)=50ù yy`40% A B C D E F I 5`cm 12`cm 2`cm 96° A B D C E F x x 2x 2x 3x 3x

(12)

한편, △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC= 12 _(180ù-40ù)=70ù

점 I는 △ABC의 내심이므로

∠IBC= 12 ∠ABC=12 _70ù=35ù yy`40%

∴ ∠OBI=∠OBC-∠IBC=50ù-35ù=15ù yy`20%  15ù

20

△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C= 12 _(180ù-44ù)=68ù △BED와 △CFE에서 BDÓ=CEÓ, ∠B=∠C, BEÓ=CFÓ 따라서 △BEDª△CFE(SAS 합동)이므로 ∠BDE=∠CEF ∴ ∠x =180ù-(∠BED+∠CEF) =180ù-(∠BED+∠BDE) =∠B=68ù  68ù

21

∠IBC=∠a, ∠ICB=∠b라고 하면 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBD=∠IBC=∠a, ∠ICE=∠ICB=∠bABC에서 86ù+(∠a+∠a)+(∠b+∠b)=180ù이므로 2(∠a+∠b)=94ù ∴ ∠a+∠b=47ùADC에서 ∠x=86ù+∠b, ABE에서 ∠y=86ù+∠a ∴ ∠x+∠y =(86ù+∠b)+(86ù+∠a)=172ù+∠a+∠b =172ù+47ù=219ù  219ù 다른 풀이 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠BIC=90ù+ 12 ∠A=90ù+12 _86ù=133ù ∴ ∠DIE=∠BIC=133ù(맞꼭지각) 이때 ∠ADI=180ù-∠x, ∠AEI=180ù-∠y이므로 사각형 ADIE에서 86ù+(180ù-∠x)+133ù+(180ù-∠y)=360ù 579ù-(∠x+∠y)=360ù ∴ ∠x+∠y=219ù

22

△ABC에서 ∠ACB=180ù-(58ù+90ù)=32ù

점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠ICB= 12 ∠ACB=12 _32ù=16ù

점 O는 △ABC의 외심이므로 OBÓ=OCÓ ∴ ∠OBC=∠OCB=32ù 따라서 △PBC에서 ∠BPC=180ù-(32ù+16ù)=132ù  132ù 86° x y A B D C E I a a bb Ⅰ. 도형의 성질

2.

사각형의 성질

평행사변형의 성질

01

개념

본교재 | 32 쪽 개념 콕콕

1

⑴ ∠x=45ù, ∠y=25ù ⑵ ∠x=35ù, ∠y=50ù

2

x=4, y=5 ⑵ x=120, y=60 ⑶ x=6, y=8x=3, y=110

1

⑴ ABÓDCÓ이므로 ∠x=45ù(엇각) ADÓBCÓ이므로 ∠y=25ù(엇각) ⑵ ABÓDCÓ이므로 ∠x=35ù(엇각) ADÓBCÓ이므로 ∠y=50ù(엇각)

2

⑴ ABÓ=DCÓ이므로 x=4 ADÓ=BCÓ이므로 y=5 ⑵ ∠A+∠B=180ù이므로 x+60=180 ∴ x=120 ∠B=∠D이므로 y=60 ⑶ 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 x=6, y=8 ⑷ ABÓ=DCÓ이므로 x=3 ∠A=∠C이므로 y=110 본교재 | 33 ~ 34 쪽

대표

유형

11 -195ù 1 -22 x=3, y=10 2 -1x=2, y=4 2 -23`cm 33 -180ù 3 -2 125ù 4 12`cm 4 -1 27`cm 4 -21 -1 ABÓDCÓ이므로 ∠ABD=∠BDC=53ù(엇각) 따라서 △ABO에서 ∠BOC=42ù+53ù=95ù  95ù 1 -2 ABÓDCÓ이므로 ∠ABD=∠BDC=48ù(엇각) 따라서 △ABC에서 ∠x+(48ù+26ù)+∠y=180ù ∴ ∠x+∠y=106ù  ④

(13)

2. 사각형의 성질 2 -1 ABÓ=DCÓ이므로 3x=x+4, 2x=4 ∴ x=2 ADÓ=BCÓ이므로

2y+2=3y-2 ∴ y=4 x=2, y=4

2 -2

ADÓBCÓ이므로 ∠AEB=∠DAE(엇각)

∠BAE=∠AEB이므로 △ABE는 이등변삼각형이다. ∴ BEÓ=ABÓ=6(cm) 이때 BCÓ=ADÓ=9(cm)이므로 ECÓ=BCÓ-BEÓ=9-6=3(cm)  3`cm 3 -1 ABÓDCÓ이므로 ∠A+∠D=180ù 이때 ∠A`:`∠D=5`:`4이므로 ∠D= 49 _180ù=80ù ∴ ∠B=∠D=80ù  80ù 3 -2 ADÓBCÓ이므로 70ù+∠BCD=180ù ∴ ∠BCD=110ù ∴ ∠ECD= 12 ∠BCD=12 _110ù=55ù 이때 ∠D=∠B=70ù이므로 △ECD에서 ∠x=55ù+70ù=125ù  125ù 4 -1 ADÓ=BCÓ=12(cm) AOÓ= 12 ACÓ=12 _14=7(cm) ODÓ=BOÓ=8(cm) 따라서 △AOD의 둘레의 길이는 AOÓ+ODÓ +ADÓ =7+8+12=27(cm)  27`cm 4 -2 △AOP와 △COQ에서 OAÓ=OCÓ, ∠OAP=∠OCQ(엇각), ∠AOP=∠COQ(맞꼭지각) 이므로 △AOPª△COQ(ASA 합동) ∴ APÓ=CQÓ(①),` OPÓ=OQÓ(③), ∠APO=∠CQO(④), BQÓ=BCÓ-CQÓ=ADÓ-APÓ=DPÓ(②) 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.  ⑤ 본교재 | 35 쪽

0

1

0

2

0

3

0

4

12`cm

0

5

54ù

0

6

0

7

③ 배운대로

해결하기

0

1

ADÓBCÓ이므로 ∠DBC=∠ADB=26ù(엇각) △ABC에서 ∠x+(∠y+26ù)+43ù=180ù ∴ ∠x+∠y=111ù  ③ 다른 풀이 ADÓBCÓ이므로 ∠DAC=∠ACB=43ù(엇각) △ABD에서 (∠x+43ù)+∠y+26ù=180ù ∴ ∠x+∠y=111ù

0

2

ADÓBCÓ이므로 ∠C+∠D=180ù ∴ ∠D=180ù-∠C=180ù-100ù=80ù △AED에서 35ù+∠x+80ù=180ù ∴ ∠x=65ù  ②

0

3

DCÓ=ABÓ=3(cm) BCÓ=ADÓ=2ABÓ=2_3=6(cm) 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 2_(3+6)=18(cm)  ④

0

4

△BFE와 △CDE에서 AFÓDCÓ이므로 ∠FBE=∠DCE(엇각) BEÓ=CEÓ, ∠BEF=∠CED(맞꼭지각) 이므로 △BFEª△CDE(ASA 합동) ∴ BFÓ=CDÓ=6(cm) 이때 ABÓ=DCÓ=6(cm)이므로 AFÓ=ABÓ+BFÓ=6+6=12(cm) 12`cm

0

5

ADÓBCÓ이므로 ∠A+∠B=180ù 이때 ∠A`:`∠B=3`:`2이므로 ∠B= 25 _180ù=72ù ∠D=∠B=72ù이고 △PCD는 DCÓ=DPÓ인 이등변삼각형이므로 ∠x= 12 _(180ù-72ù)=54ù 54ù

0

6

② ∠OCD  ②

0

7

③ OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ  ③

(14)

평행사변형이 되는 조건

02

개념

본교재 | 36 쪽

개념 콕콕

1

x=25, y=80 ⑵ x=5, y=7 ⑶ x=3, y=9x=70, y=110 ⑸ x=5, y=4 ⑹ x=65, y=6

1

⑴ ADÓBCÓ이어야 하므로 ∠DAC=∠ACB=25ù ∴ x=25 ABÓDCÓ이어야 하므로 ∠B+∠BCD=180ù 즉, 75ù+(25ù+∠y)=180ù이므로y=180ù-(75ù+25ù)=80ù ∴ y=80 ⑶ ABÓ=DCÓ이어야 하므로 2x=6 ∴ x=3 ADÓ=BCÓ이어야 하므로 y-1=8 ∴ y=9 본교재 | 37 쪽

대표

유형

11 -1 ③, ⑤ 22 -1 ⑴ ㈎ ∠EDF ㈏ ∠DFC ㈐ ∠BFD ⑵ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. 1 -1 ① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. ② 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다. ③ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은지 알 수 없으므로 평행사변형 이 아니다. ④ 엇각의 크기가 같으므로 두 쌍의 대변이 각각 평행하다. 즉, 평행사변형이다. ⑤ 한 쌍의 대변이 평행하지만 평행한 두 변의 길이가 같은지 알 수 없으므로 평행사변형이 아니다. 따라서 평행사변형이 아닌 것은 ③, ⑤이다.  ③, ⑤ 2 -1 ∠B=∠D이므로

∠EBF= 12 ∠B=12 ∠D= ∠EDF yy`㉠

∠AEB=∠EBF(엇각), ∠DFC=∠EDF(엇각)이므로 ∠AEB= ∠DFC ∴ ∠DEB =180ù-∠AEB=180ù-∠DFC = ∠BFD yy`㉡ ㉠, ㉡에서 EBFD는 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행 사변형이다.  ⑴ ㈎ ∠EDF ㈏ ∠DFC ㈐ ∠BFD ⑵ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

평행사변형과 넓이

03

개념

본교재 | 38 쪽 개념 콕콕

1

30`cmÛ` ⑵ 15`cmÛ`

2

6`cmÛ` ⑵ 2`cmÛ`

1

⑴ △ABD= 12 ABCD=12 _60=30(cmÛ`) ⑵ △BCO= 14 ABCD=14 _60=15(cmÛ`)

2

⑴ △PAB+PCD=PDA+△PBC이므로 8+4=△PDA+6 ∴ △PDA=6(cmÛ`) ⑵ △PAB+PCD=PDA+△PBC이므로 8+△PCD=7+3 ∴ △PCD=2(cmÛ`) 본교재 | 39 쪽

대표

유형

33 -13 -216`cmÛ` 4 14`cmÛ` 4 -112`cmÛ` 4 -212`cmÛ` 3 -1 ABCD=4△ABO=4_8=32(cmÛ`)  ② 3 -2 MPNQ =△MPN+△MNQ = 14 ABNM+14 MNCD = 14 _12 ABCD+14 _12 ABCD = 14 ABCD = 14_64=16(cmÛ`)  16`cmÛ`

(15)

2. 사각형의 성질 4 -1 △PAB+△PCD= 12 ABCD이므로 △PAB+18=30 ∴ △PAB=12(cmÛ`)  12`cmÛ` 4 -2 ABCD=9_4=36(cmÛ`) 이때 △PAB+△PCD= 12 ABCD이므로 6+△PCD=18 ∴ △PCD=12(cmÛ`)  12`cmÛ` 본교재 | 40 쪽

0

1

0

2

7

0

3

52ù

0

4

㈎ DFÓ ㈏ EBÓ

0

5

0

6

0

7

10`cmÛ`

0

8

44`cmÛ` 배운대로

해결하기

0

1

① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 ABCD는 평행사변형 이다. ② 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 ABCD는 평행사 변형이다. ③ ABÓDCÓ이므로 ∠A+∠D=180ù, ∠B+∠C=180ù 이때 ∠B=∠D이므로 ∠A=∠C 즉, 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 ABCD는 평행사변 형이다. ④ 오른쪽 그림의 ABCD는 ∠A+∠B=180ù, ∠C+∠D=180ù 이지만 평행사변형이 아니다. ⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 ABCD는 평행 사변형이다. 따라서 ABCD가 평행사변형이 될 수 없는 것은 ④이다.  ④

0

2

ABÓ=DCÓ이어야 하므로 x+6=2x+3 ∴ x=3 ADÓ=BCÓ이어야 하므로 4y-3=2y+5, 2y=8 ∴ y=4x+y=3+4=7 7 80ù 70ù 100ù 110ù B C A D

0

3

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같아야 하므로 ∠B=∠D=76ù, ∠BAD=∠C=180ù-76ù=104ù 이때 △BEA는 BAÓ=BEÓ인 이등변삼각형이므로 ∠BAE=∠BEA= 12 _(180ù-76ù)=52ù ∴ ∠x =∠BAD-∠BAE =104ù-52ù=52ù 52ù

0

4

ABÓDCÓ이므로 EBÓ DFÓ yy ㉠ ABÓ=DCÓ이므로

EBÓ =12 ABÓ=12 DCÓ=DFÓ yy ㉡

㉠, ㉡에서 EBFD는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므 로 평행사변형이다.  ㈎ DFÓ ㈏ EB

0

5

ABCD가 평행사변형이므로 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ 이때 AEÓ=CFÓ이므로 OEÓ=OAÓ-AEÓ=OCÓ-CFÓ=OFÓ 따라서 EBFD는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행 사변형이다.  ④

0

6

△ACD=2△BCO=2_15=30(cmÛ`)  ②

0

7

△OAP와 △OCQ에서 OAÓ=OCÓ, ∠AOP=∠COQ(맞꼭지각), ∠OAP=∠OCQ(엇각) 이므로 △OAPª△OCQ(ASA 합동)

∴ △OAP+△OQD =△OCQ+△OQD

=△OCD = 14 ABCD = 14 _40=10(cmÛ`)  10`cmÛ`

0

8

△PAB+△PCD= 12 ABCD이므로 ABCD =2(△PAB+△PCD) =2_(12+10) =44(cmÛ`)  44`cmÛ`

(16)

직사각형의 뜻과 성질

04

개념

본교재 | 41 쪽 개념 콕콕

1

90ù ⑵ 60ù

2

8`cm ⑵ 8`cm

1

⑵ △DBC에서 ∠DCB=90ù이므로 ∠BDC=180ù-(90ù+30ù)=60ù

2

⑴ ACÓ=2OAÓ=2_4=8(cm) ⑵ BDÓ=ACÓ=8(cm) 본교재 | 42 쪽

대표

유형

1 63 1 -172 1 -220ù 22 -1 ②, ⑤ 2 -2 직사각형 1 -1ABD에서 ∠BAD=90ù이므로 ∠ABD=180ù-(90ù+30ù)=60ù ∴ x=60 BDÓ=ACÓ=2 AOÓ=2_6=12(cm) ∴ y=12x+y=60+12=72 72 1 -2OCD에서 OCÓ=ODÓ이므로 ∠x=55ù △BCD에서 ∠BCD=90ù이므로 ∠y=180ù-(90ù+55ù)=35ù ∴ ∠x-∠y=55ù-35ù=20ù 20ù 2 -1 ② BDÓ=10`cm이면 ACÓ=BDÓ이므로 ABCD는 직사각형이다. ⑤ ∠BAD=90ù이면 ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90ù이므로 ABCD는 직사각형이다. 따라서 평행사변형 ABCD가 직사각형이 되는 조건은 ②, ⑤이다.  ②, ⑤ 2 -2 △OBC에서 ∠OBC=∠OCB이면 OBÓ=OCÓ 평행사변형 ABCD에서 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓÓ 즉, OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ이므로 ACÓ=BDÓ 따라서 ABCD는 직사각형이다.  직사각형

마름모의 뜻과 성질

05

개념

본교재 | 43 쪽 개념 콕콕

1

5`cm ⑵ 4`cm

2

65ù ⑵ 25ù

2

⑴ ADÓ=CDÓ이므로 ∠CAD=∠ACD=65ù ⑵ △OCD에서 ∠COD=90ù이므로 ∠ODC=180ù-(90ù+65ù)=25ù 본교재 | 44 쪽

대표

유형

3 41 3 -142 3 -216`cm 4 ②, ④ 4 -1 ㄴ, ㄷ, ㄹ 4 -248`cm 3 -1 ABÓ=ADÓ이므로 9=4x+1, 4x=8 ∴ x=2 ADÓBCÓ이므로 ∠CBD=∠ADB=40ù ∴ y=40x+y=2+40=42 42 3 -2 △ABO에서 ∠AOB=90ù이므로 ∠BAO=180ù-(30ù+90ù)=60ù △ABC는 ABÓ=BCÓ인 이등변삼각형이므로 ∠BCA=∠BAC=60ù 즉, △ABC는 정삼각형이므로 ABÓ=BCÓ=CAÓ=2OAÓ=2_2=4(cm) 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 4ABÓ=4_4=16(cm)  16`cm 4 -1 ㄱ. ∠ABO=55ù이면 ∠ABC=55ù+35ù=90ù 즉, 평행사변형의 한 내각의 크기가 90ù이므로 ABCD는 직 사각형이다. ㄴ. ∠BDC=∠DBC=35ù이므로 BCÓ=CDÓ 즉, 평행사변형의 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 ABCD 는 마름모이다. ㄷ. ∠DAC=55ù이면 ADÓBCÓ이므로 ∠BCA=∠DAC=55ù(엇각) △OBC에서 ∠BOC=180ù-(35ù+55ù)=90ù 즉, 평행사변형의 두 대각선이 서로 수직이므로 ABCD는 마 름모이다.

(17)

2. 사각형의 성질 ㄹ. ABÓ=ADÓ=8(cm)이면 평행사변형의 이웃하는 두 변의 길이 가 같으므로 ABCD는 마름모이다. ㅁ. OAÓ=OBÓ이면 평행사변형의 두 대각선의 길이가 서로 같으므 로 ABCD는 직사각형이다. 따라서 평행사변형 ABCD가 마름모가 되는 조건은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이 다.  ㄴ, ㄷ, ㄹ 4 -2 ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC(엇각) △ABD는 이등변삼각형이므로 ABÓ=ADÓ 즉, 평행사변형 ABCD의 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 ABCD는 마름모이다. 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 4ABÓ=4_12=48(cm)  48`cm

정사각형의 뜻과 성질

06

개념

본교재 | 45 쪽 개념 콕콕

1

⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ×

2

⑴ 12`cm ⑵ 45ù

2

⑴ BDÓ=ACÓ=2OCÓ=2_6=12(cm) ⑵ △OAB에서 ∠AOB=90ù이고 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB= 12 _(180ù-90ù)=45ù 본교재 | 46 쪽

대표

유형

5 50`cmÛ` 5 -132`cmÛ` 5 -220ù 66 -1 ㄱ, ㄹ 6 -25 -1 OBÓ=OAÓ=4(cm)이고 ∠AOB=90ù이므로 ABCD =4△OAB =4_{ 12 _4_4}=32(cmÛ`)  32`cmÛ` 5 -2 △BCP와 △DCP에서 BCÓ=DCÓ, ∠BCP=∠DCP=45ù, PCÓ는 공통 이므로 △BCPª△DCP(SAS 합동) ∴ ∠BPC=∠DPC=65ù 따라서 △ABP에서 ∠ABP+∠BAP=∠BPC이므로 ∠ABP+45ù=65ù ∴ ∠ABP=20ù 20ù 6 -1 ㄱ. ABÓ=ADÓ이면 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 직사각형 ABCD는 정사각형이 된다. ㄹ. ∠BOC=∠COD이면 ∠BOC=∠COD=90ù 즉, 두 대각선이 서로 수직이므로 직사각형 ABCD는 정사각형 이 된다. 따라서 정사각형이 되는 조건은 ㄱ, ㄹ이다.  ㄱ, ㄹ 6 -2 OAÓ=OBÓ인 평행사변형 ABCD는 직사각형이다. ① ABÓ=BCÓ이면 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 직사각형 ABCD는 정사각형이 된다.  ①

등변사다리꼴의 뜻과 성질

07

개념

본교재 | 47 쪽 개념 콕콕

1

㈎ ∠DEC ㈏ ∠C ㈐ DEÓ ㈑ DCÓ

2

⑴ 65ù ⑵ 115ù

3

⑴ 7`cm ⑵ 10`cm

2

⑵ ∠C+∠D=180ù이므로 ∠D=180ù-∠C=180ù-65ù=115ù

3

⑵ ACÓ=DBÓ =OBÓ+ODÓ=6+4=10(cm) 본교재 | 48 쪽

대표

유형

77 -141ù 7 -288 -18 -23`cm 7 -1 ∠BCD=∠B=82ù이므로 ∠D=180ù-82ù=98ùACD에서 ∠ACD= 12 _(180ù-98ù)=41ù ∴ ∠x=∠BCD-∠ACD=82ù-41ù=41ù 41ù

(18)

7 -2 ① ABCD가 등변사다리꼴이므로 ACÓ=DBÓ ②, ④ △ABCª△DCB(SAS 합동)이므로 ∠ACB=∠DBC △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 OAÓ=ACÓ-OCÓ=DBÓ-OBÓ=ODÓ ⑤ △ABDª△DCA(SSS 합동)이므로 ∠BAD=∠CDA 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.  ③ 8 -1 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D를 지나고 ABÓ 에 평행한 직선이 BCÓ와 만나는 점을 E라고 하면 ABED는 평행사변형이므로 BEÓ=ADÓ=6(cm) 또, ∠C=∠B=60ù이고 ∠DEC=∠B=60ù(동위각)이므로 ∠EDC=180ù-(60ù+60ù)=60ù 즉, △DEC는 정삼각형이므로 ECÓ=DCÓ=ABÓ=9(cm) ∴ BCÓ=BEÓ+ECÓ=6+9=15(cm)  ⑤ 8 -2 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 BCÓ에 내 린 수선의 발을 F라고 하면 EFÓ=ADÓ=8(cm) 또, △ABE와 △DCF에서 ∠AEB=∠DFC=90ù, ABÓ=DCÓ, ∠B=∠C 이므로 △ABEª△DCF(RHA 합동) ∴ BEÓ=CFÓ= 12 _(14-8)=3(cm)  3`cm 본교재 | 49 ~ 50 쪽

0

1

0

2

14`cm

0

3

0

4

0

5

0

6

0

7

73

0

8

60ù

0

9

49`cmÛ`

10

15ù

11

12

34ù

13

14

34`cm

15

③ 배운대로

해결하기

0

1

△ABO에서 ∠ABO=90ù-∠y, ∠AOB=∠DOC=48ù(맞꼭지각) A B C D 60ù 60ù 60ù 60ù E 6`cm 9`cm B E F C D A 14 cm 8 cm 따라서 ∠x+(90ù-∠y)+48ù=180ù이므로x-∠y=42ù  ④

0

2

OAÓ=OBÓ이므로 2x+3=3x+1 ∴ x=2 ∴ ACÓ =2OAÓ =2_(2_2+3)=14(cm)  14`cm

0

3

 ③

0

4

ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 ∠ADB=∠ABD=∠xAOD에서 ∠AOD=90ù이므로x+∠y=180ù-90ù=90ù  ②

0

5

△BCD는 CBÓ=CDÓ인 이등변삼각형이므로 ∠DBC= 12 _(180ù-132ù)=24ù △PBH에서 ∠BPH =180ù-(24ù+90ù)=66ù ∴ ∠APD=∠BPH=66ù(맞꼭지각)  ④

0

6

① ABÓ=6`cm이면 ABÓ=ADÓ이므로 ABCD는 마름모이다. ③ ∠ABO=50ù이면 ∠AOB=180ù-(40ù+50ù)=90ù 즉, ACÓ⊥BDÓ이므로 ABCD는 마름모이다. ④ ∠AOB=90ù이면 ACÓ⊥BDÓ이므로 ABCD는 마름모이다. ⑤ ∠BCA=40ù이면 ∠BAC=∠BCA ∴ ABÓ=BCÓ 즉, ABCD는 마름모이다. 따라서 평행사변형 ABCD가 마름모가 되는 조건이 아닌 것은 ②이 다.  ②

0

7

ADÓBCÓ이므로 ∠ACB=∠DAC=65ù(엇각) △OBC에서 ∠BOC=180ù-(25ù+65ù)=90ù 즉, ACÓ⊥BDÓ이므로 ABCD는 마름모이다. △ACD는 ADÓ=CDÓ인 이등변삼각형이므로 ∠DCA=∠DAC=65ù ∴ x=65

(19)

2. 사각형의 성질 또, ABÓ=BCÓ이므로 y=8 x+y=65+8=73 73

0

8

∠DAE=45ù이므로 △AED에서 ∠x =45ù+15ù=60ù  60ù

0

9

BDÓ=ACÓ=14(cm), OCÓ= 12 ACÓ=12 _14=7(cm)이고 ∠BOC=90ù이므로BCD= 12 _14_7=49(cmÛ`) 49`cmÛ`

10

△PBC는 정삼각형이므로 ∠PCB=60ù ∴ ∠PCD =90ù-∠PCB =90ù-60ù=30ù 또, ABCD가 정사각형이므로 BCÓ=CDÓ이고, BCÓ=PCÓ이므로 PCÓ=CDÓ 즉, △PCD는 이등변삼각형이므로 ∠PDC= 12 _(180ù-30ù)=75ù ∴ ∠ADP =90ù-∠PDC =90ù-75ù=15ù  15ù

11

ㄱ. ACÓ=BDÓ이면 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다. ㄷ. ACÓ=BDÓ이면 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다. 이때 ACÓ⊥BDÓ이면 직사각형 ABCD는 정사각형이 된다. ㄹ. ABÓ=ADÓ이면 평행사변형 ABCD는 마름모가 된다. 이때 ∠A=90ù이면 마름모 ABCD는 정사각형이 된다. 따라서 평행사변형 ABCD가 정사각형이 되는 조건은 ㄷ, ㄹ이다.  ⑤

12

∠ABC=∠C이므로 ∠x+36ù=70ù ∴ ∠x=34ù  34ù

13

ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=34ù(엇각) ABÓ=ADÓ이므로 ∠ABD=∠ADB=34ù △ABCª△DCB(SAS 합동)이므로 ∠ACB=∠DBC=34ù 따라서 △ABC에서 ∠x=180ù-(34ù+34ù+34ù)=78ù  ⑤

14

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D를 지나고 ABÓ에 평행한 직선이 BCÓ와 만나는 점을 E라고 하면 ABED는 평행사변형이므로 BEÓ=ADÓ=5(cm) ∠A+∠B=180ù이므로 ∠B=180ù-∠A=180ù-120ù=60ù 이때 ∠C=∠B=60ù이고 ∠DEC=∠B=60ù(동위각)이므로 ∠EDC=180ù-(60ù+60ù)=60ù 즉, △DEC는 정삼각형이므로 ECÓ=DCÓ=ABÓ=8(cm) 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 ABÓ+BCÓ+CDÓ+DÕAÓ =8+(5+8)+8+5 =34(cm)  34`cm

15

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 F라고 하면 FEÓ=ADÓ=6(cm) 또, △ABF와 △DCE에서 ∠AFB=∠DEC=90ù, ABÓ=DCÓ, ∠B=∠C 이므로 △ABFª△DCE(RHA 합동) 따라서 BFÓ=CEÓ= 12 _(9-6)=32 (cm)이므로 BEÓ=BFÓ+FEÓ= 32 +6=152 (cm)  ③

여러 가지 사각형 사이의 관계

08

개념

본교재 | 51 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 직사각형 ⑵ 직사각형 ⑶ 마름모 ⑷ 정사각형

1

⑴ 한 내각의 크기가 90ù인 평행사변형은 직사각형이다. ⑵ 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이다. 60ù 120ù 60ù 60ù 60ù B C A D E 8`cm 5`cm A D B F E C 6`cm 9`cm

(20)

⑶ 두 대각선이 서로 수직인 평행사변형은 마름모이다. ⑷ 이웃하는 두 변의 길이가 같고, 두 대각선의 길이가 같은 평행사 변형은 정사각형이다. 본교재 | 52 쪽

대표

유형

11 -12 ②, ⑤ 2 -12 -244`cm 1 -1 ① 사다리꼴에서 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같으면 등변 사다리꼴이다. ② 평행사변형에서 이웃하는 두 변의 길이가 같으면 마름모이다. ③ 평행사변형에서 한 내각이 직각이면 직사각형이다. 따라서 옳은 것은 ④이다.  ④ 2 -1 마름모의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 직사각형이다. 따라서 직사각형의 성질이 아닌 것은 ④이다.  ④ 2 -2 EFGH는 등변사다리꼴 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만 든 사각형이므로 마름모이다. 따라서 EFGH의 둘레의 길이는 EFÓ+FGÓ+GHÓ+HEÓ=4_11=44(cm)  44`cm

평행선과 넓이

09

개념

본교재 | 53 쪽 개념 콕콕

1

⑴ △DBC ⑵ △ACD

2

⑴ △ACE ⑵ △ABE

3

⑴ 2`:`1 ⑵ 3`:`2

2

⑵ ABCD =△ABC+△ACD

=△ABC+△ACE=△ABE

3

⑵ △ABC`:`△ABD=BCÓ`:`BDÓ=(2+1)`:`2=3`:`2 본교재 | 54 ~ 55 쪽

대표

유형

3 15`cmÛ` 3 -1 16`cmÛ` 3 -244 -14 -230`cmÛ` 55 -15 -266 -1 18`cmÛ` 6 -2 40`cmÛ` 3 -1

AEÓDBÓ이므로 △ABD=△DEB

ABCD =△ABD+△DBC=△DEB+△DBC

이므로 24=8+△DBC

∴ △DBC=16(cmÛ`)  16`cmÛ`

3 -2

ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE

∴ ABCD =△ABC+△ACD

=△ABC+△ACE=△ABE

= 12 _(3+8)_6=33(cmÛ`)  ③ 4 -1 BPÓ`:`BCÓ=1`:`(1+4)=1`:`5이므로 △ABP`:`△ABC=1`:`5 따라서 7`:`△ABC=1`:`5이므로 △ABC=35(cmÛ`)  ② 4 -2 BÕMÓ=MòCÓ이므로 △ABM= 12ABC= 12 _90=45(cmÛ`) △ABM에서 APÓ`:`PÕMÓ=1`:`2이므로 △ABP`:`△PBM=1`:`2 ∴ △PBM= 23ABM= 23 _45=30(cmÛ`)  30`cmÛ` 5 -1 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면 APÓ`:`PDÓ=2`:`5이므로 △ABP`:`△PBD=2`:`5 즉, 8`:`△PBD=2`:`5이므로 2△PBD=40 ∴ △PBD=20(cmÛ`) ∴ ABCD =2△ABD =2(△ABP+△PBD) =2_(8+20)=56(cmÛ`)  ⑤ 5 -2

ABÓDCÓ이므로 △EBC=△EBD

EFÓBDÓ이므로 △EBD=△FBD

A

B C

D P

(21)

2. 사각형의 성질 ADÓBCÓ이므로 △FBD=△FCD ∴ △EBC=△EBD=△FBD=△FCD 따라서 넓이가 나머지 넷과 다른 하나는 ①이다.  ① 6 -1 ADÓBCÓ이므로

△ACD =△ABD=△ABO+△AOD

=12+6=18(cmÛ`)  18`cmÛ`

6 -2

OBÓ`:`ODÓ=5`:`3이므로 △OBC`:`△OCD=5`:`3 즉, 25`:`OCD=5`:`3이므로 5△OCD=75 ∴ △OCD=15(cmÛ`)

∴ △ABC =△DBC=△OBC+△OCD

=25+15=40(cmÛ`)  40`cmÛ` 본교재 | 56 쪽

0

1

③, ⑤

0

2

ㄹ, ㅂ

0

3

0

4

0

5

8`cmÛ`

0

6

21`cmÛ`

0

7

6`cmÛ``

0

8

24`cmÛ` 배운대로

해결하기

0

1

③ 마름모는 네 내각의 크기가 모두 같지 않으므로 직사각형이 아니 다. ⑤ 등변사다리꼴은 두 쌍의 대변이 평행하지 않으므로 평행사변형 이 아니다. 따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다.  ③, ⑤

0

2

 ㄹ, ㅂ

0

3

⑤ 등변사다리꼴 - 마름모  ⑤

0

4

EFGH는 평행사변형 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형이므로 EFGH는 평행사변형이다. 따라서 옳은 것은 ④이다.  ④

0

5

ACÓDEÓ이므로 ACD=△ACE

ABCD =ABC+ACD=ABC+△ACE

=ABE=30(cmÛ`) ∴ △AFD =ABCD-ABCF =30-22=8(cmÛ`) 8`cmÛ`

0

6

BPÓ`:`PCÓ=3`:`4이므로 △ABP`:`△APC=3`:`4 ∴ △APC = 47ABC= 47 _49=28(cmÛ`) 또, AQÓ`:`QCÓ=3`:`1이므로 APQ`:`QPC=3`:`1 ∴ △APQ = 34APC= 34 _28=21(cmÛ`) 21`cmÛ`

0

7

AQÓ`:`QDÓ=3`:`2이므로 △APQ`:`△PDQ=3`:`2 ∴ △PDQ = 25APD= 25 _12 ABCD = 15 ABCD=15 _30=6(cmÛ`)  6`cmÛ`

0

8

OAÓ`:`OCÓ=1`:`3이므로 ABO`:`△OBC=1`:`3 즉, △ABO`:`18=1`:`3이므로

3△ABO=18 ∴ △ABO=6(cmÛ`) ∴ △DBC =△ABC=△ABO+△OBC

=6+18=24(cmÛ`)  24`cmÛ` 본교재 | 57 ~ 60 쪽

01

85ù

02

03

x=75ù, ∠y=80ù

04

12`cmÛ`

05

06

ㄴ, ㄷ, ㅁ

07

64`cmÛ`

08

09

60ù

10

11

72ù

12

57ù

13

14

10`cm

15

21

16

17

18

6

19

128`cmÛ`

20

21

22

23

3`cmÛ`

24

81`cmÛ`

25

3`cm

26

35ù

27

16`cmÛ`

28

16`cm

29

30

35`cmÛ` 개념 넓히기로

마무리

01

ABÓDCÓ이므로 ∠BDC=∠ABD=33ù(엇각) ADÓBCÓ이므로 ∠ADC+∠BCD=180ù (∠y+33ù)+(∠x+62ù)=180ù ∴ ∠x+∠y=85ù 85ù

(22)

02

ABÓECÓ이므로 ∠BEC=∠ABE(엇각)

∠EBC=∠BEC이므로 △BCE는 이등변삼각형이다. ∴ CEÓ=BCÓ=12(cm) 이때 DCÓ=ABÓ=7(cm)이므로 DEÓ=CEÓ-DCÓ=12-7=5(cm)  ⑤

03

ABÓDCÓ이므로 ∠x+105ù=180ù ∴ ∠x=75ù ∠C=∠A=75ù이므로 △BCE에서 ∠y=180ù-(25ù+75ù)=80ù  ∠x=75ù, ∠y=80ù

04

△APO와 △CQO에서 ∠APO=∠CQO=90ù(엇각), OAÓ=OCÓ, ∠AOP=∠COQ(맞꼭지각) 이므로 △APOª△CQO(RHA 합동) 따라서 APÓ=CQÓ=DCÓ-DQÓ=12-8=4(cm), OPÓ=OQÓ=6(cm)이므로 △APO= 12 _4_6=12(cmÛ`) 12`cmÛ`

05

② ADÓ=BCÓ=12(cm) ∠CAD=∠ACB=50ù에서 엇각의 크기가 같으므로 ADÓBCÓ 따라서 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 ABCD 는 평행사변형이다.  ②

06

ㄴ, ㄷ. ABCD가 평행사변형이므로 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ 두 점 E, F가 각각 OBÓ,`ODÓ의 중점이므로 BEÓ=OEÓ=OFÓ=DFÓ 즉, OAÓ=OCÓ, OEÓ=OFÓ이므로 AECF는 평행사변형이다. ∴ AEÓ=FCÓ ㅁ. AEÓFCÓ이므로 ∠OAE=∠OCF(엇각) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.  ㄴ, ㄷ, ㅁ

07

△BCD=2△ABO=2_8=16(cmÛ`) BFED에서 BCÓ=CEÓ, DCÓ=CFÓ이므로 BFED는 평행사변 형이다. ∴ BFED=4△BCD=4_16=64(cmÛ`) 64`cmÛ`

08

△PDA+△PBC= 12 ABCD=12 _100=50(cmÛ`) 따라서 △PDA`:`△PBC=2`:`3이므로PBC= 35 _50=30(cmÛ`)  ③

09

∠BDE=∠EDC=∠a라고 하면BED에서 BEÓ=DEÓ이므로 ∠DBE=∠BDE=∠aBCD에서 ∠C=90ù이므로 2∠a+∠a+90ù=180ù, 3∠a=90ù ∴ ∠a=30ù 따라서 △BED에서 ∠DEC=30ù+30ù=60ù 60ù

10

ADÓBCÓ이므로 ∠AEF=∠EFC(엇각) 또, ∠AFE=∠EFC(접은 각)이므로 ∠AEF=∠AFE 이때 ∠BAE=90ù이므로 ∠FAE=90ù-34ù=56ù ∴ ∠AEF= 12 _(180ù-56ù)=62ù  ① 다른 풀이 △ABF에서 ∠BAF=34ù, ∠B=90ù이므로 ∠AFB=180ù-(34ù+90ù)=56ù ∴ ∠AFC=180ù-∠AFB=180ù-56ù=124ù 이때 ∠AFE=∠EFC(접은 각)이므로 ∠EFC= 12 ∠AFC=12 _124ù=62ù ADÓBCÓ이므로 ∠AEF=∠EFC=62ù(엇각)

11

△ABP와 △ADQ에서 ABÓ=ADÓ, ∠APB=∠AQD=90ù, ∠B=∠D 이므로 △ABPª△ADQ(RHA 합동) ∴ ∠BAP=∠DAQ=180ù-(90ù+72ù)=18ù 이때 ∠BAD=180ù-72ù=108ù이므로 ∠x=108ù-2_18ù=72ù  72ù

12

ADE는 ADÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로 ∠EAD=180ù-2_78ù=24ù ∴ ∠EAB=24ù+90ù=114ù

이때 ABÓ=ADÓ=AEÓ이므로 △ABE는 이등변삼각형이다.

∠ABE= 12 _(180ù-114ù)=33ù이므로

(23)

2. 사각형의 성질

13

⑤ 평행사변형이 마름모가 되는 조건이다.  ⑤

14

ABCD가 등변사다리꼴이므로 ∠DCB=∠B=70ù 또, ADÓBCÓ이므로 ∠ACB=∠DAC=35ù(엇각) ∴ ∠DCA=70ù-35ù=35ù 따라서 △ACD는 이등변삼각형이므로 ADÓ=DCÓ=ABÓ=10(cm)  10`cm

15

∠B=∠C=72ù이므로 △ABE에서 ∠BAE=180ù-(90ù+72ù)=18ù ∴ `x=18 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 F라고 하면 EFÓ=ADÓ=7(cm) △ABE와 △DCF에서 ABÓ=DCÓ, ∠B=∠C, ∠AEB=∠DFC=90ù 이므로 △ABEª△DCF(RHA 합동) BEÓ =CFÓ= 12 (BCÓ-EFÓ) = 12 _(13-7)=3(cm)y=3`x+y=18+3=21 21

16

∠A+∠B=180ù이므로 _+○=90ù ∴ ∠HEF=∠AEB=90ù(맞꼭지각) ∠B+∠C=180ù이므로 ○+△=90ù ∴ ∠EHG=90ù ∠C+∠D=180ù이므로 △+●=90ù ∴ ∠HGF=∠DGC=90ù(맞꼭지각) ∠D+∠A=180ù이므로 ●+_=90ù ∴ ∠EFG=90ù 따라서 EFGH는 직사각형이므로 EFGH에 대한 설명으로 옳 지 않은 것은 ④이다.  ④

17

⑤ ∠A=∠B인 마름모 ABCD는 정사각형이다.  ⑤ A 7`cm 13`cm y`cm B C D E F 72° x°

18

두 대각선의 길이가 같은 사각형은 ㄷ, ㅁ, ㅂ의 3개이므로 a=3 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형이 마름모가 되는 것은 ㄷ, ㅁ, ㅂ의 3개이므로 b=3a+b=3+3=6 6

19

EFGH는 정사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형이므 로 정사각형이다. ∴ ABCD =2EFGH =2_(8_8)=128(cmÛ`)  128`cmÛ`

20

AEÓDBÓ이므로 △ABD=△DEB

∴ ABCD =△ABD+△DBC =△DEB+△DBC =△DEC = 12 _(2_12)_9=108(cmÛ`)  ⑤

21

BMÓ=MCÓ이므로 AMC= 12ABC= 12 _60=30(cmÛ`) APÓ`:`PCÓ=7`:`3이므로 △AMP`:`△PMC=7`:`3 ∴ △PMC= 310AMC= 310 _30=9(cmÛ`)  ①

22

BCÓ=BFÓ+CFÓ=BFÓ+AEÓ=4+6=10(cm)이므로 ABCD=10_10=100(cmÛ`) ∴ △OBC= 14 ABCD=14 _100=25(cmÛ`) 이때 △OBF`:`△OFC=BFÓ`:`CFÓ=4`:`6=2`:`3이므로 △OBF= 25OBC= 25 _25=10(cmÛ`)  ②

23

ANÓ`:`NÕMÓ=2`:`1이므로

AND = 23AMD= 23 _12△ACD

= 23 _12 _12 ABCD=16 ABCD

= 16 _36=6(cmÛ`)

AOD = 14 ABCD=14 _36=9(cmÛ`)

∴ △AON =△AOD-△AND

(24)

24

OBÓ`:`ODÓ=5`:`4이므로 △OAB`:`△ODA=5`:`4 즉, △OAB`:`16=5`:`4이므로

4△OAB=80 ∴ △OAB=20(cmÛ`)

이때 △ABD=△ACD이므로

△OCD =△ACD-△ODA=△ABD-△ODA

=△OAB=20(cmÛ`)

또, OBÓ`:`ODÓ=5`:`4이므로 △OBC`:`△OCD=5`:`4 즉, △OBC`:`20=5`:`4이므로

4△OBC=100 ∴ △OBC=25(cmÛ`)

∴ ABCD =△OAB+△OBC+△OCD+△ODA

=20+25+20+16=81(cmÛ`)  81`cmÛ`

25

∠AEB=∠DAE(엇각)이므로 ∠BAE=∠BEA 즉, △ABE는 이등변삼각형이므로 BEÓ=ABÓ=9(cm) yy`30% 또, ∠DFC=∠ADF(엇각)이므로 ∠CDF=∠CFD 즉, △DFC는 이등변삼각형이므로 CFÓ=CDÓ=9(cm) yy`30% 이때 BCÓ=ADÓ=15(cm)이므로 BEÓ+CFÓ-EFÓ=15

9+9-EFÓ=15 ∴ EFÓ=3(cm) yy`40%

 3`cm

26

△ABE와 △BCF에서 ∠ABE=∠BCF=90ù, ABÓ=BCÓ, BEÓ=CFÓ 이므로 △ABEª△BCF(SAS 합동) ∴ ∠BAE=∠CBF yy 30% ∴ ∠BGE =180ù-(∠GBE+∠GEB) =180ù-(∠BAE+∠GEB) =180ù-90ù=90ù yy 40% 따라서 △BEG에서 ∠GBE+∠BGE=125ù이므로

∠GBE+90ù=125ù ∴ ∠GBE=35ù yy 30%

 35ù

27

APQ = 13ABD= 13 _12 ABCD

= 16 ABCD=16 _48=8(cmÛ`) yy 40%CQP = 13BCD= 13 _12 ABCD = 16 ABCD=16 _48=8(cmÛ`) yy 40% ∴ APCQ =△APQ+△CQP =8+8=16(cmÛ`) yy 20%  16`cmÛ`

28

△ABC가 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C 또, ACÓEPÓ이므로 ∠C=∠EPB(동위각) ∴ ∠B=∠EPB 즉, △EBP는 EBÓ=EPÓ인 이등변삼각형이다. 이때 AEÓDPÓ, ADÓEPÓ에서 AEPD는 평행사변형이므로 AEPD의 둘레의 길이는 2(AEÓ+EPÓ) =2(AEÓ+EBÓ)=2 ABÓ =2_8=16(cm)  16`cm

29

△ABG와 △DFG에서 ABÓ=DFÓ, ∠ABG=∠DFG(엇각), ∠BAG=∠FDG(엇각) 이므로 △ABGª△DFG(ASA 합동) ∴ AGÓ=DGÓ= 12 ADÓ=ABÓ △ABH와 △ECH에서 ABÓ=ECÓ, ∠BAH=∠CEH(엇각), ∠ABH=∠ECH(엇각) 이므로 △ABHª△ECH(ASA 합동) ∴ BHÓ=CHÓ= 12 ADÓ=ABÓ 즉, AGÓBHÓ, AGÓ=BHÓ이므로 ABHG는 평행사변형이고, ABÓ=AGÓ이므로 평행사변형 ABHG는 마름모이다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.  ④

30

EFÓ`:`ECÓ=1`:`(1+4)=1`:`5이므로 △AEF`:`△AEC=1`:`5 즉, 2`:`△AEC=1`:`5이므로 △AEC=10(cmÛ`) 또, AEÓ`:`ABÓ=2`:`(2+5)=2`:`7이므로 △AEC`:`△ABC=2`:`7 즉, 10`:`△ABC=2`:`7이므로 2△ABC=70 ∴ △ABC=35(cmÛ`)  35`cmÛ` 다른 풀이 AEÓ`:`EBÓ=2`:`5이므로 △AEC`:`△EBC=2`:`5 ∴ △AEC= 27△ABC 또, EFÓ`:`FCÓ=1`:`4이므로 △AEF`:`△AFC=1`:`4

∴ △AEF = 15AEC= 15 _27△ABC = 235△ABC

따라서 2= 235△ABC이므로

(25)

1. 도형의 닮음 Ⅱ. 도형의 닮음

1.

도형의 닮음

닮음의 뜻

01

개념

본교재 | 62 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 점 F ⑵ DEÓ ⑶ ∠E

2

⑴  ⑵  ⑶ ×

2

⑶ 오른쪽 그림의 두 직사각 형은 넓이가 모두 12`cmÛ` 이지만 닮은 도형이 아니 다. 본교재 | 63 쪽

대표

유형

11 -1 FHÓ, 면 EGH 1 -22 ㄱ, ㄹ, ㅁ 2 -1 ③, ⑤ 1 -1 BDÓ에 대응하는 모서리는 FHÓ이고, 면 ACD에 대응하는 면은 면 EGH이다.  FHÓ, 면 EGH 1 -2 ④ 면 ABFE에 대응하는 면은 면 IJNM이다.  ④ 2 -1 (닮은 도형이 아닌 예) ③ 60ù 3`cm 3`cm 3`cm 3`cm ⑤ 70ù 70ù 3`cm 6`cm 2`cm 5`cm 따라서 항상 닮은 도형이라고 할 수 없는 것은 ③, ⑤이다.  ③, ⑤

닮음의 성질

02

개념

본교재 | 64 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 3`:`2 ⑵ 12`cm ⑶ 50ù

2

⑴ 3`:`4 ⑵ 8`cm 3`cm 6`cm 4`cm 2`cm

1

⑴ BCÓ`:`EFÓ=9`:`6=3`:`2 ⑵ ABÓ`:`DEÓ=3`:`2이므로 ABÓ`:`8=3`:`2 2ABÓ=24 ∴ ABÓ=12(cm) ⑶ ∠E=∠B=50ù

2

⑴ EFÓ`:`EÕ'F'Ó=9`:`12=3`:`4 ⑵ CFÓ`:`CÕ'F'Ó=3`:`4이므로 6`:`CÕ'F'Ó=3`:`4 3 CÕ'F'Ó=24 ∴ CÕ'F'Ó=8(cm) 본교재 | 65 쪽

대표

유형

33 -13 -2 33`cm 4 12 4 -147 4 -2 12`cm 3 -1 ① ABCD와 EFGH의 닮음비는 BCÓ`:`FGÓ=8`:`6=4`:`3 ∴ DCÓ`:`HGÓ=4`:`3 ② ABÓ`:`EFÓ=4`:`3이므로 ABÓ`:`3=4`:`3 3ABÓ=12 ∴ ABÓ=4(cm) ③ ADÓ`:`EHÓ=4`:`3이므로 5`:`EHÓ=4`:`3 4EHÓ=15 ∴ EHÓ= 154 (cm) ④ ∠F=∠B=60ù ⑤ ∠A=∠E=140ù이므로 ∠H=∠D=360ù-(140ù+60ù+80ù)=80ù 따라서 옳은 것은 ③이다.  ③ 3 -2 ACÓ`:`DFÓ=3`:`5이므로 ACÓ`:`15=3`:`5 5ACÓ=45 ∴ ACÓ=9(cm) BCÓ`:`EFÓ=3`:`5이므로 BCÓ`:`20=3`:`5 5BCÓ=60 ∴ BCÓ=12(cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 ABÓ+BCÓ+CAÓ=12+12+9=33(cm)  33`cm 4 -1 면 ABC에 대응하는 면이 면 A'B'C'이므로 ∠CAB=∠C'A'B'=35ù ∴ x=35 두 삼각기둥의 닮음비는 EFÓ`:`EÕ'F'Ó=10`:`8=5`:`4 CFÓ`:`CÕ'F'Ó=5`:`4이므로 15`:`y=5`:`4 5y=60 ∴ y=12x+y=35+12=47 47

참조

관련 문서

Harrison folded the paper which(=that) he wrote his resident registration number

따라서 주어진 연립방정식의 해를

므로 Y축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다... 따라서 축이 Z축의 오른쪽에

답지

신입 회원의 기록이 나타내는 그래프가 기존 회원의 기록을 나타내는 그래프보다 왼쪽으로 치우쳐 있으므로 신입 회원 의 기록이

http://zuaki.tistory.com

이차함수의

신입 회원의 기록이 나타내는 그래프가 기존 회원의 기록을 나타내는 그래프보다 왼쪽으로 치우쳐 있으므로 신입 회원 의 기록이