숨마쿰라우데 스타트업 중학수학 2 하 서브노트

중학 수학

₂

하

스타트업

sub note

정답 및 해설

❶ 삼각형의 성질

1. 이등변삼각형과 직각삼각형

0001 ⑴ ∠A ⑵ BCÓ ⑶ ∠B, ∠C 0002 ⑴ ∠C ⑵ ABÓ ⑶ ∠A, ∠B 0003 ⑴ ∠B ⑵ ACÓ ⑶ ∠A, ∠C 0004 7, 7 0005 5 0006 8 0007 36 cm 이등변삼각형 본문  15쪽

01

0005 ∠A가 꼭지각이므로 ACÓ=ABÓ=5 cm ∴ x=5 0006 ∠A가 꼭지각이므로 ACÓ=ABÓ=8 cm ∴ x=8 0007 ∠A가 꼭지각이므로 ABÓ=ACÓ=10 cm 따라서

△

ABC의 둘레의 길이는 10+10+16=36(cm) 0008 55ù 0009 80, 50 0010 75ù 0011 110ù 0012 65ù 0013 100ù 0014 126ù 0015 ∠x=45ù, ∠y=90ù 이등변삼각형의 성질 ⑴ 본문  16쪽

02

0008

△

ABC가 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C ∴ ∠x=55ù 0010

△

ABC에서 ∠B=∠C이므로 ∴ ∠x=;2!;_(180ù-30ù)=75ù 0011

△

ABC에서 ∠B=∠C=35ù이므로 ∠x=180ù-2_35ù=110ù 0012 ∠ACB=180ù-115ù=65ù

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠x=∠ACB=65ù 0013 ∠ABC=180ù-140ù=40ù이므로 ∠x=180ù-2_40ù=100ù 0014 ∠ACB=;2!;_(180ù-72ù)=54ù이므로 ∠x=180ù-54ù=126ù 0015 ∠ACB=180ù-135ù=45ù이므로 ∠x=∠ACB=45ù ∴ ∠y=180ù-2_45ù=90ù 0016 90ù 0017 35ù 0018 45ù 0019 40ù 0020 6, 6 0021 8 0022 5 0023 74 이등변삼각형의 성질 ⑵ 본문  17쪽

03

0018 ADÓ⊥BCÓ이고, BDÓ=CDÓ이므로 ∠BAD=∠CAD=45ù ∴ ∠x=180ù-(90ù+45ù)=45ù 0019 BDÓ=CDÓ이므로 ADÓ⊥BCÓ    ∴ ∠ADB=90ù 또 ∠B=∠C=50ù이므로 ∠x=180ù-(90ù+50ù)=40ù 0021 x=2_4=8 0022 x=;2!;_10=5 0023 ∠A=2_30ù=60ù ∠x=180ù-(30ù+90ù)=60ù ∴ x=60 ∴ ∠C=∠B=60ù 따라서

△

ABC는 정삼각형이므로 ACÓ=BCÓ=2_7=14 ∴ y=14 ∴ x+y=60+14=74 0024 3 0025 2 0026 5 0027 6 0028 35, 8, 8 0029 7 0030 100 이등변삼각형이 되는 조건 본문  18쪽

04

0026 ∠A=180ù-(40ù+70ù)=70ù 즉, ∠A=∠C이므로 BCÓ=ABÓ=5 cm ∴ x=5 0027 ∠B=180ù-(72ù+36ù)=72ù 즉, ∠A=∠B이므로 ACÓ=BCÓ=6 cm ∴ x=6 0029 ∠A+∠B=110ù이므로 55ù+∠B=110ù ∴ ∠B=55ù 즉, ∠A=∠B이므로 BCÓ=ACÓ=7 cm ∴ x=7

0030 ∠B=∠C=65ù이므로

△

ABC는 이등변삼각형이다. 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 ∠ADC=90ù ∴ x=90 BCÓ=2 BDÓ=2_5=10(cm) ∴ y=10 ∴ x+y=90+10=100 0031 ∠CBA, CBÓ, 2 0032 8 0033 4 0034 56, 62 0035 56ù 0036 55 폭이 일정한 종이 접기 본문  19쪽

05

0032 ∠BAC=∠DAC(접은 각), ∠ACB=∠DAC(엇각) ∴ ∠BAC=∠ACB 따라서

△

ABC는 이등변삼각형이므로 x=8 0033 ∠CAB=∠BAD(접은 각), ∠CBA=∠BAD(엇각) ∴ ∠CAB=∠CBA 따라서

△

ABC는 이등변삼각형이므로 x=4 0035 ∠CBD=∠x(엇각), ∠ABC=∠CBD=∠x(접은 각)

△

ABC에서 112ù=∠ABC+∠ACB=2∠x ∴ ∠x=56ù 0036 ∠BAC=∠DAC=65ù(접은 각) ∠BCA=∠DAC=65ù(엇각) 따라서

△

ABC는 BAÓ=BCÓ인 이등변삼각형이므로 x=5 ∠y=180ù-2_65ù=50ù ∴ y=50 ∴ x+y=5+50=55 0037 72, 36, 72, 36, 36 0038 110ù 0039 45ù 0040 15ù 0041 27, 27, 81 0042 108ù 0043 84ù 0044 22ù 이등변삼각형의 성질의 활용 ⑴ 본문  20쪽

06

0038

△

ABC에서 ∠C=_{;2!;_(180ù-40ù)=70ù}

△

BCD에서 ∠BDC=∠C=70ù ∴ ∠x=180ù-∠BDC=180ù-70ù=110ù 0039

△

ABC에서 ∠ABC=∠C=75ù

△

BCD에서 ∠DBC=180ù-2_75ù=30ù ∴ ∠x=75ù-30ù=45ù 0040

△

ABC에서 ∠B=∠BCA=_{;2!;_(180ù-50ù)=65ù}

△

DBC에서 ∠BCD=180ù-2_65ù=50ù ∴ ∠x=65ù-50ù=15ù 0042

△

ABC에서 ∠ABC=;2!;_(180ù-84ù)=48ù   ∴ ∠ABD=;2!;_48ù=24ù

△

ABD에서 ∠x=84ù+24ù=108ù 0043

△

ABC에서 ∠BCA=;2!;_(180ù-52ù)=64ù   ∴ ∠ACD=;2!;_64ù=32ù

△

ADC에서 ∠x=52ù+32ù=84ù 0044

△

ABC에서 ∠ABC=∠ACB=;2!;_(180ù-44ù)=68ù ∴ ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_68ù=34ù ∠ACE=180ù-68ù=112ù이므로 ∠DCE=;2!;_112ù=56ù 따라서

△

DBC에서 56ù=34ù+∠x ∴ ∠x=22ù 0045 110, 110, 35 0046 60ù 0047 65ù 0048 20ù 0049 120ù 0050 2∠x, 2∠x, 3∠x, 20 0051 35ù  0052 36ù 이등변삼각형의 성질의 활용 ⑵ 본문  21쪽

07

0046

△

ABD에서 ∠BAD=∠B=30ù ∴ ∠ADC=∠B+∠BAD=30ù+30ù=60ù

△

ADC에서 ∠x=_{;2!;_(180ù-60ù)=60ù} 0047

△

ADC에서 ∠CAD=∠C=25ù ∴ ∠ADB=∠C+∠CAD=25ù+25ù=50ù

△

ABD에서 ∠x=_{;2!;_(180ù-50ù)=65ù} 0048

△

ABD에서 ∠DAB=∠B=70ù ∴ ∠ADC=∠DAB+∠B=70ù+70ù=140ù

△

ADC에서 ∠x=;2!;_(180ù-140ù)=20ù 0049

△

ABC에서 ∠ACB=∠B=15ù ∴ ∠DAC=15ù+15ù=30ù 1. 이등변삼각형과 직각삼각형

3

△

DAC에서 ∠D=∠DAC=30ù이므로 ∠x=180ù-2_30ù=120ù 0051

△

ABC에서 A x x 2x2x C B D 105ù ∠ACB=∠B=∠x ∴ ∠DAC  =∠B+∠ACB =∠x+∠x=2∠x

△

ACD에서 ∠D=∠DAC=2∠x

△

BCD에서 ∠B+∠D=105ù이므로 ∠x+2∠x=105ù 3∠x=105ù ∴ ∠x=35ù 0052

△

ABD에서 ∠ABD=∠A=∠x이므로 A x x x 2x 2x B C D ∠BDC=∠x+∠x=2∠x

△

BCD에서 ∠C=∠BDC=2∠x

△

ABC에서 ∠B=∠C=2∠x 따라서

△

ABC에서 ∠x+2∠x+2∠x=180ù이므로 5∠x=180ù ∴ ∠x=36ù 0053 16 cm 0054 ∠x=52ù, ∠y=76ù 0055 64 0056 4 0057 71ù 0058 30ù 0059 42ù 0060 36ù 본문  22쪽

Mini Review Test

핵심 01~07 0053 ∠C가 꼭지각이므로 CBÓ=CAÓ=5 cm 따라서

△

ABC의 둘레의 길이는 5+6+5=16(cm) 0054 ∠x=∠ABC=180ù-128ù=52ù ∠y=180ù-2_52ù=76ù 0055 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 ADÓ⊥BCÓ, CDÓ=BDÓ=6 cm ∴ x=6 즉, ∠y=180ù-(90ù+32ù)=58ù이므로 y=58 ∴ x+y=6+58=64 0056

△

ABC에서 ∠A=50ù-25ù=25ù이므로

△

ABC는 BAÓ=BCÓ인 이등변삼각형이다. ∴ x=4 0057 ∠BAC=∠x(접은 각), ∠ACB=∠x(엇각) ∴ ∠BAC=∠ACB ∴ ∠x=;2!;_(180ù-38ù)=71ù 0058

△

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠ACB=∠B=;2!;_(180ù-40ù)=70ù …… ❶

△

CDB에서 CDÓ=CBÓ이므로 ∠CDB=∠B=70ù ∴ ∠BCD=180ù-2_70ù=40ù …… ❷ ∴ ∠x=70ù-40ù=30ù …… ❸ 채점 기준 배점 ❶ ∠ACB의 크기 구하기 40 % ❷ ∠BCD의 크기 구하기 40 % ❸ ∠x의 크기 구하기 20 % 0059 ∠ABC=∠ACB=;2!;_(180ù-84ù)=48ù이므로 ∠DBC=;2!;_48ù=24ù 또 ∠ACE=180ù-48ù=132ù이므로 ∠DCE=;2!;_132ù=66ù

△

DBC에서 ∠DCE=∠DBC+∠D이므로 66ù=24ù+∠x ∴ ∠x=42ù 0060

△

ABD에서 DBÓ=DAÓ이므로 ∠ABD=∠x ∴ ∠BDC=∠x+∠x=2∠x

△

BCD에서 ∠C=∠BDC=2∠x

△

ABC에서 ∠x+2∠x=108ù 3∠x=108ù    ∴ ∠x=36ù 0061 ∠E, ∠D, ASA 0062 ∠F, DEÓ, ∠D, RHA 0063

△

ABC≡

△

EFD (RHA 합동) 0064

△

ABC≡

△

DFE (RHA 합동) 직각삼각형의 합동 조건 ⑴–RHA 합동 본문  23쪽

08

0063

△

ABC와

△

EFD에서 ∠B=∠F=90ù, ACÓ=EDÓ=2 cm, ∠C=∠D=30ù ∴

△

ABC≡

△

EFD ( RHA 합동) 0064

△

ABC와

△

DFE에서 ∠C=∠E=90ù, ABÓ=DFÓ=10 cm ∠F=180ù-(35ù+90ù)=55ù이므로 ∠B=∠F=55ù ∴

△

ABC≡

△

DFE ( RHA 합동) 0065 180, ABÓ, ∠E, RHA 0066 ∠E, DFÓ, EFÓ, RHS 0067

△

ABC≡

△

EFD (RHS 합동) 0068

△

ABC≡

△

EFD (RHS 합동) 직각삼각형의 합동 조건 ⑵–RHS 합동 본문  24쪽

09

0067

△

ABC와

△

EFD에서 ∠A=∠E=90ù, BCÓ=FDÓ=10 cm, ABÓ=EFÓ=6 cm ∴

△

ABC≡

△

EFD ( RHS 합동) 0068

△

ABC와

△

EFD에서 ∠C=∠D=90ù, ABÓ=EFÓ=17 cm, BCÓ=FDÓ=8 cm ∴

△

ABC≡

△

EFD ( RHS 합동) 0069

△

ABC≡

△

KLJ (RHA 합동) 0070

△

ABC≡

△

KJL (RHA 합동),  

△

DEF≡

△

HIG (RHS 합동) 0071 4 0072 3 0073 5 0074 6 cm 직각삼각형의 합동 조건 본문  25쪽

10

0071

△

ABC와

△

FDE에서 ∠C=∠E=90ù, ABÓ=FDÓ=8 cm, ∠D=180ù-(90ù+30ù)=60ù=∠B ∴

△

ABC≡

△

FDE ( RHA 합동) 따라서 BCÓ=DEÓ=4 cm이므로 x=4 0072

△

ABC와

△

EFD에서 ∠A=∠E=90ù, ACÓ=EDÓ=4 cm, BCÓ=FDÓ=5 cm ∴

△

ABC≡

△

EFD ( RHS 합동) 따라서 EFÓ=ABÓ=3 cm이므로 x=3 0073

△

ABC와

△

EFD에서 ∠C=∠D=90ù, ABÓ=EFÓ=13 cm, ACÓ=EDÓ=12 cm ∴

△

ABC≡

△

EFD ( RHS 합동) 따라서 CBÓ=DFÓ=5 cm이므로 x=5 0074

△

ABC와

△

DFE에서 ∠B=∠F=90ù, ACÓ=DEÓ, ∠C=180ù-(90ù+25ù)=65ù=∠E ∴

△

ABC≡

△

DFE ( RHA 합동) ∴ EFÓ=CBÓ=6 cm 0075

△

EAC, 3, 4, 3, 4, 7, 7 0076 8 0077 2 0078

△

BEC, 12, 12, 42 0079 32 cmÛ` 0080 ⑴ 50 cmÛ` ⑵ 26 cmÛ` 직각삼각형의 합동 조건의 활용 ⑴ 본문  26쪽

11

0076

△

ADB≡

△

BEC ( RHA 합동)이므로 DBÓ=ECÓ=8 cm ∴ x=8 0077

△

DBA≡

△

EAC ( RHA 합동)이므로 AEÓ=BDÓ=4 cm, DAÓ=ECÓ=x cm 이때 DAÓ+AEÓ=DEÓ이므로 x+4=6 ∴ x=2 0079

△

ADB≡

△

BEC ( RHA 합동)이므로 DBÓ=ECÓ=3 cm, BEÓ=ADÓ=5 cm ∴ DEÓ=DBÓ+BEÓ=3+5=8 (cm) ∴



ADEC=;2!;_(5+3)_8=32 (cmÛ`) 0080 ⑴

△

DBA≡

△

EAC ( RHA 합동)이므로 ⑴ AEÓ=BDÓ=6 cm, DAÓ=ECÓ=4 cm ⑴ DEÓ=DAÓ+AEÓ=6+4=10 (cm) ⑴ ∴



DBCE=_{;2!;_(6+4)_10=50 (cmÛ`)} ⑵

△

DBA=

△

EAC=_{;2!;_6_4=12 (cmÛ`)} ⑵ ∴

△

ABC=DBCE-

△

DBA-

△

EAC

⑵ ∴

△

ABC=50-2_12=26 (cmÛ`) 0081

△

ADE, ∠DAE, 50, 25 0082 46ù 0083 72ù 0084 4, 4, 30 0085 18 cmÛ` 0086 58 직각삼각형의 합동 조건의 활용 ⑵ 본문  27쪽

12

0082

△

ABE≡

△

ADE(RHS 합동)이므로 ∠DAE=∠BAE=22ù ∴ ∠A=22ù_2=44ù ∴ ∠x=90ù-44ù=46ù 0083

△

DEC≡

△

BEC ( RHS 합동)이므로 ∠ECD=∠ECB=18ù

△

DEC에서 ∠x=180ù-(90ù+18ù)=72ù 0085

△

ABE≡

△

ADE ( RHS 합동)이므로 DEÓ=BEÓ=6 cm

△

DEC에서 ∠DEC=∠C=45ù이므로 DCÓ=DEÓ=6 cm ∴

△

DEC=;2!;_6_6=18(cmÛ`) 1. 이등변삼각형과 직각삼각형

5

0086

△

ACE≡

△

ADE ( RHS 합동)이므로 ∠AED=∠AEC=90ù-28ù=62ù ∴ ∠x=180ù-2_62ù=56ù ∴ x=56 또 CEÓ=DEÓ=2 cm이므로 y=2 ∴ x+y=56+2=58 0087 RHA, 2 0088 2 0089 12 0090 3 0091 RHS, 25 0092 21ù 0093 77ù  0094 66ù 각의 이등분선의 성질 본문  28쪽

13

0088 ∠DBE=∠CBE이므로

△

DBE≡

△

CBE ( RHA 합동) 따라서 BDÓ=BCÓ=6 cm이므로

x=8-6=2

0089 ∠DBE=∠CBE이므로

△

DBE≡

△

CBE ( RHA 합동) 따라서 BDÓ=BCÓ=8 cm이므로

x=8+4=12

0090 ∠DAE=∠CAE이므로

△

ADE≡

△

ACE ( RHA 합동) ∴ DEÓ=CEÓ=3 cm

△

DBE에서 ∠DBE=180ù-(90ù+45ù)=45ù 따라서 ∠DBE=∠DEB이므로 BDÓ=DEÓ ∴ x=3

0092 DEÓ=CEÓ이므로

△

DBE≡

△

CBE ( RHS 합동)

∠DBE=∠CBE이고

∠ABC=90ù-48ù=42ù ∴ ∠x=;2!;_42ù=21ù

0093 BEÓ=DEÓ이므로

△

CBE≡

△

CDE ( RHS 합동)

∠BCE=∠DCE이고

∠C=180ù-(64ù+90ù)=26ù이므로 ∠BCE=;2!;∠C=;2!;_26ù=13ù 따라서

△

EBC에서

∠x=180ù-(90ù+13ù)=77ù

0094 CEÓ=DEÓ이므로

△

ACE≡

△

ADE ( RHS 합동)

∠CAE=∠DAE이고 ∠A=90ù-42ù=48ù이므로 ∠CAE=;2!;_48ù=24ù ∴ ∠x=90ù-24ù=66ù 0095 4 cm 0096 ③ 0097 ②, ⑤ 0098 17 cmÛ` 0099 ④ 0100 ④ 본문  29쪽

Mini Review Test

핵심 08~13 0095

△

ABC와

△

EFD에서 ∠B=∠F=90ù, CAÓ=DEÓ=5 cm, ∠D=180ù-(90ù+37ù)=53ù=∠C ∴

△

ABC≡

△

EFD (RHA 합동) ∴ EFÓ=ABÓ=4 cm 0096 ① RHA 합동 ② RHS 합동 ③ 세 각이 각각 같다고 합동이 될 수 없다. ④ SAS 합동 ⑤ ∠A=∠D, ∠C=∠F=90ù이므로 ∠B=∠E ∴

△

ABC≡

△

DEF ( ASA 합동) 0097 ② ㄱ과 ㅂ → RHA 합동 ⑤ ㄷ과 ㄹ → RHS 합동 0098

△

DBA≡

△

EAC ( RHA 합동)이므로 AEÓ=BDÓ=5 cm, DAÓ=ECÓ=3 cm ∴ DEÓ=DAÓ+AEÓ=3+5=8(cm) 이때 사다리꼴 DBCE의 넓이는 ;2!;_(5+3)_8=32(cmÛ`) …… ❶

△

DBA=

△

EAC=;2!;_5_3=:Á2°:(cmÛ`) …… ❷ ∴

△

ABC=32-2__{:Á2°:=17(cmÛ`)} …… ❸ 채점 기준 배점 ❶  DBCE의 넓이 구하기 50 % ❷ △DBA의 넓이 구하기 30 % ❸ △ABC의 넓이 구하기 20 % 0099

△

ABE에서 ∠BEA=90ù-24ù=66ù

△

ADE≡

△

ABE (RHS 합동)이므로 ∠AED=∠AEB=66ù ∴ ∠x=180ù-(66ù+66ù)=48ù ∴ x=48 또한 ABÓ=ADÓ이므로 y=3 ∴ x+y=48+3=51

0100 CEÓ=DEÓ이므로

△

ACE≡

△

ADE ( RHS 합동) ∠CAE=∠DAE이고 ∠A=90ù-30ù=60ù이므로 ∠CAE=;2!;_60ù=30ù

2. 삼각형의 외심과 내심

0101 ㄱ 0102 ㄹ 0103 ◯ 0104

×

0105 ◯ 0106

×

0107 ◯ 0108 ◯ 삼각형의 외심과 뜻과 성질 본문  33쪽

01

0103 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다. 0107

△

OAB는 OAÓ=OBÓ인 이등변삼각형이므로 ∠OAD=∠OBD 0108

△

OAD와

△

OBD에서 ADÓ=BDÓ, ODÓ는 공통, ∠ODA=∠ODB=90ù ∴

△

OAD≡

△

OBD (SAS 합동) 0109 5 0110 6 0111 4 0112 2 0113 124, 28 0114 140ù 0115 54ù 0116 30 cm 삼각형의 외심의 성질 본문  34쪽

02

0110 x=2_3=6 0111 x=;2!;_8=4 0114

△

OAB는 OAÓ=OBÓ인 이등변삼각형이므로 ∠x=180ù-2_20ù=140ù 0115

△

OCA는 OCÓ=OAÓ인 이등변삼각형이므로 ∠x=;2!;_(180ù-72ù)=54ù 0116 CEÓ=BEÓ=6 cm, BDÓ=ADÓ=5 cm, CFÓ=AFÓ=4 cm 따라서

△

ABC의 둘레의 길이는 2_(6+5+4)=30(cm) 0117 6 0118 16 0119 5 0120 10 0121 36, 36, 54 0122 50ù 0123 32ù 0124 36p cmÛ` 삼각형의 외심의 위치 본문  35쪽

03

0118 x=2_8=16 0119 x=;2!;_10=5 0120 x=2_5=10 0122

△

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=25ù ∴ ∠x=25ù+25ù=50ù 0123

△

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=∠OBC=∠x 64ù=∠x+∠x ∴ ∠x=32ù 0124

△

ABC의 외접원의 반지름의 길이는 ;2!;_ABÓ=;2!;_12=6(cm) 따라서 외접원의 넓이는 p_6Û`=36p(cmÛ`) 0125 90, 15 0126 25ù 0127 28ù 0128 110ù 0129 26ù 0130 36ù 0131 62ù 0132 22ù 삼각형의 외심을 이용하여 각의 크기 구하기 ⑴ 본문  36쪽

04

0126 ∠OAC=∠OCA=45ù이므로 A B x O C 20ù 45ù 45ù ∠x+20ù+45ù=90ù ∴ ∠x=25ù 0127 ∠OAC=∠OCA=24ù이므로 A B C O x 38ù 24ù 24ù 38ù+∠x+24ù=90ù ∴ ∠x=28ù 0128 ∠OAC+21ù+34ù=90ù이므로 A B C Ox 34ù 21ù 35ù ∠OAC=35ù 이때

△

OCA에서 ∠OCA=∠OAC=35ù이므로 ∠x=180ù-(35ù+35ù)=110ù 0129 OAÓ를 그으면

△

OCA는 이등변삼각 A B C O x 46ù 18ù 18ù 형이므로 ∠OAC=∠OCA=18ù 즉, 46ù+∠x+18ù=90ù이므로 ∠x=26ù 2. 삼각형의 외심과 내심

7

0130 OCÓ를 그으면

△

OCA는 이등변삼각 A B x C 30ù 24ù O x 형이므로 ∠OCA=∠OAC=∠x 즉, 30ù+24ù+∠x=90ù이므로 ∠x=36ù 0131 OAÓ를 그으면

△

OAB는 이등변삼각 A B C x 28ù 42ù 20ù 42ù O 형이므로 ∠OAB=∠OBA=42ù 즉, ∠OAC+42ù+28ù=90ù이므로 ∠OAC=20ù ‌∴ ∠x‌=∠OAB+∠OAC =42ù+20ù=62ù 0132 OCÓ를 그으면 ∠OCA=∠OAC=40ù A B C x 40ù 40ù 28ù O ∴ ∠OCB=68ù-40ù=28ù 즉, ∠x+28ù+40ù=90ù이므로 ∠x=22ù 0133 60, 120 0134 70ù 0135 90ù 0136 108ù 0137 55ù 0138 25ù 0139 100ù 0140 ∠x=100ù, ∠y=50ù 삼각형의 외심을 이용하여 각의 크기 구하기 ⑵ 본문  37쪽

05

0134 ∠x=;2!;_140ù=70ù 0135 ∠C=20ù+25ù=45ù이므로 ∠x=2_45ù=90ù 0136

△

OAB는 이등변삼각형이므로 ∠OBA=∠OAB=30ù 즉, ∠ABC=30ù+24ù=54ù이므로 ∠x=2∠ABC=2_54ù=108ù 0137

△

OBC는 이등변삼각형이므로 ∠BOC=180ù-2_35ù=110ù ∴ ∠x=;2!;∠BOC=;2!;_110ù=55ù 0138 ∠AOC=2_65ù=130ù ∴ ∠x=;2!;_(180ù-130ù)=25ù

0139 OAÓ를 그으면

△

OAB,

△

OCA는 각각

x B C A 24ù 24ù 26ù 26ù O 이등변삼각형이므로 ∠OAB=∠OBA=24ù, ∠OAC=∠OCA=26ù 즉, ∠BAC=24ù+26ù=50ù이므로 ∠x=2∠BAC=2_50ù=100ù 0140 ∠OAC=∠OCA=40ù이므로 ∠x=180ù-(40ù+40ù)=100ù ∴ ∠y=;2!;∠x=;2!;_100ù=50ù 0141 ④ 0142 x=10, y=6 0143 47ù 0144 67 0145 100p cmÛ` 0146 70ù 0147∠x=75ù, ∠y=150ù 본문  38쪽

Mini Review Test

핵심 01~05 0142 x=2_5=10, y=6 0143 ∠AOC=360ù-(130ù+144ù)=86ù

△

OCA에서 OCÓ=OAÓ이므로 ∠x=;2!;_(180ù-86ù)=47ù 0144 ∠A=180ù-(90ù+30ù)=60ù 점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ 이때

△

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OBA=∠A=60ù 즉, ∠y=180ù-2_60ù=60ù이므로 y=60 …… ❶ 따라서

△

OAB는 정삼각형이므로 ABÓ=OBÓ=OAÓ=OCÓ=;2!; ACÓ=;2!;_14=7(cm) ∴ x=7 …… ❷ ∴ x+y=7+60=67 …… ❸ 채점 기준 배점 ❶ y의 값 구하기 40 % ❷ x의 값 구하기 40 % ❸ x+y의 값 구하기 20 %

0145 OAÓ=OBÓ=OCÓ=10 cm이므로

△

ABC의 외접원 O의 넓 이는 p_10Û`=100p(cmÛ`) 0146

△

OBC는 이등변삼각형이므로 A O B 140ù C 20ù x y ∠OBC=∠OCB ∠OBC=;2!;_(180ù-140ù) ∠OBC=20ù 이때 점 O가

△

ABC의 외심이므로 ∠OBC+∠x+∠y=90ù, 20ù+∠x+∠y=90ù ∴ ∠x+∠y=70ù

0147 OCÓ를 그으면

△

OBC,

△

OCA는 A O B 30ù C 30ù 45ù 45ù y 이등변삼각형이므로 ∠OCB=∠OBC=30ù, ∠OCA=∠OAC=45ù ∴ ∠x=30ù+45ù=75ù ∴ ∠y=2∠x=2_75ù=150ù 0148 ㄷ 0149 ㄴ 0150 ◯ 0151

×

0152 ◯ 0153 ◯ 0154

×

0155 ◯ 삼각형의 내심의 뜻과 성질 본문  39쪽

06

0150 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다. 0153 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이다. 0154 ∠IAD=∠IAF, ∠IBD=∠IBE이지만 항상 ∠IAD=∠IBD인 것은 아니다. 0155

△

IEC와

△

IFC에서 ∠ECI=∠FCI, ICÕ는 공통, ∠IEC=∠IFC=90ù ∴

△

IEC≡

△

IFC ( RHA 합동) 0156 2 0157 3 0158 7 0159 10 0160 30ù 0161 40ù 0162 25ù 0163 ∠x=24ù, ∠y=48ù 삼각형의 내심의 성질 본문  40쪽

07

0158

△

IBD≡

△

IBE이므로 BDÓ=BEÓ ∴ x=7 0159

△

IAF≡

△

IAD이므로 AFÓ=ADÓ ∴ x=10 0162 ∠IBC=∠IBA=20ù이므로

△

IBC에서 ∠x=180ù-(135ù+20ù)=25ù 0163 ∠x=∠IAC=24ù이므로 △ABI에서 ∠ABI=180ù-(108ù+24ù)=48ù ∴ ∠y=∠ABI=48ù 0164 90, 30 0165 35ù 0166 40ù 0167 22ù 0168 30ù 0169 33ù 0170 60ù 0171 ∠x=45ù, ∠y=25ù 삼각형의 내심을 이용하여 각의 크기 구하기 ⑴ 본문  41쪽

08

0165 ∠x+25ù+30ù=90ù ∴ ∠x=35ù 0166 ∠BAI=∠CAI=30ù이므로 ∠x+20ù+30ù=90ù ∴ ∠x=40ù 0167 ∠CBI=;2!;∠B=26ù이므로 42ù+26ù+∠x=90ù ∴ ∠x=22ù 0168 ICÓÕ를 그으면 C B A I x 24ù 72ù ∠BCI=;2!;∠C=36ù이므로 ∠x+24ù+36ù=90ù ∴ ∠x=30ù 0169 IAÓ를 그으면 C B A I _x 30ù 54ù ∠IAC=;2!;∠A=27ù이므로 27ù+30ù+∠x=90ù ∴ ∠x=33ù 0170 IBÓÕ를 그으면 C B A I x 35ù 25ù 25ù+35ù+∠IBC=90ù이므로 ∠IBC=30ù ∴ ∠x=2∠IBC=2_30ù=60ù 0171 ∠ICA=∠ICB=45ù이므로 ∠x=45ù C B A I 45ùx y 40ù IAÓ를 그으면 ∠BAI=;2!;∠A=20ù이므로 20ù+45ù+∠y=90ù ∴ ∠y=25ù 0172 70, 125 0173 122ù 0174 30ù 0175 80ù 0176 84, 132, 132, 22 0177 ∠x=15ù, ∠y=100ù 0178 ∠x=120ù, ∠y=60ù 삼각형의 내심을 이용하여 각의 크기 구하기 ⑵ 본문  42쪽

09

2. 삼각형의 외심과 내심

9

0173 ∠x=90ù+;2!;_64ù=122ù 0174 105ù=90ù+;2!;∠x, ;2!;∠x=15ù ∴ ∠x=30ù 0175 130ù=90ù+;2!;∠x, 40ù=;2!;∠x ∴ ∠x=80ù 0177 ∠IAB=∠IAC=25ù, ∠IBA=∠IBC=∠x이므로

△

IAB에서 ∠x=180ù-(140ù+25ù)=15ù 140ù=90ù+;2!;∠y ∴ ∠y=100ù 0178 ∠IAC=∠IAB=45ù이므로

△

AIC에서 ∠x=180ù-(45ù+15ù)=120ù 120ù=90ù+;2!;∠y ∴ ∠y=60ù 0179 6, 4, 6, 4, 10, 10 0180 7 0181 3 0182 7, 12 0183 20 cm 0184 25 cm 삼각형의 내심과 평행선 본문  43쪽

10

0180 EIÕ=ECÓ=3 cm이므로 DBÓ=DIÕ=10-3=7(cm) ∴ x=7 0181 DIÓÕ=DBÓ=4 cm이므로 ECÓ=EIÕ=7-4=3(cm) ∴ x=3 0183 (

△

ADE의 둘레의 길이)  =ABÓ+ACÓ =8+12=20(cm) 0184 (

△

ABC의 둘레의 길이) =CAÓ+ABÓ+BCÓ =(ADÓ+DEÓ+EAÓ)+BCÓ =(5+6+4)+10=25(cm) 0185 42, 84, 42, 111 0186 ∠x=144ù, ∠y=126ù 0187 ∠x=128ù, ∠y=122ù 0188 90, 70, 70, 140 0189 ∠x=50ù, ∠y=115ù 0190 240ù 삼각형의 외심과 내심 본문  44쪽

11

0186 ∠x=2∠A=2_72ù=144ù ∠y=90ù+;2!;∠A ∠y=90ù+;2!;_72ù=126ù 0187 ∠x=2∠A=2_64ù=128ù ∠y=90ù+;2!;∠A ∠y=90ù+_{;2!;_64ù=122ù} 0189 ∠x=;2!;∠BOC=;2!;_100ù=50ù ∠y=90ù+;2!;∠x ∠y=90ù+;2!;_50ù=115ù 0190 ∠A=180ù-(48ù+72ù)=60ù ∴ ∠BOC=2∠A=2_60ù=120ù ∠BIC=90ù+;2!;∠A ∠BIC=90ù+;2!;_60ù=120ù ∴ ∠BIC+∠BOC=120ù+120ù=240ù 0191 72, 72, 54, 36, 72, 72, 36, 54, 36, 18 0192 9ù 0193 30ù 0194 12ù 0195 15ù 이등변삼각형의 외심과 내심 본문  45쪽

12

0192 점 O는

△

ABC의 외심이므로 ∠BOC=2_48ù=96ù ∴ ∠OCB=;2!;_(180ù-96ù)=42ù

△

ABC는 이등변삼각형이므로 ∠C=;2!;_(180ù-48ù)=66ù 점 I는

△

ABC의 내심이므로 ∠ICB=;2!;_66ù=33ù ∴ ∠x=∠OCB-∠ICB=42ù-33ù=9ù 0193

△

ABC는 이등변삼각형이므로 ∠A=180ù-2_80ù=20ù 점 O는

△

ABC의 외심이므로 ∠BOC=2_20ù=40ù ∴ ∠OBC=;2!;_(180ù-40ù)=70ù 점 I는

△

ABC의 내심이므로

∠IBC=;2!;_80ù=40ù ∴ ∠x=∠OBC-∠IBC=70ù-40ù=30ù 0194

△

ABC는 이등변삼각형이므로 ∠A=180ù-2_68ù=44ù 점 O는

△

ABC의 외심이므로 ∠BOC=2_44ù=88ù ∴ ∠OCB=;2!;_(180ù-88ù)=46ù 점 I는

△

ABC의 내심이므로 ∠ICB=;2!;_68ù=34ù ∴ ∠x=∠OCB-∠ICB=46ù-34ù=12ù 0195

△

ABC는 이등변삼각형이므로 AOÓ는 꼭지각의 이등분선 이다. 즉, ∠A=2_20ù=40ù이므로 ∠C=;2!;_(180ù-40ù)=70ù 점 O는

△

ABC의 외심이므로 ∠BOC=2_40ù=80ù ∴ ∠OCB=;2!;_(180ù-80ù)=50ù 점 I는

△

ABC의 내심이므로 ∠ICB=;2!;_70ù=35ù ∴ ∠x=∠OCB-∠ICB=50ù-35ù=15ù 0196 5 0197 6, 6, 4, 4 0198 4 0199 14 0200 12 0201 x, 6-x, 7-x, 6-x, 7-x, 2 0202 8 0203 5 삼각형의 내심과 내접원 ⑴ 본문  46쪽

13

0198 ADÓ=AFÓ=3 cm이므로 BEÓ=BDÓ=7-3=4(cm) ∴ x=4 0199 ECÓ=CFÓ=5 cm, BEÓ=BDÓ=9 cm이므로 BCÓ=BEÓ+ECÓ=9+5=14(cm) ∴ x=14 0200 ADÓ=AFÓ=4 cm이므로 BEÓ=BDÓ=11-4=7(cm) 이때 CEÓ=CFÓ=5 cm이므로 BCÓ=BEÓ+CEÓ=7+5=12(cm) ∴ x=12 0202 BDÓ=BEÓ=x cm이므로 AFÓ=ADÓ=(12-x) cm, CFÓ=CEÓ=(14-x) cm 이때 CAÓ=CFÓ+AFÓ이므로 (14-x)+(12-x)=10 2x=16 ∴ x=8 0203 CEÓ=CFÓ=x cm이므로 ADÓ=AFÓ=(8-x) cm, BDÓ=BEÓ=(7-x) cm 이때 ABÓ=ADÓ+BDÓ이므로 (8-x)+(7-x)=5 2x=10 ∴ x=5 0204 3, 12, 48 0205 60 cmÛ` 0206 84 cmÛ` 0207 2.6 cm 0208 2 cm 0209 p cmÛ` 삼각형의 내심과 내접원 ⑵ 본문  47쪽

14

0205

△

ABC=;2!;_3_(8+17+15)

△

ABC=60 (cmÛ`) 0206

△

ABC=;2!;_4_(13+15+14)

△

ABC=84 (cmÛ`) 0207 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 ;2!;_r_(10+10+8)=36.4 14r=36.4 ∴ r=2.6 따라서 내접원의 반지름의 길이는 2.6 cm이다. 0208 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 ;2!;_12_5=;2!;_r_(5+12+13) 30=15r ∴ r=2 따라서 내접원의 반지름의 길이는 2 cm이다. 0209

△

ABC=;2!;_4_3=6(cmÛ`) 이때 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 6=;2!;_r_(4+3+5) ∴ r=1 ∴ (내접원의 넓이)=p_1Û`=p(cmÛ`) 2. 삼각형의 외심과 내심

11

0210 ⑤ 0211 40ù 0212 ∠x=127ù, ∠y=23ù 0213 31.5 cm 0214 60ù 0215 6ù 0216 24 0217 4p cmÛ`

본문  48쪽

Mini Review Test

핵심 06~14 0211 AÕIÕ를 그으면 ∠IBC=∠IBA=30ù이므로 A B C I 30ù 30ù 40ù ∠IAB+30ù+40ù=90ù ∴ ∠IAB=20ù ∴ ∠A=2_20ù=40ù 0212 ∠x=90ù+;2!;_74ù=90ù+37ù=127ù ∠ICB=∠ACI=30ù이므로

△

IBC에서 ∠y=180ù-(127ù+30ù)=23ù 0213 (

△

ABC의 둘레의 길이) =CAÓ+ABÓ+BCÓ =(ADÓ+DEÓ+EAÓ)+BCÓ =(6+7+8)+10.5 =31.5 (cm) 0214 외심과 내심이 일치하므로 ∠BIC=∠BOC에서 2∠x=90ù+;2!;∠x ∴ ∠x=60ù [참고] 정삼각형의 외심과 내심은 일치한다. 0215 점 O는

△

ABC의 외심이므로 104ù=2∠A ∴ ∠A=52ù …… ❶ ∠OBC=;2!;_(180ù-104ù)=38ù …… ❷

△

ABC는 이등변삼각형이므로 ∠B=;2!;_(180ù-52ù)=64ù ∴ ∠IBC=;2!;_64ù=32ù …… ❸ ∴ ∠OBI=∠OBC-∠IBC=38ù-32ù=6ù …… ❹ 채점 기준 배점 ❶ ∠A의 크기 구하기 30 % ❷ ∠OBC의 크기 구하기 30 % ❸ ∠IBC의 크기 구하기 30 % ❹ ∠OBI의 크기 구하기 10 % 0216 BDÓ=BFÓ=x cm이므로 AEÓ=AFÓ=(5-x) cm, CEÓ=CDÓ=(6-x) cm ∴ ACÓ=AEÓ+CEÓ ∴ ACÓ=(5-x)+(6-x)=7 4=2x ∴ x=2 따라서 y=6-2=4, z=5-2=3이므로 xyz=2_4_3=24 0217

△

ABC=;2!;_6_8=24 (cmÛ`) 이때 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 ;2!;_r_(10+6+8)=24, 12r=24 ∴ r=2 ∴ (내접원의 넓이)=p_2Û`=4p(cmÛ`)

❷ 사각형의 성질

3. 평행사변형의 성질

0218 80, 40 0219 ∠x=38ù, ∠y=65ù 0220 ∠x=30ù, ∠y=60ù 0221 ∠x=45ù, ∠y=35ù 0222 50ù 0223 60ù 0224 110ù 0225 80ù 평행사변형의 뜻 본문  53쪽

01

0219 ABÓ DCÓ이므로 ∠x=∠ACD=38ù(엇각) ADÓ BCÓ이므로 ∠y=∠CAD=65ù(엇각) 0220 ADÓ BCÓ이므로 ∠x=∠ADB=30ù(엇각) ABÓ DCÓ이므로 ∠y=∠BAC=60ù(엇각) 0221 ADÓ BCÓ이므로 ∠x=∠ACB=45ù(엇각) ABÓ DCÓ이므로 ∠y=∠ABD=35ù(엇각) 0222 ABÓ DCÓ이므로 ∠ABD=∠BDC=70ù(엇각)

△

ABD에서 60ù+70ù+∠x=180ù ∴ ∠x=50ù 0223 ABÓ DCÓ이므로 ∠BDC=∠ABD=45ù(엇각)

△

OCD에서 ∠x+75ù+45ù=180ù ∴ ∠x=60ù 0224 ABÓ DCÓ이므로 ∠ACD=∠BAC=30ù(엇각)

△

OCD에서 ∠x=30ù+80ù=110ù 0225 ADÓ BCÓ이므로 ∠BCA=∠DAC=55ù(엇각)

△

OBC에서 ∠x=25ù+55ù=80ù 0226 180, 72, 72, 78 0227 30ù 0228 140ù 0229 180, 60, 60 0230 72ù 0231 75ù 평행사변형의 뜻의 활용 본문  54쪽

02

0227 ∠A+∠B=∠A+75ù=180ù이므로 ∠A=105ù

△

AED에서 ∠x=180ù-(105ù+45ù)=30ù 0228 ∠C=∠A=100ù ∠A+∠D=100ù+∠D=180ù이므로 ∠D=80ù ∴ ∠ADE=;2!;_80ù=40ù ADÓ BCÓ이므로 ∠DEC=∠ADE=40ù ∴ ∠x=180ù-40ù=140ù 0230 ∠A+∠B=180ù이고 ∠A：∠B=3：2이므로 ∠B=180ù_ 2₃₊₂=72ù 따라서 ∠D=∠B이므로 ∠x=72ù 0231 ∠A+∠B=180ù이고 ∠A：∠B=5：4이므로 ∠B=180ù_ 4 5+4=80ù ∴ ∠D=∠B=80ù 따라서

△

AED에서 ∠x=180ù-(25ù+80ù)=75ù 0232 3, 4 0233 x=10, y=8 0234 x=2, y=3 0235 x=5, y=3 0236 125, 125, 55 0237 ∠x=100ù, ∠y=80ù 0238 ∠x=115ù, ∠y=35ù 0239 ∠x=70ù, ∠y=50ù 평행사변형의 성질 ⑴ 본문  55쪽

03

0233 ADÓ=BCÓ이므로 x=10 DCÓ=ABÓ이므로 y=8 0234 ABÓ=DCÓ이므로 5=2x+1 ∴ x=2 ADÓ=BCÓ이므로 9=3y ∴ y=3 0235 ADÓ=BCÓ이므로 x+2=2x-3 ∴ x=5 ABÓ=DCÓ이므로 2y-1=3y-4 ∴ y=3 0237 ∠A=∠C이므로 ∠x=100ù ∠B+∠C=180ù이므로 ∠B=180ù-100ù=80ù ∴ ∠y=80ù 0238 ∠C=∠A이므로 ∠x=115ù ∠A+∠D=180ù이므로 115ù+(30ù+∠y)=180ù ∴ ∠y=35ù 0239 ∠D=∠B이므로 ∠x=70ù ∠B+∠C=180ù이므로 70ù+(∠y+60ù)=180ù ∴ ∠y=50ù 3. 평행사변형의 성질

13

0240 6, 7 0241 x=3, y=4 0242 x=6, y=7 0243 x=3, y=2 0244 16 0245 9 0246 11 0247 36 0248 22 cm 평행사변형의 성질 ⑵ 본문  56쪽

04

0241 OBÓ=ODÓ이므로 x=3 OCÓ=OAÓ이므로 y=4 0242 OAÓ=;2!; ACÓ=;2!;_12=6 ∴ x=6 OBÓ=;2!; BDÓ=;2!;_14=7 ∴ y=7 0243 OAÓ=OCÓ이므로 2x-1=5 ∴ x=3 OBÓ=ODÓ이므로 3y=6 ∴ y=2 0244 ADÓ=BCÓ=16 0245 OAÓ=_{;2!; ACÓ=;2!;_18=9} 0246 ODÓ=;2!; BDÓ=;2!;_22=11 0247

△

OAD의 둘레의 길이는 9+16+11=36 0248 OCÓ=_{;2!; ACÓ=;2!;_16=8 (cm)} ODÓ=;2!; BDÓ=;2!;_12=6 (cm) 이때 ABÓ=DCÓ=8 cm이므로 (

△

OCD의 둘레의 길이)=8+6+8=22 (cm) 0249 8 0250 4, 7, 7, 3, 3 0251 7 0252 9 0253 12, 9, 12, 3, 3 0254 2 0255 3 평행사변형의 성질의 활용 ⑴ 본문  57쪽

05

0249 ∠BEA=∠DAE (엇각)이고 ∠DAE=∠BAE이므로 ∠BEA=∠BAE 따라서

△

ABE는 이등변삼각형이므로 BEÓ=BAÓ=8 cm ∴ x=8 0251 ∠CED=∠ADE (엇각)이고 ∠ADE=∠CDE이므로 ∠CED=∠CDE 따라서

△

CDE는 이등변삼각형이므로 ECÓ=CDÓ=x cm 이때 BCÓ=ADÓ=11 cm이므로 BCÓ-ECÓ=BEÓ에서 11-x=4 ∴ x=7 0252 ∠BEA=∠DAE (엇각)이고 ∠DAE=∠BAE이므로 ∠BEA=∠BAE 따라서

△

ABE는 이등변삼각형이므로 BEÓ=BAÓ=6 cm ADÓ=BCÓ=BEÓ+ECÓ=6+3=9(cm) ∴ x=9 0254 ∠CFB=∠ABF=∠CBF이므로

△

BCF는 이등변삼각형 이다. ∴ FCÓ=BCÓ=8 cm DCÓ=ABÓ=6 cm이므로 DFÓ=8-6=2(cm) ∴ x=2 0255 ∠BEA=∠DAE=∠BAE이므로

△

ABE는 이등변삼각형이다. ∴ BEÓ=BAÓ=6 cm ∠CFD=∠ADF=∠CDF이므로

△

DFC는 이등변삼각형이다. ∴ FCÓ=DCÓ=6 cm 즉, BCÓ=BEÓ+FCÓ-EFÓ이므로 9=6+6-x ∴ x=3 0256

△

FCE, 9, 9, 9, 18, 18 0257 12 0258 7 0259 4 0260 8 0261 6 평행사변형의 성질의 활용 ⑵ 본문  58쪽

06

0257

△

ABE≡

△

FCE(ASA 합동)이므로 CFÓ=ABÓ=6 cm 이때 DCÓ=ABÓ=6 cm이므로 DFÓ=DCÓ+CFÓ=6+6=12 (cm) ∴ x=12 0258

△

ABE≡

△

FCE(ASA 합동)이므로 CFÓ=ABÓ=x cm 이때 DCÓ=ABÓ=x cm이므로 DFÓ=DCÓ+CFÓ=x+x=14 ∴ x=7

0259

△

ABE≡

△

DFE(ASA 합동)이므로 DFÓ=ABÓ=x cm 이때 DCÓ=ABÓ=x cm이므로 FCÓ=DFÓ+DCÓ=x+x=8 ∴ x=4 0260

△

AED≡

△

FEC(ASA 합동)이므로 CFÓ=DAÓ=4 cm 이때 BCÓ=ADÓ=4 cm이므로 BFÓ=BCÓ+CFÓ=4+4=8 (cm) ∴ x=8 0261

△

AED≡

△

FEC(ASA 합동)이므로 CFÓ=DAÓ=x cm 이때 BCÓ=ADÓ=x cm이므로 BFÓ=BCÓ+CFÓ=x+x=12 ∴ x=6 0262 ③ 0263 ∠x=55ù, ∠y=95ù 0264 135ù 0265 67 0266 15 cm 0267 6 0268 2 0269 4 본문  59쪽

Mini Review Test

핵심 01~06 0263 ABÓDCÓ이므로 ∠x=∠ACD=55ù(엇각)

△

ABO에서 ∠y=55ù+40ù=95ù 0264 ∠A+∠B=180ù이고, ∠A：∠B=3：1이므로 ∠A=180ù_ 3 3+1=135ù ∴ ∠C=∠A=135ù 0265 ∠A=∠C=65ù 이때

△

ABD에서 65ù+55ù+∠x=180ù이므로 ∠x=60ù    ∴ x=60 또 BCÓ=ADÓ이므로 y=7 ∴ x+y=60+7=67 0266 AOÓ=;2!; ACÓ=;2!;_8=4(cm) BOÓ=;2!; BDÓ=;2!;_12=6(cm) 이때 ABÓ=DCÓ=5 cm이므로 (

△

OAB의 둘레의 길이)=4+6+5=15(cm) 0267

△

BCF는 이등변삼각형이므로 BFÓ=BCÓ 이때 BCÓ=ADÓ=16 cm이므로 BFÓ=16 cm ∴ FAÓ=BFÓ-ABÓ=16-10=6 (cm) ∴ x=6 0268 ∠DAE=∠AEB=∠BAE이므로

△

ABE는 이등변삼각 형이다. ∴ BEÓ=BAÓ=4 cm ∠ADF=∠CFD=∠CDF이므로

△

DFC는 이등변삼각형 이다. ∴ FCÓ=DCÓ=4 cm BCÓ=BEÓ+FCÓ-FEÓ에서 6=4+4-x ∴ x=2 0269

△

ABE≡

△

FCE(ASA 합동)이므로 CFÓ=ABÓ=2 cm 이때 DCÓ=ABÓ=2 cm이므로 DFÓ=DCÓ+CFÓ=2+2=4 (cm) ∴ x=4 0270 DCÓ, BCÓ 0271 DCÓ, BCÓ 0272 ∠C, ∠D 0273 OCÓ, ODÓ 0274 BCÓ, BCÓ 0275 ◯ 0276

×

0277 ◯ 0278

×

0279 ◯ 평행사변형이 되는 조건 ⑴ 본문  60쪽

07

0275 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. 0276 오른쪽 그림과 같이



ABCD는 A D B C ADÓ BCÓ이고, ABÓ=DCÓ이지만 평행사 변형이 아니다. 0277 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다. 0279 ∠ADB=∠DBC=25ù (엇각)이므로 ADÓ BCÓ ∠BAC=∠ACD=80ù (엇각)이므로 ABÓ DCÓ 즉, 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다. 0280

×

0281 ◯ 0282

×

0283 ◯ 0284

×

0285 ◯ 0286

×

0287 ◯ 0288

×

0289 ◯ 0290

×

0291 ◯ 평행사변형이 되는 조건 ⑵ 본문  61쪽

08

0280 ADÓ=BCÓ=6의 조건이 추가되어야 평행사변형이 된다. 0281 ∠ADB=∠DBC=25ù (엇각)이므로 ADÓ BCÓ 또 ADÓ=BCÓ=8 cm이므로  ABCD는 평행사변형이다. 0282 AOÓ=COÓ=5의 조건이 추가되어야 평행사변형이 된다. 0283 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. 3. 평행사변형의 성질

15

0284 ∠A+∠D=180ù이므로 ABÓ DCÓ 즉, ABÓ=DCÓ 또는 ADÓ BCÓ의 조건이 추가되어야 평행사변 형이 된다. 0285 ∠C+∠D=180ù이므로 ADÓ BCÓ 즉, ADÓ BCÓ, ABÓ DCÓ이므로 평행사변형이다. 0286 ∠B+∠C=180ù이므로 ABÓ DCÓ 즉, ABÓ=DCÓ 또는 ADÓ BCÓ의 조건이 추가되어야 평행사변 형이 된다. 0287 ∠D=360ù-(135ù+45ù+135ù)=45ù 즉, ∠A=∠C=135ù, ∠B=∠D=45ù이므로  ABCD는 평행사변형이다. 0288 AOÓ+COÓ, BOÓ+DOÓ이므로 평행사변형이 아니다. 0289 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. 0290 ∠A+∠B=180ù, ∠C+∠D=180ù이므로 ADÓ BCÓ 즉, ABÓ DCÓ 또는 ADÓ=BCÓ의 조건이 추가되어야 평행사변 형이 된다. 0291 ∠A+∠B=180ù, ∠B+∠C=180ù에서 ∠A=∠C ∴ ∠D  =360ù-(∠A+∠B+∠C) =360ù-(180ù+∠C) =180ù-∠C=∠B 따라서 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다. 0292 NCÓ, NCÓ, 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다. 0293 OCÓ, OFÓ, 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다. 0294 ∠C, ∠D,

△

CGF,

△

DHG, GFÓ, GHÓ, 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. 0295 ∠EDF, ∠DFB, 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. 평행사변형이 되는 조건 ⑶ 본문  62쪽

09

0296 8 cmÛ` 0297 4 cmÛ` 0298 8 cmÛ` 0299 8 cmÛ` 0300 18 cmÛ` 0301 10 cmÛ` 0302 12 cmÛ` 0303 18 cmÛ` 평행사변형과 넓이 본문  63쪽

10

0296

△

ACD=_{;2!;  ABCD=;2!;_16=8(cmÛ`)} 0297

△

OBC=;4!;  ABCD=;4!;_16=4(cmÛ`)

0298

△

OAB+

△

OCD=;2!;  ABCD=;2!;_16=8(cmÛ`)

0299

△

OBC+

△

OAD=;2!;  ABCD=;2!;_16=8(cmÛ`)

0300

△

ABC=

△

ACD=18(cmÛ`)

0301  ABCD=2

△

ABD=2_5=10(cmÛ`)

0302  ABCD=4

△

OBC=4_3=12(cmÛ`)

0303

△

ODA+

△

ABO+

△

OBC =;4#;  ABCD=;4#;_24=18(cmÛ`) 0304 14 cmÛ 0305 14 cmÛ` 0306 5 cmÛ 0307 6 cmÛ 0308 8 cmÛ 0309 12 cmÛ 0310 36 cmÛ 평행사변형과 넓이 ⑵ 본문  64쪽

11

0304

△

PAB+

△

PCD=;2!;  ABCD=;2!;_28=14(cmÛ`) 0305

△

PDA+

△

PBC=_{;2!;  ABCD=;2!;_28=14(cmÛ`)} 0306

△

PAB+

△

PCD =;2!;  ABCD=;2!;_28=14(cmÛ`) 9+

△

PCD=14 ∴

△

PCD=5(cmÛ`) 0307

△

PDA+

△

PBC=_{;2!;  ABCD=;2!;_28=14(cmÛ`)}

△

PDA+8=14 ∴

△

PDA=6(cmÛ`) 0308

△

PDA+

△

PBC  =

△

PAB+

△

PCD =3+5=8(cmÛ`) 0309

△

PAB+

△

PCD=

△

PDA+

△

PBC이므로 16+

△

PCD=18+10 ∴

△

PCD=28-16=12(cmÛ`)

0310

△

PDA+

△

PBC  =

△

PAB+

△

PCD =11+7=18(cmÛ`) ∴  ABCD=2_18=36(cmÛ`) 0311 ④ 0312 ③ 0313 ③ 0314 ⑤ 0315 16 cmÛ` 0316 ④ 본문  65쪽

Mini Review Test

핵심 07~11 0311 ③ ∠A+∠B=180ù이므로 ADÓ BCÓ 또 ADÓ=BCÓ이므로



ABCD는 평행사변형이다. ④ 오른쪽 그림과 같이



ABCD는 A D B C ADÓ BCÓ이고 ABÓ=DCÓ이지만 평 행사변형이 아니다. ADÓ=BCÓ 또는 ABÓ DCÓ의 조건이 추가되어야 평행 사변형이 된다. 0312 ① ∠A=115ù, ∠B=65ù이므로 ADÓ BCÓ이고, 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. ② ∠D=360ù-(110ù+70ù+110ù)=70ù 즉, 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다. ③ ABÓ+DCÓ, BCÓ+ADÓ이므로 평행사변형이 아니다. ④ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다. ⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같으므로 평행사변형 이다. 0313



ABCD는 평행사변형이므로 ∠BAP=∠DCQ, ABÓ=CDÓ 즉,

△

ABP≡

△

CDQ ( RHA 합동)이므로 BPÓ=DQÓ ∠BPQ=∠DQP (엇각)이므로 BPÓ DQÓ 따라서



PBQD는 평행사변형이다. ③ BQÓ=PQÓ인지 알 수 없다. 0314



ABCD=4

△

ABO=4_7=28(cmÛ`) 0315

△

APD+

△

BCP=_;2!;ABCD =;2!;_56=28(cmÛ`) …… ❶ 12+

△

BCP=28 ∴

△

BCP=28-12=16(cmÛ`) …… ❷ 채점 기준 배점 ❶ △APD+△BCP의 넓이 구하기 50 % ❷ △BCP의 넓이 구하기 50 % 0316

△

PAB+

△

PCD=

△

PDA+

△

PBC이므로 24+20=

△

PDA+18 ∴

△

PDA=26(cmÛ`)

4. 여러 가지 사각형의 성질

0317 x=4, y=7 0318 x=10, y=6 0319 x=6, y=12 0320 x=4, y=13 0321 ∠x=40ù, ∠y=90ù 0322 35, 35, 70 0323 ∠x=30ù, ∠y=60ù 0324 67 직사각형의 뜻과 성질 본문  70쪽

01

0319 OAÓ=OCÓ=6이므로 x=6 BDÓ=ACÓ=2_6=12이므로 y=12 0320 ODÓ=OCÓ이므로 3x+1=2x+5 ∴ x=4 y=3x+1=3_4+1=13 0321 ∠y=∠A=90ù

△

ABD에서 90ù+50ù+∠x=180ù ∴ ∠x=40ù 0323

△

AOD에서 OAÓ=ODÓ이므로 ∠ODA=∠OAD=∠x ∠x+∠x=60ù ∴ ∠x=30ù

△

ABO에서 OAÓ=OBÓ이고 ∠A=90ù이므로 ∠y=∠OAB=90ù-30ù=60ù 0324

△

OAD에서 OAÓ=ODÓ이므로 x=2

△

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBC=∠y 즉, ∠y+∠y=130ù이므로 ∠y=65ù ∴ y=65 ∴ x+y=2+65=67 0325 ◯ 0326

×

0327 ◯ 0328

×

0329 ◯ 0330 ◯ 0331 ◯ 0332

×

0333

×

0334 ◯ 0335 ◯ 0336

×

평행사변형이 직사각형이 되는 조건 본문  71쪽

02

0326 평행사변형이 마름모가 되는 조건이다. 0328 평행사변형의 성질이다. 0331 ∠A=∠C, ∠B=∠D이므로 ∠A=∠B이면 ∠A=∠B=∠C=∠D 따라서 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다. 4. 여러 가지 사각형의 성질

17

0332 평행사변형의 성질이다. 0333 평행사변형이 마름모가 되는 조건이다. 0335 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ이므로 OAÓ=ODÓ이면 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ ∴ ACÓ=BDÓ 따라서 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다. 0336 평행사변형의 성질이다. 0337 x=2, y=2 0338 x=3, y=2 0339 x=10, y=12 0340 x=3, y=4 0341 90, 30, 30 0342 ∠x=25ù, ∠y=130ù 0343 ∠x=50ù, ∠y=40ù 0344 42 마름모의 뜻과 성질 본문  72쪽

03

0339 x=2_5=10, y=2_6=12 0340 ADÓ=BCÓ이므로 3x-4=5 ∴ x=3 ABÓ=BCÓ이므로 y+1=5 ∴ y=4 0342

△

ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 ∠x=∠ABD=25ù ∴ ∠y=∠A=180ù-(25ù+25ù)=130ù 0343 ADÓ BCÓ이므로 ∠y=∠DAC=40ù

△

AOD에서 ∠AOD=90ù이므로 ∠x=180ù-(40ù+90ù)=50ù 0344 OCÓ=OAÓ이므로 x=7

△

ABO에서 ∠AOB=90ù이므로 ∠ABO=180ù-(55ù+90ù)=35ù

△

ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로 ∠ADO=∠ABO=35ù ∴ y=35 ∴ x+y=7+35=42 0345 ◯ 0346

×

0347

×

0348 ◯ 0349

×

0350 ◯ 0351

×

0352 ◯ 0353 ◯ 0354

×

0355

×

0356 ◯ 평행사변형이 마름모가 되는 조건 본문  73쪽

04

0346 평행사변형의 성질이다. 0347 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이다. 0349 ∠A=∠C, ∠B=∠D이므로 ∠A=∠B이면 ∠A=∠B=∠C=∠D 따라서 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다. 0351, 0354 평행사변형의 성질이다. 0355 ∠OBC=∠OCB이면 OBÓ=OCÓ 이때 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ ∴ ACÓ=BDÓ 따라서 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다. 0356 ADÓ BCÓ이므로 ∠DAC=∠ACB(엇각) 이때 ∠ACB=∠ACD이면 ∠DAC=∠ACD ∴ ADÓ=DCÓ 따라서 평행사변형 ABCD는 마름모가 된다. 0357 x=9, y=90 0358 x=3, y=90 0359 x=4, y=45 0360 x=45, y=70 0361 2 cm 0362 90ù 0363 4 cmÛ` 0364 8 cmÛ` 0365 72 cmÛ` 정사각형의 뜻과 성질 ⑴ 본문  74쪽

05

0357 정사각형의 네 변의 길이는 같으므로 ABÓ=ADÓ=9 cm ∴ x=9 정사각형의 네 내각의 크기가 모두 같으므로 ∠BCD=90ù ∴ y=90 0358 OAÓ=OBÓ=3 cm이므로 x=3 ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠COD=90ù ∴ y=90 0359 BDÓ=ACÓ=8 cm이므로 OBÓ=;2!; BDÓ=;2!;_8=4(cm) ∴ x=4

△

OBC에서 OBÓ=OCÓ이고 ∠BOC=90ù이므로 ∠OCB=45ù ∴ y=45 0360 ∠ADB=45ù이므로 x=45

△

AED에서 ∠y=25ù+45ù=70ù ∴ y=70 0361 BDÓ=ACÓ=4 cm이므로 OBÓ=;2!; BDÓ=;2!;_4=2(cm) 0363

△

ABC=_{;2!;_ACÓ_OBÓ=;2!;_4_2=4(cmÛ`)}

0364



ABCD  =

△

ABC+

△

ACD=2

△

ABC =2_4=8(cmÛ`) 0365 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ=6 cm이므로 BDÓ=2_6=12(cm) ∴



ABCD=

△

ABD+

△

BCD=2

△

BCD ∴ ABCD=2_{;2!;_12_6}=72(cmÛ`) 0366 45, SAS, 65, 45, 65, 110 0367 75ù 0368 55ù 0369 SAS, 120, 90, 90, 30 0370 40ù 0371 90ù 정사각형의 뜻과 성질 ⑵ 본문  75쪽

06

0367

△

ABP≡

△

ADP(SAS 합동)이므로 ∠ABP=∠ADP=30ù

△

ABP에서 ∠BPC=∠BAP+∠ABP이므로 ∠x=45ù+30ù=75ù 0368

△

ABP에서 ∠BPC=∠BAP+∠ABP이므로 100ù=45ù+∠ABP ∴ ∠ABP=55ù 한편

△

ABP≡

△

ADP(SAS 합동)이므로 ∠ADP=∠ABP=55ù ∴ ∠x=55ù 0370

△

ABE에서 ∠AEB=180ù-130ù=50ù이므로 ∠EAB=180ù-(50ù+90ù)=40ù 한편

△

ABE≡

△

BCF (SAS 합동)이므로 ∠CBF=∠BAE=40ù ∴ ∠x=40ù 0371

△

ABE≡

△

BCF (SAS 합동)이므로 ∠BAE=∠CBF 이때 ∠BAE+∠AEB=90ù이므로 ∠CBF+∠AEB=90ù

△

GBE에서 ∠x=∠CBF+∠AEB=90ù 0372 ◯ 0373

×

0374 ◯ 0375 ◯ 0376

×

0377 ◯ 0378

×

0379 ◯ 0380

×

0381

×

정사각형이 되는 조건 본문  76쪽

07

0373, 0376 직사각형의 성질이다. 0377 ∠A=∠C, ∠B=∠D이므로 ∠A=∠B이면 ∠A=∠B=∠C=∠D 따라서 마름모 ABCD는 정사각형이 된다. 0379 OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ이므로 OAÓ=OBÓ이면 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ ∴ ACÓ=BDÓ 따라서 마름모 ABCD는 정사각형이 된다. 0378, 0380, 0381 마름모의 성질이다. 0382 ◯ 0383

×

0384 ◯ 0385

×

0386 ◯ 0387

×

0388 마름모 0389 직사각형 0390 직사각형 0391 직사각형 0392 마름모 0393 정사각형 평행사변형이 정사각형이 되는 조건 본문  77쪽

08

0382 ABÓ=BCÓ이면 평행사변형 ABCD는 마름모가 되고, ACÓ=BDÓ이면 마름모 ABCD는 정사각형이 된다. 0383 ∠A=90ù, ACÓ=BDÓ이면 평행사변형 ABCD는 직사각형이 된다. 0384 ACÓ=BDÓ이면 평행사변형 ABCD는 직사각형이 되고, ACÓ⊥BDÓ이면 직사각형 ABCD는 정사각형이 된다.

0385 ABÓ=BCÓ, ACÓ⊥BDÓ이면 평행사변형 ABCD는 마름모가 된다. 0386 ∠A=90ù이면 평행사변형 ABCD는 직사각형이 되고, ACÓ⊥BDÓ이면 직사각형 ABCD는 정사각형이 된다. 0387 평행사변형 ABCD는 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ이면 ACÓ=BDÓ이므로 직사각형이 된다. 0388 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형은 마름모가 된다. 0389 한 내각의 크기가 직각인 평행사변형은 직사각형이 된다. 0390 평행사변형에서 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180ù이고, 그 두 내각의 크기가 같으면 한 내각의 크기가 각각 90ù이므로 직사각형이 된다. 4. 여러 가지 사각형의 성질

19

0391 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이 된다. 0392 두 대각선이 직교하는 평행사변형은 마름모가 된다. 0393 ∠A=90ù이면 평행사변형 ABCD는 직사각형이 되고, ABÓ=BCÓ이면 직사각형 ABCD는 정사각형이 된다. 0394 65 0395 ①, ④ 0396 90ù  0397 75ù 0398 20ù 0399 ①, ④ 0400 ②, ③ 본문  78쪽

Mini Review Test

핵심 01~08 0394 BDÓ=2 OAÓ=2_5=10(cm) ∴ x=10 OCÓ=ODÓ이므로 ∠OCD=∠ODC=∠y

△

OCD에서 2∠y=110ù, ∠y=55ù ∴ y=55 ∴ x+y=10+55=65 0395 ① 평행사변형이 마름모가 되는 조건이다. ② ∠A=∠C, ∠B=∠D이므로 ∠A=∠B이면 ∠A=∠B=∠C=∠D=90ù ③ 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이 된다. ④ 평행사변형의 성질이다. ⑤ ∠A+∠B=180ù, ∠B+∠C=180ù이므로 ∠A+∠C=180ù이면 ∠A=∠B=∠C=∠D=90ù 따라서



ABCD는 직사각형이 된다. 0396 ABÓ=BCÓ이므로 ∠ACB=∠y

△

BCO에서 ∠BOC=90ù이므로 ∠x+∠y=90ù 0397 ∠ADB=45ù이므로

△

AED에서 ∠x=180ù-(60ù+45ù)=75ù 0398

△

ABE≡

△

ADE(SAS 합동)이므로 ∠ADE=∠ABE=∠x

△

AED에서 45ù+∠x=65ù ∴ ∠x=20ù 0399 마름모가 정사각형이 되려면 두 대각선의 길이가 같거나 한 내 각의 크기가 90ù이어야 한다. ②, ③, ⑤ 마름모의 성질이다. 0400 ① 마름모가 된다. ④, ⑤ 직사각형이 된다. 0401 x=10, y=70 0402 x=7, y=65 0403 x=40, y=65 0404 x=80, y=40 0405 30, 30, 30, 30, 60 0406 70ù 0407 32ù 등변사다리꼴의 뜻과 성질 본문  79쪽

09

0402 등변사다리꼴은 두 대각선의 길이가 같으므로 x=7 ∠C+∠D=180ù이므로 ∠C+115ù=180ù ∴ ∠C=65ù ∴ y=65 0403 ADÓBCÓ이므로 ∠DBC=∠ADB=40ù ∴ x=40



ABCD는 등변사다리꼴이므로 ∠C  =∠ABC=∠ABD+∠DBC=25ù+40ù=65ù ∴ y=65 0404 ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=40ù

△

OAD와

△

OBC는 이등변삼각형이므로 ∠OCB=∠OBC=40ù ∴ ∠x=40ù+40ù=80ù ∴ x=80

∠OAD=∠ODA=40ù이므로 ∠y=40ù ∴ y=40

0406 ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=35ù (엇각) ABÓ=ADÓ이므로 ∠ABD=∠ADB=35ù



ABCD는 등변사다리꼴이므로  ∠x =∠ABC=∠ABD+∠DBC =35ù+35ù=70ù 0407 ADÓBCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=∠x (엇각) ABÓ=ADÓ이므로 ∠ABD=∠ADB=∠x



ABCD는 등변사다리꼴이므로 ∠ABC=∠C=64ù 즉, 2∠x=64ù이므로 ∠x=32ù 0408 6, 5, 평행사변형, 5, 정삼각형, 6, 6, 5, 11, 11 0409 2 0410 15 0411 5, 3, 직사각형, 5, 3, 8, 8 0412 4 0413 7 등변사다리꼴에서 보조선 사용하기 본문  80쪽

10

0409 점 A를 지나고 DCÓ와 평행한 선을 그 A B C D 60ù 60ù 60ù x`cm 3`cm E 5`cm 어 BCÓ와 만나는 점을 E라고 하자.  AECD는 평행사변형이므로 ECÓ=ADÓ=x cm 또 AEÓDCÓ이므로 ∠AEB=∠DCE=∠ABE=60ù 따라서

△

ABE는 정삼각형이므로 BEÓ=ABÓ=3 cm 즉, BCÓ=BEÓ+ECÓ에서 5=3+x ∴ x=2

0410 점 D를 지나고 ABÓ와 평행한 선을 A B _E C D 120ù x`cm 9`cm 6`cm 60ù 60ù 60ù 그어 BCÓ와 만나는 점을 E라고 하 자.  ABED는 평행사변형이므로 BEÓ=ADÓ=6 cm 또 ABÓDEÓ이므로 ∠DEC=∠ABE=∠DCE=180ù-120ù=60ù 따라서

△

DEC는 정삼각형이므로 ECÓ=DCÓ=ABÓ=9 cm 즉, BCÓ=BEÓ+ECÓ=6+9=15(cm) ∴ x=15 0412 점 D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 _A B _E C D 17`cm 9`cm F x`cm F라고 하면  AEFD는 직사각형 이므로 EFÓ=ADÓ=9 cm 이때

△

ABE≡

△

DCF(RHA 합동) 이므로 CFÓ=BEÓ=x cm 따라서 BCÓ=x+9+x=2x+9(cm)이므로 2x+9=17 ∴ x=4 0413 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 F _A B C E D F x`cm 10`cm 3`cm 라고 하면  AFED는 직사각형이므 로 FEÓ=ADÓ=x cm 이때

△

ABF≡

△

DCE(RHA 합동) 이므로 BFÓ=CEÓ=3 cm 즉, BEÓ=BFÓ+FEÓ이므로 3+x=10 ∴ x=7 0414 ㄷ 0415 ㄱ 0416 ㄹ 0417 ㄴ 0418 ㄴ 0419 ㄹ 0420 ㄷ 0421 ㄱ 0422 ㄴ 0423 ㄴ 0424 ㄱ 여러 가지 사각형 사이의 관계 ⑴ 본문  81쪽

11

0425 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ 0426 ㄷ, ㄹ 0427 ㄴ, ㄹ 0428 ㄴ, ㄹ, ㅁ 0429 ㄷ, ㄹ 0430 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ 0431 ◯ 0432

×

0433

×

0434 ◯ 0435

×

0436 ◯ 0437 ◯ 여러 가지 사각형 사이의 관계 ⑵ 본문  82쪽

12

0430 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 것은 평행사변형이므 로 평행사변형의 성질을 가진 사각형을 모두 찾는다. 0438 마름모 0439 직사각형 0440 정사각형 0441 평행사변형 0442 평행사변형 0443 마름모 0444 평행사변형 0445 직사각형 0446 정사각형 0447 ⑴ ◯ ⑵

×

⑶ ◯ 사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형 본문  83쪽

13

0444 사다리꼴  평행사변형 0445 마름모  직사각형 0446 정사각형  정사각형 0447 ⑵  EFGH는 마름모이므로 네 내각의 크기가 모두 같지 않다. 0448

△

DBC 0449

△

ABD 0450

△

DOC 0451

△

ABD, 12, 7 0452 26 cmÛ` 0453 25 cmÛ` 평행선과 삼각형의 넓이 ⑴ 본문  84쪽

14

0450 ADÓBCÓ이므로

△

ABD=

△

ACD ∴

△

ABO  =

△

ABD-

△

AOD

=

△

ACD-

△

AOD =

△

DOC

0452

△

ACD  =

△

AOD+

△

DOC=

△

AOD+

△

ABO =10+16=26(cmÛ`)

0453

△

DOC =

△

DBC-

△

OBC =

△

ABC-

△

OBC =15-9=6(cmÛ`)

∴  ABCD =

△

ABC+

△

DOC+

△

AOD =15+6+4=25(cmÛ`) 0454

△

ACE 0455

△

DAE 0456  ABCD 0457

△

AFD 0458 30 cmÛ` 0459 4 cmÛ` 0460 12 cmÛ` 0461 9 cmÛ` 평행선과 삼각형의 넓이 ⑵ 본문  85쪽

15

4. 여러 가지 사각형의 성질

21

0456 ACÓDEÓ이므로

△

ACE=

△

ACD ∴

△

ABE =

△

ABC+

△

ACE

=

△

ABC+

△

ACD = ABCD

0457

△

FCE =

△

DCE-

△

DFE =

△

AED-

△

DFE =

△

AFD

0458  ABCD =

△

ABC+

△

ACD =

△

ABC+

△

ACE =18+12=30(cmÛ`) 0459

△

ACD =

△

ACE =

△

ABE-

△

ABC =10-6=4(cmÛ`) 0460

△

ABC = ABCD-

△

ACD = ABCD-

△

ACE =20-8=12(cmÛ`)

0461 AEÓDBÓ일 때

△

ABD=

△

DEB ∴  ABCD=

△

ABD+

△

DBC ∴  ABCD=

△

DEB+

△

DBC ∴  ABCD=

△

DEC=;2!;_3_(2+4)=9(cmÛ`) 0462 2, 1, 1, <sub>;3@;, 32</sub> 0463 12 cmÛ` 0464 21 cmÛ` 0465 <sub>;2!;, 45, ;3@;, 30</sub> 0466 18 cmÛ 0467 15 cmÛ` 높이가 같은 삼각형의 넓이 본문  86쪽

16

0463 APÓ : PBÓ=2 : 3이므로

△

CAP :

△

CPB=2 : 3 ∴

△

CAP=;5@;△ABC=;5@;_30=12(cmÛ`) 0464 BPÓ : PCÓ=3 : 4이므로

△

ABP :

△

APC=3 : 4 즉,

△

ABP : 12=3 : 4이므로

△

ABP=9(cmÛ`) ∴

△

ABC=

△

ABP+

△

APC=9+12=21(cmÛ`) <다른 풀이> BPÓ：PCÓ=3：4이므로 BCÓ：PCÓ=7：4 ∴

△

ABC：

△

APC=7：4

즉,

△

ABC：12=7：4이므로

△

ABC=21(cmÛ`)

0466 BDÓ : DCÓ=2 : 1이므로

△

ABD :

△

ADC=2 : 1

△

ABD=_;3@;△ABC=_{;3@;_54=36(cmÛ`)} AEÓ : EDÓ=1 : 1이므로

△

ABE :

△

BDE=1 : 1 ∴

△

ABE=;2!;△ABD=;2!;_36=18(cmÛ`)

0467 AEÓ : EDÓ=1 : 2이므로

△

ABE :

△

BDE=1 : 2 즉,

△

ABE : 6=1 : 2이므로

2

△

ABE=6 ∴

△

ABE=3(cmÛ`)

∴

△

ABD=

△

ABE+

△

BDE=3+6=9(cmÛ`) 이때 BDÓ : DCÓ=3 : 2이므로

△

ABD : 

△

ADC=3 : 2 즉, 9 :

△

ADC=3 : 2이므로

3

△

ADC=18 ∴

△

ADC=6(cmÛ`)

∴

△

ABC=

△

ABD+

△

ADC=9+6=15(cmÛ`)

0468 60 cmÛ` 0469 3, 2, <sub>;5#;, 21</sub> 0470 16 cmÛ` 0471 60, 30, 1, 2, _{;3!;, 10} 0472 18 cmÛ` 0473 98 cmÛ` 사각형에서 삼각형의 넓이의 비 본문  87쪽

17

0468

△

ABO :

△

OBC=1 : 3이므로 15 :

△

OBC=1 : 3 ∴

△

OBC=45(cmÛ`) ∴

△

ABC =

△

ABO+

△

OBC

=15+45=60(cmÛ`)

0470

△

ABO :

△

AOD=4 : 3이므로 12 :

△

AOD=4 : 3 즉, 4

△

AOD=36이므로

△

AOD=9(cmÛ`)

△

DOC=

△

ABO=12(cmÛ`)이고

△

OBC :

△

DOC=4 : 3이므로

△

OBC : 12=4 : 3 즉, 3

△

OBC=48이므로

△

OBC=16(cmÛ`)

0472

△

PBC=_{;2!;  ABCD=;2!;_60=30(cmÛ`)} 이때

△

PBQ :

△

PQC=3 : 2이므로

△

PBQ=;5#;△PBC=;5#;_30=18(cmÛ`)

0473 AOÓ : OCÓ=2 : 5이므로

△

AOD :

△

OCD=2 : 5

△

AOD : 20=2 : 5, 5

△

AOD=40

∴

△

AOD=8(cmÛ`)

이때

△

OCD=

△

ABO=20 cmÛ`이므로 20 :

△

OBC=2 : 5

2

△

OBC=100 ∴

△

OBC=50(cmÛ`)

∴  ABCD =

△

AOD+

△

ABO+

△

OBC+

△

OCD =8+20+50+20=98(cmÛ`)

0474 ㄱ, ㄴ, ㄹ 0475 10 cm 0476 ②, ⑤ 0477 평행사변형 0478 48`cmÛ` 0479 33`cmÛ` 0480 20`cmÛ` 0481 125`cmÛ`

본문  88쪽

Mini Review Test

핵심 09~17 0474 ㄱ, ㄴ, ㄹ.

△

ABC≡

△

DCB(SAS 합동)이므로 ∠B=∠C, ∠DBC=∠ACB, ACÓ=DBÓ ㄷ. ABÓ=ADÓ인지 알 수 없다. 0475 점 D를 지나고 ABÓ와 평행한 선을 그 _{A D} B _E C 4`cm 6`cm 60ù 120ù 60ù 60ù x`cm 어 BCÓ와 만나는 점을 E라고 하자.  ABED는 평행사변형이므로 BEÓ=ADÓ=4 cm 또 ABÓDEÓ이므로 ∠DEC=∠ABE=∠DCE=180ù-120ù=60ù 따라서

△

DEC는 정삼각형이므로 ECÓ=DCÓ=ABÓ=6 cm ∴ BCÓ=BEÓ+ECÓ=4+6=10(cm) 0478

△

DOC  =

△

DBC-

△

OBC =

△

ABC-

△

OBC    =36-27=9 (cmÛ`)

∴  ABCD =

△

AOD+

△

ABO+

△

OBC+

△

OCD =3+9+27+9=48(cmÛ`)

0479 ACÓDEÓ이므로

△

ACD=

△

ACE ∴  ABCD =

△

ABC+

△

ACD

=

△

ABC+

△

ACE =

△

ABE

∴  ABED=;2!;_(8+3)_6=33(cmÛ`)

0480 BDÓ=DCÓ이므로

△

ABD=

△

ADC=_;2!;

△

ABC

△

ABD=_{;2!;_70=35(cmÛ`)} 이때 AEÓ : EDÓ=3 : 4이므로

△

BDE =_;7$;△ABD=_{;7$;_35=20(cmÛ`)}

0481 BOÓ : ODÓ=3 : 2이므로

△

ABO :

△

AOD=3 : 2 즉,

△

ABO : 20=3 : 2이므로

2

△

ABO=60 ∴

△

ABO=30(cmÛ`) …… ❶

또 BOÓ : ODÓ=3 : 2이므로

△

OBC :

△

DOC=3 : 2 이때

△

DOC=

△

ABO=30 cmÛ`이므로

△

OBC : 30=3 : 2, 2

△

OBC=90

∴

△

OBC=45(cmÛ`) …… ❷

∴  ABCD =

△

AOD+

△

ABO+

△

OBC+

△

OCD =20+30+45+30 =125(cmÛ`) …… ❸ 채점 기준 배점 ❶ △ABO의 넓이 구하기 30 % ❷ △OBC의 넓이 구하기 50 % ❸  ABCD의 넓이 구하기 20 % 4. 여러 가지 사각형의 성질

23

❸ 도형의 닮음

5. 도형의 닮음

0482



EFGH 0483 점 E 0484 점 G 0485 FGÓ 0486 HEÓ 0487 ∠F 0488 ∠H 0489

△

DFE 0490 점 D 0491 점 F 0492 DFÓ 0493 EDÓ 0494 ∠F 0495 ∠E 닮은 도형 ⑴ 본문  93쪽

01

0496 × 0497 × 0498 ◯ 0499 ◯ 0500 × 0501 ◯ 0502 ◯ 0503 ◯ 0504 ◯ 0505 × 0506 ◯ 0507 × 0508 × 0509 ㄱ, ㄷ 닮은 도형 ⑵ 본문  94쪽

02

0505 닮은 두 도형에서 대응변의 길이의 비가 서로 같다. 0507 오른쪽 그림과 같은 두 삼 6 8 9 12 15 10 각형은 닮음이지만 넓이 가 다르다. 0508 오른쪽 그림과 같은 두 삼각 3 4 3 4 형의 넓이는 ;2!;_3_4=6 으로 같지만 닮음이 아니다. 0509 ㄴ. 오른쪽 그림과 같은 두 이 55ù 55ù 70ù 70ù 70ù 40ù 등변삼각형은 한 내각의 크기가 같지만 닮음은 아 니다. ㄷ. 마름모의 한 내각의 크기가 같으면 나머지 세 내각의 크기 도 같게 되므로 네 각의 크기가 같게 되어 두 마름모는 닮 음이 된다. ㄹ. 오른쪽 그림과 같은 두 삼각 5 3 3 ₃ 2 4 4 ₄ 기둥은 밑면이 정삼각형이 어도 높이가 다르므로 닮은 도형이 아니다. 0510 4, 2, 1 0511 1, 1, 6, 3 0512 ∠C, 40 0513 180, 65 0514 2 : 3 0515 6 cm 0516 120ù 0517 ⑴ 2 cm ⑵ 18 cm 평면도형에서의 닮음의 성질 본문  95쪽

03

0514 BCÓ：FGÓ=6：9=2：3 0515 ADÓ：EHÓ=2：3이므로 4：EHÓ=2：3 2EHÓ=12 ∴ EHÓ=6 (cm) 0516 ∠G의 대응각은 ∠C이므로 ∠G=∠C=65ù ∴ ∠E=360ù-(90ù+65ù+85ù)=120ù 0517 ⑴ CAÓ：FDÓ=1：2이므로 CAÓ：4=1：2 2CAÓ=4 ∴ CAÓ=2 (cm) ⑵ ABÓ：DEÓ=1：2이므로 3：DEÓ=1：2 ∴ DEÓ=6 (cm) BCÓ：EFÓ=1：2이므로 4：EFÓ=1：2 ∴ EFÓ=8 (cm) 따라서

△

DEF의 둘레의 길이는 6+8+4=18 (cm) 0518 GIÕ, 8, 3, 2 0519 2, 2, 2, 6 0520 6 cm 0521 면 HKLI 0522 4 : 3 0523 6 cm 0524 12 cm 0525 12 입체도형에서의 닮음의 성질 ⑴ 본문  96쪽

04

0520 BCÓ：HIÓ=3：2이므로 9：HIÓ=3：2 3HIÓ=18 ∴ HIÓ=6 (cm) 0522 FGÓ：NOÓ=16：12=4：3 0523 ABÓ：IJÕ=4：3이므로 8：IJÕ=4：3 4IJÕ=24 ∴ IJÕ=6 (cm) 0524 BFÓ：JNÓ=4：3이므로 BFÓ：9=4：3 3BFÓ=36 ∴ BFÓ=12 (cm) 0525 두 삼각기둥의 닮음비는 DEÓ：JKÓ=4：8=1：2 즉, EFÓ：KLÓ=1：2이므로 x：4=1：2 2x=4 ∴ x=2

또 ADÓ：GJÓ=1：2이므로 5：y=1：2 ∴ y=10 ∴ x+y=2+10=12 0526 10, 1, 2 0527 4 cm 0528 6 cm 0529 6p cm 0530 12p cm 0531 1：2 0532 8 0533 4 0534 10 0535 6：5 입체도형에서의 닮음의 성질 ⑵ 본문  97쪽

05

0527 원뿔 A의 높이를 x cm라고 하면 x：8=1：2, 2x=8 ∴ x=4 0528 원뿔 B의 밑면의 반지름의 길이를 y cm라고 하면 3：y=1：2 ∴ y=6 0529 원뿔 A의 밑면의 둘레의 길이는 2p_3=6p (cm) 0530 원뿔 B의 밑면의 둘레의 길이는 2p_6=12p (cm) 0531 두 원뿔 A, B의 밑면의 둘레의 길이의 비는 6p：12p=1：2 0532 두 원뿔 A, B의 닮음비는 모선의 길이의 비와 같으므로 15：12=5：4 즉, 10：x=5：4이므로 5x=40 ∴ x=8 0533 두 원뿔 A, B의 닮음비는 높이의 비와 같으므로 10：15=2：3 즉, x：6=2：3이므로 3x=12 ∴ x=4 0534 두 원기둥 A, B의 닮음비는 밑면의 반지름의 길이의 비와 같 으므로 3：5이다. 즉, 6：x=3：5이므로 3x=30 ∴ x=10 0535 두 원기둥 A, B의 닮음비는 12：10=6：5이므로 두 원기둥 A, B의 밑면의 둘레의 길이의 비도 6：5이다. 0536 ②, ④ 0537 ⑤ 0538 136 0539 51 cm 0540 14 0541 36p cmÛ` 본문  98쪽

Mini Review Test

핵심 01~05 0537

△

ABC와

△

EFD의 닮음비는 BCÓ：FDÓ=12：8=3：2 ③, ④ ∠F=∠B=80ù이므로 ∠D=180ù-(80ù+60ù)=40ù ⑤ CAÓ：DEÓ=3：2이므로 15：DEÓ=3：2, 3DEÓ=30 ∴ DEÓ=10 (cm) 0538



ABCD와



HGFE의 닮음비는 BCÓ：GFÓ=14：8=7：4 즉, ABÓ：HGÓ=7：4이므로 x：12=7：4 4x=84 ∴ x=21 또 ∠H=∠A=110ù, ∠G=∠B=70ù이므로 ‌ ‌=360ù-(110ù+70ù+65ù)=115ù∠y ∴ y=115 ∴ x+y=21+115=136 0539 BCÓ：FGÓ=2：3에서 8：FGÓ=2：3 ∴ FGÓ=12 (cm) CDÓ：GHÓ=2：3에서 12：GHÓ=2：3 ∴ GHÓ=18 (cm) DAÓ：HEÓ=2：3에서 6：HEÓ=2：3 ∴ HEÓ=9 (cm) 따라서



EFGH의 둘레의 길이는 9+12+12+18=51(cm) <다른 풀이> ABÓ：EFÓ=2：3에서 ABÓ：12=2：3 ∴ ABÓ=8 (cm)



ABCD의 둘레의 길이는 6+8+8+12=34(cm) 두 도형의 둘레의 길이의 비도 2：3이므로



EFGH의 둘레의 길이를 l cm라고 하면 34：l=2：3에서 2l=102 ∴ l=51 따라서



EFGH의 둘레의 길이는 51 cm이다. 0540 두 직육면체의 닮음비는 ABÓ：IJÕ=3：6=1：2이므로 x：8=1：2, 2x=8 ∴ x=4 …… ❶ 5：y=1：2 ∴ y=10 …… ❷ ∴ x+y=4+10=14 …… ❸ 채점 기준 배점 ❶ x의 값 구하기 40 % ❷ y의 값 구하기 40 % ❸ x+y의 값 구하기 20 % 0541 두 원뿔 A, B의 닮음비는 15：9=5：3 이때 원뿔 B의 반지름의 길이를 x cm라고 하면 10：x=5：3, 5x=30 ∴ x=6 따라서 원뿔 B의 밑면의 넓이는 p_6Û`=36p (cmÛ`) 5. 도형의 닮음

25