⑶ 오른쪽 그림의 두 직사각 형은 넓이가 모두 12`cmÛ`
이지만 닮은 도형이 아니 다.
본교재 | 63 쪽
대표 유형
1 ④ 1 -1 FHÓ, 면 EGH 1 -2 ④ 2 ㄱ, ㄹ, ㅁ 2 -1 ③, ⑤
1 -1
BDÓ에 대응하는 모서리는 FHÓ이고, 면 ACD에 대응하는 면은 면
EGH이다. FHÓ, 면 EGH
1 -2
④ 면 ABFE에 대응하는 면은 면 IJNM이다. ④
2 -1
(닮은 도형이 아닌 예)
③
60ù
3`cm 3`cm
3`cm 3`cm
⑤
70ù
70ù 3`cm
6`cm 2`cm
5`cm
따라서 항상 닮은 도형이라고 할 수 없는 것은 ③, ⑤이다. ③, ⑤
닮음의 성질
02
개념
본교재 | 64 쪽
개념 콕콕
1
⑴ 3`:`2 ⑵ 12`cm ⑶ 50ù2
⑴ 3`:`4 ⑵ 8`cm3`cm 6`cm
4`cm 2`cm
1
⑴ BCÓ`:`EFÓ=9`:`6=3`:`2
⑵ ABÓ`:`DEÓ=3`:`2이므로 ABÓ`:`8=3`:`2 2ABÓ=24 ∴ ABÓ=12(cm)
⑶ ∠E=∠B=50ù
2
⑴ EFÓ`:`EÕ'F'Ó=9`:`12=3`:`4
⑵ CFÓ`:`CÕ'F'Ó=3`:`4이므로 6`:`CÕ'F'Ó=3`:`4 3 CÕ'F'Ó=24 ∴ CÕ'F'Ó=8(cm)
본교재 | 65 쪽
대표 유형
3 ⑤ 3 -1 ③ 3 -2 33`cm
4 12 4 -1 47 4 -2 12`cm
3 -1
① ABCD와 EFGH의 닮음비는 BCÓ`:`FGÓ=8`:`6=4`:`3 ∴ DCÓ`:`HGÓ=4`:`3
② ABÓ`:`EFÓ=4`:`3이므로 ABÓ`:`3=4`:`3 3ABÓ=12 ∴ ABÓ=4(cm)
③ ADÓ`:`EHÓ=4`:`3이므로 5`:`EHÓ=4`:`3 4EHÓ=15 ∴ EHÓ= 154 (cm)
④ ∠F=∠B=60ù
⑤ ∠A=∠E=140ù이므로
∠H=∠D=360ù-(140ù+60ù+80ù)=80ù
따라서 옳은 것은 ③이다. ③
3 -2
ACÓ`:`DFÓ=3`:`5이므로 ACÓ`:`15=3`:`5 5ACÓ=45 ∴ ACÓ=9(cm)
BCÓ`:`EFÓ=3`:`5이므로 BCÓ`:`20=3`:`5 5BCÓ=60 ∴ BCÓ=12(cm) 따라서 △ABC의 둘레의 길이는
ABÓ+BCÓ+CAÓ=12+12+9=33(cm) 33`cm
4 -1
면 ABC에 대응하는 면이 면 A'B'C'이므로
∠CAB=∠C'A'B'=35ù ∴ x=35 두 삼각기둥의 닮음비는
EFÓ`:`EÕ'F'Ó=10`:`8=5`:`4
CFÓ`:`CÕ'F'Ó=5`:`4이므로 15`:`y=5`:`4 5y=60 ∴ y=12
∴ x+y=35+12=47 47
05
두 삼각뿔의 닮음비는 ADÓ`:`EHÓ=12`:`9=4`:`3 CDÓ`:`GHÓ=4`:`3이므로 x`:`6=4`:`3
3x=24 ∴ x=8
BCÓ`:`FGÓ=4`:`3이므로 10`:`y=4`:`3 4y=30 ∴ y= 152
∴ xy=8_ 152 =60 60
06
작은 원뿔의 높이를 x`cm라고 하면 10`:`x=5`:`4, 5x=40 ∴ x=8
따라서 작은 원뿔의 높이는 8`cm이다. 8`cm
07
두 원기둥의 닮음비는 9`:`15=3`:`5
큰 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 3`:`r=3`:`5, 3r=15 ∴ r=5
따라서 큰 원기둥의 부피는
p_5Û`_15=375p(cmÜ`) 375p`cmÜ`
삼각형의 닮음 조건
03
개념
본교재 | 67 쪽
개념 콕콕
1
⑴ BCÓ, DEÓ, 2, △DFE, SSS ⑵ FDÓ, 3, ∠F, △FDE, SAS ⑶ ∠F, ∠D, △EFD, AA1
⑴ △ABC와 △DFE에서 ABÓ`:`DFÓ=3`:`6=1`:`2 , BCÓ `:`FEÓ=2`:`4=1`:` 2 , ACÓ`:` DEÓ =4`:`8=1`:` 2 ∴ △ABC»△DFE ( SSS 닮음)
⑵ △ABC와 △FDE에서 ABÓ`:` FDÓ =12`:`9=4`:` 3 , ACÓ`:`FEÓ=8`:`6=4`:`3 , ∠A= ∠F =80ù
∴ △ABC»△FDE ( SAS 닮음) 4 -2
두 원기둥의 닮음비는 12`:`16=3`:`4
작은 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 r`:`8=3`:`4, 4r=24 ∴ r=6
따라서 작은 원기둥의 밑면의 지름의 길이는
2_6=12(cm) 12`cm
본교재 | 66 쪽
01
⑤02
③, ④03
②04
④05
6006
8`cm07
375p`cmÜ`배운대로
해결하기
01
① 점 A의 대응점은 점 D이다.
② ACÓ의 대응변은 DEÓ이다.
③ BCÓ의 대응변은 FEÓ이다.
④ ∠B의 대응각은 ∠F이다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다. ⑤
02
(닮은 도형이 아닌 예)
③
70ù110ù 120 ù 60ù
5`cm 5`cm ④ 2`cm
2`cm 3`cm
1`cm
따라서 항상 닮은 도형이라고 할 수 없는 것은 ③, ④이다. ③, ④
03
① ∠D=∠H=70ù, ∠E=∠A=83ù
②, ⑤ ABCD와 EFGH의 닮음비는 BCÓ`:`FGÓ=8`:`4=2`:`1
ABÓ`:`EFÓ=2`:`1이므로 ABÓ`:`4=2`:`1 ∴ ABÓ=8(cm)
③ ADÓ`:`EHÓ=2`:`1이므로 12`:`EHÓ=2`:`1 2EHÓ=12 ∴ EHÓ=6(cm)
④ CDÓ`:`GHÓ=2`:`1
따라서 옳지 않은 것은 ②이다. ②
04
원 O와 원 O'의 닮음비가 2`:`3이므로 원 O'의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 4`:`r=2`:`3, 2r=12 ∴ r=6
따라서 원 O'의 둘레의 길이는 2p_6=12p(cm) ④
Ⅱ- 1. 도형의 닮음 본교재 | 70 쪽
대표 유형
3 ⑴ △ABC»△AED, SAS 닮음 ⑵ 18`cm 3 -1 ⑴ △ABC»△EDC, SAS 닮음 ⑵ 4`cm 3 -2 92 `cm
4 ⑴ △ABC»△DAC, AA 닮음 ⑵ 143 `cm 4 -1 ⑴ △ABC»△AED, AA 닮음 ⑵ 9`cm 4 -2 ②
3 -1
⑴ △ABC와 △EDC에서 ACÓ`:`ECÓ=10`:`5=2`:`1, BCÓ`:`DCÓ=14`:`7=2`:`1, ∠C는 공통
∴ △ABC»△EDC(SAS 닮음)
⑵ BÕAÓ`:`DEÓ=2`:`1이므로
8`:`DEÓ=2`:`1, 2DEÓ=8 ∴ DEÓ=4(cm)
⑴△ABC»△EDC, SAS 닮음 ⑵ 4`cm
3 -2
△ABC와 △DBA에서 ABÓ`:`DBÓ=6`:`4=3`:`2, BCÓ`:`BAÓ=(4+5)`:`6=3`:`2,
∠B는 공통
∴ △ABC»△DBA(SAS 닮음) 따라서 ACÓ`:`DAÓ=3`:`2이므로
ACÓ`:`3=3`:`2, 2ACÓ=9 ∴ ACÓ= 92 (cm) 92 `cm
4 -1
⑴ △ABC와 △AED에서 ∠ABC=∠AED, ∠A는 공통 ∴ △ABC»△AED(AA 닮음)
⑵ ACÓ`:`ADÓ=ABÓ`:`AEÓ이므로
ACÓ`:`3=(3+9)`:`4, 4ACÓ=36 ∴ ACÓ=9(cm) ⑴△ABC»△AED, AA 닮음 ⑵ 9`cm
4 -2
△ABC와 △EBD에서
∠BCA=∠BDE=90ù, ∠B는 공통
∴ △ABC»△EBD(AA 닮음) 따라서 ABÓ`:`EBÓ=BCÓ`:`BDÓ이므로
(ADÓ+4)`:`6=(6+2)`:`4, 4(ADÓ+4)=48
4ADÓ=32 ∴ ADÓ=8(cm) ②
⑶ △ABC와 △EFD에서 ∠B= ∠F =30ù,
∠C=180ù-(110ù+30ù)=40ù= ∠D ∴ △ABC»△EFD ( AA 닮음)
본교재 | 68 쪽
대표 유형
1 △ABC»△MNO, SSS 닮음
△DEF»△PRQ, AA 닮음 1 -1 ③
2 ① 2 -1 ③
1 -1
③ △ABC와 △KJL에서 ABÓ`:`KJ ò=6`:`12=1`:`2, BCÓ`:`JLò=8`:`16=1`:`2, ∠B=∠J=50ù
∴ △ABC»△KJL(SAS 닮음) ③
2 -1
③ △ABC와 △DEF에서
ABÓ`:`DEÓ=ACÓ`:`DFÓ=1`:`2이므로 ∠A=∠D이면 △ABC»△DEF(SAS 닮음) ③
보충 설명
2a=d의 조건을 추가하면
△ABC»△DEF(SSS 닮음)
삼각형의 닮음 조건의 응용
04
개념
본교재 | 69 쪽
개념 콕콕
1
⑴ ACÓ, 1, ∠A, △ADB, SAS ⑵ ∠ACB, ∠B, △EBD, AA1
⑴ △ABC와 △ADB에서 ABÓ`:`ADÓ=4`:`2=2`:` 1 , ACÓ `:`ABÓ=8`:`4=2`:` 1 , ∠A 는 공통
∴ △ABC»△ADB ( SAS 닮음)
⑵ △ABC와 △EBD에서 ∠ACB =∠EDB, ∠B 는 공통
∴ △ABC»△EBD ( AA 닮음)
△DBF와 △FCE에서
7`:`FEÓ=8`:`10, 8FEÓ=70 ∴ FEÓ= 354 (cm)
∴ AEÓ=FEÓ= 354 (cm) 354 `cm
ACÓÛ`=CDÓ_CBÓ이므로 6Û`=x_10 ∴ x= 185 이때 BDÓ=10- 185 =32
5 (cm)이고, ABÓÛ`=BDÓ_BCÓ이므로 yÛ`= 325 _10=64 ∴ y=8`(∵ y>0)
∴ △ABC= 12_(2+8)_4=20(cmÛ`) 20`cmÛ`
6 -1
9`:`(15-12)=15`:`FEÓ, 9FEÓ=45 ∴ FEÓ=5(cm) 5`cm
6 -2
Ⅱ- 1. 도형의 닮음
∠A=360ù-(90ù+65ù+72ù)=133ù
② ∠H=∠D=72ù
③, ⑤ ABCD와 EFGH의 닮음비는 ADÓ`:`EHÓ=6`:`8=3`:`4
따라서 ABÓ`:`EFÓ=3`:`4이므로
9`:`EFÓ=3`:`4, 3EFÓ=36 ∴ EFÓ=12(cm)
④ BCÓ`:`FGÓ=3`:`4
따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④
03
ABCD»DAEF이므로 ABÓ`:`DÕAÓ=ADÓ`:`DFÓ 12`:`8=8`:`DFÓ, 12DFÓ=64 ∴ DFÓ= 163 (cm)
∴ AEÓ=DFÓ= 163 (cm) 163 `cm
6`:`DEÓ=3`:`2, 3DEÓ=12 ∴ DEÓ=4(cm) 4`cm
05
ADÓÛ`=BDÓ_CDÓ이므로 yÛ`= 94_4=9
∴ y=3`(∵ y>0)
∴ x+y= 94 +3=21
4 214