2021 수학의 바이블 개념 중2-2 답지 정답

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(1)

정답과 풀이

개념

중학

3

-

1

개념

중학

2

-

2

정답과 풀이

(2)

Ⅰ. 도형의 성질

1.

삼각형의 성질

이등변삼각형의 성질

01

개념

본교재 | 6 쪽 개념 콕콕

1

50ù ⑵ 110ù

2

90 ⑵ 4

1

⑴ ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠B=65ù ∴ ∠x=180ù-(65ù+65ù)=50ù ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB= 12 _(180ù-40ù)=70ù ∴ ∠x=180ù-∠ACB=180ù-70ù=110ù

2

CDÓ=BDÓ= 12  BCÓ=12 _8=4(cm) ∴ x=4 본교재 | 7 쪽

대표

유형

11 -115ù 1 -290ù 2 52 2 -118 2 -212`cm 1 -1 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠C=65ù △BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠BDC=∠C=65ù ∴ ∠DBC=180ù-(65ù+65ù)=50ù ∴ ∠ABD=∠ABC-∠DBC=65ù-50ù=15ù  15ù 1 -2ABC에서 ABÓÓ=ACÓÓ이므로 ∠B= 12 _(180ù-120ù)=30ù △CDA에서 CAÓ=CDÓÓ이므로 ∠D=∠CAD=180ù-120ù=60ù 따라서 △DBC에서 ∠DCE=∠B+∠D=30ù+60ù=90ù 90ù 2 -1 △ABC에서 ABÓ=ACÓÓ이므로 ∠B=∠ACB=180ù-116ù=64ù △ABD에서 ∠BAD=180ù-(64ù+90ù)=26ù ∴ x=26 한편, 이등변삼각형 ABC에서 ADÓ⊥BCÓ이므로 ADÓ는 BCÓ를 수직 이등분한다. 즉, CDÓ= 12 BCÓ=12 _16=8(cm) ∴ y=8x-y=26-8=18 18 2 -2 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 BDÓ= 12 BCÓ=12 _14=7(cm) 이때 △ABD= 12 _BDÓ_ADÓ=42이므로 1 2 _7_ADÓ=42 ∴ ADÓ=12(cm) 12`cm

이등변삼각형이 되는 조건

02

개념

본교재 | 8 쪽 개념 콕콕

1

6 ⑵ 6

2

12 ⑵ 9

3

∠ACB, ∠ACB, ∠PCB, PCÓ

1

⑴ ∠B=∠C이므로 ACÓ=ABÓ=6(cm) ∴ x=6 ⑵ ∠B=∠C이므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다. 따라서 BDÓ= 12 BCÓ=12 _12=6(cm)이므로 x=6

2

⑴ ∠C=180ù-(70ù+55ù)=55ù 따라서 ∠B=∠C이므로 ABÓ=ACÓ=12(cm) ∴ x=12 ⑵ ∠A=180ù-(50ù+65ù)=65ù 따라서 ∠A=∠C이므로 BCÓ=BAÓ=9(cm) ∴ x=9 본교재 | 9 쪽

대표

유형

3 15`cm 3 -19`cm 3 -24 6`cm 4 -110`cm 4 -2 ②, ④ 3 -1ABC에서 ∠A=115ù-50ù=65ù 또, ∠ACB=180ù-115ù=65ù이므로 ∠A=∠ACB ∴ ABÓ=BCÓ=9(cm) 9`cm

(3)

1. 삼각형의 성질 3 -2 △ABC에서 ∠ACB=80ù-40ù=40ù 즉, ∠B=∠ACB이므로 ACÓ=ABÓ=6(cm) 또, ∠CDA=180ù-100ù=80ù이므로 △ACD에서 ∠CAD=∠CDA ∴ CDÓ=ACÓ=6(cm)  ② 4 -1 ∠ABC=∠DBC (접은 각), ∠ACB=∠DBC (엇각)이므로 ∠ABC=∠ACB 따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ACÓ=ABÓ=10(cm) 10`cm 4 -2 ∠AEF=∠GEF (접은 각), ∠AEF=∠GFE (엇각)이므로 ∠GEF=∠GFE ∴ EGÓ=FGÓ  ②, ④ 본교재 | 10 쪽

0

1

0

2

32ù

0

3

0

4

34ù

0

5

0

6

15`cm

0

7

14`cm

0

8

② 배운대로

해결하기

0

1

△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠B=62ù ∴ ∠BCD= 12 ∠ACB=12 _62ù=31ù 따라서 △DBC에서 ∠ADC=62ù+31ù=93ù  ①

0

2

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB= 12 _(180ù-24ù)=78ùDCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DCE=∠E=70ù ∴ ∠ACD=180ù-(78ù+70ù)=32ù 32ù

0

3

오른쪽 그림의 △ABC에서 ABÓ=ACÓ 이므로 ∠ACB=∠B=∠x ∴ ∠CAD =∠B+∠ACB =∠x+∠x=2∠x △ACD에서 CAÓ=CDÓ이므로 ∠CDA=∠CAD=2∠x 따라서 △DBC에서 102ù=∠x+2∠x이므로 3∠x=102ù ∴ ∠x=34ù  ⑤ 102° x 2x2x x A B C D E

0

4

△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB= 12 _(180ù-68ù)=56ù ∴ ∠DBC= 12 ∠ABC=12 _56ù=28ù 또, ∠ACE=180ù-56ù=124ù이므로 ∠DCE= 12 ∠ACE=12 _124ù=62ù 따라서 △DBC에서 ∠BDC=62ù-28ù=34ù 34ù

0

5

① 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 ∠ADC=90ù ③, ⑤ △PBD와 △PCD에서 BDÓ=CDÓ, ∠PDB=∠PDC=90ù, PDÓ는 공통 따라서 △PBDª△PCD(SAS 합동)이므로 PBÓ=PCÓ ④ △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC=∠ACB 또, △PBC에서 PBÓ=PCÓ이므로 ∠PBC=∠PCB ∴ ∠ABP =∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB=∠ACP  ②

0

6

△ABC에서 ABÓÓ=ACÓÓ이므로 ∠ABC=∠C= 12 _(180ù-36ù)=72ù ∴ ∠ABD=∠DBC= 12 ∠ABC=12 _72ù=36ù 즉, △ABD에서 ∠A=∠ABD이므로 ADÓ=BDÓ 한편, △ABD에서 ∠BDC=∠A+∠ABD=36ù+36ù=72ù 따라서 △BCD에서 ∠BDC=∠C이므로 BDÓÓ=BCÓ=15(cm) ∴ ADÓ=BDÓ=15(cm)  15`cm

0

7

△ABC에서 ∠A=180ù-(30ù+90ù)=60ù △ADC에서 ADÓ=CDÓ이므로 ∠DCA=∠A=60ù 즉, △ADC는 정삼각형이므로 ADÓ=DCÓ=ACÓ=7(cm) 이때 ∠DCB=90ù-60ù=30ù이므로 ∠B=∠DCB 따라서 DBÓ=DCÓ=7(cm)이므로 ABÓ=ADÓ+DBÓ=7+7=14(cm)  14`cm

0

8

∠ABC=∠DBC (접은 각), ∠ACB=∠DBC (엇각)이므로 ∠ABC=∠ACB 따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ACÓ=ABÓ=9(cm) ∴ △ABC= 12 _9_8=36(cmÛ`)  ②

(4)

직각삼각형의 합동 조건

03

개념

본교재 | 11 쪽

개념 콕콕

1

⑴ △ABCª△FED, RHA 합동 ⑵ 3`cm

2

⑴ △ABCª△EFD, RHS 합동 ⑵ 4`cm

1

⑴ △ABC와 △FED에서 ∠B=∠E=90ù, ACÓ=FDÓ, ∠D=180ù-(90ù+30ù)=60ù=∠C ∴ △ABCª△FED(RHA 합동) ⑵ BCÓ=EDÓ=3(cm)

2

⑴ △ABC와 △EFD에서 ∠B=∠F=90ù, ACÓ=EDÓ, BCÓ=FDÓ ∴ △ABCª△EFD(RHS 합동) ⑵ EFÓ=ABÓ=4(cm) 본교재 | 12 쪽

대표

유형

1 58 1 -147 1 -2 ②, ③ 2 x=4, y=24 2 -1x=6, y=72 2 -232ù 1 -1 △AMC와 △BMD에서 ∠ACM=∠BDM=90ù, AÕMÓ=BÕMÓ, ∠AMC=∠BMD(맞꼭지각) 따라서 △AMCª△BMD(RHA 합동)이므로 ACÓ=BDÓ=12(cm) ∴ x=12 또, ∠MBD=∠MAC=180ù-(90ù+55ù)=35ù이므로 y=35x+y=12+35=47 47 1 -2 ① △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C ④, ⑤ △BMD와 △CME에서 ∠BDM=∠CEM=90ù, BÕMÓ=CÕMÓ, ∠B=∠C 따라서 △BMDª△CME(RHA 합동)이므로 DÕMÓ=EÕMÓ  ②, ③ 2 -1 △BED와 △BCD에서 ∠BED=∠BCD=90ù, BDÓ는 공통, BEÓ=BCÓ 따라서 △BEDª△BCD(RHS 합동)이므로 DEÓ=DCÓ=6(cm) ∴ x=6 또, △AED에서 ∠EDA=180ù-(54ù+90ù)=36ù이므로 ∠EDC=180ù-∠EDA=180ù-36ù=144ù 따라서 ∠BDC=∠BDE= 12 ∠EDC=12 _144ù=72ù이므로 y=72 x=6, y=72 2 -2 △BCE와 △CBD에서 ∠BEC=∠CDB=90ù, BCÓ는 공통, BEÓ=CDÓ 따라서 △BCEª△CBD(RHS 합동)이므로 ∠EBC=∠DCB 즉, △ABC에서 ∠EBC= 12 _(180ù-64ù)=58ù 따라서 △BCE에서 ∠BCE=180ù-(90ù+58ù)=32ù  32ù

각의 이등분선의 성질

04

개념

본교재 | 13 쪽 개념 콕콕

1

2 ⑵ 5

2

20ù ⑵ 65ù

1

⑴ △AOPª△BOP(RHA 합동)이므로 PAÓ=PBÓ=2(cm) ∴ x=2 ⑵ △AOPª△BOP(RHA 합동)이므로 OAÓ=OBÓ=5(cm) ∴ x=5

2

⑴ △AOPª△BOP(RHS 합동)이므로x=∠AOP=20ù ⑵ △AOPª△BOP(RHS 합동)이므로 ∠AOP=∠BOP=25ù 따라서 △AOP에서 ∠x=180ù-(90ù+25ù)=65ù 본교재 | 14 쪽

대표

유형

33 -144`cm ⑵ 30`cmÛ` 4 -15`cm ⑵ 45`cmÛ` 4 -258ù 3 -1 ①, ②, ④, ⑤ △AOPª△BOP(RHS 합동)이므로 ∠AOP=∠BOP, ∠APO=∠BPO, OAÓ=OBÓ  ③

(5)

1. 삼각형의 성질 4 -1 ⑴ △ABDª△AED(RHA 합동)이므로 DEÓ=DBÓ=5(cm) ⑵ △ADC= 12_ACÓ_DEÓ=12 _18_5=45(cmÛ`) ⑴5`cm 45`cmÛ` 4 -2 △AOPª△BOP(RHS 합동)이므로 ∠POA=∠POB= 12 ∠AOB=12 _64ù=32ù 따라서 △AOP에서 ∠OPA=180ù-(90ù+32ù)=58ù  58ù 본교재 | 15 쪽

0

1

0

2

0

3

0

4

84ù

0

5

54ù

0

6

0

7

26ù

0

8

6`cm 배운대로

해결하기

0

1

△ABD와 △CBD에서 ∠BAD=∠BCD=90ù, BDÓ는 공통, ∠ABD=∠CBD 따라서 △ABDª△CBD(RHA 합동)이므로 ADÓ=CDÓ 즉, 5x+2=7x-6이므로 -2x=-8 ∴ x=4  ②

0

2

①, ②, ④ △ADB와 △CEA에서 ∠ADB=∠CEA=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠BAD+∠EAC=90ù, ∠EAC+∠ACE=90ù이므로 ∠BAD=∠ACE 따라서 △ADBª△CEA(RHA 합동)이므로 DÕAÓ=ECÓ ⑤ DÕAÓ=ECÓ, AEÓ=BDÓ이므로 (사다리꼴 DBCE의 넓이) = 12 _(BDÓ+CEÓ)_(DAÓ+AEÓ) = 12 (BDÓ+CEÓ)Û`  ③

0

3

①, ② RHS 합동 ③ SAS 합동 ④ RHA 합동  ⑤

0

4

△BMD와 △CME에서 ∠BDM=∠CEM=90ù, BÕMÓ=CÕMÓ, MòDÓ=MòEÓ 따라서 △BMDª△CME(RHS 합동)이므로 ∠C=∠B=48ù 따라서 △ABC에서 ∠A=180ù-(48ù+48ù)=84ù  84ù

0

5

△ABD와 △AED에서 ∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통, ABÓ=AEÓ 따라서 △ABDª△AED(RHS 합동)이므로 ∠EDA=∠BDA=180ù-(27ù+90ù)=63ù ∴ ∠x =180ù-(∠BDA+∠EDA) =180ù-(63ù+63ù)=54ù  54ù

0

6

△AOP와 △BOP에서 ∠PAO=∠PBO=90ù, OPÓ는 공통, ∠AOP=∠BOP 따라서 △AOPª△BOP(RHA 합동)이므로 PAÓ=PBÓ 그러므로 주어진 성질을 설명하는 데 이용되지 않는 것은 ㄷ이다.  ㄷ

0

7

△AEDª△AFD(RHS 합동)이므로 ∠EAD=∠FAD=180ù-(90ù+64ù)=26ù  26ù

0

8

△AEDª△ACD(RHA 합동)이므로 EDÓ=CDÓ, AEÓ=ACÓ=3(cm) ∴ EBÓ=ABÓ-AEÓ=5-3=2(cm) ∴ (△EBD의 둘레의 길이) =EBÓ+BDÓ+DEÓ =EBÓ+BDÓ+DCÓ =EBÓ+BCÓ =2+4=6(cm) 6`cm

삼각형의 외심

05

개념

본교재 | 16 쪽 개념 콕콕

1

ㄱ, ㄷ

2

5 ⑵ 25

1

삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이고, 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.

2

⑴ CDÓ=BDÓ=5(cm) ∴ x=5 ⑵ OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=∠OBC=25ù ∴ x=25 ㄱ ㄷ

(6)

본교재 | 17 쪽

대표

유형

11 -11 -29`cm 2 13p`cm 2 -120p`cm 2 -21 -1 오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ △OAB에서 ∠OBA=∠OAB=40ù △OBC에서 ∠OBC=∠OCB=32ù ∴ ∠B=∠OBA+∠OBC=40ù+32ù=72ù  ② 1 -2 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OCÓ OAÓ+OCÓ+15=33, 2 OAÓ=18 ∴ OAÓ=9(cm) 따라서 △ABC의 외접원의 반지름의 길이는 9`cm이다.  9`cm 2 -1 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 △ABC의 외접원의 반지 름의 길이는 1 2 `BCÓ=12 _20=10(cm) 따라서 △ABC의 외접원의 둘레의 길이는 2p_10=20p(cm) 20p`cm 2 -2 점 M은 △ABC의 외심이므로 MBÓ=MCÓ ∴ ∠MBC=∠C 따라서 △MBC에서 ∠AMB=∠MBC+∠C이므로 72ù=∠MBC+∠C, 2∠C=72ù ∴ ∠C=36ù  ②

삼각형의 외심의 활용

06

개념

본교재 | 18 쪽 개념 콕콕

1

30ù ⑵ 15ù

2

100ù ⑵ 60ù

1

⑴ 20ù+40ù+∠x=90ù ∴ ∠x=30ù ⑵ ∠x+30ù+45ù=90ù ∴ ∠x=15ù 32° 40° A B C O

2

⑴ ∠x=2∠A=2_50ù=100ù ⑵ ∠x= 12 ∠BOC=12 _120ù=60ù 본교재 | 19 쪽

대표

유형

3 30ù 3 -127ù 3 -244 -14 -2160ù 3 -1 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ 즉, △OAB에서 ∠OAB= 12 _(180ù-94ù)=43ù 이때 43ù+20ù+∠x=90ù이므로 ∠x=27ù  27ù 3 -2 오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ 즉, △OAB에서 ∠OAB=∠OBA=30ù 이때 30ù+35ù+∠OAC=90ù이므로 ∠OAC=25ù ∴ ∠A=∠OAB+∠OAC=30ù+25ù=55ù  ③ 4 -1 점 O는 △ABC의 외심이므로 OBÓ=OCÓ 즉, △OBC에서 ∠OCB=∠OBC=38ù이므로 ∠BOC=180ù-(38ù+38ù)=104ù ∴ ∠x= 12 ∠BOC=12 _104ù=52ù  ⑤ 4 -2 ∠C=180ù_2+3+4 =80ù4 이때 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠AOB=2∠C=2_80ù=160ù  160ù 보충 설명 △ABC에서 ∠A`:`∠B`:`∠C=a`:`b`:`c일 때, ∠C=180ù_a+b+cc 본교재 | 20 쪽

0

1

③, ④

0

2

0

3

108ù

0

4

8`cm

0

5

0

6

0

7

0

8

188ù 배운대로

해결하기

A B C O 35° 30°

(7)

1. 삼각형의 성질

0

1

①, ② 점 O가 △ABC의 외심이므로 ADÓ=BDÓ, OAÓ=OBÓ=OCÓ ⑤ △OBE와 △OCE에서 BEÓ=CEÓ, ∠OEB=∠OEC=90ù, OEÓ는 공통 ∴ △OBEª△OCE(SAS 합동)  ③, ④

0

2

점 O는 △ABC의 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 BDÓ=ADÓ=5(cm), BEÓ=CEÓ=7(cm), CFÓ=AFÓ=6(cm) ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CAÓ =2(ADÓ+CEÓ+AFÓ) =2_(5+7+6) =36(cm)  ④

0

3

∠MAC=90ù_ 23+2 =36ù 점 M은 △ABC의 외심이므로 MAÓ=MBÓ=MCÓ 따라서 △AMC에서 ∠MCA=∠MAC=36ù이므로 ∠AMC=180ù-(36ù+36ù)=108ù  108ù

0

4

△ABC에서 ∠A=180ù-(30ù+90ù)=60ù 오른쪽 그림과 같이 빗변 AB의 중점을 O라고 하면 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ 즉, ∠OCA=∠A=60ù이므로 △AOC는 정삼각형이다. ∴ OAÓ=OCÓ=ACÓ=4(cm) 따라서 OBÓ=OAÓ=4(cm)이므로 ABÓ=2 OAÓ=2_4=8(cm)  8`cm

0

5

점 O는 △ABC의 외심이므로 30ù+∠OBC+42ù=90ù ∴ ∠OBC=18ù 따라서 △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠BOC=180ù-2_18ù=144ù  ②

0

6

점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠x+26ù+24ù=90ù ∴ ∠x=40ùOAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠y=26ù ∴ ∠x-∠y=40ù-26ù=14ù  ① O 30° 4`cm A B C

0

7

오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 점 O는 △ABC의 외심이므로 OBÓ=OCÓ 즉, △OBC에서 ∠OBC=∠OCB=42ù이므로 ∠BOC=180ù-(42ù+42ù)=96ù ∴ ∠A= 12 ∠BOC=12 _96ù=48ù  ②

0

8

점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ 즉, △OAB에서 ∠OBA=∠OAB=28ù이므로 ∠AOB=180ù-(28ù+28ù)=124ù ∴ ∠x= 12 ∠AOB=12 _124ù=62ù 또, ∠ABC=∠OBA+∠OBC=28ù+35ù=63ù이므로 ∠y=2∠ABC=2_63ù=126ù ∴ ∠x+∠y=62ù+126ù=188ù  188ù

삼각형의 내심

07

개념

본교재 | 21 쪽 개념 콕콕

1

ㄴ, ㄹ

2

40 ⑵ 3

1

삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이고, 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다.

2

⑴ ∠IAB=∠IAC=40ù ∴ x=40 ⑵ IDÓ=IEÓ=3(cm) ∴ x=3 본교재 | 22 쪽

대표

유형

11 -11 -22 9`cm 2 -114`cm 2 -219`cm 1 -1 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IAB=∠IAC=∠x, ∠IBA=∠IBC=35ù 따라서 △IAB에서 ∠x=180ù-(108ù+35ù)=37ù  ① 42° A B C O ㄹ ㄴ

(8)

1 -2ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC= 12 _(180ù-56ù)=62ù 이때 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBC= 12 ∠ABC=12 _62ù=31ù  ④ 2 -1 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB 이때 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각), ∠EIC=∠ICB(엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DIÓ=DBÓ=8(cm), EIÓ=ECÓ=6(cm) ∴ DEÓ=DIÓ+EIÓ=8+6=14(cm) 14`cm 보충 설명 오른쪽 그림에서 점 I는 △ABC의 내심이고 DEÓBCÓ일 때 ① ∠DBI=∠IBC=∠DIB, ∠ECI=∠ICB=∠EIC ② DBÓ=DIò, ECÓ=EIò 2 -2 오른쪽 그림과 같이 IBÓ, ICÓ를 그으면 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB 이때 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각), ∠EIC=∠ICB(엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ ∴ (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+EAÓ =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+EAÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EAÓ) =ABÓ+ACÓ =11+8=19(cm)  19`cm

삼각형의 내심의 활용

08

개념

본교재 | 23 쪽 개념 콕콕

1

30ù ⑵ 22ù

2

125ù ⑵ 56ù

1

⑴ ∠x+25ù+35ù=90ù ∴ ∠x=30ù ⑵ 44ù+24ù+∠x=90ù ∴ ∠x=22ù A B C D I E A B C D I E 11 cm 8 cm

2

⑴ ∠x=90ù+ 12 ∠A=90ù+12 _70ù=125ù ∠AIC=90ù+ 12 ∠B이므로 118ù=90ù+ 12 ∠x ∴ ∠x=56ù 본교재 | 24 쪽

대표

유형

33 -130ù 3 -280ù 44 -14 -2100ù 3 -1 오른쪽 그림과 같이 ICÓ를 그으면 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠ICB= 12 ∠C=12 _50ù=25ù 이때 35ù+25ù+∠x=90ù이므로x=30ù  30ù 3 -2 오른쪽 그림과 같이 IAÓ를 그으면 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IAB+20ù+30ù=90ù ∴ ∠IAB=40ù 이때 ∠IAC=∠IAB=40ù이므로 ∠A=2∠IAB=2_40ù=80ù  80ù 4 -1 점 I는 △ABC의 내심이므로

108ù=90ù+ 12 ∠ABC, 12 ∠ABC=18ù ∴ ∠ABC=36ù

∴ ∠x= 12 ∠ABC=12 _36ù=18ù  ②

4 -2

∠AIB=360ù_7+6+5 =140ù7

이때 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠AIB=90ù+ 12 ∠ACB

140ù=90ù+ 12 ∠ACB ∴ ∠ACB=100ù  100ù

삼각형의 내접원의 활용

09

개념

본교재 | 25 쪽 개념 콕콕

1

54`cmÛ`

2

15 ⑵ 7 A B C I x 50° 35° A B 30° C 20° I

(9)

1. 삼각형의 성질

1

ABC= 12 _3_(9+15+12)=54(cmÛ`)

2

⑴ BEÓ=BDÓ=10(cm), CEÓ=CFÓ=5(cm)이므로 BCÓ=10+5=15(cm) ∴ x=15 ⑵ BEÓ=BDÓ=6(cm)이므로 CFÓ=CEÓ=13-6=7(cm) ∴ x=7 본교재 | 26 쪽

대표

유형

5 3`cm 5 -14`cm 5 -24p`cmÛ` 6 12`cm 6 -117`cm 6 -25 -1 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 84= 12 _r_(14+15+13) ∴ r=4 따라서 내접원의 반지름의 길이는 4`cm이다.  4`cm 5 -2 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 1 2 _12_5=12 _r_(13+12+5) ∴ r=2 따라서 내접원의 넓이는 p_2Û`=4p(cmÛ`)  4p`cmÛ` 6 -1 BDÓ=BEÓ=7(cm)이므로 AFÓ=ADÓ=ABÓ-BDÓ=15-7=8(cm) CFÓ=CEÓ=BCÓ-BEÓ=16-7=9(cm) ∴ ACÓ=AFÓ+CFÓ=8+9=17(cm)  17`cm 6 -2 BEÓ=x`cm라고 하면 BDÓ=BEÓ=x(cm) AFÓ=ADÓ=ABÓ-BDÓ=16-x(cm) CFÓ=CEÓ=BCÓ-BEÓ=14-x(cm) 이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 12=(16-x)+(14-x) 2x=18 ∴ x=9 ∴ BEÓ=9(cm)  ④ 본교재 | 27 쪽

0

1

②, ③

0

2

0

3

0

4

18ù

0

5

204ù

0

6

0

7

40`cmÛ`

0

8

② 배운대로

해결하기

0

1

①, ⑤ △IBD와 △IBE에서 ∠IDB=∠IEB=90ù, IBÓ는 공통, ∠IBD=∠IBE 따라서 △IBDª△IBE(RHA 합동)이므로 BDÓ=BEÓ ④ 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ICE=∠ICF  ②, ③

0

2

점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠IBA=32ù, ∠ICA=∠ICB=30ù 따라서 △ABC에서 ∠x=180ù-(32ù+32ù+30ù+30ù)=56ù  ④

0

3

오른쪽 그림과 같이 IBÓ, ICÓ를 그으면 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB 이때 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ ∴ (△ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+EAÓ =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+EÕAÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EÕAÓ) =ABÓ+ACÓ =10+13=23(cm)  ②

0

4

오른쪽 그림과 같이 IBÓ를 그으면 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBA= 12 ∠B=12 _80ù=40ù 이때 32ù+40ù+∠x=90ù이므로x=18ù  18ù

0

5

점 I는 △ABC의 내심이므로 12 ∠x+18ù+34ù=90ù 1 2 ∠x=38ù ∴ ∠x=76ù ∴ ∠y=90ù+ 12 ∠A=90ù+12 _76ù=128ù ∴ ∠x+∠y=76ù+128ù=204ù 204ù

0

6

점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠BIC=90ù+ 12 ∠A

115ù=90ù+ 12 ∠A ∴ ∠A=50ù 이때 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_50ù=100ù  ② A B C D I 13`cmE 10`cm 80° 32° x A B I C

(10)

0

7

내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 1 2 _16_12=12 _r_(12+16+20) ∴ r=4 ∴ △AIC= 12 _20_4=40(cmÛ`)  40`cmÛ`

0

8

ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CFÓ=CEÓ이므로 (ABC의 둘레의 길이) =2(ADÓ+BEÓ+CFÓ)=2(AFÓ+6+CFÓ) =2(ACÓ+6)=28 따라서 ACÓ+6=14이므로 ACÓ=8(cm)  ② 본교재 | 28 ~ 30 쪽

01

02

03

04

55

05

72`cmÛ`

06

07

50`cmÛ`

08

09

27`cmÛ`

10

11

12

①, ⑤

13

9`cm

14

153ù

15

21p`cmÛ`

16

17

24ù

18

6`cm

19

15ù

20

68ù

21

219ù

22

132ù 개념 넓히기로

마무리

01

△ABD에서 ADÓ=BDÓ이므로 ∠A=∠ABD= 12 _(180ù-104ù)=38ù △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC= 12 _(180ù-38ù)=71ù ∴ ∠DBC=∠ABC-∠ABD=71ù-38ù=33ù  ②

02

∠DBE=∠A=∠x (접은 각)이므로 ∠ABC=∠DBE+∠EBC=∠x+21ù 이때 △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠C=∠ABC=∠x+21ù 따라서 △ABC에서 ∠x+(∠x+21ù)+(∠x+21ù)=180ù이므로 3∠x+42ù=180ù, 3∠x=138ù ∴ ∠x=46ù  ①

03

이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 ADÓ⊥BCÓ, BDÓ=CDÓ

이때 △ABD= 12 _BDÓ_ADÓ=12 _ABÓ_DEÓ이므로

1 2 _BDÓ_20=12 _25_12 ∴ BDÓ=15(cm) 따라서 CDÓ=BDÓ이므로 BCÓ=2BDÓ=2_15=30(cm)  ③

04

이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 ADÓ⊥BCÓ, BDÓ=CDÓ= 12 _20=10(cm)ABD에서 ∠ABD=180ù-(90ù+45ù)=45ù ∴ x=45

이때 ∠ABD=∠BAD이므로 △ABD는 ADÓ=BDÓ인 이등변삼

각형이다. 따라서 ADÓ=BDÓ=10(cm)이므로 y=10x+y=45+10=55 55

05

△ADB와 △CEA에서 ∠ADB=∠CEA=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠BAD+∠EAC=90ù, ∠EAC+∠ACE=90ù이므로 ∠BAD=∠ACE 따라서 △ADBª△CEA(RHA 합동)이므로 DAÓ=ECÓ=7(cm), AEÓ=BDÓ=5(cm) ∴ (사다리꼴 DBCE의 넓이) = 12 _(BDÓ+CEÓ)_DEÓ = 12 _(5+7)_(7+5) =72(cmÛ`)  72`cmÛ`

06

△ADMª△CEM(RHS 합동)이므로 ∠A=∠C=32ù 따라서 △ABC에서 ∠B=180ù-(32ù+32ù)=116ù  ④

07

△AEDª△ACD(RHA 합동)이므로 EDÓ=CDÓ=10(cm) 한편, △ABC는 직각이등변삼각형이므로 ∠B=∠BAC=45ù △EBD에서 ∠EDB=180ù-(90ù+45ù)=45ù이므로 ∠B=∠EDB ∴ EBÓ=EDÓ=10(cm) ∴ △EBD= 12 _10_10=50(cmÛ`)  50`cmÛ`

08

점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ △OAB에서 ∠OAB= 12 _(180ù-40ù)=70ùOCA에서 ∠OAC= 12 _(180ù-80ù)=50ù ∴ ∠BAC=∠OAB+∠OAC=70ù+50ù=120ù  ③

09

점 O가 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OCÓ ∴ △OBC = 12ABC= 12 _{12 _12_9} =27(cmÛ`) 27`cmÛ`

(11)

1. 삼각형의 성질

10

점 M이 △ABC의 외심이므로 MAÓ=MBÓ ∴ ∠MAB=∠B=34ù △ABM에서 ∠AMH=∠MAB+∠B=34ù+34ù=68ù 따라서 △AMH에서 ∠x=180ù-(68ù+90ù)=22ù  ④ 다른 풀이 점 M이 △ABC의 외심이므로 MòAÓ=MòBÓ ∴ ∠MAB=∠B=34ù 이때 △ABH에서 ∠BAH=180ù-(90ù+34ù)=56ù이므로x=∠BAH-∠MAB=56ù-34ù=22ù

11

오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ △OAB에서 ∠OBA=∠OAB=28ù이므로 ∠OBC=∠B-∠OBA=52ù-28ù=24ù 즉, △OBC에서 ∠x=∠OBC=24ù 또, 28ù+24ù+∠y=90ù이므로 ∠y=38ù ∴ ∠y-∠x=38ù-24ù=14ù  ③

12

② 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다. ③ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다. ④ 직각삼각형의 내심은 삼각형의 내부에 위치한다.  ①, ⑤

13

오른쪽 그림과 같이 IBÓ, ICÓ를 그으면 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB 이때 DEÓBCÓ이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각), ∠EIC=∠ICB(엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ(ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+EAÓ =ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+EAÓ =(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EAÓ) =ABÓ+ACÓ=18(cm) 이때 ABÓ=ACÓ이므로 2ABÓ=18 ∴ ABÓ=9(cm) 9`cm

14

점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠BIC=90ù+ 12 ∠A=90ù+12 _72ù=126ù 점 I'은 △IBC의 내심이므로 ∠BI'C=90ù+ 12 ∠BIC=90ù+12 _126ù=153ù  153ù 28° 52° xy A B O C A B C D I E

15

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 외접원의 반지름의 길이는 1 2 ABÓ=12 _10=5(cm) 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 1 2 _6_8=12 _r_(10+6+8) ∴ r=2 따라서 색칠한 부분의 넓이는 p_5Û`-p_2Û`=25p-4p=21p(cmÛ`)  21p`cmÛ`

16

오른쪽 그림과 같이 IDÓ를 그으면 사각형 IDBE는 정사각형이므로 BDÓ=BEÓ=IEÓ=2(cm) AFÓ=ADÓ=ABÓ-BDÓ=5-2=3(cm) CFÓ=CEÓ=BCÓ-BEÓ=12-2=10(cm) ∴ ACÓÓ=AFÓ+CFÓ=3+10=13(cm)  ①

17

오른쪽 그림의 △BAC에서 BAÓ=BCÓ이므로 ∠BCA=∠A=∠x ∴ ∠CBD =∠A+∠BCA =∠x+∠x=2∠x yy`30%BCD에서 CBÓ=CDÓ이므로 ∠CDB=∠CBD=2∠x △DAC에서

∠DCE =∠A+∠CDB=∠x+2∠x=3∠x yy`30%

△DCE에서 DCÓ=DEÓ이므로 ∠DEC=∠DCE=3∠x yy`10% 따라서 △DAE에서 96ù=∠x+3∠x이므로 4∠x=96ù ∴ ∠x=24ù yy`30%  24ù

18

△ABD와 △CAE에서 ∠BDA=∠AEC=90ù, ABÓ=CAÓ, ∠ABD+∠BAD=90ù, ∠BAD+∠CAE=90ù이므로 ∠ABD=∠CAE

∴ △ABDª△CAE(RHA 합동) yy`50%

따라서 AEÓ=BDÓ=10(cm), ADÓ=CEÓ=4(cm)이므로 yy`30% DEÓ=AEÓ-ADÓ=10-4=6(cm) yy`20%  6`cm

19

점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_40ù=80ù △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OBC= 12 _(180ù-80ù)=50ù yy`40% A B C D E F I 5`cm 12`cm 2`cm 96° A B D C E F x x 2x 2x 3x 3x

(12)

한편, △ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ABC= 12 _(180ù-40ù)=70ù

점 I는 △ABC의 내심이므로

∠IBC= 12 ∠ABC=12 _70ù=35ù yy`40%

∴ ∠OBI=∠OBC-∠IBC=50ù-35ù=15ù yy`20%  15ù

20

△ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C= 12 _(180ù-44ù)=68ù △BED와 △CFE에서 BDÓ=CEÓ, ∠B=∠C, BEÓ=CFÓ 따라서 △BEDª△CFE(SAS 합동)이므로 ∠BDE=∠CEF ∴ ∠x =180ù-(∠BED+∠CEF) =180ù-(∠BED+∠BDE) =∠B=68ù  68ù

21

∠IBC=∠a, ∠ICB=∠b라고 하면 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBD=∠IBC=∠a, ∠ICE=∠ICB=∠bABC에서 86ù+(∠a+∠a)+(∠b+∠b)=180ù이므로 2(∠a+∠b)=94ù ∴ ∠a+∠b=47ùADC에서 ∠x=86ù+∠b, ABE에서 ∠y=86ù+∠a ∴ ∠x+∠y =(86ù+∠b)+(86ù+∠a)=172ù+∠a+∠b =172ù+47ù=219ù  219ù 다른 풀이 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠BIC=90ù+ 12 ∠A=90ù+12 _86ù=133ù ∴ ∠DIE=∠BIC=133ù(맞꼭지각) 이때 ∠ADI=180ù-∠x, ∠AEI=180ù-∠y이므로 사각형 ADIE에서 86ù+(180ù-∠x)+133ù+(180ù-∠y)=360ù 579ù-(∠x+∠y)=360ù ∴ ∠x+∠y=219ù

22

△ABC에서 ∠ACB=180ù-(58ù+90ù)=32ù

점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠ICB= 12 ∠ACB=12 _32ù=16ù

점 O는 △ABC의 외심이므로 OBÓ=OCÓ ∴ ∠OBC=∠OCB=32ù 따라서 △PBC에서 ∠BPC=180ù-(32ù+16ù)=132ù  132ù 86° x y A B D C E I a a bb Ⅰ. 도형의 성질

2.

사각형의 성질

평행사변형의 성질

01

개념

본교재 | 32 쪽 개념 콕콕

1

⑴ ∠x=45ù, ∠y=25ù ⑵ ∠x=35ù, ∠y=50ù

2

x=4, y=5 ⑵ x=120, y=60 ⑶ x=6, y=8x=3, y=110

1

⑴ ABÓDCÓ이므로 ∠x=45ù(엇각) ADÓBCÓ이므로 ∠y=25ù(엇각) ⑵ ABÓDCÓ이므로 ∠x=35ù(엇각) ADÓBCÓ이므로 ∠y=50ù(엇각)

2

⑴ ABÓ=DCÓ이므로 x=4 ADÓ=BCÓ이므로 y=5 ⑵ ∠A+∠B=180ù이므로 x+60=180 ∴ x=120 ∠B=∠D이므로 y=60 ⑶ 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 x=6, y=8 ⑷ ABÓ=DCÓ이므로 x=3 ∠A=∠C이므로 y=110 본교재 | 33 ~ 34 쪽

대표

유형

11 -195ù 1 -22 x=3, y=10 2 -1x=2, y=4 2 -23`cm 33 -180ù 3 -2 125ù 4 12`cm 4 -1 27`cm 4 -21 -1 ABÓDCÓ이므로 ∠ABD=∠BDC=53ù(엇각) 따라서 △ABO에서 ∠BOC=42ù+53ù=95ù  95ù 1 -2 ABÓDCÓ이므로 ∠ABD=∠BDC=48ù(엇각) 따라서 △ABC에서 ∠x+(48ù+26ù)+∠y=180ù ∴ ∠x+∠y=106ù  ④

(13)

2. 사각형의 성질 2 -1 ABÓ=DCÓ이므로 3x=x+4, 2x=4 ∴ x=2 ADÓ=BCÓ이므로

2y+2=3y-2 ∴ y=4 x=2, y=4

2 -2

ADÓBCÓ이므로 ∠AEB=∠DAE(엇각)

∠BAE=∠AEB이므로 △ABE는 이등변삼각형이다. ∴ BEÓ=ABÓ=6(cm) 이때 BCÓ=ADÓ=9(cm)이므로 ECÓ=BCÓ-BEÓ=9-6=3(cm)  3`cm 3 -1 ABÓDCÓ이므로 ∠A+∠D=180ù 이때 ∠A`:`∠D=5`:`4이므로 ∠D= 49 _180ù=80ù ∴ ∠B=∠D=80ù  80ù 3 -2 ADÓBCÓ이므로 70ù+∠BCD=180ù ∴ ∠BCD=110ù ∴ ∠ECD= 12 ∠BCD=12 _110ù=55ù 이때 ∠D=∠B=70ù이므로 △ECD에서 ∠x=55ù+70ù=125ù  125ù 4 -1 ADÓ=BCÓ=12(cm) AOÓ= 12 ACÓ=12 _14=7(cm) ODÓ=BOÓ=8(cm) 따라서 △AOD의 둘레의 길이는 AOÓ+ODÓ +ADÓ =7+8+12=27(cm)  27`cm 4 -2 △AOP와 △COQ에서 OAÓ=OCÓ, ∠OAP=∠OCQ(엇각), ∠AOP=∠COQ(맞꼭지각) 이므로 △AOPª△COQ(ASA 합동) ∴ APÓ=CQÓ(①),` OPÓ=OQÓ(③), ∠APO=∠CQO(④), BQÓ=BCÓ-CQÓ=ADÓ-APÓ=DPÓ(②) 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.  ⑤ 본교재 | 35 쪽

0

1

0

2

0

3

0

4

12`cm

0

5

54ù

0

6

0

7

③ 배운대로

해결하기

0

1

ADÓBCÓ이므로 ∠DBC=∠ADB=26ù(엇각) △ABC에서 ∠x+(∠y+26ù)+43ù=180ù ∴ ∠x+∠y=111ù  ③ 다른 풀이 ADÓBCÓ이므로 ∠DAC=∠ACB=43ù(엇각) △ABD에서 (∠x+43ù)+∠y+26ù=180ù ∴ ∠x+∠y=111ù

0

2

ADÓBCÓ이므로 ∠C+∠D=180ù ∴ ∠D=180ù-∠C=180ù-100ù=80ù △AED에서 35ù+∠x+80ù=180ù ∴ ∠x=65ù  ②

0

3

DCÓ=ABÓ=3(cm) BCÓ=ADÓ=2ABÓ=2_3=6(cm) 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 2_(3+6)=18(cm)  ④

0

4

△BFE와 △CDE에서 AFÓDCÓ이므로 ∠FBE=∠DCE(엇각) BEÓ=CEÓ, ∠BEF=∠CED(맞꼭지각) 이므로 △BFEª△CDE(ASA 합동) ∴ BFÓ=CDÓ=6(cm) 이때 ABÓ=DCÓ=6(cm)이므로 AFÓ=ABÓ+BFÓ=6+6=12(cm) 12`cm

0

5

ADÓBCÓ이므로 ∠A+∠B=180ù 이때 ∠A`:`∠B=3`:`2이므로 ∠B= 25 _180ù=72ù ∠D=∠B=72ù이고 △PCD는 DCÓ=DPÓ인 이등변삼각형이므로 ∠x= 12 _(180ù-72ù)=54ù 54ù

0

6

② ∠OCD  ②

0

7

③ OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ  ③

(14)

평행사변형이 되는 조건

02

개념

본교재 | 36 쪽

개념 콕콕

1

x=25, y=80 ⑵ x=5, y=7 ⑶ x=3, y=9x=70, y=110 ⑸ x=5, y=4 ⑹ x=65, y=6

1

⑴ ADÓBCÓ이어야 하므로 ∠DAC=∠ACB=25ù ∴ x=25 ABÓDCÓ이어야 하므로 ∠B+∠BCD=180ù 즉, 75ù+(25ù+∠y)=180ù이므로y=180ù-(75ù+25ù)=80ù ∴ y=80 ⑶ ABÓ=DCÓ이어야 하므로 2x=6 ∴ x=3 ADÓ=BCÓ이어야 하므로 y-1=8 ∴ y=9 본교재 | 37 쪽

대표

유형

11 -1 ③, ⑤ 22 -1 ⑴ ㈎ ∠EDF ㈏ ∠DFC ㈐ ∠BFD ⑵ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. 1 -1 ① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. ② 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다. ③ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은지 알 수 없으므로 평행사변형 이 아니다. ④ 엇각의 크기가 같으므로 두 쌍의 대변이 각각 평행하다. 즉, 평행사변형이다. ⑤ 한 쌍의 대변이 평행하지만 평행한 두 변의 길이가 같은지 알 수 없으므로 평행사변형이 아니다. 따라서 평행사변형이 아닌 것은 ③, ⑤이다.  ③, ⑤ 2 -1 ∠B=∠D이므로

∠EBF= 12 ∠B=12 ∠D= ∠EDF yy`㉠

∠AEB=∠EBF(엇각), ∠DFC=∠EDF(엇각)이므로 ∠AEB= ∠DFC ∴ ∠DEB =180ù-∠AEB=180ù-∠DFC = ∠BFD yy`㉡ ㉠, ㉡에서 EBFD는 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행 사변형이다.  ⑴ ㈎ ∠EDF ㈏ ∠DFC ㈐ ∠BFD ⑵ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

평행사변형과 넓이

03

개념

본교재 | 38 쪽 개념 콕콕

1

30`cmÛ` ⑵ 15`cmÛ`

2

6`cmÛ` ⑵ 2`cmÛ`

1

⑴ △ABD= 12 ABCD=12 _60=30(cmÛ`) ⑵ △BCO= 14 ABCD=14 _60=15(cmÛ`)

2

⑴ △PAB+PCD=PDA+△PBC이므로 8+4=△PDA+6 ∴ △PDA=6(cmÛ`) ⑵ △PAB+PCD=PDA+△PBC이므로 8+△PCD=7+3 ∴ △PCD=2(cmÛ`) 본교재 | 39 쪽

대표

유형

33 -13 -216`cmÛ` 4 14`cmÛ` 4 -112`cmÛ` 4 -212`cmÛ` 3 -1 ABCD=4△ABO=4_8=32(cmÛ`)  ② 3 -2 MPNQ =△MPN+△MNQ = 14 ABNM+14 MNCD = 14 _12 ABCD+14 _12 ABCD = 14 ABCD = 14_64=16(cmÛ`)  16`cmÛ`

(15)

2. 사각형의 성질 4 -1 △PAB+△PCD= 12 ABCD이므로 △PAB+18=30 ∴ △PAB=12(cmÛ`)  12`cmÛ` 4 -2 ABCD=9_4=36(cmÛ`) 이때 △PAB+△PCD= 12 ABCD이므로 6+△PCD=18 ∴ △PCD=12(cmÛ`)  12`cmÛ` 본교재 | 40 쪽

0

1

0

2

7

0

3

52ù

0

4

㈎ DFÓ ㈏ EBÓ

0

5

0

6

0

7

10`cmÛ`

0

8

44`cmÛ` 배운대로

해결하기

0

1

① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 ABCD는 평행사변형 이다. ② 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 ABCD는 평행사 변형이다. ③ ABÓDCÓ이므로 ∠A+∠D=180ù, ∠B+∠C=180ù 이때 ∠B=∠D이므로 ∠A=∠C 즉, 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 ABCD는 평행사변 형이다. ④ 오른쪽 그림의 ABCD는 ∠A+∠B=180ù, ∠C+∠D=180ù 이지만 평행사변형이 아니다. ⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 ABCD는 평행 사변형이다. 따라서 ABCD가 평행사변형이 될 수 없는 것은 ④이다.  ④

0

2

ABÓ=DCÓ이어야 하므로 x+6=2x+3 ∴ x=3 ADÓ=BCÓ이어야 하므로 4y-3=2y+5, 2y=8 ∴ y=4x+y=3+4=7 7 80ù 70ù 100ù 110ù B C A D

0

3

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같아야 하므로 ∠B=∠D=76ù, ∠BAD=∠C=180ù-76ù=104ù 이때 △BEA는 BAÓ=BEÓ인 이등변삼각형이므로 ∠BAE=∠BEA= 12 _(180ù-76ù)=52ù ∴ ∠x =∠BAD-∠BAE =104ù-52ù=52ù 52ù

0

4

ABÓDCÓ이므로 EBÓ DFÓ yy ㉠ ABÓ=DCÓ이므로

EBÓ =12 ABÓ=12 DCÓ=DFÓ yy ㉡

㉠, ㉡에서 EBFD는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므 로 평행사변형이다.  ㈎ DFÓ ㈏ EB

0

5

ABCD가 평행사변형이므로 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ 이때 AEÓ=CFÓ이므로 OEÓ=OAÓ-AEÓ=OCÓ-CFÓ=OFÓ 따라서 EBFD는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행 사변형이다.  ④

0

6

△ACD=2△BCO=2_15=30(cmÛ`)  ②

0

7

△OAP와 △OCQ에서 OAÓ=OCÓ, ∠AOP=∠COQ(맞꼭지각), ∠OAP=∠OCQ(엇각) 이므로 △OAPª△OCQ(ASA 합동)

∴ △OAP+△OQD =△OCQ+△OQD

=△OCD = 14 ABCD = 14 _40=10(cmÛ`)  10`cmÛ`

0

8

△PAB+△PCD= 12 ABCD이므로 ABCD =2(△PAB+△PCD) =2_(12+10) =44(cmÛ`)  44`cmÛ`

(16)

직사각형의 뜻과 성질

04

개념

본교재 | 41 쪽 개념 콕콕

1

90ù ⑵ 60ù

2

8`cm ⑵ 8`cm

1

⑵ △DBC에서 ∠DCB=90ù이므로 ∠BDC=180ù-(90ù+30ù)=60ù

2

⑴ ACÓ=2OAÓ=2_4=8(cm) ⑵ BDÓ=ACÓ=8(cm) 본교재 | 42 쪽

대표

유형

1 63 1 -172 1 -220ù 22 -1 ②, ⑤ 2 -2 직사각형 1 -1ABD에서 ∠BAD=90ù이므로 ∠ABD=180ù-(90ù+30ù)=60ù ∴ x=60 BDÓ=ACÓ=2 AOÓ=2_6=12(cm) ∴ y=12x+y=60+12=72 72 1 -2OCD에서 OCÓ=ODÓ이므로 ∠x=55ù △BCD에서 ∠BCD=90ù이므로 ∠y=180ù-(90ù+55ù)=35ù ∴ ∠x-∠y=55ù-35ù=20ù 20ù 2 -1 ② BDÓ=10`cm이면 ACÓ=BDÓ이므로 ABCD는 직사각형이다. ⑤ ∠BAD=90ù이면 ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90ù이므로 ABCD는 직사각형이다. 따라서 평행사변형 ABCD가 직사각형이 되는 조건은 ②, ⑤이다.  ②, ⑤ 2 -2 △OBC에서 ∠OBC=∠OCB이면 OBÓ=OCÓ 평행사변형 ABCD에서 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓÓ 즉, OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ이므로 ACÓ=BDÓ 따라서 ABCD는 직사각형이다.  직사각형

마름모의 뜻과 성질

05

개념

본교재 | 43 쪽 개념 콕콕

1

5`cm ⑵ 4`cm

2

65ù ⑵ 25ù

2

⑴ ADÓ=CDÓ이므로 ∠CAD=∠ACD=65ù ⑵ △OCD에서 ∠COD=90ù이므로 ∠ODC=180ù-(90ù+65ù)=25ù 본교재 | 44 쪽

대표

유형

3 41 3 -142 3 -216`cm 4 ②, ④ 4 -1 ㄴ, ㄷ, ㄹ 4 -248`cm 3 -1 ABÓ=ADÓ이므로 9=4x+1, 4x=8 ∴ x=2 ADÓBCÓ이므로 ∠CBD=∠ADB=40ù ∴ y=40x+y=2+40=42 42 3 -2 △ABO에서 ∠AOB=90ù이므로 ∠BAO=180ù-(30ù+90ù)=60ù △ABC는 ABÓ=BCÓ인 이등변삼각형이므로 ∠BCA=∠BAC=60ù 즉, △ABC는 정삼각형이므로 ABÓ=BCÓ=CAÓ=2OAÓ=2_2=4(cm) 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 4ABÓ=4_4=16(cm)  16`cm 4 -1 ㄱ. ∠ABO=55ù이면 ∠ABC=55ù+35ù=90ù 즉, 평행사변형의 한 내각의 크기가 90ù이므로 ABCD는 직 사각형이다. ㄴ. ∠BDC=∠DBC=35ù이므로 BCÓ=CDÓ 즉, 평행사변형의 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 ABCD 는 마름모이다. ㄷ. ∠DAC=55ù이면 ADÓBCÓ이므로 ∠BCA=∠DAC=55ù(엇각) △OBC에서 ∠BOC=180ù-(35ù+55ù)=90ù 즉, 평행사변형의 두 대각선이 서로 수직이므로 ABCD는 마 름모이다.

(17)

2. 사각형의 성질 ㄹ. ABÓ=ADÓ=8(cm)이면 평행사변형의 이웃하는 두 변의 길이 가 같으므로 ABCD는 마름모이다. ㅁ. OAÓ=OBÓ이면 평행사변형의 두 대각선의 길이가 서로 같으므 로 ABCD는 직사각형이다. 따라서 평행사변형 ABCD가 마름모가 되는 조건은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이 다.  ㄴ, ㄷ, ㄹ 4 -2 ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC(엇각) △ABD는 이등변삼각형이므로 ABÓ=ADÓ 즉, 평행사변형 ABCD의 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 ABCD는 마름모이다. 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 4ABÓ=4_12=48(cm)  48`cm

정사각형의 뜻과 성질

06

개념

본교재 | 45 쪽 개념 콕콕

1

⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ ◯ ⑷ ×

2

⑴ 12`cm ⑵ 45ù

2

⑴ BDÓ=ACÓ=2OCÓ=2_6=12(cm) ⑵ △OAB에서 ∠AOB=90ù이고 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB= 12 _(180ù-90ù)=45ù 본교재 | 46 쪽

대표

유형

5 50`cmÛ` 5 -132`cmÛ` 5 -220ù 66 -1 ㄱ, ㄹ 6 -25 -1 OBÓ=OAÓ=4(cm)이고 ∠AOB=90ù이므로 ABCD =4△OAB =4_{ 12 _4_4}=32(cmÛ`)  32`cmÛ` 5 -2 △BCP와 △DCP에서 BCÓ=DCÓ, ∠BCP=∠DCP=45ù, PCÓ는 공통 이므로 △BCPª△DCP(SAS 합동) ∴ ∠BPC=∠DPC=65ù 따라서 △ABP에서 ∠ABP+∠BAP=∠BPC이므로 ∠ABP+45ù=65ù ∴ ∠ABP=20ù 20ù 6 -1 ㄱ. ABÓ=ADÓ이면 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 직사각형 ABCD는 정사각형이 된다. ㄹ. ∠BOC=∠COD이면 ∠BOC=∠COD=90ù 즉, 두 대각선이 서로 수직이므로 직사각형 ABCD는 정사각형 이 된다. 따라서 정사각형이 되는 조건은 ㄱ, ㄹ이다.  ㄱ, ㄹ 6 -2 OAÓ=OBÓ인 평행사변형 ABCD는 직사각형이다. ① ABÓ=BCÓ이면 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 직사각형 ABCD는 정사각형이 된다.  ①

등변사다리꼴의 뜻과 성질

07

개념

본교재 | 47 쪽 개념 콕콕

1

㈎ ∠DEC ㈏ ∠C ㈐ DEÓ ㈑ DCÓ

2

⑴ 65ù ⑵ 115ù

3

⑴ 7`cm ⑵ 10`cm

2

⑵ ∠C+∠D=180ù이므로 ∠D=180ù-∠C=180ù-65ù=115ù

3

⑵ ACÓ=DBÓ =OBÓ+ODÓ=6+4=10(cm) 본교재 | 48 쪽

대표

유형

77 -141ù 7 -288 -18 -23`cm 7 -1 ∠BCD=∠B=82ù이므로 ∠D=180ù-82ù=98ùACD에서 ∠ACD= 12 _(180ù-98ù)=41ù ∴ ∠x=∠BCD-∠ACD=82ù-41ù=41ù 41ù

(18)

7 -2 ① ABCD가 등변사다리꼴이므로 ACÓ=DBÓ ②, ④ △ABCª△DCB(SAS 합동)이므로 ∠ACB=∠DBC △OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 OAÓ=ACÓ-OCÓ=DBÓ-OBÓ=ODÓ ⑤ △ABDª△DCA(SSS 합동)이므로 ∠BAD=∠CDA 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.  ③ 8 -1 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D를 지나고 ABÓ 에 평행한 직선이 BCÓ와 만나는 점을 E라고 하면 ABED는 평행사변형이므로 BEÓ=ADÓ=6(cm) 또, ∠C=∠B=60ù이고 ∠DEC=∠B=60ù(동위각)이므로 ∠EDC=180ù-(60ù+60ù)=60ù 즉, △DEC는 정삼각형이므로 ECÓ=DCÓ=ABÓ=9(cm) ∴ BCÓ=BEÓ+ECÓ=6+9=15(cm)  ⑤ 8 -2 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 BCÓ에 내 린 수선의 발을 F라고 하면 EFÓ=ADÓ=8(cm) 또, △ABE와 △DCF에서 ∠AEB=∠DFC=90ù, ABÓ=DCÓ, ∠B=∠C 이므로 △ABEª△DCF(RHA 합동) ∴ BEÓ=CFÓ= 12 _(14-8)=3(cm)  3`cm 본교재 | 49 ~ 50 쪽

0

1

0

2

14`cm

0

3

0

4

0

5

0

6

0

7

73

0

8

60ù

0

9

49`cmÛ`

10

15ù

11

12

34ù

13

14

34`cm

15

③ 배운대로

해결하기

0

1

△ABO에서 ∠ABO=90ù-∠y, ∠AOB=∠DOC=48ù(맞꼭지각) A B C D 60ù 60ù 60ù 60ù E 6`cm 9`cm B E F C D A 14 cm 8 cm 따라서 ∠x+(90ù-∠y)+48ù=180ù이므로x-∠y=42ù  ④

0

2

OAÓ=OBÓ이므로 2x+3=3x+1 ∴ x=2 ∴ ACÓ =2OAÓ =2_(2_2+3)=14(cm)  14`cm

0

3

 ③

0

4

ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 ∠ADB=∠ABD=∠xAOD에서 ∠AOD=90ù이므로x+∠y=180ù-90ù=90ù  ②

0

5

△BCD는 CBÓ=CDÓ인 이등변삼각형이므로 ∠DBC= 12 _(180ù-132ù)=24ù △PBH에서 ∠BPH =180ù-(24ù+90ù)=66ù ∴ ∠APD=∠BPH=66ù(맞꼭지각)  ④

0

6

① ABÓ=6`cm이면 ABÓ=ADÓ이므로 ABCD는 마름모이다. ③ ∠ABO=50ù이면 ∠AOB=180ù-(40ù+50ù)=90ù 즉, ACÓ⊥BDÓ이므로 ABCD는 마름모이다. ④ ∠AOB=90ù이면 ACÓ⊥BDÓ이므로 ABCD는 마름모이다. ⑤ ∠BCA=40ù이면 ∠BAC=∠BCA ∴ ABÓ=BCÓ 즉, ABCD는 마름모이다. 따라서 평행사변형 ABCD가 마름모가 되는 조건이 아닌 것은 ②이 다.  ②

0

7

ADÓBCÓ이므로 ∠ACB=∠DAC=65ù(엇각) △OBC에서 ∠BOC=180ù-(25ù+65ù)=90ù 즉, ACÓ⊥BDÓ이므로 ABCD는 마름모이다. △ACD는 ADÓ=CDÓ인 이등변삼각형이므로 ∠DCA=∠DAC=65ù ∴ x=65

(19)

2. 사각형의 성질 또, ABÓ=BCÓ이므로 y=8 x+y=65+8=73 73

0

8

∠DAE=45ù이므로 △AED에서 ∠x =45ù+15ù=60ù  60ù

0

9

BDÓ=ACÓ=14(cm), OCÓ= 12 ACÓ=12 _14=7(cm)이고 ∠BOC=90ù이므로BCD= 12 _14_7=49(cmÛ`) 49`cmÛ`

10

△PBC는 정삼각형이므로 ∠PCB=60ù ∴ ∠PCD =90ù-∠PCB =90ù-60ù=30ù 또, ABCD가 정사각형이므로 BCÓ=CDÓ이고, BCÓ=PCÓ이므로 PCÓ=CDÓ 즉, △PCD는 이등변삼각형이므로 ∠PDC= 12 _(180ù-30ù)=75ù ∴ ∠ADP =90ù-∠PDC =90ù-75ù=15ù  15ù

11

ㄱ. ACÓ=BDÓ이면 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다. ㄷ. ACÓ=BDÓ이면 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다. 이때 ACÓ⊥BDÓ이면 직사각형 ABCD는 정사각형이 된다. ㄹ. ABÓ=ADÓ이면 평행사변형 ABCD는 마름모가 된다. 이때 ∠A=90ù이면 마름모 ABCD는 정사각형이 된다. 따라서 평행사변형 ABCD가 정사각형이 되는 조건은 ㄷ, ㄹ이다.  ⑤

12

∠ABC=∠C이므로 ∠x+36ù=70ù ∴ ∠x=34ù  34ù

13

ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=34ù(엇각) ABÓ=ADÓ이므로 ∠ABD=∠ADB=34ù △ABCª△DCB(SAS 합동)이므로 ∠ACB=∠DBC=34ù 따라서 △ABC에서 ∠x=180ù-(34ù+34ù+34ù)=78ù  ⑤

14

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D를 지나고 ABÓ에 평행한 직선이 BCÓ와 만나는 점을 E라고 하면 ABED는 평행사변형이므로 BEÓ=ADÓ=5(cm) ∠A+∠B=180ù이므로 ∠B=180ù-∠A=180ù-120ù=60ù 이때 ∠C=∠B=60ù이고 ∠DEC=∠B=60ù(동위각)이므로 ∠EDC=180ù-(60ù+60ù)=60ù 즉, △DEC는 정삼각형이므로 ECÓ=DCÓ=ABÓ=8(cm) 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 ABÓ+BCÓ+CDÓ+DÕAÓ =8+(5+8)+8+5 =34(cm)  34`cm

15

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 F라고 하면 FEÓ=ADÓ=6(cm) 또, △ABF와 △DCE에서 ∠AFB=∠DEC=90ù, ABÓ=DCÓ, ∠B=∠C 이므로 △ABFª△DCE(RHA 합동) 따라서 BFÓ=CEÓ= 12 _(9-6)=32 (cm)이므로 BEÓ=BFÓ+FEÓ= 32 +6=152 (cm)  ③

여러 가지 사각형 사이의 관계

08

개념

본교재 | 51 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 직사각형 ⑵ 직사각형 ⑶ 마름모 ⑷ 정사각형

1

⑴ 한 내각의 크기가 90ù인 평행사변형은 직사각형이다. ⑵ 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이다. 60ù 120ù 60ù 60ù 60ù B C A D E 8`cm 5`cm A D B F E C 6`cm 9`cm

(20)

⑶ 두 대각선이 서로 수직인 평행사변형은 마름모이다. ⑷ 이웃하는 두 변의 길이가 같고, 두 대각선의 길이가 같은 평행사 변형은 정사각형이다. 본교재 | 52 쪽

대표

유형

11 -12 ②, ⑤ 2 -12 -244`cm 1 -1 ① 사다리꼴에서 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이가 같으면 등변 사다리꼴이다. ② 평행사변형에서 이웃하는 두 변의 길이가 같으면 마름모이다. ③ 평행사변형에서 한 내각이 직각이면 직사각형이다. 따라서 옳은 것은 ④이다.  ④ 2 -1 마름모의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 직사각형이다. 따라서 직사각형의 성질이 아닌 것은 ④이다.  ④ 2 -2 EFGH는 등변사다리꼴 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만 든 사각형이므로 마름모이다. 따라서 EFGH의 둘레의 길이는 EFÓ+FGÓ+GHÓ+HEÓ=4_11=44(cm)  44`cm

평행선과 넓이

09

개념

본교재 | 53 쪽 개념 콕콕

1

⑴ △DBC ⑵ △ACD

2

⑴ △ACE ⑵ △ABE

3

⑴ 2`:`1 ⑵ 3`:`2

2

⑵ ABCD =△ABC+△ACD

=△ABC+△ACE=△ABE

3

⑵ △ABC`:`△ABD=BCÓ`:`BDÓ=(2+1)`:`2=3`:`2 본교재 | 54 ~ 55 쪽

대표

유형

3 15`cmÛ` 3 -1 16`cmÛ` 3 -244 -14 -230`cmÛ` 55 -15 -266 -1 18`cmÛ` 6 -2 40`cmÛ` 3 -1

AEÓDBÓ이므로 △ABD=△DEB

ABCD =△ABD+△DBC=△DEB+△DBC

이므로 24=8+△DBC

∴ △DBC=16(cmÛ`)  16`cmÛ`

3 -2

ACÓDEÓ이므로 △ACD=△ACE

∴ ABCD =△ABC+△ACD

=△ABC+△ACE=△ABE

= 12 _(3+8)_6=33(cmÛ`)  ③ 4 -1 BPÓ`:`BCÓ=1`:`(1+4)=1`:`5이므로 △ABP`:`△ABC=1`:`5 따라서 7`:`△ABC=1`:`5이므로 △ABC=35(cmÛ`)  ② 4 -2 BÕMÓ=MòCÓ이므로 △ABM= 12ABC= 12 _90=45(cmÛ`) △ABM에서 APÓ`:`PÕMÓ=1`:`2이므로 △ABP`:`△PBM=1`:`2 ∴ △PBM= 23ABM= 23 _45=30(cmÛ`)  30`cmÛ` 5 -1 오른쪽 그림과 같이 BDÓ를 그으면 APÓ`:`PDÓ=2`:`5이므로 △ABP`:`△PBD=2`:`5 즉, 8`:`△PBD=2`:`5이므로 2△PBD=40 ∴ △PBD=20(cmÛ`) ∴ ABCD =2△ABD =2(△ABP+△PBD) =2_(8+20)=56(cmÛ`)  ⑤ 5 -2

ABÓDCÓ이므로 △EBC=△EBD

EFÓBDÓ이므로 △EBD=△FBD

A

B C

D P

(21)

2. 사각형의 성질 ADÓBCÓ이므로 △FBD=△FCD ∴ △EBC=△EBD=△FBD=△FCD 따라서 넓이가 나머지 넷과 다른 하나는 ①이다.  ① 6 -1 ADÓBCÓ이므로

△ACD =△ABD=△ABO+△AOD

=12+6=18(cmÛ`)  18`cmÛ`

6 -2

OBÓ`:`ODÓ=5`:`3이므로 △OBC`:`△OCD=5`:`3 즉, 25`:`OCD=5`:`3이므로 5△OCD=75 ∴ △OCD=15(cmÛ`)

∴ △ABC =△DBC=△OBC+△OCD

=25+15=40(cmÛ`)  40`cmÛ` 본교재 | 56 쪽

0

1

③, ⑤

0

2

ㄹ, ㅂ

0

3

0

4

0

5

8`cmÛ`

0

6

21`cmÛ`

0

7

6`cmÛ``

0

8

24`cmÛ` 배운대로

해결하기

0

1

③ 마름모는 네 내각의 크기가 모두 같지 않으므로 직사각형이 아니 다. ⑤ 등변사다리꼴은 두 쌍의 대변이 평행하지 않으므로 평행사변형 이 아니다. 따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다.  ③, ⑤

0

2

 ㄹ, ㅂ

0

3

⑤ 등변사다리꼴 - 마름모  ⑤

0

4

EFGH는 평행사변형 ABCD의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형이므로 EFGH는 평행사변형이다. 따라서 옳은 것은 ④이다.  ④

0

5

ACÓDEÓ이므로 ACD=△ACE

ABCD =ABC+ACD=ABC+△ACE

=ABE=30(cmÛ`) ∴ △AFD =ABCD-ABCF =30-22=8(cmÛ`) 8`cmÛ`

0

6

BPÓ`:`PCÓ=3`:`4이므로 △ABP`:`△APC=3`:`4 ∴ △APC = 47ABC= 47 _49=28(cmÛ`) 또, AQÓ`:`QCÓ=3`:`1이므로 APQ`:`QPC=3`:`1 ∴ △APQ = 34APC= 34 _28=21(cmÛ`) 21`cmÛ`

0

7

AQÓ`:`QDÓ=3`:`2이므로 △APQ`:`△PDQ=3`:`2 ∴ △PDQ = 25APD= 25 _12 ABCD = 15 ABCD=15 _30=6(cmÛ`)  6`cmÛ`

0

8

OAÓ`:`OCÓ=1`:`3이므로 ABO`:`△OBC=1`:`3 즉, △ABO`:`18=1`:`3이므로

3△ABO=18 ∴ △ABO=6(cmÛ`) ∴ △DBC =△ABC=△ABO+△OBC

=6+18=24(cmÛ`)  24`cmÛ` 본교재 | 57 ~ 60 쪽

01

85ù

02

03

x=75ù, ∠y=80ù

04

12`cmÛ`

05

06

ㄴ, ㄷ, ㅁ

07

64`cmÛ`

08

09

60ù

10

11

72ù

12

57ù

13

14

10`cm

15

21

16

17

18

6

19

128`cmÛ`

20

21

22

23

3`cmÛ`

24

81`cmÛ`

25

3`cm

26

35ù

27

16`cmÛ`

28

16`cm

29

30

35`cmÛ` 개념 넓히기로

마무리

01

ABÓDCÓ이므로 ∠BDC=∠ABD=33ù(엇각) ADÓBCÓ이므로 ∠ADC+∠BCD=180ù (∠y+33ù)+(∠x+62ù)=180ù ∴ ∠x+∠y=85ù 85ù

(22)

02

ABÓECÓ이므로 ∠BEC=∠ABE(엇각)

∠EBC=∠BEC이므로 △BCE는 이등변삼각형이다. ∴ CEÓ=BCÓ=12(cm) 이때 DCÓ=ABÓ=7(cm)이므로 DEÓ=CEÓ-DCÓ=12-7=5(cm)  ⑤

03

ABÓDCÓ이므로 ∠x+105ù=180ù ∴ ∠x=75ù ∠C=∠A=75ù이므로 △BCE에서 ∠y=180ù-(25ù+75ù)=80ù  ∠x=75ù, ∠y=80ù

04

△APO와 △CQO에서 ∠APO=∠CQO=90ù(엇각), OAÓ=OCÓ, ∠AOP=∠COQ(맞꼭지각) 이므로 △APOª△CQO(RHA 합동) 따라서 APÓ=CQÓ=DCÓ-DQÓ=12-8=4(cm), OPÓ=OQÓ=6(cm)이므로 △APO= 12 _4_6=12(cmÛ`) 12`cmÛ`

05

② ADÓ=BCÓ=12(cm) ∠CAD=∠ACB=50ù에서 엇각의 크기가 같으므로 ADÓBCÓ 따라서 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 ABCD 는 평행사변형이다.  ②

06

ㄴ, ㄷ. ABCD가 평행사변형이므로 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ 두 점 E, F가 각각 OBÓ,`ODÓ의 중점이므로 BEÓ=OEÓ=OFÓ=DFÓ 즉, OAÓ=OCÓ, OEÓ=OFÓ이므로 AECF는 평행사변형이다. ∴ AEÓ=FCÓ ㅁ. AEÓFCÓ이므로 ∠OAE=∠OCF(엇각) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.  ㄴ, ㄷ, ㅁ

07

△BCD=2△ABO=2_8=16(cmÛ`) BFED에서 BCÓ=CEÓ, DCÓ=CFÓ이므로 BFED는 평행사변 형이다. ∴ BFED=4△BCD=4_16=64(cmÛ`) 64`cmÛ`

08

△PDA+△PBC= 12 ABCD=12 _100=50(cmÛ`) 따라서 △PDA`:`△PBC=2`:`3이므로PBC= 35 _50=30(cmÛ`)  ③

09

∠BDE=∠EDC=∠a라고 하면BED에서 BEÓ=DEÓ이므로 ∠DBE=∠BDE=∠aBCD에서 ∠C=90ù이므로 2∠a+∠a+90ù=180ù, 3∠a=90ù ∴ ∠a=30ù 따라서 △BED에서 ∠DEC=30ù+30ù=60ù 60ù

10

ADÓBCÓ이므로 ∠AEF=∠EFC(엇각) 또, ∠AFE=∠EFC(접은 각)이므로 ∠AEF=∠AFE 이때 ∠BAE=90ù이므로 ∠FAE=90ù-34ù=56ù ∴ ∠AEF= 12 _(180ù-56ù)=62ù  ① 다른 풀이 △ABF에서 ∠BAF=34ù, ∠B=90ù이므로 ∠AFB=180ù-(34ù+90ù)=56ù ∴ ∠AFC=180ù-∠AFB=180ù-56ù=124ù 이때 ∠AFE=∠EFC(접은 각)이므로 ∠EFC= 12 ∠AFC=12 _124ù=62ù ADÓBCÓ이므로 ∠AEF=∠EFC=62ù(엇각)

11

△ABP와 △ADQ에서 ABÓ=ADÓ, ∠APB=∠AQD=90ù, ∠B=∠D 이므로 △ABPª△ADQ(RHA 합동) ∴ ∠BAP=∠DAQ=180ù-(90ù+72ù)=18ù 이때 ∠BAD=180ù-72ù=108ù이므로 ∠x=108ù-2_18ù=72ù  72ù

12

ADE는 ADÓ=AEÓ인 이등변삼각형이므로 ∠EAD=180ù-2_78ù=24ù ∴ ∠EAB=24ù+90ù=114ù

이때 ABÓ=ADÓ=AEÓ이므로 △ABE는 이등변삼각형이다.

∠ABE= 12 _(180ù-114ù)=33ù이므로

(23)

2. 사각형의 성질

13

⑤ 평행사변형이 마름모가 되는 조건이다.  ⑤

14

ABCD가 등변사다리꼴이므로 ∠DCB=∠B=70ù 또, ADÓBCÓ이므로 ∠ACB=∠DAC=35ù(엇각) ∴ ∠DCA=70ù-35ù=35ù 따라서 △ACD는 이등변삼각형이므로 ADÓ=DCÓ=ABÓ=10(cm)  10`cm

15

∠B=∠C=72ù이므로 △ABE에서 ∠BAE=180ù-(90ù+72ù)=18ù ∴ `x=18 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 F라고 하면 EFÓ=ADÓ=7(cm) △ABE와 △DCF에서 ABÓ=DCÓ, ∠B=∠C, ∠AEB=∠DFC=90ù 이므로 △ABEª△DCF(RHA 합동) BEÓ =CFÓ= 12 (BCÓ-EFÓ) = 12 _(13-7)=3(cm)y=3`x+y=18+3=21 21

16

∠A+∠B=180ù이므로 _+○=90ù ∴ ∠HEF=∠AEB=90ù(맞꼭지각) ∠B+∠C=180ù이므로 ○+△=90ù ∴ ∠EHG=90ù ∠C+∠D=180ù이므로 △+●=90ù ∴ ∠HGF=∠DGC=90ù(맞꼭지각) ∠D+∠A=180ù이므로 ●+_=90ù ∴ ∠EFG=90ù 따라서 EFGH는 직사각형이므로 EFGH에 대한 설명으로 옳 지 않은 것은 ④이다.  ④

17

⑤ ∠A=∠B인 마름모 ABCD는 정사각형이다.  ⑤ A 7`cm 13`cm y`cm B C D E F 72° x°

18

두 대각선의 길이가 같은 사각형은 ㄷ, ㅁ, ㅂ의 3개이므로 a=3 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형이 마름모가 되는 것은 ㄷ, ㅁ, ㅂ의 3개이므로 b=3a+b=3+3=6 6

19

EFGH는 정사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형이므 로 정사각형이다. ∴ ABCD =2EFGH =2_(8_8)=128(cmÛ`)  128`cmÛ`

20

AEÓDBÓ이므로 △ABD=△DEB

∴ ABCD =△ABD+△DBC =△DEB+△DBC =△DEC = 12 _(2_12)_9=108(cmÛ`)  ⑤

21

BMÓ=MCÓ이므로 AMC= 12ABC= 12 _60=30(cmÛ`) APÓ`:`PCÓ=7`:`3이므로 △AMP`:`△PMC=7`:`3 ∴ △PMC= 310AMC= 310 _30=9(cmÛ`)  ①

22

BCÓ=BFÓ+CFÓ=BFÓ+AEÓ=4+6=10(cm)이므로 ABCD=10_10=100(cmÛ`) ∴ △OBC= 14 ABCD=14 _100=25(cmÛ`) 이때 △OBF`:`△OFC=BFÓ`:`CFÓ=4`:`6=2`:`3이므로 △OBF= 25OBC= 25 _25=10(cmÛ`)  ②

23

ANÓ`:`NÕMÓ=2`:`1이므로

AND = 23AMD= 23 _12△ACD

= 23 _12 _12 ABCD=16 ABCD

= 16 _36=6(cmÛ`)

AOD = 14 ABCD=14 _36=9(cmÛ`)

∴ △AON =△AOD-△AND

(24)

24

OBÓ`:`ODÓ=5`:`4이므로 △OAB`:`△ODA=5`:`4 즉, △OAB`:`16=5`:`4이므로

4△OAB=80 ∴ △OAB=20(cmÛ`)

이때 △ABD=△ACD이므로

△OCD =△ACD-△ODA=△ABD-△ODA

=△OAB=20(cmÛ`)

또, OBÓ`:`ODÓ=5`:`4이므로 △OBC`:`△OCD=5`:`4 즉, △OBC`:`20=5`:`4이므로

4△OBC=100 ∴ △OBC=25(cmÛ`)

∴ ABCD =△OAB+△OBC+△OCD+△ODA

=20+25+20+16=81(cmÛ`)  81`cmÛ`

25

∠AEB=∠DAE(엇각)이므로 ∠BAE=∠BEA 즉, △ABE는 이등변삼각형이므로 BEÓ=ABÓ=9(cm) yy`30% 또, ∠DFC=∠ADF(엇각)이므로 ∠CDF=∠CFD 즉, △DFC는 이등변삼각형이므로 CFÓ=CDÓ=9(cm) yy`30% 이때 BCÓ=ADÓ=15(cm)이므로 BEÓ+CFÓ-EFÓ=15

9+9-EFÓ=15 ∴ EFÓ=3(cm) yy`40%

 3`cm

26

△ABE와 △BCF에서 ∠ABE=∠BCF=90ù, ABÓ=BCÓ, BEÓ=CFÓ 이므로 △ABEª△BCF(SAS 합동) ∴ ∠BAE=∠CBF yy 30% ∴ ∠BGE =180ù-(∠GBE+∠GEB) =180ù-(∠BAE+∠GEB) =180ù-90ù=90ù yy 40% 따라서 △BEG에서 ∠GBE+∠BGE=125ù이므로

∠GBE+90ù=125ù ∴ ∠GBE=35ù yy 30%

 35ù

27

APQ = 13ABD= 13 _12 ABCD

= 16 ABCD=16 _48=8(cmÛ`) yy 40%CQP = 13BCD= 13 _12 ABCD = 16 ABCD=16 _48=8(cmÛ`) yy 40% ∴ APCQ =△APQ+△CQP =8+8=16(cmÛ`) yy 20%  16`cmÛ`

28

△ABC가 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C 또, ACÓEPÓ이므로 ∠C=∠EPB(동위각) ∴ ∠B=∠EPB 즉, △EBP는 EBÓ=EPÓ인 이등변삼각형이다. 이때 AEÓDPÓ, ADÓEPÓ에서 AEPD는 평행사변형이므로 AEPD의 둘레의 길이는 2(AEÓ+EPÓ) =2(AEÓ+EBÓ)=2 ABÓ =2_8=16(cm)  16`cm

29

△ABG와 △DFG에서 ABÓ=DFÓ, ∠ABG=∠DFG(엇각), ∠BAG=∠FDG(엇각) 이므로 △ABGª△DFG(ASA 합동) ∴ AGÓ=DGÓ= 12 ADÓ=ABÓ △ABH와 △ECH에서 ABÓ=ECÓ, ∠BAH=∠CEH(엇각), ∠ABH=∠ECH(엇각) 이므로 △ABHª△ECH(ASA 합동) ∴ BHÓ=CHÓ= 12 ADÓ=ABÓ 즉, AGÓBHÓ, AGÓ=BHÓ이므로 ABHG는 평행사변형이고, ABÓ=AGÓ이므로 평행사변형 ABHG는 마름모이다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.  ④

30

EFÓ`:`ECÓ=1`:`(1+4)=1`:`5이므로 △AEF`:`△AEC=1`:`5 즉, 2`:`△AEC=1`:`5이므로 △AEC=10(cmÛ`) 또, AEÓ`:`ABÓ=2`:`(2+5)=2`:`7이므로 △AEC`:`△ABC=2`:`7 즉, 10`:`△ABC=2`:`7이므로 2△ABC=70 ∴ △ABC=35(cmÛ`)  35`cmÛ` 다른 풀이 AEÓ`:`EBÓ=2`:`5이므로 △AEC`:`△EBC=2`:`5 ∴ △AEC= 27△ABC 또, EFÓ`:`FCÓ=1`:`4이므로 △AEF`:`△AFC=1`:`4

∴ △AEF = 15AEC= 15 _27△ABC = 235△ABC

따라서 2= 235△ABC이므로

(25)

1. 도형의 닮음 Ⅱ. 도형의 닮음

1.

도형의 닮음

닮음의 뜻

01

개념

본교재 | 62 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 점 F ⑵ DEÓ ⑶ ∠E

2

⑴  ⑵  ⑶ ×

2

⑶ 오른쪽 그림의 두 직사각 형은 넓이가 모두 12`cmÛ` 이지만 닮은 도형이 아니 다. 본교재 | 63 쪽

대표

유형

11 -1 FHÓ, 면 EGH 1 -22 ㄱ, ㄹ, ㅁ 2 -1 ③, ⑤ 1 -1 BDÓ에 대응하는 모서리는 FHÓ이고, 면 ACD에 대응하는 면은 면 EGH이다.  FHÓ, 면 EGH 1 -2 ④ 면 ABFE에 대응하는 면은 면 IJNM이다.  ④ 2 -1 (닮은 도형이 아닌 예) ③ 60ù 3`cm 3`cm 3`cm 3`cm ⑤ 70ù 70ù 3`cm 6`cm 2`cm 5`cm 따라서 항상 닮은 도형이라고 할 수 없는 것은 ③, ⑤이다.  ③, ⑤

닮음의 성질

02

개념

본교재 | 64 쪽 개념 콕콕

1

⑴ 3`:`2 ⑵ 12`cm ⑶ 50ù

2

⑴ 3`:`4 ⑵ 8`cm 3`cm 6`cm 4`cm 2`cm

1

⑴ BCÓ`:`EFÓ=9`:`6=3`:`2 ⑵ ABÓ`:`DEÓ=3`:`2이므로 ABÓ`:`8=3`:`2 2ABÓ=24 ∴ ABÓ=12(cm) ⑶ ∠E=∠B=50ù

2

⑴ EFÓ`:`EÕ'F'Ó=9`:`12=3`:`4 ⑵ CFÓ`:`CÕ'F'Ó=3`:`4이므로 6`:`CÕ'F'Ó=3`:`4 3 CÕ'F'Ó=24 ∴ CÕ'F'Ó=8(cm) 본교재 | 65 쪽

대표

유형

33 -13 -2 33`cm 4 12 4 -147 4 -2 12`cm 3 -1 ① ABCD와 EFGH의 닮음비는 BCÓ`:`FGÓ=8`:`6=4`:`3 ∴ DCÓ`:`HGÓ=4`:`3 ② ABÓ`:`EFÓ=4`:`3이므로 ABÓ`:`3=4`:`3 3ABÓ=12 ∴ ABÓ=4(cm) ③ ADÓ`:`EHÓ=4`:`3이므로 5`:`EHÓ=4`:`3 4EHÓ=15 ∴ EHÓ= 154 (cm) ④ ∠F=∠B=60ù ⑤ ∠A=∠E=140ù이므로 ∠H=∠D=360ù-(140ù+60ù+80ù)=80ù 따라서 옳은 것은 ③이다.  ③ 3 -2 ACÓ`:`DFÓ=3`:`5이므로 ACÓ`:`15=3`:`5 5ACÓ=45 ∴ ACÓ=9(cm) BCÓ`:`EFÓ=3`:`5이므로 BCÓ`:`20=3`:`5 5BCÓ=60 ∴ BCÓ=12(cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 ABÓ+BCÓ+CAÓ=12+12+9=33(cm)  33`cm 4 -1 면 ABC에 대응하는 면이 면 A'B'C'이므로 ∠CAB=∠C'A'B'=35ù ∴ x=35 두 삼각기둥의 닮음비는 EFÓ`:`EÕ'F'Ó=10`:`8=5`:`4 CFÓ`:`CÕ'F'Ó=5`:`4이므로 15`:`y=5`:`4 5y=60 ∴ y=12x+y=35+12=47 47

수치

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참조

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